A gyakorlatban a lap (festmény) formátum kiválasztásakor gyakran a téglalap oldalainak „klasszikus” arányait használják, amelyekben a kisebb oldal és a nagyobb oldal aránya 0,6180339, a nagyobb és a kisebb pedig 1,6180339. . Ősidők óta ezeket a számokat aranynak nevezik, és a megszerzésükhöz szükséges mennyiségek arányát arany aránynak vagy aranymetszésnek nevezik.

A világ harmóniájáról szóló, numerikus összefüggésekben kifejezett tan alapját az ókori görög matematikus, Pythagoras (Kr. e. VI. század) fektette le. Az aranymetszést úgy mutatta be, mint azon törvények egyikét, amely matematikailag pontosan meghatározza a legszebb és legharmonikusabb viszonyt a két egyenlőtlen felére osztott egész részei között.

A téglalap felépítése egy szakasz részei közötti kapcsolaton alapul az aranymetszet arányaiban. Átlók segítségével részekre osztják, ami az arányos alakzatok dinamikáját hozza létre - négyzet, téglalap, valamint derékszögű és egyenlő szárú háromszögek.

Így az átlók használatával egymás után növekvő téglalapok sorozatát kaphatja, amelyek képaránya - 1:√2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, a négyzet származékai.

A √4 oldallal egy dupla négyzetű téglalap jön létre. A √3 oldallal két derékszögű háromszög keletkezik, amelyekben a közös befogó a téglalap átlója, amely egyenlő a kisebbik láb (azaz a négyzet oldalának) kétszeresével. éles sarkok 30 és 60 fok.

Az átlót egymás után növekvő négyzetek felépítésénél is alkalmazzák, méretük „dinamikus” fejlődését hozva létre.

Ebben a konstrukcióban minden következő négyzet oldala összefügg az előző oldalával, ahogy a négyzet átlója a saját oldalával. Ezeket a transzformációkat néha "aktív négyzetnek" nevezik.

Az ókori Egyiptom korai időszakában a négyzet, a téglalap és a háromszög dinamikus arányainak geometriai rendszere volt az építészeti struktúrák létrehozásának alapja. Ezenkívül azokban a távoli időkben a primitív építészeti építési technológia körülményei között folyamatosan szükség volt az egyenesre merőleges helyreállítására, amelyet ezután 12 csomós kötél segítségével hajtottak végre. Egy ilyen eszköz segítségével derékszögű háromszöget kaptak, amelynek oldal-oldalaránya 3:4:5, amely később egyiptomi néven vált ismertté. Jelenleg ennek alapján derékszögeket építenek, és a szakasz végére merőlegeseket húznak.

Az ősidők óta az aranymetszetet a különféle képek készítésének gyakorlatában használták. Ez hozzájárul a harmonikus képek és a kiegyensúlyozott arányok kialakításához mindenben, ami körülvesz. Az aranymetszet arányai jelen vannak a matematikában, és különösen a geometriában, a képzőművészetben, a mindennapi életben és a természetben, a növény- és állatvilágban.

Az aranymetszés széles körben kialakult a matematikában. Így a 16. században az olasz tudós, Fibonacci olyan matematikai számsort épített fel, amelyben a következő szám határozza meg az előző két szám összegét - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. , 55 stb. Ezenkívül egy másik kapcsolat jön létre e számok között, amelyben az egyes következő és az előző arányát az 1,618... számmal fejezzük ki, az előzőt pedig a következővel - 0,618. Így ebben a matematikai sorozatban olyan számkapcsolat jön létre, amely tartalmazza az aranymetszet arányait.

Az aranymetszés különösen gyakran használatos a geometriában, amikor egy kört egyenlő részekre osztanak és szabályos sokszögeket szerkesztenek.

Egy csillag sokszögben - egy ötágú csillagban, oldalainak minden metszéspontja két egyenlőtlen részre osztja őket az aranymetszés arányában.

Az ősidők óta az aranymetszés különféle képzőművészetekben használatos - építészetben, szobrászatban, festészetben. A Parthenon az aranymetszés építészeti alkalmazásának klasszikus példája.

Leonardo da Vinci különösen széles körben alkalmazta munkájában az aranymetszés arányát, amelyet „isteni aránynak” nevezett.

A görög művészet antik szobrai, amelyek az ideális arányú emberi test arányait tükrözik, szintén engedelmeskednek az aranymetszés számszerű harmóniájának.

Az aranymetszés betűk és számok különböző betűtípusokkal történő írására használatos.

Az aranymetszetet gyakran használják a téglalap méretének meghatározására, tekintettel annak nagyobb vagy kisebb oldalára. Ha egy téglalap alakú kép adott hosszúságú (AB), akkor a magasságát (AC) a következő konstrukció határozza meg:

Először egy felével egyenlő ívet húzunk a szakasz (B) végétől a merőlegessel való metszésig (AO = OB = WD). A kapott D pontot egy egyenes köti össze az (A) szakasz másik végével. Ezután a D pontból egy VD sugarú ívet húzunk ennek az egyenesnek a metszéspontjáig, és kijelöljük az E pontot. Az A szakasz AE sugarú végéből húzott ív határozza meg a függőleges egyenes mentén a C pontot és a kívánt magasságot. a kép AC.

Ha a kép magassága (AC) adott, akkor a hosszát (AB) egy másik konstrukció határozza meg. Először készítsen egy ACDE négyzetet, amelynek oldala egyenlő AC-vel. Ezután a négyzet (O) oldalának közepétől OD sugarú ívet húzunk, és a vízszintes egyenesen egy B pontot kapunk, amely meghatározza az AB téglalap minta oldalának szükséges hosszát.

Arany arányú téglalap segítségével bármilyen méretű, hasonló méretű lapot készíthet.

Ehhez egy papírlapra helyezzük az egyik sarkába (A), és egy átlót rajzolunk bele. Ezután az A pontból félretesszük a lapformátum vízszintes vagy függőleges oldalának megadott méretét, és a végére merőlegest húzunk, amíg az átlóval nem metszi, ami meghatározza a téglalap második oldalát.

Bárki, aki legalább közvetve találkozott a térbeli objektumok geometriájával a belsőépítészetben és az építészetben, valószínűleg jól ismeri az aranymetszés elvét. Egészen a közelmúltig, több évtizeddel ezelőtt az aranymetszés olyan népszerűsége volt, hogy a misztikus elméletek és a világ szerkezetének számos híve univerzális harmonikus szabálynak nevezi.

Az egyetemes arány lényege

Meglepően más. Az ilyen egyszerű numerikus függőséghez való elfogult, szinte misztikus hozzáállás oka több szokatlan tulajdonság volt:

• Az élővilágban számos objektum, a vírusoktól az emberekig, alapvető test- vagy végtag-arányai nagyon közel állnak az aranymetszés értékéhez;
• A 0,63-as vagy 1,62-es függőség csak a biológiai lényekre és bizonyos típusú kristályokra jellemző, az élettelen tárgyak az ásványoktól a tájelemekig rendkívül ritkán rendelkeznek aranymetszés geometriájával;
• A testfelépítésben az arany arányok bizonyultak a legoptimálisabbnak a valódi biológiai tárgyak túlélése szempontjából.

Ma az aranymetszés az állatok testének felépítésében, a puhatestűek héjában és héjában, a levelek, ágak, törzsek és gyökérrendszerek arányában található meg. nagyszámú cserjék és gyógynövények.

Az aranymetszet egyetemességének elméletének számos követője többször is kísérletet tett annak bizonyítására, hogy arányai a legoptimálisabbak biológiai szervezetek létezésük körülményei között.

Példaként szokták felhozni az egyik tengeri puhatestű Astreae Heliotropium héjának szerkezetét. A héj egy tekercselt kalcit héj, amelynek geometriája gyakorlatilag egybeesik az aranymetszés arányaival.

Érthetőbb és kézenfekvőbb példa egy közönséges csirke tojás.

A fő paraméterek aránya, nevezetesen a nagy és kicsi fókusz, vagy a felszín egyenlő távolságra lévő pontjaitól a súlypontig terjedő távolságok szintén megfelelnek az aranymetszésnek. Ugyanakkor a madártojás héjának formája a legoptimálisabb a madár, mint biológiai faj fennmaradásához. Ebben az esetben a héj erőssége nem játszik fő szerepet.

Tájékoztatásképpen! Ennek eredményeként jött létre az aranymetszés, amelyet a geometria univerzális arányának is neveznek Hatalmas mennyiségű gyakorlati mérések, valódi növények, madarak, állatok méreteinek összehasonlítása.

Az egyetemes arány eredete

Az ókori görög matematikusok, Eukleidész és Pythagoras tudtak a metszet aranymetszetéről. Az egyik emlékműben ősi építészet- a Kheopsz-piramis oldal- és alaparányú, az egyes elemek és a faldomborművek az univerzális aránynak megfelelően készülnek.

Az aranymetszet technikát a középkorban széles körben használták a művészek és építészek, míg az univerzális arány lényegét a világegyetem egyik titkaként tartották számon, és gondosan elrejtették az egyszerű ember elől. Számos festmény, szobor és épület kompozíciója szigorúan az aranymetszés arányainak megfelelően épült.

Az egyetemes arány lényegét először 1509-ben dokumentálta Luca Pacioli ferences szerzetes, aki briliáns matematikai képességek. Az igazi felismerés azonban azután következett be, hogy Zeising német tudós átfogó vizsgálatot végzett az emberi test, az ősi szobrok, műalkotások, állatok és növények arányairól és geometriájáról.

A legtöbb élő tárgyban bizonyos testméretekre ugyanazok az arányok vonatkoznak. 1855-ben a tudósok arra a következtetésre jutottak, hogy az aranymetszet arányai egyfajta mércét jelentenek a test és a forma harmóniájában. Ez körülbelül, mindenekelőtt az élőlényekről, a holt természetnél az aranymetszés sokkal ritkább.

Hogyan szerezhető be az aranymetszés

Az aranymetszés legkönnyebben úgy képzelhető el, mint ugyanazon tárgy két különböző hosszúságú, egy ponttal elválasztott részének aránya.

Egyszerűen fogalmazva, egy kis szegmens hány hossza fér bele egy nagy szegmensbe, vagy a legnagyobb rész aránya egy lineáris objektum teljes hosszához. Az első esetben az aranymetszés 0,63, a második esetben a képarány 1,618034.

A gyakorlatban az aranymetszés csak egy arány, egy bizonyos hosszúságú szegmensek, egy téglalap oldalai vagy más geometriai alakzatok aránya, valós objektumok kapcsolódó vagy konjugált méretjellemzői.

Kezdetben az arany arányokat empirikusan, geometriai konstrukciók segítségével határozták meg. Számos módja van a harmonikus arány létrehozásának vagy származtatásának:

Tájékoztatásképpen! A klasszikus aranymetszettől eltérően az építészeti változat 44:56-os képarányt tartalmaz.

Ha az élőlényekre, festményekre, grafikákra, szobrokra és ókori épületekre vonatkozó aranymetszés standard változatát 37:63-ra számolták, akkor az építészetben a 17. század végétől kezdődően egyre inkább 44:56-ra kezdték használni az aranymetszés arányát. A legtöbb szakértő a magasépítés elterjedésének tartja a „négyzetesebb” arányok javára történő változást.

Az aranymetszés fő titka

Ha az univerzális metszet természetes megnyilvánulásai az állatok és az emberek testének arányában, a növények szárbázisában még mindig az evolúcióval és a külső környezet hatásához való alkalmazkodóképességgel magyarázhatók, akkor az aranymetszet felfedezése a konstrukcióban századi házak építése bizonyos meglepetést okozott. Sőt, a híres ókori görög Parthenont egyetemes arányok betartásával építették, a középkori gazdag nemesek és gazdag emberek házait és kastélyait szándékosan, az aranymetszéshez nagyon közel álló paraméterekkel építették.

Aranymetszés az építészetben

A máig fennmaradt épületek közül sok arra utal, hogy a középkori építészek tudtak az aranymetszés létezéséről, és természetesen a házépítés során is primitív számításaik és függőségeik vezérelték őket, a segítséggel. amiből igyekeztek maximális erőt elérni. A legszebb és legharmonikusabb házak építésének vágya különösen az uralkodók lakóházaiban, templomaiban, városházáiban és a társadalomban kiemelt társadalmi jelentőségű épületekben mutatkozott meg.

Például a híres párizsi Notre Dame-székesegyháznak sok olyan szakasza és méretlánca van, amelyek arányaiban megfelelnek az aranymetszésnek.

Még mielőtt Zeising professzor 1855-ben publikálta volna kutatásait, in késő XVIII században épült fel az aranymetszet arányait felhasználva a híres építészeti komplexum, a szentpétervári Golicin Kórház és a Szenátus épülete, a Moszkvában a Pashkov-ház és a Petrovszkij-palota.

Természetesen korábban is az aranymetszés szabályának szigorú betartásával épültek a házak. Érdemes megemlíteni a nerli kegytemplom ókori építészeti emlékét, amely az ábrán látható.

Mindegyiket nemcsak a formák harmonikus kombinációja és a minőségi kivitelezés egyesíti, hanem elsősorban az aranymetszés jelenléte az épület arányaiban. Az épület elképesztő szépsége még titokzatosabbá válik, ha figyelembe vesszük a korát is A kegytemplom épülete a 13. századra nyúlik vissza, de az épület a 17. század fordulóján kapta modern építészeti megjelenését. a helyreállítás és a rekonstrukció eredménye.

Az aranymetszés jellemzői az ember számára

A középkori épületek és házak ősi építészete továbbra is vonzó és érdekes modern ember sok ok miatt:

• Egyedi művészeti stílus a homlokzatok kialakításánál kerüli a modern kliséket és az unalmasságot, minden épület műalkotás;
• Masszív felhasználás szobrok, szobrok, stukkó díszlécek díszítésére és díszítésére, különböző korok építési megoldásainak szokatlan kombinációira;
• Az épület arányai és kompozíciója felhívja a figyelmet az épület legfontosabb elemeire.

Fontos! Otthon tervezésénél és fejlesztésénél kinézet A középkori építészek az aranymetszés szabályát alkalmazták, öntudatlanul is felhasználva az emberi tudatalatti felfogásának sajátosságait.

A modern pszichológusok kísérletileg bebizonyították, hogy az aranymetszés az ember tudattalan vágyának vagy reakciójának megnyilvánulása a méretek, formák és színek harmonikus kombinációjára vagy arányára. Kísérletet végeztek, amelyben egymást nem ismerő, közös érdeklődési körökkel, különböző szakmákkal és korcsoportokkal nem rendelkező emberek csoportjának tesztsorozatot ajánlottak fel, amelyek között az volt a feladat, hogy minél többen meghajlítsanak egy papírlapot. az oldalak optimális aránya. A tesztelési eredmények alapján kiderült, hogy 100-ból 85 esetben szinte pontosan az aranymetszés szerint hajlították meg a lapot az alanyok.

Ezért a modern tudomány úgy véli, hogy az egyetemes arány jelensége pszichológiai jelenség, és nem metafizikai erők hatása.

Az univerzális metszettényező használata a modern tervezésben és építészetben

Az aranyarány alkalmazásának elvei az elmúlt években rendkívül népszerűvé váltak a magánházak építésében. Az építőanyagok ökológiáját és biztonságát felváltotta a harmonikus tervezés és helyes elosztás energia a házban.

Az egyetemes harmónia szabályának modern értelmezése már rég túlterjedt a tárgyak szokásos geometriáján és alakján. Ma már nem csak a karzat és oromfal hosszának méretláncaira, a homlokzat egyes elemeire és az épület magasságára vonatkozik a szabály, hanem a helyiségek területére, az ablak- és ajtónyílásokra, sőt a színséma a szoba belsejében.

A harmonikus ház felépítésének legegyszerűbb módja a moduláris alapon. Ebben az esetben a legtöbb részleg és helyiség önálló blokkok vagy modulok formájában készül, amelyeket az aranymetszés szabályának megfelelően terveztek. Harmonikus modulokból álló épületet sokkal könnyebb építeni, mint egy dobozt, amelyben a homlokzat és a belső tér nagy részének az aranymetszés arányainak szigorú keretein belül kell lennie.

Sok magánháztartást tervező építőipari cég az aranymetszés alapelveit és koncepcióit használja a költségbecslés növelésére, és azt a benyomást keltve az ügyfelekben, hogy a ház tervezése alaposan kidolgozott. Általában egy ilyen házat nagyon kényelmesnek és harmonikusnak nyilvánítanak. A helyiségek helyesen kiválasztott aránya garantálja a lelki kényelmet és a tulajdonosok kiváló egészségét.

Ha a házat az aranymetszet optimális arányainak figyelembevétele nélkül építették, akkor áttervezheti a helyiségeket úgy, hogy a helyiség arányai megfeleljenek a falak arányának 1:1,61 arányban. Ehhez a bútorok mozgathatók, vagy további válaszfalak telepíthetők a helyiségekben. Ugyanígy az ablak- és ajtónyílások méreteit úgy változtatják meg, hogy a nyílás szélessége 1,61-szer kisebb legyen, mint az ajtólap magassága. Ugyanígy történik a bútorok, háztartási gépek, fal- és padlódekoráció tervezése is.

Nehezebb a színséma kiválasztása. Ebben az esetben a szokásos 63:37 arány helyett az aranyszabály követői leegyszerűsített értelmezést fogadtak el - 2/3. Vagyis a fő színháttérnek a szoba területének 60% -át kell elfoglalnia, legfeljebb 30% -ot kell adni az árnyékoló színnek, a többit pedig különféle kapcsolódó tónusokhoz kell hozzárendelni, amelyek célja a színséma észlelésének javítása. .

A helyiség belső falait 70 cm magasságban vízszintes szalag vagy szegély választja el, a beépített bútorok arányosak legyenek a mennyezet magasságával az aranymetszés szerint. Ugyanez a szabály vonatkozik a hosszok elosztására is, például a kanapé mérete nem haladhatja meg a válaszfal hosszának 2/3-át, és a bútorok által elfoglalt teljes terület a szoba területére vonatkozik, mint 1 :1.61.

Az aranyarány a gyakorlatban egy keresztmetszeti érték miatt nehezen alkalmazható nagy léptékben, ezért harmonikus épületek tervezésénél gyakran Fibonacci-számok sorozatához folyamodnak. Ez lehetővé teszi, hogy bővítse a ház fő elemeinek arányaira és geometriai formáira vonatkozó lehetséges lehetőségek számát. Ebben az esetben az egyértelmű matematikai kapcsolattal összekapcsolt Fibonacci-számok sorozatát harmonikusnak vagy aranynak nevezzük.

Az aranymetszés elvén alapuló háztervezés modern módszerében a Fibonacci sorozat mellett széles körben alkalmazzák a híres francia építész, Le Corbusier által javasolt elvet. Ebben az esetben a jövőbeli tulajdonos magasságát vagy egy személy átlagos magasságát választják kiindulási mértékegységként, amellyel az épület és a belső tér összes paraméterét kiszámítják. Ez a megközelítés lehetővé teszi, hogy olyan házat tervezzen, amely nemcsak harmonikus, hanem igazán egyedi is.

Következtetés

A gyakorlatban azok véleménye szerint, akik úgy döntöttek, hogy az aranymetszés szabálya szerint házat építenek, egy jól megépített épület valójában meglehetősen kényelmesnek bizonyul az élethez. De az épület költsége az egyedi tervezés és az építőanyag-használat miatt nem szabványos méretek 60-70%-kal nő. És ebben a megközelítésben nincs semmi új, hiszen a múlt század legtöbb épülete kifejezetten alá épült egyéni jellemzők leendő tulajdonosai.

A geometria egy egzakt és meglehetősen összetett tudomány, amely egyben egyfajta művészet is. Vonalak, síkok, arányok - mindez segít sok igazán szép dolog létrehozásában. És furcsa módon ez a geometrián alapul annak legváltozatosabb formáiban. Ebben a cikkben egy nagyon szokatlan dolgot fogunk megvizsgálni, amely közvetlenül kapcsolódik ehhez. Az aranymetszés pontosan az a geometriai megközelítés, amelyről szó lesz.

Egy tárgy alakja és érzékelése

Az emberek leggyakrabban egy tárgy alakjára támaszkodnak, hogy felismerjék milliónyi másik között. Az alakja alapján határozzuk meg, hogy milyen dolog van előttünk vagy áll a távolban. Az embereket először testük és arcuk alakjáról ismerjük fel. Ezért bátran kijelenthetjük, hogy maga a forma, annak mérete és megjelenése az egyik legfontosabb dolog az emberi felfogásban.

Az emberek számára bárminek a formája két fő okból érdekes: vagy meg van diktálva létszükséglet, vagy a szépségtől származó esztétikai élvezet okozza. A legjobb vizuális érzékelés, harmónia és szépség érzése leggyakrabban akkor jön létre, amikor az ember egy olyan formát figyel meg, amelynek felépítésében szimmetriát és speciális arányt használtak, amit aranymetszésnek neveznek.

Az aranymetszés fogalma

Tehát az aranymetszés az aranymetszés, ami egyben harmonikus felosztás is. Ennek egyértelműbb magyarázata érdekében nézzük meg az űrlap néhány jellemzőjét. Nevezetesen: a forma valami egész, és az egész viszont mindig valamilyen részből áll. Ezek az alkatrészek nagy valószínűséggel eltérő tulajdonságokkal rendelkeznek, legalábbis különböző méretűek. Nos, az ilyen dimenziók mindig egy bizonyos kapcsolatban állnak egymással és az egészhez viszonyítva.

Ez azt jelenti, hogy az aranymetszés két mennyiség aránya, amelynek megvan a maga képlete. Ennek az aránynak a használata a forma létrehozásakor segít abban, hogy az emberi szem számára a lehető legszebb és harmonikusabb legyen.

Az aranymetszés ókori történetéből

A legtöbben gyakran használják az aranymetszést különböző területeken a mai élet. De ennek a fogalomnak a története az ókorba nyúlik vissza, amikor az olyan tudományok, mint a matematika és a filozófia még csak kialakulóban voltak. Hogyan tudományos koncepció Az aranymetszés Pitagorasz idejében, mégpedig a Kr. e. 6. században került használatba. De már ezt megelőzően is az ókori Egyiptomban és Babilonban a gyakorlatban használták az ilyen arányról szóló ismereteket. Ennek egyértelmű jele a piramisok, amelyek építéséhez pontosan ezt az arany arányt használták.

Új időszak

A reneszánsz új leheletet hozott a harmonikus felosztásba, különösen Leonardo da Vincinek köszönhetően. Ezt az arányt egyre gyakrabban kezdték alkalmazni mind a geometriában, mind a művészetben. A tudósok és művészek elkezdték mélyebben tanulmányozni az aranymetszést, és olyan könyveket készítettek, amelyek ezt a kérdést vizsgálják.

Az egyik legfontosabb, az aranymetszethez kapcsolódó történelmi mű Luca Pancholi Az Isteni arány című könyve. A történészek azt gyanítják, hogy ennek a könyvnek az illusztrációit maga Leonardo készítette Vinci előtt.

aranymetszés

A matematika nagyon világos definíciót ad az arányról, ami azt mondja, hogy ez két arány egyenlősége. Matematikailag ez a következő egyenlőséggel fejezhető ki: a: b = c: d, ahol a, b, c, d néhány konkrét érték.

Ha egy két részre osztott szegmens arányát vesszük figyelembe, akkor csak néhány helyzettel találkozhatunk:

• A szakaszt két abszolút páros részre osztjuk, ami azt jelenti, hogy AB:AC = AB:BC, ha AB a szakasz pontos eleje és vége, C pedig az a pont, amely a szakaszt két egyenlő részre osztja.
• A szegmens két egyenlőtlen részre oszlik, amelyek nagyon eltérő arányban lehetnek egymással, ami azt jelenti, hogy itt teljesen aránytalanok.
• A szakasz úgy van felosztva, hogy AB:AC = AC:BC.

Ami az aranymetszést illeti, ez egy szegmens arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amikor az egész szegmens a nagyobb részhez kapcsolódik, ahogyan a nagyobb rész is a kisebbhez. Van egy másik megfogalmazás is: a kisebb szegmens a nagyobbhoz kapcsolódik, ahogy a nagyobb is az egész szegmenshez. Matematikai értelemben ez így néz ki: a:b = b:c vagy c:b = b:a. Pontosan így néz ki az aranymetszés képlete.

Aranymetszés a természetben

Az aranymetszés, amelynek példáit most megvizsgáljuk, hihetetlen természeti jelenségekre utal. Nagyon szép példák ezek arra, hogy a matematika nem csak számok és képletek, hanem egy olyan tudomány, amely több, mint valódi tükröződése a természetben és általában az életünkben.

Az élő szervezetek számára az élet egyik fő feladata a növekedés. Ez a vágy, hogy helyet foglaljon a térben, valójában többféle formában jelentkezik - felfelé növekszik, szinte vízszintesen terül el a talajon, vagy spirálisan csavarodik valamilyen támasztékon. És bármilyen hihetetlen is, sok növény az aranymetszés szerint nő.

Egy másik szinte hihetetlen tény a gyíkok testében lévő kapcsolatok. Testük nagyon kellemesnek tűnik az emberi szem számára, és ez ugyanazon aranymetszésnek köszönhető. Pontosabban, a farkuk hossza a teljes test hosszához viszonyítva 62:38.

Érdekes tények az aranymetszés szabályairól

Az aranymetszés egy igazán hihetetlen fogalom, ami azt jelenti, hogy a történelem során valóban sokakkal találkozhatunk Érdekes tények erről az arányról. Ezek közül mutatunk be néhányat:

Arany arány az emberi szervezetben

Ebben a részben meg kell említeni egy nagyon jelentős személyt, mégpedig S. Zeizingát. Ez egy német kutató, aki óriási munkát végzett az aranymetszés tanulmányozása terén. Esztétikai tanulmányok címmel jelent meg egy műve. Munkásságában az aranymetszés as abszolút fogalom, amely egyetemes minden természeti és művészeti jelenségre. Itt felidézhetjük a piramis aranymetszését, az emberi test harmonikus arányát és így tovább.

Zeising volt az, aki be tudta bizonyítani, hogy az aranymetszés valójában az emberi test átlagos statisztikai törvénye. Ez a gyakorlatban is megmutatkozott, ugyanis munkája során rengeteg emberi testet kellett megmérnie. A történészek úgy vélik, hogy több mint kétezer ember vett részt ebben a kísérletben. Zeising kutatásai szerint az aranymetszés fő mutatója a test köldökpont szerinti felosztása. Így az átlagos 13:8 arányú férfi test valamivel közelebb áll az aranymetszethez, mint a női test, ahol az aranymetszés 8:5. Az aranymetszés a test más részein is megfigyelhető, például a kézen.

Az aranymetszés felépítéséről

Valójában az aranymetszés felépítése egyszerű dolog. Amint látjuk, még az ókori emberek is könnyen megbirkóztak ezzel. Mit is mondhatnánk az emberiség modern tudásáról és technológiájáról? Ebben a cikkben nem mutatjuk be, hogyan lehet ezt egyszerűen egy papírlapon és ceruzával a kezében megtenni, de magabiztosan kijelentjük, hogy ez valóban lehetséges. Ráadásul ezt többféleképpen is meg lehet tenni.

Mivel ez egy meglehetősen egyszerű geometria, az aranymetszés még az iskolában is meglehetősen egyszerűen megszerkeszthető. Ezért erre vonatkozó információk könnyen megtalálhatók a speciális könyvekben. Az aranymetszés tanulmányozásával a 6. osztályosok teljesen megértik a felépítésének alapelveit, ami azt jelenti, hogy még a gyerekek is elég okosak egy ilyen feladat elvégzéséhez.

Aranymetszés a matematikában

Az aranymetszés első megismerése a gyakorlatban egy egyenes szakasz egyszerű, azonos arányú felosztásával kezdődik. Leggyakrabban ezt vonalzóval, iránytűvel és természetesen ceruzával teszik.

Az aranyarány szegmenseit végtelen irracionális törtként fejezzük ki AE = 0,618..., ha AB-t egynek vesszük, BE = 0,382... A számítások gyakorlatiasabbá tétele érdekében gyakran nem egzakt, hanem közelítő adatokat használnak. értékek, nevezetesen - 0 ,62 és 0,38. Ha az AB szakaszt 100 résznek vesszük, akkor a nagyobb része 62, a kisebb része pedig 38 rész lesz.

Az aranymetszés fő tulajdonsága a következő egyenlettel fejezhető ki: x 2 -x-1=0. Megoldáskor a következő gyököket kapjuk: x 1,2 =. Bár a matematika egy egzakt és szigorú tudomány, akárcsak metszet - geometria, olyan tulajdonságok, mint az aranymetszet törvényei, rejtélyt vetnek a témára.

Harmónia a művészetben az aranymetszésen keresztül

Összegzésként tekintsük át röviden a már megbeszélteket.

Alapvetően sok műalkotás az aranymetszés szabálya alá esik, ahol a 3/8-hoz és az 5/8-hoz közeli arány figyelhető meg. Ez az aranymetszés durva képlete. A cikkben már sok szó esett a részhasználati példákról, de újra megvizsgáljuk az ókori ill. Kortárs művészet. Szóval a legtöbbet eleven példákősidők óta:

Ami a valószínűleg tudatos arányhasználatot illeti, Leonardo da Vinci korától kezdve az élet szinte minden területén – a tudománytól a művészetig – elterjedt. Még a biológia és az orvostudomány is bebizonyította, hogy az aranymetszés még élő rendszerekben és szervezetekben is működik.

Az ember alakjuk alapján különbözteti meg a körülötte lévő tárgyakat. Egy tárgy alakja iránti érdeklődést előidézheti a létfontosságú szükség, vagy okozhatja a forma szépsége. A forma, amelynek felépítése a szimmetria és az aranymetszés kombinációján alapul, hozzájárul a legjobb vizuális érzékeléshez, valamint a szépség és harmónia érzésének megjelenéséhez. Az egész mindig részekből áll, a különböző méretű részek bizonyos viszonyban állnak egymással és az egésszel. Az aranymetszés elve az egész és részei szerkezeti és funkcionális tökéletességének legmagasabb megnyilvánulása a művészetben, a tudományban, a technikában és a természetben.

Aranymetszés – harmonikus arány

A matematikában arány(lat. proportio) két reláció egyenlőségének nevezik: a : b = c : d.

Egyenes szegmens AB két részre osztható a következő módokon:

két egyenlő részre - AB : AC = AB : Nap;





két minden tekintetben nem egyenlő részre (az ilyen részek nem alkotnak arányokat);





így mikor AB : AC = AC : Nap.

Ez utóbbi egy szegmens aranyfelosztása vagy felosztása szélsőséges és átlagos arányban.

Az aranymetszés egy szakasz olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz a nagyobb részhez kapcsolódik, mint ahogy maga a nagyobb rész a kisebbhez; vagy más szavakkal, a kisebb szegmens a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez

a : b = b : c vagy Val vel : b = b : A.

Rizs. 1. Az aranymetszés geometriai képe

Az aranymetszés gyakorlati megismerése azzal kezdődik, hogy egy egyenes szakaszt arany arányban osztunk el egy iránytű és vonalzó segítségével.

Rizs. 2. Egyenes szakasz felosztása az aranymetszés segítségével. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. = 1/2 AB; CD = IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.

Pontból BAN BEN felével egyenlő merőleges helyreáll AB. Kapott pontot VAL VEL vonallal összekötve egy ponttal A. Az eredményül kapott egyenesen egy szakaszt ábrázolunk Nap ponttal végződve D. Vonalszakasz HIRDETÉSátkerült a direktbe AB. Az eredményül kapott pont E szakaszt oszt AB aranymetszésben.

Az aranymetszés szegmenseit végtelen irracionális törtként fejezzük ki A.E.= 0,618..., ha AB vegyük egynek LENNI= 0,382... Gyakorlati célokra gyakran 0,62 és 0,38 hozzávetőleges értékeket használnak. Ha a szegmens AB 100 résznek vesszük, akkor a szegmens nagyobb része 62, a kisebb része 38 rész.

Az aranymetszés tulajdonságait a következő egyenlet írja le:

x 2 - x - 1 = 0.

Ennek az egyenletnek a megoldása:

Az aranymetszés tulajdonságai romantikus titokzatos aurát és szinte misztikus imádatot teremtettek e szám köré.

Második aranymetszés

A „Fatherland” bolgár magazin (1983. 10. szám) közzétette Cvetan Tsekov-Karandash cikkét „A második aranymetszetről”, amely a fő részből következik, és egy másik 44:56 arányt ad meg.

Ez az arány megtalálható az építészetben, és akkor is előfordul, ha hosszúkás vízszintes formátumú képekből kompozíciókat készítünk.

Rizs. 3. A második aranymetszés építése

A felosztás a következőképpen történik (lásd 3. ábra). Vonalszakasz AB aranymetszés szerint osztva. Pontból VAL VEL a merőleges helyreáll CD. Sugár AB van egy pont D, amelyet egy egyenes köt össze egy ponttal A. Derékszög ACD felére van osztva. Pontból VAL VEL addig húzunk egy vonalat, amíg az nem metszi a vonalat HIRDETÉS. Pont E szakaszt oszt HIRDETÉS 56:44-hez képest.

Rizs. 4. Egy téglalap felosztása a második aranymetszés vonalával

ábrán. A 4. ábra a második aranymetszés vonalának helyzetét mutatja. Az aranymetszés vonala és a téglalap középső vonala között félúton található.

Arany háromszög

A növekvő és csökkenő sorozat aranyarányának szegmenseinek megtalálásához használhatja pentagramma.

Rizs. 5. Szabályos ötszög és pentagram felépítése

Pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell építeni. Építésének módját Albrecht Durer (1471...1528) német festő és grafikus dolgozta ki. Hadd O- a kör középpontja, A- egy pont a körön és E- a szegmens közepe OA. A sugárra merőleges OA, helyreállították a ponton RÓL RŐL, metszi a kört a pontban D. Iránytű segítségével rajzoljon egy szakaszt az átmérőre C.E. = ED. A körbe írt szabályos ötszög oldalhossza a DC. Helyezzen el szegmenseket a körön DCés öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásához. Az ötszög sarkait átlókkal összekötjük egymással, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekötött szegmensekre.

Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszöget képvisel. Oldalai a csúcson 36°-os szöget zárnak be, az oldalra fektetett alap pedig az aranymetszés arányában osztja fel.

Rizs. 6. Az arany háromszög építése

Közvetlen AB. Pontból A fektessen rá háromszor egy szegmenst RÓL RŐL tetszőleges érték, a kapott ponton keresztül R húzz egy merőlegest az egyenesre AB, a pont jobb és bal oldali merőlegesén R tegye félre a szegmenseket RÓL RŐL. Kapott pontokat dÉs d 1 csatlakoztasson egyenes vonalakkal egy ponthoz A. Vonalszakasz dd tegyen 1-et a sorba Hirdetés 1, kap egy pontot VAL VEL. Megosztotta a vonalat Hirdetés 1 az aranymetszés arányában. Vonalak Hirdetés 1 és dd 1 „arany” téglalap készítésére szolgál.

Az aranymetszés története

Általánosan elfogadott, hogy az aranyfelosztás fogalmát Pythagoras, egy ókori görög filozófus és matematikus vezette be a tudományos használatba (Kr. e. VI. század). Van egy feltevés, hogy Pythagoras az egyiptomiaktól és babiloniaktól kölcsönözte tudását az arany felosztásról. Valójában a Kheopsz-piramis, a templomok, a domborművek, a háztartási cikkek és a Tutanhamon sírjából származó ékszerek arányai azt mutatják, hogy az egyiptomi kézművesek az arany felosztás arányait alkalmazták létrehozásukkor. Le Corbusier francia építész megállapította, hogy I. Seti fáraó abüdoszi templomának domborművében és a Ramszesz fáraót ábrázoló domborműben az alakzatok arányai megfelelnek az aranyoszlop értékeinek. Khesira építész, akit a róla elnevezett sírból származó fatábla domborművön ábrázoltak, mérőműszereket tart a kezében, amelyekben az arany osztás arányait rögzítik.

A görögök képzett geométerek voltak. Még számtant is tanítottak gyermekeiknek geometriai alakzatok segítségével. A Pitagorasz-négyzet és ennek a négyzetnek az átlója volt az alapja a dinamikus téglalapok felépítésének.

Rizs. 7. Dinamikus téglalapok

Platón (Kr. e. 427...347) is tudott az aranyosztásról. „Timeus” című dialógusa a püthagorasz-iskola matematikai és esztétikai nézeteinek, és különösen az aranyfelosztás kérdéseinek szentel.

A Parthenon ókori görög templomának homlokzata arany arányú. Az ásatások során olyan iránytűket fedeztek fel, amelyeket az ókori világ építészei és szobrászai használtak. A pompei iránytű (nápolyi múzeum) az arany osztás arányait is tartalmazza.

Rizs. 8. Antik aranymetszésű iránytű

Az ókori irodalomban, amely eljutott hozzánk, az aranyfelosztást először Eukleidész Elemeiben említették. Az „Elvek” 2. könyvében az aranyfelosztás geometriai felépítése szerepel, Euklidész után az aranyosztás vizsgálatát Hypsicles (Kr. e. 2. század), Pappus (Kr. u. III. század) és mások végezték. középkori Európa, az arany felosztással Euklidész elemeinek arab fordításán keresztül találkoztunk. J. Campano navarrai fordító (III. század) megjegyzéseket fűzött a fordításhoz. Az arany hadosztály titkait féltékenyen őrizték és szigorú titokban tartották. Csak a beavatottak ismerték őket.

A reneszánsz idején a tudósok és a művészek körében megnőtt az érdeklődés az aranyfelosztás iránt, mivel mind a geometriában, mind a művészetben, különösen az építészetben alkalmazták Leonardo da Vinci művész és tudós úgy látta, hogy az olasz művészek sok empirikus tapasztalattal rendelkeznek, de kevés. tudás . Fogant és elkezdett egy geometriáról szóló könyvet írni, de ekkor megjelent Luca Pacioli szerzetes könyve, és Leonardo feladta az ötletét. A kortársak és a tudománytörténészek szerint Luca Pacioli igazi fényes volt, Olaszország legnagyobb matematikusa a Fibonacci és Galilei közötti időszakban. Luca Pacioli Piero della Franceschi művész tanítványa volt, aki két könyvet írt, amelyek közül az egyik „A festészet perspektívájáról” címet viselte. A leíró geometria megalkotójának tartják.

Luca Pacioli tökéletesen megértette a tudomány jelentőségét a művészet számára. 1496-ban Moreau hercegének meghívására Milánóba érkezett, ahol matematikáról tartott előadásokat. Leonardo da Vinci akkoriban Milánóban is dolgozott a morói udvarban. 1509-ben Velencében adták ki Luca Pacioli „Az isteni arány” című könyvét, zseniálisan kivitelezett illusztrációkkal, ezért is gondolják, hogy Leonardo da Vinci készítette. A könyv az aranymetszés lelkes himnusza volt. Az arany arány sok előnye között Luca Pacioli szerzetes nem mulasztotta el annak „isteni lényegét” az isteni háromság kifejezéseként megnevezni – Isten a fiú, Isten az atya és Isten a szent szellem (azt sejtették, hogy a kicsi a szegmens Isten, a fiú megszemélyesítése, a nagyobb szegmens - Isten, az Atya, és az egész szegmens - a Szentlélek Istene).

Leonardo da Vinci is nagy figyelmet fordított az aranyosztály tanulmányozására. Egy sztereometrikus test metszeteit készítette el szabályos ötszögek, és minden alkalommal téglalapokat kaptam az oldalak arányával az arany osztásban. Ezért adta ennek az osztálynak a nevet aranymetszés. Tehát továbbra is a legnépszerűbb.

Ugyanakkor Európa északi részén, Németországban Albrecht Dürer ugyanezen a problémákon dolgozott. Felvázolja az arányokról szóló értekezés első változatának bevezetőjét. Dürer írja. „Szükséges, hogy valaki, aki tud valamit, megtanítsa azt másoknak, akiknek szükségük van rá. Ez az, amit elhatároztam.”

Dürer egyik leveléből ítélve Olaszországban találkozott Luca Paciolival. Albrecht Durer részletesen kidolgozza az emberi test arányainak elméletét. Dürer kapcsolatrendszerében fontos helyet tulajdonított az aranymetszetnek. Az ember magasságát arany arányban osztja fel az öv vonala, valamint a leengedett kezek középső ujjainak hegyén keresztül húzott vonal, az arc alsó része a száj stb. A Dürer-féle arányos iránytű jól ismert.

A 16. század nagy csillagásza. Johannes Kepler az aranymetszetet a geometria egyik kincsének nevezte. Elsőként hívta fel a figyelmet az aranyarány botanika (növénynövekedés és szerkezetük) fontosságára.

Kepler az aranyarányt önmagától folytatódónak nevezte. „Olyan szerkezetű – írta –, hogy ennek a soha véget nem érő aránynak a két legalacsonyabb tagja összeadódik a harmadik taggal, és bármely két utolsó tag, ha összeadjuk. , adja meg a következő tagot, és ugyanaz az arány marad a végtelenségig."

Az aranyarányú szegmenssorozat felépítése történhet mind a növekedés (növekvő sorozat), mind a csökkenés irányában (csökkenő sorozat).

Ha tetszőleges hosszúságú egyenesen van, tegye félre a szakaszt m, tegye mellé a szegmenst M. E két szegmens alapján felállítjuk a növekvő és a csökkenő sorozatok arany arányának szegmenseinek skáláját.

Rizs. 9. Arany arányú szegmensek skála felépítése

A következő évszázadokban az aranyarány szabálya akadémiai kánonná változott, és amikor idővel a művészetben megkezdődött az akadémiai rutin elleni küzdelem, a küzdelem hevében „kidobták a babát a fürdővízzel”. Az aranymetszés a 19. század közepén került újra „felfedezésre”. Az aranymetszés német kutatója, Zeising professzor 1855-ben publikálta „Esztétikai tanulmányok” című munkáját. Zeisinggel pontosan az történt, aminek elkerülhetetlenül meg kell történnie egy olyan kutatóval, aki egy jelenséget olyannak tekint, anélkül, hogy más jelenségekkel lenne összefüggésben. Abszolutizálta az aranymetszet arányát, egyetemesnek nyilvánítva a természet és a művészet minden jelenségére. Zeisingnek számos követője volt, de voltak olyan ellenzők is, akik az arányok tanát „matematikai esztétikának” nyilvánították.

Rizs. 10. Arany arányok az emberi test egyes részein

Zeising óriási munkát végzett. Körülbelül kétezer emberi testet mért meg, és arra a következtetésre jutott, hogy az aranymetszés az átlagos statisztikai törvényt fejezi ki. A test köldökpont szerinti felosztása az aranymetszés legfontosabb mutatója. A férfi test arányai a 13:8 = 1,625 átlagos arányon belül ingadoznak, és valamivel közelebb állnak az aranymetszethez, mint a női test arányai, amelyekhez viszonyítva az arány átlagos értéke a 8 arányban fejeződik ki: 5 = 1,6. Egy újszülöttnél ez az arány 1:1, 13 évesen 1,6, 21 évesen pedig megegyezik a férfiével. Az aranymetszés arányai a test más részeihez képest is megjelennek - a váll, az alkar és a kéz, a kéz és az ujjak hosszához képest.

Rizs. tizenegy. Arany arányok az emberi alakban

Zeising görög szobrokon tesztelte elméletének érvényességét. Ő dolgozta ki a legrészletesebben Apollo Belvedere arányait. Görög vázák, különböző korok építészeti szerkezetei, növények, állatok, madártojások, zenei hangok, költői méter. Zeising definíciót adott az aranymetszésnek, és megmutatta, hogyan fejeződik ki egyenes szakaszokban és számokban. Amikor megkapták a szegmensek hosszát kifejező számokat, Zeising úgy látta, hogy ezek egy Fibonacci-sorozatot alkotnak, amely a végtelenségig folytatható egyik vagy másik irányban. Következő könyve az „Arany Division as the Basic Morphological Law in Nature and Art” címet viselte. 1876-ban Oroszországban megjelent egy kis könyv, szinte brosúra, amely Zeising e munkáját ismerteti. A szerző a Yu.F.V. kezdőbetűk alatt keresett menedéket. Ez a kiadás egyetlen festményről sem tesz említést.

A 19. század végén - a 20. század elején. Számos tisztán formalista elmélet jelent meg az aranymetszés művészeti és építészeti alkotásokban való használatáról. A formatervezés és a műszaki esztétika fejlődésével az aranymetszés törvénye kiterjedt az autók, bútorok stb.

Fibonacci sorozat

A Pisai Leonardo olasz matematikus szerzetes, ismertebb nevén Fibonacci (Bonacci fia) neve közvetve összefügg az aranymetszés történetével. Sokat utazott keleten, megismertette Európát az indiai (arab) számokkal. 1202-ben jelent meg „Az abakusz könyve” (számlálótábla) matematikai munkája, amely az akkor ismert összes problémát összegyűjtötte. Az egyik probléma a következő volt: „Hány pár nyúl születik egy párból egy év alatt”. Erre a témára reflektálva Fibonacci a következő számsorokat építette fel:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 stb. számsorok. Fibonacci sorozatként ismert. A számsor sajátossága, hogy minden tagja, a harmadiktól kezdve, egyenlő az összeggel két előző 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 stb., és a sorozat szomszédos számainak aránya megközelíti az aranyosztás arányát. Tehát 21:34 = 0,617 és 34: 55 = 0,618. Ezt a kapcsolatot a szimbólum jelöli F. Csak ez az arány - 0,618: 0,382 - ad egy egyenes szakasz folyamatos aranyarányos felosztását, növelve vagy csökkentve azt a végtelenségig, amikor a kisebb szakasz a nagyobbhoz viszonyul, mint a nagyobb az egészhez.

Fibonacci a kereskedelem gyakorlati szükségleteivel is foglalkozott: hány súlyszámmal lehet a legkevesebbet lemérni egy terméket? Fibonacci bizonyítja, hogy az optimális súlyrendszer: 1, 2, 4, 8, 16...

Általánosított aranymetszés

A Fibonacci-sorozat csak matematikai incidens maradhatott volna, ha nem az a tény, hogy a növény- és állatvilág aranyfelosztásának minden kutatója, a művészetről nem is beszélve, változatlanul ehhez a sorozathoz érkezett, mint az arany törvényének számtani kifejezésére. osztály.

A tudósok folytatták a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletének aktív fejlesztését. Yu. Matiyasevics Fibonacci számok segítségével megoldja Hilbert 10. feladatát. Elegáns módszerek vannak kialakulóban számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására a Fibonacci-számok és az aranymetszés segítségével. Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.

Ezen a területen az egyik vívmány az általánosított Fibonacci-számok és az általánosított aranymetszés felfedezése.

A Fibonacci sorozat (1, 1, 2, 3, 5, 8) és az általa felfedezett „bináris” súlysorok 1, 2, 4, 8, 16... első ránézésre teljesen más. De a felépítésük algoritmusai nagyon hasonlóak egymáshoz: az első esetben minden szám az előző szám összege önmagával 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., a másodikban az előző két szám összege: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2... Megtalálható-e az összeg matematikai képlet, amelyből a „bináris” sorozatot és a Fibonacci sorozatot is megkapjuk? Vagy talán ez a képlet olyan új numerikus halmazokat ad, amelyek néhány új egyedi tulajdonsággal rendelkeznek?

Valóban, állítsuk be a numerikus paramétert S, amely tetszőleges értéket vehet fel: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tekintsünk egy számsort, S melynek első tagjai közül + 1 egység, a továbbiak mindegyike egyenlő az előző két tagjának összegével, és az előzőtől elválasztva S lépések. Ha n Ennek a sorozatnak a tagját φ S ( n), akkor megkapjuk általános képletφ S ( n) = φ S ( n-1) + φ S ( n - S - 1).

Nyilvánvaló, hogy mikor S= 0 ebből a képletből egy „bináris” sorozatot kapunk, azzal S= 1 - Fibonacci sorozat, vele S= 2, 3, 4. új számsorok, amelyeket hívunk S-Fibonacci számok.

BAN BEN Általános nézet aranysárga S-arány az aranyegyenlet pozitív gyökere S-szakaszok x S+1 - x S - 1 = 0.

Könnyű megmutatni, hogy mikor S= 0, a szakaszt fel kell osztani, és mikor S= 1 - az ismerős klasszikus aranymetszés.

Szomszédok közötti kapcsolatok S- A Fibonacci számok abszolút matematikai pontossággal esnek egybe az arany határértékében S- arányok! A matematikusok ilyenkor azt mondják, hogy arany S-a szakaszok numerikus invariánsok S-Fibonacci számok.

Az arany létezését megerősítő tények S-szakaszok a természetben, idézi a fehérorosz tudós, E.M. Soroko a „Rendszerek strukturális harmóniája” című könyvében (Minszk, „Tudomány és technológia”, 1984). Kiderül például, hogy a jól tanulmányozott bináris ötvözetek csak akkor rendelkeznek speciális, kifejezett funkcionális tulajdonságokkal (hőstabil, kemény, kopásálló, oxidációnak ellenálló stb.), ha az eredeti komponensek fajsúlya összefügg egymással. az egyik arany által S- arányok. Ez lehetővé tette a szerző számára, hogy felállítsa azt a hipotézist, hogy az arany S-a szakaszok az önszervező rendszerek numerikus invariánsai. Kísérletileg megerősítve ez a hipotézis alapvető jelentőségű lehet a szinergetika – egy új tudományterület, amely az önszerveződő rendszerekben zajló folyamatokat vizsgálja – fejlődésében.

Arany kódok használata S-az arányok bármely valós számmal kifejezhetők az arany hatványainak összegeként S-arányok egész együtthatókkal.

Az alapvető különbség a számok kódolásának e módszere között az, hogy az új kódok alapjai arany színűek. S-arányok, azzal S> 0 irracionális számoknak bizonyulnak. Így az irracionális alapokkal rendelkező új számrendszerek a racionális és irracionális számok közötti kapcsolatok történelmileg kialakult hierarchiáját „fejtől talpig” helyezik. A tény az, hogy a természetes számokat először „fedezték fel”; akkor arányaik racionális számok. És csak később - miután a pitagoreusok összemérhetetlen szegmenseket fedeztek fel - születtek irracionális számok. Például a decimális, quináris, bináris és más klasszikus helyzeti számrendszerekben a természetes számokat egyfajta alapelvként választották - 10, 5, 2 -, amelyből bizonyos szabályok szerint az összes többi természetes szám, valamint a racionális szám. és irracionális számokat szerkesztettek.

A létező jelölési módszerek egyfajta alternatívája egy új, irracionális rendszer, mint alapelv, melynek kezdete egy irracionális szám (amely, emlékezzünk vissza, az aranymetszés egyenletének gyökere); más valós számok már kifejeződnek rajta.

Ilyen számrendszerben bármely természetes szám mindig végesként ábrázolható – és nem végtelenként, ahogy korábban gondoltuk! - bármely arany fokozatának összege S- arányok. Ez az egyik oka annak, hogy az „irracionális” aritmetika, amely elképesztő matematikai egyszerűséggel és eleganciával rendelkezik, úgy tűnik, felszívódik. legjobb tulajdonságait klasszikus bináris és Fibonacci aritmetika.

A természetben való képződés alapelvei

Minden, ami valamilyen formát öltött, kialakult, nőtt, igyekezett helyet foglalni a térben és megőrizni önmagát. Ez a vágy főként kétféleképpen valósul meg - felfelé növekszik vagy elterjed a föld felszínén, és spirálban csavarodik.

A héj spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel rövidebb hosszt kap. Egy kicsi, tíz centiméteres kagylón 35 cm hosszú spirál van.A spirálok nagyon gyakoriak a természetben. Az aranymetszés ötlete hiányos lesz, ha a spirálról nem beszélünk.

Rizs. 12. Archimedes spirál

A spirálisan felgöndörödött kagyló alakja felkeltette Arkhimédész figyelmét. Tanulmányozta, és kidolgozta a spirál egyenletét. Az egyenlet szerint megrajzolt spirált az ő nevén nevezik. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a technológiában.

Goethe is hangsúlyozta a természet spiralitásra való hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen észlelték. A spirál napraforgómag, fenyőtoboz, ananász, kaktuszok stb. elrendezésében volt látható. Botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a Fibonacci sorozat a levelek elrendezésében egy ágon (phylotaxis), a napraforgómagban és a fenyőtobozban nyilvánul meg, ezért az aranymetszés törvénye megnyilvánul. A pók spirálmintában szövi hálóját. A hurrikán spirálként pörög. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős hélixben van csavarva. Goethe a spirált az „élet görbéjének” nevezte.

Az út menti gyógynövények között nő egy figyelemre méltó növény - a cikória. Nézzük meg közelebbről. A fő szárból hajtás keletkezett. Az első levél ott volt.

Rizs. 13. Cikória

A hajtás erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de ezúttal rövidebb, mint az első, ismét kilökődik a térbe, de kisebb erővel, egy még kisebb méretű levelet enged ki és ismét kilökődik . Ha az első kibocsátást 100 egységnek vesszük, akkor a második 62 egység, a harmadik 38, a negyedik 24 stb. A szirmok hossza is az arany aránytól függ. A növekedés és a tér meghódítása során a növény megőrizte bizonyos arányait. Növekedésének impulzusai az aranymetszés arányában fokozatosan csökkentek.

Rizs. 14.Élénk gyík

Első pillantásra a gyík olyan arányokkal rendelkezik, amelyek kellemesek a szemünk számára - a farka hossza a test többi részének hosszához kapcsolódik, 62-38.

Mind a növényi, mind az állati világban kitartóan áttör a természet formáló hajlama - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg.

A természet szimmetrikus részekre és arany arányokra osztott. A részek az egész szerkezetének ismétlődését tárják fel.

Rizs. 15. madártojás

A nagy Goethe költő, természettudós és művész (akvarellben rajzolt és festett) az organikus testek formájának, kialakulásának és átalakulásának egységes tanának megalkotásáról álmodozott. Ő vezette be a morfológia kifejezést a tudományos használatba.

Pierre Curie a század elején számos mélyreható gondolatot fogalmazott meg a szimmetriával kapcsolatban. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni anélkül, hogy ne vesszük figyelembe a környezet szimmetriáját.

Az „arany” szimmetria mintái energiaátmenetekben nyilvánulnak meg elemi részecskék, egyesek szerkezetében kémiai vegyületek, bolygó- és űrrendszerek, az élő szervezetek génstruktúráiban. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, az egyes emberi szervek és a test egészének szerkezetében léteznek, és megnyilvánulnak az agy bioritmusában és működésében, valamint a vizuális észlelésben.

Aranymetszés és szimmetria

Az aranymetszés önmagában, külön-külön, a szimmetriával való kapcsolat nélkül nem tekinthető. A nagy orosz krisztallográfus G.V. Wulf (1863...1925) az aranymetszetet a szimmetria egyik megnyilvánulásának tartotta.

Az aranyfelosztás nem az aszimmetria megnyilvánulása, hanem valami ellentéte a szimmetriával, a modern elképzelések szerint az aranyfelosztás aszimmetrikus szimmetria. A szimmetria tudománya olyan fogalmakat foglal magában, mint pl statikusÉs dinamikus szimmetria. A statikus szimmetria a békét és az egyensúlyt, míg a dinamikus szimmetria a mozgást és a növekedést jellemzi. Így a természetben a statikus szimmetriát a kristályok szerkezete képviseli, a művészetben pedig a békét, az egyensúlyt és a mozdulatlanságot jellemzi. A dinamikus szimmetria aktivitást fejez ki, mozgást, fejlődést, ritmust jellemez, az élet bizonyítéka. A statikus szimmetriát egyenlő szegmensek és egyenlő értékek jellemzik. A dinamikus szimmetriát a szegmensek növekedése vagy csökkenése jellemzi, és ez egy növekvő vagy csökkenő sorozat aranymetszetének értékeiben fejeződik ki.

Ősidők óta foglalkoztatja az embereket az a kérdés, hogy az olyan megfoghatatlan dolgok, mint a szépség és a harmónia, alávethetők-e bármilyen matematikai számításnak. Természetesen a szépség minden törvényét nem lehet néhány képletbe foglalni, de a matematika tanulmányozásával felfedezhetjük a szépség néhány összetevőjét - az aranymetszést. Feladatunk, hogy kiderítsük, mi az aranymetszés, és megállapítsuk, hol találta meg az emberiség az aranymetszés alkalmazását.

Valószínűleg észrevette, hogy a környező valóság tárgyait és jelenségeit eltérően kezeljük. Lenni h tisztesség, bla h A formalitást és az aránytalanságot csúnyának tartjuk, és visszataszító benyomást keltenek. Az arányosság, célszerűség és harmónia jellemezte tárgyakat és jelenségeket pedig szépnek érzékeljük, csodálatot, örömöt ébresztenek bennünk, feldobják a kedvünket.

Tevékenysége során az ember folyamatosan találkozik olyan tárgyakkal, amelyek az aranymetszésen alapulnak. Vannak dolgok, amiket nem lehet megmagyarázni. Tehát odajössz egy üres padra, és leülsz rá. hova fogsz ülni? Középen? Vagy talán a széléről? Nem, nagy valószínűséggel sem az egyik, sem a másik. Úgy fog ülni, hogy a pad egyik részének a másikhoz viszonyított aránya körülbelül 1,62 legyen. Egyszerű dolog, teljesen ösztönös... A padon ülve reprodukáltad az „aranymetszést”.

Az aranymetszés már az ókori Egyiptomban és Babilonban, Indiában és Kínában ismert volt. A nagy Pythagoras titkos iskolát hozott létre, ahol az „aranymetszés” misztikus lényegét tanulmányozták. Eukleidész használta geometriája, Phidias pedig halhatatlan szobrai megalkotásakor. Platón azt mondta, hogy az Univerzum az „aranymetszés” szerint van elrendezve. Arisztotelész talált egyezést az „aranymetszés” és az etikai törvény között. Az „aranymetszés” legmagasabb harmóniáját Leonardo da Vinci és Michelangelo hirdeti majd, mert a szépség és az „aranymetszés” egy és ugyanaz. A keresztény misztikusok pedig az „aranymetszés” pentagramjait rajzolják majd kolostoraik falára, az Ördög elől menekülve. Ugyanakkor a tudósok - Paciolitól Einsteinig - keresni fognak, de soha nem találják meg a pontos jelentését. Lenni h a tizedesvessző utáni utolsó sor 1,6180339887... Furcsa, titokzatos, megmagyarázhatatlan dolog - ez az isteni arány misztikusan minden élőlényt kísér. Az élettelen természet nem tudja, mi az „aranymetszés”. De biztosan látni fogja ezt az arányt a tengeri kagylók íveiben, a virágok alakjában, a bogarak megjelenésében és a gyönyörű emberi testben. Minden élő és minden szép - minden engedelmeskedik az isteni törvénynek, melynek neve „aranymetszés”. Tehát mi az "aranymetszés"? Mi ez a tökéletes, isteni kombináció? Talán ez a szépség törvénye? Vagy még mindig... misztikus titok? Tudományos jelenség ill etikai elv? A válasz még mindig ismeretlen. Pontosabban - nem, ez ismert. Az „arany arány” mindkettő. Csak nem külön-külön, hanem egyszerre... És ez az igazi rejtélye, nagy titka.

Nehéz lehet megbízható mértéket találni objektív értékelés maga a szépség, és pusztán a logikával nem lehet boldogulni. Itt azonban segíteni fog azoknak a tapasztalata, akiknek a szépség keresése volt az élet értelme, akik ezt hivatásukká tették. Ezek mindenekelőtt a művészet emberei, ahogy mi nevezzük őket: művészek, építészek, szobrászok, zenészek, írók. De ezek emberek egzakt tudományok, mindenekelőtt a matematikusok.

A szemben jobban bízva, mint más érzékszervekben, az ember először megtanulta megkülönböztetni a körülötte lévő tárgyakat alakjuk alapján. Egy tárgy alakja iránti érdeklődést előidézheti a létfontosságú szükség, vagy okozhatja a forma szépsége. A szimmetria és az aranymetszés kombinációján alapuló forma hozzájárul a legjobb vizuális érzékeléshez, valamint a szépség és harmónia érzésének megjelenéséhez. Az egész mindig részekből áll, a különböző méretű részek bizonyos viszonyban állnak egymással és az egésszel. Az aranymetszés elve az egész és részei szerkezeti és funkcionális tökéletességének legmagasabb megnyilvánulása a művészetben, a tudományban, a technikában és a természetben.

ARANYARÁNY – HARMÓNIKUS ARÁNY

A matematikában az arány két arány egyenlősége:

Az AB egyenes szakasz két részre osztható a következő módokon:

• két egyenlő részre - AB:AC=AB:BC;
• két minden tekintetben nem egyenlő részre (az ilyen részek nem alkotnak arányokat);
• így ha AB:AC=AC:BC.

Az utolsó az aranyfelosztás (szakasz).

Az aranymetszés egy szegmens olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szegmens a nagyobb részhez kapcsolódik, mint ahogy maga a nagyobb rész a kisebbhez, vagyis a kisebbik szegmens a nagyobbhoz kapcsolódik. az egyik, mint a nagyobb az egészhez

a:b=b:c vagy c:b=b:a.

Az aranymetszés geometriai képe

Az aranymetszés gyakorlati megismerése azzal kezdődik, hogy egy egyenes szakaszt arany arányban osztunk el egy iránytű és vonalzó segítségével.

Egyenes szakasz felosztása az aranymetszés segítségével. BC=1/2AB; CD=BC

A B pontból visszaáll az AB felével egyenlő merőleges. A kapott C pontot egy egyenes köti össze az A ponttal. Az így kapott egyenesen egy BC szakaszt fektetünk le, amely a D ponttal végződik. Az AD szakasz átkerül az AB egyenesre. A kapott E pont arany arányban osztja fel az AB szakaszt.

Az aranymetszés szegmenseit anélkül fejezzük ki h a végső tört AE=0,618..., ha AB-t egynek vesszük, BE=0,382... Gyakorlati célokra gyakran 0,62 és 0,38 közelítő értéket használnak. Ha az AB szakaszt 100 résznek vesszük, akkor a szakasz nagyobb része 62, a kisebb része pedig 38 rész.

Az aranymetszés tulajdonságait a következő egyenlet írja le:

Ennek az egyenletnek a megoldása:

Az aranymetszés tulajdonságai romantikus titokzatos aurát és szinte misztikus generációt teremtettek e szám köré. Például egy szabályos ötágú csillagban minden szakaszt az azt metsző szegmenssel osztanak el az aranymetszés arányában (azaz a kék szegmens és a zöld, a piros és a kék, a zöld és az ibolya közötti arány 1,618). .

MÁSODIK ARANYARÁNY

Ez az arány az építészetben található.

A második aranymetszés építése

A felosztás a következőképpen történik. Az AB szegmens az aranymetszés arányában oszlik meg. A C pontból egy merőleges CD kerül visszaállításra. Az AB sugár a D pont, amelyet egy egyenes köt össze az A ponttal. A derékszögű ACD-t ketté kell osztani. Egy egyenest húzunk a C pontból az AD egyenessel való metszéspontig. Az E pont az AD szakaszt 56:44 arányban osztja fel.

Egy téglalap felosztása a második aranymetszés vonalával

Az ábra a második aranymetszés vonalának helyzetét mutatja. Az aranymetszés vonala és a téglalap középső vonala között félúton található.

ARANY HÁROMSZÖG (pentagramma)

A növekvő és csökkenő sorozatok arany arányának szegmenseinek megtalálásához használhatja a pentagramot.

Szabályos ötszög és pentagram felépítése

Pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell építeni. Építésének módját Albrecht Durer német festő és grafikus dolgozta ki. Legyen O a kör középpontja, A egy pont a körön, E pedig az OA szakasz felezőpontja. Az O pontban visszaállított OA sugárra merőleges metszi a kört a D pontban. Iránytű segítségével ábrázolja az átmérőn a CE=ED szakaszt. A körbe írt szabályos ötszög oldalhossza egyenlő DC-vel. A DC szakaszokat ábrázoljuk a körön, és öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásához. Az ötszög sarkait átlókkal összekötjük egymással, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekötött szegmensekre.

Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszöget képvisel. Oldalai a csúcson 36 0 -os szöget zárnak be, az oldalra fektetett alap pedig az aranymetszés arányában osztja fel.

Az AB egyenest húzzuk. Az A pontból háromszor fektetünk rá egy tetszőleges méretű O szakaszt, a kapott P ponton keresztül merőlegest húzunk az AB egyenesre, a P pont jobb és bal oldali merőlegesén O szakaszokat rakunk le. A kapott d és d 1 pontokat egyenesekkel kössük össze az A ponttal. A dd 1 szakaszt az Ad 1 egyenesre tesszük, így kapjuk a C pontot. Az Ad 1 egyenest az aranymetszet arányában osztotta fel. Az Ad 1 és dd 1 sorokat egy „arany” téglalap felépítésére használják.

Az arany háromszög építése

AZ ARANYARÁNY TÖRTÉNETE

Valójában a Kheopsz-piramis, a templomok, a Tutanhamon sírjából származó háztartási cikkek és ékszerek arányai azt mutatják, hogy az egyiptomi kézművesek az arany felosztás arányait alkalmazták létrehozásuk során. Le Corbusier francia építész megállapította, hogy I. Seti fáraó abüdoszi templomának domborművében és a Ramszesz fáraót ábrázoló domborműben az alakzatok arányai megfelelnek az aranyoszlop értékeinek. Khesira építész, akit a róla elnevezett sírból származó fatábla domborművön ábrázoltak, mérőműszereket tart a kezében, amelyekben az arany osztás arányait rögzítik.

A görögök képzett geométerek voltak. Még számtant is tanítottak gyermekeiknek geometriai alakzatok segítségével. A Pitagorasz-négyzet és ennek a négyzetnek az átlója volt az alapja a dinamikus téglalapok felépítésének.

Dinamikus téglalapok

Platón is tudott az aranyosztásról. A püthagorasz Tímea Platón azonos nevű dialógusában ezt mondja: „Lehetetlen, hogy két dolog tökéletesen egyesüljön egy harmadik nélkül, mert meg kell jelennie közöttük valaminek, ami összetartja őket. Ez a legjobban arányossággal valósítható meg, mert ha három számnak az a tulajdonsága, hogy az átlag a kisebbhez, mint a nagyobb az átlaghoz, és fordítva, a kisebb az átlaghoz, mint az átlag a nagyobbhoz, akkor a az utóbbi és az első átlagos lesz, és az átlagos - az első és az utolsó. Így minden szükséges ugyanaz lesz, és mivel ugyanaz lesz, ez alkotja az egészet.” Platón kétféle háromszögből építi fel a földi világot: egyenlő szárú és nem egyenlő szárú. A leggyönyörűbb derékszögű háromszög olyannak tekinti, amelyben a befogó kétszer akkora, mint a kisebbik láb (egy ilyen téglalap a babiloniak egyenlő oldalú alapfigurájának fele, aránya 1:3 1/2, ami eltér az aranytól aránya körülbelül 1/25, és a Timerding „az aranymetszet riválisának” nevezi. A háromszögek segítségével Platón négy szabályos poliédert épít fel, négyhez társítva őket földi elemek(föld, víz, levegő és tűz). És az öt létező szabályos poliéder közül csak az utolsó – a dodekaéder, amelyből mind a tizenkettő szabályos ötszög – állítja magát az égi világ szimbolikus képének.

IKOSAÉDER ÉS DODEKAÉDRON

A dodekaéder (vagy ahogy feltételezték, maga az Univerzum, a négy elem e kvintesszenciája, amelyet rendre a tetraéder, az oktaéder, az ikozaéder és a kocka szimbolizál) felfedezésének megtiszteltetése Hippasuszt illeti, aki később hajótörésben halt meg. Ez az ábra valóban megragadja az aranymetszés sok összefüggését, ezért az utóbbit jelölték ki a főszerep a mennyei világban, amihez később Luca Pacioli kisebbik testvér ragaszkodott.

A Parthenon ókori görög templomának homlokzata arany arányú. Az ásatások során olyan iránytűket fedeztek fel, amelyeket az ókori világ építészei és szobrászai használtak. A pompei iránytű (nápolyi múzeum) az arany osztás arányait is tartalmazza.

Antik aranymetszésű iránytű

Az ókori irodalomban, amely eljutott hozzánk, az aranyfelosztást először Eukleidész Elemeiben említették. Az Elemek 2. könyvében az aranyfelosztás geometriai konstrukciója szerepel. Eukleidész után az aranyfelosztás tanulmányozását Hypsicles (Kr. e. 2. század), Pappus (Kr. u. 3. század) és mások végezték, a középkori Európában Eukleidész Elemeinek arab fordítása révén ismerkedtek meg az aranyfelosztással. J. Campano navarrai fordító (III. század) megjegyzéseket fűzött a fordításhoz. Az arany hadosztály titkait féltékenyen őrizték és szigorú titokban tartották. Csak a beavatottak ismerték őket.

A középkorban a pentagramot démonizálták (ahogy az ókori pogányságban sok minden isteninek számított), és az okkult tudományokban talált menedéket. A reneszánsz azonban ismét napvilágra hozza a pentagrammát és az aranymetszetet is. Így a humanizmus meghonosodásának abban az időszakában terjedt el az emberi test felépítését leíró diagram.

Leonardo da Vinci is többször folyamodott egy ilyen képhez, lényegében egy pentagramot reprodukálva. Értelmezése: az emberi testnek isteni tökéletessége van, mert a benne rejlő arányok megegyeznek a fő mennyei alakkal. Leonardo da Vinci művész és tudós látta, hogy az olasz művészek sok tapasztalati tapasztalattal, de kevés tudással rendelkeznek. Fogant és elkezdett egy geometriáról szóló könyvet írni, de ekkor megjelent Luca Pacioli szerzetes könyve, és Leonardo feladta az ötletét. A kortársak és a tudománytörténészek szerint Luca Pacioli igazi fényes volt, Olaszország legnagyobb matematikusa a Fibonacci és Galilei közötti időszakban. Luca Pacioli Piero della Franceschi művész tanítványa volt, aki két könyvet írt, amelyek közül az egyik „A festészet perspektívájáról” címet viselte. A leíró geometria megalkotójának tartják.

Luca Pacioli tökéletesen megértette a tudomány jelentőségét a művészet számára.

1496-ban Moreau herceg meghívására Milánóba érkezett, ahol matematikáról tartott előadásokat. Leonardo da Vinci akkoriban Milánóban is dolgozott a morói udvarban. 1509-ben Velencében adták ki Luca Pacioli „Az isteni arányról” című könyvét (De divina proporcija, 1497, Velencében, 1509-ben) ragyogóan kivitelezett illusztrációkkal, ezért is gondolják, hogy Leonardo da Vinci készítette. A könyv az aranymetszés lelkes himnusza volt. Csak egy ilyen arány van, és az egyediség Isten legmagasabb tulajdonsága. Megtestesíti a szentháromságot. Ez az arány nem fejezhető ki elérhető számmal, rejtett és titkos marad, és maguk a matematikusok is irracionálisnak nevezik (ugyanúgy Istent sem lehet szavakkal meghatározni, megmagyarázni). Isten soha nem változik, és mindent mindenben és minden egyes részében képvisel, így az aranymetszés minden folytonos és meghatározott mennyiségre (függetlenül attól, hogy nagy vagy kicsi) ugyanaz, sem megváltoztatható, sem megváltoztatható. ok. Isten életre hívta a mennyei erényt, más néven ötödik szubsztanciát, a segítségével és négy másik egyszerű testtel (négy elem - föld, víz, levegő, tűz), és ezek alapján életre hívott minden más természeti dolgot; így a mi szakrális arányunk, Platón a Tímeában, formális létet ad magának az égnek, mert neki tulajdonítják a dodekaédernek nevezett test megjelenését, amely nem konstruálható meg az aranymetszés nélkül. Ezek Pacioli érvei.

Leonardo da Vinci is nagy figyelmet fordított az aranyosztály tanulmányozására. Szabályos ötszögekből kialakított sztereometrikus test metszeteit készítette, és minden alkalommal arany osztású téglalapokat kapott. Ezért adta ennek a felosztásnak az aranymetszés nevet. Tehát továbbra is a legnépszerűbb.

Ugyanakkor Európa északi részén, Németországban Albrecht Dürer ugyanezen a problémákon dolgozott. Felvázolja az arányokról szóló értekezés első változatának bevezetőjét. Dürer ezt írja: „Szükséges, hogy valaki, aki tud valamit, megtanítsa azt másoknak, akiknek szükségük van rá. Ez az, amit elhatároztam.”

Dürer egyik leveléből ítélve Olaszországban találkozott Luca Paciolival. Albrecht Durer részletesen kidolgozza az emberi test arányainak elméletét. Dürer kapcsolatrendszerében fontos helyet tulajdonított az aranymetszetnek. Az ember magasságát arany arányban osztja fel az öv vonala, valamint a leengedett kezek középső ujjainak hegyén keresztül húzott vonal, az arc alsó része a száj stb. A Dürer-féle arányos iránytű jól ismert.

A 16. század nagy csillagásza. Johannes Kepler az aranymetszetet a geometria egyik kincsének nevezte. Elsőként hívta fel a figyelmet az aranyarány botanika (növénynövekedés és szerkezetük) fontosságára.

Kepler az aranyarányt önmagától folytatódónak nevezte. „Olyan szerkezetű – írta –, hogy ennek a végtelen aránynak a két legalacsonyabb tagja összeadja a harmadik tagot, és bármely két utolsó tag, ha összeadjuk, a következő tag, és ugyanaz az arány marad a végtelenségig."

Az aranyarányú szegmenssorozat felépítése történhet mind a növekedés (növekvő sorozat), mind a csökkenés irányában (csökkenő sorozat).

Ha tetszőleges hosszúságú egyenesen van, tegye félre a szakaszt m , tegye mellé a szegmenst M . E két szegmens alapján építjük fel a növekvő és a csökkenő sorozatok arany arányának szegmenseinek skáláját.

Arany arányú szegmensek skála felépítése

A következő évszázadokban az aranyarány szabálya akadémiai kánonná változott, és amikor idővel a művészetben megkezdődött az akadémiai rutin elleni küzdelem, a küzdelem hevében „kidobták a babát a fürdővízzel”. Az aranymetszés a 19. század közepén került újra „felfedezésre”.

Az aranymetszés német kutatója, Zeising professzor 1855-ben publikálta „Esztétikai tanulmányok” című munkáját. Zeisinggel pontosan az történt, aminek elkerülhetetlenül meg kell történnie egy olyan kutatóval, aki egy jelenséget olyannak tekint, anélkül, hogy más jelenségekkel lenne összefüggésben. Abszolutizálta az aranymetszet arányát, egyetemesnek nyilvánítva a természet és a művészet minden jelenségére. Zeisingnek számos követője volt, de voltak olyan ellenzők is, akik az arányok tanát „matematikai esztétikának” nyilvánították.

Zeising óriási munkát végzett. Körülbelül kétezer emberi testet mért meg, és arra a következtetésre jutott, hogy az aranymetszés az átlagos statisztikai törvényt fejezi ki. A test köldökpont szerinti felosztása az aranymetszés legfontosabb mutatója. A férfi test arányai a 13:8 = 1,625 átlagos arányon belül ingadoznak, és valamivel közelebb állnak az aranymetszethez, mint a női test arányai, amelyekhez viszonyítva az arány átlagos értéke 8-as arányban fejeződik ki. :5 = 1,6. Egy újszülöttnél ez az arány 1:1, 13 évesen 1,6, 21 évesen pedig megegyezik a férfiével. Az aranymetszés arányai a test más részeihez képest is megjelennek - a váll, az alkar és a kéz, a kéz és az ujjak hosszához képest.

Zeising görög szobrokon tesztelte elméletének érvényességét. Ő dolgozta ki a legrészletesebben Apollo Belvedere arányait. Görög vázákat, különböző korok építészeti szerkezeteit, növényeket, állatokat, madártojásokat, zenei hangokat és költői métereket vizsgáltak. Zeising definíciót adott az aranymetszésnek, és megmutatta, hogyan fejeződik ki egyenes szakaszokban és számokban. Amikor megkapták a szegmensek hosszát kifejező számokat, Zeising úgy látta, hogy ezek egy Fibonacci-sorozatot alkotnak, amely a végtelenségig folytatható egyik vagy másik irányban. Következő könyve az „Arany Division as the Basic Morphological Law in Nature and Art” címet viselte. 1876-ban Oroszországban megjelent egy kis könyv, szinte brosúra, amely Zeising e munkáját ismerteti. A szerző a Yu.F.V. kezdőbetűk alatt keresett menedéket. Ez a kiadás egyetlen festményről sem tesz említést.

A 19. század végén - a 20. század elején. Számos tisztán formalista elmélet jelent meg az aranymetszés művészeti és építészeti alkotásokban való használatáról. A formatervezés és a műszaki esztétika fejlődésével az aranymetszés törvénye kiterjedt az autók, bútorok stb.

ARANYARÁNY ÉS SZIMMETRIA

Az aranymetszés önmagában, külön-külön, a szimmetriával való kapcsolat nélkül nem tekinthető. A nagy orosz krisztallográfus G.V. Wolf (1863-1925) az aranymetszetet a szimmetria egyik megnyilvánulásának tartotta.

Az aranyfelosztás nem az aszimmetria megnyilvánulása, hanem valami ellentéte a szimmetriával. A modern fogalmak szerint az aranyfelosztás aszimmetrikus szimmetria. A szimmetria tudománya olyan fogalmakat foglal magában, mint a statikus és a dinamikus szimmetria. A statikus szimmetria a békét és az egyensúlyt, míg a dinamikus szimmetria a mozgást és a növekedést jellemzi. Így a természetben a statikus szimmetriát a kristályok szerkezete képviseli, a művészetben pedig a békét, az egyensúlyt és a mozdulatlanságot jellemzi. A dinamikus szimmetria aktivitást fejez ki, mozgást, fejlődést, ritmust jellemez, az élet bizonyítéka. A statikus szimmetriát egyenlő szegmensek és egyenlő értékek jellemzik. A dinamikus szimmetriát a szegmensek növekedése vagy csökkenése jellemzi, és ez egy növekvő vagy csökkenő sorozat aranymetszetének értékeiben fejeződik ki.

FIBONACCI SOROZAT

A pisai Leonardo olasz matematikus szerzetes, ismertebb nevén Fibonacci neve közvetve összefügg az aranymetszés történetével. Sokat utazott keleten, és az arab számokat bevezette Európába. 1202-ben jelent meg „Az abakusz könyve” (számlálótábla) matematikai munkája, amely az akkor ismert összes problémát összegyűjtötte.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 stb. számsorok. Fibonacci sorozatként ismert. A számsor sajátossága, hogy minden tagja a harmadiktól kezdve egyenlő az előző két 2+3=5 összegével; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 stb., és a sorozat szomszédos számainak aránya megközelíti az aranyosztás arányát. Tehát 21:34 = 0,617 és 34:55 = 0,618. Ezt az arányt az F szimbólum jelöli. Csak ez az arány - 0,618:0,382 - ad egy egyenes szakasz folyamatos aranyarányos felosztását, növelve vagy csökkentve azt a végtelenségig, amikor a kisebb szakasz a nagyobbhoz kapcsolódik a nagyobb az egésznek.

Amint az alsó ábrán látható, az egyes ujjízületek hosszát a következő ízület hosszához viszonyítja az F arány. Ugyanez az összefüggés minden kéz- és lábujjban megjelenik. Ez a kapcsolat valahogy szokatlan, mert az egyik ujj hosszabb, mint a másik anélkül, hogy látható minta lenne, de ez nem véletlen, ahogy az emberi szervezetben sem véletlen minden. Az ujjakon lévő távolságok, amelyeket A-tól B-ig C-től D-ig E-ig jelölnek, mind az F arányban vannak összefüggésben egymással, csakúgy, mint az F-től G-től H-ig tartó ujjak falánjai.

Vessen egy pillantást erre a béka csontvázára, és nézze meg, hogy az egyes csontok hogyan illeszkednek az F arányú mintázathoz, akárcsak az emberi testben.

ÁLTALÁNOS ARANYARÁNY

A tudósok folytatták a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletének aktív fejlesztését. Yu. Matiyasevics Fibonacci számok segítségével megoldja Hilbert 10. feladatát. Számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására születnek módszerek a Fibonacci-számok és az aranymetszés segítségével. Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.

Ezen a területen az egyik vívmány az általánosított Fibonacci-számok és az általánosított aranymetszés felfedezése.

Az általa felfedezett Fibonacci-sorozat (1, 1, 2, 3, 5, 8) és az általa felfedezett „bináris” súlysorok 1, 2, 4, 8 első pillantásra teljesen más. De a felépítésük algoritmusai nagyon hasonlóak egymáshoz: az első esetben minden szám az előző szám összege önmagával 2=1+1; 4=2+2..., a másodikban - ez az előző két szám összege 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Található-e általános matematikai képlet, amelyből a „bináris” jön létre » sorozat és Fibonacci sorozat? Vagy talán ez a képlet olyan új numerikus halmazokat ad, amelyek néhány új egyedi tulajdonsággal rendelkeznek?

Valóban, definiáljunk egy S numerikus paramétert, amely tetszőleges értéket vehet fel: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tekintsünk egy S+1 számsort, amelynek első tagja egyes, és mindegyik a rákövetkezők egyenlők az előző két tagjának összegével, és S lépéssel elválasztva az előzőtől. Ha n-edik tag Jelöljük ezt a sorozatot? S (n), akkor megkapjuk az általános képletet? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Nyilvánvaló, hogy ebből a képletből S=0-val egy „bináris” sorozatot kapunk, S=1-nél a Fibonacci-sort, S=2, 3, 4-vel. új számsorokat, amelyeket S-Fibonacci számoknak nevezünk. .

Általában az arany S-arány az arany S-metszet x S+1 -x S -1=0 egyenletének pozitív gyöke.

Könnyen kimutatható, hogy ha S = 0 a szakaszt felezik, ha pedig S = 1, akkor az ismert klasszikus aranymetszés jön létre.

A szomszédos Fibonacci S-számok arányai abszolút matematikai pontossággal esnek egybe az arany S-arányok határértékében! A matematikusok ilyen esetekben azt mondják, hogy az arany S-arányok a Fibonacci S-számok numerikus invariánsai.

Az arany S-szelvények természetben való létezését megerősítő tényeket a fehérorosz tudós, E.M. Soroko a „Rendszerek strukturális harmóniája” című könyvében (Minszk, „Tudomány és technológia”, 1984). Kiderül például, hogy a jól tanulmányozott bináris ötvözetek csak akkor rendelkeznek speciális, kifejezett funkcionális tulajdonságokkal (hőstabil, kemény, kopásálló, oxidációnak ellenálló stb.), ha az eredeti komponensek fajsúlya összefügg egymással. egyenként arany S-arányokból. Ez lehetővé tette a szerzőnek, hogy felállítsa azt a hipotézist, hogy az arany S-szelvények önszerveződő rendszerek numerikus invariánsai. Kísérletileg megerősítve ez a hipotézis alapvető jelentőségű lehet a szinergetika – egy új tudományterület, amely az önszerveződő rendszerekben zajló folyamatokat vizsgálja – fejlődésében.

Az arany S-aránykódok segítségével bármilyen valós számot kifejezhet arany S-arányok hatványainak összegeként egész együtthatókkal.

Az alapvető különbség a számkódolás ezen módja között az, hogy az új kódok alapjai, amelyek az arany S-arányok, akkor S>0 esetén irracionális számokká válnak. Így az irracionális alapokkal rendelkező új számrendszerek a racionális és irracionális számok közötti kapcsolatok történelmileg kialakult hierarchiáját „fejtől talpig” helyezik. A tény az, hogy a természetes számokat először „fedezték fel”; akkor arányaik racionális számok. És csak később, miután a pythagoreusok felfedezték az összemérhetetlen szegmenseket, születtek irracionális számok. Például a decimális, quináris, bináris és más klasszikus helyzeti számrendszerekben a természetes számokat egyfajta alapelvként választották: 10, 5, 2, amelyből bizonyos szabályok szerint az összes többi természetes szám, valamint a racionális szám. és irracionális számokat szerkesztettek.

A meglévő jelölési módok egyfajta alternatívája egy új, irracionális rendszer, amelyben a jelölés kezdetének alapvető alapjául egy irracionális számot (amely, emlékezzünk vissza az aranymetszés-egyenlet gyökerére) választanak; más valós számok már kifejeződnek rajta.

Egy ilyen számrendszerben bármely természetes szám mindig végesként ábrázolható – és nem végtelenként, ahogy korábban gondoltuk! — bármely arany S-arány hatványainak összege. Ez az egyik oka annak, hogy az „irracionális” aritmetika, amely elképesztő matematikai egyszerűséggel és eleganciával rendelkezik, úgy tűnik, magába szívta a klasszikus bináris és „Fibonacci” aritmetika legjobb tulajdonságait.

A TERMÉSZETBEN A FORMAALAKULÁS ELVEI

Minden, ami valamilyen formát öltött, formálódott, nőtt, igyekezett helyet foglalni a térben és megőrizni önmagát. Ez a vágy főként kétféleképpen valósul meg: felfelé nőve vagy a föld felszínén elterjedve és spirálban csavarodva.

A héj spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel rövidebb hosszt kap. Egy kicsi, tíz centiméteres kagylón 35 cm hosszú spirál van.A spirálok nagyon gyakoriak a természetben. Az aranymetszés ötlete hiányos lesz, ha a spirálról nem beszélünk.

A spirálisan felgöndörödött kagyló alakja felkeltette Arkhimédész figyelmét. Tanulmányozta, és levezette a spirál egyenletét. Az egyenlet szerint megrajzolt spirált az ő nevén nevezik. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a technológiában.

Goethe is hangsúlyozta a természet spiralitásra való hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen észlelték.

A spirál napraforgómag, fenyőtoboz, ananász, kaktuszok stb. elrendezésében volt látható. Botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a Fibonacci sorozat a levelek elrendezésében egy ágon (phylotaxis), a napraforgómagban és a fenyőtobozban nyilvánul meg, ezért az aranymetszés törvénye megnyilvánul. A pók spirál alakban szövi hálóját. A hurrikán spirálként pörög. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős hélixben van csavarva. Goethe a spirált az „élet görbéjének” nevezte.

Mandelbrot sorozat

Az Aranyspirál szorosan kapcsolódik a ciklusokhoz. A modern káosztudomány egyszerű, visszacsatolásos ciklikus műveleteket és az általuk generált, korábban ismeretlen fraktál alakzatokat tanulmányozza. A képen a híres Mandelbrot sorozat látható - egy oldal a szótárból h Julian-sorozatnak nevezett egyedi minták végtagjai. Egyes tudósok a Mandelbrot-sorozatot a genetikai kód sejtmagok. A szakaszok számának következetes növekedése olyan fraktálokat tár fel, amelyek művészi összetettségükben lenyűgözőek. És itt is vannak logaritmikus spirálok! Ez annál is fontosabb, mivel mind a Mandelbrot-sorozat, sem a Julian-sorozat nem az emberi elme találmánya. Platón prototípusainak területéről származnak. Ahogy R. Penrose orvos mondta: „olyanok, mint a Mount Everest”.

Az út menti gyógynövények között nő egy figyelemre méltó növény - a cikória. Nézzük meg közelebbről. A fő szárból hajtás keletkezett. Az első levél ott volt.

A hajtás erős kilökődést hajt végre az űrbe, megáll, kienged egy levelet, de ez az idő rövidebb, mint az első, ismét kilökődik a térbe, de kisebb erővel, kienged egy még kisebb méretű levelet és ismét kilökődik.

Ha az első kibocsátást 100 egységnek vesszük, akkor a második 62 egység, a harmadik 38, a negyedik 24 stb. A szirmok hossza is az arany aránytól függ. A növekedés és a tér meghódítása során a növény megőrizte bizonyos arányait. Növekedésének impulzusai az aranymetszés arányában fokozatosan csökkentek.

Cikória

Sok pillangónál a mellkasi és a hasi testrészek méretaránya megfelel az aranymetszésnek. Szárnyait összecsukva az éjszakai pillangó szabályos alakot alkot egyenlő oldalú háromszög. De ha kitárja a szárnyait, ugyanazt az elvet fogja látni, hogy a testet 2, 3, 5, 8-ra osztja. A szitakötő is az aranyarány törvényei szerint jön létre: a farok és a test hosszának aránya. egyenlő a teljes hossz és a farok hosszának arányával.

Első pillantásra a gyík olyan arányokkal rendelkezik, amelyek kellemesek a szemünknek - a farka hossza a test többi részének hosszához kapcsolódik, 62-38.

Élénk gyík

Mind a növényi, mind az állati világban kitartóan áttör a természet formáló hajlama - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg.

A természet szimmetrikus részekre és arany arányokra osztott. A részek az egész szerkezetének ismétlődését tárják fel.

Nagy érdeklődésre tart számot a madártojások formáinak tanulmányozása. Különböző formájuk két szélső típus között ingadozik: az egyik az aranymetszés téglalapjába írható, a másik egy 1,272 modulusú téglalapba (az aranymetszés gyökere)

A madártojás ilyen formái nem véletlenek, hiszen mára bebizonyosodott, hogy az aranymetszéssel leírt tojásforma megfelel a tojáshéj nagyobb szilárdsági jellemzőinek.

Az elefántok és a kihalt mamutok agyarai, az oroszlánok karmai és a papagájok csőrei logaritmikus alakúak, és egy spirálra hajlamos tengely alakjára emlékeztetnek.

Az élő természetben elterjedtek az „ötszögletű” szimmetrián alapuló formák (tengeri csillag, tengeri sünök, virágok).

Az aranymetszés minden kristály szerkezetében megtalálható, de a legtöbb kristály mikroszkopikusan kicsi, így szabad szemmel nem láthatjuk őket. A hópelyhek azonban, amelyek egyben vízkristályok is, jól láthatóak a szemünk számára. A hópelyheket alkotó összes gyönyörű figura, minden tengely, kör és geometriai alakzat a hópelyhekben szintén kivétel nélkül mindig az aranymetszés tökéletes tiszta képlete szerint épül fel.

A mikrokozmoszban mindenütt jelen vannak az arany arányok szerint felépített háromdimenziós logaritmikus formák. Például sok vírus háromdimenziós geometriai alakja egy ikozaédernek felel meg. A vírusok közül talán a leghíresebb az Adeno vírus. Az Adeno vírus fehérjehéja 252 egységnyi fehérjesejtből áll, amelyek meghatározott sorrendben vannak elrendezve. Az ikozaéder minden sarkában 12 egységnyi fehérjesejt található ötszögletű prizma formájában, és ezekből a sarkokból gerincszerű struktúrák nyúlnak ki.

Adeno vírus

A vírusok szerkezetének aranymetszetét először az 1950-es években fedezték fel. A londoni Birkbeck College tudósai, A. Klug és D. Kaspar. A Polyo vírus volt az első, amely logaritmikus formát jelenített meg. Ennek a vírusnak a formája hasonló a Rhino vírushoz.

Felmerül a kérdés: hogyan alkotnak a vírusok olyan bonyolult háromdimenziós formákat, amelyek szerkezetében az aranymetszés található, és amelyeket emberi elménkkel is elég nehéz megszerkeszteni? A vírusok ezen formáinak felfedezője, A. Klug virológus a következő megjegyzést fűzi hozzá: „Dr. Kaspar és én megmutattuk, hogy a vírus gömbhéjának a legoptimálisabb alakja a szimmetria, például az ikozaéder alakja. Ez a sorrend minimalizálja az összekötő elemek számát... A Buckminster Fuller geodéziai félgömb kockáinak többsége hasonló geometriai elven épül fel. Az ilyen kockák felszerelése rendkívül pontos és részletes magyarázati diagramot igényel, miközben az öntudatlan vírusok maguk építenek fel egy ilyen összetett héjat rugalmas, rugalmas fehérje sejtegységekből.

Klug megjegyzése ismét egy rendkívül nyilvánvaló igazságra emlékeztet: még egy mikroszkopikus élőlény szerkezetében is, amelyet a tudósok „az élet legprimitívebb formájának”, jelen esetben vírusnak minősítenek, világos terv és intelligens terv van megvalósítva. Ez a projekt tökéletességében és kivitelezési pontosságában összehasonlíthatatlan az emberek által készített legfejlettebb építészeti projektekkel. Például a zseniális építész, Buckminster Fuller által készített projektek.

A dodekaéder és ikozaéder háromdimenziós modelljei jelen vannak a radioláriumok (rayfish) egysejtű tengeri mikroorganizmusok vázának szerkezetében is, amelyek váza szilícium-dioxidból készül.

A radiolaristák nagyon kifinomult, szokatlan szépségű testüket alkotják. Alakjuk szabályos dodekaéder, melynek minden sarkából pszeudonyúlvány-szár és egyéb szokatlan formák-növések sarjadnak ki.

A nagy Goethe költő, természettudós és művész (akvarellben rajzolt és festett) az organikus testek formájának, kialakulásának és átalakulásának egységes tanának megalkotásáról álmodozott. Ő vezette be a morfológia kifejezést a tudományos használatba.

Pierre Curie a század elején számos mélyreható gondolatot fogalmazott meg a szimmetriával kapcsolatban. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni anélkül, hogy ne vesszük figyelembe a környezet szimmetriáját.

Az „arany” szimmetria törvényei az elemi részecskék energiaátmeneteiben, egyes kémiai vegyületek szerkezetében, bolygó- és kozmikus rendszerekben, élő szervezetek génszerkezetében nyilvánulnak meg. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, az egyes emberi szervek és a test egészének szerkezetében léteznek, és megnyilvánulnak az agy bioritmusában és működésében, valamint a vizuális észlelésben.

AZ EMBERI TEST ÉS AZ ARANYARÁNY

Az összes emberi csontot az aranymetszés arányában tartják. Arányok különböző részek testünk az aranymetszéshez nagyon közel álló szám. Ha ezek az arányok egybeesnek az aranymetszés képletével, akkor a személy megjelenése vagy teste ideális arányúnak tekinthető.

Arany arányok az emberi test egyes részein

Ha az emberi test középpontjának a köldökpontot vesszük, és mértékegységnek a lábfej és a köldökpont távolságát, akkor egy személy magassága 1,618-nak felel meg.

• a vállszinttől a fej búbjáig mért távolság és a fej mérete 1:1,618;
• a köldökpont és a fej búbja, valamint a vállmagasság és a fej búbja közötti távolság 1:1,618;
• a köldökpont távolsága a térdtől és a térdtől a lábfejig 1:1,618;
• távolság az álla hegyétől a hegyéig felső ajakés a felső ajak hegyétől az orrlyukakig 1:1,618;
• az arany arány tényleges pontos jelenléte az ember arcán a szépség eszménye az emberi tekintet számára;
• az állhegy és a szemöldök felső vonala, valamint a szemöldök felső vonala és a korona közötti távolság 1:1,618;
• arcmagasság/arcszélesség;
• az ajkak és az orr tövéhez való csatlakozási pont/orrhossz;
• arc magassága/távolsága az álla hegyétől az ajkak találkozási pontjáig;
• szájszélesség/orrszélesség;
• orrszélesség/orrlyukak közötti távolság;
• a pupillák közötti távolság/a szemöldökök közötti távolság.

Elég, ha közelebb hozod magadhoz a tenyeredet, és alaposan megnézed a mutatóujjadat, és azonnal megtalálod benne az aranymetszés képletét.

A kezünk minden ujja három falangból áll. Az ujj első két falánkjának hosszának összege az ujj teljes hosszához viszonyítva adja az aranymetszés számát (a hüvelykujj kivételével).

Ezenkívül a középső ujj és a kisujj aránya is megegyezik az aranymetszéssel.

Egy személynek 2 keze van, mindkét kéz ujjai 3 ujjból állnak (a hüvelykujj kivételével). Mindegyik kézen 5 ujj található, azaz összesen 10, de két két falanxos hüvelykujj kivételével csak 8 ujj jön létre az aranymetszés elve szerint. Míg mindezek a 2, 3, 5 és 8 számok Fibonacci-sorszámok.

Érdemes megjegyezni azt a tényt is, hogy a legtöbb ember számára a kinyújtott karok végei közötti távolság megegyezik a magasságával.

Az aranymetszés igazságai bennünk és a mi terünkben vannak. Az emberi tüdőt alkotó hörgők sajátossága az aszimmetriájukban rejlik. A hörgők két fő légútból állnak, amelyek közül az egyik (bal) hosszabb, a másik (jobb) rövidebb. Megállapítást nyert, hogy ez az aszimmetria a hörgők ágaiban, az összes kisebb légutakban folytatódik. Ezenkívül a rövid és hosszú hörgők hosszának aránya egyben az aranymetszés is, és egyenlő 1:1,618-cal.

Az emberi belső fülben található a Cochlea ("Csiga") nevű szerv, amely a hangrezgés továbbítását végzi. Ez a csontos szerkezet folyadékkal van megtöltve, és csiga alakú is, és stabil logaritmikus spirál alakú =73 0 43".

A vérnyomás a szív működése során változik. Legnagyobb értékét a szív bal kamrájában éri el a kompresszió (szisztolé) pillanatában. Az artériákban a szívkamrák szisztolájában a vérnyomás egy fiatal, egészséges emberben eléri a 115-125 Hgmm-nek megfelelő maximális értéket. A szívizom ellazulásának (diasztolé) pillanatában a nyomás 70-80 Hgmm-re csökken. A maximális (szisztolés) és a minimális (diasztolés) nyomás aránya átlagosan 1,6, azaz közel van az aranymetszethez.

Ha az aorta átlagos vérnyomását egységnek vesszük, akkor az aortában a szisztolés vérnyomás 0,382, a diasztolés nyomás pedig 0,618, azaz arányuk az aranyaránynak felel meg. Ez azt jelenti, hogy a szív munkája az időciklusokhoz és a vérnyomás változásaihoz képest ugyanazon elv, az aranyarány törvénye szerint optimalizálódik.

A DNS-molekula két függőlegesen összefonódó hélixből áll. Ezen spirálok mindegyikének hossza 34 angström, szélessége 21 angström. (1 angström a centiméter százmilliomod része).

A DNS-molekula hélix szakaszának szerkezete

Tehát a 21 és 34 a Fibonacci-számok sorozatában egymást követő számok, vagyis a DNS-molekula logaritmikus spiráljának hosszának és szélességének aránya az 1:1,618 aranymetszés képletét hordozza.

ARANYARÁNY A SZOBRÁSZBAN

Szobrászati ​​építmények, emlékművek a jelentős események megörökítésére, az utódok emlékezetében való megőrzésére híres emberek nevét, hőstettét, tetteit. Ismeretes, hogy már az ókorban is a szobrászat alapja az arányok elmélete volt. Az emberi testrészek közötti kapcsolatokat az aranymetszés képletével társították. Az „aranymetszet” arányai a harmónia és a szépség benyomását keltik, ezért a szobrászok ezt használták munkáik során. A szobrászok azt állítják, hogy a derék osztja meg a tökéletes emberi testet az „aranymetszés” viszonylatában. Például Apollo Belvedere híres szobra aranymetszetek szerint tagolt részekből áll. A nagy ókori görög szobrász, Phidias gyakran használta műveiben az „aranymetszés”-t. Közülük a leghíresebbek az olimposzi Zeusz szobra (amelyet a világ egyik csodájának tartottak) és az athéni Parthenon.

Apollo Belvedere szobrának aranyaránya ismert: az ábrázolt személy magasságát az aranymetszetben a köldökvonal osztja.

ARANYARÁNY AZ ÉPÍTÉSZETBEN

Az „aranymetszés”-ről szóló könyvekben megtalálható az a megjegyzés, hogy az építészetben, akárcsak a festészetben, minden a szemlélő helyzetétől függ, és ha egy épületben az egyik oldalról egyes arányok az „aranymetszet”-et alkotják, akkor más nézőpontból másképp fognak kinézni. Az „Arany arány” a legnyugodtabb arányt adja az egyes hosszúságok méreteinek.

Az ókori görög építészet egyik legszebb alkotása a Parthenon (Kr. e. V. század).

Az ábrákon számos, az aranymetszéshez kapcsolódó mintázat látható. Az épület arányai a Ф=0,618 szám különböző hatványaival fejezhetők ki...

A Parthenonnak 8 oszlopa van rövid oldalak a hosszúaknak pedig 17. A vetületek teljes egészében pentilismárvány négyzetekből állnak. A templom építési anyagának nemessége lehetővé tette a görög építészetben megszokott színezés korlátozását, csak kiemeli a részleteket, és színes (kék és piros) hátteret képez a szobor számára. Az épület magasságának és hosszának aránya 0,618. Ha a Parthenont az „aranymetszet” szerint osztjuk fel, akkor a homlokzat bizonyos kiemelkedéseit kapjuk.

Az „arany téglalapok” a Parthenon alaprajzán is láthatók.

Az aranymetszés a Notre Dame székesegyház (Notre Dame de Paris) épületében és a Kheopsz piramisban látható.

Nemcsak az egyiptomi piramisok épültek az aranymetszés tökéletes arányai szerint; ugyanezt a jelenséget találták a mexikói piramisokban is.

Sokáig azt hitték, hogy az építészek ókori orosz Mindent „szemre” építettek, különösebb matematikai számítások nélkül. azonban legújabb kutatás kimutatta, hogy az orosz építészek jól ismerik a matematikai arányokat, amit az ókori templomok geometriájának elemzése is bizonyít.

A híres orosz építész, M. Kazakov széles körben alkalmazta munkáiban az „aranymetszés”-t. Tehetsége sokrétű volt, de nagyobb mértékben tárult fel a számos megvalósult lakóépület- és ingatlanprojektben. Például az „aranymetszés” megtalálható a Kremlben található Szenátus épületének építészetében. M. Kazakov projektje szerint Moszkvában épült a Golicin Kórház, amelyet jelenleg N. I. első klinikai kórházának hívnak. Pirogov.

Petrovszkij-palota Moszkvában. M.F. tervei szerint épült. Kazakova

Moszkva másik építészeti remeke - a Pashkov-ház - V. Bazhenov egyik legtökéletesebb építészeti alkotása.

Pashkov ház

V. Bazhenov csodálatos alkotása szilárdan bekerült a modern Moszkva központjának együttesébe, és gazdagította azt. A ház külseje a mai napig szinte változatlan maradt, annak ellenére, hogy 1812-ben súlyosan leégett. A helyreállítás során az épület masszívabb formákat kapott. Az épület belső elrendezése nem maradt meg, ez csak az alsó szint rajzán látható.

Az építész számos kijelentése ma figyelmet érdemel. Kedvenc művészetéről V. Bazhenov így nyilatkozott: „Az építészetnek három fő tárgya van: az épület szépsége, nyugalma és erőssége... Ennek eléréséhez az arányok, a perspektíva, a mechanika vagy általában a fizika ismerete irányadó, ill. mindegyikük közös vezetője az ész.”

ARANYARÁNY A ZENÉBEN

Bármely zeneműnek van időbeli kiterjedése, és bizonyos „esztétikai mérföldkövek” külön részekre osztják, amelyek felkeltik a figyelmet és megkönnyítik a teljes érzékelést. Ezek a mérföldkövek egy zenei alkotás dinamikai és intonációs csúcspontjai lehetnek. A zenemű különálló időintervallumai, amelyeket egy „csúcsesemény” köt össze, általában az Aranymetszés arányában vannak.

Még 1925-ben a műkritikus L.L. Sabaneev, 42 szerző 1770 zeneművét elemezte, megmutatta, hogy a kiemelkedő művek túlnyomó többsége könnyen felosztható részekre akár téma, akár intonáció, akár modális szerkezet szerint, amelyek az aranyhoz viszonyítva kapcsolódnak egymáshoz. hányados. Sőt, minél tehetségesebb a zeneszerző, annál több aranymetszés található műveiben. Sabaneev szerint az aranymetszés egy zenei kompozíció különleges harmóniájának benyomását idézi elő. Sabaneev mind a 27 Chopin-etűdnél ellenőrizte ezt az eredményt. 178 aranymetszetet fedezett fel bennük. Kiderült, hogy nem csak a tanulmányok nagy része van osztva időtartam szerint az aranymetszés viszonylatában, hanem a benne lévő tanulmányok egy része is gyakran ugyanilyen arányban oszlik meg.

Zeneszerző és tudós M.A. Marutaev megszámolta az „Appassionata” híres szonáta ütemeinek számát, és számos érdekes numerikus összefüggést talált. Különösen a fejlesztésben - központi szerkezeti egység A szonáták, ahol a témák intenzíven fejlődnek, és a kulcsok váltják egymást, a két fő rész. Az elsőben - 43,25 intézkedés, a másodikban - 26,75. A 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 arány adja az aranymetszést.

A legtöbb Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%) műveiben szerepel az Aranymetszés.

Ha a zene a hangok harmonikus rendezése, akkor a költészet a beszéd harmonikus rendezése. A tiszta ritmus, a hangsúlyos és hangsúlytalan szótagok természetes váltakozása, a versek rendezett métere, érzelmi gazdagsága a költészetet a zeneművek testvérévé teszi. Az aranymetszés a költészetben elsősorban egy bizonyos mozzanat jelenléteként nyilvánul meg a versben (tetőpont, szemantikai fordulópont, fő gondolat mű) a vers aranymetszésű összes sorszámának osztási pontjára eső sorban. Tehát ha egy vers 100 sort tartalmaz, akkor az Aranymetsző első pontja a 62. sorra esik (62%), a második a 38. (38%) stb. Alekszandr Szergejevics Puskin munkái, köztük a „Jevgene Onegin”, a legjobb megfelelés az aranyaránynak! Shota Rustaveli és M.Yu művei. Lermontov is az Aranymetszet elve szerint épült.

Stradivari azt írta, hogy az aranymetszés segítségével határozta meg híres hegedűinek testén az f alakú bevágások helyét.

ARANYARÁNY A KÖLTÉSZETBEN

A költői művek kutatása ezekből a pozíciókból még csak most kezdődik. És el kell kezdenie A.S. költészetével. Puskin. Hiszen művei az orosz kultúra legkiemelkedőbb alkotásainak példája, példa a legmagasabb szint harmónia. A.S. költészetéből Puskin, elkezdjük keresni az arany arányt - a harmónia és a szépség mértékét.

A költői művek szerkezetében ez a művészeti forma a zenéhez hasonlít. A tiszta ritmus, a hangsúlyos és hangsúlytalan szótagok természetes váltakozása, a versek rendezett métere, érzelmi gazdagsága a költészetet a zeneművek testvérévé teszi. Minden versnek megvan a maga zenei formája, saját ritmusa és dallama. Várható, hogy a versek szerkezetében megjelennek a zenei művek bizonyos vonásai, a zenei harmónia mintái, és ebből következően az arany arány.

Kezdjük a vers méretével, vagyis a benne lévő sorok számával. Úgy tűnik, hogy a vers ezen paramétere önkényesen változhat. Kiderült azonban, hogy ez nem így van. Például N. Vasyutinsky elemzése A.S. verseiről. Puskina megmutatta, hogy a versek méretei nagyon egyenetlenül oszlanak meg; kiderült, hogy Puskin egyértelműen az 5, 8, 13, 21 és 34 soros méreteket preferálja (Fibonacci számok).

Sok kutató észrevette, hogy a versek hasonlítanak a zeneművekhez; vannak csúcspontjai is, amelyek az aranymetszés arányában osztják fel a verset. Vegyük például A.S. versét. Puskin "cipészmestere":

Elemezzük ezt a példázatot. A vers 13 sorból áll. Két szemantikai része van: az első 8 sorban és a második (a példázat morálja) 5 sorban (13, 8, 5 Fibonacci számok).

Puskin egyik utolsó verse, a „Nem értékelem a hangos jogokat…” 21 sorból áll, és két szemantikai rész van benne: 13 és 8 sor:

Nem tartom nagyra a hangos jogokat, Amitől több fej is megfordul. Nem panaszkodom, hogy az istenek megtagadták Édes sorsom, hogy megkérdőjelezem az adókat Vagy akadályozza meg a királyokat, hogy harcoljanak egymással; És nekem nem elég aggódnom, ha szabad a sajtó Bolond idióták, vagy érzékeny cenzúra A magazintervekben a joker zavarban van. Mindez, látod, szavak, szavak, szavak. Más, jobb jogok kedvesek számomra: Más, jobb szabadságra van szükségem: A királytól függ, az emberektől függ - Érdekel minket? Isten velük. Ne adj jelentést, csak magadnak Kiszolgálni és kérem; hatalomért, színért Ne hajlítsa meg a lelkiismeretét, a gondolatait, a nyakát; Ide-oda vándorolni tetszés szerint, Rácsodálkozva a természet isteni szépségére, És a művészet és az inspiráció alkotásai előtt Örömmel remegve a gyengédség elragadtatásában, Micsoda boldogság! Úgy van...

Jellemző, hogy ennek a versszaknak az első része (13 soros) szemantikai tartalma szerint 8 és 5 sorra tagolódik, vagyis az egész vers az aranyarány törvényei szerint épül fel.

Kétségtelenül érdekes az N. Vasyutinsky „Jevgene Onegin” regényének elemzése. Ez a regény 8 fejezetből áll, mindegyik átlagosan körülbelül 50 versszakot tartalmaz. A nyolcadik fejezet a legtökéletesebb, legkifinomultabb és érzelmileg gazdagabb. 51 versszaka van. Eugene Tatianának írt levelével (60 sor) együtt ez pontosan megfelel az 55-ös Fibonacci számnak!

N. Vasyutinsky kijelenti: „A fejezet csúcspontja Jevgenyij Tatyana iránti szeretetének kinyilvánítása – az „Elsápadni és elhalványulni... ez a boldogság!” sora! Ez a sor a teljes nyolcadik fejezetet két részre osztja: az első 477 soros, a második pedig 295 soros. Az arányuk 1,617! A legjobb megfelelés az arany arány értékének! Ez a harmónia nagy csodája, amelyet Puskin zsenije valósított meg!”

E. Rosenov elemezte M. Yu számos költői művét. Lermontov, Schiller, A.K. Tolsztoj és az „aranymetszést” is felfedezte bennük.

Lermontov híres „Borodino” verse két részre oszlik: a narrátornak szóló, csak egy versszakot elfoglaló bevezetőre („Mondd, bácsi, nem ok nélkül…”), és a fő részre, amely önálló egészet képvisel, amely két egyenlő részre esik. Közülük az első fokozódó feszültséggel a csata várakozását írja le, a második magát a csatát írja le, a feszültség fokozatos csökkenésével a vers vége felé. E részek közötti határ a mű csúcspontja, és pontosan az aranymetszet általi osztódási pontra esik.

A vers fő része 13 hétsoros, azaz 91 sorból áll. Az aranymetszés (91:1,618=56,238) elosztása után meg vagyunk győződve arról, hogy a felosztási pont az 57. vers elején található, ahol van egy rövid mondat: „Nos, ez egy nap volt!” Ez a kifejezés jelenti az „izgatott várakozás csúcspontját”, amely befejezi a vers első részét (a csata várakozása), és megnyitja a második részét (a csata leírása).

Így az aranymetszés igen tartalmas szerepet játszik a költészetben, kiemelve a vers csúcspontját.

Shota Rustaveli „A lovag a tigris bőrében” című versének számos kutatója megjegyzi versének kivételes harmóniáját és dallamát. A grúz tudós, G.V. akadémikus versének ezek a tulajdonságai. Tsereteli annak tulajdonítható, hogy a költő tudatosan használta az aranymetszetet, mind a versforma kialakításában, mind a versek felépítésében.

Rustaveli verse 1587 strófából áll, amelyek mindegyike négy sorból áll. Minden sor 16 szótagból áll, és két egyenlő, 8 szótagos részre oszlik minden féloldalon. Minden hemistiche kétféle két szegmensre oszlik: A - hemistich egyenlő szegmensekkel és páros számú szótaggal (4+4); B egy hemistich, amely aszimmetrikusan oszlik két egyenlőtlen részre (5+3 vagy 3+5). Így a hemistich B-ben az arány 3:5:8, ami az aranyarány közelítése.

Megállapítást nyert, hogy Rusztaveli versében 1587 versszak több mint fele (863) az aranymetszés elve szerint épül fel.

A mi korunkban született az újfajta művészet - mozi, amely magában foglalja a cselekvés, a festészet, a zene dramaturgiáját. Jogos az aranymetszés megnyilvánulásait keresni a film kiemelkedő alkotásaiban. Az első, aki ezt megtette a világmozis remekmű, a „Potyomkin csatahajó” alkotója, Szergej Eisenstein filmrendező. Ennek a képnek a megalkotása során sikerült megtestesítenie a harmónia alapelvét - az aranymetszést. Ahogy maga Eisenstein is megjegyzi, a lázadó csatahajó árbocán (a film csúcspontja) a vörös zászló lobog az aranymetszés pontján, a film végétől számítva.

ARANYARÁNY BETŰBETŰBETŰ ÉS HÁZTARTÁSI TÉTELEKBEN

Az ókori Görögország képzőművészetének egy speciális típusát kell kiemelni mindenféle edény gyártása és festése során. Elegáns formában az aranymetszés arányai könnyen kitalálhatók.

A templomok festészetében és szobrászatában, valamint a háztartási cikkeken az ókori egyiptomiak leggyakrabban isteneket és fáraókat ábrázoltak. Létrehozták a képi kánonokat álló ember, séta, ülés stb. A művészeknek memorizálniuk kellett külön formák táblázatok és minták alapján készült képdiagramok. Az ókori Görögország művészei különleges utazásokat tettek Egyiptomba, hogy megtanulják a kánon használatát.

A KÜLSŐ KÖRNYEZET OPTIMÁLIS FIZIKAI PARAMÉTEREI

Köztudott, hogy a maximum hangerő, ami fájdalmat okoz, 130 decibellel egyenlő. Ha ezt az intervallumot elosztjuk az 1,618-as aranymetszővel, akkor 80 decibelt kapunk, ami egy emberi sikoly hangerejének jellemző. Ha most 80 decibelt elosztunk az aranymetszővel, akkor 50 decibelt kapunk, ami megfelel az emberi beszéd hangerejének. Végül, ha 50 decibelt elosztunk az aranymetszés 2,618 négyzetével, 20 decibelt kapunk, ami egy emberi suttogásnak felel meg. Így a hangerő összes jellemző paramétere az arany arányon keresztül kapcsolódik egymáshoz.

18-20 0 C közötti hőmérsékleten páratartalom 40-60% tekinthető optimálisnak. Az optimális páratartalom tartomány határai akkor érhetők el, ha a 100%-os abszolút páratartalmat kétszer elosztjuk az aranyaránnyal: 100/2,618 = 38,2% (alsó határ); 100/1,618=61,8% (felső határ).

Nál nél levegő nyomás 0,5 MPa, az ember kellemetlen érzéseket tapasztal, fizikai és pszichológiai aktivitása romlik. 0,3-0,35 MPa nyomáson csak rövid ideig, 0,2 MPa nyomáson legfeljebb 8 percig szabad dolgozni. Mindezek a jellemző paraméterek az aranyarányban kapcsolódnak egymáshoz: 0,5/1,618 = 0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Határparaméterek külső levegő hőmérséklete, amelyen belül egy személy normális léte (és ami a legfontosabb, származása lehetővé vált) lehetséges, a 0 és + (57-58) 0 C közötti hőmérsékleti tartomány. Nyilvánvalóan nem kell magyarázatot adni arra, hogy első határ.

Osszuk el a pozitív hőmérsékletek jelzett tartományát az aranymetszettel. Ebben az esetben két határt kapunk (mindkét határ az emberi testre jellemző hőmérséklet): az első a hőmérsékletnek, a második határ az emberi test számára lehetséges maximális külső levegő hőmérsékletnek felel meg.

ARANYARÁNY A FESTÉSBEN

A reneszánsz korában a művészek felfedezték, hogy minden képnek vannak bizonyos pontjai, amelyek akaratlanul is felkeltik figyelmünket, az úgynevezett vizuális központok. Ebben az esetben nem számít, milyen formátumú a kép - vízszintes vagy függőleges. Csak négy ilyen pont van, és ezek a sík megfelelő éleitől 3/8 és 5/8 távolságra helyezkednek el.

Ezt a felfedezést az akkori művészek a festmény „aranymetszésének” nevezték.

Áttérve a festészet „aranymetszetének” példáira, nem lehet mást tenni, mint Leonardo da Vinci munkásságára összpontosítani. Személyisége a történelem egyik titka. Maga Leonardo da Vinci mondta: „Aki nem matematikus, senki se merje elolvasni a műveimet.”

Felülmúlhatatlan művészként, nagy tudósként, zseniként szerzett hírnevet, aki sok olyan találmányra számított, amely csak a 20. században valósult meg.

Kétségtelen, hogy Leonardo da Vinci nagy művész volt, ezt már kortársai is felismerték, de személyisége és tevékenysége továbbra is titokzatos marad, hiszen utódaira nem az elképzeléseinek koherens bemutatását hagyta, hanem csak számos kézzel írt. vázlatok, jegyzetek, amelyek azt mondják, hogy „mindenről a világon”.

Olvashatatlan kézírással és bal kézzel írt jobbról balra. Ez a tükörírás leghíresebb létező példája.

Monna Lisa (La Gioconda) portréja évek óta felkeltette a kutatók figyelmét, akik felfedezték, hogy a kép kompozíciója arany háromszögekre épül, amelyek egy szabályos csillag alakú ötszög részei. Ennek a portrénak a történetéről számos változat létezik. Íme az egyik közülük.

Egy napon Leonardo da Vinci megbízást kapott Francesco dele Giocondo bankártól, hogy fessen portrét egy fiatal nőről, a bankár feleségéről, Monna Lisáról. A nő nem volt szép, de megjelenésének egyszerűsége és természetessége vonzotta. Leonardo beleegyezett, hogy megfesti a portrét. Modellje szomorú volt és szomorú, de Leonardo mesélt neki egy mesét, aminek hallatán élénk és érdekes lett.

TÜNDÉRMESE. Élt egyszer egy szegény ember, négy fia volt: hárman okosak voltak, és egyikük ez-az. És ekkor jött a halál az apa számára. Mielőtt életét vesztette, magához hívta gyermekeit, és így szólt: „Fiaim, hamarosan meghalok. Amint eltemetsz, zárd be a kunyhót, és menj el a világ végére, hogy megtaláld magadnak a boldogságot. Mindenki tanuljon valamit, hogy táplálkozhasson.” Az apa meghalt, a fiak pedig szétszéledtek a világban, és beleegyeztek, hogy három év múlva visszatérjenek szülőföldjük tisztására. Jött az első testvér, aki megtanult ácsolni, kivágott egy fát és kivágta, nőt csinált belőle, elsétált egy kicsit és várt. A második testvér visszatért, meglátta a faasszonyt, és mivel szabó volt, egy perc alatt felöltöztette: mint egy ügyes mesterember, gyönyörű selyemruhákat varrt neki. A harmadik fiú arannyal és drágakövekkel díszítette az asszonyt – elvégre ékszerész volt. Végül megjött a negyedik testvér. Nem tudott ácsolni vagy varrni, csak hallgatni tudta, mit mond a föld, a fák, a fű, az állatok és a madarak, tudta a mozdulatokat égitestekés csodálatos dalokat is tudott énekelni. Olyan dalt énekelt, amitől a bokrok mögött megbúvó testvérek sírva fakadtak. Ezzel a dallal újjáélesztette a nőt, mosolygott és sóhajtott. A testvérek odarohantak hozzá, és mindegyik ugyanazt kiáltotta: „Te biztosan a feleségem vagy.” De a nő így válaszolt: „Te teremtettél engem – légy az apám. Felöltöztettétek és feldíszítettetek – legyetek a testvéreim. És te, aki belém lehelted a lelkemet, és megtanítottál élvezni az életet, te vagy az egyetlen, akire szükségem van életem hátralévő részében."

Miután befejezte a mesét, Leonardo Monna Lisára nézett, arca felragyogott, szeme ragyogott. Aztán, mintha álomból ébredt volna, felsóhajtott, végigsimított az arcán, és szó nélkül a helyére ment, összefonta a kezét, és felvette a szokásos pózt. De a munka elkészült – a művész felébresztette a közömbös szobrot; a boldogság mosolya, amely lassan eltűnt az arcáról, megmaradt a szája sarkában és remegett, bámulatos, titokzatos és kissé sunyi arckifejezést kölcsönözve az arcának, mint annak az embernek, aki megtanult egy titkot, és gondosan megőrizve nem tudja. magában foglalja diadalát. Leonardo csendben dolgozott, félt elszalasztani ezt a pillanatot, ezt a napsugarat, amely megvilágította unalmas modelljét...

Nehéz megmondani, mit vettek észre ebben a remekműben, de mindenki arról beszélt, hogy Leonardo mélyen ismeri az emberi test felépítését, aminek köszönhetően meg tudta ragadni ezt a titokzatosnak tűnő mosolyt. A kép egyes részeinek kifejezőképességéről és a tájról, a portré példátlan kísérőjéről beszélgettek. Beszéltek a kifejezés természetességéről, a póz egyszerűségéről, a kezek szépségéről. A művész példátlan dolgot művelt: a kép levegőt ábrázol, átlátszó ködbe burkolja az alakot. Leonardo a siker ellenére komor volt, a firenzei helyzet fájdalmasnak tűnt a művész számára, útra kelt. Nem segítettek rajta az emlékeztetők a beáramló rendelésekről.

Az aranymetszés I.I. festményén. Shishkin "Pine Grove". Ezen a híres festményen I.I. Shishkin világosan mutatja az aranymetszés indítékait. Egy erősen napsütötte fenyőfa (az előtérben áll) osztja fel a kép hosszát az aranymetszés szerint. A fenyőtől jobbra egy napsütötte domb található. A kép jobb oldalát vízszintesen osztja fel az aranymetszés szerint. A főfenyőtől balra sok fenyő található - ha szeretné, sikeresen folytathatja a kép további aranymetszés szerinti felosztását.

Pine Grove

A fényes függőlegesek és vízszintesek jelenléte a képen, az aranymetszés viszonylatában felosztva, a művész szándékának megfelelően kiegyensúlyozottságot és nyugalmat kölcsönöz neki. Ha a művész szándéka eltérő, ha mondjuk gyorsan fejlődő akcióval alkot képet, akkor az ilyen geometriai kompozíciós séma (a függőlegesek és a vízszintesek túlsúlyában) elfogadhatatlanná válik.

AZ ÉS. Surikov. "Boyaryna Morozova"

Szerepét a kép középső része kapja. A kép cselekményének legmagasabb emelkedésének és legalacsonyabb süllyedésének pontja köti össze: Morozova keze felemelkedése a kétujjas keresztjellel, mint legmagasabb pont; ugyanannak a nemesasszonynak tehetetlenül nyújtott kéz, de ezúttal egy öregasszony keze - egy koldusvándor, egy kéz, amely alól az üdvösség utolsó reményével együtt kicsúszik a szán vége.

Mi a helyzet a „legmagasabb ponttal”? Első pillantásra látszólagos ellentmondásunk van: elvégre a kép jobb szélétől 0,618... távolságra lévő A 1 B 1 szakasz nem megy át a nemesasszony kezén, még a fején vagy a szemén sem, de valahol a nemesasszony szája előtt köt ki.

Az aranymetszés itt valóban a legfontosabbhoz vág. Benne, és pontosan benne van Morozova legnagyobb ereje.

Nincs költőibb festmény, mint Botticelli Sandroé, és a nagy Sandronak nincs híresebb festménye a „Vénuszánál”. Botticelli számára Vénusza a természetet uraló „aranymetszet” egyetemes harmóniája gondolatának megtestesülése. A Vénusz arányos elemzése meggyőz bennünket erről.

Vénusz

Raphael "Az athéni iskola". Raphael nem volt matematikus, de a korszak sok művészéhez hasonlóan jelentős geometriai ismeretekkel rendelkezett. A híres „Athéni Iskola” freskón, ahol a tudomány templomában az ókor nagy filozófusainak társasága él, figyelmünket Eukleidész, a legnagyobb ókori görög matematikus csoportja irányítja, aki egy összetett rajzot elemzett.

A két háromszög zseniális kombinációja is az aranymetszés arányának megfelelően épül fel: 5/8-as oldalarányú téglalapba írható. Ez a rajz meglepően könnyen beilleszthető az architektúra felső részébe. A háromszög felső sarka a nézőhöz legközelebb eső területen az ív zárókövén, az alsó a perspektívák eltűnési pontján nyugszik, az oldalszelvény pedig az ívek két része közötti térbeli rés arányait jelzi. .

Aranyspirál Raphael "Az ártatlanok mészárlása" című festményén. Az aranymetszéstől eltérően a dinamika és az izgalom érzése talán egy másik egyszerűben nyilvánul meg a legerősebben geometriai alakzat- spirálok. A többfigurás kompozíciót, amelyet Raphael 1509-1510 között készített, amikor a híres festő készítette freskóit a Vatikánban, pontosan kitűnik a cselekmény dinamizmusával és drámaiságával. Raphael soha nem vitte véghez tervét, de vázlatát az ismeretlen olasz grafikus, Marcantinio Raimondi metszett, aki ennek a vázlatnak a alapján készítette el az „Ártatlanok mészárlása” című metszetet.

Az ártatlanok mészárlása

Ha Raphael előkészítő vázlatában gondolatban vonalakat rajzolunk a kompozíció szemantikai középpontjából - abból a pontból, ahol a harcos ujjai a gyermek bokája körül összezáródnak, a gyermek, az őt szorosan tartó nő, a harcos felemelt alakja mentén. kardot, majd az azonos csoport figurái mentén a jobb oldali vázlaton (az ábrán ezek a vonalak pirossal vannak megrajzolva), majd ezeket a darabokat egy íves pontozott vonallal kösd össze, ekkor nagyon nagy pontossággal arany spirált kapunk. Ezt úgy ellenőrizhetjük, hogy megmérjük a spirállal vágott szakaszok hosszának arányát a görbe elején áthaladó egyeneseken.

ARANYARÁNY ÉS KÉPÉRZÉKELÉS

Az emberi vizuális analizátor azon képessége, hogy az aranymetszés algoritmussal megszerkesztett tárgyakat szépnek, vonzónak és harmonikusnak tudja azonosítani, régóta ismert. Az aranymetszés a legtökéletesebb egész érzését adja. Sok könyv formátuma az aranymetszést követi. Ablakokhoz, festményekhez és borítékokhoz, bélyegekhez, névjegykártyákhoz választják. Az ember nem tudhat semmit az F számról, de a tárgyak szerkezetében, valamint az események sorrendjében tudat alatt megtalálja az aranyarányú elemeket.

Olyan tanulmányokat végeztek, amelyek során az alanyokat arra kérték, hogy válasszák ki és másolják le a különböző arányú téglalapokat. Három téglalap közül lehetett választani: egy négyzet (40:40 mm), egy „aranymetsző” téglalap 1:1,62 (31:50 mm) oldalaránnyal és egy téglalap hosszúkás arányokkal 1:2,31 (26:60) mm).

A normál állapotú téglalapok kiválasztásakor az esetek 1/2-ében a négyzet részesítik előnyben. A jobb agyfélteke az aranymetszetet részesíti előnyben, és elutasítja a hosszúkás téglalapot. Éppen ellenkezőleg, a bal félteke a megnyúlt arányok felé gravitál, és elutasítja az aranymetszetet.

Ezeknek a téglalapoknak a másolásakor a következőket figyelték meg: amikor a jobb agyfélteke aktív volt, a másolatok arányai a legpontosabban megmaradtak; amikor a bal félteke aktív volt, az összes téglalap aránya eltorzult, a téglalapok megnyúltak (a négyzet 1:1,2 oldalarányú téglalapként készült; a megnyúlt téglalap aránya meredeken nőtt, és elérte az 1:2,8-at) . Az „arany” téglalap arányai a leginkább torzultak; a másolatok arányai egy téglalap 1:2,08 arányaivá váltak.

Saját képek készítésekor az aranymetszéshez közeli arányok és a hosszúkásak érvényesülnek. Az arányok átlagosan 1:2, a jobb agyfélteke az aranymetszet arányait részesíti előnyben, a bal félteke eltávolodik az aranymetszet arányaitól és kirajzolja a mintát.

Most rajzoljon néhány téglalapot, mérje meg az oldalukat, és keresse meg a képarányt. Melyik félteke a domináns számodra?

ARANYARÁNY A FÉNYKÉPÉBEN

Az aranymetszés fotózásban való használatára példa a keret kulcsfontosságú alkatrészeinek elhelyezése a keret széleitől számított 3/8 és 5/8 távolságra. Ezt a következő példával illusztrálhatjuk: egy macska fényképe, amely a keretben tetszőleges helyen található.

Most feltételesen osszuk fel a keretet szegmensekre, 1,62 teljes hossz arányában a keret mindkét oldaláról. A szegmensek metszéspontjában lesznek a fő „vizuális központok”, amelyekbe érdemes elhelyezni a kép szükséges kulcselemeit. Vigyük a macskánkat a „látási központok” pontjaira.

ARANYARÁNY ÉS TÉR

A csillagászat történetéből ismert, hogy I. Titius, a 18. századi német csillagász ennek a sorozatnak a segítségével talált mintát és rendet a Naprendszer bolygói közötti távolságokban.

Egy eset azonban ellentmondani látszott a törvénynek: a Mars és a Jupiter között nem volt bolygó. Az ég ezen részének célzott megfigyelése vezetett az aszteroidaöv felfedezéséhez. Ez Titius halála után történt eleje XIX V. A Fibonacci sorozatot széles körben használják: az élőlények, az ember alkotta szerkezetek és a Galaxisok szerkezetének ábrázolására használják. Ezek a tények bizonyítják a számsor függetlenségét a megnyilvánulási feltételeitől, ami egyetemességének egyik jele.

A galaxis két aranyspirálja kompatibilis a Dávid-csillaggal.

Figyelje meg a galaxisból előbukkanó csillagokat fehér spirál formájában. Pontosan 180 0 az egyik spirálból egy másik kibontakozó spirál bukkan elő... Sokáig a csillagászok egyszerűen azt hitték, hogy minden, ami van, az, amit látunk; ha valami látható, akkor az létezik. Vagy egyáltalán nem voltak tisztában a Valóság láthatatlan részével, vagy nem tartották fontosnak. De Valóságunk láthatatlan oldala valójában sokkal nagyobb, mint a látható oldal, és valószínűleg fontosabb is... Más szóval, a Valóság látható része sokkal kevesebb, mint az egész egy százaléka – szinte semmi. Valójában az igazi otthonunk a láthatatlan univerzum...

Az Univerzumban az emberiség által ismert összes galaxis és a bennük lévő összes test spirál formájában létezik, amely megfelel az aranymetszés képletének. Az aranymetszés galaxisunk spiráljában rejlik

KÖVETKEZTETÉS

A természet, mint az egész világ, formáinak sokféleségében, mintegy két részből áll: az élő és az élettelen természetből. Az élettelen természet alkotásait nagy stabilitás és csekély változékonyság jellemzi, az emberi élet mértéke alapján. Az ember megszületik, él, öregszik, meghal, de a gránit hegyek ugyanazok maradnak, és a bolygók ugyanúgy keringenek a Nap körül, mint Pitagorasz idejében.

Az élő természet világa teljesen másnak tűnik számunkra - mozgékonynak, változékonynak és meglepően sokszínűnek. Az élet a kreatív kombinációk sokszínűségének és egyediségének fantasztikus karneválját mutatja be! Az élettelen természet világa mindenekelőtt a szimmetria világa, amely alkotásainak stabilitást és szépséget ad. A természeti világ mindenekelőtt a harmónia világa, amelyben az „aranymetszés törvénye” működik.

A modern világban a tudomány különösen fontos az ember természetre gyakorolt ​​növekvő hatása miatt. Fontos feladatok számára modern színpad az ember és a természet közötti együttélés új módjainak keresése, a társadalom előtt álló filozófiai, társadalmi, gazdasági, oktatási és egyéb problémák tanulmányozása.

Ez a munka az „aranymetszet” tulajdonságainak élő és nem élőre gyakorolt ​​hatását vizsgálta vadvilág, az emberiség és a bolygó egészének történetének fejlődéstörténeti menetéről. A fentieket elemezve ismét rácsodálkozhat a világ megértésének folyamatának hatalmasságára, egyre új mintáinak felfedezésére, és arra a következtetésre juthat: az aranymetszés elve a világ strukturális és funkcionális tökéletességének legmagasabb megnyilvánulása. egész és részei a művészetben, a tudományban, a technológiában és a természetben. Arra lehet számítani, hogy a különböző természeti rendszerek fejlődési törvényei, a növekedés törvényei nem túl sokrétűek, és nagyon sokféle képződményben nyomon követhetők. Itt nyilvánul meg a természet egysége. Az ilyen egység gondolata, amely ugyanazon minták heterogén természeti jelenségekben való megnyilvánulásán alapul, megőrizte jelentőségét Pythagorastól napjainkig.