Néha az egyenletekben egyes együtthatókat nem adott számértékekkel adnak meg, hanem betűkkel jelölik.

Példa: ax+b=c.

Ebben az egyenletben x- ismeretlen, a, b, c– együtthatók, amelyek eltérőek lehetnek számértékek. Az így meghatározott együtthatók ún paramétereket.

Egy paraméteres egyenlet sok egyenletet határoz meg (az összes lehetséges paraméterértékre).

Példa: –5 x+10=– 1;

x+4y= 0;

–102–1000y=; stb.

ezek mind azok az egyenletek, amelyeket a paraméterekkel rendelkező egyenlet határoz meg ax+b=c.

Egy egyenlet megoldása paraméterekkel a következőket jelenti:

1. Jelölje meg, hogy az egyenletnek milyen paraméterértékeken van gyöke, és hányan vannak különböző jelentések paramétereket.

2. Keresse meg a gyökök összes kifejezését, és jelölje meg mindegyikhez azokat a paraméterértékeket, amelyeknél ez a kifejezés meghatározza az egyenlet gyökerét.

Térjünk rá a már megadott paraméteres egyenletre ax+b=cés megoldjuk.

Ha A¹0, majd https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

nál nél a=0És b=c, x– bármilyen valós szám;

nál nél a=0És b¹ c, az egyenletnek nincs gyökere.

Ennek az egyenletnek a megoldása során elkülönítettük a paraméter értékét a=0, amelynél az egyenletben minőségi változás következik be, a továbbiakban a paraméter ezen értékét „kontroll”-nak nevezzük. Attól függően, hogy milyen egyenletünk van, a paraméter „vezérlő” értékei eltérően találhatók. Nézzük meg a különböző típusú egyenleteket, és jelezzük, hogyan találjuk meg a paraméter „vezérlő” értékeit.

I. Paraméteres lineáris egyenletek és lineárisra redukálható egyenletek

Az ilyen egyenletekben a paraméterek „vezérlő” értékei általában azok az értékek, amelyek az együtthatókat nullára teszik. x.

1. példa : 2A(A–2)x=a– 2

1. A „Control” értékek olyan értékek, amelyek megfelelnek a következő feltételnek:

2A(A–2)=0

Oldjuk meg ezt az egyenletet a változóra A.

2a= 0 vagy A–2= 0, honnan a= 0, a= 2.

2. Oldjuk meg a paraméter „kontroll” értékeinek kezdeti egyenletét.

Nál nél a= 0 van 0× x=– 2, de ez nem igaz egyetlen valódi értékre sem x, vagyis ebben az esetben az egyenletnek nincs gyöke.

Nál nél a= 2 van 0× x= 0, ez bármely értékre igaz x, ami azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke tetszőleges valós szám x.

3. Oldjuk meg az eredeti egyenletet abban az esetben, amikor A¹ 0 és A¹ 2 majd 2 A(A–2)¹ 0 és az egyenlet mindkét oldala osztható 2-vel A(A-2), kapjuk:

Mert A¹ 2, akkor a tört csökkenthető ( A–2), akkor van .

Válasz: nál nél a= 0, nincs gyökér;

nál nél a= 2, gyök – bármilyen valós szám;

nál nél A¹ 0, A¹ 2, .

El lehet képzelni egy algoritmust az ilyen típusú egyenlet megoldására.

1. Határozza meg a paraméter „vezérlő” értékeit.

2. Oldja meg az egyenletet! x, a szabályozási paraméterek értékeinél.

3. Oldja meg az egyenletet! x, a „kontroll” értékektől eltérő értékeken.

4. Írja be a választ a következő űrlapba:

Válasz: 1) paraméterértékeknél..., az egyenletnek gyökerei vannak...;

2) paraméterértékeknél... az egyenletnek gyökerei vannak...;

3) a... paraméter értékeinél az egyenletnek nincs gyöke.

2. példa Oldja meg az egyenletet paraméterrel

(A 2–2A+1)x=a 2+2A- 3

1. Keresse meg a paraméter kontrollértékeit

A 2–2A+1=0 Û ( A–1)2=0 Û A=1

2. Oldja meg az egyenletet! a= 1

0× x=(1+2×1–3) Û 0× x= 0 Þ x– bármilyen valós szám.

3. Oldja meg az egyenletet! A¹ 1

A 2–2A+1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

mert A¹ 1, a tört csökkenthető

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

3. példa Oldja meg az egyenletet paraméterrel

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. Válasz: 1) mikor a= 2, nincs gyökér;

2) mikor A¹ 0,A¹ 2, ;

3) mikor a= A 0 egyenletnek nincs értelme.

4. példa Oldja meg az egyenletet paraméterrel

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

mert x¹ 0 és A¹ – 2, az egyenlet ekvivalens az egyenlettel

(A+3)x= 2A–1

keressük meg a paraméter vezérlőértékeit

A+3= 0 Þ a=– 3.

2. Oldja meg az egyenletet! a=– 3.

0× x=– 7

bármely x nincs egyenlőség

3. Oldja meg az egyenletet! A¹ – 3, a+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

ezért ahhoz, hogy az egyenletnek értelme legyen https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, nincsenek gyökök;

2) mikor A¹ – 2, A¹ – 3, , .

II. Másodfokú egyenletek paraméterrel és másodfokúra redukálható egyenletek

Az ilyen egyenletekben a paraméter értékeit, amelyek az együtthatót nullára teszik, általában „kontroll”-nak tekintik. x 2, mivel ebben az esetben az egyenlet lineárissá válik, valamint a paraméter értéke, ami miatt az egyenlet diszkriminánsa eltűnik, mivel a szám a diszkrimináns értékétől függ igazi gyökerek másodfokú egyenlet.

5. példa. Oldja meg az egyenletet paraméterrel

(A–1)x 2+2(2A+1)x+(4A+3)= 0

1. Keressük meg azokat a paraméterértékeket, amelyek az együtthatót nullára teszik x

A- 1=0 Û a= 1

2. Oldja meg az egyenletet! a= 1

0× x 2+2 (2×1+1) x+4×1+3=0 Û 6 x+7=0 Û .

3. Keressük meg annak a paraméternek az értékét, amely az egyenlet diszkriminánsát eltünteti

D=(2(2A+1))2–4(A–1)(4A+3)=(4A+1)2–(4A–4)(4A+3)=4(5A+4)

4(5A+4)=0 Û .

4. Oldjuk meg az egyenletet, ebben az esetben az egyenletnek egy valós gyöke lesz

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9x 2+6x+1=0 Û (3 x+1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. Ebben az esetben D<0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. Oldja meg az egyenletet! A 1. szám, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. Válasz: 1) https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) mikor a= 1, ;

3) -nak nincsenek valódi gyökerei;

4) a és A 1. szám, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. Mióta A a tört nevezőjében van, akkor az egyenletnek csak akkor van értelme A#0. A nevező tartalmazza a kifejezéseket is a2x- 2Aés 2- Ó, amelynek szintén nullától eltérőnek kell lennie

a2x- 2A¹0 Û A(Ó–2)¹0 Û A¹0, Ó–2¹0 Û A¹0, ;

2–Ó¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. Oldja meg az egyenletet! A¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–A)x 2+2x+1+A=0 ...................(*)

3. Keressük meg azokat a paraméterértékeket, amelyek az együtthatót nullára teszik x 2

1–A=0 Û A=1

4. Oldja meg a (*) egyenletet A=1

0× x 2+2x+2=0 Û 2 x=– 2 Û x=–1

Azonnal nézzük meg, hogy egyezik-e x innen: https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">, ami azt jelenti, hogy amikor A=1, x=– 1.

Cél:

• ismételje meg a rendszerek megoldását lineáris egyenletek két változóval
• definiáljon lineáris egyenletrendszert paraméterekkel
• megtanítja, hogyan kell lineáris egyenletrendszereket megoldani paraméterekkel.

Az órák alatt

1. Idő szervezése
2. Ismétlés
3. Magyarázat új téma
4. Konszolidáció
5. Óra összefoglalója
6. Házi feladat

2. Ismétlés:

I. Lineáris egyenlet egy változóval:

1. Határozzon meg egy változós lineáris egyenletet!

[Az ax=b formájú egyenletet, ahol x egy változó, a és b néhány szám, egy változós lineáris egyenletnek nevezzük]

2. Hány gyöke lehet egy lineáris egyenletnek?

[- Ha a=0, b0, akkor az egyenletnek nincs megoldása, x

Ha a=0, b=0, akkor x R

Ha a0, akkor az egyenletnek egyedi megoldása van, x =

3. Nézze meg, hány gyöke van az egyenletnek (opciók szerint)

II. Lineáris egyenlet 2 változóval és lineáris egyenletrendszer 2 változóval.

1. Határozzon meg egy lineáris egyenletet két változóból! Adj egy példát.

[A két változós lineáris egyenlet az ax + by = c alakú egyenlet, ahol x és y változók, a, b és c néhány szám. Például x-y=5]

2. Mit nevezünk kétváltozós egyenlet megoldásának?

[A két változós egyenlet megoldása egy olyan változó értékpár, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé változtatja.]

3. Az x = 7, y = 3 változók értékpárja a 2x + y = 17 egyenlet megoldása?

4. Hogyan nevezzük egy kétváltozós egyenlet gráfját?

[Egy két változós egyenlet grafikonja a koordinátasíkon azon pontok halmaza, amelyek koordinátái ennek az egyenletnek a megoldásai.]

5. Nézze meg, mi az egyenlet grafikonja:

[Kifejezzük az y változót x-ig: y=-1,5x+3

Az y=-1,5x+3 képlet egy lineáris függvény, melynek grafikonja egy egyenes. Mivel a 3x+2y=6 és y=-1.5x+3 egyenletek ekvivalensek, ez az egyenes egyben a 3x+2y=6 egyenlet grafikonja is]

6. Mi az ax+bу=c egyenlet grafikonja x és y változókkal, ahol a0 vagy b0?

[Egy olyan két változós lineáris egyenlet grafikonja, amelyben a változók legalább egyik együtthatója nem nulla, egy egyenes.]

7. Mit nevezünk kétváltozós egyenletrendszer megoldásának?

[A kétváltozós egyenletrendszer megoldása egy olyan változó értékpár, amely a rendszer minden egyenletét valódi egyenlőséggé alakítja]

8. Mit jelent egyenletrendszer megoldása?

[Egyenletrendszert megoldani azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek megoldások.]

9. Nézze meg, hogy egy ilyen rendszernek mindig van-e megoldása, és ha igen, hány (grafikus)!

10. Hány megoldása lehet egy két változós lineáris egyenletrendszernek?

[Az egyetlen megoldás, ha a vonalak metszik egymást; nincs megoldása, ha az egyenesek párhuzamosak; végtelenül sok, ha a vonalak egybeesnek]

11. Milyen egyenlet definiál általában egy egyenest?

12. Hozzon létre kapcsolatot a szögegyütthatók és a szabad tagok között:

I. lehetőség: y=-x+2 y= -x-3, k 1 = k 2, b 1 b 2, nincs megoldás;

II. lehetőség: y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2, egy megoldás;

III. lehetőség: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, sok megoldás.

Következtetés:

1. Ha lejtőkön A függvények grafikonjait képező vonalak különbözőek, akkor ezek az egyenesek metszik egymást, és a rendszernek egyedi megoldása van.
2. Ha az egyenesek szögegyütthatói azonosak, és az y tengellyel való metszéspontok eltérőek, akkor az egyenesek párhuzamosak, és a rendszernek nincs megoldása.
3. Ha a szögegyütthatók és az y tengellyel való metszéspontok megegyeznek, akkor az egyenesek egybeesnek, és a rendszernek végtelen sok megoldása van.

A táblán van egy táblázat, amelyet a tanár és a tanulók fokozatosan kitöltenek.

III. Új téma magyarázata.

Definíció: Nézet rendszer

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

ahol A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 a paraméterektől függő kifejezések, x és y pedig ismeretlenek, két lineáris rendszernek nevezzük. algebrai egyenletek két ismeretlen paraméterrel.

A következő esetek lehetségesek:

1) Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van

2) Ha , akkor a rendszernek nincs megoldása

3) Ha , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van.

IV. Konszolidáció

1. példa

Az a paraméter milyen értékeinél működik a rendszer

• 2x - 3y = 7
• ah - 6 év = 14

a) rendelkezik végtelen halmaz döntések;

b) egyedi megoldása van

Válasz:

a) ha a=4, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van;

b) ha a4, akkor csak egy megoldás van.

2. példa

Oldja meg az egyenletrendszert!

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Megoldás: a) , azaz. Az m1 esetében a rendszer egyedi megoldást kínál.

b), azaz m=1 (2=m+1) és n1 esetén az eredeti rendszernek nincs megoldása

c) , m=1 és n=1 esetén a rendszernek végtelen sok megoldása van.

Válasz: a) ha m=1 és n1, akkor nincs megoldás

b) m=1 és n=1, akkor a megoldás egy végtelen halmaz

• y - bármilyen
• x=n-2y

c) ha m1 és n bármely, akkor

3. példa

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Megoldás: A II egyenletből x = 1-аy és az I egyenletet helyettesítjük az egyenletbe

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Lehetséges esetek:

1) a=0. Ekkor az egyenlet így néz ki: 0*y=3 [y]

Ezért a=0 esetén a rendszernek nincs megoldása

2) a=-3. Ekkor 0*y=0.

Ezért y. Ebben az esetben x=1-ау=1+3у

3) a0 és a-3. Ekkor y=-, x=1-a(-=1+1=2

Válasz:

1) ha a=0, akkor (x; y)

2) ha a=-3, akkor x=1+3y, y

3) ha a0 és a?-3, majd x=2, y=-

Tekintsük az (1) rendszer második megoldási módját.

Oldjuk meg az (1) rendszert algebrai összeadás módszerével: először szorozzuk meg a rendszer első egyenletét B 2-vel, a másodikat B 1-gyel, és adjuk össze ezeket az egyenleteket tagonként, így kiküszöböljük az y változót:

Mert A 1 B 2 -A 2 B 1 0, akkor x =

Most szüntessük meg az x változót. Ehhez szorozza meg az (1) rendszer első egyenletét A 2-vel, a másodikat pedig A 1-gyel, és adja össze mindkét egyenletet tagonként:

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 - A 1 C 2

mert A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Az (1) megoldás megkönnyítése érdekében a következő jelölést vezetjük be:

- fő meghatározó

Most az (1) rendszer megoldása determinánsok segítségével írható fel:

A megadott képleteket Cramer-képleteknek nevezzük.

Ha , akkor az (1) rendszernek egyedi megoldása van: x=; y=

Ha , vagy , akkor az (1) rendszernek nincs megoldása

Ha , , , , akkor az (1) rendszernek végtelen számú megoldása van.

Ebben az esetben a rendszert tovább kell vizsgálni. Ebben az esetben általában egy lineáris egyenletre redukálódik. Ebben az esetben gyakran célszerű a rendszert a következő módon tanulmányozni: az egyenlet megoldásával megtaláljuk a paraméterek konkrét értékeit, vagy az egyik paramétert a többivel fejezzük ki, és ezeket a paraméterértékeket behelyettesítjük. a rendszer. Ekkor egy meghatározott numerikus együtthatós vagy kisebb számú paraméterű rendszert kapunk, amit tanulmányozni kell.

Ha a rendszer A 1 , A 2 , B 1 , B 2 együtthatói több paramétertől függenek, akkor célszerű a rendszert a rendszer determinánsaival tanulmányozni.

4. példa

Az a paraméter összes értékére oldja meg az egyenletrendszert

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Megoldás: Keressük meg a rendszer meghatározóját:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

NAK NEK feladatok paraméterrel magában foglalhatja például a megoldások keresését a lineáris és másodfokú egyenletek V Általános nézet, a rendelkezésre álló gyökszám egyenletének tanulmányozása a paraméter értékétől függően.

Részletes definíciók megadása nélkül tekintse meg példaként a következő egyenleteket:

y = kx, ahol x, y változók, k egy paraméter;

y = kx + b, ahol x, y változók, k és b paraméterek;

ax 2 + bx + c = 0, ahol x változók, a, b és c egy paraméter.

Egy egyenlet (egyenlőtlenség, rendszer) paraméterrel történő megoldása főszabály szerint végtelen egyenlethalmaz (egyenlőtlenség, rendszer) megoldását jelenti.

A paraméteres feladatok két típusra oszthatók:

A) a feltétel azt mondja: oldja meg az egyenletet (egyenlőtlenség, rendszer) - ez azt jelenti, hogy a paraméter minden értékére megtalálja az összes megoldást. Ha legalább egy eset kivizsgálatlan marad, egy ilyen megoldás nem tekinthető kielégítőnek.

b) meg kell adni a paraméter lehetséges értékeit, amelyeknél az egyenlet (egyenlőtlenség, rendszer) bizonyos tulajdonságokkal rendelkezik. Például van egy megoldása, nincsenek megoldásai, vannak megoldásai, intervallumhoz tartozó stb. Az ilyen feladatoknál egyértelműen jelezni kell, hogy az előírt feltétel milyen paraméterértéknél teljesül.

A paraméter, mivel egy ismeretlen fix szám, egyfajta sajátos kettősséggel bír. Először is figyelembe kell venni, hogy a feltételezett népszerűség azt jelzi, hogy a paramétert számként kell felfogni. Másodszor, a paraméter manipulálásának szabadságát korlátozza annak homálya. Például egy paramétert tartalmazó kifejezéssel való osztás vagy a gyökér kinyerésének műveletei páros fokozat egy ilyen kifejezésből előzetes kutatásra van szükség. Ezért óvatosan kell kezelni a paramétert.

Például két -6a és 3a szám összehasonlításához három esetet kell figyelembe vennie:

1) -6a nagyobb lesz 3a-nál, ha a negatív szám;

2) -6a = 3a abban az esetben, ha a = 0;

3) -6a kisebb lesz, mint 3a, ha a pozitív szám 0.

A megoldás lesz a válasz.

Legyen adott a kx = b egyenlet. Ez az egyenlet végtelen számú, egy változós egyenlet rövid alakja.

Az ilyen egyenletek megoldása során előfordulhatnak esetek:

1. Legyen k tetszőleges valós szám, amely nem egyenlő nullával, b pedig tetszőleges szám R-ből, akkor x = b/k.

2. Legyen k = 0 és b ≠ 0, az eredeti egyenlet 0 x = b alakot ölt. Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása.

3. Legyen k és b nullával egyenlő számok, akkor 0 x = 0 egyenlőségünk lesz. Megoldása tetszőleges valós szám.

Egy algoritmus az ilyen típusú egyenlet megoldására:

1. Határozza meg a paraméter „vezérlő” értékeit.

2. Oldja meg az x eredeti egyenletét az első bekezdésben meghatározott paraméterértékekre.

3. Oldja meg az x eredeti egyenletét az első bekezdésben kiválasztottaktól eltérő paraméterértékekre.

4. A választ az alábbi formában írhatja meg:

1) ... (paraméterértékek) esetén az egyenletnek ... gyöke van;

2) ... (paraméterértékek) esetén nincs gyök az egyenletben.

1. példa

Oldja meg az egyenletet a |6 – x| paraméterrel = a.

Megoldás.

Könnyen belátható, hogy itt a ≥ 0.

A 6. modul szabálya szerint – x = ±a, x-et fejezünk ki:

Válasz: x = 6 ± a, ahol a ≥ 0.

2. példa

Oldja meg az a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 egyenletet az x változóra vonatkozóan!

Megoldás.

Nyissuk ki a zárójeleket: aх – а + 2х – 2 = 0

Írjuk fel az egyenletet szabványos formában: x(a + 2) = a + 2.

Ha az a + 2 kifejezés nem nulla, azaz ha a ≠ -2, akkor az x = (a + 2) / (a ​​+ 2) megoldást kapjuk, azaz. x = 1.

Ha a + 2 egyenlő nullával, azaz. a = -2, akkor megvan a helyes 0 x = 0 egyenlőség, tehát x tetszőleges valós szám.

Válasz: x = 1, ha a ≠ -2, és x € R, ha a = -2.

3. példa

Oldja meg az x/a + 1 = a + x egyenletet az x változóra vonatkozóan!

Megoldás.

Ha a = 0, akkor az egyenletet a + x = a 2 + ax vagy (a – 1)x = -a(a – 1) alakra alakítjuk. Az a = 1 utolsó egyenlete 0 x = 0, ezért x tetszőleges szám.

Ha a ≠ 1, akkor az utolsó egyenlet x = -a formában lesz.

Ezt a megoldást a koordináta egyenesen lehet szemléltetni (1. ábra)

Válasz: a = 0-ra nincs megoldás; x – tetszőleges szám, amelynek a = 1; x = -a, ha a ≠ 0 és a ≠ 1.

Grafikus módszer

Nézzünk egy másik módot az egyenletek paraméterrel történő megoldására - grafikusan. Ezt a módszert meglehetősen gyakran használják.

4. példa

Az a paramétertől függően hány gyökből áll az ||x| egyenlet – 2| = a?

Megoldás.

Megoldásokért grafikus módszer y = ||x| függvények grafikonjainak összeállítása – 2| és y = a (2. ábra).

A rajzon jól láthatóak az y = a egyenes helyének lehetséges esetei és az egyes gyökök száma.

Válasz: az egyenletnek nem lesz gyöke, ha a< 0; два корня будет в случае, если a >2 és a = 0; az egyenletnek három gyöke lesz a = 2 esetén; négy gyökér – 0-nál< a < 2.

5. példa.

Milyen esetben a 2|x| egyenlet + |x – 1| = a-nak egyetlen gyöke van?

Megoldás.

Ábrázoljuk az y = 2|x| függvények grafikonjait + |x – 1| és y = a. Ha y = 2|x| + |x – 1|, a modulokat az intervallum módszerrel kibővítve kapjuk:

(-3x + 1, x-nél< 0,

y = (x + 1, ha 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, ha x > 1.

Tovább 3. ábra Jól látható, hogy az egyenletnek csak akkor lesz egyetlen gyöke, ha a = 1.

Válasz: a = 1.

6. példa.

Határozza meg az |x + 1| egyenlet megoldásainak számát! + |x + 2| = a az a paramétertől függően?

Megoldás.

Az y = |x + 1| függvény grafikonja + |x + 2| szaggatott vonal lesz. Csúcsai a (-2; 1) és (-1; 1) pontokban helyezkednek el. (4. ábra).

Válasz: ha az a paraméter kisebb egynél, akkor az egyenletnek nem lesz gyöke; ha a = 1, akkor az egyenlet megoldása egy végtelen számhalmaz a [-2; -1]; ha az a paraméter értéke nagyobb, mint egy, akkor az egyenletnek két gyöke lesz.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell egyenleteket megoldani paraméterekkel?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Oldjunk meg egy egyenletrendszert egy paraméterrel (A. Larin, 98. opció)

Keresse meg a paraméter összes értékét, amelyek mindegyikére a rendszer

pontosan egy megoldása van.

Nézzük meg közelebbről a rendszert. A rendszer első egyenletében a bal oldal a , a jobb oldal pedig nem függ a paramétertől. Vagyis ezt az egyenletet tekinthetjük a függvény egyenletének

és ezt a függvényt ábrázolhatjuk.

A rendszer második egyenlete

paramétertől függ, és az egyenlet bal oldalán kiemelve tökéletes négyzet, megkapjuk a kör egyenletét.

Ezért célszerű az egyes egyenletek grafikonjait ábrázolni, és megnézni, hogy ezeknek a grafikonoknak a paraméter melyik értékénél van egy metszéspontja.

Kezdjük az első egyenlettel. Először is nyissuk meg a modulokat. Ehhez minden szubmoduláris kifejezést nullával egyenlővé teszünk, hogy megtaláljuk azokat a pontokat, ahol az előjel változik.

Az első szubmoduláris kifejezés előjelet változtat at , a második - at .

Ábrázoljuk ezeket a pontokat a koordináta egyenesen, és keressük meg az egyes szubmoduláris kifejezések előjeleit az egyes intervallumokon:

Vegye figyelembe, hogy a for és egyenletnek nincs értelme, ezért ezeket a pontokat kilyukasztjuk.

Most bővítsük ki a modulokat az egyes intervallumokon. (Ne feledje: ha egy szubmoduláris kifejezés nullánál nagyobb vagy egyenlő, akkor a modult ugyanazzal az előjellel bővítjük, ha pedig nullánál kisebb, akkor ellenkező előjellel.)

Mindkét szubmoduláris kifejezés negatív, ezért mindkét modult ellentétes előjellel bővítjük:

Vagyis amikor az eredeti függvény alakja van

Ezen az intervallumon az első szubmoduláris kifejezés negatív, a második pedig pozitív, ezért kapjuk:

- a függvény nem létezik ezen az intervallumon.

3. title="x>2">!}

Ezen az intervallumon mindkét szubmoduláris kifejezés pozitív, mindkét modult azonos előjellel bővítjük. Kapunk:

Vagyis a title="x>2"> исходная функция имеет вид !}

Tehát megkaptuk a függvény grafikonját

Most nézzük a második egyenletet:

Válasszunk ki egy teljes négyzetet az egyenlet bal oldalán, ehhez adjuk hozzá a 4-es számot az egyenlet mindkét oldalához:

A paraméter adott értékéhez az egyenlet grafikonja egy kör, amelynek középpontja egy koordinátájú pontban van, amelynek sugara 5. különböző jelentések van egy sor körünk:

Addig mozgatjuk a kört alulról felfelé, amíg meg nem érinti az első függvény grafikonjának bal oldalát. A képen ez a kör piros. Ennek a körnek a középpontja a pont, koordinátái (-2;-3). Továbbá felfelé haladva a körnek egy metszéspontja van a függvénygráf bal oldalával, vagyis a rendszernek egyedi megoldása van.

Tovább mozgatjuk a kört felfelé, amíg meg nem érinti az első függvény grafikonjának jobb oldalát. Ez akkor fog megtörténni, ha a kör középpontja a (-2;0) koordinátákkal rendelkező ponton van - az ábrán ez a kör kék.

Ha tovább haladunk felfelé, a kör az első függvény grafikonjának bal és jobb oldali részét is metszi, vagyis a körnek két metszéspontja lesz az első függvény grafikonjával, a rendszernek pedig két megoldása lesz. Ez a helyzet mindaddig folytatódik, amíg a kör középpontja a (-2; 5) koordinátákkal rendelkező pontba nem kerül - ez a kör zöld. Ezen a ponton a kör érinti a grafikon bal oldalát, és metszi a jobb oldalt. Vagyis a rendszernek egy megoldása van.

Tehát a rendszernek van egy egyedi megoldása, amikor(-3;0] ahol \ változók, \ paraméter;

\[y = kx + b,\] ahol \ változók, \ paraméter;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] ahol \ egy változó, \[а, b, с\] egy paraméter.

Egy egyenlet paraméterrel való megoldása általában egy végtelen egyenlethalmaz megoldását jelenti.

Egy bizonyos algoritmust követve azonban könnyedén megoldhatja a következő egyenleteket:

1. Határozza meg a paraméter „vezérlő” értékeit.

2. Oldja meg a [\x\] eredeti egyenletét az első bekezdésben meghatározott paraméterértékekkel.

3. Oldja meg a [\x\] eredeti egyenletét az első bekezdésben kiválasztottaktól eltérő paraméterértékekre.

Tegyük fel, hogy a következő egyenletet kapjuk:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

A kezdeti adatok elemzése után egyértelmű, hogy a \[\ge 0.\]

A modulus szabály szerint \ kifejezzük \

Válasz: \hol\

Hol tudok online megoldani egy paraméteres egyenletet?

Az egyenletet a https://site weboldalunkon tudja megoldani. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.