Egy y változó függőségét egy x változótól, amelyben minden x értéke y egyetlen értékének felel meg, függvénynek nevezzük. A jelöléshez használja az y=f(x) jelölést. Mindegyik függvénynek számos alapvető tulajdonsága van, például monotonitás, paritás, periodicitás és mások.

Nézze meg közelebbről a paritási tulajdonságot.

Az y=f(x) függvényt akkor is meghívjuk, ha teljesíti a következő két feltételt:

2. A függvény definíciós tartományába tartozó x pontban lévő függvény értékének meg kell egyeznie a függvény -x pontbeli értékével. Vagyis bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = f(-x).

Menetrend páros funkció

Ha egy páros függvény grafikonját ábrázolja, az szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

Például az y=x^2 függvény páros. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=3-at. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Ezért f(x) = f(-x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páros. Az alábbiakban az y=x^2 függvény grafikonja látható.

Az ábrán látható, hogy a grafikon szimmetrikus az Oy tengelyre.

Egy páratlan függvény grafikonja

Az y=f(x) függvényt páratlannak nevezzük, ha teljesíti a következő két feltételt:

1. Egy adott függvény definíciós tartományának szimmetrikusnak kell lennie az O ponthoz képest. Vagyis ha valamelyik a pont a függvény definíciós tartományába tartozik, akkor a megfelelő -a pontnak is a definíció tartományába kell tartoznia. az adott függvényről.

2. Bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = -f(x).

A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az O ponthoz - a koordináták origójához. Például az y=x^3 függvény páratlan. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=2-t. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Ezért f(x) = -f(x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Az alábbiakban az y=x^3 függvény grafikonja látható.

Az ábrán jól látható, hogy az y=x^3 páratlan függvény szimmetrikus az origóra.

Egy függvényt párosnak (páratlannak) nevezünk, ha bármely és az egyenlőség esetén

.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre
.

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

6.2. példa. Vizsgálja meg, hogy egy függvény páros vagy páratlan

1)
; 2)
; 3)
.

Megoldás.

1) A függvény akkor van meghatározva, amikor
. meg fogjuk találni
.

Azok.
. Ez azt jelenti, hogy ez a függvény páros.

2) A függvény definiálása mikor

Azok.
. Így ez a függvény páratlan.

3) a függvény definiálva van, azaz. Mert

,
. Ezért a függvény nem páros és nem páratlan. Nevezzük az általános forma függvényének.

3. A monotonitás függvényének vizsgálata.

Funkció
Egy bizonyos intervallumon növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha ebben az intervallumban az argumentum minden nagyobb értéke a függvény nagyobb (kisebb) értékének felel meg.

Egy bizonyos intervallumon belül növekvő (csökkenő) függvényeket monotonnak nevezzük.

Ha a funkció
intervallumon differenciálható
és pozitív (negatív) származéka van
, majd a függvény
növekszik (csökken) ezen az intervallumon keresztül.

6.3. példa. Keresse meg a függvények monotonitási intervallumait

1)
; 3)
.

Megoldás.

1) Ez a függvény a teljes számegyenesen van definiálva. Keressük a származékot.

A derivált egyenlő nullával, ha
És
. A meghatározás tartománya a számtengely, pontokkal osztva
,
Időközönként. Határozzuk meg az egyes intervallumokban a derivált előjelét.

Az intervallumban
a derivált negatív, a függvény ezen az intervallumon csökken.

Az intervallumban
a derivált pozitív, ezért a függvény ezen az intervallumon keresztül növekszik.

2) Ezt a függvényt akkor határozzuk meg, ha
vagy

.

Minden intervallumban meghatározzuk a másodfokú trinom előjelét.

Így a függvény definíciós tartománya

Keressük a származékot
,
, Ha
, azaz
, De
. Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban
.

Az intervallumban
a derivált negatív, ezért a függvény az intervallumon csökken
. Az intervallumban
a derivált pozitív, a függvény növekszik az intervallumon keresztül
.

4. Az extrémum funkciójának tanulmányozása.

Pont
a függvény maximális (minimális) pontjának nevezzük
, ha van a pontnak ilyen környéke ez mindenkinek szól
ebből a szomszédból az egyenlőtlenség érvényesül

.

Egy függvény maximum és minimum pontját szélsőpontoknak nevezzük.

Ha a funkció
azon a ponton szélsősége van, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton nulla vagy nem létezik (a szélsőség létezésének szükséges feltétele).

Azokat a pontokat, ahol a derivált nulla vagy nem létezik, kritikusnak nevezzük.

5. Elegendő feltételek szélsőség megléte.

1. szabály Ha az átmenet során (balról jobbra) a kritikus ponton keresztül derivált
megváltoztatja a jelet „+”-ról „–”-ra, majd a pontra funkció
maximummal rendelkezik; ha „–”-tól „+”-ig, akkor a minimum; Ha
nem vált előjelet, akkor nincs véglet.

2. szabály Hadd a ponton
függvény első deriváltja
egyenlő nullával
, és a második derivált létezik, és különbözik a nullától. Ha
, Azt – maximum pont, ha
, Azt – a függvény minimális pontja.

6.4. példa. Fedezze fel a maximális és minimális funkciókat:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Megoldás.

1) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumon
.

Keressük a származékot
és oldja meg az egyenletet
, azaz
.Innen
– kritikus pontok.

Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban,
.

Pontokon való áthaladáskor
És
a derivált „–”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, ezért az 1. szabály szerint
– minimum pontok.

Amikor áthalad egy ponton
a derivált „+”-ról „–”-ra változtatja az előjelet, tehát
– maximum pont.

,
.

2) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumban
. Keressük a származékot
.

Az egyenlet megoldása után
, megtaláljuk
És
– kritikus pontok. Ha a nevező
, azaz
, akkor a származék nem létezik. Így,
– harmadik kritikus pont. Határozzuk meg a derivált előjelét intervallumokban.

Ezért a függvénynek minimuma van a ponton
, maximum pontban
És
.

3) Egy függvény definiált és folytonos, ha
, azaz nál nél
.

Keressük a származékot

.

Keressük a kritikus pontokat:

Pontok környékei
nem tartoznak a definíció tartományába, ezért nem szélsőségesek. Tehát nézzük meg a kritikus pontokat
És
.

4) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumon
. Használjuk a 2. szabályt. Keressük meg a deriváltot
.

Keressük a kritikus pontokat:

Keressük a második származékot
és határozzuk meg annak előjelét a pontokban

A pontokon
funkciónak van minimuma.

A pontokon
a függvénynek van maximuma.

2020 júliusában a NASA expedíciót indít a Marsra. Űrhajó elektronikus adathordozót juttat el a Marsra az expedíció összes regisztrált résztvevőjének nevével.

Ha ez a bejegyzés megoldotta a problémát, vagy csak tetszett, oszd meg a linket barátaiddal a közösségi hálózatokon.

Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és közvetlenül a címke után. Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan figyeli és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, LaTeX és ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és máris beágyazható matematikai képletek webhelye weboldalaira.

Újabb szilveszter... fagyos idő és hópelyhek az ablaküvegen... Mindez arra késztetett, hogy ismét írjak... fraktálokról, és arról, hogy mit tud róla Wolfram Alpha. Ebből az alkalomból van érdekes cikk, amely kétdimenziós fraktálszerkezetekre tartalmaz példákat. Itt többet fogunk nézni összetett példák háromdimenziós fraktálok.

A fraktál vizuálisan ábrázolható (leírható) geometriai alakzatként vagy testként (ez azt jelenti, hogy mindkettő halmaz, jelen esetben ponthalmaz), amelynek részletei ugyanolyan alakúak, mint magának az eredeti alaknak. Vagyis ez egy önhasonló szerkezet, amelynek részleteit megvizsgálva nagyítva ugyanazt az alakot fogjuk látni, mint nagyítás nélkül. Míg a közönséges esetében geometriai alakzat(nem fraktál), nagyításkor olyan részleteket fogunk látni, amelyekben több van egyszerű alak mint maga az eredeti figura. Például elég nagy nagyításnál az ellipszis egy része egyenes szakasznak tűnik. Ez nem történik meg a fraktálokkal: ezek növekedésével újra ugyanazt az összetett alakzatot fogjuk látni, amely minden növekedésnél újra és újra megismétlődik.

Benoit Mandelbrot, a fraktálok tudományának megalapítója ezt írta Fraktálok és művészet a tudomány nevében című cikkében: „A fraktálok geometriai formák, amelyek részleteiben és általános formájukban egyaránt összetettek. Vagyis ha egy fraktál egy részét az egész méretére nagyítjuk, akkor egészként fog megjelenni, vagy pontosan, vagy esetleg enyhe deformációval."

. Ehhez használjon milliméterpapírt vagy grafikus számológépet. Válasszon ki tetszőleges számú numerikus értéket az x független változóhoz (\displaystyle x), és csatlakoztassa őket a függvényhez az y függő változó értékeinek kiszámításához (\displaystyle y). Ábrázolja a pontok talált koordinátáit Koordináta sík, majd kösse össze ezeket a pontokat a függvény grafikonjának ábrázolásához.

• Helyettesítsd be a pozitívakat a függvénybe számértékek x (\displaystyle x) és a megfelelő negatív számértékek. Például adott egy f (x) = 2 x 2 + 1 függvény (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) . Helyettesítse be a következő x (\displaystyle x) értékeket:

Ellenőrizzük, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus-e az Y tengelyre, szimmetria alatt a gráf y tengely körüli tükörképét értjük. Ha a grafikonnak az Y tengelytől jobbra eső része (a független változó pozitív értékei) megegyezik a grafikonnak az Y tengelytől balra eső részével (a független változó negatív értékei ), a grafikon szimmetrikus az Y tengelyre Ha a függvény szimmetrikus az y tengelyre, akkor a függvény páros.

Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus-e az origóra. Az origó a (0,0) koordinátákkal rendelkező pont. Az origó szimmetriája azt jelenti, hogy y pozitív értéke (\displaystyle y) (x pozitív értéke esetén (\displaystyle x) ) megfelel a (\displaystyle y) negatív értékének (\displaystyle y) (negatív érték esetén x-ből (\displaystyle x) ), és fordítva. A páratlan függvényeknek szimmetriája van az origóval kapcsolatban.

Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja rendelkezik-e szimmetriával. Az utolsó típusú függvény olyan függvény, amelynek gráfjában nincs szimmetria, vagyis nincs tükörkép sem az ordinátatengelyhez, sem az origóhoz viszonyítva. Például a függvény adott.

• Helyettesíts be több pozitív és megfelelőt a függvénybe negatív értékeket x (\displaystyle x) :
• A kapott eredmények szerint nincs szimmetria. Az y (\displaystyle y) értéke x ellentétes értékéhez (\displaystyle x) nem azonos és nem ellentétes. Így a függvény nem páros és nem páratlan.
• Kérjük, vegye figyelembe, hogy az f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) függvény a következőképpen írható fel: f (x) = (x + 1) ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Ebben a formában írva a függvény még akkor is megjelenik, mert páros kitevője van. De ez a példa azt bizonyítja, hogy a függvény típusát nem lehet gyorsan meghatározni, ha a független változó zárójelben van. Ebben az esetben meg kell nyitnia a zárójeleket, és elemeznie kell a kapott kitevőket.

Amelyek ilyen vagy olyan mértékben ismerősek voltak számodra. Ott is feljegyezték, hogy a funkciótulajdonságok állománya fokozatosan bővül. Ebben a részben két új ingatlanról lesz szó.

1. definíció.

Az y = f(x), x є X függvényt akkor is meghívjuk, ha az X halmaz bármely x értékére fennáll az f (-x) = f (x) egyenlőség.

2. definíció.

Az y = f(x), x є X függvényt páratlannak nevezzük, ha az X halmaz bármely x értékére teljesül az f (-x) = -f (x) egyenlőség.

Bizonyítsuk be, hogy y = x 4 páros függvény.

Megoldás. Van: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. De (-x) 4 = x 4. Ez azt jelenti, hogy bármely x-re teljesül az f(-x) = f(x) egyenlőség, azaz. a függvény páros.

Hasonlóan igazolható, hogy az y - x 2, y = x 6, y - x 8 függvények párosak.

Bizonyítsuk be, hogy y = x 3 ~ páratlan függvény.

Megoldás. Van: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. De (-x) 3 = -x 3. Ez azt jelenti, hogy bármely x-re teljesül az f (-x) = -f (x) egyenlőség, azaz. a függvény páratlan.

Hasonlóan bebizonyítható, hogy az y = x, y = x 5, y = x 7 függvények páratlanok.

Ön és én már nem egyszer meggyőződtünk arról, hogy a matematikában az új kifejezések leggyakrabban „földi” eredetűek, pl. valahogy megmagyarázhatók. Ez a helyzet a páros és a páratlan függvényeknél is. Lásd: y - x 3, y = x 5, y = x 7 páratlan függvények, míg y = x 2, y = x 4, y = x 6 páros függvények. Általánosságban elmondható, hogy bármely y = x" alakú függvényre (az alábbiakban ezeket a függvényeket vizsgáljuk meg), ahol n egy természetes szám, arra a következtetésre juthatunk: ha n nem páros szám, akkor az y = x" függvény páratlan; ha n páros szám, akkor az y = xn függvény páros.

Vannak olyan függvények is, amelyek se nem párosak, se nem páratlanok. Ilyen például az y = 2x + 3 függvény. Valóban, f(1) = 5 és f (-1) = 1. Amint látható, itt tehát nem az f(-x) = azonosság f (x), sem az f(-x) = -f(x) azonosság.

Tehát egy függvény lehet páros, páratlan vagy egyik sem.

Annak a kérdésnek a tanulmányozása, hogy vajon adott funkciót páros vagy páratlan általában a paritás függvényének vizsgálata.

Az 1. és 2. definícióban arról beszélünk a függvény értékeiről az x és -x pontokban. Ez feltételezi, hogy a függvény az x és a -x pontban is definiálva van. Ez azt jelenti, hogy az -x pont az x ponttal egyidejűleg a függvény definíciós tartományába tartozik. Ha egy X numerikus halmaz minden x elemével együtt az ellentétes -x elemet is tartalmazza, akkor X-et szimmetrikus halmaznak nevezzük. Tegyük fel, hogy (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) szimmetrikus halmazok, míg )