X = X átlag X

Abszolút

hiba

Relatív

hiba

a+ b

a+ b

Feltételek mérési hibaÉs mérési hiba felcserélhetően használjuk.) Ennek az eltérésnek a nagyságát például csak statisztikai módszerekkel lehet megbecsülni. Ugyanakkor azért igaz értelme-ból kapott átlagos statisztikai érték statisztikai feldolgozás méréssorozat eredményei. Ez a kapott érték nem pontos, csak a legvalószínűbb. Ezért a méréseknél fel kell tüntetni, hogy mi a pontosságuk. Ehhez a kapott eredménnyel együtt a mérési hiba is megjelenik. Például rögzíteni T=2,8±0,1 c. azt jelenti, hogy a mennyiség valódi értéke T tól tartományba esik 2,7 s. előtt 2,9 s. bizonyos meghatározott valószínűség (lásd konfidencia intervallum, konfidenciavalószínűség, standard hiba).

2006-ban nemzetközi szinten új dokumentumot fogadtak el, amely meghatározza a mérések elvégzésének feltételeit és új szabályokat állapít meg az állami szabványok összehasonlítására. A „hiba” fogalma elavult, helyette bevezették a „mérési bizonytalanság” fogalmát.

A hiba meghatározása

A mért mennyiség jellemzőitől függően különböző módszereket alkalmaznak a mérési hiba meghatározására.

• A Kornfeld-módszer abból áll, hogy a minimálistól a maximális mérési eredményig terjedő konfidencia intervallumot választanak, és a hibát a maximális és minimális mérési eredmény különbségének feleként:

• Átlagos négyzetes hiba:

• A számtani átlag négyzetgyökhibája:

Besorolási hiba

Előadási forma szerint

• Abszolút hiba - Δ x az abszolút mérési hiba becslése. A hiba nagysága a számítási módszertől függ, amelyet viszont a valószínűségi változó eloszlása ​​határoz meg x meas . Ebben az esetben az egyenlőség:

Δ x = | x true − x meas | ,

Ahol x true az igazi érték, és x meas - a mért értéknek bizonyos 1-hez közeli valószínűséggel kell teljesülnie. Ha véletlenszerű érték x meas normáltörvény szerint oszlik el, akkor általában ennek szórását tekintjük abszolút hibának. Az abszolút hibát ugyanabban a mértékegységben mérjük, mint magát a mennyiséget.

• Relatív hiba- az abszolút hiba és az igaznak elfogadott érték aránya:

A relatív hiba dimenzió nélküli mennyiség, vagy százalékban mérve.

• Csökkentett hiba- relatív hiba, amelyet a mérőműszer abszolút hibájának egy mennyiség konvencionálisan elfogadott értékéhez viszonyított arányában fejeznek ki, amely a teljes mérési tartományban vagy a tartomány egy részén állandó. Képlettel számolva

Ahol x n- normalizáló érték, amely a skála típusától függ mérőeszközés a besorolása határozza meg:

Ha a műszermérleg egyoldalú, pl. akkor az alsó mérési határ nulla x n a mérés felső határával egyenlő;
- ha a műszerskála kétoldalas, akkor a normalizáló érték megegyezik a műszer mérési tartományának szélességével.

A megadott hiba dimenzió nélküli mennyiség (százalékban mérhető).

Az előfordulás miatt

• Hangszeres/hangszeres hibák- az alkalmazott mérőműszerek hibái által meghatározott hibák, amelyek a működési elv tökéletlenségéből, a skála kalibrálásának pontatlanságából, valamint a készülék láthatóságának hiányából adódnak.
• Módszertani hibák- a módszer tökéletlenségéből adódó hibák, valamint a módszertan alapjául szolgáló egyszerűsítések.
• Szubjektív / kezelői / személyes hibák- a kezelő figyelmességéből, koncentrációjából, felkészültségéből és egyéb tulajdonságaiból adódó hibák.

A technológiában a műszereket csak bizonyos előre meghatározott pontossággal mérik - ez a fő hiba, amelyet egy adott készülék normál működési feltételei mellett megengedett.

Ha az eszköz a szokásostól eltérő körülmények között működik, akkor további hiba lép fel, ami növeli az eszköz általános hibáját. További hibák a következők: hőmérséklet, a hőmérséklet eltérése miatt környezet a normáltól, telepítés, a készülék helyzetének a normál működési helyzettől való eltérése miatt stb. A normál környezeti hőmérséklet 20°C, és a normál Légköri nyomás 01,325 kPa.

A mérőműszerek általános jellemzője a pontossági osztály, amelyet a legnagyobb megengedett fő- és kiegészítő hibák, valamint a mérőműszerek pontosságát befolyásoló egyéb paraméterek határoznak meg; a paraméterek jelentését bizonyos típusú mérőműszerekre vonatkozó szabványok határozzák meg. A mérőműszerek pontossági osztálya jellemzi precíziós tulajdonságaikat, de nem közvetlenül jelzi az ezekkel a műszerekkel végzett mérések pontosságát, hiszen a pontosság függ a mérési módszertől és a megvalósítás feltételeitől is. Azok a mérőműszerek, amelyek megengedett alaphibájának határértékei az adott alap (relatív) hibák formájában vannak megadva, a következő számokból kiválasztva pontossági osztályokat kapnak: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 ; 5,0) 6,0)*10n, ahol n = 1; 0; -1; -2 stb.

A megnyilvánulás természeténél fogva

• Véletlen hiba- mérésenként változó (nagyságrendben és előjelben) hiba. A véletlenszerű hibák összefüggésbe hozhatók a műszerek tökéletlenségével (mechanikus eszközök súrlódása stb.), városi körülmények között rázással, a mérési objektum tökéletlenségével (például egy vékony huzal átmérőjének mérésekor, amelynek nem lehet teljesen kereke) keresztmetszet a gyártási folyamat tökéletlenségei miatt, magának a mért mennyiségnek a jellemzőivel (például a mennyiség mérésekor elemi részecskék percenkénti áthaladás egy Geiger-számlálón).
• Szisztematikus hiba- egy bizonyos törvény szerint időben változó hiba (speciális eset egy állandó hiba, amely időben nem változik). A szisztematikus hibák a kísérletvezető által figyelmen kívül hagyott műszerhibákhoz (rossz skála, kalibrálás stb.) társulhatnak.
• Progresszív (drift) hiba- előre nem látható hiba, amely idővel lassan változik. Ez egy nem stacionárius véletlenszerű folyamat.
• Nagy hiba (kihagyás)- a kísérletvezető figyelmen kívül hagyásából vagy a berendezés meghibásodásából eredő hiba (például ha a kísérletvezető rosszul olvasta le a műszerskálán az osztások számát, ha rövidzárlat történt az elektromos áramkörben).

Korunkban az ember rengetegféle mérőműszert talált fel és használ. De bármennyire is tökéletes a gyártási technológia, mindegyikben van kisebb-nagyobb hiba. Ezt a paramétert általában magán a műszeren tüntetik fel, és a meghatározandó érték pontosságának értékeléséhez meg kell értenie, mit jelentenek a jelölésen feltüntetett számok. Emellett a bonyolult matematikai számítások során elkerülhetetlenül felmerülnek relatív és abszolút hibák. Széles körben használják a statisztikákban, az iparban (minőség-ellenőrzés) és számos más területen. Hogyan számítják ki ezt az értéket és hogyan értelmezzük értékét - pontosan erről lesz szó ebben a cikkben.

Abszolút hiba

Jelöljük x-szel egy mennyiség közelítő értékét, amelyet például egyetlen méréssel kapunk, és x 0-val a pontos értékét. Most számoljuk ki a két szám közötti különbség nagyságát. Az abszolút hiba pontosan az az érték, amelyet ennek az egyszerű műveletnek az eredményeként kaptunk. A képletek nyelvén, ezt a meghatározástígy írható fel: Δ x = | x - x 0 |.

Relatív hiba

Az abszolút eltérésnek van egy fontos hátránya - nem teszi lehetővé a hiba fontosságának mértékét. Például 5 kg krumplit veszünk a piacon, és egy gátlástalan eladó a súlymérésnél 50 grammot hibázott a javára. Vagyis az abszolút hiba 50 gramm volt. Számunkra egy ilyen mulasztás puszta apróság lesz, és nem is fogunk rá figyelni. Képzelje el, mi történik, ha hasonló hiba történik a gyógyszer elkészítése során? Itt minden sokkal komolyabb lesz. Egy tehervagon berakodása esetén pedig valószínűleg ennél az értéknél sokkal nagyobb eltérések lépnek fel. Ezért maga az abszolút hiba nem túl informatív. Emellett nagyon gyakran a relatív eltérést is kiszámítják, amely megegyezik az abszolút hiba és a szám pontos értékének arányával. Ezt rögzítik a következő képlet: δ = Δ x / x 0 .

Hiba tulajdonságai

Tegyük fel, hogy két független mennyiségünk van: x és y. Ki kell számolnunk az összegük közelítő értékének eltérését. Ebben az esetben az abszolút hibát mindegyikük előre kiszámított abszolút eltérésének összegeként számíthatjuk ki. Egyes méréseknél megtörténhet, hogy az x és y értékek meghatározásának hibái kioltják egymást. Illetve előfordulhat, hogy az összeadás hatására az eltérések maximálisan felerősödnek. Ezért a teljes abszolút hiba kiszámításakor a legrosszabb forgatókönyvet kell figyelembe venni. Ugyanez igaz a több mennyiség hibái közötti különbségre is. Ez a tulajdonság csak az abszolút hibára jellemző, relatív eltérésre nem alkalmazható, mivel ez elkerülhetetlenül hibás eredményhez vezet. Nézzük meg ezt a helyzetet a következő példa segítségével.

Tegyük fel, hogy a henger belsejében végzett mérések azt mutatták, hogy a belső sugár (R 1) 97 mm, a külső sugár (R 2) 100 mm. Meg kell határozni a fal vastagságát. Először keressük meg a különbséget: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Ha a probléma nem jelzi az abszolút hibát, akkor azt a mérőeszköz skálaosztásának felének vesszük. Így Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. A teljes abszolút hiba: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Most számítsuk ki az összes érték relatív eltérését:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Mint látható, mindkét sugár mérésének hibája nem haladja meg az 5,2%-ot, a különbségük kiszámításánál - a hengerfal vastagságánál - a hiba 33,(3)% volt!

A következő tulajdonság kimondja: több szám szorzatának relatív szórása megközelítőleg egyenlő az összeggel relatív eltérések egyéni tényezők:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Ezenkívül ez a szabály a kiértékelt értékek számától függetlenül érvényes. A relatív hiba harmadik és egyben utolsó tulajdonsága a relatív becslés kth számok fok megközelítőleg | k | az eredeti szám relatív hibájának szorzata.

Tegyük fel, hogy egy sorozatot futtatunk n azonos mennyiség mérése x. Véletlenszerű hibák, egyedi értékek miatt x 1 ,x 2 ,x 3, x n nem ugyanaz, és a számtani átlag egyenlő számtani összeg az összes mért érték elosztva a mérések számával:

. (1. o.)

ahol å az összeg jele, én- mérési szám, n- mérések száma.

Tehát - az igazihoz legközelebb eső érték. Senki sem tudja a valódi jelentését. Csak a D intervallumot tudja kiszámítani x közelében , amelyben a valódi érték bizonyos fokú valószínűséggel megtalálható R. Ezt az intervallumot ún megbízhatósági intervallum. Azt a valószínűséget, amellyel a valódi érték beleesik, ún megbízhatósági valószínűség vagy megbízhatósági együttható(mivel a megbízhatósági valószínűség ismerete lehetővé teszi a kapott eredmény megbízhatóságának mértékét). A konfidenciaintervallum kiszámításakor szükséges végzettség a megbízhatóság előre be van állítva. Gyakorlati igények határozzák meg (például a repülőgép hajtóműveivel szemben szigorúbb követelményeket támasztanak, mint a hajómotorokkal szemben). Nyilvánvalóan a nagyobb megbízhatóság eléréséhez a mérések számának és alaposságának növelése szükséges.

Tekintettel arra, hogy az egyes mérések véletlenszerű hibái valószínűségi törvények, módszerek hatálya alá tartoznak matematikai statisztika a valószínűségelméletek pedig lehetővé teszik a számtani középérték négyzetes középhibájának kiszámítását Dx sl. Írjuk fel a bizonyítás nélküli számítás képletét Dx cl kis számú méréshez ( n < 30).

A képletet Student-képletnek nevezik:

, (A.2)

Ahol t n, p - Student együttható, a mérések számától függően nés a bizalom valószínűsége R.

A Student együtthatót az alábbi táblázatból találjuk meg, előzetesen a gyakorlati igények alapján (mint fentebb említettük) meghatároztuk az értékeket nÉs R.

Az eredmények feldolgozásakor laboratóriumi munka Elegendő 3-5 mérést elvégezni, és 0,68-nak megfelelő konfidenciavalószínűséget venni.

De előfordul, hogy több méréssel ugyanazokat az értékeket kapjuk x. Például 5-ször mértük meg a huzal átmérőjét, és 5-ször kaptuk meg ugyanazt az értéket. Tehát ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy nincs hiba. Ez csak azt jelenti, hogy az egyes mérések véletlenszerű hibája kisebb pontosság d eszköz, amelyet más néven műszerterem,vagy hangszeres, hiba. A d eszköz műszeres hibáját az eszköznek az útlevelében megadott vagy magán az eszközön feltüntetett pontossági osztálya határozza meg. És néha úgy vesszük, hogy egyenlő az eszköz felosztási árával (az eszköz felosztási ára a legkisebb felosztásának értéke) vagy a felosztási ár felével (ha az eszköz felosztási árának fele megközelítőleg meghatározható szem).

Mivel az egyes értékek x i-t d hibával kaptuk, majd a teljes konfidencia intervallumot Dx, vagy abszolút mérési hiba, a következő képlettel számítható ki:

. (3. o.)

Figyeljük meg, hogy ha az (A.3) képletben az egyik mennyiség legalább 3-szor nagyobb, mint a másik, akkor a kisebbet figyelmen kívül hagyjuk.

Az abszolút hiba önmagában nem tükrözi a mérések minőségét. Például csak azon információk alapján, hogy az abszolút hiba 0,002 m², nem lehet megítélni, hogy a mérést mennyire sikerült elvégezni. A végzett mérések minőségéről képet ad a relatív hiba e, egyenlő az aránnyal abszolút hiba a mért érték átlagértékéhez képest. A relatív hiba azt mutatja meg, hogy az abszolút hiba mekkora hányada van a mért értékhez képest. A relatív hibát általában százalékban fejezik ki:

Nézzünk egy példát. Mérjük meg a golyó átmérőjét egy mikrométerrel, melynek műszeres hibája d = 0,01 mm. Három mérés eredményeként a következő átmérő értékeket kaptuk:

d 1 = 2,42 mm, d 2 = 2,44 mm, d 3 = 2,48 mm.

Az (A.1) képlet segítségével meghatározzuk a golyó átmérőjének számtani középértékét

Ezután a Student-együtthatók táblázatát használva azt találják, hogy 0,68-as konfidenciaszint mellett három méréssel t n, p = 1,3. Ezután az (A.2) képlet segítségével számítsa ki véletlenszerű hiba mérések Dd sl

Mivel a kapott véletlen hiba csak kétszer akkora, mint a műszeres hiba, az abszolút mérési hiba megtalálásakor Dd(A.3) szerint mind a véletlenszerű hibát, mind a műszerhibát figyelembe kell venni, pl.

mm » ±0,03 mm.

A hibát századmilliméterre kerekítettük, mivel az eredmény pontossága nem haladhatja meg a mérőeszköz pontosságát, amely jelen esetben 0,01 mm.

Tehát a huzal átmérője az

mm.

Ez a bejegyzés arra utal, hogy a golyó átmérőjének valódi értéke 68%-os valószínűséggel a (2,42 ¸ 2,48) mm intervallumban van.

Az (A.4) szerint kapott érték e relatív hibája az

%.

A méreteket ún egyenes, ha a mennyiségek értékét közvetlenül műszerek határozzák meg (például hosszmérés vonalzóval, idő meghatározása stopperórával stb.). A méreteket ún közvetett, ha a mért mennyiség értékét más mennyiségek közvetlen mérésével határozzák meg, amelyek a mért konkrét összefüggéshez kapcsolódnak.

Véletlenszerű hibák a közvetlen méréseknél

Abszolút és relatív hiba. Hadd hajtsák végre N azonos mennyiség mérése x szisztematikus hiba hiányában. Az egyéni mérési eredmények a következők: x 1 ,x 2 , …,x N. A mért érték átlagértéke a legjobb:

Abszolút hiba egyetlen mérés alakjának különbségének nevezzük:

.

Átlagos abszolút hiba N egységméretek:

(2)

hívott átlagos abszolút hiba.

Relatív hiba Az átlagos abszolút hiba és a mért mennyiség átlagértékének arányát nevezzük:

. (3)

Műszerhibák a közvetlen méréseknél

Ha nincs külön utasítás, a műszerhiba az osztásérték felével egyenlő (vonalzó, főzőpohár).

A nóniuszos műszerek hibája megegyezik a nóniusz osztás értékével (mikrométer - 0,01 mm, tolómérő - 0,1 mm).

A táblázat értékeinek hibája az utolsó számjegy felével egyenlő (az utolsó jelentős számjegy után következő sorrend öt egysége).

Az elektromos mérőműszerek hibáját a pontossági osztály szerint számítják ki VAL VEL a műszer skálán feltüntetve:

Például:
És
,

Ahol U maxÉs én max– a készülék méréshatára.

A digitális kijelzővel rendelkező készülékek hibája megegyezik a kijelző utolsó számjegyének egyikével.

A véletlenszerű és műszeres hibák értékelése után azt veszik figyelembe, amelyik értéke nagyobb.

A közvetett mérések hibáinak számítása

A legtöbb mérés közvetett. Ebben az esetben a kívánt X érték több változó függvénye A,b, c… , melynek értékei közvetlen méréssel is megtalálhatók: X = f( a, b, c…).

A közvetett mérések eredményének számtani átlaga egyenlő lesz:

X = f( a, b, c…).

A hiba kiszámításának egyik módja az X = f() függvény természetes logaritmusának megkülönböztetése a, b, c...). Ha például a kívánt X értéket az X = összefüggés határozza meg , akkor a logaritmus után a következőt kapjuk: lnX = ln a+ln b+ln( c+ d).

Ennek a kifejezésnek a különbsége a következő:

.

A közelítő értékek számítása kapcsán a relatív hibára a következő formában írható:

 =
. (4)

Az abszolút hiba kiszámítása a következő képlettel történik:

Х = Х(5)

Így a hibák kiszámítása és a közvetett mérések eredményének kiszámítása a következő sorrendben történik:

1) Mérje meg a kezdeti képletben szereplő összes mennyiséget a végeredmény kiszámításához.

2) Számítsa ki az egyes mért értékek számtani átlagértékeit és azok abszolút hibáit.

3) Helyettesítse be az összes mért érték átlagértékét az eredeti képletbe, és számítsa ki a kívánt érték átlagértékét:

X = f( a, b, c…).

4) Logaritálja az eredeti képletet X = f( a, b, c...) és írja le a relatív hiba kifejezését a (4) képlet formájában.

5) Számítsa ki a relatív hibát  = .

6) Számítsa ki az eredmény abszolút hibáját az (5) képlet segítségével!

7) A végeredményt így írjuk:

A legegyszerűbb függvények abszolút és relatív hibáit a táblázat tartalmazza: