Megnéztük a legalapvetőbbet trigonometrikus függvények(ne tévesszen meg, a szinuszon, koszinuszon, érintőn és kotangensen kívül még egy sor függvény létezik, de ezekről később), de most nézzük meg a már vizsgált függvények néhány alapvető tulajdonságát.

Numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Bármilyen t valós számot vegyünk is fel, egy egyedileg meghatározott sin(t) számhoz társítható. Igaz, az illesztési szabály meglehetősen összetett, és a következőkből áll.

Ahhoz, hogy a t számból megtaláljuk a sin(t) értékét, a következőkre van szükség:

1. helyezzük el a számkört a koordinátasíkon úgy, hogy a kör középpontja egybeessen a koordináták origójával, és a kör A kezdőpontja az (1; 0) pontba essen;
2. keressünk a körön a t számnak megfelelő pontot;
3. keresse meg ennek a pontnak az ordinátáját.
4. ez az ordináta a kívánt sin(t) .

Valójában az s = sin(t) függvényről beszélünk, ahol t bármely valós szám. Kiszámolhatjuk ennek a függvénynek néhány értékét (például sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) stb.), ismerjük néhány tulajdonságát.

Ugyanígy tekinthetjük, hogy már kaptunk néhány ötletet további három függvényről: s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) Mindezeket a függvényeket a t numerikus argumentum trigonometrikus függvényeinek nevezzük. .

A trigonometrikus függvények kapcsolata

Amint azt remélem sejted, minden trigonometrikus függvény összefügg egymással, és az egyik jelentésének ismerete nélkül is megtalálható a másikon keresztül.

Például minden trigonometriában a legfontosabb képlet az alapvető trigonometrikus azonosság:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Amint látja, a szinusz értékének ismeretében megtalálhatja a koszinusz értékét, és fordítva is. Szintén nagyon gyakori képletek, amelyek a szinusz és a koszinusz tangenssel és kotangenssel kötik össze:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Az utolsó két képletből egy másik trigometrikus azonosság származtatható, amely ezúttal az érintőt és a kotangenst köti össze:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Most pedig nézzük meg, hogyan működnek ezek a képletek a gyakorlatban.

1. PÉLDA Egyszerűsítse a kifejezést: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Először is írjuk fel az érintőt a négyzet megtartásával:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Most tegyünk mindent egy közös nevező alá, és kapjuk:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

És végül, amint látjuk, a számláló egyre redukálható a fő trigonometrikus azonossággal, ennek eredményeként a következőt kapjuk: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) A kotangenssel ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, csak a nevező már nem koszinusz lesz, hanem szinusz, és a válasz a következő:

\[ 1+ \kiságy^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

A feladat elvégzése után még két nagyon fontos képletet vontunk le, amelyek összekapcsolják a függvényeinket, amelyeket szintén tudnunk kell, mint a tenyerünket:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Tudnia kell az összes bemutatott képletet fejből, különben a trigonometria további tanulmányozása nélkülük egyszerűen lehetetlen. A jövőben még több képlet lesz, és nagyon sok lesz, és biztosíthatlak, hogy mindegyikre biztosan sokáig fog emlékezni, vagy talán nem fog emlékezni, de ezt a hat dolgot MINDENKINEK tudnia kell!

1. definíció: Az y=sin x képlettel adott numerikus függvényt szinusznak nevezzük.

Ezt a görbét - szinuszos hullám.

Az y=sin x függvény tulajdonságai

2. A függvény értéktartománya: E(y)=[-1; 1]

3. Paritásfüggvény:

y=sin x – páratlan,.

4. Periodikus: sin(x+2πn)=sin x, ahol n egész szám.

Ez a funkció egy bizonyos idő elteltével ugyanazokat az értékeket veszi fel. A függvénynek ezt a tulajdonságát ún frekvencia. Az intervallum a függvény periódusa.

Az y=sin x függvény esetén a periódus 2π.

Az y=sin x függvény periodikus, Т=2πn periódussal, n egész szám.

A legkisebb pozitív periódus T=2π.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel: sin(x+2πn)=sin x, ahol n egész szám.

2. definíció: Az y=cosx képlettel adott numerikus függvényt koszinusznak nevezzük.

Az y=cos x függvény tulajdonságai

1. Függvénytartomány: D(y)=R

2. Függvényérték terület: E(y)=[-1;1]

3. Paritásfüggvény:

y=cos x – páros.

4. Periodikus: cos(x+2πn)=cos x, ahol n egész szám.

Az y=cos x függvény periodikus, periódusa Т=2π.

3. definíció: Az y=tan x képlettel adott numerikus függvényt érintőnek nevezzük.

Az y=tg x függvény tulajdonságai

1. A függvény tartománya: D(y) - minden valós szám, kivéve π/2+πk, k – egész szám. Mert ezeken a pontokon az érintő nincs definiálva.

3. Paritásfüggvény:

y=tg x – páratlan.

4. Periodikus: tg(x+πk)=tg x, ahol k egy egész szám.

Az y=tg x függvény π periódusú periodikus.

4. definíció: Az y=ctg x képlettel adott numerikus függvényt kotangensnek nevezzük.

Az y=ctg x függvény tulajdonságai

1. A függvény definíciós tartománya: D(y) - minden valós szám, kivéve πk, k egész szám. Mert ezeken a pontokon a kotangens nincs definiálva.

2. Funkciótartomány: E(y)=R.

A „Numerikus argumentum trigonometrikus függvényei” című videolecke vizuális anyagot biztosít a témakör osztálybeli elmagyarázásakor. A demonstráció során figyelembe veszik a trigonometrikus függvények értékének számból történő képzésének elvét, számos példát ismertetünk, amelyek megtanítják, hogyan kell kiszámítani a trigonometrikus függvények értékét egy számból. A kézikönyv segítségével könnyebben fejleszthető a releváns problémák megoldásának készsége és az anyag memorizálása. A kézikönyv használata növeli az óra hatékonyságát és segít a tanulási célok gyors elérésében.

Az óra elején megjelenik a téma címe. Ezután a feladat az, hogy megkeressük valamilyen numerikus argumentum megfelelő koszinuszát. Megjegyzendő, hogy ez a probléma egyszerűen megoldható, és ez egyértelműen kimutatható. A képernyő egy egységkört jelenít meg, amelynek középpontja az origóban van. Megjegyzendő, hogy a kör metszéspontja az abszcissza tengely pozitív féltengelyével az A(1;0) pontban található. Adunk egy példát az M pontra, amely a t=π/3 argumentumot reprezentálja. Ezt a pontot jelöljük az egységkörön, és az abszcissza tengelyére merőleges ereszkedik le belőle. A pont talált abszcisszája a cos t koszinusza. Ebben az esetben a pont abszcisszája x=1/2 lesz. Ezért cos t=1/2.

Összegezve a figyelembe vett tényeket, megjegyzendő, hogy van értelme az s=cos t függvényről beszélni. Megjegyzendő, hogy a tanulók már rendelkeznek bizonyos ismeretekkel erről a funkcióról. Néhány koszinusz érték kiszámításra kerül: cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Ehhez a függvényhez kapcsolódnak még az s=sin t, s=tg t, s=ctg t függvények. Meg kell jegyezni, hogy mindegyiknek közös neve van - trigonometrikus függvények.

A trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos feladatok megoldásában használt fontos összefüggések bemutatása: a fő azonosság sin 2 t+ cos 2 t=1, az érintő és a kotangens kifejezése szinuszon és koszinuszon keresztül tg t=sin t/cos t, ahol t≠π/ 2+πk kϵZ esetén, ctg t= cos t/sin t, ahol t≠πk kϵZ esetén, valamint az érintő és a kotangens aránya tg t·ctg t=1 ahol t≠πk/2 kϵZ esetén.

Ezután javasoljuk az 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t összefüggés bizonyítását, ahol t≠π/2+πk kϵZ-re. Az azonosság bizonyításához a tg 2 t-t szinusz és koszinusz arányaként kell ábrázolni, majd a bal oldalon lévő tagokat 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos közös nevezőre kell hozni. 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. A trigonometrikus alapazonosságot használva a számlálóban 1-et kapunk, vagyis az 1/ cos 2 t végső kifejezést. Q.E.D.

Az 1+ cot 2 t=1/ sin 2 t azonosságot hasonló módon bizonyítjuk, t≠πk esetén kϵZ-re. Csakúgy, mint az előző bizonyításban, a kotangenst a koszinusz és a szinusz megfelelő aránya helyettesíti, és a bal oldalon lévő mindkét tagot közös nevezőre redukáljuk 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. Az alap trigonometrikus azonosság számlálóra való alkalmazása után 1/ sin 2 t kapunk. Ez az a kifejezés, amit keresünk.

A megszerzett ismeretek alkalmazásában a példák megoldását vizsgáljuk. Az első feladatban meg kell találni a költség, tgt, ctgt értékeit, ha ismert a sint=4/5 szám szinusza, és t a π/2 intervallumhoz tartozik.< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Ezután megvizsgáljuk egy hasonló probléma megoldását, amelyben a tgt = -8/15 érintő ismert, és az argumentum a 3π/2 értékekre korlátozódik.

A szinusz értékének meghatározásához a tangens tgt= sint/cost definícióját használjuk. Ebből azt találjuk, hogy sint= tgt·költség=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Tudva, hogy a kotangens az érintő inverz függvénye, azt kapjuk, hogy ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

A „Numerikus argumentum trigonometrikus függvényei” című videóleckét az iskolai matematikaóra hatékonyságának növelésére használják. A távoktatás során ez az anyag vizuális segédeszközként használható a szám trigonometrikus függvényeit tartalmazó feladatok megoldási készségeinek fejlesztéséhez. Ezen készségek elsajátításához a tanulónak tanácsot lehet adni, hogy önállóan vizsgálja meg a vizuális anyagot.

SZÖVEGDEKÓDOLÁS:

Az óra témája: „Numerikus argumentum trigonometrikus függvényei”.

Bármely t valós szám társítható egy egyedileg meghatározott cos t számhoz. Ehhez a következőket kell tennie:

1) helyezzük el a számkört a koordinátasíkon úgy, hogy a kör középpontja egybeessen a koordináták origójával, és a kör A kezdőpontja az (1;0) pontba essen;

2) keress egy pontot a körön, amely megfelel a t számnak;

3) keresse meg ennek a pontnak az abszcisszáját. Ez azért van, mert.

Ezért az s = cos t függvényről fogunk beszélni (es egyenlő te koszinusz), ahol t bármely valós szám. Már van némi elképzelésünk erről a funkcióról:

• megtanult néhány értéket kiszámítani, például cos 0=1, cos = 0, cos = stb. (nulla koszinusza egyenlő eggyel, pi koszinusza kettővel egyenlő nullával, pi koszinusza hárommal felével egyenlő, és így tovább).
• és mivel a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékei egymással összefüggenek, további három függvényről kaptunk fogalmat: s = sint; s=tgt; s= ctgt. (es egyenlő szinusz te, es egyenlő te érintővel, es egyenlő te kotangenssel)

Mindezeket a függvényeket a t numerikus argumentum trigonometrikus függvényeinek nevezzük.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból néhány összefüggés következik:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (te szinusz négyzet plusz koszinusz négyzet te egyenlő eggyel)

2)tgt = t ≠ + πk, kϵZ esetén (te érintő egyenlő a te szinusz és a te koszinusz arányával, ahol te nem egyenlő pivel kettővel plusz pi ka, ka zet-hez tartozik)

3) ctgt = t ≠ πk, kϵZ esetén (a te kotangens egyenlő a te koszinusz te és a te szinusz arányával, ha te nem egyenlő pi ka-val, ka zet-hez tartozik).

4) tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ , kϵZ esetén (a te érintő szorzata te kotangenssel egyenlő eggyel, ha te nem egyenlő a ka csúcsgal, osztva kettővel, ka zet-hez tartozik)

Mutassunk be még két fontos képletet:

Nézzünk példákat.

1. PÉLDA Keresse költség, tgt, ctgt, ha sint = és< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Megoldás. Az első összefüggésből azt találjuk, hogy a te koszinusz négyzet egyenlő egy mínusz te szinusz négyzet: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

Ez azt jelenti, hogy cos 2 t = 1 -() 2 = (a koszinusz négyzet te egyenlő kilenc huszonötöddel), azaz költség = (te koszinusz te egyenlő három ötöddel) vagy költség = - (te koszinusz négyzet egyenlő mínusz három ötöd). Feltétel szerint a t argumentum a második negyedhez tartozik, és benne cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Ez azt jelenti, hogy a te koszinusz mínusz háromötöd, költség = - .

Számítsuk ki a te érintőt:

tgt = = ׃ (-)= - ;(a te érintő egyenlő a te szinuszos te és a koszinusz te arányával, ezért négyötöd és mínusz háromötöd és mínusz négyharmad)

Ennek megfelelően kiszámoljuk (a te szám kotangensét. mivel a te kotangens egyenlő a te koszinuszának a te szinuszához viszonyított arányával,) ctgt = = - .

(a kotangens te egyenlő mínusz háromnegyeddel).

Válasz: költség = - , tgt= - ; ctgt = - . (megoldás közben kitöltjük a választ)

2. PÉLDA Ismeretes, hogy tgt = - és< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Megoldás. Használjuk ezt a kapcsolatot, és cseréljük be az értéket ebbe a képletbe, hogy megkapjuk:

1 + (-) 2 = (te koszinusz négyzetenként egy egyenlő egy és a négyzet mínusz nyolc tizenötöd összegével). Innen a cos 2 t =

(a koszinusz négyzet te egyenlő kétszázhuszonöt-kétszáznyolcvankilenceddel). Ez azt jelenti, hogy költség = (koszinusz te tizenöt tizenheteded) vagy

költség =. Feltétel szerint a t argumentum a negyedik negyedévhez tartozik, ahol a költség>0. Ezért költség = .(a cosenus te tizenöt tizenheteded)

Határozzuk meg a sine te argumentum értékét. Mivel a relációból (mutassuk meg a tgt = összefüggést t ≠ + πk, kϵZ esetén) szinusz te egyenlő te tangens te koszinusz szorzatával, akkor a te..tangens te argumentum értékét behelyettesítve mínusz nyolc tizenötöd .. feltétel alapján, és a koszinusz te egyenlő a korábban megoldottal, kapjuk

sint = tgt ∙ költség = (-) ∙ = - , (szinusz te egyenlő mínusz nyolc tizenheteded)

ctgt = = - . (mivel a te kotangens az érintő reciproka, ami azt jelenti, hogy a te kotangens mínusz tizenöt tizennyolcaddal egyenlő)

Meghatározás. A numerikus argumentum trigonometrikus függvényei a radiánokkal egyenlő szög azonos nevű trigonometrikus függvényei.

Magyarázzuk meg ezt a definíciót konkrét példákkal.

1. példa Számítsuk ki az értéket. Itt egy absztrakt irracionális számot értünk. A meghatározás szerint. Így, .

2. példa Számítsuk ki az értéket. Itt 1,5 alatt egy absztrakt számot értünk. A meghatározás szerint (lásd a II. függeléket).

3. példa: Számítsa ki az értéket Ugyanazt kapjuk, mint fent (lásd a II. függeléket).

Tehát a jövőben a trigonometrikus függvények érvelésével egy szöget (ívet) vagy csak egy számot fogunk érteni, attól függően, hogy milyen feladatot oldunk meg. És bizonyos esetekben az argumentum egy olyan mennyiség is lehet, amelynek más dimenziója is van, például idő stb. Ha egy argumentumot szögnek (ívnek) nevezünk, azt a számot érthetjük alatta, amellyel radiánban mérjük.