Nemzeti Kutató Egyetem
Alkalmazott Földtani Tanszék
Absztrakt a felsőbb matematikáról
A témában: „Alapvető elemi függvények,
tulajdonságaik és grafikonjaik"
Elkészült:
Ellenőrizve:
tanár
Meghatározás. Az y=a x képlettel adott függvényt (ahol a>0, a≠1) a bázisú exponenciális függvénynek nevezzük.
Fogalmazzuk meg az exponenciális függvény főbb tulajdonságait:
1. A definíciós tartomány az összes valós szám halmaza (R).
2. Tartomány - az összes pozitív valós szám halmaza (R+).
3. A > 1 esetén a függvény a teljes számegyenesen növekszik; 0-nál<а<1 функция убывает.
4. Egy függvény Általános nézet.
, az xО [-3;3] intervallumon
, az xО [-3;3] intervallumon Az y(x)=x n alakú függvényt, ahol n az ОR szám, hatványfüggvénynek nevezzük. Az n szám különböző értéket vehet fel: egész és tört, páros és páratlan értéket egyaránt. Ettől függően a teljesítmény függvény más formát ölt. Tekintsünk olyan speciális eseteket, amelyek hatványfüggvények és tükrözik az ilyen típusú görbe alapvető tulajdonságait a következő sorrendben: hatványfüggvény y=x² (páros kitevővel rendelkező függvény - parabola), hatványfüggvény y=x³ (páratlan kitevővel rendelkező függvény). - köbös parabola) és y=√x (x ½ hatványára) függvény (törtkitevővel rendelkező függvény), negatív egész kitevővel (hiperbola) tartozó függvény.
Teljesítmény funkció y=x²
1. D(x)=R – a függvény a teljes numerikus tengelyen definiálva van;
2. E(y)= és növekszik az intervallumon
Teljesítmény funkció y=x³
1. Az y=x³ függvény grafikonját köbös parabolának nevezzük. Az y=x³ hatványfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
2. D(x)=R – a függvény a teljes numerikus tengelyen definiálva van;
3. E(y)=(-∞;∞) – a függvény minden értéket felvesz a definíciós tartományában;
4. Ha x=0 y=0 – a függvény áthalad az O(0;0) koordináták origóján.
5. A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.
6. A függvény páratlan (szimmetrikus az origóra).
, az xО [-3;3] intervallumon Az x³ előtti numerikus tényezőtől függően a függvény lehet meredek/lapos és növekvő/csökkenő.
Hatványfüggvény negatív egész kitevővel:
Ha az n kitevő páratlan, akkor egy ilyen hatványfüggvény grafikonját hiperbolának nevezzük. Egy egész szám negatív kitevőjű hatványfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) bármely n esetén;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ha n páratlan szám; E(y)=(0;∞), ha n páros szám;
3. A függvény a teljes definíciós tartományban csökken, ha n páratlan szám; a függvény a (-∞;0) intervallumon növekszik és a (0;∞) intervallumon csökken, ha n páros szám.
4. A függvény páratlan (szimmetrikus az origóra), ha n páratlan szám; egy függvény páros, ha n páros szám.
5. A függvény átmegy az (1;1) és (-1;-1) pontokon, ha n páratlan szám, valamint az (1;1) és (-1;1) pontokon, ha n páros szám.
, az xО [-3;3] intervallumon Hatványfüggvény tört kitevővel
A tört kitevővel rendelkező hatványfüggvénynek (kép) az ábrán látható függvény grafikonja van. A tört kitevővel rendelkező hatványfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik: (kép)
1. D(x) ОR, ha n páratlan szám és D(x)= 
, az xО intervallumon 
, az xО [-3;3] intervallumon
Az y = log a x logaritmikus függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. D(x)О (0; + ∞) definíciós tartománya.
2. ÉrtéktartományE(y) О (- ∞; + ∞)
3. A függvény se nem páros, se nem páratlan (általános alakú).
4. A függvény a (0; + ∞) intervallumon növekszik, ha a > 1, és csökken (0; + ∞) ha 0< а < 1.
Az y = log a x függvény grafikonját az y = a x függvény grafikonjából kaphatjuk meg az y = x egyenesre vonatkozó szimmetriatranszformáció segítségével. A 9. ábra a logaritmikus függvény grafikonját mutatja > 1 esetén, és a 10. ábra 0 esetén< a < 1.
; az xО intervallumon 
; az xО intervallumon Az y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x függvényeket trigonometrikus függvényeknek nevezzük.
Az y = sin x, y = tan x, y = ctg x függvények páratlanok, az y = cos x függvény pedig páros.
Függvény y = sin(x).
1. D(x) ОR definíciós terület.
2. Értéktartomány E(y) О [ - 1; 1].
3. A függvény periodikus; a főperiódus 2π.
4. A függvény páratlan.
5. A függvény [ -π/2 + 2πn intervallumonként növekszik; π/2 + 2πn] és a [π/2 + 2πn intervallumokon csökken; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Az y = sin (x) függvény grafikonja a 11. ábrán látható.
Fontos!
Az „y = kx + b” alakú függvényt lineáris függvénynek nevezzük.
A "k" és a "b" betűtényezőket hívják numerikus együtthatók.
A „k” és „b” helyett tetszőleges szám lehet (pozitív, negatív vagy tört).
Más szóval azt mondhatjuk, hogy „y = kx + b” az összes lehetséges függvény családja, ahol „k” és „b” helyett számok vannak.
Példák olyan függvényekre, mint „y = kx + b”.
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
k = 2 3 b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0 Különös figyelmet kell fordítani az "y = 0,5x" függvényre a táblázatban. Gyakran elkövetik azt a hibát, hogy a „b” numerikus együtthatót keresik.
Ha figyelembe vesszük az „y = 0,5x” függvényt, helytelen azt mondani, hogy a függvényben nincs „b” numerikus együttható.
A "b" numerikus együttható mindig jelen van az olyan függvényekben, mint az "y = kx + b". Az „y = 0,5x” függvényben a „b” numerikus együttható nulla.
Hogyan rajzoljunk lineáris függvényt
"y = kx + b"Emlékezik!
Menetrend lineáris függvény"y = kx + b" egy egyenes.
Mivel az „y = kx + b” függvény grafikonja egy egyenes, a függvényt hívjuk lineáris függvény.
A geometriából idézzük fel azt az axiómát (bizonyítást nem igénylő állítás), hogy bármely két ponton keresztül lehet egyenest húzni, ráadásul csak egyet.
A fenti axióma alapján ebből az következik, hogy a forma függvényének ábrázolásához
„y = kx + b” elég lesz csak két pontot találnunk.Például készítsük el a függvény grafikonját"y = −2x + 1".
Keressük meg az "y" függvény értékét két tetszőleges "x" értékre. Helyettesítsük például az „x” helyett a „0” és „1” számokat.
Fontos!
Ha tetszőleges numerikus értékeket választ az „x” helyett, jobb, ha a „0” és az „1” számokat veszi. Ezekkel a számokkal könnyű számolni.
A kapott „x” és „y” értékek a függvénygrafikon pontjainak koordinátái.
Írjuk be a táblázatba az „y = −2x + 1” pontok kapott koordinátáit.
Jelöljük a kapott pontokat a koordinátarendszeren.
Most húzzunk egy egyenest a megjelölt pontokon. Ez a vonal lesz az „y = −2x + 1” függvény grafikonja.
Hogyan lehet megoldani a problémákat
"y = kx + b" lineáris függvényTekintsük a problémát.
Ábrázolja az „y = 2x + 3” függvényt. Keresés grafikon szerint:
- az „y” érték a −1-gyel egyenlő „x” értéknek felel meg; 2; 3; 5;
- az "x" értéke, ha az "y" értéke 1; 4; 0; −1.
Először ábrázoljuk az „y = 2x + 3” függvényt.
Olyan szabályokat használunk, amelyek szerint felsőbbrendűek vagyunk. Az „y = 2x + 3” függvény grafikonos ábrázolásához elegendő csak két pontot találni.
Válasszunk két tetszőleges számértéket az „x”-hez. A számítások megkönnyítése érdekében a „0” és az „1” számokat választjuk.
Végezzük el a számításokat, és írjuk be az eredményeket a táblázatba!
Jelöljük a kapott pontokat a derékszögű koordináta-rendszeren.
Kössük össze a kapott pontokat egy egyenessel. A megrajzolt egyenes az „y = 2x + 3” függvény grafikonja lesz.
Most az „y = 2x + 3” függvény megszerkesztett gráfjával dolgozunk.
Meg kell találnia az „x” értéknek megfelelő „y” értéket,
amely egyenlő -1; 2; 3; 5.- Ökör" nullához (x = 0) ;
- a függvényképletben az „x” helyére nullát cseréljünk, és keressük meg az „y” értéket;
- Oy".
Az „y = −1,5x + 3” függvény képletében szereplő „x” helyett cseréljük be a nullát.
Y(0) = -1,5 0 + 3 = 3
(0; 3) - az „y = −1,5x + 3” függvény grafikonjának az „Oy” tengellyel való metszéspontjának koordinátái.Emlékezik!
Egy függvény grafikonja metszéspontjának koordinátáinak megtalálása
tengellyel" Ökör"(x tengely) szüksége van:- egyenlővé tesszük egy pont koordinátáját a "" tengely mentén Oy" nullához (y = 0);
- cserélje ki nullát az „y” helyett a függvényképletben, és keresse meg az „x” értékét;
- írja le a kapott koordinátákat a metszéspontnak a tengellyel" Oy".
Az „y = −1,5x + 3” függvény képletében szereplő „y” helyett cseréljük be a nullát.
0 = -1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1,5)
x = 3: 1,5
x = 2
(2; 0) - az „y = –1,5x + 3” függvény grafikonjának az „Ox” tengellyel való metszéspontjának koordinátái.Hogy könnyebb legyen megjegyezni, hogy egy pont melyik koordinátáját kell nullával egyenlővé tenni, ne feledje az „ellentétek szabályát”.
Fontos!
Ha meg kell találnia a grafikon és a tengely metszéspontjának koordinátáit " Ökör", akkor az „y”-t nullával egyenlővé tesszük.
És fordítva. Ha meg kell találnia a grafikon és a "" tengellyel való metszéspont koordinátáit Oy", akkor „x”-et nullával egyenlővé teszünk.
A koordinátatengelyen lévő szakasz hosszát a következő képlet határozza meg:
A szegmens hossza Koordináta sík a következő képlettel keresik:
Egy háromdimenziós koordináta-rendszerben egy szakasz hosszának meghatározásához használja a következő képletet:
A szakasz közepének koordinátáit (a koordinátatengelyre csak az első képletet használjuk, a koordinátasíkra - az első két képletet, egy háromdimenziós koordinátarendszerre - mindhárom képletet) a képletekkel számítják ki:
Funkció– ez a forma megfelelése y= f(x) változó mennyiségek között, ami miatt valamely változó mennyiség minden egyes figyelembe vett értéke x(argumentum vagy független változó) egy másik változó egy bizonyos értékének felel meg, y(függő változó, néha ezt az értéket egyszerűen a függvény értékének nevezik). Vegye figyelembe, hogy a függvény egy argumentumértéket feltételez x a függő változónak csak egy értéke felelhet meg nál nél. Ugyanakkor ugyanaz az érték nál nél különbözővel lehet beszerezni x.
Funkció Domain– ezek mind a független változó értékei (függvény argumentum, általában ez x), amelyre a függvény definiálva van, azaz. jelentése létezik. Meg van adva a meghatározás területe D(y). Nagyjából Ön már ismeri ezt a fogalmat. Egy függvény tartományát tartománynak is nevezik elfogadható értékeket, vagy ODZ, amelyet már régóta sikerült megtalálnia.
Funkció tartomány egy adott függvény függő változójának összes lehetséges értéke. Kijelölve E(nál nél).
A funkció növekszik azon az intervallumon, amelyben az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg. A funkció csökken azon az intervallumon, amelyben az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.
Egy függvény állandó előjelének intervallumai- ezek a független változó azon intervallumai, amelyeken át a függő változó megtartja pozitív vagy negatív előjelét.
Funkció nullák– ezek annak az argumentumnak az értékei, amelyeknél a függvény értéke nulla. Ezeken a pontokon a függvénygrafikon metszi az abszcissza tengelyt (OX tengely). Nagyon gyakran egy függvény nulláinak megtalálása azt jelenti, hogy egyszerűen meg kell oldani az egyenletet. Ezenkívül gyakran az előjelállandóság intervallumainak megtalálása azt jelenti, hogy egyszerűen meg kell oldani az egyenlőtlenséget.
Funkció y = f(x) hívják még x
Ez azt jelenti, hogy az argumentum bármely ellentétes értéke esetén a páros függvény értéke egyenlő. Menetrend páros funkció mindig szimmetrikus a műveleti erősítő ordináta tengelyéhez képest.
Funkció y = f(x) hívják páratlan, ha szimmetrikus halmazon van definiálva és bármely x a definíció tartományából az egyenlőség érvényesül:
Ez azt jelenti, hogy az argumentum bármely ellentétes értéke esetén a páratlan függvény értékei is ellentétesek. A páratlan függvény grafikonja mindig szimmetrikus az origóra.
A páros és a gyökök összege páratlan függvények(az OX abszcissza tengely metszéspontjai) mindig egyenlő nullával, mert minden pozitív gyökérre x negatív gyökere van - x.
Fontos megjegyezni: néhány függvénynek nem kell párosnak vagy páratlannak lennie. Sok olyan függvény van, amely nem páros és nem páratlan. Az ilyen függvényeket ún általános funkciókat, és számukra a fent megadott egyenlőségek vagy tulajdonságok egyike sem teljesül.
Lineáris függvény egy függvény, amely a következő képlettel adható meg:
A lineáris függvény grafikonja egy egyenes és általános esetígy néz ki (egy példa arra az esetre, amikor k> 0, ebben az esetben a függvény növekszik; az alkalomra k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Másodfokú függvény grafikonja (Parabola)
A parabola grafikonját egy másodfokú függvénnyel adjuk meg:
A másodfokú függvény, mint minden más függvény, az OX tengelyt azokban a pontokban metszi, amelyek a gyökerei: ( x 1; 0) és ( x 2; 0). Ha nincsenek gyökök, akkor a másodfokú függvény nem metszi az OX tengelyt; ha csak egy gyök van, akkor ezen a ponton ( x 0 ; 0) a másodfokú függvény csak érinti az OX tengelyt, de nem metszi azt. A másodfokú függvény mindig abban a pontban metszi az OY tengelyt, amelynek koordinátái: (0; c). Menetrend másodfokú függvény(parabola) így nézhet ki (az ábrán olyan példák láthatók, amelyek nem merítik ki az összes lehetséges parabolatípust):
Ahol:
- ha az együttható a> 0, függvényben y = fejsze 2 + bx + c, akkor a parabola ágai felfelé irányulnak;
- ha a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
A parabola csúcsának koordinátái kiszámíthatók a következő képleteket. X felsők (p- a fenti képeken) parabolák (vagy az a pont, ahol a másodfokú trinom eléri a legnagyobb vagy legkisebb értékét):
Igrek felsők (q- a fenti ábrákon) parabolák vagy maximum, ha a parabola ágai lefelé irányulnak ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), érték másodfokú trinomikus:
Egyéb függvények grafikonjai
Teljesítmény funkció
Íme néhány példa a grafikonokra teljesítmény függvények:
Fordítottan arányos a következő képlettel megadott függvény:
A szám előjelétől függően k Egy fordítottan arányos függőségi gráfnak két alapvető lehetősége lehet:
Aszimptota egy olyan egyenes, amelyhez egy függvény gráfja végtelenül közel kerül, de nem metszi egymást. Aszimptoták a grafikonokhoz fordított arányosság a fenti ábrán láthatók azok a koordinátatengelyek, amelyekhez a függvény grafikonja végtelenül közelít, de nem metszi őket.
Exponenciális függvény alappal A a következő képlettel megadott függvény:
a Egy exponenciális függvény grafikonjának két alapvető lehetősége lehet (példákat is adunk, lásd alább):
Logaritmikus függvény a következő képlettel megadott függvény:
Attól függően, hogy a szám nagyobb vagy kisebb egynél a A logaritmikus függvény grafikonjának két alapvető lehetősége lehet:
Egy függvény grafikonja y = |x| alábbiak szerint:
Periodikus (trigonometrikus) függvények grafikonjai
Funkció nál nél = f(x) nak, nek hívják időszakos, ha van ilyen nem nulla szám T, Mit f(x + T) = f(x), bárkinek x a függvény tartományából f(x). Ha a funkció f(x) periodikus a ponttal T, akkor a függvény:
Ahol: A, k, b – állandó számok, és k nem egyenlő nullával, szintén periodikus periódussal T 1, amelyet a következő képlet határoz meg:
A legtöbb példa periodikus függvények- Ezt trigonometrikus függvények. Bemutatjuk a főbb trigonometrikus függvények grafikonjait. A következő ábra a függvény grafikonjának egy részét mutatja y= bűn x(a teljes gráf korlátlanul folytatódik balra és jobbra), a függvény grafikonja y= bűn x hívott szinuszos:
Egy függvény grafikonja y=cos x hívott koszinusz. Ez a grafikon a következő ábrán látható. Mivel a szinuszgráf végtelenségig folytatódik az OX tengely mentén balra és jobbra:
Egy függvény grafikonja y= tg x hívott tangentoid. Ez a grafikon a következő ábrán látható. Más periodikus függvények grafikonjaihoz hasonlóan ez a gráf korlátlanul ismétlődik az OX tengely mentén balra és jobbra.
És végül a függvény grafikonja y=ctg x hívott kotangentoid. Ez a grafikon a következő ábrán látható. Más periodikus és trigonometrikus függvények grafikonjaihoz hasonlóan ez a gráf korlátlanul ismétlődik az OX tengely mentén balra és jobbra.
Ennek a három pontnak a sikeres, szorgalmas és felelősségteljes végrehajtása lehetővé teszi, hogy a CT-n kiváló eredményt mutasson fel, a maximumot, amire képes.
Hibát talált?
Ha úgy gondolja, hogy hibát talált oktatási anyagok, majd írj róla emailben. Bejelentheti a hibát is közösségi háló(). A levélben tüntesse fel a tantárgyat (fizika vagy matematika), a téma vagy teszt megnevezését vagy számát, a feladat számát, vagy azt a helyet a szövegben (oldal), ahol Ön szerint hiba található. Írja le azt is, hogy mi a feltételezett hiba. Levele nem marad észrevétlen, a hibát vagy kijavítják, vagy elmagyarázzák, hogy miért nem hiba.
a függvény két halmaz elemei közötti megfelelés, amely azon szabály szerint jön létre, hogy egy halmaz minden eleme egy másik halmaz valamely eleméhez kapcsolódik.
egy függvény grafikonja azon pontok geometriai helye a síkban, amelyek abszciszszáját (x) és ordinátáját (y) a megadott függvény kapcsolja össze:
egy pont akkor és csak akkor helyezkedik el (vagy helyezkedik el) egy függvény grafikonján.
Így a függvény megfelelően leírható a gráfjával.
Táblázatos módszer. Meglehetősen gyakori az egyedi argumentumértékek és a hozzájuk tartozó függvényértékek táblázatának megadása. A függvény meghatározásának ezt a módszerét akkor használjuk, ha a függvény definíciós tartománya egy diszkrét véges halmaz.
A függvény megadásának táblázatos módszerével megközelítőleg ki lehet számítani a táblázatban nem szereplő függvény értékeit, amelyek megfelelnek a köztes értékekérv. Ehhez használja az interpolációs módszert.
A függvény megadásának táblázatos módszerének előnye, hogy lehetővé teszi bizonyos konkrét értékek azonnali meghatározását, további mérések vagy számítások nélkül. Bizonyos esetekben azonban a táblázat nem határozza meg teljesen a függvényt, hanem csak az argumentum egyes értékeire vonatkozóan, és nem ad vizuális ábrázolást a függvény változásának természetéről az argumentum változásától függően.
Grafikus módszer. Az y = f(x) függvény grafikonja a síkon azon pontok halmaza, amelyek koordinátái kielégítik az adott egyenletet.
A függvény megadásának grafikus módszere nem mindig teszi lehetővé az argumentum számértékeinek pontos meghatározását. Azonban van egy nagy előnye más módszerekkel szemben - a láthatóság. A mérnöki tudományban és a fizikában gyakran alkalmaznak egy függvény megadásának grafikus módszerét, és ennek egyetlen módja a grafikon.
Ahhoz, hogy egy függvény grafikus hozzárendelése matematikai szempontból teljesen helyes legyen, meg kell adni a gráf pontos geometriai kialakítását, amelyet leggyakrabban egyenlettel adnak meg. Ez a függvény megadásának következő módjához vezet.
Analitikai módszer. Leggyakrabban az argumentum és a függvény közötti kapcsolatot létrehozó törvényt képletek határozzák meg. A függvény megadásának ezt a módszerét analitikusnak nevezzük.
Ez a módszer lehetővé teszi, hogy az x argumentum minden számértéke megtalálja a megfelelőt numerikus érték y pontosan vagy bizonyos pontossággal funkcionál.
Ha x és y kapcsolatát egy y-hoz képest feloldott képlettel adjuk meg, azaz. y = f(x) alakja van, akkor azt mondjuk, hogy x függvénye explicit módon adott.
Ha az x és y értékeket valamilyen F(x,y) = 0 alakú egyenlet kapcsolja össze, azaz. a képlet nincs feloldva y-ra, ami azt jelenti, hogy az y = f(x) függvény implicit módon adott.
A függvény definiálható különböző képletek küldetési területük különböző részein.
Az analitikai módszer a függvények meghatározásának legelterjedtebb módja. A tömörség, a tömörség, a függvény értékének kiszámítása egy argumentum tetszőleges értékére a definíciós tartományból, a matematikai analízis apparátusának egy adott függvényre történő alkalmazásának képessége a meghatározás analitikai módszerének fő előnyei. funkció. A hátrányok közé tartozik a láthatóság hiánya, amelyet kompenzál a grafikon felépítésének képessége és a néha nagyon nehézkes számítások elvégzésének szükségessége.
Verbális módszer. Ez a módszer abból áll, hogy szavakkal fejezzük ki a funkcionális függést.
1. példa: E(x) függvény - egész rész számok x. Általában E(x) = [x] a legnagyobb egész szám, amely nem haladja meg az x-et. Más szóval, ha x = r + q, ahol r egész szám (lehet negatív is), és q az = r intervallumhoz tartozik. Az E(x) = [x] függvény állandó az = r intervallumon.
2. példa: az y = (x) függvény egy szám tört része. Pontosabban, y =(x) = x - [x], ahol [x] az x szám egész része. Ez a függvény minden x-re definiálva van. Ha x egy tetszőleges szám, akkor ábrázolja x = r + q (r = [x]), ahol r egy egész szám, és q az intervallumban található.
Látjuk, hogy n hozzáadása az x argumentumhoz nem változtatja meg a függvény értékét.
A legkisebb nullától eltérő szám n-ben, tehát a periódus sin 2x .
Meghívásra kerül az az argumentumérték, amelynél a függvény 0-val egyenlő nulla (gyökér) funkciókat.
Egy függvénynek több nullája is lehet.
Például a függvény y = x (x + 1) (x-3) három nulla van: x = 0, x = - 1, x =3.
Geometriailag egy függvény nulla pontja a függvénygráf és a tengely metszéspontjának abszcissza x .
A 7. ábra egy függvény grafikonját mutatja nullákkal: x = a, x = b és x = c.
Ha egy függvény gráfja korlátlanul közelít egy bizonyos egyeneshez, amikor távolodik az origótól, akkor ezt az egyenest ún. aszimptota.
Inverz függvény
Adjunk meg egy y=ƒ(x) függvényt D definíciós tartománnyal és E értékkészlettel. Ha minden yєE érték egyetlen xєD értéknek felel meg, akkor az x=φ(y) függvény tartománya E definíció és egy D értékkészlet van definiálva (lásd 102. ábra).
Az ilyen φ(y) függvényt az ƒ(x) függvény inverzének nevezzük, és a következő formában írjuk le: x=j(y)=f -1 (y) Az y=ƒ(x) és x függvények =φ(y) azt mondják, hogy kölcsönösen inverzek. Az y=ƒ (x) függvényre fordított x=φ(y) függvény megtalálásához elegendő az ƒ(x)=y egyenletet megoldani x-re (ha lehetséges).
1. Az y=2x függvény inverz függvénye az x=y/2;
2. Az y=x2 xє függvény inverz függvénye x=√y; vegye figyelembe, hogy az y=x 2 függvényre a [-1; 1], az inverz nem létezik, mivel y egy értéke x két értékének felel meg (tehát ha y = 1/4, akkor x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Az inverz függvény definíciójából az következik, hogy az y=ƒ(x) függvénynek akkor és csak akkor van inverze, ha az ƒ(x) függvény egy az egyhez egyezést ad meg a D és E halmazok között. Ebből következik, hogy bármely A szigorúan monoton függvénynek inverze van. Sőt, ha egy függvény nő (csökken), akkor az inverz függvény is nő (csökken).
Figyeljük meg, hogy az y=ƒ(x) függvényt és annak inverzét, az x=φ(y) ugyanazzal a görbével ábrázoljuk, azaz grafikonjaik egybeesnek. Ha egyetértünk abban, hogy szokás szerint a független változót (azaz argumentumot) x, a függő változót y-vel jelöljük, akkor az y=ƒ(x) függvény inverz függvénye y=φ( x).
Ez azt jelenti, hogy az y=ƒ(x) görbe M 1 (x o;y o) pontja az y=φ(x) görbe M 2 (y o;x o) pontjává válik. De az M 1 és M 2 pontok szimmetrikusak az y=x egyenesre (lásd 103. ábra). Ezért a grafikonok kölcsönösek inverz függvények y=ƒ(x) és y=φ(x) szimmetrikusak az első és a harmadik koordinátaszög felezőszögéhez képest.
Legyen az у=ƒ(u) függvény a D halmazon, az u= φ(х) függvény pedig a D 1 halmazon, és x D 1 esetén a megfelelő u=φ(х) є D érték. Ekkor a D 1 halmazon u=ƒ(φ(x)), amit x komplex függvényének (vagy szuperpozíciónak) nevezünk. meghatározott funkciókat, vagy egy függvény függvénye).
Az u=φ(x) változót egy komplex függvény köztes argumentumának nevezzük.
Például az y=sin2x függvény két y=sinu és u=2x függvény szuperpozíciója. Egy összetett függvénynek több köztes argumentuma is lehet.
4. Alapvető elemi függvények és grafikonjaik.
A következő függvényeket fő elemi függvényeknek nevezzük.
1) Exponenciális függvény y=a x,a>0, a ≠ 1. Az ábrán. 104 grafikon látható exponenciális függvények, különböző fokozatalapoknak megfelelő.
2) Hatványfüggvény y=x α, αєR. Az ábrákon példák láthatók a különböző kitevőknek megfelelő hatványfüggvények grafikonjaira.
3) Logaritmikus függvény y=log a x, a>0,a≠1;Grafikonok logaritmikus függvényekábrán láthatók, amelyek különböző alapoknak felelnek meg. 106.
4) y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx trigonometrikus függvények; A trigonometrikus függvények grafikonjai az ábrán látható formájúak. 107.
5) Inverz trigonometrikus függvények y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. ábrán. A 108. ábra inverz trigonometrikus függvények grafikonjait mutatja.
Egy függvény, amelyet egyetlen képlet határoz meg, amely alapból áll elemi függvényekés állandó a segítségével véges szám aritmetikai műveletek(összeadás, kivonás, szorzás, osztás) és a függvényből való függvény felvételének műveleteit elemi függvénynek nevezzük.
Az elemi függvények példái a függvények
Nem elemi függvények például a függvények
5. A sorrend és a funkció határának fogalmai. A határértékek tulajdonságai.
Funkciókorlát (funkció határértéke) egy adott pontban korlátozza egy függvény definíciós tartományát, az az érték, amelyre a vizsgált függvény értéke úgy hajlik, ahogy argumentuma egy adott pontra irányul.
A matematikában a sorozat határa a metrikus tér vagy topológiai tér elemei ugyanannak a térnek az olyan elemei, amelyek egy adott sorozat elemeit „vonzzák”. Egy topológiai tér elemsorozatának határa egy olyan pont, amelyben minden szomszédságában a sorozat minden eleme megtalálható, egy bizonyos számtól kezdve. A metrikus térben a szomszédságokat a távolságfüggvényen keresztül határozzák meg, így a határ fogalma a távolságok nyelvén fogalmazódik meg. Történelmileg az első a numerikus sorozat határának fogalma volt, amely a matematikai elemzésben merül fel, ahol közelítési rendszer alapjául szolgál, és széles körben alkalmazzák a differenciál- és integrálszámítások felépítésében.
Kijelölés:
(olvassa: a végtelenbe hajló x-n-edik sorozat határa a)
Egy határértékkel rendelkező sorozat tulajdonságát nevezzük konvergencia: ha egy sorozatnak van határa, akkor azt mondják, hogy ez a sorozat konvergál; ellenkező esetben (ha a sorozatnak nincs határa) a sorozatot a következőnek mondjuk eltér. Egy Hausdorff-térben és különösen egy metrikus térben a konvergens sorozat minden részsorozata konvergál, és a határértéke egybeesik az eredeti sorozat határértékével. Más szóval, egy Hausdorff-tér elemsorozatának nem lehet két különböző határa. Előfordulhat azonban, hogy a sorozatnak nincs határa, de van (az adott sorozatnak) egy részsorozata, amelynek van határa. Ha egy tér bármely pontsorozatából azonosítható egy konvergens részsorozat, akkor az adott térről azt mondjuk, hogy rendelkezik a szekvenciális tömörség (vagy egyszerűen tömörség, ha a tömörséget kizárólag sorozatokkal határozzuk meg) tulajdonságával.
A sorozat határértékének fogalma közvetlenül kapcsolódik a határpont (halmaz) fogalmához: ha egy halmaznak van határpontja, akkor ennek a halmaznak van egy elemsorozata, amely ehhez a ponthoz konvergál.
Meghatározás
Legyen adott egy topológiai tér és egy sorozat, majd ha van olyan elem, hogy
Ahol - nyitott készlet tartalmazó , akkor a sorozat határértékének nevezzük. Ha a tér metrikus, akkor a határérték a metrika segítségével határozható meg: ha van olyan elem, hogy
hol van a mérőszám, azt határértéknek nevezik.
· Ha a tér antidiszkrét topológiával van felszerelve, akkor bármely sorozat határa a tér bármely eleme lesz.
6. Egy függvény határértéke egy pontban. Egyoldalú korlátok.
Egy változó függvénye. Egy függvény határának meghatározása egy pontban Cauchy szerint. Szám b a függvény határértékének nevezzük nál nél = f(x) nál nél x, arra törekedve A(vagy a ponton A), ha bármely pozitív számra van olyan pozitív szám, amelyre minden x ≠ a, úgy, hogy | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | < .
Egy függvény határértékének meghatározása egy pontban Heine szerint. Szám b a függvény határértékének nevezzük nál nél = f(x) nál nél x, arra törekedve A(vagy a ponton A), ha bármilyen sorozathoz ( x n ), konvergál a A(a cél A, amelynek limitszáma van A), és bármilyen értéken n x n ≠ A, utósorozat ( y n= f(x n)) konvergál ahhoz b.
Ezek a definíciók feltételezik, hogy a függvény nál nél = f(x) a pont valamely szomszédságában van meghatározva A, kivéve talán magát a lényeget A.
Egy függvénynek egy pontban határértékének Cauchy és Heine definíciói ekvivalensek: ha a szám b az egyiknél határként szolgál, akkor ez igaz a másodikra is.
A megadott határérték a következőképpen jelenik meg:
Geometriailag egy függvény határértékének létezése egy pontban Cauchy szerint azt jelenti, hogy tetszőleges szám > 0 esetén meg lehet jelölni a koordinátasíkon egy olyan téglalapot, amelynek alapja 2 > 0, magassága 2 és középpontja a pontban. ( A; b) hogy egy adott függvény grafikonjának minden pontja a ( A– ; A+ ), a pont kivételével M(A; f(A)), ebben a téglalapban feküdjön
Egyoldalú határ a matematikai elemzésben a numerikus függvény határértéke, ami az egyik oldalon a határpont „közelítését” jelenti. Az ilyen határértékeket ennek megfelelően nevezzük bal oldali határ(vagy határa balra) És jobb oldali határ (határt jobbra). Adjunk meg valamilyen számhalmazt numerikus függvény a szám pedig a definíciós tartomány határpontja. Különböző definíciók léteznek egy függvény egyoldalú korlátaira egy ponton, de ezek mind egyenértékűek.
Mit jelentenek a szavak? "beállít egy funkciót"? Azt jelentik: magyarázd el mindenkinek, aki tudni akarja, mit konkrét funkciót beszélgetünk. Sőt, világosan és egyértelműen magyarázd el!
Hogyan tudom ezt megtenni? Hogyan beállítani egy funkciót?
Képletet írhatsz. Rajzolhat grafikont. Készíthetsz egy asztalt. Bármilyen mód van valami szabály, amellyel megtudhatjuk az általunk választott x érték i értékét. Azok. "beállítás funkció", ez azt jelenti, hogy megmutatjuk a törvényt, azt a szabályt, amely szerint az x y-vé változik.
Általában sokféle feladat van már kész funkciókat. Adnak nekünk már be van állítva. Döntse el maga, igen, döntse el.) De... Leggyakrabban iskolások (sőt diákok) dolgoznak képletekkel. Megszokják, ugye... Annyira megszokják, hogy minden elemi kérdés, ami a függvény másfajta megadásával kapcsolatos, azonnal felzaklatja az embert...)
Az ilyen esetek elkerülése érdekében érdemes megérteni a függvények megadásának különböző módjait. És természetesen alkalmazza ezt a tudást „trükkös” kérdésekre. Egészen egyszerű. Ha tudod mi az a függvény...)
Megy?)
Egy függvény megadásának analitikai módszere.
A leguniverzálisabb és legerősebb módszer. Analitikusan meghatározott függvény ez az adott függvény képletek. Tulajdonképpen ez az egész magyarázat.) Mindenki számára ismerős függvények (akarom hinni!), pl.: y = 2x, vagy y = x 2 stb. stb. analitikusan vannak megadva.
Egyébként nem minden képlet definiálhat függvényt. Nem minden képlet felel meg a függvény definíciójából adódó szigorú feltételnek. Mégpedig - minden X-re csak lehet egy igrek. Például a képletben y = ±x, Mert egyértékek x=2, kiderül kettő y értékek: +2 és -2. Ez a képlet nem definiálhat egyedi függvényt. Általában nem dolgoznak többértékű függvényekkel a matematikának ebben az ágában, a számításban.
Mi a jó egy függvény megadásának analitikus módjában? Mert ha van egy képlet, akkor ismeri a függvényt Minden! Tudsz jelet tenni. Készítsen grafikont. Fedezze fel ezt a funkciót teljes egészében. Pontosan előre jelezze, hogy ez a funkció hol és hogyan fog működni. Minden matematikai elemzés ezen a függvénymeghatározási módszeren alapul. Tegyük fel, hogy egy táblázat deriváltját nagyon nehéz venni...)
Az analitikai módszer meglehetősen ismerős, és nem okoz problémákat. Talán ennek a módszernek van néhány változata, amellyel a tanulók találkoznak. Paraméteres és implicit függvényekről beszélek.) De az ilyen függvények külön leckében vannak.
Térjünk át a függvény megadásának kevésbé ismert módjaira.
Függvény megadásának táblázatos módszere.
Ahogy a neve is sugallja, ez a módszer egy egyszerű jel. Ebben a táblázatban minden x megfelel a ( összhangba kerül) a játék valamilyen jelentését. Az első sor az argumentum értékeit tartalmazza. A második sor a megfelelő függvényértékeket tartalmazza, például:
Asztal 1.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
Kérjük figyeljen oda! Ebben a példában a játék X-től függ akárhogy. Szándékosan jöttem rá.) Nincs minta. Nem baj, előfordul. Eszközök, pontosan Meghatároztam ezt a konkrét funkciót. Pontosan Felállítottam egy szabályt, amely szerint az X-ből Y lesz.
Lehet pótolni egy másik mintát tartalmazó lemez. Ez a jel jelzi Egyéb függvény, például:
2. táblázat.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
Megfogtad a mintát? Itt a játék összes értékét x-et kettővel megszorozva kapjuk meg. Íme az első „trükkös” kérdés: a 2. táblázat segítségével definiált függvény tekinthető-e függvénynek? y = 2x? Egyelőre gondoljon, a válasz lent lesz, grafikusan. Ott minden nagyon világos.)
Mi a jó táblázatos módszer a függvény megadására? Igen, mert nem kell semmit számolni. Már minden ki van számolva és be van írva a táblázatba.) De nincs több jó. Nem tudjuk a függvény értékét X-ekre, amelyek nincsenek a táblázatban. Ebben a módszerben az ilyen x értékek egyszerűen nem létezik. Ez egyébként egy trükkös kérdésre utal.) Nem tudjuk megtudni, hogyan viselkedik a függvény a táblán kívül. Nem tehetünk semmit. Ennek a módszernek a tisztasága pedig sok kívánnivalót hagy maga után... A grafikus módszer jó az áttekinthetőséghez.
Grafikus módszer a függvény megadására.
Ennél a módszernél a függvényt egy gráf ábrázolja. Az (x) argumentum az abszcissza tengely mentén, a függvényérték (y) pedig az ordináta tengelye mentén kerül ábrázolásra. Az ütemterv szerint is bármelyiket választhatja xés keresse meg a megfelelő értéket nál nél. A gráf bármilyen lehet, de... nem akármilyen.) Csak egyértelmû függvényekkel dolgozunk. Az ilyen függvény meghatározása egyértelműen kimondja: mindegyik xösszhangba kerül az egyetlen nál nél. Egy egy játék, nem kettő vagy három... Nézzük például a körgrafikont:
A kör olyan, mint egy kör... Miért ne lehetne egy függvény grafikonja? Keressük meg, melyik játék felel meg X értékének, például 6-nak? Vigyük a kurzort a grafikon fölé (vagy érintsük meg a rajzot a táblagépen), és... látjuk, hogy ez az x megfelel kettő játék jelentése: y=2 és y=6.
Kettő és hat! Ezért egy ilyen grafikon nem lesz a függvény grafikus hozzárendelése. Tovább egy x számla kettő játszma, meccs. Ez a grafikon nem felel meg egy függvény definíciójának.
De ha az egyértelműség feltétele teljesül, a gráf teljesen bármi lehet. Például:
Ugyanez a ferdeség az a törvény, amellyel egy X-et Y-vé alakíthatunk. Félreérthetetlen. Meg akartuk tudni a for függvény jelentését x = 4, Például. Meg kell találnunk a négyet az x tengelyen, és meg kell néznünk, melyik játék felel meg ennek az x-nek. Vigyük az egeret az ábra fölé, és látjuk, hogy a függvény értéke nál nél Mert x=4öttel egyenlő. Nem tudjuk, hogy milyen képlet határozza meg az X-nek ezt az átalakulását Y-vé. És nem szükséges. Mindent a menetrend határozza meg.
Most visszatérhetünk a „trükkös” kérdéshez y=2x.Ábrázoljuk ezt a függvényt. Itt van:
Természetesen, amikor ezt a grafikont rajzoltuk, nem vettük végtelen halmazértékeket X. Több értéket vettünk és kiszámoltuk y, jelet tett - és minden készen áll! A legműveltebb emberek csak két X-értéket vettek fel! És jogosan. Az egyenes vonalhoz nem kell több. Miért a plusz munka?
De mi biztosan tudta mi lehet az x bárki. Egész, tört, negatív... Bármelyik. Ez a képlet szerint történik y=2x az látható. Ezért a grafikon pontjait bátran egy folytonos vonallal kötöttük össze.
Ha a függvényt a 2. táblázat adja meg, akkor x értékeit kell vennünk csak az asztalról. Mert a többi X-et (és Y-t) nem kapjuk meg, és nincs is honnan szerezni. Ezek az értékek nem jelennek meg ebben a függvényben. Az ütemterv összejön pontokból. Vigyük az egeret az ábra fölé, és látjuk a 2. táblázatban megadott függvény grafikonját. Nem az x-y értékeket írtam a tengelyekre, kitalálod, celláról cellára?)
Itt a válasz a „trükkös” kérdésre. A 2. táblázatban megadott funkció és funkció y=2x - különböző.
A grafikus módszer jó az áttekinthetőségéhez. Azonnal láthatja, hogyan viselkedik a függvény, hol növekszik. ahol csökken. A grafikonról azonnal megtudhatja a függvény néhány fontos jellemzőjét. A derivált témában pedig mindenhol ott vannak a grafikonos feladatok!
Általánosságban elmondható, hogy a függvények meghatározásának analitikai és grafikus módszerei kéz a kézben járnak. A képlettel való munka segít a grafikon felépítésében. A grafikon pedig sokszor olyan megoldásokat sugall, amiket a képletben észre sem vennénk... A grafikonokkal barátok leszünk.)
Szinte minden tanuló ismeri a függvény definiálásának három módját, amelyet most megnéztünk. De a kérdésre: "És a negyedik!?" - alaposan lefagy.)
Van ilyen mód.
A funkció szóbeli leírása.
Igen igen! A függvény szavakban elég egyértelműen megadható. A nagyszerű és hatalmas orosz nyelv sok mindenre képes!) Mondjuk a funkciót y=2x a következő szóbeli leírással adható meg: Az x argumentum minden valós értéke a kettős értékéhez van társítva. Mint ez! A szabály létrejött, a funkció megadva.
Ezenkívül szóban is megadhat olyan függvényt, amelyet rendkívül nehéz, ha nem lehetetlen definiálni egy képlet segítségével. Például: Az x természetes argumentum minden értéke az x értékét alkotó számjegyek összegéhez van társítva. Például ha x=3, Hogy y=3. Ha x=257, Hogy y=2+5+7=14. Stb. Problémás ezt egy képletbe leírni. De a jelet könnyű elkészíteni. És készítsen egy ütemtervet. A grafikon egyébként viccesen néz ki...) Próbáld ki.
Út szóbeli leírás- a módszer meglehetősen egzotikus. De néha igen. Azért hoztam ide, hogy önbizalmat adjak váratlan és szokatlan helyzetekben. Csak meg kell értened a szavak jelentését "funkció megadva..." Itt van, ez a jelentés:
Ha létezik az egy az egyhez megfelelés törvénye között xÉs nál nél- ez azt jelenti, hogy van funkció. Hogy milyen törvény, milyen formában fejeződik ki - képlet, tábla, grafikon, szavak, dalok, táncok -, az nem változtat a dolog lényegén. Ez a törvény lehetővé teszi az Y megfelelő értékének meghatározását X értékéből. Minden.
Ezt a mély tudást most néhány nem szabványos feladatnál fogjuk alkalmazni.) Ahogy az óra elején ígértük.
1. Feladat:
Az y = f(x) függvényt az 1. táblázat adja meg:
Asztal 1.
Keresse meg a p(4) függvény értékét, ha p(x)= f(x) - g(x)
Ha egyáltalán nem érti, hogy mi az, olvassa el az előző „Mi a függvény?” című leckét. Nagyon világosan le van írva az ilyen betűkről és zárójelekről.) És ha csak a táblázatos forma zavarná meg, akkor itt megoldjuk.
Az előző leckéből egyértelmű, hogy ha p(x) = f(x) - g(x), Azt p(4) = f(4) - g(4). Levelek fÉs g azokat a szabályokat jelenti, amelyek szerint minden X-hez hozzá van rendelve a saját játéka. Minden betűhöz ( fÉs g) - a tiéd szabály. Amit a megfelelő táblázat ad meg.
Funkció értéke f(4) az 1. táblázatból határozzuk meg. Ez az 5. függvényérték lesz g(4) táblázat szerint határozzuk meg. Ez lesz a 8. Marad a legnehezebb.)
p(4) = 5-8 = -3
Ez a helyes válasz.
Oldja meg az f(x) > 2 egyenlőtlenséget
Ez az! Fel kell oldani az egyenlőtlenséget, ami (a szokásos formában) briliánsan hiányzik! Már csak az a teendő, hogy feladja a feladatot, vagy használja a fejét. A másodikat választjuk és megbeszéljük.)
Mit jelent az egyenlőtlenség megoldása? Ez azt jelenti, hogy meg kell találni x összes olyan értékét, amelynél a nekünk adott feltétel teljesül f(x) > 2. Azok. minden függvényérték ( nál nél) kettőnél nagyobbnak kell lennie. És a diagramunkon minden játék szerepel... És több kettő van, és kevesebb... És az érthetőség kedvéért húzzunk egy határt e kettő mentén! Vigyük a kurzort a rajz fölé, és látjuk ezt a szegélyt.
Szigorúan véve ez a határ a függvény grafikonja y=2, de nem ez a lényeg. Az a fontos, hogy most a grafikonon nagyon jól látható, hol, milyen X-nél, függvényértékek, azaz. y, kettőnél több. Többen vannak x > 3. Nál nél x > 3 az egész funkciónk elmúlik magasabb határok y=2. Ez a megoldás. De még túl korai lekapcsolni a fejét!) Még le kell írnom a választ...
A grafikonon látható, hogy a függvényünk nem terjed ki jobbra és balra a végtelenbe. A grafikon végén található pontok ezt jelzik. A funkció ezzel véget is ér. Ezért a mi egyenlőtlenségünkben az összes X-nek, amely túllép a függvény határain, nincs jelentése. Ezeknek az X-eknek a funkciójához nem létezik.És valójában megoldjuk a függvény egyenlőtlenségét...
A helyes válasz a következő lesz:
3 < x ≤ 6
Vagy más formában:
x ∈ (3; 6]
Most minden úgy van, ahogy lennie kell. Három nem szerepel a válaszban, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. És a hat bekapcsol, mert és a hatos függvény létezik, és az egyenlőtlenség feltétele teljesül. Sikeresen megoldottunk egy egyenlőtlenséget, ami (a szokásos formában) nem létezik...
Így ment meg némi tudás és elemi logika a nem szabványos esetekben.)
