Shamshurin A.V. 1

Gagarina N.A. 1

1 Önkormányzat költségvetése oktatási intézmény"Átlagos általános iskola 31"

A mű szövegét képek és képletek nélkül közöljük.
Teljes verzió munka elérhető a "Munkafájlok" fülön PDF formátumban

Bevezetés

Azzal kezdtem, hogy rengeteg matematikai témát megnéztem az interneten, és azért választottam ezt a témát, mert úgy gondolom, hogy a DL megtalálásának fontossága óriási szerepet játszik az egyenletek és problémák megoldásában. Az övében kutatómunka Megnéztem olyan egyenleteket, amelyekben elég csak az ODZ-t megtalálni, veszély, opcionális, korlátozott ODZ, néhány tiltás a matematikában. Számomra az a legfontosabb, hogy jól teljesítsem az egységes államvizsgát matematikából, ehhez pedig tudnom kell: mikor, miért és hogyan találok DL-t. Ez késztetett arra, hogy kutassam a témát, melynek célja az volt, hogy bemutassam, hogy a téma elsajátítása segít a tanulóknak az egységes államvizsga feladatok helyes elvégzésében. A cél elérése érdekében további szakirodalmat és egyéb forrásokat kutattam. Kíváncsi voltam, vajon tudják-e iskolánk diákjai: mikor, miért és hogyan találják meg az ODZ-t. Ezért tesztet végeztem a „Mikor, miért és hogyan lehet megtalálni az ODZ-t?” témában. (10 egyenletet adtak meg). Diákok száma - 28. megbirkózott vele - 14%, DD veszély (figyelembe vett) - 68%, opcionális (figyelembe vett) - 36%.

Cél: azonosítás: mikor, miért és hogyan találja meg az ODZ-t.

Probléma: az egyenletek és egyenlőtlenségek, amelyekben meg kell találni az ODZ-t, nem kaptak helyet az algebra kurzusában a szisztematikus bemutatásra, valószínűleg ezért követünk el társaimmal gyakran hibákat az ilyen példák megoldása során, sok időt töltünk a megoldásukkal, miközben elfelejtjük az ODZ-ről.

Feladatok:

1. Mutassa be az ODZ jelentőségét egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során.
2. Végezzen gyakorlati munkát ebben a témában, és foglalja össze az eredményeket.

Azt hiszem, a megszerzett tudás és készségek segítenek megoldani a kérdést: szükséges-e DZ-t keresni vagy sem? Abbahagyom a hibák elkövetését, ha megtanulom, hogyan kell helyesen csinálni az ODZ-t. Hogy ezt meg tudom-e tenni, azt az idő, vagy inkább az egységes államvizsga eldönti.

1. fejezet

Mi az ODZ?

Az ODZ az vidék elfogadható értékeket , vagyis ezek mind annak a változónak az értékei, amelyre a kifejezésnek értelme van.

Fontos. Az ODZ megtalálásához nem oldunk meg egy példát! Megoldjuk a példa darabjait, hogy megtaláljuk a tiltott helyeket.

Néhány tiltás a matematikában. A matematikában nagyon kevés ilyen tiltott cselekvés létezik. De nem mindenki emlékszik rájuk...

• Páros többszörös előjelből álló kifejezések, vagy >0-nak vagy nullának kell lenniük, ODZ:f(x)
• A tört nevezőjében lévő kifejezés nem lehet egyenlő nullával, ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

Hogyan kell rögzíteni az ODZ-t? Nagyon egyszerű. Mindig írd a példa mellé, hogy ODZ. Ezek alatt híres levelek, az eredeti egyenletet nézve felírjuk az eredeti példában megengedett x értékeit. A példa átalakítása megváltoztathatja az OD-t és ennek megfelelően a választ.

Algoritmus az ODZ megtalálásához:

1. Határozza meg a tiltás típusát.
2. Keressen olyan értékeket, amelyeknél a kifejezésnek nincs értelme.
3. Távolítsa el ezeket az értékeket az R valós számok halmazából.

Oldja meg az egyenletet: =

DZ nélkül	ODZ-vel
Válasz: x=5	ODZ: => => Válasz: nincs gyökere

Az elfogadható értékek tartománya megóv minket az ilyen súlyos hibáktól. Hogy őszinte legyek, éppen az ODZ miatt válik sok „sokk diákból” „C” tanulóvá. Tekintettel arra, hogy a DL keresése és figyelembe vétele jelentéktelen lépés a döntésben, kihagyják, majd csodálkoznak: „miért adott a tanár 2-est?” Igen, ezért tettem fel, mert rossz a válasz! Ez nem egy tanári „szedés”, hanem egy nagyon konkrét hiba, akárcsak egy hibás számítás vagy egy elveszett jel.

További egyenletek:

a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2

2. fejezet

ODZ. Miért? Amikor? Hogyan?

Elfogadható értékek tartománya - van megoldás

1. Az ODZ képviseli üres készlet, ami azt jelenti, hogy az eredeti példának nincsenek megoldásai

• = ODZ:

Válasz: nincs gyökere.

• = ODZ:

Válasz: nincs gyökere.

0, az egyenletnek nincs gyöke

Válasz: nincs gyökere.

További példák:

a) + =5; b) + =23x-18; c) =0.

1. Az ODZ egy vagy több számot tartalmaz, és egy egyszerű helyettesítés gyorsan meghatározza a gyökereket.

ODZ: x=2, x=3

Ellenőrizze: x=2, + , 0<1, верно

Ellenőrizze: x=3, + , 0<1, верно.

Válasz: x=2, x=3.

• > ODZ: x=1,x=0

Ellenőrzés: x=0, > , 0>0, helytelen

Ellenőrzés: x=1, > , 1>0, igaz

Válasz: x=1.

• + =x ODZ: x=3

Ellenőrzés: + =3, 0=3, helytelen.

Válasz: nincs gyökere.

További példák:

a) = ; b) + =0; c) + =x -1

DD veszélye

Vegye figyelembe, hogy az identitásátalakítások:

• ne befolyásolja a DL-t;
• kiterjesztett DL-hez vezet;
• az ODZ szűküléséhez vezet.

Az is ismert, hogy bizonyos átalakítások eredményeként, amelyek megváltoztatják az eredeti ODZ-t, ez helytelen döntésekhez vezethet.

Illusztráljunk minden esetet egy példával.

1) Tekintsük az x + 4x + 7x kifejezést, az x változó ODZ-je ehhez az R halmaz. Mutassunk be hasonló kifejezéseket. Ennek eredményeképpen x 2 + 11x formát fog ölteni. Nyilvánvaló, hogy ennek a kifejezésnek az x változójának ODZ-je is egy R halmaz. Így az elvégzett transzformáció nem változtatta meg az ODZ-t.

2) Vegyük az x+ - =0 egyenletet. Ebben az esetben ODZ: x≠0. Ez a kifejezés is tartalmaz hasonló kifejezéseket, amelyek redukálása után az x kifejezéshez jutunk, amelyre az ODZ R. Amit látunk: a transzformáció eredményeként az ODZ kibővült (a nulla számot hozzáadtuk az ODZ-hez x változó az eredeti kifejezéshez).

3) Vegyük a kifejezést. Az x változó VA értékét az (x−5)·(x−2)≥0 egyenlőtlenség határozza meg, VA: (−∞, 2]∪∪/Hozzáférési mód: Anyagok a www.fipi.ru, www.eg oldalakról

Elfogadható értékek tartománya – van megoldás [ Elektronikus forrás]/Hozzáférési mód: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - az elfogadható értékek területe, hogyan lehet megtalálni az ODZ-t [Elektronikus erőforrás]/Hozzáférési mód: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

Elfogadható értékek tartománya: elmélet és gyakorlat [Elektronikus forrás]/Hozzáférési mód: pandia.ru›text/78/083/13650.php

Mi az ODZ [elektronikus erőforrás]/ Hozzáférési mód: www.cleverstudents.ru›odz.html

Mi az ODZ és hogyan kell keresni - magyarázat és példa. Elektronikus forrás]/ Hozzáférési mód: cos-cos.ru›math/82/

1. számú melléklet

Gyakorlati munka „ODZ: mikor, miért és hogyan?”

1.opció	2. lehetőség
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

2. függelék

Feladatokra adott válaszok praktikus munka"ODZ: mikor, miért és hogyan?"

1.opció	2. lehetőség
Válasz: nincs gyökere	Válasz: x-bármely szám, kivéve x=5
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Válasz: nincs gyökere	ODZ: x=-3, x=5. Válasz: -3;5.
y= -csökken, y= -növekszik Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek legfeljebb egy gyöke van. Válasz: x=6.	ODZ: → →х≥5 Válasz: x≥5, x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 nem tartozik az ODZ-hez	Csökken, növekszik Az egyenletnek legfeljebb egy gyöke van. Válasz: nincs gyökere.
0, ODZ: x≥3, x≤2 Válasz: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Válasz: nincs gyökere.
x=7, x=1. Válasz: nincs megoldás	Növekszik - csökken Válasz: x=2.
0 ODZ: x≠15 Válasz: x bármilyen szám, kivéve x=15.	│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 nem tartozik az ODZ-hez. Válasz: x=-1.

Minden változót tartalmazó kifejezésnek megvan a maga érvényes értéktartománya, ahol létezik. Az ODZ-t mindig figyelembe kell venni a döntések meghozatalakor. Ha hiányzik, hibás eredményt kaphat.

Ez a cikk bemutatja, hogyan találja meg helyesen az ODZ-t, és hogyan használjon példákat. Szóba kerül a DZ feltüntetésének fontossága is a döntés meghozatalakor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Érvényes és érvénytelen változóértékek

Ez a meghatározás a változó megengedett értékeihez kapcsolódik. Amikor bevezetjük a definíciót, nézzük meg, milyen eredményre vezet.

A 7. évfolyamtól kezdődően a számokkal és a számokkal kezdünk dolgozni numerikus kifejezések. A változókat tartalmazó kezdeti definíciók továbblépnek a kiválasztott változókat tartalmazó kifejezések jelentésére.

Ha vannak kiválasztott változókkal rendelkező kifejezések, előfordulhat, hogy néhányuk nem felel meg. Például egy 1 formájú kifejezés: a, ha a = 0, akkor nincs értelme, mivel nem lehet nullával osztani. Vagyis a kifejezésnek olyan értékekkel kell rendelkeznie, amelyek minden esetben megfelelőek, és választ adnak. Más szóval, a meglévő változókkal van értelme.

1. definíció

Ha van változókat tartalmazó kifejezés, akkor annak csak akkor van értelme, ha az érték ezek behelyettesítésével számítható ki.

2. definíció

Ha van változókat tartalmazó kifejezés, akkor annak nincs értelme, ha behelyettesítésükkor nem számítható ki az érték.

Vagyis ez teljes definíciót jelent

3. definíció

A létező elfogadható változók azok az értékek, amelyekre a kifejezésnek van értelme. És ha nincs értelme, akkor elfogadhatatlannak tekintik.

A fentiek tisztázása végett: ha egynél több változó van, akkor lehet egy megfelelő értékpár.

1. példa

Vegyünk például egy 1 x - y + z formájú kifejezést, ahol három változó van. Ellenkező esetben felírhatja x = 0, y = 1, z = 2 alakban, míg egy másik bejegyzés alakja (0, 1, 2). Ezeket az értékeket érvényesnek nevezzük, ami azt jelenti, hogy a kifejezés értéke megtalálható. Azt kapjuk, hogy 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Ebből azt látjuk, hogy (1, 1, 2) elfogadhatatlan. A behelyettesítés nullával való osztást eredményez, azaz 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Mi az ODZ?

Az elfogadható értékek tartománya fontos elem az algebrai kifejezések értékelésénél. Ezért a számításoknál erre érdemes odafigyelni.

4. definíció

ODZ terület egy adott kifejezéshez megengedett értékek halmaza.

Nézzünk egy példa kifejezést.

2. példa

Ha van egy 5 z - 3 alakú kifejezésünk, akkor az ODZ alakja (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Ez az érvényes értékek tartománya, amely kielégíti a z változót egy adott kifejezéshez.

Ha vannak z x - y alakú kifejezések, akkor egyértelmű, hogy x ≠ y, z bármilyen értéket felvesz. Ezt ODZ kifejezéseknek nevezzük. Figyelembe kell venni, hogy helyettesítéskor ne kapjunk nullával való osztást.

A megengedett értékek tartománya és a definíció tartománya ugyanazt jelenti. Csak a másodikat használják kifejezésekre, az elsőt pedig egyenletekre vagy egyenlőtlenségekre. A DL segítségével a kifejezésnek vagy egyenlőtlenségnek van értelme. A függvény definíciós tartománya egybeesik az x változó megengedett értékeinek tartományával az f (x) kifejezésre.

Hogyan lehet megtalálni az ODZ-t? Példák, megoldások

Az ODZ megtalálása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes érvényes értéket adott funkciót vagy egyenlőtlenség. E feltételek be nem tartása hibás eredményeket eredményezhet. Az ODZ megtalálásához gyakran át kell menni egy adott kifejezés transzformációján.

Vannak olyan kifejezések, ahol a számításuk lehetetlen:

• ha van nullával való osztás;
• negatív szám gyökének felvétele;
• negatív egész mutató jelenléte – csak pozitív számok esetén;
• negatív szám logaritmusának kiszámítása;
• a π 2 + π · k, k ∈ Z és a π · k, k ∈ Z kotangens definíciós tartománya;
• egy szám arcszinusza és arkoszinusza értékének meghatározása olyan érték esetén, amely nem tartozik [-1-hez; 1 ] .

Mindez azt mutatja, mennyire fontos az ODZ.

3. példa

Keresse meg az x 3 + 2 x y − 4 ODZ kifejezést .

Megoldás

Bármely szám kockára vágható. Ez a kifejezés nincs törte, tehát x és y értéke bármi lehet. Vagyis az ODZ tetszőleges szám.

Válasz: x és y – tetszőleges érték.

4. példa

Keresse meg az 1 3 - x + 1 0 kifejezés ODZ-jét.

Megoldás

Látható, hogy van olyan tört, ahol a nevező nulla. Ez azt jelenti, hogy x bármely értékére nullával való osztást kapunk. Ez azt jelenti, hogy azt a következtetést vonhatjuk le, hogy ez a kifejezés definiálatlannak minősül, vagyis nem jár további felelősséggel.

Válasz: ∅ .

5. példa

Határozzuk meg az adott x + 2 · y + 3 - 5 · x kifejezés ODZ-jét.

Megoldás

Elérhetőség négyzetgyök azt jelzi, hogy ennek a kifejezésnek nullánál nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie. Nál nél negatív érték nincs értelme. Ez azt jelenti, hogy egy x + 2 · y + 3 ≥ 0 alakú egyenlőtlenséget kell felírni. Vagyis ez az elfogadható értékek kívánt tartománya.

Válasz: x és y halmaza, ahol x + 2 y + 3 ≥ 0.

6. példa

Határozzuk meg az ODZ kifejezést az 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) alakban.

Megoldás

Feltétel szerint törtünk van, tehát a nevezője nem lehet egyenlő nullával. Azt kapjuk, hogy x + 1 - 1 ≠ 0. A gyökkifejezésnek mindig van értelme, ha nagyobb vagy egyenlő nullával, azaz x + 1 ≥ 0. Mivel logaritmusa van, a kifejezésének szigorúan pozitívnak kell lennie, azaz x 2 + 3 > 0. A logaritmus alapjának is pozitív értékűnek és 1-től eltérőnek kell lennie, ekkor összeadjuk az x + 8 > 0 és az x + 8 ≠ 1 feltételeket. Ebből következik, hogy a kívánt ODZ a következő formában lesz:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Más szóval, egy változós egyenlőtlenségek rendszerének nevezik. A megoldás a következő ODZ jelöléshez vezet [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Válasz: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Miért fontos figyelembe venni a DPD-t a váltáskor?

Az identitásátalakítások során fontos megtalálni az ODZ-t. Vannak esetek, amikor az ODZ létezése nem fordul elő. Annak megértéséhez, hogy egy adott kifejezésnek van-e megoldása, össze kell hasonlítani az eredeti kifejezés változóinak VA értékét és a kapott kifejezés VA értékét.

Identitás átalakítások:

• nem befolyásolhatja a DL-t;
• a DZ kiterjesztéséhez vagy hozzáadásához vezethet;
• szűkítheti a DZ-t.

Nézzünk egy példát.

7. példa

Ha van egy x 2 + x + 3 · x formájú kifejezésünk, akkor annak ODZ-je a teljes definíciós tartományban definiálva van. Még ha hasonló kifejezéseket hozunk és egyszerűsítjük a kifejezést, az ODZ nem változik.

8. példa

Ha az x + 3 x − 3 x kifejezést vesszük példának, akkor a dolgok másként működnek. Nekünk van tört kifejezés. És tudjuk, hogy a nullával való osztás elfogadhatatlan. Ekkor az ODZ alakja (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Látható, hogy a nulla nem megoldás, ezért zárójellel adjuk hozzá.

Tekintsünk egy példát egy radikális kifejezés jelenlétével.

9. példa

Ha van x - 1 · x - 3, akkor figyelni kell az ODZ-re, mivel azt az (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 egyenlőtlenségként kell felírni. Megoldható az intervallum módszerrel, ekkor azt kapjuk, hogy az ODZ (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) alakot ölt. Az x - 1 · x - 3 transzformációja és a gyökök tulajdonságának alkalmazása után azt kaptuk, hogy az ODZ kiegészíthető, és mindent felírhatunk x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ alakú egyenlőtlenségrendszer formájában. 0. Megoldásánál azt találjuk, hogy [ 3 , + ∞) . Ez azt jelenti, hogy az ODZ teljesen a következőképpen van felírva: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

A DZ-t szűkítő átalakításokat kerülni kell.

10. példa

Tekintsünk egy példát az x - 1 · x - 3 kifejezésre, amikor x = - 1. Behelyettesítéskor azt kapjuk, hogy - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Ha ezt a kifejezést átalakítjuk és x - 1 · x - 3 alakba hozzuk, akkor a számítás során azt találjuk, hogy 2 - 1 · 2 - 3 a kifejezésnek nincs értelme, mivel a gyök kifejezés nem lehet negatív.

be kell tartani identitás-transzformációk, amelyen az ODZ nem változtat.

Ha vannak példák, amelyek kibővítik, akkor azt hozzá kell adni a DL-hez.

11. példa

Nézzük meg az x x 3 + x alakú tört példáját. Ha x-szel töröljük, akkor azt kapjuk, hogy 1 x 2 + 1. Ekkor az ODZ kibővül és (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) lesz. Sőt, a számításnál már a második egyszerűsített törttel dolgozunk.

A logaritmusok jelenlétében a helyzet kissé más.

12. példa

Ha van ln x + ln (x + 3) formájú kifejezés, akkor azt a logaritmus tulajdonsága alapján ln (x · (x + 3)) helyettesíti. Ebből láthatjuk, hogy az ODZ (0 , + ∞) -től (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) -ig. Ezért az ODZ ln (x · (x + 3)) meghatározásához számításokat kell végezni az ODZ-n, azaz a (0, + ∞) halmazon.

Megoldáskor mindig figyelni kell a feltétel által adott kifejezés szerkezetére, típusára. Ha a definíciós területet helyesen találja, az eredmény pozitív lesz.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ha az ODZ egyenlet abból áll véges számértékeket, elegendő minden értéket behelyettesíteni az egyenletbe annak ellenőrzéséhez, hogy ez az érték gyök-e.

Példák a véges alkalmazására egyenletek megoldására.

A gyökér jele alatt páros fokozatállnia kellene nem negatív szám, Ezért

Az első egyenlőtlenség másodfokú, oldjuk meg. Másodszor -.

A rendszer megoldása a két egyenlőtlenség megoldásának metszéspontja:

Az ODZ egyetlen értékből áll: (3).

Még ellenőrizni kell, hogy a 3 az egyenlet gyöke-e:

Megkaptuk a helyes egyenlőséget, ezért x=3 ennek az egyenletnek a gyöke.

A négyzetgyök jelnek nem negatív számot kell tartalmaznia. Ezért az ODZ

Az első két egyenlőtlenség másodfokú. Intervallum módszerrel oldjuk meg őket. A harmadik lineáris. Jelöljük a számegyenesen az egyes egyenlőtlenségek megoldását, és megkeressük a megoldások metszéspontját:

Az ODZ két értékből áll: (2; 3).

Ellenőrizzük.

És így, adott egyenlet egyetlen gyöke van x=3.

A megengedett arcszinusz értékek tartománya a -1 és 1 közötti zárt intervallum. A nem egész pozitív kitevőjű hatvány alapja nem negatív szám kell, hogy legyen. ODZ:

Így az egyenlet elfogadható értékeinek tartománya egy értékből áll: (1). Azt kell még ellenőrizni, hogy x=1 gyöke-e ennek az egyenletnek.

Válasz: 1.
Ha az egyenlet ODZ-je egy vagy több számból áll, ez a módszer segíthet a feladat egyszerű és gyors megbirkózásában.

A függvények tulajdonságain alapuló egyenletek megoldásának más módszereihez hasonlóan a véges számú érték használata gyakran lehetővé teszi meglehetősen összetett, nem szabványos feladatok megoldását. És bár bent iskolai tanfolyam algebra, ritkán jelenik meg, hasznos megjegyezni, és alkalmazni is kell.

Kategória: |

Hogyan kell keresni ugyanazt az ODZ-t? Gondosan megvizsgáljuk a példát, és veszélyes helyeket keresünk. Olyan helyek, ahol tiltott tevékenységek lehetségesek. A matematikában nagyon kevés ilyen tiltott cselekvés létezik.

További leckék az oldalon

ARV (elfogadható érték terület)

Az egyenlet elfogadható értékeinek tartománya az x azon értékeinek halmaza, amelyeknél az egyenlet jobb és bal oldala értelmes.

Ezek az x értékei, amelyek elvileg lehetnek. Tegyük fel, hogy az = 1 egyenletben még nem tudjuk, hogy x mivel egyenlő. Még nem oldottuk meg az egyenletet. De azt már biztosan tudjuk, hogy x semmilyen körülmények között nem lehet egyenlő nullával! Nem lehet nullával osztani! Bármilyen más szám - egész, tört, negatív - kérem, de nulla - soha! Ellenkező esetben az eredeti kifejezés értelmetlenné válik. Ez azt jelenti, hogy az ODZ ebben a példában: x – nullától eltérő. Megvan?

Hogyan lehet megtalálni, rögzíteni, hogyan kell vele dolgozni?

Nagyon egyszerű. Írd a példa mellé az ODZ-t! Ezen jól ismert betűk alá, az eredeti egyenletet nézve, felírjuk x értékeit, amelyek az eredeti példánál megengedettek. Vagy fordítva: keresse meg x tiltott értékeit, amelyekben az eredeti példa minden értelmét elveszti, és kizárja őket.

De nem mindenki emlékszik rájuk sem. Most emlékeztetlek rájuk, és azt tanácsolom, hogy emlékezzen rájuk.

A páros multiplicitás gyökjele alatti kifejezésnek nullánál nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie.

A tört nevezőjében lévő kifejezés nem lehet egyenlő nullával.

1. Két függvény tartalmaz "rejtett" törtet:

A logaritmikus egyenletekben is vannak tiltások – ezeket nézzük meg a vonatkozó témakörökben. Minden. Ha veszélyes helyeket találtunk, kiszámoljuk x-et, ami értelmetlenséghez vezet.

Az elfogadható kifejezési értékek tartományának meghatározásához meg kell vizsgálni, hogy vannak-e ilyenekkifejezési egyenlet amelyeket fentebb felsoroltam. És ahogy felfedezi a kifejezéseket, írja le az általuk beállított korlátozásokat, mozogva „kifelé” „belül”. És kizárjuk őket.

Fontos! Az ODZ megtalálásához nem oldunk meg egy példát! Megoldjuk a példa darabjait, hogy megtaláljuk a tiltott X-eket. Ez a magyarázat nehéznek tűnik, de a gyakorlatban nagyon egyszerű.

A DD-ről konkrétan nem mondtam semmit az előző leckéken. Hogy ne riassza el... A vizsgált példákban a DL semmilyen módon nem befolyásolta a válaszokat. Valóban, felsorolt ​​tilalmaink között exponenciális függvény Nem. Megtörténik. De a KÜLSŐ FÜGGETLEN TESZTELÉS feladatainál a DL általában befolyásolja a választ! Nem az ellenőröknek kell írni, hanem magának. ne írj, ha nyilvánvaló, hogy x tetszőleges szám. Mint például a lineáris egyenleteknél.

Sok példában az ODZ megtalálása lehetővé teszi, hogy nehézkes számítások nélkül kapjon választ. Vagy akár szóban is. Egyes egyenletekben ez egy üres halmazt jelent. Ez azt jelenti, hogy az eredeti egyenletnek nincs megoldása. Vagy egy vagy több szám van benne, és egy egyszerű helyettesítés gyorsan meghatározza a gyökereket.

Mi nem tetszik? Így van – töredéke. Én sem szeretem, ezért javaslom, hogy szabaduljak meg tőle. Ezt különböző módon lehet megtenni. A nevezőtől való megszabadulás érdekében az egyenlet mindkét oldalát megszorzom vele közös nevező x-4.

Tudományos tanácsadó:

1. Bevezetés 3

2. Történelmi vázlat 4

3. Az ODZ „helye” az 5-6 egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor

4. Az ODZ 7 jellemzői és veszélyei

5. ODZ – van megoldás 8-9

6. Az ODZ megtalálása többletmunka. Az átmenetek egyenértékűsége 10-14

7. ODZ az egységes államvizsgán 15-16

8. 17. következtetés

9. Irodalom 18

1. Bemutatkozás

Probléma: az egyenletek és egyenlőtlenségek, amelyekben meg kell találni az ODZ-t, nem találtak helyet az algebra kurzusában a szisztematikus bemutatáshoz, valószínűleg ezért követünk el társaimmal gyakran hibákat az ilyen példák megoldása során, sok időt töltünk a megoldásukkal, miközben elfelejtjük az ODZ-ről.

Cél: legyen képes elemezni a helyzetet és logikailag helyes következtetéseket levonni olyan példákban, ahol a DL figyelembe vétele szükséges.

Feladatok:

1. Tanulmányi elméleti anyag;

2. Oldjon meg sok egyenletet, egyenlőtlenséget: a) tört-racionális; b) irracionális; c) logaritmikus; d) inverz trigonometrikus függvényeket tartalmaz;

3. Alkalmazza a tanult anyagokat a standardtól eltérő helyzetben;

4. Készítsen munkát az „Elfogadható értékek területe: elmélet és gyakorlat” témában.

Projekt munka: Az általam ismert funkciók megismétlésével kezdtem el dolgozni a projekten. Sokuk hatóköre korlátozott.

ODZ fordul elő:

1. Döntéskor tört racionális egyenletekés egyenlőtlenségek

2. Döntéskor irracionális egyenletekés egyenlőtlenségek

3. Döntéskor logaritmikus egyenletekés egyenlőtlenségek

4. Inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor

Számos különböző forrásból (USE tankönyvek, tankönyvek, segédkönyvek) származó példák megoldása után a példák megoldását a következő elvek szerint rendszereztem:

· megoldhatja a példát, és figyelembe veheti az ODZ-t (a leggyakoribb módszer)

· lehetséges a példa megoldása az ODZ figyelembe vétele nélkül

· csak az ODZ figyelembe vételével lehet megfelelő döntést hozni.

A munkában alkalmazott módszerek: 1) elemzés; 2) statisztikai elemzés; 3) levonás; 4) osztályozás; 5) előrejelzés.

Tanulmányozta az elemzést Egységes államvizsga eredmények az elmúlt évek során. Sok hibát követtek el a példákban, amelyekben figyelembe kell venni a DL-t. Ez még egyszer hangsúlyozza relevanciáját az én témám.

2. Történelmi vázlat

A matematika többi fogalmához hasonlóan a függvény fogalma sem alakult ki azonnal, hanem átment hosszú távon fejlesztés. P. Fermat „Sík- és szilárd helyek bevezetése és tanulmányozása” (1636, 1679) című művében ez áll: „Amikor két ismeretlen mennyiség van a végső egyenletben, van hely.” Lényegében funkcionális függőségről és annak jellemzőiről beszélünk grafikus ábrázolás(A „hely” Fermat-ban vonalat jelent). R. Descartes "Geometriájában" (1637) a vonalak egyenletek szerinti tanulmányozása is két változó kölcsönös függésének világos megértését jelzi. In I. Barrow (“Lectures on Geometry”, 1670) in geometriai alakzat a differenciálás és az integráció cselekvéseinek kölcsönös inverz jellege megállapítható (természetesen anélkül, hogy ezeket a kifejezéseket használnánk). Ez már a funkció fogalmának teljesen egyértelmű elsajátítását jelzi. Ezt a fogalmat geometriai és mechanikai formában is megtaláljuk I. Newtonnál. A „funkció” kifejezés azonban csak 1692-ben jelenik meg először G. Leibniznél, ráadásul nem egészen a mai felfogásában. G. Leibniz egy görbéhez (például annak pontjainak abszcisszájához) kapcsolódó különféle szegmenseket függvénynek nevezi. Az első nyomtatott kurzusban, L'Hopital (1696) „Infinitezimálok elemzése görbe vonalak ismeretéhez” című művében a „függvény” kifejezés nem használatos.

A függvénynek a modernhez közel álló értelemben az első definícióját I. Bernoulli (1718) írja: „A függvény egy változóból és egy állandóból álló mennyiség.” Ez a nem teljesen világos meghatározás azon az elgondoláson alapul, hogy egy függvényt analitikai képlettel adjunk meg. Ugyanez a gondolat jelenik meg L. Euler definíciójában, amelyet a „Bevezetés a végtelenek elemzésébe” (1748) című művében adott: „A változó mennyiség függvénye egy analitikus kifejezés, amely valamilyen módon ebből a változó mennyiségből és számokból, ill. állandó mennyiségek." L. Eulertől azonban már nem idegen a függvény modern felfogása, amely nem kapcsolja össze a függvény fogalmát annak egyik elemző kifejezésével sem. „Differenciálszámítása” (1755) ezt írja: „Amikor bizonyos mennyiségek úgy függnek másoktól, hogy az utóbbiak változásakor maguk is változásnak vannak kitéve, akkor az előbbit az utóbbi függvényeinek nevezzük.”

VAL VEL eleje XIXévszázadok óta egyre gyakrabban határozzák meg a függvény fogalmát anélkül, hogy megemlítenék annak analitikus ábrázolását. A „Kifejezés a differenciál- és integrálszámításról” (1797-1802) című művében S. Lacroix ezt mondja: „Minden mennyiséget, amelynek értéke egy vagy sok más mennyiségtől függ, ez utóbbiak függvényének nevezzük.” J. Fourier (1822) „Analitikus hőelméletében” van egy mondat: „Funkció f(x) egy teljesen tetszőleges függvényt jelöl, azaz adott értékek sorozatát, függetlenül attól, hogy egy általános törvény hatálya alá tartoznak-e vagy sem, és megfelelnek minden értéknek x 0 és valamilyen érték között szerepelt x" N. I. Lobacsevszkij meghatározása közel áll a modernhez: „... Általános koncepció függvény megköveteli, hogy a függvény from x nevezd meg az egyes számokhoz tartozó számokat xés együtt x fokozatosan változik. A függvény értéke megadható analitikus kifejezéssel, vagy olyan feltétellel, amely lehetőséget ad az összes szám tesztelésére és az egyik kiválasztására, vagy végül a függőség létezhet és ismeretlen maradhat. Ott is mondják valamivel lejjebb: „Az elmélet tág nézete csak abban az értelemben engedi meg a függőség létezését, hogy a számok egymáshoz való kapcsolódásában úgy értendők, mintha összeadnák őket.” Így a függvény modern, az analitikai feladatra való hivatkozásoktól mentes, általában P. Dirichlet-nek (1837) tulajdonított definíciója többször is felmerült előtte.

Az y függvény definíciós tartománya (megengedhető értékei) annak az x független változónak az értékkészlete, amelyre ez a függvény definiálva van, azaz a független változó (argumentum) változási tartománya.

3. Az elfogadható értékek tartományának „helye” egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során

1. Törtracionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor a nevező nem lehet nulla.

2. Irracionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

Ebben az esetben nem kell megtalálni az ODZ-t: az első egyenletből az következik, hogy az x kapott értékei kielégítik a következő egyenlőtlenséget: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33. gif" width="107" height="27 src="> a rendszer:

Mivel egyenlően lépnek be az egyenletbe, az egyenlőtlenség helyett az egyenlőtlenséget is beillesztheti https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.

3.1. Séma logaritmikus egyenlet megoldására

De elegendő csak az ODZ egy állapotát ellenőrizni.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Trigonometrikus egyenletek kedves egyenértékűek a rendszerrel (az egyenlőtlenség helyett az egyenlőtlenséget is belefoglalhatja a rendszerbe https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> egyenértékűek az egyenlethez

4. A megengedett értékek tartományának jellemzői és veszélyei

A matematika órákon minden példában meg kell találnunk a DL-t. Ugyanakkor a dolog matematikai lényege szerint az ODZ megtalálása egyáltalán nem kötelező, gyakran nem szükséges, néha pedig lehetetlen - és mindez a példa megoldásának sérelme nélkül. Az viszont gyakran előfordul, hogy egy-egy példa megoldása után az iskolások elfelejtik figyelembe venni a DL-t, leírják végső válaszként, és csak néhány feltételt vesznek figyelembe. Ez a körülmény köztudott, de a „háború” minden évben folytatódik, és úgy tűnik, még sokáig fog tartani.

Vegyük például a következő egyenlőtlenséget:

Itt megkeresik az ODZ-t, és megoldják az egyenlőtlenséget. Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása során azonban az iskolások néha úgy vélik, hogy teljesen lehetséges az ODZ keresése nélkül, pontosabban a feltétel nélkül.

Valójában a helyes válasz megszerzéséhez figyelembe kell venni mind a , mind az egyenlőtlenséget.

De például az egyenlet megoldása: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

ami egyenértékű az ODZ-vel való munkával. Ebben a példában azonban az ilyen munka szükségtelen - elegendő ellenőrizni, hogy ezen egyenlőtlenségek közül csak kettő, és bármelyik kettő teljesül-e.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy bármely egyenlet (egyenlőtlenség) redukálható alakra. Az ODZ egyszerűen a bal oldalon lévő függvény definíciós tartománya. Az, hogy ezt a területet figyelni kell, a gyökérnek egy adott függvény definíciós tartományából származó számként való definíciójából következik, így az ODZ-ből. Itt van egy vicces példa ebben a témában..gif" width="20" height="21 src="> pozitív számok halmazának definíciós tartománya van (ez természetesen megegyezik egy függvény figyelembevételével , de ésszerű), és akkor a -1 nem a gyökér.

5. Elfogadható értékek tartománya – van megoldás

És végül, sok példában az ODZ megtalálása lehetővé teszi, hogy megkapja a választ terjedelmes elrendezések nélkül, vagy akár szóban is.

1. Az OD3 egy üres halmaz, ami azt jelenti, hogy az eredeti példának nincs megoldása.

1) 2) 3)

2. B ODZ egy vagy több szám található, és egy egyszerű helyettesítés gyorsan meghatározza a gyökereket.

1) , x=3

2)Itt az ODZ-ben csak az 1-es szám van, és a helyettesítés után egyértelmű, hogy ez nem gyökér.

3) Két szám van az ODZ-ben: 2 és 3, és mindkettő megfelelő.

4) > Az ODZ-ben két szám van 0 és 1, és csak az 1 megfelelő.

Az ODZ hatékonyan használható magának a kifejezésnek a elemzésével kombinálva.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) Az ODZ-ből az következik, hogy ahol van ..gif" width="143" height="24"> Az ODZ-ből van: . De akkor és . Mivel nincs megoldás.

Az ODZ-ből a következőt kapjuk: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, ami azt jelenti . Az utolsó egyenlőtlenséget megoldva x-et kapunk<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . Azóta

Másrészt: https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Tekintsük az egyenletet a [-1; 0).

Ez teljesíti a következő egyenlőtlenségeket: https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24" src="> és nincsenek megoldások. A funkcióval és https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Keressük meg az ODZ-t:

Egész megoldás csak x=3 és x=5 esetén lehetséges. Ellenőrizve azt találjuk, hogy az x=3 gyök nem illik, ami azt jelenti, hogy a válasz x=5.

6. Az elfogadható értékek tartományának megtalálása többletmunka. Az átmenetek egyenértékűsége.

Tudsz példákat mondani, ahol DZ megtalálása nélkül is egyértelmű a helyzet.

1.

Az egyenlőség lehetetlen, mert ha egy nagyobb kifejezést kivonunk egy kisebbből, az eredménynek negatív számnak kell lennie.

2. .

Két nem negatív függvény összege nem lehet negatív.

Példákat hozok arra is, amikor az ODZ megtalálása nehéz, és néha egyszerűen lehetetlen.

És végül, az ODZ keresése gyakran csak többletmunka, amelyet nélkülözhet, és ezzel bizonyítja, hogy megérti, mi történik. Nagyon sok példát lehet itt felhozni, ezért csak a legjellemzőbbeket fogom választani. A fő megoldási mód ebben az esetben az ekvivalens transzformációk, amikor az egyik egyenletből (egyenlőtlenség, rendszer) a másikba lépünk.

1.. Az ODZ-re nincs szükség, mert miután megtaláltuk azokat az x értékeket, amelyekre x2 = 1, nem kaphatunk x = 0-t.

2. . ODZ-re nincs szükség, mert megtudjuk, hogy a gyökkifejezés mikor egyenlő egy pozitív számmal.

3. . Az ODZ-re ugyanazok az okok miatt nincs szükség, mint az előző példában.

4.

ODZ-re nincs szükség, mert a gyökkifejezés megegyezik valamely függvény négyzetével, ezért nem lehet negatív.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> A megoldáshoz a gyök kifejezésre egyetlen megszorítás elegendő, az írott vegyes rendszerből ugyanis az következik, hogy a másik gyök kifejezés nem negatív.

8. A DZ-re ugyanazok az okok miatt nincs szükség, mint az előző példában.

9. Az ODZ-re nincs szükség, mivel a logaritmusjelek alatti három kifejezésből kettőnek elegendő pozitívnak lennie, hogy biztosítsa a harmadik pozitivitását.

10. .gif" width="357" height="51"> Az ODZ-re ugyanazok az okok miatt nincs szükség, mint az előző példában.

Érdemes azonban megjegyezni, hogy az ekvivalens transzformációk módszerével történő megoldásnál az ODZ (és a függvények tulajdonságainak) ismerete segít.

Íme néhány példa.

1. . OD3, ami azt jelenti, hogy a jobb oldali kifejezés pozitív, és fel lehet írni egy ezzel egyenértékű egyenletet ebben a formában https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width ="112" height="27 "> ODZ: De akkor és ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása során nem kell figyelembe venni azt az esetet, amikor a jobb oldal kisebb, mint 0.

3. . Az ODZ-ből az következik, és ezért az az eset, amikor https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Ugrás Általános nézetígy néz ki:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Két eset lehetséges: 0 >1.

Ez azt jelenti, hogy az eredeti egyenlőtlenség ekvivalens a következő egyenlőtlenségi rendszerekkel:

Az első rendszernek nincsenek megoldásai, de a másodikból megkapjuk: x<-1 – решение неравенства.

Az egyenértékűség feltételeinek megértéséhez néhány finomság ismeretére van szükség. Például miért ekvivalensek a következő egyenletek:

Vagy

És végül, talán a legfontosabb. A helyzet az, hogy az ekvivalencia garantálja a válasz helyességét, ha magának az egyenletnek néhány transzformációja megtörténik, de nem csak az egyik rész transzformációjára használja. Az ekvivalenciatételek nem terjednek ki a rövidítésekre és a különböző képletek használatára az egyik részben. Erre a típusra már hoztam néhány példát. Nézzünk még néhány példát.

1. Ez a döntés természetes. A bal oldalon a logaritmikus függvény tulajdonságának megfelelően továbblépünk a ..gif" width="111" height="48"> kifejezésre

Ennek a rendszernek a megoldása után megkapjuk az eredményt (-2 és 2), ami azonban nem válasz, mivel a -2 szám nem szerepel az ODZ-ben. Tehát telepítenünk kell az ODS-t? Természetesen nem. De mivel a logaritmikus függvény egy bizonyos tulajdonságát használtuk a megoldásban, ezért kötelesek megadni azokat a feltételeket, amelyek mellett ez teljesül. Ilyen feltétel a logaritmusjel alatti kifejezések pozitivitása..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> számok ilyen módon helyettesíthetők . Ki szeretne ilyen fárasztó számításokat végezni?.gif" width="12" height="23 src="> adjon hozzá egy feltételt, és azonnal láthatja, hogy csak a szám https://pandia.ru/text/78/083 / megfelel ennek a feltételnek images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) a tesztet kitöltők 52%-a bizonyította. Az ilyen alacsony arányok egyik oka az a tény, hogy sok diplomás nem választotta ki az egyenletből kapott gyököket négyzetesítés után.

3) Tekintsük például a C1 probléma egyik megoldását: „Keresse meg x összes olyan értékét, amelyre a függvény grafikonjának pontjai A "függvény grafikonjának megfelelő pontjai felett helyezkednek el. A feladat egy olyan törtegyenlőtlenség megoldására redukálódik, amely tartalmazza logaritmikus kifejezés. Ismerjük az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának módszereit. Ezek közül a leggyakoribb az intervallum módszer. Használata során azonban a tesztelők különféle hibákat követnek el. Nézzük meg a leggyakoribb hibákat az egyenlőtlenség példájával:

x< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Következtetés

Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy nincs univerzális módszer az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására. Minden alkalommal, amikor meg akarja érteni, mit csinál, és nem mechanikusan cselekedni, felmerül a dilemma: milyen megoldást válasszon, különösen, keresse-e az ODZ-t vagy sem? Úgy gondolom, hogy a megszerzett tapasztalatok segítenek megoldani ezt a dilemmát. Abbahagyom a hibák elkövetését, ha megtanulom az ODZ helyes használatát. Hogy ezt meg tudom-e tenni, azt az idő, vagy inkább az egységes államvizsga eldönti.

9. Irodalom

És mások. „Algebra és az elemzés kezdetei 10-11” feladat- és tankönyv, M.: „Prosveshchenie”, 2002. „Az elemi matematika kézikönyve”. M.: „Nauka”, 1966. „Matematika” újság 46. szám, „Matematika” újság „Matematika” szám „Matematika története a VII-VIII. osztályban”. M.: „Prosveshchenie”, 1982. stb. „A valódi egységes államvizsga-feladatok legteljesebb változata: 2009/FIPI” - M.: „Astrel”, 2009. stb. „Egységes államvizsga. Matematika. Univerzális anyagok a hallgatók felkészítéséhez/FIPI" - M.: "Intelligencia Központ", 2009. stb. "Algebra és az elemzés kezdetei 10-11." M.: „Prosveshchenie”, 2007. „Műhely az iskolai matematika feladatmegoldásáról (algebrai műhely”). M.: Oktatás, 1976. „25 000 matematikaóra”. M.: „Felvilágosodás”, 1993. „Felkészülés a matematikai olimpiára”. M.: „Vizsga”, 2006. „MATEMATIKA gyerekeknek szóló enciklopédiája” 11. évfolyam, M.: Avanta +; 2002. Anyagok a www. *****, www. *****.