Matematikai inga hívott anyagi pont, amely a felfüggesztéshez rögzített súlytalan és nyújthatatlan menetre van felfüggesztve, és a gravitációs (vagy más erő) mezőben helyezkedik el.

Ingadozások feltárása matematikai inga V inerciarendszer referencia, amelyhez képest a felfüggesztés pontja nyugalomban van, vagy egyenletesen, egyenes vonalban mozog. Elhanyagoljuk a légellenállás erejét (ideális matematikai inga). Kezdetben az inga nyugalomban van a C egyensúlyi helyzetben. Ebben az esetben a rá ható gravitációs \(\vec F\) és a menet \(\vec F_(ynp)\) rugalmas ereje kölcsönösen összefügg. kompenzálva.

Távolítsuk el az ingát az egyensúlyi helyzetből (pl. az A helyzetbe terelve) és engedjük el kezdősebesség nélkül (13.11. ábra). Ebben az esetben a \(\vec F\) és \(\vec F_(ynp)\) erők nem egyensúlyozzák ki egymást. A gravitáció tangenciális komponense \(\vec F_\tau\), amely az ingára ​​hat, tangenciális gyorsulást ad neki \(\vec a_\tau\) (a matematikai inga pályájának érintője mentén irányított teljes gyorsulás összetevője) ), és az inga abszolút értékben növekvő sebességgel kezd egyensúlyi helyzetbe mozogni. A gravitáció érintőleges összetevője \(\vec F_\tau\) tehát egy helyreállító erő. A gravitációs erő normálkomponense \(\vec F_n\) a menet mentén a \(\vec F_(ynp)\ rugalmas erővel szemben irányul. A \(\vec F_n\) és \(\vec F_(ynp)\) erők eredője megmondja az ingát normál gyorsulás\(~a_n\), ami megváltoztatja a sebességvektor irányát, és az inga ívben mozog ABCD.

Minél közelebb kerül az inga a C egyensúlyi helyzethez, annál kisebb lesz a \(~F_\tau = F \sin \alpha\) érintőleges komponens értéke. Egyensúlyi helyzetben nullával egyenlő, és a sebesség eléri a maximális értékét, és az inga tehetetlenséggel halad tovább, felfelé ívben emelkedve. Ebben az esetben a \(\vec F_\tau\) komponens a sebesség ellen irányul. Az a elhajlási szög növekedésével az \(\vec F_\tau\) erőmodulus nő, a sebességmodulus pedig csökken, és a D pontban az inga sebessége nullával egyenlő. Az inga egy pillanatra megáll, majd az egyensúlyi helyzettel ellentétes irányba kezd el mozogni. A tehetetlenségi erővel ismét elhaladva az inga, lassítva a mozgását, eléri az A pontot (nincs súrlódás), azaz. teljes lendületet fog befejezni. Ezt követően az inga mozgása megismétlődik a már leírt sorrendben.

Adjunk egy egyenletet, amely leírja a matematikai inga szabad rezgéseit.

Engedd be az ingát Ebben a pillanatban Az idő a B pontban van. S elmozdulása az egyensúlyi helyzetből ebben a pillanatban megegyezik az SV ív hosszával (azaz S = |SV|). Jelöljük a felfüggesztő menet hosszát l, és az inga tömege az m.

A 13.11. ábrából jól látható, hogy \(~F_\tau = F \sin \alpha\), ahol \(\alpha =\frac(S)(l).\) Kis szögekben \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

A mínuszjel azért kerül ebbe a képletbe, mert a gravitáció érintőleges komponense az egyensúlyi helyzet felé irányul, és az elmozdulást az egyensúlyi helyzetből számoljuk.

Newton második törvénye szerint \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Vetítsük ki ennek az egyenletnek a vektormennyiségeit a matematikai inga pályájának érintőjének irányába

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Ezekből az egyenletekből azt kapjuk

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - matematikai inga dinamikus mozgásegyenlete. A matematikai inga érintőleges gyorsulása arányos az elmozdulásával, és az egyensúlyi helyzet felé irányul. Ez az egyenlet így írható fel:\. Összehasonlítva a harmonikus rezgések \(~a_x + \omega^2x = 0\) egyenletével (lásd 13.3. §), megállapíthatjuk, hogy a matematikai inga harmonikus rezgéseket hajt végre. És mivel az inga figyelembe vett lengései csak belső erők hatására következtek be, ezek az inga szabad lengései voltak. Ennélfogva, a matematikai inga kis eltérésű szabad rezgései harmonikusak.

Jelöljük \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Ahonnan \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) az inga ciklikus frekvenciája.

Az inga rezgési periódusa \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Ezért,

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Ezt a kifejezést hívják Huygens képlete. Meghatározza a matematikai inga szabad rezgésének periódusát. A képletből az következik, hogy az egyensúlyi helyzettől való kis eltérési szögek mellett a matematikai inga lengési periódusa: 1) nem függ a tömegétől és az oszcillációi amplitúdójától; 2) arányos az inga hosszának négyzetgyökével és fordítottan arányos a gravitációs gyorsulás négyzetgyökével. Ez összhangban van a matematikai inga kis oszcillációinak kísérleti törvényeivel, amelyeket G. Galileo fedezett fel.

Hangsúlyozzuk, hogy ez a képlet akkor használható a periódus kiszámítására, ha egyidejűleg két feltétel teljesül: 1) az inga lengésének kicsinek kell lennie; 2) az inga felfüggesztési pontjának nyugalomban kell lennie, vagy egyenletesen, egyenes vonalban kell mozognia ahhoz a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerhez képest, amelyben található.

Ha egy matematikai inga felfüggesztési pontja \(\vec a\) gyorsulással mozog, akkor a menet feszítőereje megváltozik, ami a visszaállító erő, és ennek következtében a rezgések gyakoriságának és periódusának megváltozásához vezet. Amint a számítások azt mutatják, az inga lengési periódusa ebben az esetben a képlet segítségével számítható ki

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

ahol \(~g"\) az inga "effektív" gyorsulása nem inerciális vonatkoztatási rendszerben. Ez egyenlő a gravitációs gyorsulás \(\vec g\) és a vele ellentétes vektor geometriai összegével a \(\vec a\) vektor, azaz a képlet segítségével kiszámítható

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Irodalom

Aksenovich L. A. Fizika a középiskolában: elmélet. Feladatok. Tesztek: Tankönyv. általános műveltséget nyújtó intézmények támogatása. környezet, oktatás / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Szerk. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 374-376.

Inga Foucault- egy inga, amellyel kísérletileg demonstrálják a Föld napi forgását.

A Foucault-inga egy huzalra vagy cérnára felfüggesztett masszív teher, amelynek felső vége (például univerzális csuklóval) meg van erősítve, hogy az inga bármilyen függőleges síkban lenghessen. Ha a Foucault-ingát a függőlegestől eltérítjük és kezdeti sebesség nélkül elengedjük, akkor az inga terhelésére ható gravitációs és menetfeszítő erők mindvégig az inga lengési síkjában fekszenek, és nem tudják előidézni annak forgását. a csillagokhoz viszonyítva (a csillagokhoz tartozó inerciális vonatkoztatási rendszerhez) . A Földön elhelyezkedő és vele együtt forgó (azaz nem inerciális vonatkoztatási rendszerben elhelyezkedő) megfigyelő látni fogja, hogy a Foucault-inga lengéssíkja a Föld felszínéhez képest lassan a forgásiránnyal ellentétes irányban forog. a Földről származó. Ez megerősíti a Föld napi forgásának tényét.

Az Északi- vagy Déli-sarkon a Foucault-inga lengéssíkja sziderális naponként 360°-kal fog forogni (15°-kal sziderális óránként). A földfelszín egy pontjában, amelynek földrajzi szélessége egyenlő φ-vel, a horizont síkja ω 1 = ω sinφ szögsebességgel forog a függőleges körül (ω a Föld szögsebesség modulusa) és a lengéssík Az inga azonos szögsebességgel forog. Ezért a Foucault-inga lengéssíkjának látszólagos forgási szögsebessége a φ szélességen, fokban per sziderális óránként kifejezve ω m =15 o sinφ, azaz minél kisebb φ, annál kisebb φ, és a Egyenlítőn nullává válik (a sík nem forog). A déli féltekén a lengéssík forgása az északi féltekén megfigyelttel ellentétes irányban történik. Egy finomított számítás adja meg az értéket

ω m = 15 o sinφ

Ahol A- az inga súlyának lengéseinek amplitúdója, l- menethossz. Egy további kifejezés, amely csökkenti a szögsebességet, minél kisebb, annál nagyobb l. Ezért a kísérlet bemutatásához a lehető leghosszabb (több tíz méteres) menethosszú Foucault ingát célszerű használni.

Sztori

Ezt a készüléket először Jean Bernard Leon Foucault francia tudós tervezte.

Ez az eszköz egy öt kilogrammos sárgaréz golyó volt, amelyet kétméteres acélhuzalra függesztettek fel a mennyezetről.

Foucault első kísérletét saját háza pincéjében végezte. 1851. január 8. Erről bejegyzés készült a tudós tudományos naplójában.

1851. február 3 Jean Foucault bemutatta ingáját a Párizsi Obszervatóriumban azoknak az akadémikusoknak, akik a következő tartalmú leveleket kapták: „Meghívom Önt, hogy kövesse a Föld forgását.”

A kísérlet első nyilvános bemutatójára Louis Bonaparte kezdeményezésére került sor a párizsi Pantheonban ugyanazon év áprilisában. A Pantheon kupolája alatt egy fémgolyót függesztettek fel 28 kg súlyú, acélhuzalra erősített hegyévelátmérője 1,4 mm és 67 m hosszú Felszerelés az inga mindenben szabadon lendült irányokat. Alatt rögzítési pontként 6 méter átmérőjű körkerítés készült, a kerítés szélén homokpályát öntöttek, hogy az inga mozgása közben nyomokat tudjon rajzolni a homokba, amikor áthalad rajta. Az inga indításakor oldalra lökést elkerülendő, oldalra vették és kötéllel megkötözték, majd a kötelet kiégtek. Az oszcillációs periódus 16 másodperc volt.

A kísérlet nagy sikert aratott, és széles visszhangot váltott ki tudományos és nyilvános körökben Franciaországban és a világ más országaiban. Csak 1851-ben készítettek más ingákat az első modellje alapján, és Foucault kísérleteit a párizsi csillagvizsgálóban, a reimsi katedrálisban, a római Szent Ignác-templomban, Liverpoolban, Oxfordban, Dublinban végezték. Rio de Janeiróban, Colombo városában, Ceylonban, New York államban.

Ezekben a kísérletekben a labda mérete és az inga hossza eltérő volt, de mindegyik megerősítette a következtetéseketJean Bernard Leon Foucault.

A Pantheonban bemutatott inga elemeit jelenleg a Párizsi Művészeti és Kézműves Múzeumban őrzik. Foucault-ingák pedig ma már a világ számos pontján megtalálhatók: politechnikai és tudományos-természettörténeti múzeumokban, tudományos obszervatóriumokban, planetáriumokban, egyetemi laboratóriumokban és könyvtárakban.

Három Foucault-inga van Ukrajnában. Az egyiket az Ukrán Nemzeti Műszaki Egyetemen tárolják „KPI névadó. Igor Sikorsky", a második - a Harkovi Nemzeti Egyetemen. V.N. Karazin, harmadik - a Harkovi Planetáriumban.

A matematikai inga egy közönséges inga modellje. A matematikai inga egy hosszú, súlytalan és nyújthatatlan szálon felfüggesztett anyagi pont.

Mozgassuk ki a labdát egyensúlyi helyzetéből és engedjük el. Két erő hat a labdára: a gravitáció és a szál feszessége. Amikor az inga mozog, a levegő súrlódási ereje továbbra is hat rá. De nagyon kicsinek fogjuk tekinteni.

Bontsuk fel a gravitációs erőt két komponensre: a menet mentén ható erőre és a labda röppályájának érintőjére merőleges erőre.

Ez a két erő összeadja a gravitációs erőt. A menet rugalmas erői és az Fn gravitációs komponens centripetális gyorsulást kölcsönöznek a golyónak. Ezen erők által végzett munka nulla lesz, ezért csak a sebességvektor irányát változtatják meg. Az idő bármely pillanatában érintőlegesen a körívre irányul.

Az Fτ gravitációs komponens hatására a labda egy körív mentén, növekvő sebességgel fog mozogni. Ennek az erőnek az értéke mindig nagysága változik, az egyensúlyi helyzeten áthaladva nullával egyenlő.

Az oszcilláló mozgás dinamikája

Rugalmas erő hatására oszcilláló test mozgásegyenlete.

Általános mozgásegyenlet:

A rendszerben az oszcillációk rugalmas erő hatására jönnek létre, amely a Hooke-törvény szerint egyenesen arányos a terhelés elmozdulásával

Ekkor a labda mozgásegyenlete a következő alakot ölti:

Ezt az egyenletet elosztva m-rel a következő képletet kapjuk:

És mivel a tömeg és a rugalmassági együttható állandó mennyiségek, az arány (-k/m) is állandó lesz. Kaptunk egy egyenletet, amely leírja a test rezgéseit rugalmas erő hatására.

A test gyorsulásának vetülete egyenesen arányos a koordinátájával, ellenkező előjellel.

A matematikai inga mozgásegyenlete

A matematikai inga mozgásegyenlete a következő képlettel írható le:

Ennek az egyenletnek ugyanaz a formája, mint a rugón lévő tömeg mozgásának egyenletének. Ebből következően az inga kilengései és a labda rugón történő mozgása ugyanúgy történik.

A golyó elmozdulása a rugón és az ingatest elmozdulása az egyensúlyi helyzetből idővel azonos törvények szerint változik.

ábrán látható ingák. A 2. ábrán látható, különböző alakú és méretű kiterjesztett testek, amelyek egy felfüggesztési vagy támaszpont körül oszcillálnak. Az ilyen rendszereket fizikai ingáknak nevezzük. Egyensúlyi állapotban, amikor a súlypont a függõlegesen van a függõleges (vagy támasztópont) alatt, a gravitációs erõ kiegyenlítõdik (egy deformált inga rugalmas erõin keresztül) a támasz reakciójával. Az egyensúlyi helyzettől való eltéréskor a gravitációs és rugalmas erők meghatározzák az inga szöggyorsulását minden időpillanatban, azaz meghatározzák mozgásának (oszcillációjának) jellegét. Most részletesebben megvizsgáljuk az oszcillációk dinamikáját egy úgynevezett matematikai inga legegyszerűbb példáján keresztül, amely egy kis súly, amely egy hosszú vékony fonalra van felfüggesztve.

A matematikai ingánál figyelmen kívül hagyhatjuk a menet tömegét és a súly alakváltozását, azaz feltételezhetjük, hogy az inga tömege a súlyban koncentrálódik, a rugalmas erők pedig a nyújthatatlannak tartott menetben koncentrálódnak. . Lássuk most, milyen erők hatására oszcillál az ingánk, miután valamilyen módon (tolás, elhajlás) kikerült egyensúlyi helyzetéből.

Amikor az inga egyensúlyi helyzetben van, a súlyára ható, függőlegesen lefelé irányuló gravitációs erőt a menet feszítőereje egyensúlyozza ki. Az elhajlított helyzetben (15. ábra) a nehézségi erő a menet mentén kifejtett feszítőerőhöz képest szöget zár be. Bontsuk fel a gravitációs erőt két részre: a menet irányába () és arra merőlegesen (). Amikor az inga oszcillál, a menet feszítőereje kissé meghaladja a komponenst - a centripetális erő mértékével, amely a terhelést ívben történő mozgásra kényszeríti. A komponens mindig az egyensúlyi helyzet felé irányul; úgy tűnik, hogy igyekszik helyreállítani ezt a helyzetet. Ezért gyakran nevezik helyreállító erőnek. Minél jobban elhajlik az inga, annál nagyobb az abszolút érték.

Rizs. 15. Erő helyreállítása, amikor az inga eltér az egyensúlyi helyzettől

Tehát amint az inga kilengései során elkezd kitérni az egyensúlyi helyzetből, mondjuk jobbra, megjelenik egy erő, amely minél jobban lelassítja a mozgását, minél jobban eltér. Végül ez az erő megállítja és visszarántja az egyensúlyi helyzetbe. Azonban ahogy közeledünk ehhez a pozícióhoz, az erő egyre kisebb lesz, és maga az egyensúlyi helyzetben nullává válik. Így az inga tehetetlenséggel halad át az egyensúlyi helyzeten. Amint elkezd balra térni, ismét megjelenik egy erő, amely egyre nagyobb eltéréssel növekszik, de most jobbra irányul. A bal oldali mozgás ismét lelassul, majd az inga egy pillanatra megáll, ezután kezdődik a jobbra gyorsított mozgás stb.

Mi történik az inga energiájával, miközben rezeg?

A periódus során kétszer - a legnagyobb bal és jobb oldali eltéréseknél - az inga megáll, vagyis ezekben a pillanatokban a sebesség nulla, ami azt jelenti, hogy a mozgási energia nulla. De pontosan ezekben a pillanatokban emelkedik az inga súlypontja a legnagyobb magasságba, és ezért a potenciális energia a legnagyobb. Ellenkezőleg, az egyensúlyi helyzeten való áthaladás pillanataiban a potenciális energia a legalacsonyabb, a sebesség és a mozgási energia eléri a legnagyobb értéket.

Feltételezzük, hogy az inga levegővel szembeni súrlódási erői és a felfüggesztési pontban fellépő súrlódás elhanyagolható. Ekkor az energiamegmaradás törvénye szerint ez a maximális kinetikus energia pontosan megegyezik a potenciális energia többletével abban a helyzetben, ahol a legnagyobb eltérés van az egyensúlyi helyzetben lévő potenciális energiától.

Tehát, amikor az inga oszcillál, a kinetikus energia periodikus átmenete potenciális energiává és fordítva történik, és ennek a folyamatnak a periódusa fele olyan hosszú, mint maga az inga rezgési periódusa. Az inga összenergiája (a potenciális és a mozgási energiák összege) azonban állandóan állandó. Ez egyenlő azzal az energiával, amelyet az ingának az indításkor átadtak, függetlenül attól, hogy potenciális energia (kezdeti elhajlás) vagy kinetikus energia (kezdeti lökés) formájában van-e.

Ez a helyzet minden olyan oszcilláció esetén, amely súrlódás hiányában történik, vagy bármely olyan folyamat, amely energiát von el az oszcilláló rendszertől, vagy energiát ad neki. Ezért az amplitúdó változatlan marad, és a lökés kezdeti elhajlása vagy ereje határozza meg.

Ugyanilyen változást kapunk a helyreállító erőben és az energiaátvitelben, ha a golyót ahelyett, hogy menetre akasztanánk, egy gömb alakú csészében függőleges síkban, vagy a kerület mentén ívelt horonyban gördítjük meg. Ebben az esetben a menetfeszítés szerepét a csésze vagy ereszcsatorna falainak nyomása veszi át (a golyó falakhoz és levegőhöz való súrlódását ismét figyelmen kívül hagyjuk).