Másodfokúra redukálható egyenletek. Másodfokú egyenletek Csökkentse az egyenletet másodfokú formára

Az egyenleteknek több osztálya is megoldható másodfokú egyenletekre redukálva. Az egyik ilyen egyenlet a kétnegyedes egyenletek.

Biquadratic egyenletek

A kétnegyedes egyenletek az alak egyenletei a*x^4 + b*x^2 + c = 0, ahol a nem egyenlő 0-val.

A kétnegyedes egyenleteket az x^2 =t helyettesítéssel oldjuk meg. Egy ilyen behelyettesítés után t másodfokú egyenletét kapjuk. a*t^2+b*t+c=0. Megoldjuk a kapott egyenletet, megvan általános eset t1 és t2. Ha ebben a szakaszban negatív gyöket kapunk, akkor az kizárható a megoldásból, mivel t=x^2-t vettünk, és bármely szám négyzete pozitív szám.

Visszatérve az eredeti változókra, x^2 =t1, x^2=t2.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Nézzünk egy kis példát:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Vezessük be a t=x^2 helyettesítést. Ekkor az eredeti egyenlet a következő formában jelenik meg:

Megoldjuk ezt a másodfokú egyenletet bármelyik ismert módszerrel, és megtaláljuk:

A -1 gyök nem megfelelő, mivel az x^2 = -1 egyenletnek nincs értelme.

A második gyökér 4/9 marad. A kezdeti változókra lépve a következő egyenletet kapjuk:

x1=-2/3, x2=2/3.

Ez lesz az egyenlet megoldása.

Válasz: x1=-2/3, x2=2/3.

A másodfokú egyenletekre redukálható egyenlet másik típusa a tört racionális egyenletek. A racionális egyenletek olyan egyenletek, amelyeknek bal és jobb oldala van racionális kifejezések. Ha egy racionális egyenletben a bal vagy a jobb oldal az törtkifejezések, akkor egy ilyen racionális egyenletet törtnek nevezünk.

Séma tört racionális egyenlet megoldására

1. Keresse meg közös nevező az egyenletbe bekerülő összes tört.

2. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy közös nevezővel!

3. Oldja meg a kapott teljes egyenletet!

4. Ellenőrizze a gyökereket, és zárja ki azokat, amelyek miatt a közös nevező eltűnik.

Nézzünk egy példát:

Oldja meg a tört racionális egyenletet: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Maradunk az általános sémánál. Először keressük meg az összes tört közös nevezőjét.

Kapunk x*(x-5).

Szorozzuk meg az egyes törteket egy közös nevezővel, és írjuk fel a kapott teljes egyenletet.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Egyszerűsítsük a kapott egyenletet. Kapunk,

x^2+3*x + x-5 - x-5 =0;

Kapott egyszerű redukált másodfokú egyenlet. Bármelyik ismert módszerrel megoldjuk, az x=-2 és x=5 gyököket kapjuk. Most ellenőrizzük a kapott megoldásokat. Helyettesítsd be a -2 és 5 számokat a közös nevezőbe!

Az x=-2-nél az x*(x-5) közös nevező nem tűnik el, -2*(-2-5)=14. Ez azt jelenti, hogy a -2 szám lesz az eredeti tört gyöke racionális egyenlet.

Másodfokú egyenlet vagy a másodfokú egyenlet egy ismeretlennel olyan egyenlet, amely átalakítások után a következő alakra redukálható:

fejsze 2 + bx + c = 0 - másodfokú egyenlet

Ahol x- ez az ismeretlen, de a, bÉs c- az egyenlet együtthatói. Másodfokú egyenletekben a az első együtthatónak ( a ≠ 0), b második együtthatónak nevezzük, és c ismert vagy szabad tagnak nevezik.

Az egyenlet:

fejsze 2 + bx + c = 0

hívott teljes másodfokú egyenlet. Ha az egyik együttható b vagy c egyenlő nullával, vagy mindkét együttható nulla, akkor az egyenlet egy hiányos másodfokú egyenlet formájában kerül bemutatásra.

Csökkentett másodfokú egyenlet

A teljes másodfokú egyenlet egy kényelmesebb formára redukálható, ha minden tagját elosztjuk ezzel a, azaz az első együtthatóhoz:

Az egyenlet x 2 + px + q= 0 redukált másodfokú egyenletnek nevezzük. Ezért minden másodfokú egyenlet, amelyben az első együttható 1, redukáltnak nevezhető.

Például az egyenlet:

x 2 + 10x - 5 = 0

redukálódik, és az egyenlet:

3x 2 + 9x - 12 = 0

helyettesíthető a fenti egyenlettel, minden tagját -3-mal osztva:

x 2 - 3x + 4 = 0

Másodfokú egyenletek megoldása

A másodfokú egyenlet megoldásához le kell redukálnia az alábbi formák egyikére:

fejsze 2 + bx + c = 0

fejsze 2 + 2kx + c = 0

x 2 + px + q = 0

Minden egyenlettípusnak megvan a maga képlete a gyökerek megtalálásához:

Figyeljük meg az egyenletet:

fejsze 2 + 2kx + c = 0

ez a transzformált egyenlet fejsze 2 + bx + c= 0, amelyben az együttható b- egyenletes, ami lehetővé teszi, hogy 2-es típusúra cserélje k. Ezért az egyenlet gyökereinek megkeresésére szolgáló képlet leegyszerűsíthető, ha behelyettesítünk 2-t k ahelyett b:

1. példa Oldja meg az egyenletet:

3x 2 + 7x + 2 = 0

Mivel az egyenletben a második együttható nem páros szám, és az első együttható nem egyenlő eggyel, akkor a legelső képlet, az úgynevezett általános képlet másodfokú egyenlet gyökereinek megtalálása. Először

a = 3, b = 7, c = 2

Most, hogy megtaláljuk az egyenlet gyökereit, egyszerűen behelyettesítjük az együtthatók értékeit a képletbe:

x 1 =	-2	= -	1	, x 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Válasz: -	1	, -2.
	3

2. példa:

x 2 - 4x - 60 = 0

Határozzuk meg, mik az együtthatók:

a = 1, b = -4, c = -60

Mivel az egyenlet második együtthatója páros szám, a másodfokú egyenletek képletét használjuk páros második együtthatóval:

x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6

Válasz: 10, -6.

3. példa

y 2 + 11y = y - 25

Csökkentsük le az egyenletet Általános megjelenés:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

Határozzuk meg, mik az együtthatók:

a = 1, p = 10, q = 25

Mivel az első együttható 1, a gyököket a fenti egyenletek képletével fogjuk keresni, páros második együtthatóval:

Válasz: -5.

4. példa

x 2 - 7x + 6 = 0

Határozzuk meg, mik az együtthatók:

a = 1, p = -7, q = 6

Mivel az első együttható 1, a gyököket a fenti egyenletek képletével fogjuk keresni, páratlan második együtthatóval:

x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1

Állami költségvetési szakember oktatási intézmény

"Nevinnomyssk Energy College"

Módszertani fejlesztés nyílt osztály a "matematika" tudományágban

Óra témája :

Másodfokúvá redukáló egyenletek

egyenletek.

Matematika tanár:

Skrylnikova Valentina Evgenievna

Nevinnomyssk 2016.

Az óra céljai: 2. dia

Nevelési: hozzájárulnak a tanulók észlelési tevékenységének megszervezéséhez,

új ismeretek megértése és elsődleges memorizálása (új változó bevezetésének módja, kétnegyedes egyenlet meghatározása) és módszerek

akciók (tanítsd meg az egyenletek megoldását egy új

változó), segítse a tanulókat megérteni a társadalmi és személyes

fontosságát oktatási anyag;

Nevelési: segítik a tanulók számítástechnikai képességeinek fejlesztését;

a szóbeli matematikai beszéd fejlesztése; feltételeket teremteni

az önkontroll és a kölcsönös kontrollkészség kialakítása,

a tanulók algoritmikus kultúrája;

Nevelési: elősegíti a pozitív hozzáállást

egymáshoz.

Az óra típusa: új anyagok tanulása.

Mód: verbális, vizuális, gyakorlati, keresés

Munkaformák : egyéni, páros, csoportos

Felszerelés: interaktív tábla, bemutató

Az órák alatt.

I. Szervezési mozzanat.

Jelölje meg a hiányzókat, ellenőrizze az osztály felkészültségét a leckére.

Tanár: Srácok, elkezdünk tanulni új téma. A lecke témáját még nem írjuk le, kicsit később magad fogod megfogalmazni. Csak annyit mondok, hogy beszélni fogunk az egyenletekről.

3. számú dia.

Egyenletek, tételek révén

Sok problémát megoldott.

És megjósolta a szárazságot és a heves esőzéseket -

Valóban csodálatos a tudása.

Goser.

Srácok, már több tucat egyenletet megoldottatok. Egyenletek segítségével leírhat különféle természeti, fizikai, kémiai jelenségek, még egy ország népességnövekedését is leírja az egyenlet.A mai leckében egy másik igazságot fogunk megtudni, egy igazságot az egyenletek megoldásának módszerével kapcsolatban.

II. Az ismeretek frissítése.

De először emlékezzünk:

Kérdések: 4. dia

Milyen egyenleteket nevezünk másodfokúnak? (Az alak egyenlete, aholx – változó, – néhány szám, és a≠0.)

A megadott egyenletek közül válassza ki azokat, amelyek másodfokúak?

1) 4x – 5 = x + 11

2) x 2 +2x = 3

3) 2x + 6x 2 = 0

4) 2x 3 - X 2 – 4 = 8

5) 4x 2 – 1x + 7 = 0 Válasz: (2,3,5)

Milyen egyenleteket nevezünk nem teljes másodfokú egyenleteknek?(Olyan egyenletek, amelyekben legalább az egyik együtthatóV vagyVal vel egyenlő 0.)

A megadott egyenletek közül válassza ki azokat, amelyek nem teljes másodfokú egyenletek.(3)

Teszt előrejelzés

1) 3x-5x 2 +2=0

2) 2x 2 +4x-6=0

3) 8x 2 -16=0

4) x 2 -4x+10=0

5) 4x 2 +2x=0

6) – 2x 2 +2=0

7) -7x 2 =0

8) 15-4x 2 +3x=0

1 lehetőség

1) Írja fel a teljes másodfokú egyenletek számát!

2) Írja fel a 8. egyenletbe az a, b, c együtthatókat!

3) Írja fel annak a hiányos másodfokú egyenletnek a számát, amelynek egy gyöke van!

4) Írja fel a 6. egyenletbe az a, b, c együtthatókat!

5) Keresse meg D-t a 4. egyenletben, és vonjon le következtetést a gyökök számáról.

2. lehetőség

1) Írja fel a hiányos másodfokú egyenletek számát!

2) Írja fel az 1. egyenlet a, b, c együtthatóit!

3) Írja fel annak a nem teljes másodfokú egyenletnek a számát, amelynek egy gyöke 0!

4) Írja fel a 3. egyenletbe az a, b, c együtthatókat!

5) Keresse meg D-t a 3. egyenletben, és vonjon le következtetést a gyökök számáról.

A diákok füzeteket cserélnek, kölcsönösen tesztelik és osztályozzák.

1. század

1,2,4,8

a=-4, b=3, c=15

a=-2, b=0, c=2

24, D<0, корней нет

2c.

3,5,6,7

a=-5, b=3, c=2

a=8, b=0, c=-16

D>0, 2 gyökér.

Játék "Találd ki a szót."

És most ki kell találnod a táblára írt szót. Ehhez egyenleteket kell megoldani, és meg kell találni rájuk a helyes válaszokat. Minden válasz egy betűnek felel meg, és minden betű egy kártyaszámnak és egy számnak felel meg a táblázatban, amelyhez ez a betű tartozik. A táblán látható az 1. számú táblázat teljes terjedelmében és a 2. számú táblázat, amelybe csak számokat ír a tanár a példák megoldása során. A tanár másodfokú egyenleteket tartalmazó kártyákat oszt ki minden tanulónak. Minden kártya számozott. A tanuló megold egy másodfokú egyenletet, és a -21 választ kapja. A táblázatban megtalálja a választ, és megtudja, melyik betű felel meg válaszának. Ez az A betű. Aztán elmondja a tanárnak, hogy melyik betű, és megadja a kártya számát. A kártyaszám a 2. számú táblázatban található betű helyének felel meg. Pl. a válasz -21 A betű, kártyaszám 5. A tanár a 2. számú táblázatban az 5-ös szám alá írja az A betűt stb. amíg a kifejezés teljesen le nem íródott.

x 2 -5x+6=0 (2;3) B

x 2 -2x-15=0(-3;5) ÉS

x 2 +6x+8=0(-4;-2) K

x 2 -3x-18=0(-3;6) V

x 2- 42x+441=0-21 A

x 2 +8x+7=0(-7;-1) D

x 2 -34x+289=017 R

x 2 -42x+441=0 -21 A

x 2 +4x-5=0(-5;1) T

2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

3x 2 -3x+4=0Nincsenek gyökerei O

5x 2 -8x+3=0 (;1) E

x 2 -8x+15=0(3;5) U

x 2 -34x+289=017 R

x 2 -42x+441=0-21 A

x 2 -3x-18=0(-3;6) V

2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

5x 2 -8x+3=0 (;1) E

2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

x 2 -2x-15=0(-3;5) ÉS

5x 2 -8x+3=0(1) E

Asztal 1.

(;1)

(-3;5)

(-4;-2)

(-1;-)

nincsenek gyökerei

(-5;1)

(3;5)

A megfelelő betű

2. táblázat

Tehát a mai óra témáját így fogalmaztuk meg.

– Kétkvadratikus egyenlet.

III. Új anyagok tanulása

Már tudja, hogyan kell különböző típusú másodfokú egyenleteket megoldani. Ma a leckében áttérünk a másodfokú egyenletek megoldásához vezető egyenletek figyelembevételére. Az egyik ilyen típusú egyenletbikvadratikus egyenlet.

Def. Egyenletek nézetfejsze 4 +bx 2 +c= 0 , AholA 0, hívottbikvadratikus egyenlet .

BIQUADRÁT EGYENLETEK – tólkettős – kettő éslatinquadratus – négyzet, azaz. kétszer négyzet.

1. példa Oldjuk meg az egyenletet

Megoldás. A kétnegyedes egyenletek megoldása helyettesítéssel redukálódik a másodfokú egyenletek megoldásáray = x 2 .

Megtalálnix vissza a cseréhez:

x 1 = 1; x 2 = -1 x 3 =; x 4 = - Válasz: -1; -1

A vizsgált példából világos, hogy a negyedik fokú egyenlet másodfokúra redukálásához egy másik változót vezettünk be -nál nél . Az egyenletek megoldásának ezt a módszerét únúj változók bevezetésével.

A másodfokú egyenletek megoldásához vezető egyenletek új változó bevezetésével történő megoldásához létrehozhatja a következő algoritmust:

1) Változóváltás bevezetése: legyenx 2 = y

2) Hozzon létre egy másodfokú egyenletet egy új változóval:ó 2 + wu + c = 0

3) Oldjon meg egy új másodfokú egyenletet!

4) Visszatérés a változó cseréjéhez

5) Oldja meg a kapott másodfokú egyenleteket!

6) Vonjon le következtetést a kétnegyedes egyenlet megoldásainak számáról!

7) Írd le a választ!

A másodfokú egyenletek megoldásán kívül nem csak a kétnegyedes, hanem néhány más típusú egyenlet megoldása is megoldható.

2. példa Oldjuk meg az egyenletet

Megoldás. Vezessünk be egy új változót

nincsenek gyökerei.

nincsenek gyökerei

Válasz: -

IV. Elsődleges konszolidáció

Te és én megtanultuk, hogyan kell bevezetni egy új változót, fáradt vagy, úgyhogy pihenjünk egy kicsit.

Fizminutka

1. Csukja be a szemét. Nyissa ki a szemét (5-ször).

2. Körkörös mozdulatok a szemekkel. Ne forgassa a fejét (10-szer).

3. Anélkül, hogy elfordítaná a fejét, nézzen minél messzebbre balra. Ne pislogj. Nézz egyenesen előre. Pislogjon néhányszor. Csukja be a szemét és lazítson. Ugyanez jobbra (2-3 alkalommal).

4. Nézzen meg bármilyen tárgyat maga előtt, és fordítsa el a fejét jobbra és balra anélkül, hogy levenné a szemét erről a tárgyról (2-3 alkalommal).

5. Nézz ki az ablakon a távolba 1 percig.

6. Pislogjon 10-15 másodpercig.

Lazítson úgy, hogy becsukja a szemét.

Felfedeztünk tehát egy új módszert az egyenletek megoldására, azonban az egyenletmegoldás sikere ezzel a módszerrel attól függ, hogy az egyenletet új változóval állítjuk össze, nézzük meg részletesebben az egyenletek megoldásának ezt a szakaszát. Tanuljunk meg új változót bevezetni és új egyenletet létrehozni, kártya száma 1

Minden tanulónak van kártyája

1. számú KÁRTYA

Írja fel az új változó bevezetésével kapott egyenletet!

x 4 -13x 2 +36=0

legyen y= ,

Akkor

x 4 +3x 2 -28 = 0

legyen y=

Akkor

(3x–5) 2 – 4(3x–5)=12

legyen y=

Akkor

(6x+1) 2 +2(6x+1) –24=0

legyen y=

Akkor

x 4 – 25x 2 + 144 = 0

legyen y=

Akkor

16x 4 – 8x 2 + 1 = 0

legyen y=

Akkor

Tudásellenőrzés:

x 4 -13x 2 +36=0

legyen y=x 2 ,

akkor legyen 2 -13у+36=0

x 4 +3x 2 -28 = 0

legyen y=x 2 ,

akkor legyen 2 +3у-28=0

(3x–5) 2 – 4(3x–5)=12

legyen y=3x-5,

akkor legyen 2 -4у-12=0

(6x+1) 2 +2(6x+1) –24=0

legyen y=6x+1,

akkor legyen 2 +2у-24=0

x 4 – 25x 2 + 144 = 0

legyen y=x 2 ,

akkor legyen 2 -25у+144=0

16x 4 – 8x 2 + 1 = 0

legyen y=x 2 ,

majd 16u 2 -8u+1=0

Példák megoldása a táblánál:

Önálló munkavégzés:

1. lehetőség 2. lehetőség

1)x 4 -5x 2 -36=0 1) x 4 -6x 2 +8=0

2)(2x 2 +3) 2 -12(2x 2 +3)+11=0 2) (x 2 +3) 2 -11(x 2 +3)+28=0

Válaszok:

1. lehetőség 2. lehetőség

1) -3;3 1) -;-2;2

2) -2;2 2) -1;1;-2;2.

V. Óraösszefoglaló

A lecke összefoglalásához és a következtetések levonásához arról, hogy mi működött vagy nem, arra kérem, hogy egészítse ki a lapokon található mondatokat.

- Érdekes volt, mert...

- Szeretném megdicsérni magam, mert...

- A leckét a következőre értékelném...

VI. Házi feladat :

(2x 2 +x-1)(2x 2 +x-4)+2=0

(X 2 -4x) 2 +9(x 2 -4х)+20=0

(X 2 +x)(x 2 +x-5)=84

Az egyenleteknek több osztálya is megoldható másodfokú egyenletekre redukálva. Az egyik ilyen egyenlet a kétnegyedes egyenletek.

Biquadratic egyenletek

A kétnegyedes egyenletek az alak egyenletei a*x^4 + b*x^2 + c = 0, ahol a nem egyenlő 0-val.

A kétnegyedes egyenleteket az x^2 =t helyettesítéssel oldjuk meg. Egy ilyen behelyettesítés után t másodfokú egyenletét kapjuk. a*t^2+b*t+c=0. Megoldjuk a kapott egyenletet, és általános esetben t1 és t2 van. Ha ebben a szakaszban negatív gyöket kapunk, akkor az kizárható a megoldásból, mivel t=x^2-t vettünk, és bármely szám négyzete pozitív szám.

Visszatérve az eredeti változókra, x^2 =t1, x^2=t2.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Nézzünk egy kis példát:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Vezessük be a t=x^2 helyettesítést. Ekkor az eredeti egyenlet a következő formában jelenik meg:

9*t^2+5*t-4=0.

Megoldjuk ezt a másodfokú egyenletet bármelyik ismert módszerrel, és megtaláljuk:

t1=4/9, t2=-1.

A -1 gyök nem megfelelő, mivel az x^2 = -1 egyenletnek nincs értelme.

A második gyökér 4/9 marad. A kezdeti változókra lépve a következő egyenletet kapjuk:

x^2 = 4/9.

x1=-2/3, x2=2/3.

Ez lesz az egyenlet megoldása.

Válasz: x1=-2/3, x2=2/3.

A másodfokú egyenletekre redukálható egyenlet másik típusa a tört racionális egyenletek. A racionális egyenletek olyan egyenletek, amelyeknek bal és jobb oldala racionális kifejezés. Ha egy racionális egyenletben a bal vagy a jobb oldal törtkifejezés, akkor az ilyen racionális egyenletet törtnek nevezzük.

Séma tört racionális egyenlet megoldására

Általános séma tört racionális egyenlet megoldására.

1. Keresse meg az egyenletben szereplő összes tört közös nevezőjét!

2. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy közös nevezővel!

3. Oldja meg a kapott teljes egyenletet!

4. Ellenőrizze a gyökereket, és zárja ki azokat, amelyek miatt a közös nevező eltűnik.

Nézzünk egy példát:

Oldja meg a tört racionális egyenletet: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Maradunk az általános sémánál. Először keressük meg az összes tört közös nevezőjét.

Kapunk x*(x-5).

Szorozzuk meg az egyes törteket egy közös nevezővel, és írjuk fel a kapott teljes egyenletet.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Egyszerűsítsük a kapott egyenletet. Kapunk,

x^2+3*x + x-5 - x-5 =0;

x^2+3*x-10=0;

Az x=-2-nél az x*(x-5) közös nevező nem tűnik el, -2*(-2-5)=14. Ez azt jelenti, hogy a -2 szám lesz az eredeti tört racionális egyenlet gyöke.

Az x=5-nél az x*(x-5) közös nevező nullává válik. Ezért ez a szám nem az eredeti tört racionális egyenlet gyöke, mivel nullával osztás lesz.

Válasz: x=-2.

Kész munkák

FOKOZAT MUNKÁK

Már sok minden eltelt, és most már végzett, ha természetesen időben megírja a szakdolgozatát. De az élet olyan, hogy csak most válik világossá számodra, hogy miután megszűnt a diákság, elveszíted az összes diákörömöt, amelyek közül sokat soha nem próbáltál ki, mindent elhalasztasz, és későbbre halasztasz. És most ahelyett, hogy felzárkózna, a szakdolgozatán dolgozik? Van egy kiváló megoldás: töltse le weboldalunkról a szükséges szakdolgozatot - és azonnal sok szabadideje lesz!
A szakdolgozatokat sikeresen megvédték a Kazah Köztársaság vezető egyetemein.
Munka költsége 20.000 tenge-től

TANFOLYAMOK

A tanfolyami projekt az első komoly gyakorlati munka. A kurzusok megírásával kezdődik a diplomatervek kidolgozására való felkészülés. Ha egy tanuló megtanulja helyesen bemutatni egy témakör tartalmát tanfolyam projektés készítse el helyesen, akkor a jövőben nem lesz problémája sem a jelentésírással, sem az összeállítással tézisek, sem mások megvalósításával gyakorlati feladatokat. Az ilyen típusú diákmunka megírásának segítése és az elkészítése során felmerülő kérdések tisztázása érdekében valójában ez az információs rész készült.
Munka költsége 2500 tenge-től

MESTER ÉRTEKEZÉSEK

Jelenleg magasabb oktatási intézmények Kazahsztánban és a FÁK-országokban nagyon gyakori a felsőoktatás szintje szakképzés, amely az alapképzést – a mesterképzést követi. A mesterképzésben mesterképzés megszerzésének céljával tanulnak a hallgatók, amelyet a világ legtöbb országában jobban elismernek, mint egy alapképzést, és a külföldi munkaadók is elismerik. A mesterképzés eredménye a szakdolgozat megvédése.
Naprakész elemző és szöveges anyagot biztosítunk az árban 2 db tudományos cikk és egy absztrakt.
Munka költsége 35.000 tenge-től

GYAKORLATI JELENTÉSEK

Bármilyen típusú hallgatói gyakorlat (oktatási, ipari, érettségi előtti) teljesítése után jelentés szükséges. Ez a dokumentum megerősítés lesz praktikus munka hallgató és a gyakorlati értékelés kialakításának alapja. Általában a gyakorlatról szóló jelentés elkészítéséhez szükséges a vállalkozással kapcsolatos információk gyűjtése és elemzése, annak a szervezetnek a felépítésének és munkarendjének figyelembe vétele, amelyben a gyakorlat zajlik, és össze kell állítani. naptári tervés írja le gyakorlati tevékenységeit.
Egy-egy vállalkozás tevékenységének sajátosságait figyelembe véve segítünk a szakmai gyakorlatról szóló beszámoló megírásában.