Ez a lecke célja az önálló tanulás téma "Diéderszög". Ezen a leckén a tanulók megismerkednek az egyik legfontosabb geometriai formával, a diéderszöggel. A leckében megtanuljuk, hogyan határozzuk meg a figyelembe vett lineáris szöget geometriai alakzatés mekkora a kétszög az ábra alapján.

Ismételjük meg, mi a szög egy síkon, és hogyan mérjük.

Rizs. 1. Repülőgép

Tekintsük az α síkot (1. ábra). Pontból RÓL RŐL két sugár árad ki - OBÉs OA.

Meghatározás. Szögnek nevezzük azt az alakzatot, amelyet egy pontból kiinduló két sugár alkot.

A szöget fokban és radiánban mérik.

Emlékezzünk vissza, mi az a radián.

Rizs. 2. Radián

Ha van egy középponti szögünk, amelynek ívhossza megegyezik a sugárral, akkor az ilyen középponti szöget 1 radiános szögnek nevezzük. ,∠ AOB= 1 rad (2. ábra).

A radiánok és a fokok kapcsolata.

boldog.

Értjük, örülök. (). Akkor,

Meghatározás. Kétszögű szög egyenes által alkotott alakzatot nevezzük Aés két közös határvonalú félsík A, nem tartozik ugyanahhoz a síkhoz.

Rizs. 3. Félrepülőgépek

Tekintsünk két félsíkot α és β (3. ábra). Az övék közös határ - A. Ezt az alakzatot diéderszögnek nevezzük.

Terminológia

Az α és β félsíkok egy diéderszög lapjai.

Egyenes A egy diéderszög éle.

Közös élen A kétszögű, válasszon egy tetszőleges pontot RÓL RŐL(4. ábra). A ponttól számított α félsíkban RÓL RŐLállítsa vissza a merőlegest OA egyenesre A. Ugyanabból a pontból RÓL RŐL a második β félsíkban merőlegest építünk OB a szélére A. Van egy szög AOB, amelyet a diéderszög lineáris szögének nevezünk.

Rizs. 4. Kétszögű szögmérés

Bizonyítsuk be az összes lineáris szög egyenlőségét egy adott diéderszögre.

Legyen kétszögű (5. ábra). Válasszunk egy pontot RÓL RŐLés időszak O 1 egyenes vonalon A. Szerkesszünk a pontnak megfelelő lineáris szöget RÓL RŐL, azaz két merőlegest húzunk OAÉs OBα, illetve β síkban az élhez A. Megértjük a szöget AOB- a diéderszög lineáris szöge.

Rizs. 5. A bizonyítás illusztrációja

Pontból O 1 húzzunk két merőlegest OA 1És OB 1 a szélére Aα és β síkban, és megkapjuk a második lineáris szöget A 1 O 1 B 1.

Sugarak O 1 A 1És OA egyirányúak, mivel ugyanabban a félsíkban fekszenek és párhuzamosak egymással, mint két merőleges ugyanarra az egyenesre A.

Ugyanígy a sugarak Körülbelül 1 az 1-benÉs OB közösen irányítják, ami azt jelenti ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 mint szögek egyirányú oldalakkal, amit bizonyítani kellett.

A lineáris szög síkja merőleges a diéderszög élére.

Bizonyít: A ⊥ AOB.

Rizs. 6. A bizonyítás illusztrációja

Bizonyíték:

OA ⊥ Aépítkezés szerint, OB ⊥ A konstrukció szerint (6. ábra).

Azt találjuk, hogy a vonal A merőleges két egymást metsző egyenesre OAÉs OB repülőn kívül AOB, ami azt jelenti, hogy egyenes A merőleges a síkra OAV, amit bizonyítani kellett.

A diéderszöget a lineáris szögével mérjük. Ez azt jelenti, hogy ahány fokos radiánt tartalmaz egy lineáris szög, ugyanannyi radián fokot tartalmaz a kétszög. Ennek megfelelően a következő típusú diéderszögeket különböztetjük meg.

Akut (6. ábra)

Egy diéderszög akkor hegyes, ha lineáris szöge hegyes, azaz. .

Egyenes (7. ábra)

A diéder szöge akkor megfelelő, ha lineáris szöge 90° – tompaszögű (8. ábra)

Egy diéder szög tompa, ha lineáris szöge tompa, azaz. .

Rizs. 7. Derékszög

Rizs. 8. Tompaszög

Példák lineáris szögek megszerkesztésére valós ábrákon

ABCD- tetraéder.

1. Szerkesszünk meg egy éles kétszög egyenes szögét! AB.

Rizs. 9. A probléma illusztrációja

Építkezés:

Egy él által alkotott diéderszögről beszélünk ABés élek ABDÉs ABC(9. ábra).

Csináljunk direkt DN merőleges a síkra ABC, N- a merőleges alapja. Rajzoljunk egy ferde DM merőleges egy egyenesre AB,M- ferde alap. Három merőleges tételével arra a következtetésre jutunk, hogy egy ferde vetülete NM egyenesre merőlegesen is AB.

Vagyis a lényegtől Mélére két merőleges helyreáll AB két oldalon ABDÉs ABC. Megkaptuk a lineáris szöget DMN.

vegye észre, az AB, egy diéderszög éle, amely merőleges a lineáris szög síkjára, azaz a síkra DMN. A probléma megoldódott.

Megjegyzés. A diéderszög a következőképpen jelölhető: DABC, Ahol

AB- él, és pontok DÉs VAL VEL a szög különböző oldalain feküdjön.

2. Szerkesszünk meg egy éles diéderszög lineáris szögét! AC.

Rajzoljunk egy merőlegest DN a repülőhöz ABCés hajlamos DN merőleges egy egyenesre AC. A három merőleges tétel segítségével azt találjuk НN- ferde vetítés DN a repülőhöz ABC, egyenesre merőlegesen is AC.DNH- éllel rendelkező diéderszög lineáris szöge AC.

Egy tetraéderben DABC minden él egyenlő. Pont M- a borda közepe AC. Bizonyítsuk be, hogy a szög DMV- lineáris diéderszög TED, azaz éllel rendelkező diéderszög AC. Az egyik arca az ACD, második - DIA(10. ábra).

Rizs. 10. A probléma illusztrációja

Megoldás:

Háromszög ADC- egyenlő oldalú, DM- medián, tehát magasság. Eszközök, DM ⊥ AC. Hasonlóképpen, háromszög ABAN BENC- egyenlő oldalú, BAN BENM- medián, tehát magasság. Eszközök, VM ⊥ AC.

Így a lényegről M borda AC kétszögű két merőleges helyreállított DMÉs VM ehhez az élhez a diéderszög lapjaiban.

Szóval, ∠ DMBAN BEN a diéderszög lineáris szöge, amit bizonyítani kellett.

Tehát meghatároztuk a diéderszöget, a diéderszög lineáris szögét.

A következő leckében az egyenesek és síkok merőlegességét nézzük meg, majd megtanuljuk, mi az a kétszög az ábrák alapján.

Hivatkozások listája a "Diéderszög", "Diéderszög a geometriai alakzatok alapján" témában

1. Geometria. 10-11. évfolyam: általános műveltségi tankönyv oktatási intézmények/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
2. Geometria. 10. évfolyam: tankönyv a oktatási intézmények a matematika elmélyült és speciális tanulmányozásával / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. kiadás, sztereotípia. - M.: Túzok, 2008. - 233 p.: ill.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Házi feladat a "Diéderszög" témában a diéderszög meghatározása ábraalapon

Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (alap- és szakirányú szint) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, javítva és bővítve - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Feladatok 2, 3 67. o.

Mi a lineáris diéderszög? Hogyan kell megépíteni?

ABCD- tetraéder. Szerkesszünk meg egy éles diéderszög lineáris szögét:

A) BAN BEND b) DVAL VEL.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Szerkessze meg a kétszögű szög lineáris szögét A 1 ABC bordával AB. Határozza meg a mértékét!

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekel ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Az óra céljai: mutassa be a kétszög fogalmát és annak lineáris szögét;

mérlegelje e fogalmak alkalmazásával kapcsolatos feladatokat;

fejleszteni kell a síkok közötti szög megtalálásának konstruktív készségét;

mérlegelje e fogalmak alkalmazásával kapcsolatos feladatokat.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat.

Tájékoztassa az óra témáját, fogalmazza meg az óra céljait.

II. A tanulók tudásának frissítése (2., 3. dia).

1. Felkészülés az új anyag tanulmányozására.

Mit nevezünk szögnek egy síkban?

Hogyan nevezzük a térbeli vonalak közötti szöget?

Hogyan nevezzük az egyenes és a sík közötti szöget?

Mondja el a három merőleges tételt!

III. Új anyagok tanulása.

• A diéderszög fogalma.

Az MN egyenesen áthaladó két félsík által alkotott alakzatot diéderszögnek nevezzük (4. dia).

A félsíkok lapok, az MN egyenes egy kétszög éle.

Mely tárgyak a mindennapi életben kétszög alakúak? (5. dia)

• A АСН és СНD síkok közötti szög az АСНD kétéderszög, ahol СН egy él. Az A és D pont ennek a szögnek a lapjain található. Az AFD szög az ACHD diéderszög lineáris szöge (6. dia).

• Algoritmus lineáris szög felépítéséhez (7. dia).

1 út. A szélen vegye fel bármelyik O pontot, és rajzoljon erre a pontra merőlegeseket (PO DE, KO DE), hogy megkapja a ROK - lineáris szöget.

2. módszer. Az egyik félsíkban vegyük fel a K pontot, és dobjunk két merőlegest egy másik félsíkra és egy élre (KO és KR), majd a PODE inverz TTP tételével

• A kétszög minden lineáris szöge egyenlő (8. dia). Bizonyítás: az OA és az O 1 A 1 sugarak közös irányúak, az OB és az O 1 B 1 sugarak szintén együtt irányítottak, a BOA és B 1 O 1 A 1 szögek egyenlőek, mint a közös oldalú szögek.

• A diéderszög fokmértéke a lineáris szögének fokmértéke (9. dia).

IV. A tanult anyag konszolidációja.

• Feladatok megoldása (szóban kész rajzok segítségével). (10-12. dia)

1. RAVS – piramis; Az ACB szög 90°, a PB egyenes merőleges az ABC síkra. Bizonyítsuk be, hogy az RSV szög egy diéderszög lineáris szöge -val

2. RAVS - piramis; AB = BC, D az AC szakasz közepe, a PB egyenes merőleges az ABC síkra. Bizonyítsuk be, hogy a PDB szög egy AC éllel rendelkező diéderszög lineáris szöge.

3. PABCD – piramis; A PB egyenes merőleges az ABC síkra, a BC merőleges a DC-re. Bizonyítsuk be, hogy az RKB szög egy CD élű diéderszög lineáris szöge.

• Lineáris szög kialakításának problémái (13-14. dia).

1. Szerkesszünk meg egy AC élű diéderszög lineáris szögét, ha a RABC piramisban az ABC lap szabályos háromszög, O a mediánok metszéspontja, a PO egyenes merőleges az ABC síkra

2. Adott egy ABCD rombusz Az RS egyenes merőleges az ABCD síkra.

Szerkessze meg a ВD élű diéderszög lineáris szögét és egy AD élű diéderszög lineáris szögét.

• Számítási feladat. (15. dia)

Az ABCD paralelogrammán az ADC szög egyenlő 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, RS egyenes merőleges az ABC síkra, RS = 9 cm.

Határozza meg az AD élű diéderszög méretét és a paralelogramma területét.

V. Házi feladat (16. dia).

22. o., 168., 171. sz.

Használt könyvek:

1. Geometria 10-11 L.S.Atanasyan.
2. Feladatrendszer a „Diéderszögek” témában, M. V. Sevostyanova (Murmanszk), Matematika az iskolában folyóirat 198...

Kétoldali szög élére merőlegesek között, mindkét oldalon ugyanabból a pontból helyreállítva.

Matematikai enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Nézze meg, mi a "LINEAR ANGLE" szó más szótárakban:

Moltke Cruiser "Moltke" New Yorkban 1912-ben Alapinformációk Típus ... Wikipédia

Férj. törés, megtörés, térd, könyök, kiemelkedés vagy gyűrődés (depresszió) az egyik oldalon. Lineáris szög, bármely két ellentétes egyenes és intervallumuk; szögsíkban vagy síkban, két sík vagy fal találkozása; a sarok vastag, test, találkozás egyben... Szótár Dahl

Csatahajó ... Wikipédia

És be vektor tér L egy olyan leképezés, amely minden e vektort a D halmaz (L-ben található és a lineáris operátor definíciós tartományának nevezett) vektorporo-jával társít egy másik vektorhoz, amelyet Ae-vel jelölünk (és a lineáris operátor értékének nevezzük a e) vektor. A következők készültek el. feltételek… Fizikai enciklopédia

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Csatahajó(jelentései). "Dreadnought" a csatahajók osztályának őse... Wikipédia

A cikk tartalmát át kell helyezni a „Dicsőség (csatahajó)” cikkbe. Cikkek kombinálásával segítheti a projektet. Ha szükséges megvitatni az összevonás megvalósíthatóságát, cserélje ki ezt a sablont a sablonra ((egyesítéshez)) ... Wikipédia

„Diéderszög” - Keresse meg a B pont és a sík távolságát. A C szög hegyes. Az ABC háromszög tompa. A C szög tompa. Távolság egy ponttól egy vonalig. A DАВС tetraéderben minden él egyenlő. A ferde szögek közötti szög. A ferde alapok közötti távolság. Egy diéderszög lineáris szögei egyenlőek. Algoritmus lineáris szög kialakítására.

„Diéderszög geometria” – RSV szög – lineáris AC élű diéderszöghez. Keresse meg (lásd) a diéderszög élét és lapjait. A modell lehet terjedelmes vagy összecsukható. Kétszögű szög metszete az élre merőleges síkkal. Élek. a CP egyenes merőleges a CA élre (három merőleges tétele alapján). szög RKV - lineáris kétszögű RSAV-val.

„Háromszögű” – A háromszögek egyenlőségének jelei. Adott: Оabc – háromszögszög; a(b; c) = y; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. 6. lecke. Következmények. 1) Az egyenes és a sík közötti szög kiszámításához a következő képlet használható: Három koszinusz képlete. . Adott egy háromszög Oabc. Háromszög szög. Tétel. Jobbra háromszög alakú piramis lapos csúcsszög 120°-nál kisebb.

„Háromszögek és poliéderek” – a dodekaéder háromszögei. A rombikus dodekaéder három- és tetraéderszögei. Az oktaéder tetraéderes szögei. Tetraéder háromszögű sarkai. Poliéderszögek mérése. Feladat. Poliéderes szögek. Az ikozaéder ötszögű szögei. Függőleges poliéder szögek. Piramis háromszög alakú sarka. Legyen SA1…An konvex n-lapú szög.

„Az egyenes és a sík szöge” - Az A...F1 szabályos 6. prizmában, amelynek élei egyenlők 1-gyel, keresse meg az AC1 egyenes és az ADE1 sík közötti szöget. Az A...F1 szabályos 6. prizmában, amelynek élei egyenlők 1-gyel, keressük meg az AA1 egyenes és az ACE1 sík közötti szöget. Az egyenes és a sík közötti szög. Az A...F1 szabályos 6. prizmában, amelynek élei egyenlők 1-gyel, keressük meg az AB1 egyenes és az ADE1 sík közötti szöget.

„Poliéderes szög” – Konvex poliéderszögek. Poliéderes szögek. A lapok számától függően a poliéder szögek háromszögek, tetraéderek, ötszögek stb. C) ikozaéderek. A háromszög két síkszöge 70° és 80°. Ennélfogva, ? ASB+? BSC+? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Összesen 9 előadás van

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

DIHEDRAL ANGLE Matematika tanár GOU középiskola 10. sz. Eremenko M.A.

Az óra fő céljai: Ismertesse meg a diéderszög fogalmát és annak lineáris szögét, és dolgozzon ki feladatokat e fogalmak alkalmazására.

Definíció: A diéderszög olyan alakzat, amelyet két közös határvonalú félsík alkot.

A diéderszög nagysága a lineáris szögének nagysága. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - lineáris diéderszög ACD B

Bizonyítsuk be, hogy egy diéderszög minden lineáris szöge egyenlő egymással. Tekintsünk két AOB és A 1 OB 1 lineáris szöget. Az OA és OA 1 sugarak ugyanazon az oldalon fekszenek, és merőlegesek az OO 1-re, tehát egyirányúak. Az OB és az OB 1 gerendákat is közösen irányítják. Ezért ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (hasonlóan egyirányú oldalakkal rendelkező szögekhez).

Példák diéderszögekre:

Definíció: A két egymást metsző sík közötti szög az e síkok által alkotott kétszögek közül a legkisebb.

1. feladat: Az A ... D 1 kockában keresse meg az ABC és CDD 1 síkok közötti szöget! Válasz: 90 o.

2. feladat: Az A ... D 1 kockában keresse meg az ABC és CDA 1 síkok közötti szöget. Válasz: 45 o.

3. feladat: Az A ... D 1 kockában keresse meg az ABC és BDD 1 síkok közötti szöget. Válasz: 90 o.

4. feladat: Az A ... D 1 kockában keresse meg az ACC 1 és BDD 1 síkok közötti szöget. Válasz: 90 o.

5. feladat: Az A ... D 1 kockában keresse meg a BC 1 D és BA 1 D síkok közötti szöget. Megoldás: Legyen O a B D felezőpontja. A 1 OC 1 – az A 1 B D C 1 diéderszög lineáris szöge.

6. feladat: A DABC tetraéderben minden él egyenlő, az M pont az AC él közepe. Bizonyítsuk be, hogy ∠ DMB a BACD diéderszög lineáris szöge.

Megoldás: Az ABC és ADC háromszögek szabályosak, ezért BM ⊥ AC és DM ⊥ AC, így ∠ DMB a DACB diéderszög lineáris szöge.

7. feladat: Az ABC háromszög B csúcsából, amelynek AC oldala az α síkban van, BB 1 merőlegest húzunk erre a síkra. Határozzuk meg a B pont távolságát az AC egyenestől és az α síktól, ha AB=2, ∠ВАС=150 0 és a ВАСВ 1 diéderszög 45 0.

Megoldás: ABC – tompa háromszög A tompaszöggel, ezért a BC magasság alapja az AC oldal folytatásán fekszik. VC – távolság B ponttól AC-ig. BB 1 – távolság a B ponttól az α síkhoz

2) Mivel AC ⊥BK, akkor AC⊥KB 1 (tétel szerint, a tétel megfordítása körülbelül három merőleges). Ezért ∠VKV 1 a BASV 1 diéderszög lineáris szöge és ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA· sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =