Legyen adott egy derékszögű koordináta-rendszer.

1.1. tétel. A sík bármely két M 1 (x 1;y 1) és M 2 (x 2;y 2) pontja esetén a köztük lévő d távolságot a képlet fejezi ki

Bizonyíték. Emeljük ki az M 1 B és M 2 A merőlegeseket az M 1 és M 2 pontokból.

az Oy és az Ox tengelyen, és jelölje K-val az M 1 B és M 2 A egyenesek metszéspontját (1.4. ábra). A következő esetek lehetségesek:

1) Az M 1, M 2 és K pontok különbözőek. Nyilvánvaló, hogy a K pontnak vannak koordinátái (x 2;y 1). Könnyen belátható, hogy M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Mert ∆M 1 KM 2 téglalap alakú, akkor a Pitagorasz-tétel szerint d = M 1 M 2 = = .

2) A K pont egybeesik az M 2 ponttal, de különbözik az M 1 ponttól (1.5. ábra). Ebben az esetben y 2 = y 1

és d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) A K pont egybeesik az M 1 ponttal, de különbözik az M 2 ponttól. Ebben az esetben x 2 = x 1 és d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Az M 2 pont egybeesik az M 1 ponttal. Ekkor x 1 = x 2, y 1 = y 2 és

d = M 1 M 2 = O = .

Egy szegmens felosztása ebből a szempontból.

Adott egy tetszőleges M 1 M 2 szakasz a síkon, és legyen M ─ ennek bármely pontja

az M 2 ponttól eltérő szegmens (1.6. ábra). Az l szám, amelyet az l = egyenlőség határoz meg , hívott hozzáállás, ahol M osztja az M 1 M 2 szakaszt.

Tétel 1.2. Ha egy M(x;y) pont osztja az M 1 M 2 szakaszt l-hez képest, akkor ennek a pontnak a koordinátáit a képletek határozzák meg

x = , y = , (4)

ahol (x 1;y 1) ─ M 1 pont koordinátái, (x 2;y 2) ─ M 2 pont koordinátái.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be a (4) képlet közül az elsőt. A második képlet hasonló módon bizonyított. Két eset lehetséges.

x = x 1 = = = .

2) Az M 1 M 2 egyenes nem merőleges az Ox tengelyre (1.6. ábra). Engedjük le a merőlegeseket az M 1, M, M 2 pontokból az Ox tengelyre, és jelöljük ki az Ox tengellyel való metszéspontjukat P 1, P, P 2-nek. Az arányos szakaszok tételével = l.

Mert P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô és az (x – x 1) és (x 2 – x) számoknak ugyanaz az előjele (x 1-nél)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 negatív), akkor

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Következmény 1.2.1. Ha M 1 (x 1;y 1) és M 2 (x 2;y 2) két tetszőleges pont, és az M(x;y) pont az M 1 M 2 szakasz közepe, akkor

x = , y = (5)

Bizonyíték. Mivel M 1 M = M 2 M, akkor l = 1 és a (4) képleteket használva megkapjuk az (5) képleteket.

Egy háromszög területe.

Tétel 1.3. Minden olyan A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) és C(x 3;y 3) ponthoz, amelyek nem ugyanazon

egyenes, az ABC háromszög S területét a képlet fejezi ki

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1) (y 2 – y 1)ô (6)

Bizonyíték.ábrán látható ∆ ABC terület. 1.7, a következőképpen számolunk

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Kiszámoljuk a trapézok területét:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Most megvan

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1) (y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 év 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2) (y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1) (y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Egy másik ∆ ABC helynél a (6) képletet hasonló módon bizonyítjuk, de előfordulhat, hogy „-” jellel is kiderül. Ezért a (6) képletbe a modulusjelet teszik.

2. előadás.

Egy síkon lévő egyenes egyenlete: főegyütthatós egyenes egyenlete, általános egyenlet egyenes, szakaszonkénti egyenes egyenlete, két ponton átmenő egyenes egyenlete. Az egyenesek közötti szög, az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei egy síkon.

2.1. Legyen adott a síkon egy derékszögű koordinátarendszer és valamilyen L egyenes.

Meghatározás 2.1. Az x és y változókat összekötő F(x;y) = 0 alakú egyenletet ún. L egyenes egyenlet(egy adott koordináta-rendszerben), ha ezt az egyenletet az L egyenesen fekvő bármely pont koordinátái teljesítik, és nem egy olyan pont koordinátái, amelyik nem ezen az egyenesen fekszik.

Példák síkon lévő egyenesek egyenleteire.

1) Tekintsünk a derékszögű koordinátarendszer Oy tengelyével párhuzamos egyenest (2.1. ábra). Jelöljük A betűvel ennek az egyenesnek az Ox tengellyel való metszéspontját, (a;o) ─ annak or-

dinats. Az x = a egyenlet az adott egyenes egyenlete. Valójában ez az egyenlet teljesül az egyenes bármely M(a;y) pontjának koordinátáival, és nem teljesül az egyenesen nem fekvő pontok koordinátái. Ha a = 0, akkor az egyenes egybeesik az Oy tengellyel, amelynek egyenlete x = 0.

2) Az x - y = 0 egyenlet határozza meg a sík azon pontjainak halmazát, amelyek az I és III koordinátaszögek felezőit alkotják.

3) Az x 2 - y 2 = 0 ─ egyenlet a koordinátaszögek két felezőjének egyenlete.

4) Az x 2 + y 2 = 0 egyenlet egyetlen O(0;0) pontot határoz meg a síkon.

5) Az x 2 + y 2 = 25 egyenlet ─ egy 5 sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja az origóban van.

A sík minden A pontját a koordinátái (x, y) jellemzik. Egybeesnek a 0 pontból kilépő 0A vektor koordinátáival - a koordináták origójával.

Legyenek A és B a sík tetszőleges pontjai (x 1 y 1), illetve (x 2, y 2) koordinátákkal.

Ekkor az AB vektornak nyilvánvalóan vannak koordinátái (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Ismeretes, hogy a vektor hosszának négyzete egyenlő az összeggel koordinátáinak négyzetei. Ezért az A és B pont közötti d távolságot, vagy ami megegyezik, az AB vektor hosszát a feltételből határozzuk meg.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

A kapott képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja a távolságot a sík bármely két pontja között, ha csak ezeknek a pontoknak a koordinátái ismertek

Valahányszor a síkon egy adott pont koordinátáiról beszélünk, egy jól meghatározott x0y koordinátarendszerre gondolunk. Általánosságban elmondható, hogy a koordinátarendszer egy síkon többféleképpen választható meg. Tehát az x0y koordinátarendszer helyett tekinthetjük az xִy koordinátarendszert, amelyet a régi koordinátatengelyek 0 kezdőpont körüli elforgatásának eredményeként kapunk. óramutató járásával ellentétes irányban nyilak a sarkon α .

Ha az x0y koordinátarendszerben a sík egy pontjának koordinátái voltak (x, y), akkor az új xִy koordinátarendszerben más koordinátákkal (x, y) lesz.

Példaként tekintsük az M pontot, amely a 0x tengelyen helyezkedik el, és a 0 ponttól 1 távolságra van elválasztva.

Nyilvánvaló, hogy az x0y koordinátarendszerben ennek a pontnak vannak koordinátái (cos α , bűn α ), és az xִy koordinátarendszerben a koordináták (1,0).

Az A és B sík bármely két pontjának koordinátái attól függenek, hogy a koordinátarendszer hogyan van megadva ezen a síkon. És itt a pontok közötti távolság nem függ a koordinátarendszer megadásának módjától .

Más anyagok

Matematika

§2. Egy pont koordinátái a síkon

3. Két pont távolsága.

Te és én most a számok nyelvén beszélhetünk pontokról. Például már nem kell magyaráznunk: vegyünk egy pontot, amely három egységgel jobbra van a tengelytől és öt egységgel a tengely alatt. Elég egyszerűen azt mondani: vedd a lényeget.

Már említettük, hogy ez bizonyos előnyökkel jár. Tehát egy pontokból álló rajzot távíróval továbbíthatunk, közölhetünk egy számítógéppel, amely a rajzokat egyáltalán nem, de a számokat jól érti.

Az előző bekezdésben számok közötti kapcsolatok segítségével definiáltunk néhány ponthalmazt a síkon. Most próbáljuk következetesen lefordítani a többit geometriai fogalmakés tények.

Egy egyszerű és általános feladattal kezdjük.

Keresse meg a sík két pontja közötti távolságot.

Megoldás:
Mint mindig, most is feltételezzük, hogy a pontokat a koordinátáik adják meg, majd az a feladatunk, hogy találjunk egy szabályt, amivel a koordinátáik ismeretében ki tudjuk számítani a pontok közötti távolságot. Ennek a szabálynak a levezetésénél természetesen szabad rajzhoz folyamodni, de maga a szabály ne tartalmazzon hivatkozást a rajzra, hanem csak azt mutassa meg, hogy milyen műveleteket és milyen sorrendben kell végrehajtani az adott számokon - a koordinátákon pontokból - a kívánt szám eléréséhez - a pontok közötti távolságot.

Talán néhány olvasó furcsának és távolinak találja a probléma megoldásának ezt a megközelítését. Mi az egyszerűbb, azt mondják, a pontokat még koordinátákkal is megadják. Rajzolja le ezeket a pontokat, vegyen egy vonalzót és mérje meg a távolságot közöttük.

Ez a módszer néha nem is olyan rossz. Képzelje el azonban újra, hogy számítógéppel van dolgunk. Nincs vonalzója, és nem is rajzol, de olyan gyorsan tud számolni, hogy ez egyáltalán nem probléma. Vegyük észre, hogy a problémánk úgy van megfogalmazva, hogy a két pont távolságának kiszámításának szabálya gép által végrehajtható parancsokból áll.

Jobb először megoldani azt a speciális esetre feltett problémát, amikor ezen pontok egyike a koordináták origójában van. Kezdje néhány numerikus példával: keresse meg a távolságot a pontok origójától; És .

Jegyzet. Használja a Pitagorasz-tételt.

Most írjon egy általános képletet egy pont origótól való távolságának kiszámításához.

Egy pont távolságát az origótól a következő képlet határozza meg:

Nyilvánvaló, hogy az ezzel a képlettel kifejezett szabály megfelel a fentebb megfogalmazott feltételeknek. Különösen olyan gépeken használható számításokhoz, amelyek képesek számokat szorozni, összeadni és négyzetgyököket kivonni.

Most oldjuk meg az általános problémát

Adott két pont egy síkon, keresse meg a köztük lévő távolságot.

Megoldás:
Jelöljük , , , pontok vetületeit és a koordinátatengelyekre.

Jelöljük a vonalak metszéspontját a betűvel. Tól től derékszögű háromszög A Pitagorasz-tétel segítségével a következőket kapjuk:

De a szakasz hossza megegyezik a szakasz hosszával. A pontok és , a tengelyen fekszenek, és koordinátái vannak, ill. A (2) bekezdés 3. bekezdésében kapott képlet szerint a köztük lévő távolság egyenlő.

Hasonlóan érvelve azt találjuk, hogy a szakasz hossza egyenlő . A talált értékeket behelyettesítve a kapott képletbe.

A matematikai feladatok megoldása gyakran sok nehézséggel jár a tanulók számára. Segíts a tanulónak megbirkózni ezekkel a nehézségekkel, és tanítsd meg használni, amije van elméleti tudás amikor konkrét problémákat old meg a „Matematika” tantárgy minden szakaszában - webhelyünk fő célja.

A témával kapcsolatos feladatok megoldásának megkezdésekor a tanulóknak tudniuk kell egy síkon egy pontot megszerkeszteni annak koordinátái alapján, valamint meg kell találni egy adott pont koordinátáit.

Két síkon vett A(x A; y A) és B(x B; y B) pont közötti távolság kiszámítása a képlet segítségével történik d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), ahol d annak a szakasznak a hossza, amely a sík ezen pontjait összeköti.

Ha a szakasz egyik vége egybeesik a koordináták origójával, és a másik M(x M; y M) koordinátákkal rendelkezik, akkor a d kiszámításának képlete OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Két pont távolságának kiszámítása e pontok megadott koordinátái alapján

1. példa.

Határozzuk meg a koordinátasíkon az A(2; -5) és B(-4; 3) pontokat összekötő szakasz hosszát (1. ábra).

Megoldás.

A problémafelvetés a következőket mondja ki: x A = 2; x B = -4; y A = -5 és y B = 3. Keresse meg d.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 képletet alkalmazva a következőt kapjuk:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pont koordinátáinak kiszámítása

2. példa

Határozzuk meg az O 1 pont koordinátáit, amely egyenlő távolságra van három A(7; -1) és B(-2; 2) és C(-1; -5) ponttól!

Megoldás.

A feladatfeltételek megfogalmazásából következik, hogy O 1 A = O 1 B = O 1 C. Legyen a kívánt O 1 pont koordinátái (a; b). A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Hozzunk létre egy két egyenletrendszert:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Az egyenletek bal és jobb oldalának négyzetre emelése után ezt írjuk:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Leegyszerűsítve, írjuk

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

A rendszer megoldása után a következőt kapjuk: a = 2; b = -1.

Az O 1 (2; -1) pont egyenlő távolságra van a feltételben meghatározott három ponttól, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ez a pont egy három megadott ponton átmenő kör középpontja (2. ábra).

3. Az abszcissza (ordináta) tengelyén fekvő és egy adott ponttól adott távolságra lévő pont abszcissza (ordináta) kiszámítása

3. példa

A B(-5; 6) pont és az Ox tengelyen fekvő A pont távolsága 10. Keresse meg az A pontot.

Megoldás.

A feladatfeltételek megfogalmazásából az következik, hogy az A pont ordinátája egyenlő nullával és AB = 10.

Az A pont abszcisszáját a-val jelölve A(a; 0)-t írunk.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

A √((a + 5) 2 + 36) = 10 egyenletet kapjuk. Leegyszerűsítve azt kapjuk

a 2 + 10a – 39 = 0.

Ennek az egyenletnek a gyökerei a 1 = -13; és 2 = 3.

Két A 1 (-13; 0) és A 2 (3; 0) pontot kapunk.

Vizsgálat:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

Mindkét kapott pont megfelelő a feladat feltételeinek megfelelően (3. ábra).

4. Egy olyan pont abszcissza (ordináta) kiszámítása, amely az abszcissza (ordináta) tengelyen fekszik és két adott ponttól azonos távolságra van

4. példa

Keressen egy pontot az Oy tengelyen, amely azonos távolságra van az A (6, 12) és B (-8, 10) pontoktól.

Megoldás.

Legyenek a feladat feltételei által megkívánt, Oy tengelyen fekvő pont koordinátái O 1 (0; b) (az Oy tengelyen fekvő pontban az abszcissza nulla). Abból a feltételből következik, hogy O 1 A = O 1 B.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

A következő egyenlet: √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) vagy 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Egyszerűsítés után a következőt kapjuk: b – 4 = 0, b = 4.

A feladat feltételei által megkövetelt O 1 (0; 4) pont (4. ábra).

5. Egy olyan pont koordinátáinak kiszámítása, amely azonos távolságra van a koordinátatengelyektől és egy adott ponttól

5. példa.

Keresse meg a koordinátasíkon a koordinátatengelyektől és az A(-2; 1) ponttól azonos távolságra lévő M pontot.

Megoldás.

A szükséges M pont az A(-2; 1) ponthoz hasonlóan a második koordinátaszögben található, mivel egyenlő távolságra van az A, P 1 és P 2 pontoktól (5. ábra). Az M pont távolsága a koordinátatengelyektől azonos, ezért koordinátái (-a; a) lesznek, ahol a > 0.

A feladat feltételeiből az következik, hogy MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

azok. |-a| = a.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Készítsünk egy egyenletet:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Négyzetesítés és egyszerűsítés után a következőt kapjuk: a 2 – 6a + 5 = 0. Oldja meg az egyenletet, keresse meg a 1 = 1-et; és 2 = 5.

Két M 1 (-1; 1) és M 2 (-5; 5) pontot kapunk, amelyek kielégítik a feladat feltételeit.

6. Az abszcissza (ordináta) tengelytől és az adott ponttól azonos távolságra elhelyezkedő pont koordinátáinak kiszámítása

6. példa.

Keressünk egy M pontot, amelynek távolsága az ordináta tengelytől és az A(8; 6) ponttól egyenlő 5-tel.

Megoldás.

A feladat feltételeiből az következik, hogy MA = 5 és az M pont abszcisszája egyenlő 5-tel. Legyen M pont ordinátája b-vel, akkor M(5; b) (6. ábra).

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet szerint a következőket kapjuk:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Készítsünk egy egyenletet:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Leegyszerűsítve a következőt kapjuk: b 2 – 12b + 20 = 0. Ennek az egyenletnek a gyökei b 1 = 2; b 2 = 10. Ebből következően két olyan pont van, amely teljesíti a feladat feltételeit: M 1 (5; 2) és M 2 (5; 10).

Ismeretes, hogy sok diáknak, amikor önállóan oldja meg a problémákat, állandó konzultációra van szüksége a megoldási technikákról és módszerekről. A tanuló gyakran nem találja meg a módját a probléma megoldásának tanári segítség nélkül. A probléma megoldásához szükséges tanácsokat honlapunkon kaphatja meg a hallgató.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan találja meg a távolságot egy síkon két pont között?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk a pontok közötti távolság elméleti és konkrét feladatok példáján keresztül történő meghatározásának módjait. Kezdésként vezessünk be néhány definíciót.

1. definíció

Pontok közötti távolság az őket összekötő szakasz hossza a meglévő léptékben. Ahhoz, hogy legyen egy hosszegység a méréshez, be kell állítani egy skálát. Ezért a pontok közötti távolság megállapításának problémáját alapvetően úgy oldjuk meg, hogy koordinátáikat koordinátaegyenesen, koordinátasíkban vagy háromdimenziós térben használjuk.

Kiindulási adatok: O x koordinátaegyenes és egy tetszőleges rajta fekvő A pont Az egyenes bármely pontjának van egy valós száma: legyen ez egy bizonyos szám az A ponthoz x A, ez egyben az A pont koordinátája is.

Általánosságban elmondható, hogy egy adott szakasz hosszát egy adott skálán egy hosszegységnek vett szakaszhoz viszonyítva értékeljük.

Ha az A pont egy egész valós számnak felel meg, az O ponttól a pontig sorra lerakva az egyenes O A szakaszokat - hosszegységeket, akkor az összes félretett egységnyi szegmensből meghatározhatjuk az O A szakasz hosszát.

Például az A pont a 3-as számnak felel meg - ahhoz, hogy O pontból eljusson hozzá, három egységszegmenst kell elengednie. Ha az A pont koordinátája - 4, az egységszegmensek hasonló módon vannak elhelyezve, de eltérő, negatív irányban. Így az első esetben az O A távolság 3; a második esetben O A = 4.

Ha az A pont koordinátája racionális szám, akkor az origóból (O pont) félreteszünk egész számú egységnyi szegmenst, majd annak szükséges részét. De geometriailag nem mindig lehet mérést végezni. Például nehéznek tűnik a 4 111 tört ábrázolása a koordináta egyenesen.

A fenti módszerrel teljesen lehetetlen egy irracionális számot egyenesen ábrázolni. Például, ha az A pont koordinátája 11. Ebben az esetben át lehet térni az absztrakcióra: ha az A pont adott koordinátája nagyobb nullánál, akkor O A = x A (a számot veszik távolságnak); ha a koordináta kisebb, mint nulla, akkor O A = - x A . Általában ezek az állítások igazak bármely x A valós számra.

Összefoglalva: az origó és a koordináta egyenes valós számának megfelelő pont közötti távolság egyenlő:

• 0, ha a pont egybeesik az origóval;

• x A, ha x A > 0;

• - x A, ha x A< 0 .

Ebben az esetben nyilvánvaló, hogy magának a szakasznak a hossza nem lehet negatív, ezért a modulus előjel segítségével a koordinátával írjuk fel az O pont és az A pont távolságát. xA: O A = x A

A következő állítás igaz lesz: az egyik pont és a másik közötti távolság egyenlő lesz a koordináta-különbség modulusával. Azok. olyan A és B pontok esetében, amelyek bármely helyhez ugyanazon a koordinátavonalon helyezkednek el, és megfelelő koordinátákkal rendelkeznek xAÉs x B: A B = x B - x A.

Kiindulási adatok: az O x y téglalap alakú koordinátarendszer síkon fekvő A és B pontjai megadott koordinátákkal: A (x A, y A) és B (x B, y B).

Rajzoljunk merőlegeseket az A és B pontokon keresztül az O x és O y koordinátatengelyekre, és kapjuk meg ennek eredményeként a vetületi pontokat: A x, A y, B x, B y. Az A és B pont elhelyezkedése alapján a következő lehetőségek lehetségesek:

Ha az A és B pont egybeesik, akkor a köztük lévő távolság nulla;

Ha az A és B pont az O x tengelyre merőleges egyenesen (abszcissza tengely) fekszik, akkor a pontok egybeesnek, és | A B | = | A y B y | . Mivel a pontok távolsága egyenlő a koordinátáik különbségének modulusával, akkor A y B y = y B - y A, és ezért A B = A y B y = y B - y A.

Ha az A és B pont az O y tengelyre (ordináta tengelyre) merőleges egyenesen fekszik - az előző bekezdéshez hasonlóan: A B = A x B x = x B - x A

Ha az A és B pontok nem az egyik koordinátatengelyre merőleges egyenesen helyezkednek el, akkor a köztük lévő távolságot a számítási képlet levezetésével találjuk meg:

Látjuk, hogy az A B C háromszög téglalap alakú. Ebben az esetben A C = A x B x és B C = A y B y. A Pitagorasz-tétel segítségével létrehozzuk az egyenlőséget: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2, majd transzformáljuk: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A kapott eredményből vonjuk le a következtetést: az A pont és a B pont távolságát a síkon számítással határozzuk meg a képlet segítségével, ezen pontok koordinátáinak felhasználásával.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A kapott képlet megerősíti a korábban kialakított állításokat is pontok egybeesésének eseteire vagy olyan helyzetekre, amikor a pontok a tengelyekre merőleges egyeneseken helyezkednek el. Tehát, ha az A és B pont egybeesik, a következő egyenlőség lesz igaz: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Ha az A és B pont az x tengelyre merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Abban az esetben, ha az A és B pont az ordináta tengelyére merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Kiindulási adat: egy O x y z téglalap alakú koordinátarendszer, amelyen tetszőleges pontok találhatók adott A (x A, y A, z A) és B (x B, y B, z B) koordinátákkal. Meg kell határozni e pontok közötti távolságot.

Mérlegeljük általános eset, amikor az A és B pontok nem az egyikkel párhuzamos síkban helyezkednek el koordinátasíkok. Rajzoljunk a koordinátatengelyekre merőleges síkokat az A és B pontokon keresztül, és kapjuk meg a megfelelő vetítési pontokat: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Az A és B pontok távolsága a kapott paralelepipedon átlója. Ennek a paralelepipedonnak a méréseinek felépítése szerint: A x B x , A y B y és A z B z

A geometria tantárgyból tudjuk, hogy egy paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a méretei négyzeteinek összegével. Ezen állítás alapján megkapjuk az egyenlőséget: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

A korábban levont következtetéseket felhasználva a következőket írjuk:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Alakítsuk át a kifejezést:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Végső képlet a térben lévő pontok távolságának meghatározásáraígy fog kinézni:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Az eredményül kapott képlet akkor is érvényes, ha:

A pontok egybeesnek;

Egy koordinátatengelyen vagy az egyik koordinátatengellyel párhuzamos egyenesen fekszenek.

Példák a pontok közötti távolság megállapításával kapcsolatos feladatok megoldására

1. példa

Kiindulási adatok: adott A (1 - 2) és B (11 + 2) koordinátákkal egy koordináta egyenes és a rajta fekvő pontok. Meg kell találni az O kezdőpont és az A pont, valamint az A és B pontok közötti távolságot.

Megoldás

1. A referenciapont és a pont távolsága megegyezik a pont koordinátájának modulusával, illetve O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Az A és B pontok közötti távolságot a pontok koordinátái közötti különbség modulusaként határozzuk meg: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Válasz: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

2. példa

Kiindulási adatok: egy derékszögű koordinátarendszer és két azon fekvő A (1, - 1) és B (λ + 1, 3) pont adott. λ egy valós szám. Meg kell találni ennek a számnak az összes értékét, amelynél az A B távolság 5 lesz.

Megoldás

Az A és B pontok közötti távolság meghatározásához az A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 képletet kell használni.

A valós koordináta értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Használjuk azt a meglévő feltételt is, hogy A B = 5, és akkor az egyenlőség igaz lesz:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Válasz: A B = 5, ha λ = ± 3.

3. példa

Kiinduló adatok: megadva háromdimenziós tér derékszögű koordinátarendszerben O x y z és a benne fekvő A (1, 2, 3) és B - 7, - 2, 4 pontok.

Megoldás

A feladat megoldásához az A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 képletet használjuk

A valós értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Válasz: | A B | = 9

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt