Trapéz alakú egy négyszög, amelynek két párhuzamos oldala van, amelyek az alapok, és két nem párhuzamos oldala, amelyek az oldalak.

Vannak olyan nevek is, mint pl egyenlő szárú vagy egyenlő oldalú.

egy trapéz, amelynek oldalszögei derékszögűek.

Trapéz elemek

a, b - trapéz alapok(párhuzam a b-vel),

m, n - oldalain trapéz,

d 1 , d 2 — Diagonal vonalok trapéz,

h - magasság trapéz (az alapokat összekötő, ugyanakkor azokra merőleges szakasz),

MN - középső vonal(az oldalak felezőpontjait összekötő szakasz).

A trapéz területe

1. Az a, b alapok és a h magasság félösszegén keresztül: S = \frac(a + b)(2)\cdot h
2. Az MN középvonalon és a h magasságon keresztül: S = MN\cdot h
3. A d 1, d 2 átlókon és a köztük lévő szögön (\sin \varphi) keresztül: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

A trapéz tulajdonságai

Trapéz középvonala

középső vonal az alapokkal párhuzamosan, egyenlő azok felével, és felosztja az egyes szegmenseket az alapokat tartalmazó egyenes vonalakon elhelyezkedő végekkel (például az ábra magasságával):

MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

A trapézszögek összege

A trapézszögek összege, mindkét oldal mellett egyenlő 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Egyenlő területű trapéz háromszögek

Egyforma méretű, vagyis birtoklás egyenlő területek, az AOB és DOC átlós szakaszok és háromszögek, amelyeket az oldalsó oldalak alkotnak.

A kialakult trapéz háromszögek hasonlósága

Hasonló háromszögek az AOD és a COB, amelyeket alapjaik és átlós szegmenseik alkotnak.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Hasonlósági együttható k a következő képlettel található:

k = \frac(AD)(BC)

Ráadásul ezeknek a háromszögeknek a területének aránya egyenlő k^(2) -vel.

A szegmensek és az alapok hosszának aránya

Az alapokat összekötő és a trapéz átlóinak metszéspontján áthaladó szegmenseket ezzel a ponttal osztjuk az arányban:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Ez magával az átlókkal való magasságra is igaz lesz.

A trapéz az különleges eset olyan négyszög, amelyben az egyik oldalpár párhuzamos. A "trapéz" kifejezés a görög τράπεζα szóból származik, jelentése "asztal", "asztal". Ebben a cikkben megvizsgáljuk a trapéz típusait és tulajdonságait. Ezenkívül kitaláljuk, hogyan kell kiszámítani ennek az egyes elemeit. Például egy egyenlő szárú trapéz átlója, középvonala, területe stb. Az anyagot az elemi népi geometria stílusában, azaz könnyen hozzáférhető formában mutatjuk be. .

Általános információ

Először is nézzük meg, mi az a négyszög. Ez az ábra egy négy oldalt és négy csúcsot tartalmazó sokszög speciális esete. A négyszög két nem szomszédos csúcsát ellentétesnek nevezzük. Ugyanez elmondható két nem szomszédos oldalról. A négyszögek fő típusai a paralelogramma, a téglalap, a rombusz, a négyzet, a trapéz és a deltoid.

Tehát térjünk vissza a trapézokhoz. Mint már említettük, ennek az ábrának két párhuzamos oldala van. Bázisoknak hívják őket. A másik kettő (nem párhuzamos) az oldalsó oldalak. Vizsgaanyagokban és különféle tesztek nagyon gyakran találhatunk trapézokkal kapcsolatos problémákat, amelyek megoldásához gyakran a programban nem szereplő ismeretekre van szükség. Az iskolai geometria tantárgy megismerteti a hallgatókkal a szögek és átlók tulajdonságait, valamint az egyenlő szárú trapéz középvonalát. De ezen túlmenően az említett geometriai alakzatnak más jellemzői is vannak. De róluk kicsit később...

A trapéz típusai

Ennek a figurának sok fajtája létezik. Leggyakrabban azonban kettőt szokás figyelembe venni - egyenlő szárú és téglalap alakú.

1. A téglalap alakú trapéz olyan alakzat, amelyben az egyik oldala merőleges az alapokra. Két szöge mindig kilencven fokkal egyenlő.

2. Az egyenlő szárú trapéz olyan geometriai alakzat, amelynek oldalai egyenlőek egymással. Ez azt jelenti, hogy az alapoknál a szögek páronként is egyenlőek.

A trapéz tulajdonságait vizsgáló módszertan főbb elvei

A fő elvhez tartozik az úgynevezett feladatmegközelítés alkalmazása. Valójában nincs szükség ennek az ábrának az új tulajdonságainak bevezetésére a geometria elméleti kurzusába. Különféle (lehetőleg rendszerszintű) problémák megoldása során fedezhetők fel és fogalmazhatók meg. Ugyanakkor nagyon fontos, hogy a tanár tudja, milyen feladatokat kell a diákoknak kiosztani egy-egy alkalommal. oktatási folyamat. Ezenkívül a trapéz minden tulajdonsága kulcsfeladatként ábrázolható a feladatrendszerben.

A második alapelv a trapéz „figyelemre méltó” tulajdonságainak vizsgálatának ún. spirális szerveződése. Ez azt jelenti, hogy a tanulási folyamatban visszatérnek az adott adottság egyéni jellemzőihez geometriai alakzat. Így a tanulók könnyebben megjegyezhetik őket. Például négy pont tulajdonsága. Mind a hasonlóság vizsgálatakor, mind a későbbi vektorok felhasználásával bizonyítható. Az ábra oldaloldalaival szomszédos háromszögek egyenértékűsége pedig nem csak az azonos egyenesen fekvő oldalakra húzott egyenlő magasságú háromszögek tulajdonságainak alkalmazásával igazolható, hanem az S = 1/2( ab*sinα). Ezen kívül dolgozhat beírt trapézzel vagy derékszögű háromszöggel írott trapézzel stb.

Egy geometriai alakzat „programon kívüli” jellemzőinek felhasználása a tartalomban iskolai tanfolyam- ez egy feladatalapú technológia a tanításukra. A vizsgált tulajdonságokra való folyamatos hivatkozás más témakörök végighaladása közben lehetővé teszi a hallgatók számára, hogy mélyebb ismereteket szerezzenek a trapézről, és biztosítva legyen a hozzárendelt feladatok megoldásának sikere. Tehát kezdjük el tanulmányozni ezt a csodálatos figurát.

Az egyenlő szárú trapéz elemei és tulajdonságai

Mint már megjegyeztük, ennek a geometriai alakzatnak egyenlő oldalai vannak. Ez a helyes trapéz is ismert. Miért olyan figyelemre méltó, és miért kapott ilyen nevet? Ennek a figurának az a sajátossága, hogy nemcsak az oldalak és az alapoknál lévő szögek egyenlők, hanem az átlók is. Ezenkívül egy egyenlő szárú trapéz szögeinek összege 360 ​​fok. De ez még nem minden! Az összes ismert trapéz közül csak egy egyenlő szárú írható le körnek. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ennek az ábrának az ellentétes szögeinek összege 180 fokkal egyenlő, és csak ezzel a feltétellel írható le egy négyszög körüli kör. A vizsgált geometriai alakzat következő tulajdonsága, hogy az alap csúcsától a szemközti csúcsnak az ezt az alapot tartalmazó egyenesre való vetületének távolsága egyenlő lesz a középvonallal.

Most nézzük meg, hogyan találjuk meg az egyenlő szárú trapéz szögeit. Nézzük meg a megoldást erre a problémára, feltéve, hogy az ábra oldalainak méretei ismertek.

Megoldás

Jellemzően egy négyszöget általában A, B, C, D betűkkel jelölnek, ahol BS és AD az alapok. Egy egyenlő szárú trapézban az oldalak egyenlőek. Feltételezzük, hogy a méretük egyenlő X-szel, az alapok mérete pedig Y és Z (kisebb és nagyobb). A számítás elvégzéséhez meg kell húzni a B szögből a H magasságot. Az eredmény egy ABN derékszögű háromszög, ahol AB a hipotenusz, BN és AN pedig a lábak. Kiszámoljuk az AN láb méretét: kivonjuk a kisebbet a nagyobb alapból, és az eredményt elosztjuk 2-vel. Felírjuk egy képlet formájában: (Z-Y)/2 = F. Most pedig számítsuk ki a hegyesszöget a háromszögből fogjuk használni cos funkció. A következő bejegyzést kapjuk: cos(β) = X/F. Most kiszámoljuk a szöget: β=arcos (X/F). Továbbá az egyik szög ismeretében meghatározhatjuk a másodikat, ehhez egy elemi aritmetikai műveletet hajtunk végre: 180 - β. Minden szög meghatározott.

Van egy második megoldás is erre a problémára. Először a saroktól a H magasságba süllyesztjük. Kiszámoljuk a BN láb értékét. Tudjuk, hogy a hipotenusz négyzete derékszögű háromszög egyenlő az összeggel lábak négyzetei. A következőt kapjuk: BN = √(X2-F2). Ezután használjuk trigonometrikus függvény tg. Ennek eredményeként a következőt kapjuk: β = arctan (BN/F). Egy hegyesszöget találtak. Ezután az első módszerhez hasonlóan definiáljuk.

Egyenlőszárú trapéz átlóinak tulajdonsága

Először írjunk le négy szabályt. Ha egy egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek, akkor:

Az ábra magassága egyenlő lesz az alapok összegével osztva kettővel;

Magassága és középvonala egyenlő;

A kör középpontja az a pont, ahol ;

Ha az oldaloldalt az érintési pont H és M szakaszokra osztja, akkor egyenlő négyzetgyök ezen szegmensek termékei;

Az érintőpontok, a trapéz csúcsa és a beírt kör középpontja által alkotott négyszög olyan négyzet, amelynek oldala egyenlő a sugárral;

Egy ábra területe egyenlő az alapok szorzatával, valamint az alapok összegének felének és magasságának szorzatával.

Hasonló trapézok

Ez a téma nagyon kényelmes ennek tulajdonságainak tanulmányozására Például az átlók egy trapézt négy háromszögre osztanak, és az alapokkal szomszédosak hasonlóak, az oldalakkal szomszédosak pedig egyenlő méretűek. Ezt az állítást nevezhetjük azoknak a háromszögeknek a tulajdonságának, amelyekre a trapéz az átlóival fel van osztva. Ennek az állításnak az első részét a hasonlóság jelével bizonyítjuk két szögben. A második rész bizonyításához jobb az alább megadott módszert használni.

A tétel bizonyítása

Elfogadjuk, hogy az ABSD ábrát (AD és BS a trapéz alapja) VD és AC átlókkal osztjuk. A metszéspontjuk O. Négy háromszöget kapunk: AOS - az alsó alapon, BOS - a felső alapon, ABO és SOD az oldalakon. Az SOD és a BOS háromszögeknek közös a magassága, ha a BO és OD szakaszok az alapjaik. Azt találtuk, hogy a területeik közötti különbség (P) megegyezik a szegmensek közötti különbséggel: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Ezért PSOD = PBOS/K. Hasonlóképpen a BOS és az AOB háromszögek magassága közös. A CO és OA szegmenseket vesszük alapul. Azt kapjuk, hogy PBOS/PAOB = CO/OA = K és PAOB = PBOS/K. Ebből következik, hogy PSOD = PAOB.

Az anyag konszolidálásához az alábbi feladat megoldásával a tanulóknak azt javasoljuk, hogy a kapott háromszögek azon területei között keressenek kapcsolatot, amelyekre a trapéz átlóival fel van osztva. Ismeretes, hogy a BOS és az AOD háromszögek területe egyenlő, meg kell találni a trapéz területét. Mivel PSOD = PAOB, ez azt jelenti, hogy PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. A BOS és AOD háromszögek hasonlóságából következik, hogy BO/OD = √(PBOS/PAOD). Ezért PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Azt kapjuk, hogy PSOD = √(PBOS*PAOD). Ekkor PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

A hasonlóság tulajdonságai

Ha tovább fejlesztjük ezt a témát, mást is bebizonyíthatunk érdekes tulajdonságok trapéz alakú. Így a hasonlóságot felhasználva igazolható annak a szakasznak a tulajdonsága, amely e geometriai alakzat átlóinak metszéspontjában az alapokkal párhuzamosan halad át. Ehhez oldjuk meg a következő feladatot: meg kell találnunk az O ponton átmenő RK szakasz hosszát. Az AOD és BOS háromszögek hasonlóságából az következik, hogy AO/OS = AD/BS. Az AOP és ASB háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Innen azt kapjuk, hogy RO=BS*BP/(BS+BP). Hasonlóképpen, a DOC és DBS háromszögek hasonlóságából az következik, hogy OK = BS*AD/(BS+AD). Innen azt kapjuk, hogy RO=OK és RK=2*BS*AD/(BS+AD). Az átlók metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos és két oldalsó oldalt összekötő szakaszt a metszésponttal ketté kell osztani. Hossza az ábra alapjainak harmonikus átlaga.

Tekintsük a trapéz következő tulajdonságát, amelyet négy pont tulajdonságának nevezünk. Az átlók metszéspontjai (O), az oldalak folytatásának metszéspontja (E), valamint az alapok felezőpontjai (T és F) mindig ugyanazon az egyenesen fekszenek. Ez a hasonlósági módszerrel könnyen igazolható. A kapott BES és AED háromszögek hasonlóak, és mindegyikben az ET és EJ mediánok egyenlő részekre osztják az E csúcsszöget. Ezért az E, T és F pont ugyanazon az egyenesen fekszik. Ugyanígy a T, O és Zh pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.Mindez a BOS és AOD háromszögek hasonlóságából következik. Ebből arra következtethetünk, hogy mind a négy pont - E, T, O és F - ugyanazon az egyenesen fog feküdni.

Hasonló trapézok használatával megkérheti a tanulókat, hogy találják meg annak a szakasznak a hosszát (LS), amely az ábrát két hasonló részre osztja. Ez a szegmens párhuzamosnak kell lennie az alappal. Mivel a kapott ALFD és LBSF trapézok hasonlóak, akkor BS/LF = LF/AD. Ebből következik, hogy LF=√(BS*AD). Megállapítottuk, hogy a trapézt két hasonlóra osztó szakasz hossza megegyezik az ábra alapjainak hosszának geometriai átlagával.

Tekintsük a következő hasonlósági tulajdonságot. Egy olyan szakaszon alapul, amely a trapézt két egyenlő számjegyre osztja. Feltételezzük, hogy az ABSD trapézt az EH szakasz két hasonló részre osztja. A B csúcsból kimarad egy magasság, amelyet az EN szegmens két részre oszt - B1 és B2. A következőt kapjuk: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 és PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ezután összeállítunk egy rendszert, amelynek első egyenlete (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a második (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ebből következik, hogy B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) és BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Megállapítottuk, hogy a trapézt két egyenlő részre osztó szakasz hossza megegyezik az alapok hosszának négyzetes középértékével: √((BS2+AD2)/2).

Hasonlósági megállapítások

Így bebizonyítottuk, hogy:

1. A trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz párhuzamos AD és BS-vel, és egyenlő a BS és AD számtani átlagával (a trapéz alapjának hossza).

2. Az AD-vel és BS-sel párhuzamos átlók metszéspontjának O pontján áthaladó egyenes egyenlő lesz az AD és BS számok harmonikus átlagával (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. A trapézt hasonlókra osztó szakasz hossza a BS és AD alapok geometriai átlaga.

4. Egy alakzatot két egyenlő részre osztó elem hossza az AD és BS számok négyzetgyöke.

Az anyag megszilárdításához és a vizsgált szegmensek közötti kapcsolat megértéséhez a hallgatónak meg kell alkotnia azokat egy adott trapézhoz. A középvonalat és az O ponton - az ábra átlóinak metszéspontján - átmenő szakaszt könnyedén az alapokkal párhuzamosan tudja megjeleníteni. De hol lesz a harmadik és a negyedik? Ez a válasz elvezeti a hallgatót az átlagértékek közötti kívánt összefüggés felfedezéséhez.

A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz

Tekintsük ennek az ábrának a következő tulajdonságát. Feltételezzük, hogy az MH szakasz párhuzamos az alapokkal, és felezi az átlókat. Nevezzük a Ш és Ш metszéspontokat, ez a szakasz egyenlő lesz az alapok különbségének felével. Nézzük ezt részletesebben. MS az ABS háromszög középvonala, egyenlő BS/2-vel. Az MSH ​​az ABD háromszög középvonala, egyenlő AD/2-vel. Ekkor azt kapjuk, hogy ShShch = MSh-MSh, tehát ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Gravitáció középpontja

Nézzük meg, hogyan határozható meg ez az elem egy adott geometriai alakzathoz. Ehhez az alapokat ellenkező irányba kell meghosszabbítani. Mit jelent? Hozzá kell adnia az alsó alapot a felső alaphoz - bármilyen irányban, például jobbra. Az alsót pedig a felső hosszával meghosszabbítjuk balra. Ezután átlósan összekötjük őket. Ennek a szakasznak az ábra középvonalával való metszéspontja a trapéz súlypontja.

Beírt és körülírt trapézok

Soroljuk fel az ilyen figurák jellemzőit:

1. Trapéz csak akkor írható körbe, ha egyenlő szárú.

2. Egy kör körül trapéz írható le, feltéve, hogy alapjaik hosszának összege megegyezik az oldalak hosszának összegével.

A körgyűrű következményei:

1. A leírt trapéz magassága mindig két sugárral egyenlő.

2. A leírt trapéz oldalát a kör középpontjából derékszögben figyeljük meg.

Az első következmény nyilvánvaló, de a második bizonyításához meg kell állapítani, hogy az SOD szög helyes, ami valójában szintén nem nehéz. De ennek a tulajdonságnak a ismerete lehetővé teszi a derékszögű háromszög használatát a problémák megoldása során.

Most határozzuk meg ezeket a következményeket egy körbe írt egyenlő szárú trapézre. Megállapítjuk, hogy a magasság az ábra alapjainak geometriai átlaga: H=2R=√(BS*AD). A trapézfeladatok megoldásának alaptechnikájának gyakorlása közben (a két magasság rajzolásának elve) a következő feladatot kell megoldania. Feltételezzük, hogy BT az ABSD egyenlő szárú alak magassága. Meg kell találni az AT és TD szegmenseket. A fent leírt képlet segítségével ezt nem lesz nehéz megtenni.

Most nézzük meg, hogyan határozzuk meg a kör sugarát a körülírt trapéz területével. Csökkentjük a magasságot a B csúcstól az AD alapig. Mivel a kör trapézbe van írva, akkor BS+AD = 2AB vagy AB = (BS+AD)/2. Az ABN háromszögből azt találjuk, hogy sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Azt kapjuk, hogy PABSD = (BS+BP)*R, ebből következik, hogy R = PABSD/(BS+BP).

A trapéz középvonalának összes képlete

Most itt az ideje, hogy továbblépjünk ennek a geometriai alakzatnak az utolsó elemére. Nézzük meg, hogy a trapéz középvonala (M) mit jelent:

1. Az alapokon keresztül: M = (A+B)/2.

2. Magasságon, alapon és sarkokon keresztül:

M = A-H*(ctga+ctgp)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Átmenő magasság, átlók és a köztük lévő szög. Például D1 és D2 egy trapéz átlói; α, β - köztük lévő szögek:

M = D1*D2*sinα/2N=D1*D2*sinβ/2N.

4. Átmenő terület és magasság: M = P/N.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai jellegűeket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A különféle tesztek és vizsgák anyagaiban nagyon gyakran megtalálhatók trapézproblémák, melynek megoldásához tulajdonságainak ismerete szükséges.

Nézzük meg, milyen érdekes és hasznos tulajdonságokkal rendelkezik a trapéz a problémák megoldásához.

A trapéz középvonalának tulajdonságainak tanulmányozása után megfogalmazható és bizonyítható egy trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz tulajdonsága. A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő az alapok különbségének felével.

MO az ABC háromszög középvonala, és egyenlő 1/2BC-vel (1. ábra).

MQ az ABD háromszög középső vonala, és egyenlő 1/2AD-vel.

Ekkor OQ = MQ – MO, tehát OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Ha sok feladatot megoldunk egy trapézon, az egyik fő technika az, hogy két magasságot rajzolunk bele.

Tekintsük a következő feladat.

Legyen BT egy egyenlő szárú ABCD trapéz magassága BC és AD bázisokkal, ahol BC = a, AD = b. Határozza meg az AT és TD szakaszok hosszát!

Megoldás.

A probléma megoldása nem nehéz (2. ábra), de lehetővé teszi, hogy megkapja egy tompaszög csúcsából húzott egyenlő szárú trapéz magasságának tulajdonsága: egy tompaszög csúcsából húzott egyenlőszárú trapéz magassága a nagyobb alapot két szegmensre osztja, amelyek közül a kisebbik az alapok különbségének felével, a nagyobb pedig az alapok összegének felével .

A trapéz tulajdonságainak tanulmányozásakor figyelni kell egy ilyen tulajdonságra, mint a hasonlóságra. Tehát például egy trapéz átlói négy háromszögre osztják, és az alapokkal szomszédos háromszögek hasonlóak, az oldalakkal szomszédos háromszögek pedig egyenlő méretűek. Ezt az állítást nevezhetjük olyan háromszögek tulajdonsága, amelyekre a trapéz az átlóival fel van osztva. Sőt, az állítás első része nagyon könnyen igazolható a kétszögű háromszögek hasonlóságának jelével. Bizonyítsuk be nyilatkozat második része.

A BOC és a COD háromszögeknek közös a magassága (3. ábra), ha a BO és OD szakaszokat vesszük alapul. Ekkor S BOC /S COD = BO/OD = k. Ezért S KOI = 1/k · S BOC .

Hasonlóképpen a BOC és az AOB háromszögek magassága közös, ha a CO és OA szakaszokat vesszük alapul. Ekkor S BOC /S AOB = CO/OA = k és S A O B = 1/k · S BOC .

Ebből a két mondatból az következik, hogy S COD = S A O B.

Ne a megfogalmazott állításnál időzzünk, hanem találjunk azoknak a háromszögeknek a területei közötti kapcsolat, amelyekre a trapéz az átlóival fel van osztva. Ehhez oldjuk meg a következő problémát.

Legyen O pont az ABCD trapéz átlóinak a BC és AD alapokkal való metszéspontja. Ismeretes, hogy a BOC és AOD háromszögek területe S 1, illetve S 2. Keresse meg a trapéz területét.

Mivel S COD = S A O B, akkor S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

A BOC és AOD háromszögek hasonlóságából az következik, hogy BO/OD = √(S₁/S 2).

Ezért S1/S COD = BO/OD = √(S1/S 2), ami azt jelenti, hogy S COD = √(S 1 · S 2).

Ekkor S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

A hasonlóságot felhasználva bebizonyosodik, hogy az alapokkal párhuzamos trapéz átlóinak metszéspontján átmenő szakasz tulajdonsága.

Mérlegeljük feladat:

Legyen O pont az ABCD trapéz átlóinak a BC és AD alapokkal való metszéspontja. BC = a, AD = b. Határozza meg a trapéz alapokkal párhuzamos átlóinak metszéspontján átmenő PK szakasz hosszát! Mely szakaszokat osztja PK az O ponttal (4. ábra)?

Az AOD és BOC háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO/OC = AD/BC = b/a.

Az AOP és ACB háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Ezért PO = BC b / (a ​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Hasonlóképpen a DOK és DBC háromszögek hasonlóságából az következik, hogy OK = ab/(a + b).

Ezért PO = OK és PK = 2ab/(a + b).

Tehát a bizonyított tulajdonság a következőképpen fogalmazható meg: a trapéz alapjaival párhuzamos szakaszt, amely áthalad az átlók metszéspontján, és összeköt két pontot az oldalsó oldalakon, felezik a trapéz metszéspontjával. Diagonal vonalok. Hossza a trapéz alapjainak harmonikus középértéke.

Következő négypontos tulajdonság: trapézban az átlók metszéspontja, az oldalak folytatásának metszéspontja, a trapéz alapjainak felezőpontjai egy egyenesen fekszenek.

A BSC és az ASD háromszögek hasonlóak (5. ábra)és mindegyikben az ST és SG mediánok egyenlő részekre osztják az S csúcsszöget. Ezért az S, T és G pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.

Ugyanígy a T, O és G pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, ami a BOC és AOD háromszögek hasonlóságából következik.

Ez azt jelenti, hogy mind a négy S, T, O és G pont ugyanazon az egyenesen fekszik.

A trapézt két hasonló szakaszra osztó szakasz hosszát is megtalálhatja.

Ha az ALFD és az LBCF trapézok hasonlóak (6. ábra), akkor a/LF = LF/b.

Ezért LF = √(ab).

Így a trapézt két hasonló trapézre osztó szakasz hossza megegyezik az alapok hosszának geometriai átlagával.

Bizonyítsuk be A trapézt két egyenlő területre osztó szakasz tulajdonsága.

Legyen a trapéz területe S (7. ábra). h 1 és h 2 a magasság részei, x pedig a kívánt szakasz hossza.

Ekkor S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 és

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Hozzunk létre egy rendszert

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Ezt a rendszert megoldva x = √(1/2(a 2 + b 2)) kapjuk.

És így, a trapézt két egyenlő részre osztó szakasz hossza egyenlő √((a 2 + b 2)/2)(az alaphosszak átlagos négyzete).

Tehát az AD és BC bázisú ABCD trapézre (BC = a, AD = b) bebizonyítottuk, hogy a szakasz:

1) A trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait összekötő MN párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok félösszegével (átlag számtani számok a és b);

2) A trapéz alapjaival párhuzamos átlóinak metszéspontján áthaladó PK egyenlő
2ab/(a + b) (a és b számok harmonikus közepe);

3) Az LF, amely egy trapézt két hasonló trapézre oszt, hossza megegyezik az átlaggal geometriai számok a és b, √(ab);

4) EH, amely egy trapézt két egyenlő részre oszt, hossza √((a 2 + b 2)/2) (az a és b számok négyzetes középértéke).

Beírt és körülírt trapéz jele és tulajdonsága.

A beírt trapéz tulajdonságai: trapéz akkor és csak akkor írható be a körbe, ha egyenlő szárú.

A leírt trapéz tulajdonságai. A trapéz akkor és csak akkor írható le egy kör körül, ha az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével.

Hasznos következményei annak, hogy egy kört trapézba írnak:

1. A körülírt trapéz magassága megegyezik a beírt kör két sugarával.

2. A leírt trapéz oldala a beírt kör középpontjából derékszögben látható.

Az első nyilvánvaló. A második következmény bizonyításához meg kell állapítani, hogy a COD szög megfelelő, ami szintén nem nehéz. De ennek a következménynek az ismerete lehetővé teszi a derékszögű háromszög használatát a problémák megoldása során.

Pontosítsuk egy egyenlő szárú körülírt trapéz következményei:

Egy egyenlő szárú körülírt trapéz magassága a trapéz alapjainak geometriai átlaga
h = 2r = √(ab).

A figyelembe vett tulajdonságok lehetővé teszik a trapéz mélyebb megértését, és sikert biztosítanak a problémák megoldásában a tulajdonságai segítségével.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan oldja meg a trapézproblémákat?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Az életben gyakran találkozunk trapéz alakzattal. Például minden betontömbből készült híd az ragyogó példa. Vizuálisabb lehetőségnek tekinthető mindegyik kormányzása jármű Stb. A figura tulajdonságait már régen ismerték Ókori Görögország , amelyet Arisztotelész részletesebben leírt az ő tudományos munka– Elkezdődött. Az évezredekkel ezelőtt kifejlesztett tudás pedig ma is aktuális. Ezért nézzük meg őket közelebbről.

Kapcsolatban áll

Alapfogalmak

1. ábra Klasszikus trapézforma.

A trapéz lényegében egy négyszög, amely két párhuzamos szakaszból és két másik, nem párhuzamos szakaszból áll. Amikor erről az ábráról beszélünk, mindig emlékezni kell az olyan fogalmakra, mint: alapok, magasság és középvonal. Egy négyszög két szakasza, amelyeket bázisoknak nevezünk egymáshoz (AD és BC szakaszok). A magasság az egyes alapokra merőleges szakasz (EH), azaz. 90°-os szögben metszik egymást (az 1. ábra szerint).

Ha az összes belső fokmérőt összeadjuk, akkor a trapéz szögeinek összege 2π (360°) lesz, mint bármely négyszögé. Olyan szakasz, amelynek végei az oldalak felezőpontjai (IF) középvonalnak hívják. Ennek a szakasznak a hossza a BC és AD bázisok összege osztva 2-vel.

Háromféle geometriai alak létezik: egyenes, szabályos és egyenlő szárú. Ha az alap csúcsainál legalább egy szög egyenes (például ha ABD = 90°), akkor egy ilyen négyszöget derékszögű trapéznek nevezünk. Ha az oldalszegmensek egyenlőek (AB és CD), akkor egyenlő szárúnak nevezzük (ennek megfelelően az alapokon lévő szögek egyenlőek).

Hogyan lehet megtalálni a területet

Azért, hogy megkeressük egy négyszög területét Az ABCD a következő képletet használja:

2. ábra Területkeresési feladat megoldása

Többért egyértelmű példa oldjunk meg egy egyszerű problémát. Például legyen a felső és az alsó alap 16 és 44 cm, az oldalak pedig 17 és 25 cm. Szerkesszünk merőleges szakaszt a D csúcsból úgy, hogy DE II BC (ahogy a 2. ábrán látható). Innentől azt kapjuk

Legyen DF. A ΔADE-ből (amely egyenlő szárú lesz) a következőket kapjuk:

Vagyis úgy fogalmazva egyszerű nyelven, először megtaláltuk a ΔADE magasságot, amely egyben a trapéz magassága is. Innen a már ismert képlet segítségével kiszámítjuk az ABCD négyszög területét, ahol már ismert érték magasság DF.

Ezért a szükséges ABCD terület 450 cm³. Vagyis bátran kijelenthetjük, hogy sorrendben A trapéz területének kiszámításához csak az alapok összegére és a magasság hosszára van szüksége.

Fontos! A feladat megoldása során nem szükséges külön keresni a hosszúságok értékét, teljesen elfogadható, ha az ábra egyéb paramétereit használjuk, amelyek megfelelő bizonyítással megegyeznek az alapok összegével.

A trapézok típusai

Attól függően, hogy az ábrának milyen oldalai vannak, és milyen szögek alakulnak ki az alapoknál, háromféle négyszög létezik: téglalap alakú, egyenetlen és egyenlő oldalú.

Sokoldalú

Két forma létezik: akut és tompa. Az ABCD csak akkor hegyes, ha az alapszögek (AD) hegyesek, és az oldalak hossza eltérő. Ha egy szög értéke nagyobb, mint Pi/2 (a fokmérték nagyobb, mint 90°), akkor tompaszöget kapunk.

Ha az oldalak egyenlő hosszúak

3. ábra Egyenlőszárú trapéz nézete

Ha a nem párhuzamos oldalak hossza egyenlő, akkor az ABCD-t egyenlő szárúnak (szabályosnak) nevezzük. Ráadásul egy ilyen négyszögben a szögek fokmértéke az alapnál azonos, szögük mindig kisebb lesz, mint derékszög. Ez az oka annak, hogy az egyenlő szárú vonalat soha nem osztják hegyesszögűre és tompaszögűre. Az ilyen alakú négyszögnek megvannak a maga sajátos különbségei, amelyek a következők:

1. Az ellentétes csúcsokat összekötő szakaszok egyenlőek.
2. A hegyesszögek nagyobb alappal 45°-osak (szemléltető példa a 3. ábrán).
3. Ha összeadja az ellentétes szögek fokait, akkor 180°-ot adnak össze.
4. Bármilyen szabályos trapéz köré építhetsz.
5. Ha összeadja a szemközti szögek mértékét, akkor az egyenlő π-vel.

Sőt, a pontok geometriai elrendezése miatt vannak egyenlő szárú trapéz alapvető tulajdonságai:

Szögérték az alapnál 90°

Az alap oldalának merőlegessége a „téglalap alakú trapéz” fogalmának tágas jellemzője. Nem lehet két oldal sarkokkal az alapnál, mert különben már téglalap lesz. Az ilyen típusú négyszögeknél mindig a második oldal fog kialakulni éles sarok nagyobb alappal, kisebb pedig tompa. Ebben az esetben a merőleges oldal lesz a magasság is.

Az oldalfalak közepe közötti szegmens

Ha az oldalak felezőpontjait összekötjük, és a kapott szakasz párhuzamos az alapokkal és hossza egyenlő az összegük felével, akkor a kapott egyenes lesz a középső vonal. Ennek a távolságnak az értékét a következő képlet számítja ki:

Egy világosabb példa érdekében vegye figyelembe a középvonal használatával kapcsolatos problémát.

Feladat. A trapéz középvonala 7 cm, ismert, hogy az egyik oldal 4 cm-rel nagyobb, mint a másik (4. ábra). Keresse meg az alapok hosszát!

4. ábra Az alapok hosszainak megtalálásának feladatának megoldása

Megoldás. Legyen a kisebb alap DC egyenlő x cm-rel, majd a nagyobb bázis egyenlő (x+4) cm-rel. Innen a trapéz középvonalának képletével kapjuk:

Kiderült, hogy a kisebb alap DC 5 cm, a nagyobb pedig 9 cm.

Fontos! A középvonal fogalma kulcsfontosságú számos geometriai probléma megoldásában. Definíciója alapján számos bizonyítást szerkesztenek más ábrákra. A fogalom gyakorlati használata, talán többet racionális döntésés keresse meg a kívánt értéket.

A magasság meghatározása és megtalálásának módjai

Ahogy korábban említettük, a magasság egy olyan szegmens, amely 2Pi/4 szögben metszi az alapokat, és a legrövidebb távolság közöttük. Mielőtt megtalálná a trapéz magasságát, meg kell határozni, hogy milyen bemeneti értékeket adunk meg. A jobb megértés érdekében nézzük meg a problémát. Határozzuk meg a trapéz magasságát, feltéve, hogy az alapok 8 és 28 cm, az oldalak 12, illetve 16 cm.

5. ábra A trapéz magasságának megállapításának feladatának megoldása

Rajzoljunk az AD alapra merőlegesen DF és CH szakaszokat, amelyek a definíció szerint mindegyik az adott trapéz magassága lesz (5. ábra). Ebben az esetben az egyes oldalfalak hosszának ismeretében a Pitagorasz-tétel segítségével megtudjuk, hogy mennyivel egyenlő az AFD és BHC háromszög magassága.

Az AF és HB szegmensek összege megegyezik az alapok különbségével, azaz:

Legyen az AF hossza x cm, majd a HB szakasz hossza = (20 – x) cm. Mint megállapították, DF=CH, innen.

Ekkor a következő egyenletet kapjuk:

Kiderül, hogy az AFD háromszög AF szakasza 7,2 cm, innen számítjuk ki a DF trapéz magasságát ugyanazzal a Pitagorasz-tétellel:

Azok. az ADCB trapéz magassága 9,6 cm lesz, hogyan lehet biztos abban, hogy a magasság kiszámítása mechanikusabb folyamat, és a háromszögek oldalainak és szögeinek kiszámításán alapul? De számos geometriai feladatnál csak a szögek foka ismert, ebben az esetben a számításokat a belső háromszögek oldalainak arányán keresztül végezzük.

Fontos! Lényegében a trapézt gyakran két háromszögnek, vagy egy téglalap és egy háromszög kombinációjának tekintik. Az iskolai tankönyvekben található összes probléma 90% -ának megoldásához ezeknek az ábráknak a tulajdonságait és jellemzőit. A legtöbb képlet ehhez a GMT-hez a feltüntetett két típusú ábra „mechanizmusaira” támaszkodik.

Hogyan lehet gyorsan kiszámítani az alap hosszát

A trapéz alapjának megtalálása előtt meg kell határozni, hogy milyen paraméterek vannak már megadva, és hogyan kell azokat racionálisan használni. Egy gyakorlati megközelítés az ismeretlen alap hosszának kinyerése a középvonali képletből. A kép tisztább megértéséhez használjunk egy példafeladatot annak bemutatására, hogyan lehet ezt megtenni. Tudjuk, hogy a trapéz középvonala 7 cm, az egyik alap pedig 10 cm. Határozza meg a második alap hosszát!

Megoldás: Tudva, hogy a középvonal egyenlő az alapok összegének felével, azt mondhatjuk, hogy az összegük 14 cm.

(14 cm = 7 cm × 2). A feladat feltételeiből tudjuk, hogy az egyik egyenlő 10 cm-rel, így a trapéz kisebbik oldala 4 cm lesz (4 cm = 14 – 10).

Ezenkívül az ilyen jellegű problémák kényelmesebb megoldása érdekében Javasoljuk, hogy alaposan tanuljon meg olyan képleteket a trapézterületről, mint:

• középvonal;
• négyzet;
• magasság;
• Diagonal vonalok.

E számítások lényegének (pontosan a lényegének) ismeretében könnyen megtudhatja a kívánt értéket.

Videó: trapéz és tulajdonságai

Videó: a trapéz jellemzői

Következtetés

A vizsgált feladatpéldákból egyszerű következtetést vonhatunk le, hogy a trapéz a feladatszámítás szempontjából a geometria egyik legegyszerűbb alakja. Mert sikeres megoldás feladatok elvégzésekor először is ne döntse el, hogy a leírt objektumról milyen információk ismertek, milyen képletekben alkalmazhatók, és döntse el, hogy mit kell megtalálnia. Ennek az egyszerű algoritmusnak a követésével a geometriai alakzat használatával egyetlen feladat sem lesz könnyed.