2. fejezet
3) szám

Tegyünk egy pontot a levelezésbe.

Nevezzük a kialakult megfeleltetésű egységkört

számkör.

Ez a második geometriai modell a valós halmazhoz

számok. A diákok már ismerik az első modellt - a számsort. Eszik

analógia: a számegyenesre a megfelelési szabály (számról pontra)

szinte szó szerint ugyanaz. De van egy alapvető különbség - a forrás

fő nehézségek a számkörrel való munka során: egy egyenesen, mindegyik

pont megfelel az egyetlen szám, ez a körön nem így van. Ha

a kör egy számnak felel meg, akkor az összesnek

az űrlap számai

Hol az egységkör hossza, és egy egész szám

Rizs. 1

egy szám, amely az egyik vagy másik kör teljes köreinek számát jelzi

oldal.

Ez a pillanat nehéz a diákok számára. Fel kellene őket ajánlani

a dolog lényegének és a valódi feladatnak a megértése:

A stadion futópálya hossza 400 m, a futó 100 m-re található

a kiindulóponttól. Meddig ment? Ha csak futni kezdett, akkor

100 m-t futott; ha sikerült lefutnod egy kört, akkor - (

Két kör – () ; ha sikerült elfutnod

köröket, akkor az út a következő lesz (

) . Most már lehet összehasonlítani

kifejezéssel kapott eredményt

1. példa Milyen számoknak felel meg a pont?

számkör

Megoldás. Mivel a teljes kör hossza

Ennyi a negyedének hossza

És ezért - az űrlap összes számához

Hasonlóképpen megállapítható, hogy a pontok milyen számoknak felelnek meg

elsőnek, másodiknak, harmadiknak nevezik,

a számkör negyedik negyede.

Minden iskolai trigonometria a numerikus modellen alapul

körökben. A tapasztalat azt mutatja, hogy ennek a modellnek is vannak hiányosságai

a trigonometrikus függvények elsietett bevezetése nem teszi lehetővé a létrehozást

megbízható alap az anyag sikeres elsajátításához. Ezért nem

sietnie kell, és szánnia kell egy kis időt a következők átgondolására

öt különböző típusú számkör feladat.

Az első típusú feladatok. Pontokat keresni a számkörön,

adott számoknak megfelelő, egy szám törtrészében kifejezve

2. példa

számok

Megoldás. Osszuk el az ívet

félbe egy ponttal három egyenlő részre -

pontok

(2. ábra). Akkor

Szóval a szám

Matches pont

Szám
Példa

3.
tovább

számszerű

kör

pontok,

megfelelő számok:

Megoldás. kivitelezést végzünk

a) Az ív félretétele

(a hossza

) Ötször

pontból

negatív irányba,

pontot kapunk

b) Az ív félretétele

(a hossza

) hétszer től

pozitív irányban elválasztó pontot kapunk

az ív harmadik része

Megfelel a számnak

c) Az ív félretétele

(a hossza

) pontból ötször

pozitív értelemben

irányba, pontot kapunk

Az ív harmadik részének elválasztása. Ő és

számnak fog megfelelni

(a tapasztalat azt mutatja, hogy jobb nem halogatni

ötször

És 10-szer

E példa után célszerű két fő számszerű elrendezést megadni

körök: ezek közül az elsőn (3. kép) minden negyed félbe van osztva, be

a második (4. ábra) - három egyenlő részre. Ezek az elrendezések hasznosak az irodában

matematika.

Rizs. 2

Rizs. 3 Rizs. 4

Mindenképpen meg kell beszélni a tanulókkal a kérdést: mi lesz, ha

az elrendezések mindegyike nem pozitív, hanem negatív irányban mozog

irány? Az első elrendezésen a kiválasztott pontokat hozzá kell rendelni

egyéb "nevek": ill

stb.; a második elrendezésen:

Második típusú feladatok. Pontokat keresni a számkörön,

adott számoknak felel meg, amelyek nem egy szám törtrészében vannak kifejezve

4. példa Keresse meg a megfelelő pontokat a számkörön

számok 1; 2; 3; -5.

Megoldás.

Itt arra a tényre kell hagyatkoznunk

Ezért az 1. pont

íven helyezkedik el

közelebb a lényeghez

A 2. és 3. pont az íven van, az első az

A második közelebb van (5. ábra).

Menjünk egy kicsit részletesebben

az 5-ös számnak megfelelő pont megtalálásakor.

El kell mozdulni egy pontról

negatív irányba, pl. óramutató járásával megegyező

Rizs. 5

nyíl. Ha ebbe az irányba megy a lényeg

Kapunk

Ez azt jelenti, hogy az 5-ös számnak megfelelő pont található

kissé jobbra a ponttól

(lásd 5. ábra).

Harmadik típusú feladatok. Elemző feljegyzések készítése (kettős

egyenlőtlenségek) a számkör íveire.

Valójában ennek megfelelően cselekszünk

ugyanaz a terv, amelyet az 5-8

osztályok a számegyenes tanulására:

először keressen meg egy pontot szám szerint, majd a szerint

pont - egy szám, akkor a duplákat használjuk

egyenlőtlenségek az intervallumok ráírásához

számsor.

Vegyünk például egy nyitott

Hol van az első közepe

a számkör negyedei, és

- a közepe

második negyedévben (6. ábra).

Az ívet jellemző egyenlőtlenségek, i.e. képviselő

Javasoljuk az ív analitikai modelljének összeállítását két lépésben. Az elsőn

színpad alkotják a magot elemző rekord(ez a legfontosabb, amit követni kell

iskolásokat tanítani); adott ívre

A másodikon

színpadon, készítsen általános rekordot:

Ha ívről beszélünk

Aztán a kernel írásakor ezt figyelembe kell venni

() az íven belül helyezkedik el, ezért az ív elejére kell mozognia

negatív irányba. Ez azt jelenti, hogy az ív analitikai jelölésének magja

úgy néz ki, mint a

Rizs. 6

Az „analitikai mag

ívrekordok", "analitikai rekordok".

ívek" nem általánosan elfogadottak,

megfontolások.

Negyedik

feladatokat.

Keresés

kartéziánus

koordináták

számkör pontok, középpont

amelyet a rendszer kezdetével kombinálunk

koordináták

Először is nézzünk meg egy meglehetősen finom pontot, eddig

a jelenlegi iskolai tankönyvek gyakorlatilag nem említik.

A modell tanulmányozása „számkör egy koordinátán

repülőgép", a tanároknak tisztában kell lenniük a rájuk váró nehézségekkel

diákok itt. Ezek a nehézségek abból a tényből adódnak, hogy ennek tanulmányozása során

modell, az iskolásoktól megkívánják, hogy egy meglehetősen magas szintű

matematikai kultúra, mert egyszerre kell dolgozniuk

két koordinátarendszer - egy „görbevonalúban”, amikor az információ arról

a pont helyzetét a kör mentén veszik fel (szám

megfelel

kör pont

(); – egy pont „görbe vonalú koordinátája”, és in

Derékszögű derékszögű koordinátarendszer (a pontban

Mint minden pont

koordinátasík, van egy abszcissza és egy ordináta). A tanár dolga, hogy segítsen

iskolás gyerekeket e természetes nehézségek leküzdésében. Sajnálatos módon,

általában az iskolai tankönyvek nem figyelnek erre és a kezdetektől fogva

az első órákon felvételeket használnak

Nem tekintve, hogy a levél be

a tanuló elméjében egyértelműen az abszcisszához kapcsolódik a karteziánusban

derékszögű koordinátarendszerrel, és nem a numerikus szerint megtett távolsággal

út kerülete. Ezért a számkörrel való munka során nem szabad

szimbólumokat használjon

Rizs. 7

Térjünk vissza a negyedik feladattípushoz. Ez körülbelül a felvételről való átmenetről

rekordokat

(), azaz görbe vonalú koordinátáktól derékszögű koordinátákig.

Összeegyeztethető számkör derékszögű téglalap rendszerrel

ábrán látható koordináták. 7. Majd pont

lesz

a következő koordinátákat:

() () () (). Nagyon fontos

tanítsa meg az iskolásokat mindazon pontok koordinátáinak meghatározására, amelyek

két fő elrendezésen jelölve (lásd 3,4. ábra). Egy pontért

Minden arra megy ki

egy egyenlő szárú figyelembevétele derékszögű háromszög hypotenusával

Lábai egyenlők

Tehát a koordináták

). Hasonló a helyzet a pontokkal

De az egyetlen különbség az, hogy figyelembe kell venni

abszcissza és ordináta jelek. Kimondottan:

Mire kell emlékezniük a tanulóknak? Csak hogy a modulok abszcissza és

az összes negyed felezőpontjában lévő ordináták egyenlőek

És alá kell tudniuk írni

határozza meg minden ponthoz közvetlenül a rajzból.

Egy pontért

Minden a téglalap figyelembevételén múlik

háromszög 1-es hipotenusszal és szöggel

(9. ábra). Aztán a láb

ellentétes szög

Egyenlő lesz

szomszédos

√

Eszközök,

pont koordinátái

Hasonló a helyzet a ponttal is

csak a lábak „cserélnek helyet”, és ezért

Rizs. 8

Rizs. 9

kapunk

). Ez az értékek

(jelek pontossága) és lesz is

„kiszolgálja” a második elrendezés összes pontját (lásd 4. ábra), a pontok kivételével

mint abszcisszák és ordináták. A memorizálás javasolt módja: „hol röviden,

; ahol hosszabb, ott

5. példa. Keresse meg egy pont koordinátáit

(lásd 4. ábra).

Megoldás. Pont

Közelebb található a függőleges tengelyhez, mint ahhoz

vízszintes, azaz az abszcissza modulusa kisebb, mint az ordinátájának modulusa.

Ez azt jelenti, hogy az abszcissza modul egyenlő

Az ordináta modul egyenlő

Jelek mindkettőben

esetek negatívak (harmadik negyedév). Következtetés: pont

Koordináták vannak

A negyedik típusú problémákat keressük Derékszögű koordináták mindenki

az említett első és második elrendezésben bemutatott pontok

Valójában az ilyen típusú feladatok során felkészítjük a tanulókat

trigonometrikus függvények értékeinek kiszámítása. Ha minden itt van

kellően megbízhatóan dolgozott, majd az absztrakció új szintjére való átmenet

(ordináta - szinusz, abszcissza - koszinusz) kevésbé lesz fájdalmas, mint

A negyedik típusba tartoznak az ilyen típusú feladatok: egy pontért

keresse meg a derékszögű koordináták jeleit

A megoldás ne okozzon nehézséget a tanulóknak: szám

pontnak felel meg

A negyedik negyed, vagyis.

Ötödik típusú feladatok. Pontok keresése a számkörön azáltal

adott koordináták.

6. példa. Keress ordinátapontokat a számkörön

írd le, hogy milyen számokra vonatkoznak.

Megoldás. Egyenes

A számkört pontokban metszi
(11. ábra). A második elrendezéssel (lásd 4. ábra) megállapítjuk, hogy a pont

számnak felel meg

Így ő

megfelel az űrlap összes számának
számnak felel meg

És az azt jelenti

az űrlap összes száma

Válasz:

7. példa. Keresse meg a numerikusan

kör pont abszcissza

írd le, hogy milyen számokra vonatkoznak.

Megoldás. Egyenes
√

pontokban metszi a számkört

– a második és harmadik negyed közepe (10. kép). Az első használata

elrendezés határozta meg azt a pontot

számnak felel meg

Ami azt jelenti, hogy mindenki

az űrlap számai

számnak felel meg

Ami azt jelenti, hogy mindenki

az űrlap számai

Válasz:

Meg kell mutatni a második lehetőséget

válasz jegyzetekre például 7. Végül is pont

számnak felel meg

Azok. az űrlap összes száma

kapunk:

Rizs. 10

11. ábra

Hangsúlyozzuk a tagadhatatlan fontosságot

ötödik típusú feladatok. Valójában mi tanítunk

iskolások

döntés

protozoák

trigonometrikus egyenletek: a 6. példában

az egyenletről van szó

És a példában

– az egyenletről

fontos, hogy megtanítsuk megérteni a dolog lényegét

iskolások típusegyenleteket oldanak meg

a számkör mentén,

szánjon rá időt, hogy továbblépjen a képletekre

A tapasztalat azt mutatja, hogy ha az első szakaszban (dolgozzon tovább

számkör) nincs elég megbízhatóan kidolgozva, akkor a második szakasz

(képletekkel végzett munka) az iskolások formálisan érzékelik, ami

Természetesen ezen túl kell lépnünk.

A 6. és 7. példához hasonlóan a számkörön kell találni

pontok minden „fő” ordinátával és abszcisszával

Speciális tantárgyakként érdemes kiemelni a következőket:

1. megjegyzés. Propaedeutikai értelemben előkészítő

a 9. osztályos geometria tantárgy „Kör hossza” témakörben végzett munka. Fontos

tanács: a gyakorlatok rendszerének tartalmaznia kell a javasolthoz hasonló feladatokat

lent. Az egységkör négy egyenlő részre van osztva pontokkal

egy ívet egy pont, az ívet pedig pontok osztják ketté

három egyenlő részre (12. ábra). Mekkora az ívek hossza?

(Úgy gondolják, hogy a kört pozitívan járják be

irány)?

Rizs. 12

Az ötödik típusú feladatok közé tartozik az olyan feltételekkel végzett munka is, mint pl

eszközök
Nak nek

döntés

protozoák

A trigonometrikus egyenlőtlenségeket is fokozatosan „szelektáljuk”.

öt leckét és csak a hatodik leckében kell a szinusz és a definíciókat

koszinusz, mint egy számkör pontjának koordinátái. Ahol

Célszerű minden típusú problémát újra megoldani az iskolásokkal, de a

a bevezetett jelölések felhasználásával, javaslatot tesz az ilyenek elvégzésére

például feladatok: számíts

Oldja meg az egyenletet

egyenlőtlenség

stb. Az első leckéken ezt hangsúlyozzuk

trigonometria legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekés egyenlőtlenségek

ők nem célja képzés, de használják felszerelés Mert

a fő dolog elsajátítása - a szinusz és a koszinusz meghatározása a pontok koordinátáiként

számkör.

Legyen a szám

pontnak felel meg

számkör. Aztán az abszcissza

hívott a szám koszinusza

és ki van jelölve

Az ordinátáját pedig úgy hívják a szám szinusza

és ki van jelölve. (13. ábra).

Ebből a meghatározásból azonnal megtehetjük

állítsa be a szinusz és a koszinusz jeleit

negyedek: szinuszra

A koszinuszhoz

Szenteljen ennek egy egész leckét (például így

elfogadva) aligha tanácsos. Ne tedd

kényszeríti az iskolásokat ezeknek a jeleknek a memorizálására: mind mechanikus

a memorizálás, a memorizálás egy erőszakos technika, amellyel a tanulók,

Amikor az iskolában trigonometriát tanul, minden diák szembesül a „számkör” nagyon érdekes fogalmával. Az, hogy a tanuló mennyire tanulja meg később a trigonometriát, attól függ, hogy az iskolai tanár képes-e elmagyarázni, mi az, és miért van rá szükség. Sajnos nem minden tanár tudja egyértelműen elmagyarázni ezt az anyagot. Ennek eredményeként sok diák még a jelölés módját sem zavarja pontok a számkörön. Ha elolvassa ezt a cikket a végéig, megtanulja, hogyan kell ezt probléma nélkül megtenni.

Tehát kezdjük. Rajzoljunk egy kört, amelynek sugara 1. Jelöljük ennek a körnek a „jobboldali” pontját betűvel O:

Gratulálok, most rajzoltál egységkör. Mivel ennek a körnek a sugara 1, a hossza .

Minden valós szám hozzárendelhető a ponttól induló számkör mentén a pálya hosszához O. Az óramutató járásával ellentétes mozgásirányt pozitív iránynak vesszük. Negatív esetén – az óramutató járásával megegyezően:

Pontok elhelyezkedése a számkörön

Mint már megjegyeztük, a számkör (egységkör) hossza egyenlő . Hol lesz akkor a szám ezen a körön? Nyilván a lényegből O az óramutató járásával ellentétes irányban meg kell haladnunk a kör hosszának felét, és a kívánt pontban találjuk magunkat. Jelöljük betűvel B:

Vegye figyelembe, hogy ugyanazt a pontot érheti el, ha egy félkört a negatív irányba sétál. Ezután ábrázoljuk a számot az egységkörön. Vagyis a számok ugyanannak a pontnak felelnek meg.

Sőt, ugyanez a pont megfelel a , , , és általában, végtelen halmaz alakban felírható számok, ahol , azaz az egész számok halmazába tartozik. Mindezt azért, mert a lényeg B tetszőleges irányban megteheti a „világ körül” utazást (összeadhatja vagy kivonhatja a kerületet), és eljuthat ugyanahhoz a ponthoz. Egy fontos következtetést kapunk, amelyet meg kell érteni és emlékezni kell.

Minden szám a számkör egyetlen pontjának felel meg. De a számkör minden pontja végtelen számú számnak felel meg.

Most osszuk fel a számkör felső félkörét ívekre egyenlő hosszúságú pont C. Könnyen belátható, hogy az ív hossza O.C. egyenlő . Most halasszuk el a lényeget C azonos hosszúságú ív az óramutató járásával ellentétes irányban. Ennek eredményeként rátérünk a lényegre B. Az eredmény egészen várható, hiszen . Fektessük ezt az ívet ismét ugyanabba az irányba, de most a pontból B. Ennek eredményeként rátérünk a lényegre D, amely már megfelel a számnak:

Jegyezzük meg még egyszer, hogy ez a pont nem csak a számnak felel meg, hanem például a számnak is, mert ezt a pontot a ponttól távolodva lehet elérni. O negyedkör az óramutató járásával megegyező irányban (negatív irány).

És általánosságban ismét megjegyezzük, hogy ez a pont végtelen sok számnak felel meg, amelyek alakba írhatók . De a formába is írhatók. Vagy, ha úgy tetszik, formájában. Mindezek a rekordok teljesen egyenértékűek, és beszerezhetők egymástól.

Most osszuk fel az ívet O.C. fél pont M. Most nézze meg, mekkora az ív hossza OM? Így van, az ív fele O.C.. Azaz . Milyen számoknak felel meg a pont? M a számkörön? Biztos vagyok benne, hogy most rájön, hogy ezek a számok felírhatók .

De meg lehet csinálni másként is. Vessünk . Akkor azt kapjuk . Vagyis ezek a számok a formába írhatók . Ugyanezt az eredményt kaphatjuk a számkör használatával is. Mint már mondtam, mindkét rekord egyenértékű, és beszerezhetők egymástól.

Most könnyedén adhat példát azokra a számokra, amelyeknek a pontok megfelelnek N, PÉs K a számkörön. Például a számok , és:

Gyakran a minimális pozitív számokat veszik figyelembe a számkör megfelelő pontjainak kijelölésére. Bár ez egyáltalán nem szükséges, pont N, mint már tudja, végtelen számú más számnak felel meg. Beleértve például a számot.

Ha megtöri az ívet O.C. három egyenlő ívre pontokkal SÉs L, szóval ez a lényeg S pontok között fog feküdni OÉs L, majd az ív hosszát OS egyenlő lesz , és az ív hossza OL egyenlő lesz . A lecke előző részében szerzett ismereteit felhasználva könnyen kitalálhatod, hogyan sikerült a számkör fennmaradó pontjai:

A számok nem a π többszörösei a számkörön

Tegyük most fel magunknak a kérdést: a számegyenesen hol jelöljük az 1-es számnak megfelelő pontot? Ehhez az egységkör „legjobb” pontjáról kell kiindulni Oábrázoljunk egy ívet, amelynek hossza egyenlő lenne 1-gyel. Csak megközelítőleg tudjuk jelezni a kívánt pont helyét. Folytassuk a következőképpen.

Ebben a cikkben részletesen elemezzük a számkör meghatározását, megtudjuk a fő tulajdonságát, és elrendezzük az 1, 2, 3 számokat stb. Arról, hogyan jelölhet meg más számokat a körön (például \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) érti .

Számkör egységsugarú körnek nevezzük, amelynek pontjai megfelelnek , az alábbi szabályok szerint rendezve:

1) Az origó a kör jobb szélső pontjában van;

2) Az óramutató járásával ellentétes irányban - pozitív irány; az óramutató járásával megegyező irányba – negatív;

3) Ha a \(t\) távolságot pozitív irányban ábrázoljuk a körön, akkor egy \(t\) értékű ponthoz jutunk;

4) Ha a \(t\) távolságot negatív irányban ábrázoljuk a körön, akkor egy \(–t\) értékű ponthoz jutunk.

Miért hívják a kört számkörnek?
Mert számok vannak rajta. Ily módon a kör hasonló a számtengelyhez - a körön, akárcsak a tengelyen, minden számnak van egy adott pontja.

Miért kell tudni, mi az a számkör?
A számkör segítségével meghatározzuk a szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek értékeit. Ezért ismerni a trigonometriát és letette az egységes államvizsgát 60+ ponthoz meg kell értened, mi az a számkör, és hogyan kell rá pontokat helyezni.

Mit jelentenek a meghatározásban a „...az egységsugár...” szavak?
Ez azt jelenti, hogy ennek a körnek a sugara egyenlő \(1\). És ha megszerkesztünk egy ilyen kört, amelynek középpontja az origóban van, akkor az \(1\) és \(-1\) pontokban metszi a tengelyeket.

Nem kell kicsire rajzolni, a tengelyek mentén változtathatod a felosztások „méretét”, akkor nagyobb lesz a kép (lásd lent).

Miért pont egy a sugár? Ez kényelmesebb, mert ebben az esetben a kerület \(l=2πR\) képlettel történő kiszámításakor a következőt kapjuk:

A számkör hossza \(2π\) vagy hozzávetőlegesen \(6,28\).

Mit jelent az, hogy „...melynek pontjai valós számoknak felelnek meg”?
Mint fentebb említettük, bármely valós szám számkörén biztosan ott lesz a „helye” - egy pont, amely megfelel ennek a számnak.

Miért határozzuk meg az origót és irányt a számkörön?
A számkör fő célja, hogy minden számhoz egyedileg meghatározza a pontját. De hogyan határozhatja meg, hogy hová tegye a pontot, ha nem tudja, honnan számoljon, és hová mozduljon?

Itt fontos, hogy ne keverjük össze az origót a koordinátaegyenesen és a számkörön – ez két különböző referenciarendszer! És ne keverje össze a \(1\)-t az \(x\) tengelyen és a \(0\)-t a körön - ezek különböző objektumok pontjai.

Mely pontok felelnek meg az \(1\), \(2\) stb. számoknak?

Emlékszel, feltételeztük, hogy a számkör sugara \(1\)? Ez lesz az egységszegmensünk (a számtengellyel analóg módon), amelyet a körön ábrázolunk.

Az 1-es számnak megfelelő számkör pontjának megjelöléséhez 0-tól a sugárral egyenlő távolságra kell elmenni a pozitív irányba.

A \(2\) számnak megfelelő kör pontjának megjelöléséhez két sugárral egyenlő távolságot kell megtennie az origótól, így a \(3\) három sugárral egyenlő távolságot jelent, stb.

Ha ezt a képet nézi, 2 kérdés merülhet fel:
1. Mi történik, ha a kör „véget ér” (azaz teljes fordulatot teszünk)?
Válasz: menjünk a második körre! És ha a másodiknak vége, megyünk a harmadikhoz és így tovább. Ezért egy körre végtelen számú szám rajzolható.

2. Hol lesznek negatív számok?
Válasz: ott! Ezek is elrendezhetők, nullától számítva a szükséges sugarakat, de most negatív irányba.

Sajnos a számkörön nehéz egész számokat jelölni. Ennek az az oka, hogy a számkör hossza nem lesz egyenlő egy egész számmal: \(2π\). És a legkényelmesebb helyeken (a tengelyekkel való metszéspontokon) törtek is lesznek, nem egészek

Bemutatunk egy videóleckét a „Számkör” témában. Meghatározzuk, hogy mi a szinusz, koszinusz, érintő, kotangens és függvények y= bűn x, y= kötözősaláta x, y= tg x, y= ctg x bármely numerikus argumentumhoz. A számok és az egységszámkör pontjai közötti megfelelés szabványos problémáit úgy tekintjük, hogy minden számhoz egyetlen pontot találjunk, és fordítva, minden ponthoz megtaláljuk a neki megfelelő számhalmazt.

Témakör: A trigonometrikus függvények elméletének elemei

lecke: Számkör

Közvetlen célunk az, hogy meghatározzuk trigonometrikus függvények: sinus, koszinusz, tangens, kotangens-

Numerikus argumentum koordináta egyenesre vagy körre ábrázolható.

Az ilyen kört numerikus vagy egységkörnek nevezzük, mert a kényelem kedvéért vegyen egy kört vele

Például, ha adott egy pontot, jelölje meg a koordinátavonalon

és tovább számkör.

A számkörrel való munka során egyetértettek abban, hogy az óramutató járásával ellentétes mozgás pozitív, az óramutató járásával megegyező irányban negatív irány.

Tipikus feladatok - meg kell határozni a koordinátákat adott pont vagy fordítva, keressen meg egy pontot a koordinátái alapján.

A koordináta egyenes egy az egyhez megfeleltetést hoz létre a pontok és a számok között. Például egy szám megfelel az A pontnak koordinátával

Minden koordinátával rendelkező B pontot csak egy szám jellemez - a 0-tól a plusz- vagy mínuszjellel vett távolságot.

A számkörön az egy-egy levelezés csak egy irányba működik.

Például ott van a B pont koordináta kör(2. ábra), az ívhossz 1, azaz. ez a pont 1-nek felel meg.

Adott egy kör, a kör hossza If akkor az egységkör hossza.

Ha összeadjuk, ugyanazt a B pontot kapjuk, akkor szintén B pontba jutunk, kivonjuk - szintén B pontot.

Tekintsük a B pontot: ívhossz = 1, ekkor a számok a számkör B pontját jellemzik.

Így az 1-es szám a számkör egyetlen pontjának felel meg - B pontnak, a B pontnak pedig az alak végtelen számú pontja. .

A számkörre igaz a következő:

Ha t. M Ha a számkör egy számnak felel meg, akkor az alakzat számának is megfelel

A számkör körül tetszőleges számú teljes fordulatot tehet pozitív vagy negatív irányba - a lényeg ugyanaz. Ezért a trigonometrikus egyenleteknek végtelen számú megoldása van.

Például adott D pont. Melyek azok a számok, amelyeknek megfelel?

Megmérjük az ívet.

a D pontnak megfelelő összes szám halmaza.

Nézzük meg a számkör főbb pontjait.

A teljes kerület hossza.

Azok. több koordináta rögzítése eltérő lehet .

Mérlegeljük tipikus feladatok a számkörön.

1. Adott: . Keresse: egy pont a számkörön.

Válasszuk ki a teljes részt:

Meg kell találni a pontot a számkörön. , Akkor .

Ez a készlet a pontot is tartalmazza.

2. Adott: . Keresse: egy pont a számkörön.

Meg kell találni a t.

t.is ehhez a halmazhoz tartozik.

A számok és a számkör pontjai közötti megfeleltetés szabványos feladatainak megoldásával azt találtuk, hogy minden számhoz egyetlen pontot találhatunk, minden ponthoz pedig olyan számhalmazt, amelyeket egy adott pont jellemez.

Osszuk az ívet három egyenlő részre, és jelöljük meg az M és N pontot.

Keressük meg ezeknek a pontoknak az összes koordinátáját.

Tehát a célunk a trigonometrikus függvények meghatározása. Ehhez meg kell tanulnunk függvény argumentum megadását. Megnéztük az egységkör pontjait, és megoldottunk két tipikus feladatot - találtunk egy pontot a számkörön, és felírtuk a pont összes koordinátáját az egységkörön.

1. Mordkovich A.G. és mások Algebra 9. évfolyam: Tankönyv. Általános műveltségre Intézmények.- 4. sz. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. és egyebek Algebra 9. osztály: Feladatkönyv tanulóknak oktatási intézmények/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina és mások - 4. kiadás. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. évfolyam: oktatási általános iskolai tanulók számára. intézmények / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. kiadás, rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. osztály. 16. kiadás - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. osztály. 2 óra alatt 1. rész Tankönyv az általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. kiadás, törölve. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebra. 9. osztály. 2 részben 2. rész Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina és mások; Szerk. A. G. Mordkovich. — 12. kiadás, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

Mordkovich A.G. és mások Algebra 9. évfolyam: Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina stb. - 4. kiad. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

A videós oktatóanyagok a leghatékonyabb oktatási eszközök közé tartoznak, különösen az ilyenek iskolai diszciplínák, mint a matematika. Ezért a szerző ebből az anyagból csak hasznos, fontos és hozzáértő információkat gyűjtött egyetlen egésszé.

Ez a lecke 11:52 perces. Szinte ugyanennyi időbe telik egy tanárnak, hogy egy adott témában új tananyagot magyarázzon el az órán. Bár a videóóra fő előnye az lesz, hogy a tanulók figyelmesen hallgatják, miről beszél a szerző, anélkül, hogy idegen témák és beszélgetések elterelnék őket. Végül is, ha a tanulók nem figyelnek figyelmesen, lemaradnak az óra egy fontos pontjáról. És ha a tanár maga magyarázza el az anyagot, akkor a diákjai elvont témákról folytatott beszélgetéseikkel könnyen elvonhatják a figyelmet a fő dologról. És persze kiderül, melyik módszer lesz racionálisabb.

A szerző az óra elejét azoknak a függvényeknek az ismétlésének szenteli, amelyeket a hallgatók korábban az algebra tanfolyamon ismertek. És az első, aki elkezdi tanulmányozni a trigonometrikus függvényeket. Ezek mérlegelése és tanulmányozása újat igényel matematikai modell. Ez a modell pedig számkörré válik, ami pontosan az óra témájában van megfogalmazva. Ehhez bemutatjuk az egységkör fogalmát, és megadjuk annak meghatározását. Az ábrán a szerző bemutatja egy ilyen kör összes összetevőjét, és azt, hogy mi lesz hasznos a diákok számára a további tanuláshoz. Az ívek negyedeket jeleznek.

Ezután a szerző a számkör figyelembevételét javasolja. Itt azt a megjegyzést teszi, hogy kényelmesebb az egységkör használata. Ez a kör megmutatja, hogyan kapjuk meg az M pontot, ha t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Ezután a szerző emlékezteti a tanulókat, hogyan találják meg a kör kerületét. Ezután kiírja az egységkör hosszát. Javasoljuk ezen elméleti adatok gyakorlati alkalmazását. Ehhez vegyünk egy példát, ahol meg kell találni egy olyan pontot a körön, amely megfelel bizonyos számértékeknek. A példa megoldásához egy kép formájú illusztráció, valamint a szükséges matematikai jelölések társulnak.

A második példa feltétele szerint a számkörön kell pontokat találni. A teljes megoldást itt is megjegyzések, illusztrációk és matematikai jelölések kísérik. Ez hozzájárul a tanulók matematikai műveltségének fejlesztéséhez és fejlesztéséhez. A harmadik példa is hasonlóan épül fel.

Ezután a szerző megjegyzi azokat a számokat a körön, amelyek gyakrabban fordulnak elő, mint mások. Itt egy számkör két modelljének elkészítését javasolja. Ha mindkét elrendezés készen van, akkor a következő, negyedik példát vesszük figyelembe, ahol meg kell találni az 1-es számnak megfelelő pontot a számkörön. A példa után megfogalmazunk egy állítást, amely szerint megtalálhatjuk a számnak megfelelő M pontot. a t szám.

Ezután egy megjegyzés kerül bevezetésre, amely szerint a tanulók megtanulják, hogy a „pi” szám megfelel minden olyan számnak, amely egy adott pontra esik, amikor az áthalad a teljes körön. Ezt az információt támasztja alá az ötödik példa. Megoldása logikailag helyes érvelést és a helyzetet illusztráló rajzokat tartalmaz.

SZÖVEGDEKÓDOLÁS:

SZÁMKÖR

Korábban analitikus kifejezésekkel definiált függvényeket tanulmányoztunk. És ezeket a függvényeket algebrainak nevezték. De az iskolai matematika tanfolyamon más osztályok függvényeit tanulmányozzák, nem az algebraiakat. Kezdjük el tanulni a trigonometrikus függvényeket.

A trigonometrikus függvények bevezetéséhez szükségünk van egy új matematikai modellre - a számkörre. Tekintsük az egységkört. Egységnek nevezzük azt a kört, amelynek sugara megegyezik a skála szegmensével, konkrét mértékegységek megadása nélkül. Egy ilyen kör sugarát 1-nek tekintjük.

Egy egységkört fogunk használni, amelyben a CA és DB (ce a és de be) vízszintes és függőleges átmérők vannak megrajzolva (lásd 1. ábra).

Az első negyednek AB arcot, a második negyedet az arc BC-nek, a harmadik negyedévnek az arc CD-nek, a negyedik negyedévnek az arc DA-nak nevezzük.

Tekintsük a számkört. Általában minden kört számkörnek tekinthetünk, de kényelmesebb erre a célra az egységkört használni.

DEFINÍCIÓ Adottunk egy egységkört, és rajta van az A kezdőpont - a vízszintes átmérő jobb vége. Minden t (te) valós számot társítsunk a kör egy pontjához a következő szabály szerint:

1) Ha t>0 (te nagyobb nullánál), akkor az A pontból az óramutató járásával ellentétes irányba (a kör pozitív iránya) haladva egy t hosszúságú AM (a em) utat írunk le a kör mentén. Az M pont a kívánt M(t) pont lesz (em te-ből).

2) Ha t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) A t = 0 számhoz rendeljük az A pontot.

Egy meghatározott megfeleléssel rendelkező egységkört (a valós számok és a kör pontjai között) számkörnek nevezzük.

Ismeretes, hogy az L (el) kerületet az L = 2πR képlettel számítjuk ki (el egyenlő két pi er), ahol π≈3,14, R a kör sugara. Egy R=1 cm egységkör esetén ez azt jelenti, hogy L=2π≈6,28 cm (el egyenlő két pi-vel, körülbelül 6,28).

Nézzünk példákat.

PÉLDA 1. Keressünk egy pontot a számkörön, amely megfelel az adott számnak: ,.(pi kettővel, pi, három pi kettővel, két pi, tizenegy pi kettővel, hét pi, mínusz öt pi kettővel)

Megoldás. Az első hat szám pozitív, ezért a kör megfelelő pontjainak megtalálásához egy adott hosszúságú utat kell bejárni a kör mentén, az A pontból pozitív irányba haladva. Az egységkör minden negyedének hossza egyenlő. Ez azt jelenti, hogy AB =, vagyis a B pont a számnak felel meg (lásd 1. ábra). AC = azaz a C pont a számnak felel meg AD = vagyis a D pont a számnak Az A pont pedig ismét a számnak felel meg, mert miután végigsétáltunk egy utat a körön, a kiindulási pontnál kötöttünk ki. A.

Nézzük meg, hol lesz a pont.Mivel már tudjuk, hogy mekkora a kör hossza, ezért lecsökkentjük a formára (négy pi plusz három pi kettővel). Vagyis az A pontból pozitív irányba haladva egy egész kört kétszer kell leírni (4π hosszú út), és emellett egy hosszú utat, amely a D pontban végződik.

Mi történt? Ez 3∙2π + π (háromszor kettő pi plusz pi). Ez azt jelenti, hogy az A pontból pozitív irányba haladva háromszor le kell írni egy teljes kört, valamint egy π hosszúságú utat, amely a C pontban ér véget.

Ahhoz, hogy a számkörben egy negatív számnak megfelelő pontot találjunk, az A pontból a kör mentén negatív irányban (az óramutató járásával megegyezően) egy hosszú utat kell végigmenni, és ez 2π +-nak felel meg. Ez az út a D pontban ér véget.

2. PÉLDA Keressen pontokat a számkörön (pi hat, pi négy, pi három).

Megoldás. Az AB ívet kettéosztva E pontot kapunk, ami megfelel. És az AB ívet három egyenlő részre osztva F és O pontokkal, azt kapjuk, hogy az F pont megfelel, a T pont pedig

(lásd a 2. ábrát).

3. PÉLDA Keressen pontokat a számkörön (mínusz tizenhárom pi néggyel, tizenkilenc pi: hat).

Megoldás. Az A pontból (pi négyszeres) hosszúságú AE (a em) ív tizenháromszor negatív irányba történő lerakásával megkapjuk a H pontot (hamu) - a BC ív közepét.

Ha az A pontból tizenkilencszer pozitív irányban lerakunk egy (pi hatszoros) AF ívet, eljutunk az N (en) ponthoz, amely a harmadik negyedhez (CD ív) tartozik, és CN egyenlő az ív harmadik részével. arc CD (se de).

(lásd a 2. ábrát).

Leggyakrabban a számkörön kell keresni azokat a pontokat, amelyek megfelelnek a számoknak (pi hat, pi négy, pi három, pi kettő), valamint azokat, amelyek ezek többszörösei, azaz (hét pi hat, öt pi négy, négy pi három, tizenegy pi kettő). Ezért a gyors navigáció érdekében célszerű a számkör két elrendezését elkészíteni.

Az első elrendezésen a számkör minden negyedét két egyenlő részre osztjuk, és az eredményül kapott pontok mellé írjuk a „nevüket”:

A második elrendezésen minden negyed három egyenlő részre van osztva, és a kapott tizenkét pont mindegyikéhez felírjuk a „nevüket”:

Ha az óramutató járásával megegyező irányba haladunk, a rajzokon ugyanazokat a „neveket” kapjuk a pontoknak, csak mínusz értékkel. Az első elrendezéshez:

Hasonlóképpen, ha a második elrendezésen halad az óramutató járásával megegyező irányba az O ponttól.

4. PÉLDA Keresse meg a számkörön azokat a pontokat, amelyek megfelelnek az 1 (egy) számoknak!

Megoldás. Tudva, hogy π≈3,14 (pi megközelítőleg egyenlő három pont tizennégy századdal), ≈ 1,05 (pi szorozva három körülbelül egy pont ötszázaddal), ≈ 0,79 (pi szor négy körülbelül nulla pont hetvenkilenc századdal). Eszközök,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

A következő állítás igaz: ha a számkör egy M pontja egy t számnak felel meg, akkor bármely t + 2π alakú számnak felel megk(te plusz kettő pi ka), ahol ka tetszőleges egész szám és kϵ Z(ka Zethez tartozik).

Ezt az állítást felhasználva arra a következtetésre juthatunk, hogy a pont megfelel minden t =+ 2πk alakú pontnak (te egyenlő pi szorozva három plusz két csúcs), ahol kϵZ ( ka a zet-hez tartozik), a ponthoz pedig (öt pi x négy) - t = + 2πk alakú pontok (te egyenlő öt pivel négyszer plusz két pi ka), ahol kϵZ ( ka zethez tartozik) és így tovább.

5. PÉLDA Keresse meg a számkör pontját: a) ; b) .

Megoldás. a) A következőket kapjuk: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π. (húsz pi szor három egyenlő húszszor három pi egyenlő hat plusz kétharmaddal, pi-vel megszorozva hat pi plusz két pi szor három egyenlő két pi-szer három plusz háromszor két pi).

Ez azt jelenti, hogy a szám a számkör ugyanazon pontjának felel meg, mint a szám (ez a második negyed) (lásd a második elrendezést a 4. ábrán).

b) Van: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (mínusz harmincöt pi × négy egyenlő mínusz nyolc plusz háromnegyedszer pi egyenlő mínusz három pi × négy plusz két pi × mínusz négy ). Vagyis a szám a számkör ugyanazon pontjának felel meg, mint a szám