Az egységes matematika államvizsga profilszintjének 13. feladatában egy egyenletet kell megoldani, de megnövelt bonyolultságú, mivel a feladatok a 13. feladattal kezdődnek. korábbi szint C, és ezt a feladatot C1-nek nevezhetjük. Térjünk át a tipikus feladatok példáira.

A matematika egységes államvizsga 13. számú feladatainak jellemző lehetőségeinek elemzése profilszinten

A feladat első verziója (demóverzió 2018)

a) Oldja meg a cos2x = 1-cos(n/2-x) egyenletet

b) Keresse meg ennek az egyenletnek az összes gyökerét, intervallumhoz tartozó[-5p/2;-p].

Megoldási algoritmus:

1. t
2. Elvégezzük a fordított helyettesítést, és megoldjuk a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket.

1. Számtengelyt építünk.
2. Gyökereket alkalmazunk rá.
3. Jelölje meg a szegmens végeit.
4. Kiválasztjuk azokat az értékeket, amelyek az intervallumon belül vannak.
5. Leírjuk a választ.

Megoldás:

1. Alakítsa át az egyenlőség jobb oldalát a cos() redukciós képlet segítségével π/ 2−x)=bűn x. Nekünk van:

сos2x = 1 – sin x.

Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát a szinuszos dupla argumentumú koszinusz képlet segítségével:

cos(2x)=1−2sin 2 x

A következő egyenletet kapjuk: 1−sin 2 x=1− sin x

Most már csak egy van az egyenletben trigonometrikus függvény bűn x.

2. Írja be a helyettesítőt: t= bűn x. Az eredmény megoldása másodfokú egyenlet:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 vagy -2t + 1 = 0,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Végezzen fordított cserét:

bűn x= 0 vagy sin x = ½

Oldjuk meg ezeket az egyenleteket:

bűn x =0↔x=πn, nЄZ

bűn( x)=1/2↔x= (-1) n ∙( π/6)+πn, nЄZ.

Következésképpen két megoldáscsaládot kapunk.

1. Az előző bekezdésben két családot kaptunk, amelyek mindegyikének végtelen sok megoldása van. Ki kell deríteni, hogy melyikük van egy adott intervallumban. Ehhez számegyenest építünk.

2. Mindkét család gyökereit alkalmazzuk rá, zölddel (az első) és kékkel (a második) jelölve.

3. Jelölje be pirossal a rés végeit.

4. A jelzett intervallumban három gyök található, amelyek három gyök: −2 π ;−11π/ 6 és -7 π/ 6.

A) πn, nЄZ;(-1) n ∙( π/6)+πn, nЄZ

b) −2 π ;−11π 6;−7π 6

A feladat második változata (Jascsenkotól, 1. sz.)

Megoldási algoritmus:

1. Ezt a függvényt egy változóra cseréljük tés oldja meg a kapott másodfokú egyenletet.
2. Elvégezzük a fordított helyettesítést, és megoldjuk a legegyszerűbb exponenciális, majd trigonometrikus egyenleteket.

1. Mi építkezünk Koordináta síkés egy egységsugarú kört rajta.
2. Jelöljük azokat a pontokat, amelyek a szakasz végeit jelentik.
3. Kiválasztjuk azokat az értékeket, amelyek a szegmensen belül vannak.
4. Leírjuk a választ.

Megoldás:

1. Bevezetjük a t = 4 cos x helyettesítést. akkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

A másodfokú egyenletet diszkriminancia- és gyökképletekkel oldjuk meg:

D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t 1 = (9–7)/8= ¼, t 2 = (9+7)/8=2.

3. Visszatérés az x változóhoz:

1. Szerkesszünk meg egy koordinátasíkot és egy egységsugarú kört!

2. Jelölje be azokat a pontokat, amelyek a szakasz végeit jelentik.

3. Válassza ki azokat az értékeket, amelyek a szegmensen belül vannak.

Ezek a gyökerek. Ketten vannak.

A)

b)

A feladat harmadik változata (Jascsenkotól, 6. sz.)

Megoldási algoritmus:

1. Segítséggel trigonometrikus képletek Az egyenletet olyan alakra redukáljuk, amely csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz.
2. Ezt a függvényt egy változóra cseréljük tés oldja meg a kapott másodfokú egyenletet.
3. Elvégezzük a fordított helyettesítést, és megoldjuk a legegyszerűbb exponenciális, majd trigonometrikus egyenleteket.

1. Minden esetre megoldjuk az egyenlőtlenségeket.
2. Leírjuk a választ.

Megoldás:

1. Redukciós képletek használata .

2. Akkor adott egyenlet a következő formában lesz:

3. Bevezetünk egy cserét . Kapunk:

Megoldunk egy közönséges másodfokú egyenletet diszkriminancia- és gyökképletekkel:

itthon

Hogyan oldjuk meg a 13. számú egységes államvizsga feladatot az exponenciális és logaritmikus egyenletekről | 1C: Oktató

Mit kell tudni az exponenciális és logaritmikus egyenletekről a matematikai USE problémák megoldásához?

Az exponenciális és logaritmikus egyenletek megoldásának képessége nagyon fontos sikeres teljesítés egyetlen államvizsga matematikából profilszinten. Fontos két okból:

Először, az Egységes Államvizsga KIM-változatának 13. számú feladata, bár ritkán, de olykor éppen olyan egyenletet képvisel, amelyet nemcsak meg kell oldani, hanem (hasonlóan a trigonometriai feladathoz) ki kell választani az egyenlet kielégítő gyökereit valamilyen feltétel.

Így az egyik 2017-es lehetőség a következő feladatot tartalmazta:

a) Oldja meg az egyenletet! 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.

b) Jelölje meg ennek az egyenletnek a szegmenshez tartozó gyökereit!

Válasz: a) 2; log 2 7 és b) log 2 7.

Egy másik verzióban ez volt a feladat:

a) Oldja meg az egyenletet! 6log 8 2 x– 5 log 8 x + 1 = 0

b) Keresse meg ennek az egyenletnek a szegmenshez tartozó összes gyökerét!

Válasz: a) 2 és 2√ 2 ; b) 2.

Ez is megtörtént:

a) Oldja meg az egyenletet! 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2 cos x) + 2 = 0.

b) Keresse meg ennek az egyenletnek a [π; 5π/2].

Válasz: A) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z)és b) 11π/6; 13π/6.

Másodszor, az exponenciális és logaritmikus egyenletek megoldásának tanulási módszerei azért jók, mert az egyenletek és az egyenlőtlenségek megoldásának alapvető módszerei valójában ugyanazokat a matematikai ötleteket használják.

Az exponenciális és logaritmikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei könnyen megjegyezhetők, mindössze öt van belőlük: redukció a legegyszerűbb egyenletre, ekvivalens átmenetek alkalmazása, új ismeretlenek bevezetése, logaritmizálás és faktorizálás. Külön módszer az exponenciális, logaritmikus és egyéb függvények tulajdonságainak felhasználása a feladatok megoldása során: néha az egyenlet megoldásának kulcsa a definíciós tartomány, az értéktartomány, a nem-negativitás, a korlátosság, a benne szereplő függvények paritása. .

A 13. feladatban általában vannak olyan egyenletek, amelyek a fent felsorolt ​​öt fő módszer alkalmazását igénylik. Ezen módszerek mindegyikének megvannak a sajátosságai, amelyeket ismerni kell, mivel ezek nem ismerete az, ami hibákhoz vezet a problémák megoldása során.

Milyen gyakori hibákat követnek el a vizsgázók?

Az exponenciális függvényt tartalmazó egyenletek megoldása során az iskolások gyakran elfelejtik figyelembe venni az egyenlőség egyik esetét. Mint ismeretes, az ilyen típusú egyenletek egyenértékűek két feltételrendszer halmazával (lásd alább), arról beszélünk arról az esetről, amikor a( x) = 1

Ez a hiba abból adódik, hogy egy egyenlet megoldása során a vizsgázó formálisan az exponenciális függvény definícióját használja. (y = fejsze, a>0, a ≠ 1): ezzel A ≤ 0 exponenciális függvény tényleg nincs meghatározva

De amikor A = 1 definiált, de nem tájékoztató jellegű, mivel egy egység bármely valódi fokönmagával azonosan egyenlő. Ez azt jelenti, hogy ha a vizsgált egyenletben at A(x) = 1 Ha valódi numerikus egyenlőség keletkezik, akkor a változó megfelelő értékei lesznek az egyenlet gyökerei.

Egy másik hiba, hogy a logaritmus tulajdonságait a terület figyelembevétele nélkül használjuk elfogadható értékeket. Például a jól ismert tulajdonság „a szorzat logaritmusa egyenlő az összeggel logaritmusok”, kiderül, van egy általánosítása:
log a ( f(x)g(x)) = log a │ f(x)│ + log a │g( x)│, at f(x)g(x) > 0, a > 0, a ≠ 1

Valójában ahhoz, hogy ennek az egyenlőségnek a bal oldalán lévő kifejezés definiálható legyen, elegendő, ha a függvények szorzata f És g pozitív volt, de maguk a függvények egyszerre lehetnek nagyobbak és kisebbek nullánál, ezért ennek a tulajdonságnak az alkalmazásakor a modul fogalmát kell használni.

És sok ilyen példát lehet hozni. Ezért az exponenciális és logaritmikus egyenletek megoldási módszereinek hatékony elsajátításához a legjobb egy olyan hallgató szolgáltatásait igénybe venni, aki képes elmondani Önnek az ilyen „csapdákat” a releváns vizsgafeladatok megoldásának példái segítségével.

Gyakorold rendszeresen a problémamegoldást

Az 1C:Tutor portálon való tanulás megkezdéséhez csak a következőre van szüksége.
Tudsz:

Minden kurzus egy módszertanilag helyes elméleti és gyakorlati sorrendből áll, amely szükséges sikeres megoldás feladatokat. Tartalmazza az elméletet szövegek, diák és videók formájában, megoldási problémákat, interaktív szimulátorokat, modelleket és teszteket.

Van még kérdése? Hívjon minket a 8 800 551-50-78 számon vagy írjon a címre online chat.

Íme a kulcsmondatok, amelyek segítenek a keresőrobotoknak, hogy jobban megtalálják tanácsainkat:
Hogyan lehet megoldani a problémát 13 in Egységes államvizsga, logaritmusfeladatok, Kim Egységes Államvizsga 2017, Felkészülés az Egységes Államvizsgára profil matematika, Matematika profil, egyenletek és logaritmusok megoldása, Egységes államvizsga exponenciális egyenletek feladatmegoldása, logaritmusok tulajdonságainak számítása, exponenciális-hatványfüggvény, profilszintű matematika feladatok, logaritmus tulajdonságainak alkalmazása, gyökérmegoldási feladatok, Egységes Államvizsga 2017 feladatai exponenciális egyenletek, felkészülés Egységes államvizsgát végzettek 2018-ban 11. évfolyamon, műszaki egyetemre lép.