A elektronikus forrás kiváló anyag a vezetéshez interaktív tanulás V modern iskolák. Hozzáértően van megírva, világos szerkezetű és megfelel iskolai terv. A részletes magyarázatoknak köszönhetően a videóórán bemutatott téma a lehető legtöbb tanuló számára világossá válik az osztályban. A tanároknak emlékezniük kell arra, hogy nem minden diáknak van egyforma fokú észlelése, megértési sebessége vagy alapja. Az ilyen anyagok segítenek megbirkózni a nehézségekkel, felzárkózni társaihoz, javítani tanulmányi teljesítményét. Segítségükkel csendes otthoni környezetben, önállóan vagy oktatóval együtt a hallgató megérthet egy adott témát, tanulhat elméletet és példákat nézhet praktikus alkalmazás egyik vagy másik képlet stb.
Ezt a videóleckét az „Érvek különbségének szinusza és koszinusza” témának szenteljük. Feltételezhető, hogy a diákok már megtanulták a trigonometria alapjait, ismerik az alapvető függvényeket és tulajdonságaikat, a szellemképleteket és a trigonometrikus értékek táblázatait.
Ezenkívül, mielőtt továbblépne ennek a témának a tanulmányozására, meg kell értenie az érvek összegének szinuszát és koszinuszát, ismernie kell két alapvető képletet, és tudnia kell ezeket használni.
A videóóra elején a bemondó emlékezteti a tanulókat erre a két képletre. Ezután bemutatjuk az első képletet - az érvek különbségének szinuszát. Amellett, hogy a képlet hogyan származik, megmutatja, hogyan származik egy másikból. Így a tanulónak nem kell megjegyeznie egy új képletet anélkül, hogy megértette volna, ami gyakori hiba. Ez nagyon fontos az osztály tanulói számára. Mindig emlékeznie kell arra, hogy hozzáadhat egy + jelet a mínusz jel elé, és a pluszjelen lévő mínusz végül mínuszba változik. Ezzel az egyszerű lépéssel használhatja az összeg szinuszának képletét, és megkaphatja az argumentumok különbségének szinuszának képletét.
A különbség koszinuszának képlete hasonló módon származik az argumentumok összegének koszinuszának képletéből.
Az előadó lépésről lépésre mindent elmagyaráz, és ennek eredményeként az argumentumok összegének és különbségének, valamint a szinusznak a koszinuszának általános képlete hasonló módon levezethető.
A videó lecke gyakorlati részéből származó első példa a Pi/12 koszinuszának megtalálását javasolja. Javasoljuk, hogy ezt az értéket egy bizonyos különbség formájában mutassuk be, amelyben a minuend és a subtrahend táblázatos értékek lesznek. Ezután az argumentumok különbségének koszinusz-képletét alkalmazzuk. A kifejezés lecserélésével helyettesítheti a kapott értékeket, és megkapja a választ. A bemondó felolvassa a választ, amely a példa végén látható.
A második példa egy egyenlet. Mind a jobb, mind a bal oldalon az érvek különbségeinek koszinuszait látjuk. A hangszóró casting képletekre hasonlít, amelyek helyettesítik és leegyszerűsítik ezeket a kifejezéseket. Ezeket a képleteket a jobb oldalon írják, hogy a tanulók megértsék, honnan származnak bizonyos változások.
Egy másik példa, a harmadik, egy bizonyos tört, ahol a számlálóban és a nevezőben is megvan trigonometrikus kifejezések, nevezetesen a termékek különbségei.
Itt is a megoldás során redukciós képleteket használnak. Így az iskolások láthatják, hogy ha kihagynak egy témát a trigonometriából, egyre nehezebb lesz megérteni a többit.
És végül a negyedik példa. Ez is egy olyan egyenlet, amelyben új tanult és régi képleteket kell használni a megoldásuk során.
Részletesebben megtekintheti a videós oktatóanyagban szereplő példákat, és megpróbálhatja saját maga megoldani. Úgy állíthatók be házi feladat iskolások.
SZÖVEGDEKÓDOLÁS:
Az óra témája: „Az érvek különbségének szinusza és koszinusza”.
Az előző tanfolyamon ketten találkoztunk trigonometrikus képletek az érvek összegének szinusza és koszinusza.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.
két szög összegének szinusza egyenlő az összeggel az első szög szinuszának és a második szög koszinuszának szorzata, valamint az első szög koszinuszának és a második szög szinuszának szorzata között;
Két szög összegének koszinusza egyenlő e szögek koszinuszainak szorzata és e szögek összegének szorzata közötti különbséggel.
Ezekkel a képletekkel levezetjük az argumentumok különbségének szinusz és koszinusz képletét.
Az argumentumok különbségének szinusza sin(x-y)
Két képlet (az összeg szinusza és a különbség szinusza) a következőképpen írható fel:
sin(xy) = sin x cos ycos x sin y.
Hasonlóképpen levezetjük a különbség koszinuszának képletét:
Írjuk át az argumentumok különbségének koszinuszát összegként, és alkalmazzuk a már ismert képletet az összeg koszinuszára: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.
csak az x és -y argumentumokhoz. Ha ezeket az argumentumokat behelyettesítjük a képletbe, a cosxcos(- y) - sinxsin(- y) értéket kapjuk.
sin(- y)= - siny). és megkapjuk a cosxcosy + sinxsiny végső kifejezést.
cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.
Ez azt jelenti, hogy cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.
Két szög különbségének koszinusza egyenlő e szögek koszinuszainak szorzata és e szögek szinuszainak szorzata összegével.
Két képletet (az összeg koszinuszát és a különbség koszinuszát) egybe kombinálva írunk
cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.
Ne felejtsük el, hogy a képletek a gyakorlatban balról jobbra és fordítva is alkalmazhatók.
Nézzünk példákat.
1. PÉLDA Számítsuk ki a cos-t (a pi koszinusza osztva tizenkettővel).
Megoldás. Írjuk fel a pi-t osztva tizenkettővel a pi hárommal való különbségeként és a pi osztva néggyel: = - .
Helyettesítsük be az értékeket a különbségi koszinusz képletbe: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, így cos = cos (-) = cos cos + sin sin
Tudjuk, hogy cos = , cos = sin= , sin = . Értéktáblázat megjelenítése.
Cseréljük le a szinusz és a koszinusz értékét számértékekés ∙ + ∙-t kapunk tört törttel való szorozásakor a számlálókat és a nevezőket szorozzuk, kapjuk
cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.
Válasz: cos =.
PÉLDA 2. Oldja meg cos egyenlet(2π - 5x) = cos(- 5x) (két pi koszinusza mínusz öt x egyenlő a pi koszinuszával kettő mínusz öt x).
Megoldás. Az egyenlet bal és jobb oldalán a redukciós képleteket alkalmazzuk: cos(2π - cos (két pi koszinusza mínusz alfa egyenlő az alfa koszinuszával) és cos(- = sin (a pi koszinusza két mínusz alfa egyenlő alfa szinusz), megkapjuk a cos 5x = sin 5x egyenletet, megadjuk egy elsőfokú homogén egyenlet alakjába, és megkapjuk a cos 5x - sin 5x = 0. Ez egy elsőfokú homogén egyenlet. Osszuk el az egyenlettag mindkét oldalát cos 5x-el.
cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, mert cos 5x: cos 5x = 1, és sin 5x: cos 5x = tan 5x, akkor kapjuk:
Mivel már tudjuk, hogy a tgt = a egyenletnek van megoldása t = arctga + πn, és mivel t = 5x, a = 1, kapjuk
5x = arctan 1 + πn,
A arctg érték 1, majd tg 1= Táblázat megjelenítése
Helyettesítse be az értéket az egyenletbe, és oldja meg:
Válasz: x = +.
3. PÉLDA Keresse meg a tört értékét! (a számlálóban a hetvenöt fokos és hatvanöt fokos koszinusz szorzatának és a hetvenöt fokos és hatvanöt fokos szinusz szorzatának a különbsége, a nevezőben pedig a szinusz szorzatának a különbsége nyolcvanöt fok és harmincöt fok koszinusza, valamint a nyolcvanöt fokos koszinusz és a harmincöt fokos szinusz szorzata).
Megoldás. Ennek a törtnek a számlálójában a különbség „összecsukható” a 75° és 65° argumentumok összegének koszinuszába, a nevezőben pedig az argumentumok közötti különbség szinuszába. 85° és 35°. Kapunk
Válasz: - 1.
4. PÉLDA Oldja meg az egyenletet: cos(-x) + sin(-x) = 1 (pi négy és x különbségének koszinusza plusz a pi négy és x különbségének szinusza egyenlő eggyel).
Megoldás. Alkalmazzuk a koszinuszkülönbség és a szinuszkülönbség képleteket.
Előadás általános képlet koszinusz különbség
Ekkor cos (-x) = cos cos x + sinsinх
Mutassa be a szinuszkülönbség általános képletét!
és sin (-х)= sin cosх - cos sinх
Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket a cos(-x) + sin(-x) = 1 egyenletbe, és kapjuk:
cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,
Mivel cos= és sin= Mutassa meg a táblázatban a szinusz és a koszinusz jelentését
Azt kapjuk, hogy ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,
a második és a negyedik tag ellentétes, ezért kiiktatják egymást, így hagyva:
∙ cos + ∙ cos = 1,
Döntsünk adott egyenletés ezt kapjuk
2∙ ∙ cos x= 1,
Mivel már tudjuk, hogy a cos = a egyenletnek van megoldása t = arcosa+ 2πk, és mivel t=x, a =, kapjuk
x = arccos + 2πn,
és mivel az érték arccos, akkor cos =
A két α és β szög szinuszainak és koszinuszainak összegére és különbségére vonatkozó képletek lehetővé teszik, hogy ezeknek a szögeknek az összegéről az α + β 2 és α - β 2 szögek szorzatára lépjünk. Azonnal jegyezzük meg, hogy nem szabad összekeverni a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit az összeg és a különbség szinuszainak és koszinuszainak képleteivel. Az alábbiakban felsoroljuk ezeket a képleteket, megadjuk levezetéseiket, és példákat mutatunk be konkrét problémákra.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Képletek szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére
Írjuk fel, hogy néznek ki az összeg- és különbségképletek szinuszokra és koszinuszokra!
Összeg és különbség képletek szinuszokhoz
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Összeg és különbség képletek koszinuszokhoz
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β · = 2 sin α + β - α 2
Ezek a képletek bármely α és β szögre érvényesek. Az α + β 2 és α - β 2 szögeket az alfa és béta szögek félösszegének, illetve félkülönbségének nevezzük. Adjuk meg az egyes formulák megfogalmazását.
A szinuszok és koszinuszok összegeinek és különbségeinek képletei
Két szög szinuszainak összege egyenlő ezeknek a szögeknek a fele összege szinuszának és a félkülönbség koszinuszának kétszeresével.
Két szög szinuszainak különbsége egyenlő e szögek fele-különbségének szinuszának és a félösszeg koszinuszának kétszeresével.
Két szög koszinuszainak összege egyenlő e szögek feleösszegének koszinuszának és fele-különbségének koszinuszának kétszeresével.
Két szög koszinuszainak különbsége egyenlő e szögek félösszegének szinuszának és félkülönbségének koszinuszának a szorzatával, negatív előjellel.
Levezetési képletek szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére
Két szög szinuszának és koszinuszának összegének és különbségének képleteinek származtatásához összeadási képleteket kell használni. Soroljuk fel őket az alábbiakban
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Képzeljük el magukat a szögeket is félösszegek és félkülönbségek összegeként.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Közvetlenül folytatjuk a sin és cos összeg- és különbségképleteinek levezetését.
A szinuszösszeg képletének levezetése
A sin α + sin β összegben α-t és β-t a fenti szögekre vonatkozó kifejezésekkel helyettesítjük. Kapunk
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Most alkalmazzuk az összeadási képletet az első kifejezésre, a másodikra pedig a szögkülönbségek szinuszának képletét (lásd a fenti képleteket)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Nyissa ki a zárójeleket, adjon hozzá hasonló kifejezéseket, és kapja meg a kívánt képletet
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + 2 cos α - β 2
A többi képlet levezetésének lépései hasonlóak.
A szinuszok különbségének képletének levezetése
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α 2 cos α + β 2
A koszinuszösszeg képletének levezetése
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 cos α - β 2
A koszinuszok különbségének képletének levezetése
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α - β 2
Példák gyakorlati problémák megoldására
Először is ellenőrizzük az egyik képletet úgy, hogy bizonyos szögértékeket helyettesítünk bele. Legyen α = π 2, β = π 6. Számítsuk ki e szögek szinuszainak összegét! Először is használjuk az alapértékek táblázatát trigonometrikus függvények, majd alkalmazza a szinuszösszeg képletét.
Példa 1. Két szög szinuszösszegének képletének ellenőrzése
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Tekintsük most azt az esetet, amikor a szögértékek eltérnek a táblázatban szereplő alapértékektől. Legyen α = 165°, β = 75°. Számítsuk ki e szögek szinuszai közötti különbséget.
2. példa A szinusz különbségi képlet alkalmazása
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteivel az összegről vagy a különbségről a trigonometrikus függvények szorzatára léphet. Ezeket a képleteket gyakran olyan képleteknek nevezik, amelyek az összegről a szorzatra lépnek át. A megoldás során széles körben alkalmazzák a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit trigonometrikus egyenletekés trigonometrikus kifejezések konvertálásakor.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
