A trigonometrikus egyenletek megoldásának fő módszerei a következők: az egyenletek redukálása a legegyszerűbbre (a trigonometrikus képletek), új változók bevezetése, faktorizálás. Nézzük meg példákkal a felhasználásukat. Ügyeljen a trigonometrikus egyenletek megoldásainak formátumára.

Szükséges feltétel sikeres megoldás trigonometrikus egyenletek a trigonometrikus képletek ismerete (6. munka 13. témaköre).

Példák.

1. Egyenletek a legegyszerűbbre redukálva.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

2) Keresse meg az egyenlet gyökereit!

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, a szegmenshez tartozó.

Megoldás:

Válasz:

2. Másodfokúvá redukáló egyenletek.

1) Oldja meg a 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 egyenletet.

Megoldás: Használata bűn képlet 2 x = 1 – cos 2 x, kapjuk

Válasz:

2) Oldja meg a cos 2x = 1 + 4 cosx egyenletet!

Megoldás: A cos 2x = 2 cos 2 x – 1 képlet segítségével azt kapjuk, hogy

Válasz:

3) Döntse el tgx egyenlet– 2ctgx + 1 = 0

Megoldás:

Válasz:

3. Homogén egyenletek

1) Oldja meg a 2sinx – 3cosx = 0 egyenletet

Megoldás: Legyen cosx = 0, majd 2sinx = 0 és sinx = 0 – ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1. Ez azt jelenti, hogy cosx ≠ 0, és az egyenletet oszthatjuk cosx-szel. Kapunk

Válasz:

2) Oldja meg az 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x egyenletet

Megoldás:

Az 1 = sin 2 x + cos 2 x és sin 2x = 2 sinxcosx képleteket használjuk, kapjuk

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Legyen cosx = 0, akkor sin 2 x = 0 és sinx = 0 – ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ez azt jelenti, hogy cosx ≠ 0, és az egyenletet eloszthatjuk cos 2 x-szel . Kapunk

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Jelöljük tgx = y-t
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .

Válasz: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Formaegyenletek a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

5. Tényezősítéssel megoldott egyenletek.

1) Oldja meg a sin2x – sinx = 0 egyenletet.

Az egyenlet gyökere f (x) = φ ( x) csak a 0 szolgálhat. Ellenőrizzük ezt:

cos 0 = 0 + 1 – az egyenlőség igaz.

A 0 szám az egyetlen gyöke ennek az egyenletnek.

Válasz: 0.

Lehet rendelni részletes megoldás a te feladatod!!!

A jel alatt ismeretlent tartalmazó egyenlőség trigonometrikus függvény(`sin x, cos x, tan x` vagy `ctg x`) trigonometrikus egyenletnek nevezzük, és a képleteiket vizsgáljuk tovább.

A legegyszerűbb egyenletek a `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ahol `x` a keresendő szög, `a` tetszőleges szám. Írjuk fel mindegyikhez a gyökképleteket.

1. `sin x=a` egyenlet.

Az `|a|>1` esetén nincs megoldás.

Amikor `|a| A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.

Gyökképlet: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. "cos x=a" egyenlet

Az `|a|>1` - mint a szinusz esetében - nincs megoldása valós számok között.

Amikor `|a| \leq 1` rendelkezik végtelen halmaz döntéseket.

Gyökképlet: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Szinusz és koszinusz speciális esetei grafikonokban.

3. "tg x=a" egyenlet

Végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.

Gyökérképlet: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` egyenlet

Ezenkívül végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.

Gyökérképlet: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

A táblázatban szereplő trigonometrikus egyenletek gyökereinek képletei

A szinuszhoz:
A koszinuszhoz:
Érintő és kotangens esetén:
Képletek inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek megoldására:

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei

Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésből áll:

• a legegyszerűbbre való átalakítás segítségével;
• oldja meg a fent leírt gyökképletek és táblázatok segítségével kapott legegyszerűbb egyenletet.

Nézzük meg a fő megoldási módszereket példákon keresztül.

Algebrai módszer.

Ez a módszer magában foglalja egy változó lecserélését és egyenlőségbe való behelyettesítését.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

cserélje ki: `cos(x+\frac \pi 6)=y, majd `2y^2-3y+1=0`,

megtaláljuk a gyökereket: `y_1=1, y_2=1/2`, amiből két eset következik:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Válasz: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizáció.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `sin x+cos x=1`.

Megoldás. Mozgassuk az egyenlőség összes tagját balra: `sin x+cos x-1=0`. Használatával a bal oldalt transzformáljuk és faktorizáljuk:

"sin x - 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Válasz: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukálás homogén egyenletre

Először is le kell redukálnia ezt a trigonometrikus egyenletet a két alak egyikére:

`a sin x+b cos x=0` (elsőfokú homogén egyenlet) vagy `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (másodfokú homogén egyenlet).

Ezután ossza el mindkét részt `cos x \ne 0` -val - az első esetben, és "cos^2 x \ne 0" - a második esetben. Egyenleteket kapunk a `tg x`-re: `a tg x+b=0` és `a tg^2 x + b tg x +c =0`, amelyeket ismert módszerekkel kell megoldani.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Megoldás. Írjuk a jobb oldalt a következőképpen: `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ez egy homogén másodfokú trigonometrikus egyenlet, bal és jobb oldalát elosztjuk `cos^2 x \ne 0`-val, így kapjuk:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Vezessük be a `tg x=t` helyettesítést, ami `t^2 + t - 2=0`-t eredményez. Ennek az egyenletnek a gyöke: `t_1=-2` és `t_2=1`. Akkor:

1. „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Válasz. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Áttérés félszögre

Példa. Oldja meg az egyenletet: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Megoldás. Alkalmazzuk a képleteket kettős szög, ami a következőt eredményezi: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

"4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0".

A fent leírt algebrai módszert alkalmazva a következőket kapjuk:

1. „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
2. „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.

Válasz. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Segédszög bevezetése

Az „a sin x + b cos x =c” trigonometrikus egyenletben, ahol a,b,c együtthatók, x pedig egy változó, mindkét oldalt ossza el „sqrt (a^2+b^2)”-vel:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

A bal oldali együtthatók szinusz és koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, vagyis négyzeteinek összege 1, moduljaik pedig nem nagyobbak 1-nél. Jelöljük őket a következőképpen: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, akkor:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Nézzük meg közelebbről a következő példát:

Példa. Oldja meg az egyenletet: `3 sin x+4 cos x=2`.

Megoldás. Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk `sqrt (3^2+4^2)-vel, így kapjuk:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Jelöljük `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Mivel a `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, akkor a `\varphi=arcsin 4/5`-t vesszük segédszögnek. Ezután az egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

A szinusz szögösszegének képletét alkalmazva egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:

"sin (x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Válasz. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Törtracionális trigonometrikus egyenletek

Ezek olyan tört egyenlőségek, amelyek számlálói és nevezői trigonometrikus függvényeket tartalmaznak.

Példa. Oldja meg az egyenletet. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Megoldás. Szorozd meg és oszd el az egyenlőség jobb oldalát "(1+cos x)"-vel. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

"\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0".

Figyelembe véve, hogy a nevező nem lehet egyenlő nullával, a következőt kapjuk: `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Tegyük egyenlővé a tört számlálóját nullával: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Ezután `sin x=0` vagy `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Tekintettel arra, hogy ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, a megoldások: `x=2\pi n, n \in Z` és `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Válasz. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

A trigonometriát és különösen a trigonometrikus egyenleteket a geometria, a fizika és a mérnöki tudomány szinte minden területén használják. A tanulás a 10. osztályban kezdődik, az egységes államvizsgához mindig vannak feladatok, ezért próbálja meg emlékezni a trigonometrikus egyenletek összes képletére - ezek biztosan hasznosak lesznek az Ön számára!

Azonban még csak memorizálni sem kell őket, a lényeg az, hogy megértsük a lényeget és le tudjuk vezetni. Nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Győződjön meg Ön is a videó megtekintésével.

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.

A trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésből áll: egyenlet transzformáció hogy a legegyszerűbb legyen típus (lásd fent) és megoldása kapott legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet. Hét van trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.

1. Algebrai módszer.

(változó helyettesítési és helyettesítési módszer).

2. Faktorizáció.

1. példa Oldja meg az egyenletet: bűn x+cos x = 1 .

Megoldás: Mozgassuk az egyenlet összes tagját balra:

Bűn x+cos x – 1 = 0 ,

Alakítsuk át és faktorizáljuk a kifejezést

Az egyenlet bal oldala:

2. példa Oldja meg az egyenletet: kötözősaláta 2 x+ bűn x kötözősaláta x = 1.

Megoldás: cos 2 x+ bűn x kötözősaláta x– bűn 2 x– cos 2 x = 0 ,

Bűn x kötözősaláta x– bűn 2 x = 0 ,

Bűn x· (cos x– bűn x ) = 0 ,

3. példa Oldja meg az egyenletet: cos 2 x-cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Megoldás: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 bűn 3 x bűn x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). bűn 3 x= 0, 3). bűn x = 0 ,

3. Csökkentése erre homogén egyenlet. Az egyenlet hívott homogén től tekintetében bűnÉs kötözősaláta , Ha az egészet viszonyítva azonos fokú feltételekkel bűnÉs kötözősaláta ugyanaz a szög. A homogén egyenlet megoldásához a következőkre lesz szüksége: A) mozgassa az összes tagját a bal oldalra; b) tegyen zárójelbe minden gyakori tényezőt; V) minden tényezőt és zárójelet nullával egyenlővé kell tenni; G) nullával egyenlő zárójel ad kisebb fokú homogén egyenlet, amelyet fel kell osztani kötözősaláta(vagy bűn) felsőfokon; d) oldja meg az eredményt algebrai egyenlet viszonylagCser . bűn 2 x+ 4 bűn x kötözősaláta x+ 5 cos 2 x = 2. Megoldás: 3sin 2 x+ 4 bűn x kötözősaláta x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Bűn 2 x+ 4 bűn x kötözősaláta x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 barnaság x + 3 = 0 , innen y 2 + 4y +3 = 0 , Ennek az egyenletnek a gyökerei a következők:y 1 = - 1, y 2 = - 3, tehát 1) barna x= –1, 2) barnaság x = –3,

4. Átmenet félszögre.

Nézzük meg ezt a módszert egy példa segítségével:

PÉLDA Oldja meg az egyenletet: 3 bűn x– 5 költség x = 7.

Megoldás: 6 sin ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 bűn ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ 2) – 3 barnaság ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Segédszög bevezetése.

Tekintsük a forma egyenletét:

a bűn x + b kötözősaláta x = c ,

Ahol a, b, c– együtthatók;x– ismeretlen.

Most az egyenlet együtthatói a szinusz és a koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, ugyanis: mindegyik modulusa (abszolút értéke). ebből legfeljebb 1, és négyzetük összege 1. Akkor jelölhetjük őket ennek megfelelően Hogyan cos és bűn (itt - ún segédszög), Ésvegyük az egyenletünket