Szóval olvastam valamit ezen az oldalon (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormál);

ahol vP1 egy pont a síkon, vNormál pedig a sík normálja. Kíváncsi vagyok, hogy ez hogyan adja meg a távolságot a világ kezdetétől, mivel az eredmény mindig 0 lesz. Az is, hogy világos legyen (mivel még mindig egy kicsit homályos vagyok a síkegyenlet D-i részében), d a síkegyenletben a sík kezdete előtti világ kezdetén áthaladó egyenes távolsága?

matematika

3 válasz

6

BAN BEN általános eset képlettel számítható ki a p pont és a sík távolsága

Ahol -pont termék működés

= ax*bx + ay*by + az*bz

és ahol p0 egy pont a síkon.

Ha n egységnyi hosszúságú, akkor a vektor és a vektor közötti pontszorzat a vektor normálra vetületének (előjeles) hossza.

Az Ön által közölt képlet csak egy speciális eset, amikor p pont az origó. Ebben az esetben

Távolság = = -

Ez az egyenlőség formailag hibás, mert a pontszorzat vektorokra vonatkozik, nem pontokra... de számszerűen továbbra is megállja a helyét. Ha írsz egy kifejezett képletet, ezt megkapod

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

ez ugyanaz, mint

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

Az eredmény nem mindig nulla. Az eredmény csak akkor lesz nulla, ha a sík áthalad az origón. (Itt tegyük fel, hogy a sík nem halad át az origón.)

Alapvetően kapsz egy egyenest az origótól a sík egy pontjáig. (Azaz van egy vektorod az origótól a vP1-ig). Ezzel a vektorral az a probléma, hogy nagy valószínűséggel meg van dőlve, és a síkon egy távoli helyre tart, nem pedig a sík legközelebbi pontjára. Tehát ha csak a vP1 hosszát veszi figyelembe, akkor túl nagy távolságra lesz vége.

Azt kell tenned, hogy a vP1 vetületét egy olyan vektorra kell vinned, amelyről tudod, hogy merőleges a síkra. Ez természetesen vnormális. Tehát vegyük a vP1 és a vNormal pontszorzatát, és osszuk el a vNormal hosszával, és megkapjuk a választ. (Ha olyan kedvesek, hogy megadják a vNormal értéket, ami már egy érték, akkor nem kell felosztani.)

1

Ezt a problémát Lagrange szorzókkal oldhatja meg:

Tudja, hogy a gép legközelebbi pontjának így kell kinéznie:

C = p + v

Ahol c a legközelebbi pont, v pedig egy vektor a sík mentén (amely tehát merőleges az n-re vonatkozó normálisra). Megpróbálja megtalálni a c-t a legkisebb normával (vagy normanégyzetével). Tehát megpróbálja minimalizálni a pontot(c,c), mivel v merőleges n-re (tehát pont(v,n) = 0).

Így állítsa be a Lagrange-t:

L = pont(c,c) + lambda * (pont(v,n)) L = pont(p+v,p+v) + lambda * (pont(v,n)) L = pont(p,p) + 2*pont(p,v) + pont(v,v) * lambda * (pont(v,n))

Vegyük a deriváltot v-re (és állítsuk 0-ra), hogy megkapjuk:

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

A lambdát a fenti egyenletben úgy oldhatja meg, hogy elhelyez egy pontot, és mindkét oldalt megszorozza n-nel, hogy megkapja

2 * pont(p,n) + 2 * pont(v,n) + lambda * pont(n,n) = 0 2 * pont(p,n) + lambda = 0 lambda = - 2 * pont(p,n) )

Jegyezzük meg ismét, hogy pont(n,n) = 1 és pont(v,n) = 0 (mivel v a síkban van, n pedig merőleges rá). Ezután a helyettesítő lambdát visszaadják a következő előállításához:

2 * p + 2 * v - 2 * pont(p,n) * n = 0

és oldd meg v-re, hogy kapd:

V = pont(p,n) * n - p

Ezután dugja vissza ezt a c = p + v-be, hogy megkapja:

C = pont(p,n) * n

Ennek a vektornak a hossza |pont(p,n)| , és az előjel megmondja, hogy a pont az origótól a normálvektor irányába, vagy az origótól ellenkező irányban van-e.

legrövidebb távolság egy síktól az origóig a sík egyenletével

tegyük fel, hogy van sík egyenlet ax+by+cz=d, hogyan találhatom meg a sík és az origó közötti legrövidebb távolságot? Ezzel a bejegyzéssel ellenkező irányba indulok el. Ebben a bejegyzésben...

A Kinect mélységi képe az origó távolságát vagy az XY sík távolságát mutatja?

Tegyük fel, hogy a Kinect a (0,0,0)-on ül, és a +Z irányba néz. Tegyük fel, hogy van egy objektum az (1, 1, 1) pontban, és a Kinect mélységi képének egyik pixele képviseli azt az objektumot....

Távolság az origótól a tér egy pontjáig

Az origótól mért távolságot minden olyan ponthoz szeretném igazítani, ahol a pontokat két koordinátájú adatkeret adja. Az összes pontom megvan, például: x y 1 0,0 0,0 2 -4,0 -2,8 3 -7,0 -6,5 4 -9,0 -11,1...

gömbkoordináták - távolság a síktól

Referencia információ Tekintsünk egy, az itt láthatóhoz hasonló gömbkoordináta-rendszert: Koordinátarendszer http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif Egy adott ponthoz...

Hogyan válasszuk ki módszeresen a közeli klip sík távolságát a perspektivikus vetítéshez?

Van egy 3D-s jelenetem és egy kamerám a gluPerspective segítségével. Rögzített FOV-m van, és tudom a legkisebb távolságot bármilyen geometriáról a kamerához (ez első személyű nézet, tehát...

Hogyan lehet meghatározni egy pont és egy sík távolságát 3d-ben?

Van egy háromszögem A, B, C pontokkal és egy ponttal a térben (P). Hogyan tudom meghatározni egy pont és egy sík távolságát? Ki kell számolnom a távolságot P-től egy síkhoz, annak ellenére, hogy...

A CG-pont elforgatása megváltoztatja az origótól való távolságot

Szeretnék egy CGP-pontot (piros téglalap) elforgatni egy másik CGP-pont (kék téglalap) körül, de megváltoztatja az origótól való távolságot (kék téglalap)... ha a sarokban 270-et adok, akkor létrejön...

Keresse meg a sík X, Y, Z középpontját, derékszögű koordinátákat

Meg kell találnom az X, Y, Z sík középpontját, Derékszögű koordináták. Megvan a sík normálértéke és a középpontja és az origó közötti távolság. Bárhová elhelyezhetem a pontot, és...

távolság egy ponttól egy síkhoz egy bizonyos irányban

Adott: pont (x1, y1, z1) irányvektor (a1, b1, c1) sík ax + by + cz + d = 0 Hogyan találhatom meg a D távolságot egy ponttól egy síkhoz e vektor mentén? Köszönöm

Sík átalakítása másik koordinátarendszerbe

Van egy kamera koordináta-rendszerem, amelyet egy R forgatási mátrix és egy T transzláció határoz meg a világkoordináta-rendszerhez képest. A síkot a kamera koordinátájában a normál N és a rajta lévő P pont határozza meg....

Ebben a cikkben meghatározzuk egy pont és egy sík távolságát, és elemezzük azt a koordináta módszert, amely lehetővé teszi a távolság meghatározását adott pont előtt adott repülőgép V háromdimenziós tér. Az elmélet bemutatása után több tipikus példa és probléma megoldását elemezzük részletesen.

Oldalnavigáció.

Távolság egy ponttól egy síkig - definíció.

Egy pont és egy sík távolságát a -n keresztül határozzuk meg, amelyek közül az egyik egy adott pont, a másik pedig egy adott pont adott síkra való vetülete.

Legyen adott egy M 1 pont és egy sík a háromdimenziós térben. Rajzoljunk egy egyenest a síkra merőlegesen az M1 ponton keresztül. Jelöljük az a egyenes és a sík metszéspontját H 1 -el. Az M 1 H 1 szakaszt ún merőleges, az M 1 pontból a síkra süllyesztve, és a H 1 pont – a merőleges alapja.

Meghatározás.

a távolság egy adott ponttól egy adott pontból egy adott síkra húzott merőleges alapjához.

A pont és a sík távolságának legáltalánosabb meghatározása a következő.

Meghatározás.

Távolság ponttól síkig az adott pontból egy adott síkra húzott merőleges hossza.

Megjegyzendő, hogy az M 1 pont és a sík így meghatározott távolsága az adott M 1 pont és a sík bármely pontja közötti távolságok közül a legkisebb. Valóban, legyen a H 2 pont a síkban, és különbözik a H 1 ponttól. Nyilvánvaló, hogy az M 2 H 1 H 2 háromszög derékszögű, benne M 1 H 1 a szár, M 1 H 2 pedig a befogó, ezért . Egyébként az M 1 H 2 szakaszt ún hajlamos az M 1 pontból a síkra húzva. Tehát egy adott pontból egy adott síkra húzott merőleges mindig kisebb, mint egy ugyanabból a pontból egy adott síkra húzott ferde.

Távolság egy ponttól a síkig - elmélet, példák, megoldások.

Néhány geometriai probléma a megoldás egy szakaszában megköveteli a pont és a sík távolságának meghatározását. Ennek módszerét a forrásadatoktól függően választjuk ki. Az eredményt általában vagy a Pitagorasz-tétel, vagy a háromszögek egyenlőségének és hasonlóságának jeleinek felhasználásával érik el. Ha meg kell találni egy pont és egy sík távolságát, amelyek háromdimenziós térben vannak megadva, akkor a koordináta módszer jön a segítségre. A cikknek ebben a bekezdésében ezt elemezzük.

Először is fogalmazzuk meg a probléma feltételét.

Az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerben háromdimenziós térben egy pont adott , sík, és meg kell találnia az M 1 pont és a sík távolságát.

Nézzünk két módszert a probléma megoldására. Az első módszer, amely lehetővé teszi egy pont és egy sík távolságának kiszámítását, a H 1 pont koordinátáinak megtalálásán alapul - az M 1 pontból a síkra süllyesztett merőleges alapja, majd a pontok közötti távolság kiszámítása. M 1 és H 1. Az adott pont és egy sík közötti távolság meghatározásának második módja egy adott sík normálegyenletének használata.

Az első módszer, amely lehetővé teszi egy pont távolságának kiszámítását repülni.

Legyen H 1 az M 1 pontból a síkra húzott merőleges alapja. Ha meghatározzuk a H 1 pont koordinátáit, akkor az M 1 ponttól a síkhoz szükséges távolság a pontok közötti távolságként számítható ki. És képlet szerint . Így hátra van a H 1 pont koordinátáinak megtalálása.

Így, algoritmus egy pont távolságának meghatározására repülni következő:

A második módszer egy ponttól való távolság meghatározására alkalmas repülni.

Mivel az Oxyz derékszögű koordinátarendszerben kapunk egy síkot, kaphatunk normál sík egyenlet mint . Aztán a távolság a ponttól a síkra a képlet alapján számítjuk ki. Ennek a képletnek az érvényességét a pont és a sík távolságának meghatározására a következő tétel állapítja meg.

Tétel.

Rögzítsünk háromdimenziós térben egy Oxyz téglalap alakú koordinátarendszert és adjunk meg egy pontot És normál egyenlet nézet síkot. Az M 1 pont és a sík távolsága megegyezik a sík normálegyenletének bal oldalán lévő kifejezés abszolút értékével, amelyet -ban számolunk, azaz.

Bizonyíték.

Ennek a tételnek a bizonyítása abszolút hasonló a szakaszban megadott hasonló tétel bizonyításához egy pont és egy egyenes távolságának meghatározása.

Könnyen kimutatható, hogy az M 1 pont és a sík távolsága egyenlő az M 1 numerikus vetület és az origótól a síkig mért távolság különbségének modulusával, azaz , Ahol - normál sík vektor, egyenlő eggyel, - a vektor által meghatározott irányba.

És definíció szerint egyenlő , és koordináta formában. Ezért ezt bizonyítani kellett.

És így, távolság a ponttól a síkra behelyettesítéssel számítható ki bal oldal a sík normálegyenlete az M 1 pont x, y és z koordinátái helyett x 1, y 1 és z 1, és figyelembe véve abszolút érték a kapott értéket.

Példák egy pont távolságának meghatározására repülni.

Példa.

Keresse meg a távolságot egy ponttól repülni.

Megoldás.

Első út.

A problémafelvetésben megadjuk általános síkegyenlet kedves, ahonnan ez egyértelmű ennek a síknak a normálvektora. Ezt a vektort úgy vehetjük fel, mint irányvektor egyenes a, adott síkra merőleges. Akkor írhatunk térbeli egyenes kanonikus egyenletei, amely áthalad a ponton és van egy irányvektora koordinátákkal, így néznek ki.

Kezdjük el megkeresni az egyenes metszéspontjának koordinátáit és repülőgépek. Jelöljük H 1 -el. Ehhez először tegyük meg átmenet egy egyenes kanonikus egyenleteiből két egymást metsző sík egyenletébe :

Most oldjuk meg az egyenletrendszert (ha szükséges, lásd a cikket). Használjuk:

És így, .

Továbbra is ki kell számítani egy adott ponttól egy adott síkhoz szükséges távolságot a pontok közötti távolságként És:
.

Második megoldás.

Megkapjuk az adott sík normálegyenletét. Ehhez szükségünk van hozza a sík általános egyenletét normál alakba. A normalizáló tényező meghatározása után , megkapjuk a sík normálegyenletét . Ki kell számítani a kapott egyenlet bal oldalának értékét at és vegye a kapott érték modulját - ez megadja a szükséges távolságot a ponttól repülni:

Ez a cikk egy pont és egy sík távolságának meghatározásáról szól. Elemezzük a koordináta módszerrel, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a távolságot egy adott ponttól a háromdimenziós térben. Ennek megerősítésére nézzünk példát több feladatra.

Egy pont és egy sík távolságát egy pont és egy pont ismert távolságával határozzuk meg, ahol az egyik adott, a másik pedig egy adott síkra vetítés.

Ha egy χ síkkal rendelkező M 1 pontot adunk meg a térben, akkor a ponton át lehet húzni a síkra merőleges egyenest. H 1 a közös metszéspontjuk. Ebből azt kapjuk, hogy az M 1 H 1 szakasz az M 1 pontból a χ síkra húzott merőleges, ahol a H 1 pont a merőleges alapja.

1. definíció

Egy adott ponttól egy adott síkra húzott merőleges alapjától mért távolságot nevezzük.

A definíció különböző megfogalmazásokban írható fel.

2. definíció

Távolság ponttól síkig az adott pontból egy adott síkra húzott merőleges hossza.

Az M 1 pont és a χ sík távolságát a következőképpen határozzuk meg: az M 1 pont és a χ sík távolsága lesz a legkisebb egy adott ponttól a sík bármely pontjáig. Ha a H 2 pont a χ síkban található és nem egyenlő a H 2 ponttal, akkor azt kapjuk derékszögű háromszög M 2 H 1 H 2 típus , ami téglalap alakú, ahol van egy M 2 H 1, M 2 H 2 láb – hypotenusa. Ez azt jelenti, hogy ebből az következik, hogy M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ferdenek tekintjük, amelyet az M 1 pontból a χ síkra húzunk. Megvan, hogy egy adott pontból a síkra húzott merőleges kisebb, mint a pontból az adott síkra húzott ferde. Nézzük meg ezt az esetet az alábbi ábrán.

Távolság egy ponttól a síkig - elmélet, példák, megoldások

Van egy szám geometriai problémák, melynek megoldásainak tartalmazniuk kell a pont és a sík távolságát. Ennek azonosítására különböző módok létezhetnek. A feloldáshoz használja a Pitagorasz-tételt vagy a háromszögek hasonlóságát. Amikor a feltétel szerint ki kell számítani egy pont és a sík távolságát, háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében megadva, azt koordináta módszerrel oldjuk meg. Ez a bekezdés ezt a módszert tárgyalja.

A feladat feltételei szerint adott a háromdimenziós térben egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont χ síkkal, meg kell határozni az M 1-től a távolságot. a χ sík. A probléma megoldására többféle megoldási módot alkalmaznak.

Első út

Ez a módszer egy pont és egy sík távolságának meghatározásán alapul a H 1 pont koordinátái segítségével, amelyek az M 1 pont és a χ sík közötti merőleges alapja. Ezután ki kell számítania az M 1 és H 1 közötti távolságot.

A feladat második megoldásához használja az adott sík normálegyenletét.

Második út

Feltétel szerint H 1 az M 1 pontból a χ síkra süllyesztett merőleges alapja. Ezután meghatározzuk a H 1 pont koordinátáit (x 2, y 2, z 2). Az M 1 és a χ sík szükséges távolságát az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 képlet határozza meg, ahol M 1 (x 1, y 1, z 1) és H 1 (x 2, y 2, z 2). A megoldáshoz ismerni kell a H 1 pont koordinátáit.

Azt kaptuk, hogy H 1 a χ sík metszéspontja az a egyenessel, amely átmegy a χ síkra merőlegesen elhelyezkedő M 1 ponton. Ebből következik, hogy egy adott ponton átmenő egyenesre egyenletet kell összeállítani egy adott síkra merőlegesen. Ekkor tudjuk majd meghatározni a H 1 pont koordinátáit. Ki kell számítani az egyenes és a sík metszéspontjának koordinátáit.

Algoritmus egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont és a χ sík távolságának meghatározására:

3. definíció

• készítsünk egyenletet az M 1 ponton áthaladó a egyenes egyenletéből és egyidejűleg
• merőleges a χ síkra;
• keresse meg és számítsa ki a H 1 pont koordinátáit (x 2 , y 2 , z 2), amelyek pontok
• az a egyenes metszéspontja a χ síkkal;
• számítsa ki az M 1 és χ közötti távolságot az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 képlet segítségével.

Harmadik út

Adott O x y z derékszögű koordinátarendszerben van egy χ sík, ekkor kapjuk a cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 alakú sík normálegyenletét. Innen kapjuk, hogy az M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ponttal a χ síkra húzott M 1 H 1 távolság az M 1 H 1 képlettel számítva = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ez a képlet érvényes, mivel a tételnek köszönhetően jött létre.

Tétel

Ha háromdimenziós térben adott egy M 1 (x 1, y 1, z 1) pont, amelynek a χ sík normálegyenlete cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 alakú, akkor a pont és az M 1 H 1 sík távolságának kiszámítása az M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p képletből adódik, mivel x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Bizonyíték

A tétel bizonyítása a pont és az egyenes távolságának megállapításában rejlik. Ebből azt kapjuk, hogy az M 1 távolság a χ síktól az M 1 sugárvektor numerikus vetülete és a χ sík közötti távolság különbségének modulusa. Ekkor az M 1 H 1 = n p n → O M → - p kifejezést kapjuk. A χ sík normálvektorának alakja n → = cos α, cos β, cos γ, hossza pedig egy, n p n → O M → az O M → = (x 1, y 1) vektor numerikus vetülete. , z 1) az n → vektor által meghatározott irányban.

Alkalmazzuk a számítási képletet skaláris vektorok. Ekkor egy kifejezést kapunk egy n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → alakú vektor keresésére, mivel n → = cos α , cos β , cos γ · z és O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Az írás koordináta alakja n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, akkor M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . A tétel bizonyítást nyert.

Innen azt kapjuk, hogy az M 1 (x 1, y 1, z 1) pont és a χ sík távolságát úgy számítjuk ki, hogy a cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0-t behelyettesítjük a a sík normálegyenletének bal oldala az x, y, z koordináták helyett x 1, y 1 és z 1, az M 1 pontra vonatkozóan, a kapott érték abszolút értékét véve.

Nézzünk példákat egy koordinátákkal rendelkező pont és egy adott sík távolságának meghatározására.

1. példa

Számítsa ki az M 1 (5, - 3, 10) koordinátájú pont távolságát a 2 x - y + 5 z - 3 = 0 síktól.

Megoldás

Oldjuk meg a problémát kétféleképpen.

Az első módszer az a egyenes irányvektorának kiszámításával kezdődik. Feltétellel megvan, hogy az adott 2 x - y + 5 z - 3 = 0 egyenlet a sík egyenlete Általános nézet, és n → = (2, - 1, 5) az adott sík normálvektora. Egy adott síkra merőleges a egyenes irányvektoraként használják. Le kellene írni kanonikus egyenlet M 1 (5, - 3, 10) ponton átmenő térbeli egyenes, 2, - 1, 5 koordinátájú irányvektorral.

Az egyenlet a következő lesz: x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Meg kell határozni a metszéspontokat. Ehhez óvatosan egyesítse az egyenleteket egy rendszerré, hogy a kanonikustól a két egymást metsző egyenes egyenletéhez jusson. Ez a pont vegyük H1-et. Ezt értjük

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Ezt követően engedélyeznie kell a rendszert

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Térjünk rá a Gauss-rendszer megoldási szabályára:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Azt kapjuk, hogy H 1 (1, - 1, 0).

Kiszámoljuk egy adott pont és a sík távolságát. Vegyük az M 1 (5, - 3, 10) és H 1 (1, - 1, 0) pontokat, és megkapjuk

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - ( - 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

A második megoldás az, hogy először az adott 2 x - y + 5 z - 3 = 0 egyenletet normál alakba hozzuk. Meghatározzuk a normalizáló tényezőt, és 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30-at kapunk. Innen származtatjuk a 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 sík egyenletét. Az egyenlet bal oldalát az x = 5, y = - 3, z = 10 helyettesítésével számítjuk ki, és meg kell venni a távolságot M 1 (5, - 3, 10) és 2 x - y + 5 z - között. 3 = 0 modulo. Megkapjuk a kifejezést:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Válasz: 230.

Ha a χ síkot a sík megadásának módszereiről szóló részben leírt módszerek egyikével adjuk meg, akkor először meg kell szerezni a χ sík egyenletét, és bármilyen módszerrel ki kell számítani a szükséges távolságot.

2. példa

A háromdimenziós térben az M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) koordinátájú pontok vannak megadva. Számítsa ki az M 1 és az A B C sík távolságát!

Megoldás

Először fel kell írni az adott három ponton áthaladó sík egyenletét M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () koordinátákkal. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ebből következik, hogy a problémának az előzőhöz hasonló megoldása van. Ez azt jelenti, hogy az M 1 pont és az A B C sík távolsága 2 30.

Válasz: 230.

Egy síkon egy adott ponttól vagy egy olyan síktól való távolságot, amellyel párhuzamosak, kényelmesebb az M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p képlet alkalmazásával. . Ebből azt kapjuk, hogy a síkok normálegyenleteit több lépésben kapjuk meg.

3. példa

Határozza meg a távolságot egy adott ponttól az M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinátákkal Koordináta sík Az x y z-ről és a 2 y - 5 egyenlettel meghatározott síkról = 0.

Megoldás

Az O y z koordinátasík egy x = 0 alakú egyenletnek felel meg. Az O y z síkra ez normális. Ezért be kell cserélni az x = - 3 értékeket a kifejezés bal oldalára, és fel kell venni az M 1 (- 3, 2, - 7) koordinátákkal rendelkező pont távolságának abszolút értékét a síkra. A - 3 = 3 értékkel egyenlő értéket kapunk.

A transzformáció után a 2 y - 5 = 0 sík normálegyenlete y - 5 2 = 0 alakot ölt. Ekkor megtalálhatja a kívánt távolságot az M 1 (- 3, 2, - 7) koordinátájú ponttól a 2 y - 5 = 0 síkhoz. Behelyettesítve és kiszámolva 2 - 5 2 = 5 2 - 2 eredményt kapunk.

Válasz: Az M 1 (- 3, 2, - 7) és O y z közötti szükséges távolság 3, 2 y - 5 = 0 pedig 5 2 - 2.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt