Az argumentum összes értékére végrehajtva (az általános hatályból).

Univerzális helyettesítési képletek.

Ezekkel a képletekkel könnyen bármely kifejezést, amely egy argumentum különböző trigonometrikus függvényeit tartalmazza, egy függvény racionális kifejezésévé alakíthatja. tg (α /2):

Képletek összegek termékekké és termékek összegekké alakításához.

Korábban a fenti képleteket a számítások egyszerűsítésére használták. Kiszámították a logaritmikus táblázatokat, később pedig egy diaszabályt, mivel a logaritmusok a legalkalmasabbak a számok szorzására. Ezért minden eredeti kifejezést olyan formára redukáltunk, amely kényelmes volt a logaritmizáláshoz, azaz szorzatokká Például:

2 bűn α bűn b = kötözősaláta (α - b) - kötözősaláta (α + b);

2 kötözősaláta α kötözősaláta b = kötözősaláta (α - b) + kötözősaláta (α + b);

2 bűn α kötözősaláta b = bűn (α - b) + bűn (α + b).

hol van az a szög, amelynél különösen

Az érintő és a kotangens függvények képletei könnyen beszerezhetők a fentiekből.

Fokozatcsökkentési képletek.

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;	cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;
bűn 3α = (3 bűnα - bűn 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Ezekkel a képletekkel a trigonometrikus egyenletek könnyen redukálhatók kisebb hatványú egyenletekre. Ugyanígy többre származtatják a redukciós képleteket magas fokok bűnÉs kötözősaláta.

Trigonometrikus függvények kifejezése ugyanazon argumentum egyikén keresztül.

A gyökér előtti jel a negyedszög helyétől függ α .

Megadjuk az alapvető trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti kapcsolatokat. trigonometrikus képletek. És mivel elég sok kapcsolat van a trigonometrikus függvények között, ez magyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek azonos szögű trigonometrikus függvényeket kapcsolnak össze, mások - többszögű függvényeket, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, negyedik - az összes függvényt a félszög érintőjén keresztül fejezik ki, stb.

Ebben a cikkben sorra felsoroljuk az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldásához. A könnyebb memorizálás és használat érdekében cél szerint csoportosítjuk és táblázatokba foglaljuk őket.

Oldalnavigáció.

Alapvető trigonometrikus azonosságok

Alapvető trigonometrikus azonosságok Határozza meg a kapcsolatot egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másik függvényben.

Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példákat a cikkben talál.

Redukciós képletek

Redukciós képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a periodicitás tulajdonságát trigonometrikus függvények, a szimmetria tulajdonsága, valamint az adott szöggel való eltolás tulajdonsága. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel való munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzésre váltson.

Ezeknek a képleteknek az indoklása, a memorizálásukra vonatkozó mnemonikus szabály és az alkalmazásukra vonatkozó példák tanulmányozhatók a cikkben.

Összeadási képletek

Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.

Képletek dupla, hármas stb. szög

Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.

A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög

Félszög képletek

Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei a teljes szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a képletekből következnek kettős szög.

Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.

Fokozatcsökkentési képletek

Trigonometrikus képletek a fokok csökkentésére célja, hogy megkönnyítse az átmenetet természetes fokok trigonometrikus függvények szinuszokhoz és koszinuszokhoz az első fokig, de több szögből. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

A fő cél képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére a függvények szorzatához kell menni, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket széles körben használják a megoldásban is trigonometrikus egyenletek, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének faktorizálását.

Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára

A trigonometrikus függvények szorzatáról összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszról koszinuszra vonatkozó képletekkel történik.

Univerzális trigonometrikus helyettesítés

A trigonometria alapképleteinek áttekintését a trigonometrikus függvényeket a félszög érintőjével kifejező képletekkel egészítjük ki. Ezt a helyettesítést hívták univerzális trigonometrikus helyettesítés. Kényelme abban rejlik, hogy minden trigonometrikus függvény a félszög érintőjével van kifejezve racionálisan, gyök nélkül.

Bibliográfia.

• Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky. - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 old.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

A szerzői jog okosdiákok tulajdona

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Az oldal egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.

BAN BEN identitás-transzformációk trigonometrikus kifejezések a következő algebrai technikák használhatók: azonos tagok összeadása és kivonása; a közös tényező zárójelbe helyezése; szorzás és osztás azonos mennyiséggel; rövidített szorzóképletek alkalmazása; kiosztás teljes négyzet; bomlás másodfokú trinomikus szorzókkal; új változók bevezetése az átalakítások egyszerűsítésére.

Törteket tartalmazó trigonometrikus kifejezések konvertálásakor használhatja az arányosság, a törtek redukálása vagy a törtek átalakítása tulajdonságait. közös nevező. Ezenkívül használhatja a tört teljes részének kiválasztását, megszorozva a tört számlálóját és nevezőjét azonos összeggel, és lehetőség szerint figyelembe veheti a számláló vagy nevező homogenitását is. Ha szükséges, egy törtet több egyszerűbb tört összegeként vagy különbségeként is ábrázolhat.

Ezenkívül a trigonometrikus kifejezések konvertálásához szükséges összes módszer alkalmazásakor folyamatosan figyelembe kell venni a területet. elfogadható értékeket konvertálható kifejezések.

Nézzünk néhány példát.

1. példa

Számítsa ki az A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

Megoldás.

A redukciós képletekből a következő:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Ahonnan az argumentumok hozzáadására szolgáló képletek és a fő trigonometrikus azonosság alapján azt kapjuk, hogy

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Válasz: 1.

2. példa

Alakítsa át az M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ kifejezést szorzattá.

Megoldás.

Az argumentumok hozzáadására szolgáló képletekből és a trigonometrikus függvények összegének szorzattá konvertálására szolgáló képletekből a megfelelő csoportosítás után megkaptuk

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Válasz: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

3. példa.

Mutassuk meg, hogy az A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) kifejezés egyet vesz az összes x-re R-ből és ugyanaz a jelentés. Keresse meg ezt az értéket.

Megoldás.

Íme két módszer a probléma megoldására. Az első módszert alkalmazva egy teljes négyzet elkülönítésével és a megfelelő trigonometrikus alapképletek felhasználásával kapjuk

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

A feladat második megoldásaként tekintsük A-t az R-ből származó x függvényének, és számítsuk ki a deriváltját. Az átalakulások után megkapjuk

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x) + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Ezért egy intervallumon differenciálható függvény állandóságának kritériuma miatt arra a következtetésre jutunk, hogy

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Válasz: A = 3/4 x € R esetén.

A trigonometrikus azonosságok bizonyításának fő technikái a következők:

A) az identitás bal oldalának jobbra történő csökkentése megfelelő átalakításokkal;
b) az identitás jobb oldalának balra csökkentése;
V) az identitás jobb és bal oldalának azonos formára való redukálása;
G) nullára csökkentve a különbséget a bizonyított azonosság bal és jobb oldala között.

4. példa

Ellenőrizze, hogy cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Megoldás.

Ennek az azonosságnak a jobb oldalának átalakítása a megfelelő trigonometrikus képletek, nekünk van

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Az identitás jobb oldala balra redukálódik.

5. példa.

Bizonyítsuk be, hogy sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, ha α, β, γ valamelyik háromszög belső szögei.

Megoldás.

Figyelembe véve, hogy α, β, γ valamely háromszög belső szögei, azt kapjuk, hogy

α + β + γ = π és ezért γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Az eredeti egyenlőség bebizonyosodott.

6. példa.

Bizonyítsuk be, hogy ahhoz, hogy a háromszög egyik α, β, γ szöge 60° legyen, szükséges és elegendő, hogy sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Megoldás.

Ennek a problémának a feltétele a szükségesség és az elégségesség bizonyítása.

Először is bizonyítsuk be szükségesség.

Meg lehet mutatni, hogy

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Tehát figyelembe véve, hogy cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, azt kapjuk, hogy ha az α, β vagy γ szögek egyike egyenlő 60°-kal, akkor

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, és ezért sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Most bizonyítsuk be megfelelőségét a megadott feltételt.

Ha sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, akkor cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, és ezért

vagy cos (3α/2) = 0, vagy cos (3β/2) = 0, vagy cos (3γ/2) = 0.

Ennélfogva,

vagy 3α/2 = π/2 + πk, azaz. α = π/3 + 2πk/3,

vagy 3β/2 = π/2 + πk, azaz. β = π/3 + 2πk/3,

vagy 3γ/2 = π/2 + πk,

azok. γ = π/3 + 2πk/3, ahol k ϵ Z.

Abból, hogy α, β, γ egy háromszög szögei, megvan

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Ezért ha α = π/3 + 2πk/3 vagy β = π/3 + 2πk/3 ill.

γ = π/3 + 2πk/3 az összes kϵZ-ből csak k = 0 megfelelő.

Ebből következik, hogy vagy α = π/3 = 60°, vagy β = π/3 = 60°, vagy γ = π/3 = 60°.

Az állítás bebizonyosodott.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan egyszerűsítse le a trigonometrikus kifejezéseket?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.