Piramis. Csonka piramis

Piramis egy poliéder, melynek egyik lapja sokszög ( bázis ), és az összes többi lap olyan háromszög, amelynek közös csúcsa ( oldalsó arcok ) (15. ábra). A piramist az ún helyes , ha az alapja egy szabályos sokszög, és a gúla csúcsa az alap közepébe vetül (16. ábra). Olyan háromszög alakú gúlát nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder .

Oldalsó borda a piramis az oldallapnak az az oldala, amely nem tartozik az alaphoz Magasság A piramis a csúcsa és az alap síkja közötti távolság. Egy szabályos gúla minden oldalsó éle egyenlő egymással, minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszögek. A csúcsból húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apotém . Átlós szakasz A gúla egy olyan szakaszának nevezzük, amely két nem ugyanahhoz a laphoz tartozó oldalélen halad át.

Oldalsó felület piramis az összes oldallap területének összege. Terület teljes felület az összes oldallap és az alap területének összegének nevezzük.

Tételek

1. Ha egy gúlában az összes oldalél egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alap közelében körülírt kör középpontjába vetül.

2. Ha egy piramisban minden oldalél rendelkezik egyenlő hosszúságúak, akkor a piramis csúcsát az alap közelében körülírt kör középpontjába vetítjük.

3. Ha egy gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alapba írt kör középpontjába vetül.

Egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához a megfelelő képlet a következő:

Ahol V- hangerő;

S alap– alapterület;

H– a piramis magassága.

Egy szabályos piramis esetében a következő képletek helyesek:

Ahol p– alap kerület;

h a– apotém;

H- magasság;

S tele

S oldal

S alap– alapterület;

V– szabályos piramis térfogata.

Csonka piramis a gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük (17. ábra). Szabályos csonka piramis a szabályos gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük.

Okok csonka piramis - hasonló sokszögek. Oldalsó arcok – trapézok. Magasság egy csonka gúla alapjai közötti távolság. Átlós a csonka gúla egy szakasz, amely összeköti a csúcsait, amelyek nem fekszenek ugyanazon a lapon. Átlós szakasz egy csonka gúlának egy olyan sík metszete, amely két nem ugyanahhoz a laphoz tartozó oldalélen halad át.

Egy csonka piramisra a következő képletek érvényesek:

(4)

Ahol S 1 , S 2 – a felső és alsó bázis területei;

S tele– teljes felület;

S oldal– oldalsó felület;

H- magasság;

V– csonka gúla térfogata.

Szabályos csonka piramis esetén a képlet helyes:

Ahol p 1 , p 2 – az alapok kerülete;

h a– szabályos csonka gúla apotémája.

1. példa Egy szabályos háromszög alakú piramisban a diéder szöge az alapnál 60º. Határozza meg az oldalél dőlésszögének érintőjét az alap síkjához!

Megoldás. Készítsünk rajzot (18. ábra).

A piramis helyes, vagyis az alján egyenlő oldalú háromszögés minden oldallap egyenlő egyenlő szárú háromszög. A diéder szög az alapnál a piramis oldallapjának az alap síkjához viszonyított dőlésszöge. Lineáris szög lesz egy szög a két merőleges között: stb. A piramis csúcsa a háromszög középpontjába van vetítve (a körülírt kör középpontja és a háromszög beírt köre ABC). Az oldalél dőlésszöge (pl S.B.) maga az él és az alap síkjára való vetülete közötti szög. A bordához S.B. ez a szög lesz a szög SBD. Az érintő megtalálásához ismerni kell a lábakat ÍGYÉs O.B.. Legyen a szegmens hossza BD egyenlő 3-mal A. Pont RÓL RŐL vonalszakasz BD részekre oszlik: és Attól találjuk ÍGY: Innen találjuk:

Válasz:

2. példa Keresse meg a megfelelő csonka térfogatát négyszög alakú piramis, ha alapjainak átlói cm és cm, magassága pedig 4 cm.

Megoldás. Egy csonka gúla térfogatának meghatározásához a (4) képletet használjuk. Az alapok területének meghatározásához meg kell találnia az alapnégyzetek oldalait, ismerve az átlójukat. Az alapok oldalai rendre 2 cm, illetve 8 cm. Ez az alapok területét jelenti, és az összes adatot behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a csonka gúla térfogatát:

Válasz: 112 cm3.

3. példa Határozza meg egy szabályos háromszög alakú csonka gúla oldallapjának területét, amelynek alapjai 10 cm és 4 cm, a gúla magassága pedig 2 cm.

Megoldás. Készítsünk rajzot (19. ábra).

Ennek a piramisnak az oldallapja egy egyenlő szárú trapéz. A trapéz területének kiszámításához ismernie kell az alapot és a magasságot. Az alapok az állapot szerint vannak megadva, csak a magasság marad ismeretlen. Meg fogjuk találni, honnan A 1 E merőleges egy pontból A 1 az alsó alap síkján, A 1 D– merőlegesen A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, mivel ez a gúla magassága. Megtalálni DE Készítsünk egy további rajzot, amely a felülnézetet mutatja (20. ábra). Pont RÓL RŐL– a felső és az alsó alap középpontjának vetülete. mivel (lásd 20. ábra) és Másrészt rendben– a körbe írt sugár és OM– körbe írt sugár:

MK = DE.

A Pitagorasz-tétel szerint abból

Oldalsó arc területe:

Válasz:

4. példa A piramis alján egyenlő szárú trapéz található, melynek alapjai AÉs b (a> b). Mindegyik oldallap szöget zár be a piramis alapjának síkjával j. Határozza meg a piramis teljes felületét.

Megoldás. Készítsünk rajzot (21. ábra). A piramis teljes felülete SABCD egyenlő a területek és a trapéz területének összegével ABCD.

Használjuk azt az állítást, hogy ha a gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a csúcs az alapba írt kör középpontjába vetül. Pont RÓL RŐL– csúcsvetítés S a piramis tövében. Háromszög GYEP a háromszög ortogonális vetülete CSD az alap síkjához. Az ortogonális vetítés területére vonatkozó tétel szerint lapos alak kapunk:

Hasonlóképpen azt jelenti Így a probléma a trapéz területének megtalálására csökkent ABCD. Rajzoljunk trapézt ABCD külön-külön (22. ábra). Pont RÓL RŐL– trapézba írt kör középpontja.

Mivel a kör trapézba írható, akkor vagy A Pitagorasz-tételből azt kapjuk,

• 22.09.2014

  Működési elve. Amikor megnyomja az SA1 kód első számjegyének gombját, a DD1.1 trigger átkapcsol, és a feszültség megjelenik a DD1.2 trigger D bemenetén magas szint. Ezért, amikor megnyomja a következő SA2 kód gombot, a DD1.2 trigger megváltoztatja állapotát, és előkészíti a következő triggert a váltáshoz. További helyes tárcsázás esetén a DD2.2 trigger aktiválódik utoljára, és...

• 03.10.2014

  A javasolt eszköz 24V-ig stabilizálja a feszültséget és 2A-ig az áramerősséget rövidzárlat elleni védelemmel. A stabilizátor instabil indítása esetén autonóm impulzusgenerátorról történő szinkronizálást kell alkalmazni (ábra). 2. A stabilizátor áramkört az 1. ábra mutatja. A VT1 VT2-n egy Schmitt trigger van összeszerelve, amely egy erős VT3 szabályozó tranzisztort vezérel. Részletek: A VT3 hűtőbordával van felszerelve...

• 20.09.2014

  Az erősítő (lásd a fotót) hagyományos áramkör szerint készül, automatikus előfeszítő csövekkel: kimenet - AL5, meghajtók - 6G7, kenotron - AZ1. A sztereó erősítő két csatornája közül az egyik diagramja az 1. ábrán látható. A hangerőszabályzóból a jel a 6G7 lámpa rácsára kerül, felerősítve, és ennek a lámpának az anódjáról a C4 leválasztó kondenzátoron keresztül a ...

• 15.11.2017

  Az NE555 egy univerzális időzítő - stabil időjellemzőkkel rendelkező egyedi és ismétlődő impulzusok létrehozására (generálására) szolgáló eszköz. Ez egy aszinkron RS trigger speciális bemeneti küszöbértékekkel, pontosan meghatározott analóg komparátorokkal és beépített feszültségosztóval (precíziós Schmitt trigger RS ​​triggerrel). Különféle generátorok, modulátorok, időrelék, küszöbértékek és egyéb...

egy poliéder, amelyet a gúla alapja és egy vele párhuzamos szakasz alkot. Azt mondhatjuk, hogy a csonka piramis olyan piramis, amelynek a teteje le van vágva. Ennek a figurának számos egyedi tulajdonsága van:

• A piramis oldallapjai trapéz alakúak;
• A szabályos csonka gúla oldalsó élei azonos hosszúságúak és ugyanolyan szögben hajlanak az alaphoz;
• Az alapok hasonló sokszögek;
• Egy szabályos csonka piramisban a lapok azonosak egyenlő szárú trapézok, amelynek területe egyenlő. Ezenkívül egy szögben dőlnek az alaphoz.

A csonka piramis oldalfelületének képlete az oldalak területének összege:

Mivel a csonka piramis oldalai trapéz alakúak, a paraméterek kiszámításához a képletet kell használni trapéz alakú terület. Normál csonka piramis esetén a terület kiszámításához más képletet is alkalmazhat. Mivel minden oldala, lapja és szöge az alapnál egyenlő, lehetséges az alap és az apotém kerülete, valamint az alapnál lévő szögből származtatni a területet.

Ha egy szabályos csonka gúlában a feltételek szerint adott az apotém (az oldal magassága) és az alap oldalainak hossza, akkor a terület a kerületek összegének félszorzatán keresztül számítható ki. az alapok és az apotém:

Nézzünk egy példát a csonka piramis oldalfelületének kiszámítására.
Adott egy szabályos ötszögletű piramis. Apothem l= 5 cm, az él hossza a nagy alapban az a= 6 cm, és a széle a kisebb alapnál van b= 4 cm. Számítsa ki a csonka gúla területét!

Először is keressük meg az alapok kerületét. Mivel egy ötszögletű piramist kapunk, megértjük, hogy az alapok ötszögek. Ez azt jelenti, hogy az alapok öt azonos oldalú figurát tartalmaznak. Keressük meg a nagyobb alap kerületét:

Ugyanígy megtaláljuk a kisebb alap kerületét is:

Most kiszámolhatjuk egy szabályos csonka piramis területét. Helyettesítsd be az adatokat a képletbe:

Így kiszámítottuk egy szabályos csonka piramis területét a kerületeken és az apotémen keresztül.

Egy másik módszer a szabályos piramis oldalfelületének kiszámítására a képlet az alapnál lévő szögeken és ezeknek az alapoknak a területén keresztül.

Nézzünk egy számítási példát. Emlékszünk erre ezt a képletet csak szabályos csonka piramisra vonatkozik.

Legyen adott egy szabályos négyszög alakú piramis. Az alsó alap széle a = 6 cm, a felsőé pedig b = 4 cm. A diéderszög az alapnál β = 60°. Határozza meg egy szabályos csonka gúla oldalfelületét.

Először is számítsuk ki az alapok területét. Mivel a piramis szabályos, az alapok minden éle egyenlő egymással. Tekintettel arra, hogy az alap négyszög, megértjük, hogy ki kell számítani a tér területe. Ez a szélesség és hosszúság szorzata, de négyzetre vetve ezek az értékek megegyeznek. Keressük meg a nagyobb alap területét:


Most a talált értékeket használjuk az oldalfelület kiszámításához.

Néhány egyszerű képlet ismeretében könnyen kiszámítottuk egy csonka gúla oldalsó trapézjának területét különféle értékek segítségével.

A térbeli alakzatok térfogatának kiszámításának képessége fontos számos geometriai gyakorlati probléma megoldása során. Az egyik leggyakoribb figura a piramis. Ebben a cikkben a teljes és a csonka piramisokat is megvizsgáljuk.

Piramis mint háromdimenziós figura

Mindenki tud róla egyiptomi piramisok, tehát van egy jó ötlete arról, hogy milyen alakról fogunk beszélni. Az egyiptomi kőépítmények azonban csak különleges esetei a piramisok hatalmas osztályának.

A vizsgált geometriai objektum általános eset egy sokszögű alap, amelynek minden csúcsa a tér egy bizonyos pontjához kapcsolódik, amely nem tartozik az alap síkjához. Ez a meghatározás egy n-szögű és n háromszögből álló ábrát eredményez.

Bármely piramis n+1 lapból, 2*n élből és n+1 csúcsból áll. Mivel a szóban forgó ábra egy tökéletes poliéder, a jelölt elemek száma engedelmeskedik az Euler-egyenlőségnek:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Az alján található sokszög adja a piramis nevét, például háromszög, ötszög stb. Az alábbi képen különböző alapokkal rendelkező piramisok készlete látható.

Azt a pontot, ahol egy ábra n háromszöge találkozik, a piramis csúcsának nevezzük. Ha egy merőlegest leeresztünk róla az alapra, és a geometriai középpontban metszi, akkor egy ilyen alakot egyenesnek nevezünk. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor ferde piramis jön létre.

Szabályosnak nevezzük azt a derékszögű alakzatot, amelynek alapját egy egyenlő oldalú (egyenszögű) n-szög alkotja.

A piramis térfogatának képlete

A piramis térfogatának kiszámításához integrálszámítást használunk. Ehhez az ábrát az alappal párhuzamos síkok végtelen számú vékony rétegre vágásával osztjuk fel. Az alábbi ábrán egy h magasságú és L oldalhosszúságú négyszög alakú gúla látható, amelyben a négyszög a metszet vékony rétegét jelöli.

Az egyes rétegek területe a következő képlettel számítható ki:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Itt A 0 az alap területe, z a függőleges koordináta értéke. Látható, hogy ha z = 0, akkor a képlet A 0 értéket ad.

A piramis térfogatának képletének megszerzéséhez ki kell számítania az integrált az ábra teljes magasságára, azaz:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Az A(z) függőséget behelyettesítve és az antiderivatívát kiszámítva a következő kifejezéshez jutunk:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Megkaptuk a piramis térfogatának képletét. A V értékének meghatározásához csak szorozza meg az ábra magasságát az alap területével, majd ossza el az eredményt hárommal.

Vegye figyelembe, hogy a kapott kifejezés bármilyen típusú piramis térfogatának kiszámítására érvényes. Vagyis ferde lehet, alapja pedig tetszőleges n-szög lehet.

és a térfogata

A fenti bekezdésben érkezett általános képlet térfogatra a megfelelő alappal rendelkező gúla esetén pontosítható. Egy ilyen alap területét a következőképpen számítják ki a következő képlet:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Itt L egy n csúcsú szabályos sokszög oldalhossza. A pi szimbólum a pi szám.

Az A 0 kifejezést behelyettesítve az általános képletbe, megkapjuk egy szabályos piramis térfogatát:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Például egy háromszög alakú piramis esetében ez a képlet a következő kifejezést eredményezi:

V 3 = 3/12*L 2 *ó*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *ó.

Egy szabályos négyszög alakú piramis esetében a térfogatképlet a következőképpen alakul:

V 4 = 4/12*L 2 *ó*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *ó.

A térfogatok meghatározása szabályos piramisok alapjuk oldalának és a figura magasságának ismerete szükséges.

Csonka piramis

Tegyük fel, hogy vettünk egy tetszőleges piramist, és levágtuk a csúcsot tartalmazó oldalfelületének egy részét. A fennmaradó alakot csonka piramisnak nevezzük. Már két n-szögű alapból és n trapézből áll, amelyek összekötik őket. Ha a vágási sík párhuzamos volt az ábra alapjával, akkor egy csonka gúlát képezünk hasonló párhuzamos alapokkal. Vagyis az egyik oldalának hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy a másik oldalának hosszát megszorozzuk egy bizonyos k együtthatóval.

A fenti ábrán egy csonka szabályos látható, melynek felső bázisát az alsóhoz hasonlóan szabályos hatszög alkotja.

A fentihez hasonló integrálszámítással levezethető képlet a következő:

V = 1/3*ó*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Ahol A 0 és A 1 az alsó (nagy) és a felső (kis) bázis területei. A h változó a csonka gúla magasságát jelöli.

A Kheopsz piramis térfogata

Érdekes megoldani a legnagyobb egyiptomi piramis belsejében lévő térfogat meghatározásának problémáját.

1984-ben Mark Lehner és Jon Goodman brit egyiptológusok meghatározták a Kheopsz-piramis pontos méreteit. Eredeti magassága 146,50 méter volt (jelenleg körülbelül 137 méter). Az építmény mind a négy oldalának átlagos hossza 230,363 méter volt. A piramis alapja nagy pontossággal négyzet alakú.

Határozzuk meg ennek a kőóriásnak a térfogatát a megadott számadatokkal. Mivel a piramis szabályos négyszögletes, ezért a képlet érvényes rá:

A számokat behelyettesítve a következőket kapjuk:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

A Kheopsz-piramis térfogata közel 2,6 millió m3. Összehasonlításképpen megjegyezzük, hogy az olimpiai uszoda térfogata 2,5 ezer m 3. Vagyis a teljes Kheopsz-piramis kitöltéséhez több mint 1000 ilyen medencére lesz szüksége!