Óraösszefoglaló az "Identitások. Kifejezések azonos transzformációi" témában. Egyenletek Kifejezések és azonos transzformációik

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Identitások. A kifejezések azonos transzformációi. 7. osztály.

Keressük meg az x=5 és y=4 kifejezések értékét 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 Keressük meg a x=6 és y=5 kifejezések értéke 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

KÖVETKEZTETÉS: Ugyanazt az eredményt kaptuk. Az elosztási tulajdonságból az következik, hogy általában bármely változók értékei a 3(x+y) és 3x+3y kifejezések értéke egyenlő. 3(x+y) = 3x+3y

Tekintsük most a 2x+y és 2xy kifejezéseket. x=1 és y=2 esetén veszik egyenlő értékeket: 2x+y=2*1+2=4 2xy=2*1*2=4 x=3, y=4 kifejezési értékek eltérőek 2x+y=2*3+4=10 2xy=2* 3*4 =24

KÖVETKEZTETÉS: A 3(x+y) és 3x+3y kifejezések azonosak, de a 2x+y és 2xy kifejezések nem azonosak. Definíció: Két olyan kifejezést, amelyek értéke egyenlő a változók bármely értékére, azonosan egyenlőnek nevezünk.

AZONOSÍTÁS A 3(x+y) és 3x+3y egyenlőség igaz x és y bármely értékére. Az ilyen egyenlőségeket identitásoknak nevezzük. Definíció: Azt az egyenlőséget, amely a változók bármely értékére igaz, azonosságnak nevezzük. A valódi számszerű egyenlőségeket is azonosságnak tekintjük. Találkoztunk már identitásokkal.

Az azonosságok olyan egyenlőségek, amelyek a számokkal végzett műveletek alapvető tulajdonságait fejezik ki. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Az azonosságokra további példák is hozhatók: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Egy kifejezés lecserélését egy másik, azonos kifejezéssel azonosságtranszformációnak vagy egyszerűen egy kifejezés transzformációjának nevezzük.

Hasonló kifejezések létrehozásához össze kell adni az együtthatóikat, és meg kell szorozni az eredményt a közös betűrésszel. 1. példa. Adjunk hasonló kifejezéseket 5x +2x-3x=x(5+2-3)=4x

Ha a zárójelek előtt pluszjel szerepel, akkor a zárójelek elhagyhatók, miközben a zárójelbe zárt kifejezések előjelét megtartjuk. 2. példa Nyissa ki a zárójeleket a 2a + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c kifejezésben

Ha a zárójelek előtt mínuszjel szerepel, a zárójelek elhagyhatók az egyes zárójelbe tett kifejezések előjelének megváltoztatásával. 3. példa Nyissa ki a zárójelet az a – (4 b – c) = a – 4 b + c kifejezésben

Házi feladat: 5. bekezdés, 91., 97., 99. Köszi a leckét!

A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek

A tanulók egységes államvizsgára való felkészítésének módszertana a "Kifejezések és kifejezések átalakítása" részben

Ezt a projektet azzal a céllal dolgozták ki, hogy a tanulókat felkészítse a 9. évfolyamos államvizsgákra, majd az egységesre államvizsga 11. osztályban....

Szóval, barátaim, az utolsó órán találkoztunk Megértette a szavak jelentését "a kifejezésnek nincs értelme". És most itt az ideje, hogy kitaláljuk Mi az a kifejezéskonverzió?És ami a legfontosabb - miért van rá szükség?

Mi az a kifejezéskonverzió?

A válasz egyszerű, illetlenül.) Ez bármilyen kifejezést tartalmazó cselekvés. Ez minden. Mindezeket az átalakításokat az első osztály óta csinálod. Természetesen bármi nem szó szerint értendő... Erről lentebb bővebben.)

Például vegyünk egy szuper jó numerikus kifejezést, mondjuk a 3+2-t. Hogyan lehet átalakítani? Igen, nagyon egyszerű! Legalább vedd és számolj:

3+2 = 5

Ez az óvodai számítás lesz kifejezés átalakítása. Ugyanazt a kifejezést másképp is írhatja:

3+2 = 2+3

De itt egyáltalán nem számoltunk semmit. Csak vettük és átírtuk az arckifejezésünket más formában. Ez a kifejezés transzformációja is lesz. Leírhatod másképp is. Például így:

3+2 = 10-5

És ez a bejegyzés - kifejezés transzformációja is.

Vagy így:

3+2 = 10:2

Szintén egy kifejezés átalakítása!

Ha te és én idősebbek vagyunk, és barátok vagyunk az algebrával, akkor ezt írjuk:

Aki járatos az algebrában, az anélkül, hogy igazán megerőltené vagy bármit is számolna, gondolatban kitalálja, hogy bal és jobb oldalon egy közönséges ötös van. Próbáld ki és próbáld ki.)

És ha már tényleg idősebbek vagyunk, akkor a következő rémtörténeteket írhatjuk le:

log 2 8+ log 2 4 = log 2 32

Vagy akár ezeket is:

5 bűn 2 x+5 kötözősaláta 2 x=5 tgx ctgx

Inspirál? És nyilván annyi ilyen átalakítást végezhet, amennyit csak akar! Már amennyire a képzelet engedi. És egy sor matematikai tudás.)

Megértetted a lényeget?

Bármi cselekvés a kifejezésre Bármi más formában írva az ún kifejezés átalakítása.És ennyi. Minden nagyon egyszerű.

Az egyszerűség persze mindig jó és kellemes dolog, de minden egyszerűségért valahol fizetni kell, igen.... Van itt egy jelentős „de”. Mindezek a titokzatos átalakulások mindig nagyon engedelmeskednek egynek fontos szabály. Ez a szabály annyira fontos, hogy nyugodtan hívható fő szabály minden matematika. És megszegni ezt az egyszerű szabályt elkerülhetetlenül hibákhoz vezet. belevágunk?)

Tegyük fel, hogy véletlenszerűen átalakítottuk a kifejezésünket, valami ilyesmit:

3+2 = 6+1

Átalakítás? Biztosan. A kifejezést más formában írtuk le! De... mi a baj itt?

Válasz: nem úgy van.) A lényeg az, hogy az átalakulások "véletlenszerűen ésaz idiótától" egyáltalán nem érdekli őket a matematika.) Miért? Mert minden matematika olyan transzformációkra épül, amelyekben változik kinézet, de a kifejezés lényege nem változik. Ez szigorú követelménye. És ennek a követelménynek a megsértése hibákhoz vezet. Három plusz kettő tetszőleges formában írható. Bármilyen példában is kéri, abban a formában írjuk le. De eredendően Ez mindig ötnek kell lennie. Bármilyen formában írjuk le ugyanazt a 3+2-t. De ha hirtelen, miután a 3+2 kifejezést más formában írtad, az öt helyett végül arra jutsz huszonöt, valahol hibáztál az úton. Gyere vissza és javítsd ki a hibát.)

És most eljött a bölcs zöld gondolatok ideje.)

Emlékezik:

1. Bármilyen műveletet egy kifejezésre, ha azt más formában írjuk, a kifejezés transzformációjának nevezzük.

2. Átalakítások,olyan kifejezések, amelyek nem változtatnak a lényegen, állítólag azonosak.

3. Minden matematika a kifejezések azonos transzformációira épül.

Pontosan identitás-transzformációkés engedjük meg, hogy lépésről lépésre, apránként átalakuljunk összetett példa egyszerű, fehér és pihe-puha kifejezésbe, tartásba a példa lényege. Ha hirtelen az átalakulásaink láncolatában valahol hibát követünk el, és egy lépésben NEM AZONOS transzformációt hajtunk végre, akkor döntünk teljesen különböző példa. Más válaszokkal igen... Aminek már nem lesz köze a helyeshez harmadik példa. És így tovább, az ajtófélfák számától függően egy vonat és egy kocsi problémájából egy másfél ásó körüli problémához juthatunk.)

Egy másik példa. Azoknak az iskolásoknak, akik már minden erejükkel az algebrát tanulják. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a (40+7) 2 kifejezés értékét. Hogyan lehet kijutni, pl. megváltoztatni dühös arckifejezésünket? Egyszerűen kiszámíthatja a zárójelben lévő kifejezést (47-et kapunk), megszorozhatja önmagát egy oszloppal, és megkapja (ha számolja) 2209-et. Vagy használhatja a képletet

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b2.

A következőt kapjuk: (40+7) 2 = 40 2 +2∙40∙7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

De! Fennáll a kísértés (mondjuk a képlet ismeretének hiánya miatt), hogy négyzetre emeléskor egyszerűen csak azt írjuk:

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

Sajnos ennél az egyszerű és nyilvánvalónak tűnő átmenetnél átalakulásaink azonossága megsértették. Bal oldalon minden úgy van, ahogy kell, 2209, de a jobb oldalon már az másik szám. 1649. Számolj, és minden világossá válik. Itt van egy tipikus példa egy NEM azonos transzformációra. És ennek megfelelően ki is jött hibákat.)

Ez a fő szabály bármilyen feladat megoldásához: az átalakulások azonosságának megőrzése.

Példát adtam a 3+2 és (40+7) 2 numerikus kifejezésekkel pusztán az érthetőség kedvéért.

Mit szólsz algebrai kifejezések? Minden a régi! Csak az algebrai kifejezésekben vannak megadva az azonosságtranszformációk képletek és szabályok. Tegyük fel, hogy az algebrában van egy képlet:

a(b-c) = ab - ac

Ez azt jelenti, hogy minden példában minden jogunk megvan a kifejezés helyett ABC) nyugodtan írj egy alternatív kifejezést ab - ac. És fordítva. E két kifejezés közül választhatunk a matematika. És melyiket írja - honnan konkrét példa attól függ.

Vagy a népszerű:

a 2 - b 2 = (a- b)(a+ b)

Ismét két lehetséges lehetőség. Mindkettő helyes.) Ez is azonos átalakulás. Mit jövedelmezőbb írni - a négyzetek különbségét vagy a zárójelek szorzatát - a példa megmondja.)

Egy másik példa. A matematika egyik legfontosabb és legszükségesebb átalakítása az tört fő tulajdonsága. A linket részletesebben is elolvashatod és megnézheted (amikor a leckét végzem), de itt csak a szabályra emlékeztetlek:

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk (osztjuk) azzal azonosszám vagy olyan kifejezés, amely nem egyenlő nullával, a tört nem változik.

Íme egy példa a tulajdonságot használó identitásátalakításokra:

Ahogy valószínűleg sejtitek, ez a dicsőséges láncolat a végtelenségig folytatható...) Amíg elég az alkotói lendület. Mindenféle hátrányok és gyökerek, ne hagyd, hogy zavarjanak. Ez mind azonos töredék. Által a lényege. Kétharmada. 2/3. Éppen különböző formákban rögzítve.:) Nagyon fontos tulajdon. Ez az, ami nagyon gyakran lehetővé teszi, hogy mindenféle példa szörnyet fehérré és bolyhossá varázsoljon.)

Természetesen számos képlet és szabály létezik, amelyek azonos transzformációkat határoznak meg. Még azt is mondanám, hogy sokat. De a legfontosabbak, amiket matematikából legalább hármas szinten meg lehet nélkülözni ez tiltott, elég ésszerű összeg.

Íme néhány alapvető átalakítás:

1. Munka monomokkal és polinomokkal. Hasonló kifejezések csökkentése (vagy röviden hasonló);

2. Zárójelek bővítése és bezárása ;

3. Faktorizáció ;

4. és másodfokú trinomiális bővítés.

5. Munka törtekkel és törtkifejezésekkel.

Ezt az öt alapvető transzformációt széles körben használják minden matematikában. Az elemitől a magasabbig. És ha nem sajátít el legalább egyet az öt egyszerű dolog közül, akkor elkerülhetetlenül nagy problémákkal kell szembenéznie, mint minden matematikában. Gimnázium, és a középiskolában, és még inkább az egyetemen. Ezért kezdjük velük. A szakasz következő leckéiben.)

Vannak még menőbb átalakulások. Haladó iskolásoknak és diákoknak.) Legyen az:

6., és minden, ami ezekkel kapcsolatos;

7. Kiválasztás teljes négyzet másodfokú trinomikusból;

8. Polinomok felosztása sarok vagy Horner séma szerint ;

9. Bomlás racionális tört elemi (legegyszerűbb) törtek összegébe. A leghasznosabb funkció a diákok számára munka közben

Tehát minden világos az átalakulások azonosságáról és annak megfigyelésének fontosságáról? Nagy! Akkor ideje a következő szintre lépni, és a primitív aritmetikáról teljesen áttérni a komolyabb algebrára. És csillogó szemmel.)

Identitás transzformációk

1. Az identitás fogalma. Az identitás-transzformációk alaptípusai és vizsgálatuk szakaszai.

A kifejezések és képletek különféle transzformációinak elsajátítása a tanulási idő legkevesebb részét foglalja el egy iskolai matematika szakon. A legegyszerűbb, az aritmetikai műveletek tulajdonságain alapuló ^"" formációkat már a Általános Iskola. Ám az átalakítások végrehajtásához szükséges készségek és képességek fejlesztésének fő terhét az 1. iskolai algebrai kurzus viseli > ennek oka:

az elvégzett átalakítások számának meredek növekedésével, azok sokszínűségével;

a tevékenységek bonyolításával azok igazolására és az alkalmazhatóság feltételeinek tisztázására;

i) az identitás, azonos transzformáció, ekvivalens transzformáció, logikai következmény általánosított fogalmainak azonosításával és tanulmányozásával.

Az identitástranszformációk sora az alábbi fejlesztést kapja az alapiskolai algebra tanfolyamon:

,4b osztályok - a zárójelek kinyitása, hasonló kifejezések hozása, a faktor eltávolítása a zárójelekből;

7 Osztály - egész és tört kifejezések azonos transzformációja;

H osztály - négygyököt tartalmazó kifejezések azonos transzformációi;

( > osztály - Trigonometrikus kifejezések és fokot tartalmazó kifejezések racionális kitevőjű azonos transzformációi.

Az identitástranszformációk sora az algebratanfolyam egyik fontos ideológiai irányvonala. Ezért az 5-6. évfolyamon a matematika tanítása úgy épül fel, hogy a tanulók már ezen az évfolyamon elsajátítsák a legegyszerűbb identitástranszformációk készségeit (az „identitástranszformációk” kifejezés használata nélkül). Ezeket a készségeket hasonló kifejezések bevitelére, zárójelek nyitására és bezárására, tényező zárójelből való kihelyezésére, stb. Figyelembe veszik a numerikus és alfabetikus kifejezések legegyszerűbb transzformációit is. Ezen a képzési szinten olyan transzformációkat sajátítanak el, amelyeket közvetlenül az aritmetikai műveletek törvényei és tulajdonságai alapján hajtanak végre.

Az 5-6. osztályos főbb feladattípusok, amelyek megoldásában az aritmetikai műveletek tulajdonságait és törvényeit aktívan felhasználják, és amelyeken keresztül az identitástranszformáció készségei formálódnak, a következők:

algoritmusok indoklása a vizsgált numerikus halmazok számain végzett műveletek végrehajtására;

egy numerikus kifejezés értékeinek kiszámítása a legracionálisabb módon;

értékek összehasonlítása numerikus kifejezések a meghatározott műveletek végrehajtása nélkül;

betűkifejezések egyszerűsítése;

két szó szerinti kifejezés jelentésének egyenlőségének bizonyítása stb.

Képzelje el a 153-as számot számjegyek összegeként; mint két szám különbsége, mint két szám szorzata.

Képzelje el a 27-es számot három azonos tényező szorzataként.

Ezek a gyakorlatok ugyanazon szám különböző jelölési formáiban való ábrázolására segítenek az identitástranszformációk fogalmának elsajátításában. Eleinte ezek az ötletek önkényesek lehetnek, de később céltudatosak is lehetnek. Például a számjegyek összege formájában történő ábrázolást a természetes számok „oszlopban” való összeadásának szabályainak magyarázatára használják, a „kényelmes” számok összege vagy különbsége formájában történő ábrázolást a számok gyors számításaira használják. különféle szorzatok, a faktorok szorzata formájában történő ábrázolást különféle törtkifejezések egyszerűsítésére használják.

Keresse meg a 928 36 + 72 36 kifejezés értékét.

A kifejezés értékének racionális kiszámítása az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási törvényén alapul: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

BAN BEN iskolai tanfolyam A matematikában az alfanumerikus kifejezések és képletek transzformációinak elsajátításában a következő szakaszok különböztethetők meg.

színpad. Az algebra kezdetei. Ebben a szakaszban az átalakítások differenciálatlan rendszerét alkalmazzák; a képlet egyik vagy mindkét részének műveleteinek végrehajtására vonatkozó szabályok képviselik.

Példa. Egyenletek megoldása:

a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; V) 6 (2 - 4у) + 5u = 3 (1 - Zu).

A megoldás általános ötlete az, hogy ezeket a képleteket több szabály segítségével egyszerűsítse. Az első feladatban az egyszerűsítés az azonosság alkalmazásával érhető el: 5x- bx= (5-3)x. Az ezen az identitáson alapuló identitás-transzformáció ezt az egyenletet a megfelelő Urshshomie-vé alakítja 2x - 2.

Második egyenlet megoldásához nemcsak azonos, hanem radikális átalakulást is igényel; ebben a minőségben azt az elvet alkalmazzuk, hogy az egyenlet tagjait az egyenlet egyik részéből a másikba egy módosított sikkevel átvigyük. Egy ilyen egyszerű feladat megoldásában, mint a b), mindkét mon transzformációt használunk - azonos és egyenértékű. Ez a rendelkezés a körülményesebb feladatokra is vonatkozik, például a harmadikra.

Az első szakasz célja a legegyszerűbb egyenletek gyors megoldásának, a függvényeket definiáló képletek egyszerűsítésének, valamint a cselekvések tulajdonságai alapján racionális számítások elvégzésének megtanítása.

cinege. Sajátos transzformációs típusok használatához szükséges készségek kialakításaII dönthető Az identitás és az azonos transzformáció fogalmát a 7. osztályos kurzus kifejezetten bevezeti, így például Yu. N. Makarychev „Algebra 7” tankönyvében bevezetik az azonos kifejezések fogalmát: „Két kifejezés, amelyeknek megfelelő értékei egyenlő bármely értékváltozóra, splash egyformán egyenlő" akkor az azonosság fogalma: „A változók bármely értékéhez párosított egyenlőséget nevezünk identitás."

11 példát mutatunk be:

A tankönyvben A.G. Mordkovich „Algebra 7” azonnal kifinomult identitásfogalmat ad: "Identitás- ez egyenlőség, igaz bármilyen elfogadható az összetételében szereplő változók értékeit."

Az identitástranszformáció fogalmának bevezetésekor mindenekelőtt az identitás-transzformációk tanulmányozásának célszerűségét kell elhagyni. Ehhez különféle gyakorlatokat mérlegelhet a kifejezések jelentésének megtalálásához.

liiiipiiMep, keresse meg a 37.1x + 37.ly kifejezés értékét amikor x= 0,98, y = 0,02. A szorzás eloszlási tulajdonságát felhasználva a 37,1l + 37,1 kifejezést nál nél kifejezhető a 37.1(x +) kifejezéssel y), azonosan egyenlő vele. Még fájdalmasabb féreg 1 megoldás a következő gyakorlatra: keresse meg a kifejezés értékét

()-(a-6)_ p r i. a) d = z > ^ = 2; b) A = 121, Kommerszant - 38; c) a = 2,52, b= 1 -.

ab 9

11 Az elvégzett átalakítások után kiderül, hogy ennek a kifejezésnek az értékkészlete egy 4-es számból áll.

Yu. N. Makarychev „Algebra 7” című tankönyvében az identitástranszformáció fogalmának bevezetését egy példa megfontolása indokolja: „Az xy kifejezés értékének megtalálása x = 2,3-nál; y = 0,8; z = 0,2, akkor 3 lépést kell végrehajtania: xy - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11 Érdemes megemlíteni a transzformáció egy fajtáját, amely a Kuron algebrára és az elemzési elvekre jellemző. Ezek olyan kifejezések transzformációi, amelyek tartalmazzák átállás előtti,És a differenciálás és az integráció szabályaira épülő átalakítások. A fő különbség ezen „analitikus” transzformációk és az „algebrai” transzformációk között annak a halmaznak a természetében rejlik, amelyen a változók átfutnak az azonosságokon. Az algebrai azonosságokban a változók tartományba esnek numerikus területekés az analitikus halmazokban ezek a halmazok definiálva vannak sok funkciót. Például a differenciálösszeg szabálya: (Z"+g)" itt/és a halmazon átfutó g-változók

I I de differenciálható függvények közös definíciós tartománnyal. Ezek a transzformációk külsőleg hasonlítanak az algebrai típusú transzformációkhoz, ezért néha azt mondják, hogy „határalgebra”, „differenciálódási algebra”.

Az iskolai algebratanfolyamon tanult azonosságok és az algebratanfolyam algebrai anyaga és az elemzés kezdetei a következőkre oszthatók: két osztály.

Az első a rövidített szorzási azonosságokból áll, tisztességes be

ó v.

iiioGom kommutatív gyűrű és az azonosságok - =-,a* 0, mindenben korrekt

Ohm mező.

A második osztályt az aritmetikai kifejezéseket és az alapvető elemi függvényeket összekötő azonosságok, valamint az elemi összetételek alkotják.Sziafunkciókat. Az ebbe az osztályba tartozó azonosságok többségének van egy közös matematikai alapja is, amely szerint a hatvány-, az exponenciális és a logaritmikus függvények különböző számcsoportok izomorfizmusai. Például az állítás igaz: létezik a valós számok additív csoportjának egyedi folyamatos izomorf leképezése / a pozitív valós számok multiplikatív csoportjába, amely alatt az egység egy adott számra van leképezve. a> 0, egy F 1; ezt a leképezést egy mínusz függvény adja alappal V:/(X)= A. Hasonló állítások léteznek hatvány- és logaritmikus függvényekre is.

Mindkét osztály identitásának tanulmányozásának módszertana számos közös vonást tartalmaz. Általában az iskolai matematika kurzuson tanulmányozott identitás-transzformációk a következők:

gyököket és hatványokat tartalmazó kifejezések átalakítása tört kitevővel;

a végpontig áthaladó kifejezések transzformációi, illetve a differenciálás és integráció szabályain alapuló transzformációk.

Ez az eredmény csak két művelet végrehajtásával érhető el - ha használja a kifejezést x (y-z), azonosan egyenlő a kifejezéssel xy-xz: x(y-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Egyszerűsítettük a számításokat a kifejezés lecserélésével xy-xz azonosan egyenlő kifejezés x(y - z).

Egy kifejezés helyettesítését egy másik azonos kifejezéssel nevezzük azonos átalakulás vagy egyszerűen a kifejezés átalakulása."

A különböző típusú transzformációk elsajátítása ebben a szakaszban a rövidített szorzóképletek bevezetésével kezdődik. Ezután a hatványozás műveletéhez kapcsolódó transzformációkat az elemi függvények különböző osztályaival veszik figyelembe - exponenciális, hatvány, logaritmikus, trigonometrikus. Az ilyen típusú átalakítások mindegyike egy tanulási fázison megy keresztül, amelyben a figyelem a jellemző tulajdonságaik elsajátítására összpontosul.

Az anyag felhalmozódásával lehetővé válik az azonos és ekvivalens transzformációk azonosítása és ennek alapján történő bevezetése.

Megjegyzendő, hogy az identitástranszformáció fogalmát az iskolai algebra kurzusban nem teljes általánosságban adjuk meg, hanem csak kifejezésekre vonatkoztatva. Az átalakítások két csoportra oszthatók: identitás-transzformációk kifejezések transzformációi, és egyenértékű - képlet transzformációk. Abban az esetben, ha a képlet egy részének egyszerűsítésére van szükség, ebben a képletben egy kifejezést emelünk ki, amely argumentumként szolgál az alkalmazott azonosságtranszformációhoz. Például az egyenletek 5x - 3x - 2 és 2x = 2 nemcsak egyenértékűnek, hanem azonosnak is tekintik.

Az algebrai tankönyvekben Sh.A. Alimova és mások szerint az identitás fogalmát a 7-8. osztályban nem vezetik be kifejezetten, és csak a 9. évfolyamon a „Trigonometrikus identitások” témakörben az 1. feladat megoldása során: „Bizonyítsa be, hogy amikor afkk, Nak nek < eZ , az 1 + cot 2 a = -\- egyenlőség igaz” ezt a fogalmat vezetjük be. Itt elmagyarázzák a tanulóknak, hogy a bűn A

a kijelentett egyenlőség „mindenki számára igazságos” elfogadható értékeketés azok. úgy, hogy a bal és jobb oldali része értelmes legyen. Az ilyen egyenlőségeket ún identitások, és az ilyen egyenlőségeket bizonyító problémákat azonosság bizonyítási problémáknak nevezzük.”

szakasz III. Transzformációk integrált rendszerének szervezése (szintézis).

Ennek a szakasznak a fő célja egy rugalmas és hatékony apparátus kialakítása, amely alkalmas különféle oktatási feladatok megoldására.

A transzformációk tanulmányozásának második szakaszának kiépítése az alapiskola teljes algebrai tantárgyára kiterjed. A harmadik szakaszba való áttérés a kurzus utolsó megismétlése során történik, a már ismert, részenként tanult anyag megértése során az egyes átalakítások típusairól.

Az algebra és az elemzés kezdete során a transzformációk alapvetően már kialakult holisztikus rendszere fokozatosan tovább javul. Néhány új típusú transzformáció is hozzáadódik hozzá (például trigonometrikus és logaritmikus függvényekhez kapcsolódóan), de ezek csak gazdagítják, bővítik a képességeit, de nem változtatnak a szerkezetén.

Az új transzformációk tanulmányozásának módszertana gyakorlatilag nem különbözik az algebra kurzusban használt módszertől.

Meg kell jegyezni a transzformációk egy típusát, amely az algebra kurenjére és az elemzési elvekre jellemző. Ezek olyan kifejezések transzformációi, amelyek tartalmazzák korlátozza az átjárókat, És a differenciálás és az integráció szabályaira épülő átalakítások. A fő különbség ezen „analitikus” és „algebrai” transzformációk között annak a halmaznak a természete, amelyen keresztül az azonosságok változói futnak. Az algebrai azonosságokban a változók tartományba esnek numerikus területek és az analitikusban ezek a halmazok bizonyos sok funkciót. Például egy összeg megkülönböztetésének szabálya: ( f + g )" = f + g "; Itt áporodott szag - változók, amelyek több, de differenciálható függvényen futnak végig, közös definíciós tartományban. Ezek a transzformációk külsőleg hasonlítanak az algebrai típusú transzformációkhoz, ezért néha azt mondják, hogy „határalgebra”, „differenciálódási algebra”.

Az iskolai algebratanfolyamon tanult azonosságok és az algebratanfolyam algebrai anyaga és az elemzés kezdetei a következőkre oszthatók: két osztály.

Az első a rövidített szorzási azonosságokból áll, tisztességes be

tetszőleges kommutatív gyűrű, és a - = -,a*0 azonosságok bármelyikben érvényesek

ac with

A második osztályt az aritmetikai műveleteket és az alapvető elemi függvényeket összekötő azonosságok, valamint az elemi függvények kompozíciói alkotják. Ennek az osztálynak a legtöbb azonosságának van egy közös matematikai alapja is, nevezetesen, hogy a hatvány-, az exponenciális és a logaritmikus függvények különböző számcsoportok izomorfizmusai. Például teljesül a következő állítás: létezik a valós számok additív csoportjának egyedi folytonos izomorf leképezése / a pozitív valós számok multiplikatív csoportjába, amely alatt egy adott számra van leképezve. a> 0, egy F 1; ezt a leképezést egy i bázisú exponenciális függvény adja: / (x) = a*. Hasonló állítások léteznek hatvány- és logaritmikus függvényekre is.

algebrai kifejezések transzformációi;

gyököket és hatványokat tartalmazó kifejezések átalakítása tört kitevővel;

trigonometrikus kifejezések konvertálása;

hatványokat és logaritmusokat tartalmazó kifejezések konvertálása;

határok áthaladását tartalmazó kifejezések transzformációi, valamint a differenciálási és integrációs szabályokon alapuló transzformációk.

2. A feladatrendszer felépítésének sajátosságai az identitástranszformációk tanulmányozása során

Bármilyen feladatrendszer szervezésének alapelve a bemutatásuk az egyszerűtől a bonyolultig figyelembe véve a tanulók számára a megvalósítható nehézségek leküzdését és a teremtést problémás helyzetek. Ez az alapelv pontosítást igényel az oktatási anyag jellemzőivel kapcsolatban. Íme egy példa egy gyakorlatrendszerre a témában: „Az összeg négyzete és

két szám különbsége."

Itt ér véget a gyakorlatok fő rendszere. Egy ilyen rendszernek biztosítania kell az alapanyagok asszimilációját.

A következő gyakorlatok (17-19) lehetővé teszik a tanulóknak, hogy figyelmüket a tipikus hibákra összpontosítsák, és hozzájáruljanak érdeklődésük és kreatív képességeik fejlesztéséhez.

Minden konkrét esetben a gyakorlatok száma a rendszerben lehet kevesebb vagy több, de végrehajtásuk sorrendjének azonosnak kell lennie.

A matematikai módszerek különféle feladatrendszereinek leírására egy másik fogalmat használnak: gyakorlatok ciklusa. A gyakorlati ciklusra jellemző, hogy a tanulás több aspektusát és az anyag elrendezésének technikáit gyakorlatsorba egyesítik. Az identitás-transzformációk kapcsán a ciklus fogalma a következőképpen adható meg.

A 11. gyakorlati ciklus egy identitás vizsgálatához kapcsolódik, amely köré a vele természetes kapcsolatban álló további identitások csoportosulnak. In "hurok stop együtt végrehajtó igénylő feladatokat tartalmaz elismerik< ii ban ben sem a kérdéses identitás alkalmazhatósága. A vizsgált identitás különféle numerikus tartományokra vonatkozó számítások elvégzésére szolgál.

Az egyes ciklusok feladatai fel vannak osztva két csoport. NAK NEK első Ide tartoznak az identitás első megismerése során végzett feladatok. Több leckében adják elő, egy témakörben egyesítve. Második csoport gyakorlatok összekapcsolják a vizsgált identitást különféle alkalmazásokkal. Az ebbe a csoportba tartozó gyakorlatok általában különböző témák között vannak szétszórva.

A leírt ciklusstruktúra az adott típusú transzformációk alkalmazásának képességeinek fejlesztési szakaszára vonatkozik. A végső szakaszban (Tane szintézis) a ciklusok módosulnak. Először, mindkét shdapii csoport egyesül, kialakul "letekert" ciklus , az első csoportból pedig a megfogalmazás vagy az írás bonyolultsága szempontjából legegyszerűbbek ki vannak zárva. A többi feladattípus összetettebbé válik. Másodszor, a különböző identitásokhoz kapcsolódó ciklusok összeolvadása következik be, ezért megnő az adott identitás alkalmazhatóságát felismerő cselekvések szerepe.

Nézzünk egy konkrét példát egy ciklusra.

Példa. Az x identitás feladatciklusa -y 2 = (x-y)(x + y).

A ciklus első feladatcsoportja a következőképpen fejeződik be:

jelenlegi feltételek. A tanulók most ismerkedtek meg az azonosság megfogalmazásával (vagy inkább két megfogalmazással: „Két kifejezés négyzetének különbsége egyenlő az összeg és a kifejezések különbségének szorzatával” és „Az összeg szorzata és két kifejezés különbsége egyenlő e kifejezések négyzeteinek különbségével”), képlet formájában történő rögzítését és a bizonyítást . Ezt követően számos példa látható az ezen az azonosságon alapuló transzformáció használatára. Végül a tanulók elkezdik önállóan elvégezni a gyakorlatokat.

Első feladatcsoport

Második feladatcsoport

(Az egyes csoportok feladatait multimédiás kivetítővel lehet bemutatni a tanulóknak)

Végezzük el ennek a feladattípus-rendszernek a módszertani elemzését.

Az a0 feladat célja a vizsgált identitás szerkezetének rögzítése. Ezt a betűk (x és y) a személyazonosság más levélben történő megírásában. Az ilyen típusú feladatok lehetővé teszik a verbális kifejezés és a szimbolikus identitásforma kapcsolatának tisztázását.

Az a 2) feladat célja az azonosság és a numerikus rendszer közötti kapcsolat megteremtése. Az itt konvertált kifejezés nem tisztán szó szerinti, hanem alfanumerikus. Az elvégzett műveletek leírásához szükséges a fogalom használata helyettesítés betűk szám az azonosságban. Képességfejlesztés

a helyettesítési művelet alkalmazása és megértésének elmélyítése történik I gm a d 2) típusú feladatok ellátása során.

Az identitás elsajátításának következő lépését az a) feladat szemlélteti. Ebben a feladatban az átalakításra javasolt kifejezés nem négyzet alakú; az átalakulás csak akkor válik lehetségessé, ha... h(chp1k észreveszi, hogy a 121-es szám egy szám négyzeteként ábrázolható. Így Priyum, ez a feladat nem egy lépésben, hanem két lépésben fejeződik be: a sávoniiiiu a redukció lehetősége jelentkezik adott kifejezés a négyzetek különbségére, a másodikon transzformációt hajtanak végre az identitás felhasználásával.

Az identitás elsajátításának első szakaszaiban minden lépés rögzítésre kerül:

I " I /с 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £)(11 + Nak nek), a jövőben egyes felismerési műveleteket szóban hajtanak végre a tanulók.

A dd) példában szükséges, hogy kapcsolatot létesítsen ez az azonosság és a monomiális műveletekhez kapcsolódó többi identitás között; d 3) a négyzetek különbségének azonosságát kétszer kell alkalmazni; g) a diákoknak le kell küzdeniük egy bizonyos pszichológiai akadályt, belépve az irracionális számok területére.

A b) típusú feladatok a munkavégzést helyettesítő készségek fejlesztésére irányulnak (,v - y)(x + y) különbség által x 2 - y 2 . Hasonló szerepet töltenek be a c) típusú feladatok is. A d) típusú példákban az átalakítások egyik irányát kell kiválasztani.

Az első csoport feladatai általában az identitás szerkezetének elsajátítására, a legegyszerűbb és legfontosabb esetekben a helyettesítés működésére, valamint az identitás által végrehajtott transzformációk visszafordíthatóságának gondolatára irányulnak,

A főbb jellemzők és célok, amelyeket felfedtünk az első | ciklusfeladatok romjai, az identitáshasználat bajonettjét képező gyakorlatok bármely ciklusára utal. Minden újonnan bevezetett identitás esetén a ciklus feladatcsoportjának meg kell őriznie az itt leírt jellemzőket; a különbségek csak a feladatok számában lehetnek.

1 A ciklus második feladatcsoportja az elsőtől eltérően ennek a sajátos identitásnak a sajátosságainak minél teljesebb kihasználását és figyelembevételét célozza. Ennek a csoportnak a feladatai feltételezik, hogy az identitások négyzetkülönbségekre való használatának készsége már kialakult (a legegyszerűbb esetekben); tspi, ennek a csoportnak a feladatai - az identitás megértésének elmélyítése a különböző helyzetekben való különféle alkalmazási lehetőségeinek mérlegelésével, kombinálva a matematika tantárgy egyéb témáihoz kapcsolódó anyagok felhasználásával.

Tekintsük az l) feladat megoldását:

x 3 - 4x = 15 o x 3 - 9x = 15 - 5 x o x(x~3) (x + 3) = 5 (3 - x) ox = 3, vagy \{\ 1-3) = -5. Az egyenlet x(x + 3) = -5 igazi gyökerek nincs tehát \ A 3 az egyenlet egyetlen gyöke.

Látjuk, hogy az identitás használata a négyzetek különbségére a példa megoldásának része, a transzformációk végrehajtásának vezető ötlete.

Az identitásokhoz kapcsolódó feladatciklusok elemi függvények megvannak a saját jellemzőik, amelyek abból fakadnak, először is. A megfelelő identitásokat a funkcionális anyagok és a /and>-"touykh, később jelennek meg, mint az első csoport identitásai, és tanulmányozzák velük

a már kialakult készségeket felhasználva azonos átalakítások végrehajtására. Az elemi függvényekhez kapcsolódó identitástranszformációk használatának jelentős része irracionális és transzcendentális egyenletek megoldására esik. Az identitások asszimilációjával kapcsolatos ciklusok csak a legtöbbet tartalmazzák egyszerű egyenletek, de már itt is célszerű az ilyen egyenletek megoldási módszerének elsajátításán dolgozni: redukálni úgy, hogy az ismeretlent algebrai egyenlettel helyettesítjük.

A megoldás lépéseinek sorrendje a következő:

a) keresse meg a függvényt<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

b) végezzen cserét nál nél= ср(х) és oldja meg az F(y) = 0 egyenletet;

c) oldja meg az egyes egyenleteket <р(х) = Ahol (y k ) - az F(y) = 0 egyenlet gyökeinek halmaza.

Új kérdés, amelyet figyelembe kell venni az elemi függvényekkel való azonosságok tanulmányozása során, a definíciós tartomány figyelembevétele. Íme példa három feladatra:

a) Ábrázolja az y = 4 log 2 x függvényt!

b) Oldja meg a log egyenletet! x + log(x - 3) = 1.

c) Melyik halmazon van a log (x - 5) + log (x + 5) = log ( x 2 - 25) identitás?

Tipikus hiba, amit a tanulók elkövetnek az a) feladat megoldása során, hogy az egyenlőséget használják A 1. a feltétel figyelembe vétele nélkül Kommerszant > 0. Ebben az esetben végül a kívánt gráf parabola alakúnak bizonyul a helyes válasz helyett - a parabola jobb ága. A b) feladat az összetett egyenlet- és egyenlőtlenségrendszerek megszerzésének egyik forrását mutatja be, amikor a függvénydefiníciós területeket kell figyelembe venni, a c) feladat pedig egy olyan gyakorlatot mutat be, amely előkészítő gyakorlatként szolgálhat.

A feladatokat egyesítő gondolat - a függvény definíciós tartományának tanulmányozásának szükségessége - csak a külső formában heterogének feladatok összehasonlításával derülhet ki. Ennek a gondolatnak a jelentősége a matematika szempontjából nagyon nagy. Több gyakorlati ciklus alapjául szolgálhat - az elemi funkciók minden osztályához.

Összegzésként megjegyezzük, hogy az identitás-transzformációk tanulmányozása az iskolában rendkívül fontos oktatási érték. A számítások elvégzésének, a számítások elvégzésének és a tárgy hosszú távú figyelemfelkeltésének képessége a legkülönfélébb szakmák számára szükséges, függetlenül attól, hogy szellemi vagy fizikai munka területén dolgoznak. A „Kifejezések azonos átalakításai” szekció sajátossága olyan, hogy széles lehetőségeket nyit meg a hallgatók előtt e fontos szakmailag jelentős készségek fejlesztésére.

Az algebrai műveletek és tulajdonságaik tanulmányozása mellett olyan fogalmakat tanulmányoznak, mint pl kifejezés, egyenlet, egyenlőtlenség . A kezdeti ismerkedés velük a kezdő matematika tanfolyamon történik. Ezeket általában szigorú definíciók nélkül vezetik be, leggyakrabban látszólag, ami megköveteli, hogy a tanár ne csak nagyon óvatosan használja ezeket a fogalmakat, hanem ismerje számos tulajdonságukat. Ezért a fő feladat, amelyet az ebben a részben található anyag tanulmányozásának megkezdésekor kitűztünk az, hogy tisztázzuk és elmélyítsük a (numerikus és változós) kifejezésekkel, numerikus egyenlőségekkel és numerikus egyenlőtlenségekkel, egyenletekkel és egyenlőtlenségekkel kapcsolatos ismereteket.

Ezeknek a fogalmaknak a tanulmányozása a matematikai nyelv használatához kapcsolódik; olyan mesterséges nyelvekre vonatkozik, amelyeket ezzel vagy azzal a tudományral együtt hoztak létre és fejlesztettek ki. Mint minden más matematikai nyelvnek, ennek is megvan a maga ábécéje. Tantárgyunkban ez részben kerül bemutatásra, mivel nagyobb figyelmet kell fordítani az algebra és az aritmetika kapcsolatára. Ez az ábécé a következőket tartalmazza:

1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számok; segítségükkel a számokat speciális szabályok szerint írják fel;

2) műveleti jelek +, -, , :;

3) kapcsolati jelek<, >, =, M;

4) a latin ábécé kisbetűi, számok jelölésére szolgálnak;

5) zárójelek (kerek, göndör stb.), ezeket műszaki jeleknek nevezik.

Ezzel az ábécével a szavakat az algebrában képezik, kifejezéseknek nevezve őket, és szavakból mondatokat nyernek - numerikus egyenlőségek, numerikus egyenlőtlenségek, egyenletek, változókkal való egyenlőtlenségek.

Mint tudják, a 3 + 7, 24: 8, 3 rekordok × 2 - 4, (25 + 3)× 2 -17 hívják numerikus kifejezések. Számokból, akciójelekből és zárójelekből állnak. Ha a kifejezésben megadott összes műveletet végrehajtjuk, akkor egy hívott számot kapunk egy numerikus kifejezés értéke . Tehát a numerikus kifejezés értéke 3 × 2-4 egyenlő 2-vel.

Vannak olyan numerikus kifejezések, amelyek értéke nem található. Az ilyen kifejezésekről azt mondják, hogy nincs értelme .

Például, a 8. kifejezésnek: (4 - 4) nincs értelme, mivel az értéke nem található: 4 - 4 = 0, és a nullával való osztás lehetetlen. A 7-9 kifejezésnek szintén nincs értelme, ha a természetes számok halmazán nézzük, mivel a 7-9 kifejezés jelentése ezen a halmazon nem található.

Tekintsük a 2a + 3 bejegyzést. Számokból, akciójelekből és az a betűből áll. Ha a helyett számokat cserél, különböző numerikus kifejezéseket kap:

ha a = 7, akkor 2 × 7 + 3;

ha a = 0, akkor 2 × 0 + 3;

ha a = - 4, akkor 2 × (- 4) + 3.

A 2a + 3 jelölésben egy ilyen betűt hívnak változó , és maga a bejegyzés 2a + 3 - kifejezés változóval.

A matematikában egy változót általában a latin ábécé kisbetűivel jelölnek. Az általános iskolában a betűk mellett más szimbólumokat is használnak egy változó jelölésére, például . Ekkor a változós kifejezés a következőképpen alakul: 2× + 3.

Minden változóval rendelkező kifejezés egy számkészletnek felel meg, amelynek behelyettesítése értelmes numerikus kifejezést eredményez. Ezt a készletet ún kifejezési hatókör .

Például, az 5: (x - 7) kifejezés definíciós tartománya a 7-es szám kivételével minden valós számból áll, mivel x = 7-nél az 5: (7 - 7) kifejezésnek nincs értelme.

A matematikában az egy, két vagy több változót tartalmazó kifejezéseket veszik figyelembe.

Például, A 2a + 3 egy változót tartalmazó kifejezés, és (3x + 8y) × A 2 egy kifejezés három változóból. Ahhoz, hogy egy három változós kifejezésből numerikus kifejezést kapjunk, az egyes változók helyett a kifejezés definíciós tartományához tartozó számokat kell behelyettesíteni.

Megtudtuk tehát, hogyan keletkeznek a matematikai nyelv ábécéjéből numerikus kifejezések és változós kifejezések. Ha analógiát vonunk az orosz nyelvvel, akkor a kifejezések egy matematikai nyelv szavai.

De egy matematikai nyelv ábécéjét használva lehetséges például ilyen bejegyzéseket létrehozni: (3 + 2)) - × 12 vagy 3x – y: +)8, ami nem nevezhető sem numerikus kifejezésnek, sem változós kifejezésnek. Ezek a példák azt mutatják, hogy annak leírása, hogy egy matematikai nyelv ábécéjének mely szimbólumait használjuk numerikus és változó kifejezések kialakítására, nem e fogalmak definíciója. Adjunk definíciót egy numerikus kifejezésre (egy változós kifejezést hasonlóan definiáljuk).

Meghatározás.Ha f és q numerikus kifejezések, akkor (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) - numerikus kifejezések. Minden szám numerikus kifejezésnek minősül.

Ha ezt a definíciót pontosan követnénk, túl sok zárójelet kellene írnunk, például (7) + (5) vagy (6): (2). A jelölés rövidítése érdekében megállapodtunk abban, hogy nem írunk zárójelet, ha több kifejezést összeadunk vagy kivonunk, és ezeket a műveleteket balról jobbra hajtjuk végre. Ugyanígy nem írunk zárójelet több szám szorzásakor vagy osztásakor, és ezeket a műveleteket sorrendben balról jobbra hajtjuk végre.

Például, így írják: 37 – 12 + 62 - 17+13 vagy 120:15-7:12.

Ezenkívül megállapodtunk abban, hogy először a második szakasz (szorzás és osztás), majd az első szakasz műveleteit (összeadás és kivonás) hajtjuk végre. Ezért a (12-4:3) + (5-8:2-7) kifejezést a következőképpen írjuk: 12 – 4: 3 + 5 – 8: 2 – 7.

Feladat. Keresse meg a 3x (x - 2) + 4 (x - 2) kifejezés értékét x = 6 esetén.

Megoldás

1 út. Helyettesítsük be a 6-os számot a változó helyett ebben a kifejezésben: 3 × 6-(6 - 2) + 4×(6 - 2). A kapott numerikus kifejezés értékének meghatározásához az összes jelzett műveletet végrehajtjuk: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. , amikor x= 6 a 3x (x-2) + 4(x-2) kifejezés értéke 88.

2. módszer. Mielőtt a 6-os számot behelyettesítenénk ebbe a kifejezésbe, egyszerűsítsük: 3x (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2) (3x + 4). Aztán helyette behelyettesítve a kapott kifejezésbe x 6. szám, hajtsa végre a következő lépéseket: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4× (18 + 4) = 4 × 22 = 88.

Figyeljünk a következőkre: mind az első problémamegoldási módban, mind a másodikban az egyik kifejezést egy másikra cseréltük.

Például, a 18×4 + 4×4 kifejezést a 72+16 kifejezésre, a 3x (x - 2) + 4(x - 2) - kifejezést pedig a kifejezésre cseréltük. (X - 2)(3x + 4), és ezek a cserék ugyanerre az eredményre vezettek. A matematikában egy adott probléma megoldásának leírásakor azt mondják, hogy mi identitás-transzformációk kifejezéseket.

Meghatározás.Két kifejezést azonosnak nevezünk, ha a kifejezések definíciós tartományában lévő változók bármely értékére a megfelelő értékeik egyenlőek.

Példák az azonosan egyenlő kifejezésekre az 5(x + 2) és kifejezések 5x+ 10, hiszen bármilyen valós érték esetén xértékük egyenlő.

Ha egy bizonyos halmazon két egyforma egyenlő kifejezést kapcsolunk össze egyenlőségjellel, akkor egy úgynevezett mondatot kapunk identitás ezen a készleten.

Például, 5(x + 2) = 5x + A 10 egy azonosság a valós számok halmazán, mivel minden valós számra az 5(x + 2) és az 5x + 10 kifejezés értéke megegyezik. Egy általános kvantor jelölésével ez az azonosság a következőképpen írható fel: (" x О R) 5(x + 2) = 5x + 10. A valódi numerikus egyenlőségeket is azonosságnak tekintjük.

Egy kifejezés lecserélése egy olyan kifejezésre, amely megegyezik vele valamilyen halmazban, hívjuk egy adott kifejezés azonos transzformációja ezen a halmazon.

Így az 5(x + 2) kifejezést az azonosan egyenlő 5x + 10 kifejezéssel helyettesítve az első kifejezés azonos transzformációját hajtottuk végre. De hogyan lehet megtudni két kifejezésből, hogy azonosak-e vagy sem? Megtalálja a kifejezések megfelelő értékeit úgy, hogy meghatározott számokat helyettesít a változókkal? Ez sokáig tart, és nem mindig lehetséges. De akkor melyek azok a szabályok, amelyeket be kell tartani a kifejezések azonos transzformációinak végrehajtása során? Sok ilyen szabály létezik, köztük az algebrai műveletek tulajdonságai.

Feladat. Tényező az ax - bx + ab - b 2 kifejezést .

Megoldás. Csoportosítsuk ennek a kifejezésnek a tagjait kettővel (az elsőt a másodikkal, a harmadikat a negyedikkel): ax - bx+ ab - b 2 = (ax-bx)+(ab-b 2). Ez a transzformáció a valós számok összeadásának asszociatív tulajdonsága alapján lehetséges.

Vegyük ki minden zárójelből a közös tényezőt a kapott kifejezésben: (ax - bx) + (ab - b 2) = x(a - b) + b(a - b) - ez a transzformáció a disztributív alapján lehetséges a valós számok kivonásához viszonyított szorzás tulajdonsága.

A kapott kifejezésben a kifejezéseknek van egy közös tényezője, ezt vegyük ki a zárójelből: x(a - b) + b(a - b) = (a - b)(x - b). Az elvégzett transzformáció alapja az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási tulajdonsága.

Tehát ax - bx + ab - b 2 = (a - b)(x -b) .

A matematika kezdeti kurzusában általában csak a numerikus kifejezések azonos transzformációit hajtják végre. Az ilyen transzformációk elméleti alapja az összeadás és szorzás tulajdonságai, különféle szabályok: összeg hozzáadása a számhoz, szám összeadása összeghez, szám kivonása összegből stb.

Például a 35 × 4 szorzat megtalálásához a következő átalakításokat kell végrehajtania: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Az elvégzett átalakítások alapja: az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási tulajdonsága; a számok decimális számrendszerben való írásának elve (35 = 30 + 5); a természetes számok szorzásának és összeadásának szabályai.

Adjunk meg két algebrai kifejezést:

Készítsünk táblázatot az egyes kifejezések értékeiről az x betű különböző számértékeihez.

Látjuk, hogy az x betűnek adott összes érték esetén mindkét kifejezés jelentése egyenlőnek bizonyult. Ugyanez történik az x bármely más értékével is.

Ennek ellenőrzésére alakítsuk át az első kifejezést. Az elosztási törvény alapján ezt írjuk:

Miután elvégeztük a jelzett műveleteket a számokon, kapjuk:

Tehát az első kifejezés, miután leegyszerűsítettük, pontosan ugyanaz, mint a második kifejezés.

Most már világos, hogy x bármely értékére mindkét kifejezés értéke egyenlő.

Azokat a kifejezéseket, amelyek értéke megegyezik a bennük szereplő betűk bármely értékével, azonosnak vagy azonosnak nevezzük.

Ez azt jelenti, hogy ezek azonos kifejezések.

Tegyünk egy fontos megjegyzést. Vegyük a kifejezéseket:

Miután összeállítottunk egy, az előzőhöz hasonló táblázatot, megbizonyosodunk arról, hogy mindkét kifejezés azonos számértékkel rendelkezik az x bármely értékéhez. Csak akkor, ha a második kifejezés egyenlő 6-tal, és az első elveszti értelmét, mivel a nevező nullának bizonyul. (Ne feledje, hogy nem oszthat nullával.) Mondhatjuk-e, hogy ezek a kifejezések azonosak?

Korábban megállapodtunk abban, hogy az egyes kifejezéseket csak az elfogadható betűértékekre vesszük figyelembe, vagyis azokat az értékeket, amelyeknél a kifejezés nem veszíti el jelentését. Ez azt jelenti, hogy itt két kifejezés összehasonlításakor csak azokat a betűértékeket vesszük figyelembe, amelyek mindkét kifejezéshez elfogadhatók. Ezért ki kell zárnunk az értéket. És mivel az x összes többi értékére mindkét kifejezés azonos számértékkel rendelkezik, jogunk van azonosnak tekinteni őket.

A fentiek alapján a következő definíciót adjuk az azonos kifejezésekre:

1. A kifejezéseket azonosnak nevezzük, ha azonos számértékekkel rendelkeznek a bennük szereplő betűk összes megengedett értékéhez.

Ha két azonos kifejezést egyenlőségjellel kapcsolunk össze, akkor azonosságot kapunk. Eszközök:

2. Az identitás olyan egyenlőség, amely a benne szereplő betűk minden megengedett értékére igaz.

Korábban is találkoztunk már identitásokkal. Így például minden egyenlőség, amellyel az összeadás és szorzás alaptörvényét kifejeztük, azonosság.

Például az összeadás kommutatív törvényét kifejező egyenlőségek

és a szorzás asszociatív törvénye

bármely betűértékre érvényes. Ez azt jelenti, hogy ezek az egyenlőségek azonosságok.

Minden valódi aritmetikai egyenlőség azonosságnak is számít, például:

Az algebrában gyakran szükséges egy kifejezést egy vele azonos kifejezéssel helyettesíteni. Hagyja például, hogy megkeresse a kifejezés értékét

Nagymértékben leegyszerűsítjük a számításokat, ha ezt a kifejezést egy vele azonos kifejezésre cseréljük. Az elosztási törvény alapján ezt írhatjuk:

De a zárójelben lévő számok 100-at adnak. Ez azt jelenti, hogy megvan az azonosság:

Ha a jobb oldalon az a helyett 6,53-at cserélünk, azonnal (elménkben) megtaláljuk ennek a kifejezésnek a számértékét (653).

Egy kifejezés lecserélését egy vele azonos kifejezésre a kifejezés azonos transzformációjának nevezzük.

Emlékezzünk vissza, hogy a betűk bármely megengedett értékére vonatkozó algebrai kifejezés néhány

szám. Ebből következik, hogy az aritmetikai műveletek összes törvénye és tulajdonsága, amelyet az előző fejezetben megadtunk, alkalmazható az algebrai kifejezésekre. Tehát az aritmetikai műveletek törvényeinek és tulajdonságainak alkalmazása egy adott algebrai kifejezést egy vele azonos kifejezéssé alakít át.