Több gyerek óvodás korú tudja, hogy néz ki egy háromszög. De a gyerekek már kezdik megérteni, milyenek az iskolában. Az egyik típus az tompa háromszög. A legegyszerűbb módja annak, hogy megértsük, mi ez, ha megnézzük a képet. És elméletben ezt hívják a „legegyszerűbb sokszögnek”, amelynek három oldala és csúcsa van, amelyek közül az egyik

A fogalmak megértése

A geometriában az ilyen típusú alakzatok három oldalúak: hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű háromszög. Sőt, ezeknek a legegyszerűbb sokszögeknek a tulajdonságai mindenkinél azonosak. Igen, mindenkinek felsorolt ​​típusok ilyen egyenlőtlenség figyelhető meg. Bármely két oldal hosszának összege szükségszerűen nagyobb, mint a harmadik oldal hossza.

De hogy biztos legyek benne arról beszélünk A kész ábráról, és nem az egyes csúcsok halmazáról kell ellenőrizni, hogy teljesül-e az alapfeltétel: egy tompa háromszög szögeinek összege 180 fokkal egyenlő. Ugyanez igaz más típusú, háromoldalas figurákra is. Igaz, egy tompa háromszögben az egyik szög még 90°-nál is nagyobb, a maradék kettő pedig minden bizonnyal hegyesszögű. Ebben az esetben ez a legnagyobb szög, amely a leghosszabb oldallal szemben lesz. Igaz, ezek nem minden tulajdonsága egy tompa háromszögnek. De még ezeknek a tulajdonságoknak a ismeretében is az iskolások sok geometriai problémát meg tudnak oldani.

Minden három csúcsú sokszögre az is igaz, hogy bármelyik oldalt folytatva egy szöget kapunk, amelynek mérete egyenlő az összeggel két nem szomszédos belső csúcs. A tompa háromszög kerületét ugyanúgy számítjuk ki, mint más alakzatoknál. Ez egyenlő az összes oldala hosszának összegével. Ennek meghatározására a matematikusok különféle képleteket dolgoztak ki, attól függően, hogy milyen adatok vannak kezdetben.

Korrekt stílus

A geometriai feladatok megoldásának egyik legfontosabb feltétele a helyes rajz. A matematikatanárok gyakran mondják, hogy ez nem csak abban segít, hogy vizualizáld, mit adnak és mit kérnek tőled, hanem abban is, hogy 80%-kal közelebb kerülj a helyes válaszhoz. Ezért fontos tudni, hogyan kell tompa háromszöget készíteni. Ha csak egy hipotetikus ábrára van szüksége, akkor bármilyen három oldalú sokszöget rajzolhat úgy, hogy az egyik szög nagyobb 90 foknál.

Ha adottak az oldalak hosszának vagy a szögfokoknak bizonyos értékei, akkor ezeknek megfelelően egy tompa háromszöget kell rajzolni. Ilyenkor törekedni kell a szögek minél pontosabb ábrázolására, szögmérő segítségével számítva, és az oldalakat a feladatban megadott feltételekkel arányosan megjeleníteni.

Fő vonalak

Az iskolásoknak gyakran nem elég, ha csak azt tudják, hogy bizonyos figuráknak milyennek kell lenniük. Nem korlátozhatják magukat arra az információra, hogy melyik háromszög tompa és melyik a helyes. A matematika kurzus megköveteli, hogy a figurák alapvető jellemzőivel kapcsolatos ismereteik teljesebbek legyenek.

Tehát minden iskolásnak meg kell értenie a felező, a medián, a merőleges felező és a magasság meghatározását. Ezenkívül ismernie kell az alapvető tulajdonságaikat.

Így a felezők egy szöget felére osztanak, a szemközti oldalt pedig olyan szegmensekre, amelyek arányosak a szomszédos oldalakkal.

A medián bármely háromszöget két egyenlő területre osztja. Azon a ponton, ahol metszik, mindegyiket 2:1 arányban 2 szegmensre osztják, abból a csúcsból nézve, ahonnan kijött. Ebben az esetben a nagy medián mindig a legkisebb oldalához húzódik.

Nem kevesebb figyelmet fordítanak a magasságra. Ez merőleges a sarokkal szemközti oldalra. A tompa háromszög magasságának megvannak a maga sajátosságai. Ha egy éles csúcsból húzzuk, akkor nem ennek a legegyszerűbb sokszögnek az oldalára, hanem a folytatására kerül.

A merőleges felező az a szakasz, amely a háromszög lapjának közepétől nyúlik ki. Ráadásul derékszögben helyezkedik el hozzá.

Munka a körökkel

A geometria tanulmányozásának kezdetén elegendő, ha a gyerekek megértik, hogyan kell tompa háromszöget rajzolni, megtanulják megkülönböztetni más típusoktól, és emlékezni alapvető tulajdonságaira. Ám a középiskolásoknak ez a tudás már nem elég. Például az egységes államvizsgán gyakran vannak kérdések a körülírt és beírt körökről. Az első érinti a háromszög mindhárom csúcsát, a másodiknak pedig egy közös pontja van minden oldallal.

Egy beírt vagy körülírt tompa háromszög megalkotása sokkal nehezebb, mert ehhez először meg kell találni, hol legyen a kör középpontja és sugara. Mellesleg, ebben az esetben nem csak egy vonalzóval ellátott ceruza, hanem egy iránytű is szükséges eszköz lesz.

Ugyanezek a nehézségek merülnek fel, ha háromoldalas, feliratos sokszögeket készítünk. A matematikusok különféle képleteket fejlesztettek ki, amelyek lehetővé teszik számukra, hogy a lehető legpontosabban meghatározzák a helyüket.

Beírt háromszögek

Mint korábban említettük, ha egy kör mindhárom csúcson áthalad, akkor körülírt körnek nevezzük. Fő tulajdonsága, hogy egyedi. Ahhoz, hogy megtudja, hogyan kell elhelyezni egy tompa háromszög körülírt körét, emlékeznie kell arra, hogy a középpontja az ábra oldalaira mutató három felező merőleges metszéspontjában van. Ha egy hegyesszögű, három csúcsú sokszögben ez a pont benne lesz, akkor egy tompaszögű sokszögben kívül lesz.

Tudva például, hogy egy tompa háromszög egyik oldala megegyezik a sugarával, megtalálhatja azt a szöget, amely az ismert lappal szemben esik. A szinusza egyenlő lesz az ismert oldal hosszának 2R-rel való osztásával (ahol R a kör sugara). Vagyis a szög bűne ½ lesz. Ez azt jelenti, hogy a szög 150° lesz.

Ha meg kell találni egy tompaszögű háromszög kerületi sugarát, akkor információra lesz szükségünk oldalainak hosszáról (c, v, b) és S területéről. Végül is a sugarat a következőképpen számítjuk ki: (c x v x b) : 4 x S. Egyébként nem mindegy, hogy milyen típusú alakja van: skálázott tompa háromszög, egyenlő szárú, derékszögű vagy hegyesszögű. A fenti képletnek köszönhetően bármilyen helyzetben megtudhatja egy adott sokszög területét három oldallal.

Körülírt háromszögek

Gyakran kell beírt körökkel is dolgozni. Az egyik képlet szerint egy ilyen alak sugara, megszorozva a kerület ½-ével, egyenlő lesz a háromszög területével. Igaz, hogy kitaláljuk, ismernünk kell egy tompa háromszög oldalait. Végül is a kerület felének meghatározásához össze kell adni a hosszukat, és el kell osztani 2-vel.

Ahhoz, hogy megértsük, hol legyen egy tompa háromszögbe írt kör középpontja, három felezőt kell rajzolni. Ezek a vonalak felosztják a sarkokat. A metszéspontjukban lesz a kör középpontja. Ebben az esetben mindkét oldaltól egyenlő távolságra lesz.

Egy ilyen tompa háromszögbe írt kör sugara egyenlő a (p-c) x (p-v) x (p-b): p hányadossal. Ebben az esetben p a háromszög fél kerülete, c, v, b az oldalai.

Hogyan rajzoljunk háromszöget?

Építkezés különböző háromszögek- szükséges elem iskolai tanfolyam geometria. Sokakban ez a feladat félelmet kelt. De valójában minden nagyon egyszerű. A következő cikk leírja, hogyan lehet bármilyen típusú háromszöget rajzolni iránytű és vonalzó segítségével.

Vannak háromszögek

• sokoldalú;
• egyenlő szárú;
• egyenlő oldalú;
• négyszögletes;
• tompaszögű;
• hegyesszögű;
• körbe írva;
• körben írják le.

Egyenlő oldalú háromszög felépítése

Egy egyenlő oldalú háromszög olyan, amelynek minden oldala egyenlő. A háromszögtípusok közül az egyenlő oldalú háromszögeket a legkönnyebb megrajzolni.

1. Vonalzó segítségével rajzolja meg az egyik oldalt adott hosszúságban.
2. Mérje meg a hosszát egy iránytű segítségével.
3. Helyezze az iránytű pontját a szakasz egyik végére, és rajzoljon egy kört.
4. Helyezze a pontot a szakasz másik végére, és rajzoljon egy kört.
5. A körök 2 metszéspontját kaptuk. Ha bármelyiket a szakasz éleihez kapcsoljuk, egyenlő oldalú háromszöget kapunk.

Egyenlőszárú háromszög felépítése

Az ilyen típusú háromszögek az alap és az oldalak felhasználásával készíthetők.

Egy egyenlő szárú háromszög olyan, amelynek két oldala egyenlő. Annak érdekében, hogy rajzoljon egyenlő szárú háromszög Ezen paraméterek szerint a következő műveleteket kell végrehajtania:

1. Vonalzó segítségével jelöljön ki egy, az alappal megegyező hosszúságú szakaszt. AC betűkkel jelöljük.
2. Iránytű segítségével mérje meg a kívánt oldalhosszt.
3. Az A pontból, majd a C pontból köröket rajzolunk, amelyek sugara hosszával egyenlő oldal.
4. Két metszéspontot kapunk. Az egyiket az A és C pontokkal összekötve megkapjuk a szükséges háromszöget.

Derékszögű háromszög felépítése

Az egy derékszögű háromszöget derékszögű háromszögnek nevezzük. Ha kapunk egy lábat és egy befogót, nem nehéz derékszögű háromszöget rajzolni. Láb és hipotenúza segítségével megépíthető.

Tompa háromszög szerkesztése egy szög és két szomszédos oldal felhasználásával

Ha egy háromszög egyik szöge tompaszögű (több mint 90 fok), akkor tompaszögnek nevezzük. Egy tompa háromszög rajzolásához a megadott paraméterekkel a következőket kell tennie:

1. Vonalzó segítségével jelöljön ki egy olyan szakaszt, amelynek hossza megegyezik a háromszög egyik oldalával. Jelöljük A és D betűkkel.
2. Ha a feladatban már megrajzoltak egy szöget, és ugyanazt kell megrajzolnia, akkor a képére tegyen két szegmenst, amelyek mindkét vége a szög csúcsában fekszik, és a hossza megegyezik a feltüntetett oldalakkal. Csatlakoztassa a kapott pontokat. Megvan a kívánt háromszög.
3. A rajzra való átvitelhez meg kell mérnie a harmadik oldal hosszát.

Hegyesszögű háromszög felépítése

Egy hegyesszögű háromszöget (minden szög 90 foknál kisebb) ugyanezen elv alapján készítünk.

1. Rajzolj két kört. Az egyik középpontja a D pontban van, sugara megegyezik a harmadik oldal hosszával, a másodiké pedig az A pontban, a sugara pedig megegyezik a feladatban jelzett oldal hosszával. .
2. Kössük össze a kör egyik metszéspontját az A és D pontokkal. Megszerkesztjük a szükséges háromszöget.

Beírt háromszög

A háromszög körben történő rajzolásához emlékeznie kell a tételre, amely kimondja, hogy a körülírt kör középpontja a merőleges felezők metszéspontjában található:

Tompa háromszög esetén a körülírt kör középpontja a háromszögön kívül van, míg derékszögű háromszögnél a befogó felezőpontjában.

Rajzolj egy körülírt háromszöget

A körülírt háromszög olyan háromszög, amelynek középpontjában egy kört húzunk, amely minden oldalát érinti. A kör középpontja a felezők metszéspontjában van. Megépítésükhöz szüksége lesz:

Utasítás

Helyezze az iránytűt a megjelölt pontra. Egy tollal ellátott láb segítségével rajzoljon egy mért sugarú körívet.

Helyezzen egy pontot bárhová a rajzolt ív kerülete mentén. Ez lesz a létrehozandó háromszög második B csúcsa.

Helyezze a lábat a második csúcsra hasonló módon. Rajzolj egy másik kört úgy, hogy az metszi az elsőt.

A létrehozott háromszög harmadik C csúcsa mindkét megrajzolt ív metszéspontjában található. Jelölje meg a képen.

Miután megkapta mindhárom csúcsot, kösse össze őket egyenes vonalakkal bármilyen sík felülettel (lehetőleg vonalzóval). Az ABC háromszög megszerkesztve.

Ha egy kör mindhárom oldalát érinti adott háromszög, középpontja pedig a háromszögön belül van, akkor a háromszögbe írtnak nevezzük.

Szükséged lesz

• vonalzó, iránytű

Utasítás

A háromszög csúcsaiból (az osztandó szöggel ellentétes oldal) körzővel tetszőleges sugarú köríveket húzunk, amíg azok metszik egymást;

A vonalzó mentén az ívek metszéspontja az osztható szög csúcsához kapcsolódik;

Ugyanez történik bármely más szöggel;

A háromszögbe írt kör sugara a háromszög területének és fél kerületének aránya lesz: r=S/p, ahol S a háromszög területe, és p=(a+ b+c)/2 a háromszög fél kerülete.

A háromszögbe írt kör sugara egyenlő távolságra van a háromszög minden oldalától.

Források:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Tekintsük a háromszög felépítésének problémáját, feltéve, hogy ismerjük a három oldalát vagy az egyik oldalát és a két szögét.

Szükséged lesz

• - iránytű
• - vonalzó
• - szögmérő

Utasítás

Tegyük fel, hogy három oldala van: a, b és c. Használata nem nehéz ilyen oldalakkal. Először válasszuk ki ezen oldalak közül a leghosszabbat, legyen c oldal, és rajzoljuk meg. Ezután beállítjuk az iránytű nyílását a másik oldal, a oldal értékére, és a sugarú körzővel kört rajzolunk, amelynek középpontja a c oldal egyik végén van. Most állítsa be az iránytű nyílását a b oldal méretére, és rajzoljon egy kört, amelynek középpontja a c oldal másik végén van. Ennek a körnek a sugara b. Kössük össze a körök metszéspontját a középpontokkal, és kapjunk egy háromszöget a szükséges oldalakkal.

Adott oldalú és két szomszédos szögű háromszög rajzolásához használjon szögmérőt. Rajzolja meg a megadott hosszúságú oldalt. A széleinél szögmérővel jelölje meg a sarkokat. A szögek oldalainak metszéspontjában kapjuk meg a háromszög harmadik csúcsát.

Videó a témáról

jegyzet

Egy háromszög oldalaira igaz a következő állítás: bármely két oldal hosszának összege nagyobb kell legyen, mint a harmadik. Ha ez nem teljesül, akkor lehetetlen ilyen háromszöget létrehozni.

Az 1. lépésben szereplő körök két pontban metszik egymást. Bármelyiket választhatja, a háromszögek egyenlőek lesznek.

A szabályos háromszög olyan, amelynek minden oldala azonos hosszúságú. E meghatározás alapján az ilyen típusú háromszög megalkotása nem nehéz feladat.

Szükséged lesz

• Vonalzó, vonalas papírlap, ceruza

Utasítás

Vonalzó segítségével kössük egymás után a papírlapon jelölt pontokat a 2. ábrán látható módon.

jegyzet

Egy szabályos (egyenlő oldalú) háromszögben minden szög egyenlő 60 fokkal.

Hasznos tanács

Az egyenlő oldalú háromszög egyenlő szárú háromszög is. Ha egy háromszög egyenlő szárú, ez azt jelenti, hogy három oldala közül kettő egyenlő, és a harmadik oldalt tekintjük alapnak. Bármely szabályos háromszög egyenlő szárú, míg az ellenkezője nem igaz.

Minden egyenlő oldalú háromszögnek nemcsak oldalai, hanem szögei is megegyeznek, amelyek mindegyike 60 fok. Azonban egy ilyen háromszög szögmérővel megszerkesztett rajza nem lesz túl pontos. Ezért ennek az alaknak az elkészítéséhez jobb egy iránytűt használni.

Szükséged lesz

• Ceruza, vonalzó, iránytű

Utasítás

Ezután vegyen egy iránytűt, helyezze a végeire (a háromszög jövőbeli csúcsa), és rajzoljon egy kört sugarával hosszával egyenlő ezt a szegmenst. Nem kell az egész kört megrajzolnia, hanem csak a negyedét kell megrajzolnia a szegmens másik szélétől.

Most mozgassa az iránytűt a szegmens másik végére, és ismét rajzoljon egy azonos sugarú kört. Itt elegendő egy kört megszerkeszteni, amely a szakasz túlsó végétől a már megszerkesztett ívvel való metszéspontig halad. Az eredményül kapott pont a háromszöged harmadik csúcsa lesz.

Az építés befejezéséhez vegye újra a vonalzót és a ceruzát, és kösse össze a két kör metszéspontját a szakasz mindkét végével. Egy olyan háromszöget kapunk, amelynek mindhárom oldala teljesen egyenlő – ez egy vonalzóval könnyen ellenőrizhető.

Videó a témáról

A háromszög olyan sokszög, amelynek három oldala van. Az egyenlő oldalú vagy szabályos háromszög olyan háromszög, amelynek minden oldala és szöge egyenlő. Nézzük meg, hogyan kell szabályos háromszöget rajzolni.

Szükséged lesz

• Vonalzó, iránytű.

Utasítás

Iránytűvel rajzoljunk egy másik kört, melynek középpontja a B pontban lesz, és a sugara megegyezik a BA szakaszával.

A körök két pontban metszik egymást. Válasszon ezek közül bármelyiket. Nevezzük C-nek. Ez lesz a háromszög harmadik csúcsa.

Kösd össze a csúcsokat. A kapott háromszög helyes lesz. Erről úgy győződjünk meg, hogy vonalzóval mérjük meg az oldalait.

Nézzünk egy módot egy szabályos háromszög felépítésére két vonalzó segítségével. Rajzolj egy szakaszt OK, ez lesz a háromszög egyik oldala, és az O és K pontok a csúcsai.

A vonalzó elmozdítása nélkül a szakasz OK felépítése után csatoljon rá egy másik vonalzót merőlegesen. Rajzolj egy m egyenest, amely az OK szakaszt középen metszi.

Egy vonalzó segítségével mérjünk meg egy OE szakaszt, amely megegyezik az OK szakasszal úgy, hogy az egyik vége egybeessen az O ponttal, a másik pedig az m egyenesen legyen. Az E pont lesz a háromszög harmadik csúcsa.

Fejezze be a háromszög felépítését az E és K pontok összekapcsolásával. Ellenőrizze a szerkesztés helyességét vonalzóval!

jegyzet

A szögek megmérésével szögmérő segítségével ellenőrizheti, hogy a háromszög szabályos-e.

Hasznos tanács

Egy kockás papírlapra egy vonalzó segítségével egyenlő oldalú háromszög is rajzolható. Másik vonalzó használata helyett használjon merőleges vonalakat.

Források:

• A háromszögek osztályozása. Egyenlő oldalú háromszögek
• Mi az a háromszög
• szabályos háromszög felépítése

A beírt háromszög az, amelynek csúcsai a körön vannak. Meg tudod építeni, ha ismered legalább az egyik oldalát és szögét. A körülírt kört körülírt körnek nevezik, és ez lesz az egyetlen a háromszögben.

Szükséged lesz

• - kör;
• - háromszög oldala és szöge;
• - papír;
• - iránytű;
• - vonalzó;
• - szögmérő;
• - számológép.

Utasítás

Az A pontból szögmérővel ábrázoljuk az adott szöget. Folytassa a szög oldalát, amíg az nem metszi a kört, és helyezze el a C pontot. Kösse össze a B és C pontokat. Van egy ABC háromszög. Bármilyen típusú lehet. A kör középpontja hegyesszögű háromszögnél kívül van, tompa háromszögnél kívül, téglalap alakú háromszögnél pedig a hipotenuszon van. Ha nem szöget adunk meg, hanem például egy háromszög három oldalát, akkor a sugárból és az ismert oldalból számítsuk ki az egyik szöget.

Sokkal gyakrabban kell foglalkozni a fordított konstrukcióval, amikor kapsz egy háromszöget, és kört kell körülírnod. Számítsa ki a sugarát. Ezt többféle képlet segítségével is megteheti, attól függően, hogy mit kap. A sugarat például az ellentétes szög oldala és szinusza alapján találhatjuk meg. Ebben az esetben egyenlő az oldal hossza osztva a szemközti szög szinuszának kétszeresével. Vagyis R=a/2sinCAB. Az oldalak szorzatán keresztül is kifejezhető, ebben az esetben R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Határozza meg a kör középpontját. Oszd ketté az összes oldalt, és húzz merőlegeseket a felezőpontokra. A metszéspontjuk a kör középpontja lesz. Rajzolja meg úgy, hogy a sarkok összes csúcsát metszi.

Kettő rövid oldalak derékszögű háromszög, amelyeket általában lábaknak neveznek, definíció szerint merőlegesnek kell lenniük egymásra. Az ábra ezen tulajdonsága nagyban megkönnyíti a felépítését. A merőlegességet azonban nem mindig lehet pontosan meghatározni. Ilyen esetekben kiszámíthatja az összes oldal hosszát - ez lehetővé teszi egy háromszög felépítését az egyetlen lehetséges és ezért helyes módon.

Szükséged lesz

• Papír, ceruza, vonalzó, szögmérő, iránytű, négyzet.

Hogyan készítsünk egyenlő szárú háromszöget? Ez egyszerűen megtehető vonalzóval, ceruzával és notebook cellákkal.

Az egyenlő szárú háromszög felépítését az alaptól kezdjük. Ahhoz, hogy a minta egyenletes legyen, az alap celláinak páros számnak kell lenniük.

Oszd ketté a szakaszt - a háromszög alapját.

A háromszög csúcsa az alaptól tetszőleges magasságban választható, de mindig pontosan a közepe felett.

Hogyan készítsünk hegyesszögű egyenlő szárú háromszöget?

Egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek csak hegyesek lehetnek. Ahhoz, hogy egy egyenlő szárú háromszög hegyes legyen, a csúcsnál lévő szögnek is hegyesnek kell lennie.

Ehhez válassza ki a háromszög csúcsát magasabban, távolabb az alaptól.

Minél magasabb a csúcs, annál kisebb szög a csúcson. A szögek az alapnál ennek megfelelően nőnek.

Hogyan készítsünk tompa egyenlő szárú háromszöget?

Ahogy egy egyenlő szárú háromszög csúcsa közeledik az alaphoz, a csúcsban lévő szög mértéke növekszik.

Ez azt jelenti, hogy egy egyenlő szárú tompa háromszög megszerkesztéséhez egy alsó csúcsot választunk.

Hogyan készítsünk egyenlő szárú derékszögű háromszöget?

Egyenlő szárú derékszögű háromszög felépítéséhez ki kell választani egy csúcsot az alap felével egyenlő távolságra (ez az egyenlő szárú derékszögű háromszög tulajdonságainak köszönhető).

Például, ha az alap hossza 6 cella, akkor a háromszög csúcsát 3 cellával az alap közepe fölé helyezzük. Kérjük, vegye figyelembe: ebben az esetben az alap sarkainál minden cellát átlósan osztanak fel.

Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög építése a csúcsból kezdhető.

Kijelölünk egy csúcsot, és abból derékszögben egyenlő szakaszokat fektetünk fel és jobbra. Ezek a háromszög oldalai.

Kössük össze őket, és kapjunk egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget.

Egy másik témában fogjuk megvizsgálni az egyenlő szárú háromszög felépítését iránytű és vonalzó segítségével osztás nélkül.