Írja be azt a függvényt, amelyhez meg kell találnia az integrált

A határozatlan integrál kiszámítása után ingyen kaphat RÉSZLETES MEGOLDÁS a beírt integrál.

Keressük meg a megoldást az f(x) függvény határozatlan integráljára (a függvény antideriváltjára).

Példák

Fokozat használata
(négyzet és kocka) és törtek

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Négyzetgyök

Sqrt(x)/(x + 1)

köbgyök

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Szinusz és koszinusz használata

2*sin(x)*cos(x)

arcszinusz

X*arcsin(x)

ív koszinusz

X*arccos(x)

A logaritmus alkalmazása

X*log(x, 10)

Természetes logaritmus

Kiállító

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Irracionális törtek

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangens

X*arctg(x)

Arccotangens

X*arсctg(x)

Hiperbolikus szinusz és koszinusz

2*sh(x)*ch(x)

Hiperbolikus érintő és kotangens

Ctgh(x)/tgh(x)

Hiperbolikus arcszinusz és arkoszinusz

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolikus arctangens és arckotangens

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Kifejezések és függvények bevitelének szabályai

A kifejezések függvényekből állhatnak (a jelöléseket adjuk meg ábécésorrend): abszolút (x) Abszolút érték x
(modul x vagy |x|) arccos(x) Funkció - ív koszinusza x arccosh(x)Ív koszinusz hiperbolikus innen x arcsin(x) Arcsine from x arcsinh(x) Arcsine hyperbolic from x arctan(x) Függvény - arctangense x arctgh(x) Arctangens hiperbolikus innen x e e egy szám, amely megközelítőleg egyenlő 2,7-tel exp(x) Függvény - kitevője x(mint e^x) log(x) vagy ln(x) természetes logaritmusa x
(Megszerezni log7(x), be kell írnia a log(x)/log(7) parancsot (vagy például a for log10(x)=log(x)/log(10)) pi A szám "Pi", ami körülbelül 3,14 bűn(x) Funkció - Sine of x cos(x) Funkció - koszinusza x sinh(x) Funkció - Szinusz hiperbolikus innen x cosh(x) Funkció – koszinusz hiperbolikus innen x sqrt(x) Funkció - Négyzetgyök tól től x sqr(x) vagy x^2 Funkció - Négyzet x barna(x) Funkció – Érintő innen x tgh(x) Funkció – Tangens hiperbolikus innen x cbrt(x) Funkció - kockagyöke x

A következő műveletek használhatók kifejezésekben: Valós számokírja be mint 7.5 , Nem 7,5 2*x- szorzás 3/x- osztály x^3- hatványozás x+7- kiegészítés x - 6- kivonás
Más funkciók: emelet (x) Funkció - kerekítés x lefelé (például padló(4,5)==4,0) mennyezet (x) Funkció - kerekítés x felfelé (például mennyezet (4,5)==5,0) jel (x) Funkció - Jel x erf(x) Hibafüggvény (vagy valószínűségi integrál) lapla(x) Laplace függvény

A törtszerűen racionális függvény határozatlan integráljának megtalálásának problémája az egyszerű törtek integrálásához vezet. Ezért azt javasoljuk, hogy először ismerkedjen meg a törtek legegyszerűbb lebontásának elméletével.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megoldás.

Mivel az integrandus számlálójának foka megegyezik a nevező mértékével, először a teljes részt jelöljük ki úgy, hogy a polinomot elosztjuk a polinommal egy oszloppal:

Ezért, .

A kapott megfelelő racionális tört egyszerűbb törtekre bontásának van formája . Ennélfogva,

A kapott integrál a harmadik típus legegyszerűbb törtjének integrálja. Kicsit előre tekintve megjegyezzük, hogy ezt a differenciáljel alá vonva veheti át.

Mert , Azt . Ezért

Ennélfogva,

Most térjünk át a négy típus egyszerű törteinek integrálására szolgáló módszerek leírására.

Az első típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer ideális a probléma megoldására:

Példa.

Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás.

Keressük meg a határozatlan integrált az antiderivált tulajdonságainak, az antideriválták táblázatának és az integrációs szabálynak a segítségével.

Lap teteje

A második típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer is alkalmas ennek a problémának a megoldására:

Példa.

Megoldás.

Lap teteje

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálása

Először a határozatlan integrált mutatjuk be összegként:

Az első integrált a differenciáljel alá vesszük:

Ezért,

Alakítsuk át a kapott integrál nevezőjét:

Ennélfogva,

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálásának képlete a következő:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

A kapott képletet használjuk:

Ha nem lenne ez a képlet, mit tennénk:

Lap teteje

A negyedik típusú egyszerű törtek integrálása

Az első lépés az, hogy a különbségi jel alá helyezzük:

A második lépés az űrlap integráljának megkeresése . Az ilyen típusú integrálokat ismétlődési képletekkel találjuk meg. (Lásd az ismétlődési képletekkel történő integrációról szóló részt.) A következő ismétlődő képlet alkalmas esetünkre:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált

Megoldás.

Az ilyen típusú integrandusokhoz a helyettesítési módszert használjuk. Vezessünk be egy új változót (lásd az integráció ir racionális függvények):

Csere után a következőkkel rendelkezünk:

Eljutottunk a negyedik típus törtjének integráljához. A mi esetünkben vannak együtthatók M = 0, p = 0, q = 1, N = 1És n=3. Az ismétlődő képletet alkalmazzuk:

A fordított csere után a következő eredményt kapjuk:

Integráció trigonometrikus függvények

1. Az űrlap integráljai úgy számíthatók ki, hogy a trigonometrikus függvények szorzatát összeggé alakítják a következő képletekkel: Például 2. Az űrlap integráljai , Ahol m vagy n– egy páratlan pozitív szám, amelyet úgy számítunk ki, hogy a differenciáljel alá vonjuk. Például, 3. Az űrlap integráljai , Ahol mÉs n– a páros pozitív számokat a fokozatcsökkentési képletekkel számítjuk ki: pl. 4. Integrálok ahol a változó módosításával számítható ki: vagy Például, 5. Az alak integráljait univerzális trigonometrikus behelyettesítéssel racionális törtek integráljaivá redukáljuk akkor (mivel =[miután a számlálót és a nevezőt elosztottuk ]= ; Például, Meg kell jegyezni, hogy az univerzális helyettesítés alkalmazása gyakran nehézkes számításokhoz vezet.

§5. A legegyszerűbb irracionalitások integrálása

Tekintsünk módszereket az irracionalitás legegyszerűbb típusainak integrálására. 1. Az ilyen típusú függvényeket ugyanúgy integráljuk, mint a 3. típusú legegyszerűbb racionális törteket: a nevezőben a négyzetes hármast elválasztjuk. tökéletes négyzetés egy új változó kerül bevezetésre. Példa. 2. (integráljel alatt – argumentumok racionális funkciója). Az ilyen típusú integrálok számítása helyettesítéssel történik. Különösen annak az alaknak az integráljaiban, amelyet jelölünk. Ha az integrandus gyököket tartalmaz különböző fokozatok: , majd jelölje meg, hogy hol n– számok legkisebb közös többszöröse m,k. 1. példa 2. példa - nem megfelelő racionális tört, válassza ki a teljes részt: – – – 3. Az űrlap integráljai trigonometrikus helyettesítésekkel számítják ki:

44

45 Határozott integrál

Határozott integrál- egy párok halmazán definiált additív monoton normalizált függvény, amelynek első komponense egy integrálható függvény vagy funkcionális, a második pedig egy tartomány az ezt a függvényt meghatározó halmazban (funkcionális).

Meghatározás

Legyen definiálva . Osszuk fel részekre több tetszőleges ponttal. Ezután azt mondják, hogy a szegmens particionálva lett, majd válasszon egy tetszőleges pontot , ,

Egy függvény meghatározott integrálja egy intervallumon az integrálösszegek határa, mivel a partíció rangja nullára hajlik, ha a partíciótól és a pontválasztástól függetlenül létezik, azaz

Ha a megadott határérték létezik, akkor a függvényt Riemann integrálhatónak mondjuk.

Megnevezések

· - alsó határ.

· - felső határ.

· - integrand függvény.

· - a részszakasz hossza.

· - a megfelelő partíció függvényének integrál összege.

· - egy részszakasz maximális hossza.

Tulajdonságok

Ha egy függvény Riemann integrálható -ra, akkor arra korlátos.

Geometriai jelentés

Határozott integrál, mint egy ábra területe

Határozott integrál numerikusan területtel egyenlő az x tengely, az egyenesek és a függvény grafikonja által határolt ábra.

Newton-Leibniz tétel

[szerkesztés]

(átirányítva a "Newton-Leibniz Formula"-ból)

Newton-Leibniz képlet vagy elemzés főtételeösszefüggést ad két művelet között: egy határozott integrál vétele és az antiderivált kiszámítása között.

Bizonyíték

Adjunk meg egy integrálható függvényt egy intervallumon. Kezdjük azzal, hogy megjegyezzük

vagyis nem mindegy, hogy a szegmens feletti határozott integrálban melyik betű (vagy) van a jel alatt.

Állítsunk be egy tetszőleges értéket és adjunk meg egy új függvényt . Minden értékére definiálva van, mert tudjuk, hogy ha van integrálja on, akkor van integrálja is, ahol . Emlékezzünk vissza, hogy definíció szerint tekintjük

(1)

vegye észre, az

Mutassuk meg, hogy folytonos az intervallumon. Sőt, hadd ; Akkor

és ha , akkor

Így folyamatos, függetlenül attól, hogy vannak-e vagy nincsenek megszakadásai; fontos, hogy integrálható legyen a -n.

Az ábra egy grafikont mutat. A változó ábra területe . Növekménye megegyezik az ábra területével , amely korlátoltsága miatt nyilván nullára hajlik, függetlenül attól, hogy folytonossági vagy megszakítási pontról van szó, például pontról.

Legyen most a függvény ne csak integrálható -on, hanem folytonos is a ponton. Bizonyítsuk be, hogy akkor a derivált ezen a ponton egyenlő

(2)

Valójában a jelzett pontra

(1) , (3)

Feltesszük a , és mivel állandó a ,TO-hoz képest . Továbbá, egy pont folytonossága miatt, bárki megadhatja úgy, hogy for .

ami azt bizonyítja bal oldal ez az egyenlőtlenség o(1) -re.

A (3) at-beli határértékre való átlépés megmutatja a pont deriváltjának létezését és a (2) egyenlőség érvényességét. Amikor itt a jobboldali és baloldali származékokról, ill.

Ha egy függvény folytonos -on, akkor a fentiek alapján a megfelelő függvény

(4)

-vel egyenlő deriváltja van. Ezért a függvény a .

Ezt a következtetést néha változó felső határú integráltételnek vagy Barrow-tételnek nevezik.

Bebizonyítottuk, hogy egy intervallumon folytonos tetszőleges függvénynek ezen az intervallumon van antideriváltja, amelyet a (4) egyenlőség határoz meg. Ez bizonyítja, hogy létezik egy antiderivált bármely intervallumon folytonos függvényre.

Legyen most egy önkényes funkció antiderivatívája tovább . Tudjuk, hogy hol van valami állandó. Feltételezve ebben az egyenlőségben és ezt figyelembe véve azt kapjuk, hogy .

És így, . De

Nem megfelelő integrál

[szerkesztés]

Anyag a Wikipédiából - a szabad enciklopédiából

Határozott integrál hívott nem a sajátod, ha legalább az egyik következő feltételekkel:

· A vagy b határérték (vagy mindkét határérték) végtelen;

· Az f(x) függvénynek egy vagy több töréspontja van a szakaszon belül.

[szerkesztés] Az első típusú nem megfelelő integrálok

. Akkor:

1. Ha és az integrált ún . Ebben az esetben konvergensnek nevezzük.

, vagy egyszerűen eltérő.

Legyen definiált és folytonos az és a halmazon . Akkor:

1. Ha , akkor a jelölést használjuk és az integrált ún az első típusú helytelen Riemann-integrál. Ebben az esetben konvergensnek nevezzük.

2. Ha nincs véges ( vagy ), akkor az integrálról azt mondjuk, hogy eltér , vagy egyszerűen eltérő.

Ha egy függvény definiált és folytonos a teljes számegyenesen, akkor előfordulhat, hogy ennek a függvénynek nem megfelelő integrálja van kettővel. végtelen határok integráció, amelyet a következő képlet határoz meg:

, ahol c egy tetszőleges szám.

[szerkesztés] Az első típusú helytelen integrál geometriai jelentése

A nem megfelelő integrál egy végtelenül hosszú ívelt trapéz területét fejezi ki.

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] A második típusú nem megfelelő integrálok

Legyen definiálva, szenvedjen végtelen szakadást az x=a és pontban . Akkor:

1. Ha , akkor a jelölést használjuk és az integrált ún

divergensnek nevezzük , vagy egyszerűen eltérő.

Legyen definiálva, végtelen folytonossági hiányt szenved x=b és helyen . Akkor:

1. Ha , akkor a jelölést használjuk és az integrált ún a második típusú helytelen Riemann-integrál. Ebben az esetben az integrált konvergensnek nevezzük.

2. Ha vagy , akkor a megnevezés változatlan marad, és divergensnek nevezzük , vagy egyszerűen eltérő.

Ha a függvény szakadást szenved a szakasz egy belső pontjában, akkor a második típusú nem megfelelő integrált a következő képlet határozza meg:

[szerkesztés] A második típusú nem megfelelő integrálok geometriai jelentése

A nem megfelelő integrál egy végtelenül magas ívelt trapéz területét fejezi ki

[szerkesztés] Példa

[szerkesztés] Elszigetelt eset

Legyen a függvény definiálva a teljes számegyenesen, és legyen szakadása a pontokban.

Ekkor megtaláljuk a nem megfelelő integrált

[szerkesztés] Cauchy-kritérium

1. Legyen definiálva egy halmazon és -ből .

Akkor konvergál

2. Legyen definiálva és .

Akkor konvergál

[szerkesztés]Abszolút konvergencia

Integrál hívott abszolút konvergens, Ha konvergál.
Ha az integrál abszolút konvergál, akkor konvergál.

[szerkesztés]Feltételes konvergencia

Az integrált ún feltételesen konvergens, ha konvergál, de eltér.

48 12. Nem megfelelő integrálok.

A határozott integrálok figyelembe vételekor azt feltételeztük, hogy az integráció régiója korlátozott (pontosabban egy szegmens [ a ,b ]); Határozott integrál létezéséhez az integrandusnak korlátosnak kell lennie [ a ,b ]. Olyan határozott integrálokat fogunk nevezni, amelyekre mindkét feltétel teljesül (mind az integráció tartományának, mind az integrandusnak a határa) saját; integrálok, amelyeknél megsértik ezeket a követelményeket (vagyis vagy az integrandus, vagy az integráció tartománya korlátlan, vagy mindkettő) nem a sajátod. Ebben a részben a nem megfelelő integrálokat fogjuk tanulmányozni.

• 12.1. Nem megfelelő integrálok korlátlan intervallumon (az első típusú nem megfelelő integrálok).
• 12.1.1. Nem megfelelő integrál definíciója végtelen intervallumon. Példák.
• 12.1.2. Newton-Leibniz képlet egy nem megfelelő integrálhoz.
• 12.1.3. Nemnegatív függvények összehasonlítási kritériumai.
• 12.1.3.1. Összehasonlítás jele.
• 12.1.3.2. Az összehasonlítás jele a maga szélsőséges formájában.
• 12.1.4. Nem megfelelő integrálok abszolút konvergenciája végtelen intervallumon keresztül.
• 12.1.5. Abel és Dirichlet konvergenciájának tesztjei.
• 12.2. Korlátlan függvények nem megfelelő integráljai (második típusú nem megfelelő integrálok).
• 12.2.1. Korlátlan függvény nem megfelelő integráljának definíciója.
• 12.2.1.1. A szingularitás az integrációs intervallum bal végén található.
• 12.2.1.2. A Newton-Leibniz formula alkalmazása.
• 12.2.1.3. Szingularitás az integrációs intervallum jobb végén.
• 12.2.1.4. Szingularitás az integrációs intervallum belső pontjában.
• 12.2.1.5. Az integrációs intervallum számos funkciója.
• 12.2.2. Nemnegatív függvények összehasonlítási kritériumai.
• 12.2.2.1. Összehasonlítás jele.
• 12.2.2.2. Az összehasonlítás jele a maga szélsőséges formájában.
• 12.2.3. Nem folytonos függvények nem megfelelő integráljainak abszolút és feltételes konvergenciája.
• 12.2.4. Abel és Dirichlet konvergenciájának tesztjei.

12.1. Nem megfelelő integrálok korlátlan intervallumon

(az első típusú nem megfelelő integrálok).

12.1.1. Nem megfelelő integrál definíciója végtelen intervallumon. Hagyja a függvényt f (x ) a féltengelyen van definiálva, és bármely intervallumban integrálható [ minden esetben a megfelelő határértékek létezését és végességét jelenti. Most a példák megoldásai egyszerűbbnek tűnnek: .

12.1.3. Nemnegatív függvények összehasonlítási kritériumai. Ebben a részben azt feltételezzük, hogy minden integrandus nem negatív a teljes definíciós tartományban. Eddig úgy határoztuk meg az integrál konvergenciáját, hogy kiszámítottuk: ha létezik végső határ antiderivált a megfelelő tendenciával ( vagy ), akkor az integrál konvergál, ellenkező esetben divergál. Gyakorlati problémák megoldásánál azonban fontos először a konvergencia tényét megállapítani, és csak utána számítani az integrált (az antiderivált gyakran nem fejeződik ki elemi függvények). Fogalmazzunk meg és bizonyítsunk be számos olyan tételt, amelyek lehetővé teszik, hogy kiszámítás nélkül megállapítsuk a nemnegatív függvények nem megfelelő integráljainak konvergenciáját és divergenciáját.
12.1.3.1. Összehasonlító jel. Hagyjuk a függvényeket f (x ) És g (x ) integrál

TÉMA: Racionális törtek integrálása.

Figyelem! Az integrálás egyik alapvető módszerének, a racionális törtek integrálásának tanulmányozásakor a szigorú bizonyítások elvégzéséhez figyelembe kell venni a komplex tartományban lévő polinomokat. Ezért szükséges előre tanulni néhány tulajdonság komplex számokés a rajtuk végzett műveletek.

Egyszerű racionális törtek integrálása.

Ha P(z) És K(z) polinomok a komplex tartományban, akkor ezek racionális törtek. Ez az úgynevezett helyes, ha fok P(z) kevesebb fokozat K(z) , És rossz, ha fok R nem kevesebb, mint egy diploma K.

Bármely helytelen tört ábrázolható a következőképpen: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polinom, amelynek foka kisebb, mint a fok K(z).

Így a racionális törtek integrálása a polinomok, vagyis a hatványfüggvények és a megfelelő törtek integrálására vezethető vissza, mivel ez egy megfelelő tört.

5. definíció. A legegyszerűbb (vagy elemi) törtek a következő típusú törtek:

1) , 2) , 3) , 4) .

Nézzük meg, hogyan integrálódnak.

3) (korábban tanulmányozták).

5. Tétel. Minden megfelelő tört egyszerű törtek összegeként ábrázolható (bizonyítás nélkül).

Következmény 1. Ha egy megfelelő racionális tört, és ha a polinom gyökei között csak egyszerű valós gyök találhatók, akkor a tört egyszerű törtek összegére történő felbontásánál csak az 1. típusú egyszerű törtek lesznek:

1. példa

Következmény 2. Ha egy megfelelő racionális tört, és ha a polinom gyökei között csak több valós gyök van, akkor a tört egyszerű törtek összegére történő felbontásánál csak az 1. és 2. típusú egyszerű törtek lesznek. :

2. példa

Következmény 3. Ha egy megfelelő racionális tört, és ha a polinom gyökei között csak egyszerű összetett konjugált gyök található, akkor a tört egyszerű törtek összegére történő felbontásánál csak a 3. típusú egyszerű törtek lesznek:

3. példa

Következmény 4. Ha egy megfelelő racionális tört, és ha a polinom gyökei között csak több összetett konjugált gyök található, akkor a tört egyszerű törtek összegére történő felbontásánál a 3. és 4. típusok:

Az ismeretlen együtthatók meghatározásához az adott kiterjesztésekben a következőképpen járjunk el. Az ismeretlen együtthatókat tartalmazó bővítés bal és jobb oldalát megszorozzuk. Megkapjuk két polinom egyenlőségét. Ebből a szükséges együtthatók egyenleteit a következőképpen kapjuk meg:

1. az egyenlőség X bármely értékére igaz (részérték módszer). Ebben az esetben tetszőleges számú egyenletet kapunk, amelyek közül bármelyik m lehetővé teszi az ismeretlen együtthatók megtalálását.

2. az együtthatók X azonos fokaira esnek egybe (határozatlan együtthatók módszere). Ebben az esetben egy m - egyenletrendszert kapunk m - ismeretlennel, amelyből az ismeretlen együtthatók találhatók.

3. kombinált módszer.

5. példa: Bontsa ki a törtet a legegyszerűbbre.

Megoldás:

Keressük meg az A és B együtthatót.

1. módszer – privát érték módszere:

2. módszer – meghatározatlan együtthatók módszere:

Válasz:

Racionális törtek integrálása.

6. tétel. Bármely intervallumon lévő bármely racionális tört határozatlan integrálja létezik, amelyen a nevezője nem egyenlő nullával, és elemi függvényekkel, nevezetesen racionális törtekkel, logaritmusokkal és arctangensekkel fejeződik ki.

Bizonyíték.

Képzeljünk el egy racionális törtet a következő formában: . Ebben az esetben az utolsó tag egy megfelelő tört, és az 5. Tétel szerint egyszerű törtek lineáris kombinációjaként ábrázolható. Így egy racionális tört integrálása egy polinom integrálására redukálódik S(x) és egyszerű törtek, amelyek antideriváltjai, mint látható, a tételben jelzett formájúak.

Megjegyzés. A fő nehézség ebben az esetben a nevező faktorizálása, vagyis minden gyökerének felkutatása.

Példa 1. Keresse meg az integrált

Az integrandus megfelelő racionális tört. A nevező irreducibilis tényezőkre való kiterjesztése a következőképpen alakul: Ez azt jelenti, hogy az integrandus egyszerű törtek összegére történő kiterjesztése a következő formában történik:

Keressük meg a tágulási együtthatókat kombinált módszerrel:

És így,

Példa 2. Keresse meg az integrált

Integrand funkció – helytelen tört, így kiválasztjuk a teljes részt:

Az integrálok közül az első táblázatos, a másodikat pedig úgy számítjuk ki, hogy a megfelelő törtet egyszerű törtekre bontjuk:

A meghatározatlan együtthatók módszerével a következőket kapjuk:

És így,

Adott a négy típus legegyszerűbb elemi törteinek integrálszámítására szolgáló képletek levezetése. Az összetettebb integrálokat a negyedik típusú törtekből a redukciós képlet segítségével számítjuk ki. A negyedik típus törtrészének integrálására példaként tekintünk.

Tartalom

Lásd még: Határozatlan integrálok táblázata
Határozatlan integrálok számítási módszerei

Mint ismeretes, valamely x változó bármely racionális függvénye felbontható polinomra és a legegyszerűbb elemi törtekre. Az egyszerű törteknek négy típusa van:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Itt a, A, B, b, c valós számok. x egyenlet 2 + bx + c = 0 nincs igazi gyökerek.

Az első két típus törteinek integrálása

Az első két tört integrálása az integráltáblázat következő képleteivel történik:
,
, n ≠ - 1 .

1. Az első típusú törtek integrálása

Az első típus egy töredéke t = x - a behelyettesítéssel táblázatintegrálra redukálódik:
.

2. A második típusú törtek integrálása

A második típus törtrésze táblaintegrálra redukálódik ugyanazzal a t = x - a helyettesítéssel:

.

3. A harmadik típusú törtek integrálása

Tekintsük a harmadik típus törtjének integrálját:
.
Két lépésben számoljuk ki.

3.1. 1. lépés Válassza ki a nevező deriváltját a számlálóban

Különítsük el a nevező deriváltját a tört számlálójában. Jelöljük: u = x 2 + bx + c. Tegyünk különbséget: u′ = 2 x + b. Akkor
;
.
De
.
A modulusjelet elhagytuk, mert .

Akkor:
,
Ahol
.

3.2. 2. lépés Számítsa ki az integrált, ahol A = 0, B = 1

Most kiszámítjuk a maradék integrált:
.

A tört nevezőjét hozzuk ide négyzetek összege:
,
Ahol .
Úgy gondoljuk, hogy az x egyenlet 2 + bx + c = 0 nincsenek gyökerei. Ezért .

Csináljunk egy cserét
,
.
.

Így,
.

Így megtaláltuk a harmadik típus törtjének integrálját:

,
Ahol .

4. A negyedik típusú törtek integrálása

Végül pedig vegyük figyelembe a negyedik típus töredékének integrálját:
.
Három lépésben számítjuk ki.

4.1) Válassza ki a számlálóban a nevező származékát:
.

4.2) Számítsa ki az integrált!
.

4.3) Számítsa ki az integrálokat!
,
a redukciós képlet segítségével:
.

4.1. 1. lépés: A nevező deriváltjának elkülönítése a számlálóban

Különítsük el a nevező deriváltját a számlálóban, ahogyan azt a -ban tettük. Jelöljük u = x 2 + bx + c. Tegyünk különbséget: u′ = 2 x + b. Akkor
.

.
De
.

Végül nálunk van:
.

4.2. 2. lépés Számítsa ki az integrált n = 1-gyel

Számítsa ki az integrált
.
Számítását a vázolja.

4.3. 3. lépés A redukciós képlet levezetése

Most nézzük az integrált
.

Bemutatjuk másodfokú trinomikus négyzetek összegére:
.
Itt .
Csináljunk egy cserét.
.
.

Átalakításokat végzünk, részenként integrálunk.




.

Szorozva 2 (n - 1):
.
Térjünk vissza x-hez és I n-hez.
,
;
;
.

Tehát I n-re megkaptuk a redukciós képletet:
.
Ezt a képletet következetesen alkalmazva az I n integrált I-re redukáljuk 1 .

Példa

Integrál kiszámítása

1. Különítsük el a nevező deriváltját a számlálóban.
;
;


.
Itt
.

2. Kiszámoljuk a legegyszerűbb tört integrálját.

.

3. A redukciós képletet alkalmazzuk:

az integrálhoz.
Esetünkben b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Ezt a képletet n =-re írjuk ki 2 és n = 3 :
;
.
Innen

.

Végül nálunk van:

.
Keresse meg az együtthatót.
.

Lásd még:

Az előző bekezdésekben leírtak mindegyike lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk a racionális törtek integrálásának alapvető szabályait.

1. Ha egy racionális tört helytelen, akkor azt egy polinom és egy megfelelő racionális tört összegeként ábrázoljuk (lásd a 2. bekezdést).

Ez csökkenti a nem megfelelő racionális tört integrálását egy polinom és egy megfelelő racionális tört integrálására.

2. Tényezősítse a megfelelő tört nevezőjét!

3. A megfelelő racionális törtet egyszerű törtek összegére bontjuk. Ez csökkenti a megfelelő racionális tört integrálását egyszerű törtek integrálására.

Nézzünk példákat.

Példa 1. Keresse meg.

Megoldás. Az integrál alatt egy helytelen racionális tört található. A teljes részt kiválasztva megkapjuk

Ennélfogva,

Figyelembe véve, hogy bővítsük ki a megfelelő racionális törtet

egyszerű törtekre:

(lásd a (18) képletet). Ezért

Így végre megvan

2. példa Find

Megoldás. Az integrál alatt van egy megfelelő racionális tört.

Egyszerű törtekre bővítve (lásd a (16) képletet) megkapjuk