X egyenlő. Másodfokú egyenlőtlenségek. Másodfokú egyenlet gyökerei

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Mi történt "négyzetes egyenlőtlenség"? Nem kérdés!) Ha veszed Bármi másodfokú egyenletet, és cserélje ki benne a jelet "=" (egyenlő) bármely egyenlőtlenség jellel ( > ≥ < ≤ ≠ ), másodfokú egyenlőtlenséget kapunk. Például:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Nos, érted...)

Nem hiába kapcsoltam ide az egyenleteket és az egyenlőtlenségeket. A lényeg az, hogy a megoldás első lépése Bármi másodfokú egyenlőtlenség - oldja meg azt az egyenletet, amelyből ez az egyenlőtlenség keletkezik. Emiatt a másodfokú egyenletek megoldásának képtelensége automatikusan az egyenlőtlenségek teljes kudarcához vezet. Világos a tipp?) Ha van, nézze meg, hogyan lehet másodfokú egyenleteket megoldani. Ott minden részletesen le van írva. És ebben a leckében az egyenlőtlenségekkel fogunk foglalkozni.

A megoldásra kész egyenlőtlenség a következőképpen alakul: a bal oldalon egy másodfokú trinom ax 2 +bx+c, jobb oldalon - nulla. Az egyenlőtlenség jele bármi lehet. Az első két példa itt található már készen állnak a döntésre. A harmadik példát még elő kell készíteni.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

A gyakorlati feladatok megoldása során ősidők óta szükséges volt a mennyiségek és mennyiségek összehasonlítása. Ugyanakkor megjelentek a homogén mennyiségek összehasonlításának eredményeit jelző szavak, mint például több és kevesebb, magasabb és alacsonyabb, könnyebb és nehezebb, halkabb és hangosabb, olcsóbb és drágább stb.

A több és a kevesebb fogalma a tárgyszámlálás, a mennyiségek mérése, összehasonlítása kapcsán merült fel. Például az ókori Görögország matematikusai tudták, hogy bármely háromszög oldala kisebb, mint a másik két oldal összege, és hogy a nagyobb oldal a háromszög nagyobb szögével szemben helyezkedik el. Arkhimédész a kerület kiszámítása során megállapította, hogy bármely kör kerülete megegyezik az átmérő háromszorosával, amelynek többlete kisebb, mint az átmérő hetede, de több mint tízhetvenszerese az átmérőnek.

Írjon szimbolikusan kapcsolatokat a számok és mennyiségek között a > és b jelek segítségével. Rekordok, amelyekben két számot az egyik előjel köt össze: > (nagyobb, mint), Számszerű egyenlőtlenségekkel is találkoztál junior osztályok. Tudod, hogy az egyenlőtlenségek lehetnek igazak, de lehetnek hamisak is. Például a \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) helyes numerikus egyenlőtlenség, 0,23 > 0,235 egy helytelen numerikus egyenlőtlenség.

Az ismeretleneket magában foglaló egyenlőtlenségek igazak lehetnek az ismeretlenek egyes értékeire, és hamisak másokra. Például a 2x+1>5 egyenlőtlenség igaz x = 3 esetén, de hamis x = -3 esetén. Egy ismeretlennel való egyenlőtlenség esetén beállíthatja a feladatot: oldja meg az egyenlőtlenséget. Az egyenlőtlenségek gyakorlati megoldásának problémáit nem ritkábban vetik fel és oldják meg, mint az egyenletek megoldásának problémáit. Például sok gazdasági problémák lineáris egyenlőtlenségek rendszereinek tanulmányozására és megoldására redukálódnak. A matematika számos ágában az egyenlőtlenségek gyakoribbak, mint az egyenletek.

Néhány egyenlőtlenség az egyetlen kiegészítő, amely lehetővé teszi egy bizonyos objektum létezésének bizonyítását vagy cáfolatát, például egy egyenlet gyökerét.

Numerikus egyenlőtlenségek

Össze tudod hasonlítani az egész számokat? tizedesjegyek. Ismered az összehasonlítás szabályait? közönséges törtek ugyanazokkal a nevezőkkel, de különböző számlálókkal; ugyanazokkal a számlálókkal, de különböző nevezőkkel. Itt megtudhatja, hogyan lehet összehasonlítani bármely két számot a különbség előjelének megtalálásával.

A számok összehasonlítását széles körben alkalmazzák a gyakorlatban. Például egy közgazdász összehasonlítja a tervezett mutatókat a ténylegesekkel, az orvos összehasonlítja a páciens hőmérsékletét a normál értékkel, egy esztergályos egy megmunkált alkatrész méreteit egy szabványhoz. Minden ilyen esetben néhány számot összehasonlítanak. A számok összehasonlítása eredményeként numerikus egyenlőtlenségek keletkeznek.

Meghatározás. Szám a több szám b, ha különbség a-b pozitív. Az a szám kisebb, mint a b, ha az a-b különbség negatív.

Ha a nagyobb, mint b, akkor ezt írják: a > b; ha a kisebb, mint b, akkor azt írják: a Így az a > b egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az a - b különbség pozitív, azaz. a - b > 0. Egyenlőtlenség a Tetszőleges két a és b számra a következő három összefüggésből a > b, a = b, a Az a és b számok összehasonlítása azt jelenti, hogy megtudjuk, melyik előjelek közül melyik >, = vagy Tétel. Ha a > b és b > c, akkor a > c.

Tétel. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a számot adjuk, az egyenlőtlenség előjele nem változik.
Következmény. Bármely tag áthelyezhető az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba, ha ennek a tagnak az előjelét az ellenkezőjére változtatjuk.

Tétel. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal megszorozzuk, akkor az egyenlőtlenség előjele nem változik. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanannyival szorozzuk negatív szám, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.
Következmény. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal osztjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele nem változik. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a negatív számmal osztjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.

Tudja, hogy a numerikus egyenlőségeket tagonként lehet összeadni és szorozni. Ezután megtanulja, hogyan kell hasonló cselekvéseket végrehajtani egyenlőtlenségekkel. A gyakorlatban gyakran használják az egyenlőtlenségek tagonkénti összeadásának és szorzásának képességét. Ezek a műveletek segítenek megoldani a kifejezések jelentésének értékelésével és összehasonlításával kapcsolatos problémákat.

Különböző problémák megoldása során gyakran szükséges az egyenlőtlenségek bal és jobb oldalát tagonként összeadni vagy szorozni. Ugyanakkor néha azt mondják, hogy az egyenlőtlenségek összeadódnak vagy megsokszorozódnak. Például, ha egy turista több mint 20 km-t gyalogolt az első napon, és több mint 25 km-t a másodikon, akkor azt mondhatjuk, hogy két nap alatt több mint 45 km-t gyalogolt. Hasonlóképpen, ha egy téglalap hossza kisebb, mint 13 cm, és a szélessége kisebb, mint 5 cm, akkor azt mondhatjuk, hogy ennek a téglalapnak a területe kisebb, mint 65 cm2.

E példák mérlegelésekor a következőket használták: tételek az egyenlőtlenségek összeadásáról és szorzásáról:

Tétel. Azonos előjelű egyenlőtlenségek összeadásakor azonos előjelű egyenlőtlenséget kapunk: ha a > b és c > d, akkor a + c > b + d.

Tétel. Azonos előjelű egyenlőtlenségek szorzásakor, amelyeknek bal és jobb oldala pozitív, azonos előjelű egyenlőtlenséget kapunk: ha a > b, c > d és a, b, c, d pozitív számok, akkor ac > bd.

Egyenlőtlenségek > (nagyobb, mint) és 1/2, 3/4 b, c előjelekkel együtt a szigorú egyenlőtlenségek > és jeleivel Ugyanígy az \(a \geq b \) egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az a szám nagyobb vagy egyenlő b-vel, azaz .és nem kisebb b.

A \(\geq \) vagy \(\leq \) jelet tartalmazó egyenlőtlenségeket nem szigorúnak nevezzük. Például a \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nem szigorú egyenlőtlenségek.

A szigorú egyenlőtlenségek minden tulajdonsága érvényes a nem szigorú egyenlőtlenségekre is. Sőt, ha szigorú egyenlőtlenségek esetén az előjeleket > ellentétesnek tekintettük, és tudja, hogy számos alkalmazott probléma megoldásához matematikai modellt kell készíteni egyenlet vagy egyenletrendszer formájában. Legközelebb ezt megtudod matematikai modellek Sok probléma megoldásához egyenlőtlenségek vannak az ismeretlenekkel. Bemutatjuk az egyenlőtlenség megoldásának fogalmát, és megmutatjuk, hogyan ellenőrizhető-e adott szám konkrét egyenlőtlenség megoldása.

A forma egyenlőtlenségei
\(ax > b, \quad ax, amelyben a és b adott számok, és x egy ismeretlen, nevezzük lineáris egyenlőtlenségek egy ismeretlennel.

Meghatározás. Az ismeretlennel való egyenlőtlenség megoldása az ismeretlennek az az értéke, amelynél ez az egyenlőtlenség valódi numerikus egyenlőtlenséggé válik. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldást, vagy megállapítjuk, hogy nincs ilyen.

Az egyenleteket úgy oldotta meg, hogy a legegyszerűbb egyenletekre redukálta őket. Hasonlóképpen, az egyenlőtlenségek megoldása során megpróbáljuk azokat tulajdonságok segítségével egyszerű egyenlőtlenségek formájára redukálni.

Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása egy változóval

A forma egyenlőtlenségei
\(ax^2+bx+c >0 \) és \(ax^2+bx+c ahol x egy változó, a, b és c néhány szám és \(a \neq 0 \), ún. másodfokú egyenlőtlenségek egy változóval.

Megoldás az egyenlőtlenségre
\(ax^2+bx+c >0 \) vagy \(ax^2+bx+c) olyan intervallumok keresésének tekinthető, amelyekben az \(y= ax^2+bx+c \) függvény pozitív vagy negatív értékek Ehhez elegendő elemezni, hogy az \(y= ax^2+bx+c\) függvény grafikonja hogyan helyezkedik el a koordinátasíkban: hova irányulnak a parabola ágai - felfelé vagy lefelé, a parabola metszi az x tengelyt, és ha igen, akkor milyen pontokban.

Algoritmus egy változós másodfokú egyenlőtlenségek megoldására:
1) keresse meg a diszkriminánst másodfokú trinomikus\(ax^2+bx+c\), és derítse ki, hogy a trinomnak vannak-e gyökerei;
2) ha a trinomiálisnak vannak gyökerei, akkor jelölje meg azokat az x tengelyen, és a megjelölt pontokon keresztül rajzoljon egy sematikus parabolát, melynek ágai > 0 esetén felfelé, 0 esetén lefelé, 3 esetén pedig alulra irányulnak. keresse meg azokat az intervallumokat az x tengelyen, amelyeknél a pontparabolák az x tengely felett (ha megoldják az \(ax^2+bx+c >0\) egyenlőtlenséget) vagy az x tengely alatt (ha megoldják a egyenlőtlenség
\(ax^2+bx+c Egyenlőtlenségek megoldása intervallum módszerrel

Vegye figyelembe a funkciót
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Ennek a függvénynek a tartománya az összes szám halmaza. A függvény nullái a -2, 3, 5 számok. Ezek a függvény definíciós tartományát \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) és \( (5; +\infty)\)

Nézzük meg, mi ennek a függvénynek az előjele az egyes jelzett intervallumokban.

Az (x + 2)(x - 3)(x - 5) kifejezés három tényező szorzata. Ezen tényezők mindegyikének előjele a vizsgált intervallumokban a táblázatban látható:

Általában a függvényt a képlet adja meg
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
ahol x egy változó, x 1, x 2, ..., x n pedig egymással nem egyenlő számok. Az x 1 , x 2 , ..., x n számok a függvény nullái. Minden olyan intervallumban, amelyre a definíciós tartományt a függvény nullai osztják, a függvény előjele megmarad, nullán áthaladva pedig megváltozik.

Ezt a tulajdonságot az alaki egyenlőtlenségek megoldására használják
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ahol x 1, x 2, ..., x n egymással nem egyenlő számok

Megfontolt módszer Az egyenlőtlenségek megoldását intervallummódszernek nevezzük.

Mondjunk példákat az egyenlőtlenségek intervallummódszerrel történő megoldására.

Az egyenlőtlenség megoldása:

\(x(0,5-x)(x+4) Nyilvánvalóan az f(x) = x(0,5-x)(x+4) függvény nullai pontjai a \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

A függvény nulláit ábrázoljuk a számtengelyen, és kiszámítjuk az előjelet minden intervallumon:

Kiválasztjuk azokat az intervallumokat, amelyeknél a függvény nullánál kisebb vagy egyenlő, és felírjuk a választ.

Válasz:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Látogasson el weboldalunk youtube csatornájára, hogy naprakész legyen az új videóleckékről.

Először is emlékezzünk a hatványok alapvető képleteire és tulajdonságaikra.

Egy szám szorzata a n-szer fordul elő önmagán, ezt a kifejezést a a … a=a n alakban írhatjuk fel

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Teljesítmény ill exponenciális egyenletek – ezek olyan egyenletek, amelyekben a változók hatványban (vagy kitevőben) vannak, és az alap egy szám.

Példák exponenciális egyenletekre:

Ebben a példában a 6-os szám az alap; mindig alul van, és a változó x fok vagy mutató.

Adjunk még példákat az exponenciális egyenletekre.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Most nézzük meg, hogyan oldják meg az exponenciális egyenleteket?

Vegyünk egy egyszerű egyenletet:

2 x = 2 3

Ezt a példát még fejben is meg lehet oldani. Látható, hogy x=3. Végül is, ahhoz, hogy a bal és a jobb oldal egyenlő legyen, x helyett 3-as számot kell tennie.
Most pedig nézzük meg, hogyan formalizáljuk ezt a döntést:

2 x = 2 3
x = 3

Egy ilyen egyenlet megoldása érdekében eltávolítottuk azonos indokok(vagyis kettesek) és felírta, ami maradt, ezek fokozatok. Megkaptuk a választ, amit kerestünk.

Most pedig foglaljuk össze döntésünket.

Algoritmus az exponenciális egyenlet megoldására:
1. Ellenőrizni kell ugyanaz hogy az egyenletnek van-e alapja a jobb és a bal oldalon. Ha az okok nem ugyanazok, akkor keressük a megoldási lehetőségeket ennek a példának a megoldására.
2. Miután az alapok azonosak lettek, egyenlővé tenni fokot, és oldja meg a kapott új egyenletet.

Most nézzünk néhány példát:

Kezdjük valami egyszerűvel.

A bal és a jobb oldalon lévő alapok egyenlőek a 2-es számmal, ami azt jelenti, hogy az alapot eldobhatjuk, és a fokukat egyenlővé tesszük.

x+2=4 A legegyszerűbb egyenletet kapjuk.
x=4 – 2
x=2
Válasz: x=2

A következő példában láthatja, hogy az alapok különböznek: 3 és 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Először mozgassuk a kilencet jobb oldalra, így kapjuk:

Most ugyanazokat az alapokat kell elkészítenie. Tudjuk, hogy 9=3 2. Használjuk az (a n) m = a nm hatványképletet.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16-ot kapunk

3 3x = 3 2x+16 Most már világos, hogy a bal és a jobb oldalon az alapok azonosak, és egyenlők hárommal, ami azt jelenti, hogy eldobhatjuk őket, és egyenlővé tesszük a fokokat.

3x=2x+16 a legegyszerűbb egyenletet kapjuk
3x - 2x=16
x=16
Válasz: x=16.

Nézzük a következő példát:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Először is nézzük meg az alapokat, a második és a negyedik alapot. És szükségünk van arra, hogy egyformák legyenek. A négyet az (a n) m = a nm képlettel alakítjuk át.

4 x = (2 2) x = 2 2x

És egy képletet is használunk: a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adjuk hozzá az egyenlethez:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ugyanezen okokból adtunk példát. De a többi 10-es és 24-es szám zavar minket.Mit kezdjünk velük? Ha alaposan megnézed, láthatod, hogy a bal oldalon 2 2x ismétlődik, itt a válasz - 2 2x-et tehetünk zárójelbe:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Számítsuk ki a zárójelben lévő kifejezést:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

A teljes egyenletet elosztjuk 6-tal:

Képzeljük el, hogy 4=2 2:

2 2x = 2 2 alap azonos, ezeket elvetjük és a fokokat egyenlővé tesszük.
2x = 2 a legegyszerűbb egyenlet. Oszd el 2-vel és kapjuk
x = 1
Válasz: x = 1.

Oldjuk meg az egyenletet:

9 x – 12*3 x +27= 0

Alakítsuk át:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kapjuk az egyenletet:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Az alapjaink azonosak, egyenlők hárommal.Ebben a példában láthatjuk, hogy az első háromnak kétszer (2x) a foka, mint a másodiknak (csak x). Ebben az esetben meg tudod oldani cseremódszer. A számot a legkisebb fokozatra cseréljük:

Ekkor 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Az egyenletben szereplő összes x hatványt t-re cseréljük:

t 2 - 12t+27 = 0
Másodfokú egyenletet kapunk. A diszkrimináns segítségével megoldva a következőket kapjuk:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Visszatérve a változóhoz x.

Vegyük a t 1-et:
t 1 = 9 = 3 x

vagyis

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Egy gyökér található. A másodikat keressük a t 2-ből:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Válasz: x 1 = 2; x 2 = 1.

A honlapon a SEGÍTSÉG DÖNTÉS rovatban feltehetitek kérdéseiteket, mi biztosan válaszolunk.

Csatlakozz a csoporthoz

Tekintsük az y=k/y függvényt. Ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenes, amelyet a matematikában hiperbolának neveznek. Általános forma hiperbolák az alábbi ábrán láthatók. (A grafikon azt mutatja, hogy az y függvény k egyenlő osztva x-szel, amelyre k egyenlő eggyel.)

Látható, hogy a gráf két részből áll. Ezeket a részeket a hiperbola ágainak nevezzük. Azt is érdemes megjegyezni, hogy a hiperbola minden ága a koordinátatengelyekhez egyre közelebbi irányban közeledik. A koordinátatengelyeket ebben az esetben aszimptotáknak nevezzük.

Általában aszimptotáknak nevezzük azokat az egyeneseket, amelyekhez egy függvény grafikonja végtelenül megközelíti, de nem éri el őket. A hiperbolának, akárcsak a parabolának, vannak szimmetriatengelyei. A fenti ábrán látható hiperbola esetében ez az y=x egyenes.

Most foglalkozzunk kettővel általános esetek túlzás. Az y = k/x függvény grafikonja k ≠0 esetén egy hiperbola lesz, amelynek ágai vagy az első és a harmadik koordinátaszögben, k>0 esetén, vagy a második és negyedik koordinátaszögben helyezkednek el, Villa<0.

Az y = k/x függvény alapvető tulajdonságai k>0 esetén

Az y = k/x függvény grafikonja k>0 esetén

5. y>0 x>0-nál; y6. A függvény a (-∞;0) és a (0;+∞) intervallumon egyaránt csökken.

10. A függvény értéktartománya két nyitott intervallum (-∞;0) és (0;+∞).

Az y = k/x függvény alapvető tulajdonságai k esetén<0

Az y = k/x függvény grafikonja, k pontban<0

1. A (0;0) pont a hiperbola szimmetriaközéppontja.

2. Koordinátatengelyek - a hiperbola aszimptotái.

4. A függvény definíciós tartománya mind x, kivéve x=0.

5. y>0 x0-nál.

6. A függvény a (-∞;0) és a (0;+∞) intervallumon egyaránt növekszik.

7. A funkció nincs korlátozva sem alulról, sem felülről.

8. Egy függvénynek nincs sem maximuma, sem minimális értéke.

9. A függvény folyamatos a (-∞;0) és a (0;+∞) intervallumon. Van egy hézag az x=0-nál.

A másodfokú egyenleteket 8. osztályban tanulják, tehát nincs itt semmi bonyolult. Ezek megoldásának képessége feltétlenül szükséges.

A másodfokú egyenlet ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ahol az a, b és c együtthatók tetszőleges számok, és a ≠ 0.

A konkrét megoldási módszerek tanulmányozása előtt vegye figyelembe, hogy minden másodfokú egyenlet három osztályba osztható:

Nincsenek gyökerei;
Pontosan egy gyökér legyen;
Két különböző gyökerük van.

Ez egy fontos különbség a másodfokú és a lineáris egyenletek között, ahol a gyök mindig létezik és egyedi. Hogyan határozható meg, hogy egy egyenletnek hány gyöke van? Van ebben egy csodálatos dolog - diszkriminatív.

Megkülönböztető

Legyen adott az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet, ekkor a diszkrimináns egyszerűen a D = b 2 − 4ac szám.

Ezt a képletet fejből kell tudni. Hogy honnan származik, az most nem fontos. Még egy fontos dolog: a diszkrimináns előjele alapján meg lehet határozni, hogy hány gyöke van egy másodfokú egyenletnek. Ugyanis:

Ha D< 0, корней нет;
Ha D = 0, akkor pontosan egy gyök van;
Ha D > 0, akkor két gyök lesz.

Kérjük, vegye figyelembe: a diszkrimináns a gyökerek számát jelzi, és egyáltalán nem a jeleiket, ahogyan azt valamilyen okból sokan hiszik. Vessen egy pillantást a példákra, és mindent meg fog érteni:

Feladat. Hány gyöke van a másodfokú egyenleteknek:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Írjuk ki az első egyenlet együtthatóit, és keressük meg a diszkriminánst:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Tehát a diszkrimináns pozitív, tehát az egyenletnek két különböző gyökere van. Hasonló módon elemezzük a második egyenletet:
a = 5; b = 3; c=7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

A diszkrimináns negatív, nincsenek gyökerei. Az utolsó hátralévő egyenlet:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

A diszkrimináns nulla - a gyökér egy lesz.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy minden egyenlethez együtthatókat írtunk le. Igen, hosszú, igen, fárasztó, de nem fogod összekeverni az esélyeket és hülye hibákat elkövetni. Válassz magadnak: sebesség vagy minőség.

Mellesleg, ha rájön a dolog, egy idő után nem kell leírnia az összes együtthatót. Ilyen műveleteket hajt végre a fejében. A legtöbben 50-70 megoldott egyenlet után kezdik ezt megtenni – általában nem annyira.

Másodfokú egyenlet gyökerei

Most térjünk át magára a megoldásra. Ha a diszkrimináns D > 0, akkor a gyökök a következő képletekkel kereshetők:

Alapvető gyökérképlet másodfokú egyenlet

Ha D = 0, bármelyik képletet használhatja - ugyanazt a számot kapja, amely lesz a válasz. Végül, ha D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Első egyenlet:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ az egyenletnek két gyöke van. Keressük meg őket:

Második egyenlet:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ az egyenletnek ismét két gyöke van. Keressük meg őket

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(igazítás)\]

Végül a harmadik egyenlet:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ az egyenletnek egy gyöke van. Bármilyen képlet használható. Például az első:

Amint a példákból látható, minden nagyon egyszerű. Ha ismeri a képleteket és tud számolni, akkor nem lesz probléma. Leggyakrabban akkor fordulnak elő hibák, amikor negatív együtthatókat helyettesítenek a képletben. Itt is segít a fent leírt technika: nézze meg a képletet szó szerint, írjon le minden lépést - és hamarosan megszabadul a hibáktól.

Hiányos másodfokú egyenletek

Előfordul, hogy egy másodfokú egyenlet kissé eltér a definícióban megadottól. Például:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Könnyen észrevehető, hogy ezekből az egyenletekből hiányzik az egyik kifejezés. Az ilyen másodfokú egyenletek még könnyebben megoldhatók, mint a szabványosak: még a diszkrimináns kiszámítását sem igénylik. Tehát vezessünk be egy új koncepciót:

Az ax 2 + bx + c = 0 egyenletet nem teljes másodfokú egyenletnek nevezzük, ha b = 0 vagy c = 0, azaz. az x változó vagy a szabad elem együtthatója nullával egyenlő.

Természetesen nagyon nehéz eset lehetséges, ha mindkét együttható nulla: b = c = 0. Ebben az esetben az egyenlet ax 2 = 0 alakot ölt. Nyilvánvalóan egy ilyen egyenletnek egyetlen gyöke van: x = 0.

Tekintsük a fennmaradó eseteket. Legyen b = 0, akkor egy ax 2 + c = 0 alakú nem teljes másodfokú egyenletet kapunk. Alakítsuk át egy kicsit:

Az aritmetika óta Négyzetgyök csak től létezik nem negatív szám, az utolsó egyenlőségnek csak akkor van értelme, ha (−c /a) ≥ 0. Következtetés:

Ha egy ax 2 + c = 0 alakú nem teljes másodfokú egyenletben teljesül a (−c /a) ≥ 0 egyenlőtlenség, akkor két gyöke lesz. A képlet fent van megadva;
Ha (-c /a)< 0, корней нет.

Amint látja, a diszkriminánsra nem volt szükség - a hiányos másodfokú egyenletekben nincs összetett számítások. Valójában nem is szükséges megjegyezni az egyenlőtlenséget (−c /a) ≥ 0. Elég, ha kifejezzük az x 2 értéket, és megnézzük, mi van az egyenlőségjel másik oldalán. Ha van pozitív szám, akkor két gyöke lesz. Ha negatív, akkor egyáltalán nem lesznek gyökerei.

Most nézzük meg az ax 2 + bx = 0 alakú egyenleteket, amelyekben a szabad elem egyenlő nullával. Itt minden egyszerű: mindig két gyökér lesz. Elég a polinomot faktorozni:

A közös tényezőt zárójelből kivéve

A szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Innen erednek a gyökerek. Végezetül nézzünk meg néhány ilyen egyenletet: