Trigonometriai képletek: szorzás. Trigonometrikus egyenletek - képletek, megoldások, példák. Szinusz és koszinusz képlete összegből és különbségből

Ezen az oldalon megtalálja az összes fő trigonometrikus képletek, ami segít megoldani sok gyakorlatot, jelentősen leegyszerűsítve magát a kifejezést.

Trigonometrikus képletek - matematikai egyenlőségek a trigonometrikus függvényekhez, amelyek mindenkire érvényesek elfogadható értékeketérv.

A képletek meghatározzák az alapvető trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő, kotangens - közötti kapcsolatokat.

Egy szög szinusza egy pont y koordinátája (ordinátája) on egységkör. A szög koszinusza egy pont x koordinátája (abszcissza).

Az érintő és a kotangens a szinusz és a koszinusz aránya, és fordítva.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

És kettő, amit ritkábban használnak - szekáns, koszekáns. Az 1-nek a koszinuszhoz és a szinuszhoz viszonyított arányát jelentik.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

A trigonometrikus függvények definícióiból jól látható, hogy az egyes kvadránsokban milyen előjelek vannak. A függvény előjele csak attól függ, hogy az argumentum melyik kvadránsban található.

Ha az argumentum előjelét „+”-ról „-”-ra változtatja, akkor csak a koszinusz függvény nem változtatja meg az értékét. Párosnak hívják. Grafikája szimmetrikus az ordinátatengelyre.

A többi függvény (szinusz, érintő, kotangens) páratlan. Ha az argumentum előjelét „+”-ról „-”-ra változtatjuk, az értékük is negatívra változik. A grafikonjaik szimmetrikusak az origóra.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Alapvető trigonometrikus azonosságok

Az alapvető trigonometrikus azonosságok olyan képletek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög trigonometrikus függvényei között (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`), és lehetővé teszik a ezen funkciók mindegyike bármely ismert másikon keresztül.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Képletek trigonometrikus függvények szögeinek összegére és különbségére

Az argumentumok összeadására és kivonására szolgáló képletek két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényeit fejezik ki e szögek trigonometrikus függvényeiként.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Kettős szög képletek

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)".
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` "\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)"
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2

Háromszög képletek

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Félszög képletek

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)"
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

A fél, kettős és hármas argumentumok képlete ezen argumentumok `sin, \cos, \tg, \ctg` függvényeit fejezi ki (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) ezeknek a függvényeknek az `\alpha` argumentumán keresztül.

Következtetésük levonható az előző csoportból (érvek összeadása és kivonása). Például az identitások kettős szög könnyen beszerezhető a `\beta` helyére `\alpha`.

Fokozatcsökkentési képletek

A trigonometrikus függvények négyzet (kockák, stb.) képletei lehetővé teszik, hogy 2,3,... fokról az elsőfokú trigonometrikus függvényekre mozogjunk, de több szögben (`\alpha, \3\alpha, \... ` vagy `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

A képletek különböző argumentumok trigonometrikus függvényei összegének és különbségének szorzattá történő transzformációi.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Itt egy argumentum függvényeinek összeadása és kivonása szorzattá alakul.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

A következő képletek egy és egy trigonometrikus függvény összegét és különbségét alakítják szorzattá.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2
"1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)"
"1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)"
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)"
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Képletek a függvények szorzatainak konvertálására

Képletek az "\alpha" és "\beta" argumentumokkal rendelkező trigonometrikus függvények szorzatának ezen argumentumok összegévé (különbségévé) konvertálására.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ béta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ béta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ béta))".

Univerzális trigonometrikus helyettesítés

Ezek a képletek a trigonometrikus függvényeket a félszög érintőjével fejezik ki.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Redukciós képletek

Redukciós képletek előállíthatók a trigonometrikus függvények olyan tulajdonságainak felhasználásával, mint a periodicitás, a szimmetria és az adott szöggel való eltolás tulajdonsága. Lehetővé teszik tetszőleges szögű függvények olyan függvényekké alakítását, amelyek szöge 0 és 90 fok között van.

Szög esetén (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Szög (`\pi \pm \alpha`) vagy (`180^\circ \pm \alpha`) esetén:
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Szög esetén (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Szög (`2\pi \pm \alpha`) vagy (`360^\circ \pm \alpha`) esetén:
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Egyes trigonometrikus függvények kifejezése másokkal

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)".
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)".

A trigonometria szó szerint „háromszögek mérését” jelenti. Tanulmányozni kezdik az iskolában, és részletesebben az egyetemeken folytatódik. Ezért a trigonometria alapképleteire a 10. évfolyamtól kezdve szükség van, valamint a letette az egységes államvizsgát. A függvények közötti kapcsolatokat jelölik, és mivel sok ilyen kapcsolat létezik, sok képlet létezik. Nem könnyű mindet megjegyezni, és nem is szükséges – ha szükséges, mindegyik megjeleníthető.

A trigonometrikus képleteket az integrálszámításban, valamint a trigonometrikus egyszerűsítéseknél, számításoknál és transzformációknál használják.

Trigonometria, trigonometrikus képletek

Megadjuk az alapvető trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti kapcsolatokat. trigonometrikus képletek. És mivel elég sok kapcsolat van a trigonometrikus függvények között, ez magyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek azonos szögű trigonometrikus függvényeket kapcsolnak össze, mások - többszögű függvényeket, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, negyedik - az összes függvényt a félszög érintőjén keresztül fejezik ki, stb.

Ebben a cikkben sorra felsoroljuk az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldásához. A könnyebb memorizálás és használat érdekében cél szerint csoportosítjuk és táblázatokba foglaljuk őket.

Alapvető trigonometrikus azonosságok Határozza meg a kapcsolatot egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másik függvényben.

E trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példákat az alapvető trigonometrikus azonosságok című cikkben talál.

Lap teteje

Redukciós képletek

Redukciós képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a trigonometrikus függvények periodicitási tulajdonságát, a szimmetria tulajdonságát, valamint az adott szöggel való eltolás tulajdonságát. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel történő munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzésre váltson.

Ezeknek a képleteknek az indoklása, a memorizálásukra vonatkozó mnemonikus szabály és az alkalmazási példák tanulmányozhatók a cikkredukciós képletekben.

Lap teteje

Összeadási képletek

Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.

További információkért tekintse meg az Összeadási képletek című cikket.

Lap teteje

Képletek dupla, hármas stb. szög

Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.

A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. sarok.

Lap teteje

Félszög képletek

Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei a teljes szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek.

Következtetésük és alkalmazási példáik a félszögképletekről szóló cikkben találhatók.

Lap teteje

Fokozatcsökkentési képletek

Trigonometrikus képletek a fokok csökkentésére célja, hogy megkönnyítse az átmenetet természetes fokok trigonometrikus függvények szinuszokhoz és koszinuszokhoz az első fokig, de több szögből. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.

Lap teteje

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

A fő cél képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére a függvények szorzatára kell menni, ami nagyon hasznos az egyszerűsítésnél trigonometrikus kifejezések. Ezeket a képleteket széles körben használják a trigonometrikus egyenletek megoldásában is, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének figyelembevételét.

A képletek levezetéséhez, valamint alkalmazási példáihoz lásd a szinusz és koszinusz összegének és különbségének cikkképleteit.

Lap teteje

Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára

A trigonometrikus függvények szorzatáról összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszról koszinuszra vonatkozó képletekkel történik.

Lap teteje

Univerzális trigonometrikus helyettesítés

A trigonometria alapképleteinek áttekintését a trigonometrikus függvényeket a félszög érintőjével kifejező képletekkel egészítjük ki. Ezt a helyettesítést hívták univerzális trigonometrikus helyettesítés. Kényelme abban rejlik, hogy minden trigonometrikus függvényt a félszög érintőjével fejezünk ki racionálisan, gyök nélkül.

Részletesebb információkért lásd az univerzális trigonometrikus helyettesítést.

Lap teteje

Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky. - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola — 3. kiadás. - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. — ISBN 5-09-004617-4.
Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 old.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Trigonometrikus képletek- ezek a legszükségesebb képletek a trigonometriában, amelyek az argumentum bármely értékére végrehajtott trigonometrikus függvények kifejezéséhez szükségesek.

Összeadási képletek.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Kettős szög képletek.

cos 2α = cos²α -sin²α

cos 2α = 2cos²α — 1

cos 2α = 1 - 2sin²α

bűn 2α = 2sinα kötözősalátaα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2 ctgα )

Háromszög képletek.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

cos 3α = 4cos³α - 3 cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 – 3tg²α )

ctg 3α = (3 ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3 ctg² α)

Félszög képletek.

Redukciós képletek.

Funkció/szög rad-ban.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




Funkció/szög °-ban	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

A redukciós képletek részletes leírása.

Alapvető trigonometrikus képletek.

Alapvető trigonometrikus azonosság:

sin 2 α+cos 2 α=1

Ez az azonosság a Pitagorasz-tételnek az egységnyi trigonometrikus körben lévő háromszögre történő alkalmazásának eredménye.

A koszinusz és az érintő kapcsolata a következő:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 vagy sec 2 α−tan 2 α=1.

Ez a képlet az alapvető trigonometrikus azonosság következménye, és abból kapjuk, hogy a bal és a jobb oldalt elosztjuk cos2α-val. Feltételezhető, hogy α≠π/2+πn,n∈Z.

Szinusz és kotangens kapcsolata:

1/sin 2 α−kiságy 2 α=1 vagy csc 2 α−bölcső 2 α=1.

Ez a képlet az alapvető trigonometrikus azonosságból is következik (ezt úgy kapjuk meg, hogy a bal és a jobb oldalt elosztjuk sin2α. Itt azt feltételezik α≠πn,n∈Z.

Az érintő definíciója:

tanα=sinα/cosα,

Ahol α≠π/2+πn,n∈Z.

A kotangens definíciója:

cotα=cosα/sinα,

Ahol α≠πn,n∈Z.

Következmény az érintő és a kotangens definíciójából:

tanα⋅ cotα=1,

Ahol α≠πn/2,n∈Z.

A szekáns meghatározása:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

A koszekáns definíciója:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

Trigonometrikus egyenlőtlenségek.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Trigonometrikus függvények négyzetei.

Képletek trigonometrikus függvények kockáihoz.

TrigonometriaMatematika. Trigonometria. Képletek. Geometria. Elmélet

Megnéztük a legalapvetőbb trigonometrikus függvényeket (ne tévesszen meg, a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens mellett sok más függvény is létezik, de róluk később), de most nézzük meg néhány alapvető tulajdonságát a már tanulmányozott funkciókat.

Numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Bármilyen t valós számot vegyünk is fel, egy egyedileg meghatározott sin(t) számhoz társítható.

Igaz, az illesztési szabály meglehetősen összetett, és a következőkből áll.

Ahhoz, hogy a t számból megtaláljuk a sin(t) értékét, a következőkre van szükség:

rendezni számkör a koordinátasíkon úgy, hogy a kör középpontja egybeessen a koordináták origójával, és a kör A kezdőpontja az (1; 0) pontba essen;
keressünk a körön a t számnak megfelelő pontot;
keresse meg ennek a pontnak az ordinátáját.
ez az ordináta a kívánt sin(t).

Tulajdonképpen arról beszélünk az s = sin(t) függvényről, ahol t tetszőleges valós szám. Tudjuk, hogyan kell kiszámítani ennek a függvénynek néhány értékét (például sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \ stb.) , ismerjük néhány tulajdonságát.

A trigonometrikus függvények kapcsolata

Amint azt remélem sejted, minden trigonometrikus függvény összefügg egymással, és az egyik jelentésének ismerete nélkül is megtalálható a másikon keresztül.

Például minden trigonometriában a legfontosabb képlet az alapvető trigonometrikus azonosság:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Amint látja, a szinusz értékének ismeretében megtalálhatja a koszinusz értékét, és fordítva is.

Trigonometriai képletek

Szintén nagyon gyakori képletek, amelyek a szinusz és a koszinusz tangenssel és kotangenssel kötik össze:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Az utolsó két képletből egy másik trigometrikus azonosság származtatható, amely ezúttal az érintőt és a kotangenst köti össze:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Most pedig nézzük meg, hogyan működnek ezek a képletek a gyakorlatban.

1. PÉLDA Egyszerűsítse a kifejezést: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Először is írjuk fel az érintőt a négyzet megtartásával:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Most írjunk be mindent az alá közös nevezőés kapjuk:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

És végül, amint látjuk, a számláló egyre redukálható a fő trigonometrikus azonossággal, ennek eredményeként a következőt kapjuk: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) A kotangenssel ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, csak a nevező már nem koszinusz lesz, hanem szinusz, és a válasz a következő:

\[ 1+ \kiságy^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

A feladat elvégzése után még két nagyon fontos képletet vontunk le, amelyek összekapcsolják a függvényeinket, amelyeket szintén tudnunk kell, mint a tenyerünket:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Tudnia kell az összes bemutatott képletet fejből, különben a trigonometria további tanulmányozása nélkülük egyszerűen lehetetlen. A jövőben még több képlet lesz, és nagyon sok lesz, és biztosíthatlak, hogy mindegyikre biztosan sokáig fog emlékezni, vagy talán nem fog emlékezni, de ezt a hat dolgot MINDENKINEK tudnia kell!

Az összes alapvető és ritka trigonometrikus redukciós képlet teljes táblázata.

Itt találhat trigonometrikus képleteket kényelmes formában. A trigonometrikus redukciós képletek pedig egy másik oldalon találhatók.

Alapvető trigonometrikus azonosságok

— matematikai kifejezések trigonometrikus függvényeknél minden argumentumértékre végrehajtva.

sin² α + cos² α = 1
tg α gyermekágy α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
cot α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

Összeadási képletek

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

Kettős szög képletek

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2 ctg α)

Háromszög képletek

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3 ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3 ctg² α)

Fokozatcsökkentési képletek

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α – sin 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α – sin 6α) ÷ 32

Átmenet a termékről az összegre

sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Elég sok trigonometrikus képletet felsoroltunk, de ha valami hiányzik, írjon.

Minden a tanuláshoz » Matematika az iskolában » Trigonometrikus képletek - csalólap

Egy oldal könyvjelzővel való megjelöléséhez nyomja le a Ctrl+D billentyűkombinációt.

Csoport egy csomóval hasznos információ(Feliratkozás, ha van egységes államvizsgája vagy egységes államvizsgája):

Az absztraktok, tanfolyamok teljes adatbázisa, tézisekés mások oktatási anyagok ingyenesen biztosított. Az oldal anyagainak használatával Ön megerősíti, hogy elolvasta a felhasználói szerződést, és annak minden pontjával egyetért.

a csoportok átalakulását részletesen megvizsgáljuk általános megoldások trigonometrikus egyenletek. A harmadik rész a nem szabványos trigonometrikus egyenleteket vizsgálja, amelyek megoldásai a funkcionális megközelítésen alapulnak.

A trigonometria összes képlete (egyenlete): sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

A negyedik rész a trigonometrikus egyenlőtlenségeket tárgyalja. Részletesen tárgyaljuk az elemi problémák megoldásának módszereit. trigonometrikus egyenlőtlenségek, mind az egységkörön, mind...

... szög 1800-α= a hipotenúzus mentén és hegyesszög: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Tehát in iskolai tanfolyam A geometriában a trigonometrikus függvény fogalmát geometriai eszközökkel vezetik be a nagyobb hozzáférhetőségük miatt. A trigonometrikus függvények tanulmányozásának hagyományos módszertani sémája a következő: 1) először a trigonometrikus függvényeket határozzuk meg hegyesszög négyszögletes...

… Házi feladat 19(3.6), 20(2.4) Cél kitűzése Alapismeretek frissítése Trigonometrikus függvények tulajdonságai Redukciós képletek Új anyag Trigonometrikus függvények értékei Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása Megerősítés Feladatok megoldása Óracél: ma kiszámoljuk a trigonometrikus függvények értékeit és megoldjuk...

... az alábbi problémák megoldásához szükséges megfogalmazott hipotézis: 1. A trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek szerepének azonosítása a matematika tanításában; 2. Módszertan kidolgozása a trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási képességének fejlesztésére, a trigonometrikus fogalmak kialakítására; 3. Kísérletileg tesztelje a kidolgozott módszer hatékonyságát. A megoldásokért…

Trigonometrikus képletek

Különféle trigonometriával kapcsolatos képleteket mutatunk be.

(8) Kettős szög kotangense

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2 ctg (α)

(9) Háromszög szinusza sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Háromszög koszinusza cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Az összeg/különbség koszinusza cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Az összeg/különbség szinusza sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Az összeg/különbség érintője (14) Az összeg/különbség kotangense (15) Szinuszok szorzata sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) A koszinusz szorzata cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Szinusz és koszinusz szorzata sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Szinuszok összege/különbsége sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) A koszinuszok összege cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) A koszinuszok különbsége cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Érintők összege/különbsége (22) Képlet a szinusz mértékének csökkentésére sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Képlet a koszinusz mértékének csökkentésére cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Szinusz és koszinusz összege/különbsége (25) Szinusz és koszinusz összege/különbsége együtthatókkal (26) Az arcszinusz és az arkoszinusz alapviszonya arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Alapvető kapcsolat az arctangens és az arkkotangens között arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Általános képletek

- nyomtatott változat

Definíciók Az α szög szinusza (kijelölés bűn(α)) az α szöggel ellentétes láb aránya a hipotenusszal. Az α szög koszinusza (kijelölés cos(α)) az α szöggel szomszédos láb és a hipotenusz aránya. Szögtangens α (kijelölés barna(α)) az α szöggel ellentétes oldal aránya a szomszédos oldallal. Egy ekvivalens definíció egy α szög szinuszának az azonos szög koszinuszához viszonyított aránya - sin(α)/cos(α). Az α szög kotangense (kijelölés cotg(α)) az α szöggel szomszédos szár és a szemközti szög aránya. Egy ekvivalens definíció az α szög koszinuszának és az azonos szög szinuszának aránya - cos(α)/sin(α). Egyéb trigonometrikus függvények: metsző — sec(α) = 1/cos(α); koszekáns - cosec(α) = 1/sin(α). jegyzet Nem írjuk ki konkrétan a * (szorzás) jelet - ahol két függvényt egymás után írunk, szóköz nélkül, ez beleértendő. Nyom Több (4+) szögből álló koszinusz, szinusz, tangens vagy kotangens képleteinek származtatásához elegendő ezeket a képletek szerint felírni. az összeg koszinusza, szinusza, érintője vagy kotangense, vagy redukáljuk az előző esetekre, redukálva a hármas és kettős szögek képleteire. Kiegészítés Származékos táblázat

Oldalnavigáció.

Alapvető trigonometrikus azonosságok

Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példákat a cikkben talál.

Redukciós képletek

Ezeknek a képleteknek az indoklása, a memorizálásukra vonatkozó mnemonikus szabály és az alkalmazásukra vonatkozó példák tanulmányozhatók a cikkben.

Összeadási képletek

Képletek dupla, hármas stb. szög

A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög

Félszög képletek

Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.

Fokozatcsökkentési képletek

Trigonometrikus képletek a fokok csökkentéséreÚgy tervezték, hogy megkönnyítsék az átmenetet a trigonometrikus függvények természetes hatványairól a szinuszokra és koszinuszokra elsőfokú, de több szögben. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

A fő cél képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére a függvények szorzatához kell menni, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket széles körben használják a trigonometrikus egyenletek megoldásában is, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének figyelembevételét.

Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára

A trigonometrikus függvények szorzatáról összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszról koszinuszra vonatkozó képletekkel történik.

Univerzális trigonometrikus helyettesítés

Bibliográfia.

Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky. - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 old.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

A szerzői jog okosdiákok tulajdona

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Az oldal egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.

Egy ponton középre állítva A.
α - radiánban kifejezett szög.

Meghatározás
Szinusz (sin α)- Ezt trigonometrikus függvény, a hypotenusa és a láb közötti α szögtől függően derékszögű háromszög, egyenlő az aránnyal a szemközti oldal hossza |BC| a hypotenus hosszára |AC|.

Koszinusz (cos α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus hosszára |AC|.

Elfogadott jelölések

;
;
.

A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x

A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x

A szinusz és a koszinusz tulajdonságai

Periodikaság

Függvények y = bűn xés y = cos x periodikus periódussal 2π.

Paritás

A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.

Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés

A szinusz és koszinusz függvények definíciós tartományukban folytonosak, azaz minden x-re (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).

	y = bűn x	y = cos x
Hatály és folytonosság	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értékek tartománya	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Növekvő
Csökkenő
Maxima, y = 1
Minimum, y = - 1
Nullák, y = 0
Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0	y = 0	y = 1