Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe rješavaju se u pravilu pomoću formula. Podsjećam vas da su najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x je kut koji treba pronaći,
a je bilo koji broj.
A evo i formula s kojima možete odmah zapisati rješenja ovih najjednostavnijih jednadžbi.
Za sinus:
Za kosinus:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Za tangentu:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Za kotangens:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Zapravo, to je to teorijski dio najjednostavnija rješenja trigonometrijske jednadžbe. Štoviše, sve!) Baš ništa. Međutim, broj pogrešaka na ovu temu jednostavno je izvan tablica. Pogotovo ako primjer malo odstupa od predloška. Zašto?
Da, jer puno ljudi piše ova pisma, a da uopće ne razumije njihovo značenje! Oprezno zapisuje, da se ne dogodi nešto...) Ovo treba srediti. Trigonometrija za ljude, ili ipak ljudi za trigonometriju!?)
Idemo to shvatiti?
Jedan kut će biti jednak arccos a, drugi: -arccos a.
I uvijek će tako ispasti. Za bilo koje A.
Ako mi ne vjerujete, prijeđite mišem preko slike ili dodirnite sliku na tabletu.) Promijenio sam broj A na nešto negativno. U svakom slučaju, imamo jedan kut arccos a, drugi: -arccos a.
Stoga se odgovor uvijek može napisati kao dva niza korijena:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Spojimo ove dvije serije u jednu:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
I to je sve. Dobili smo opću formulu za rješavanje najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe s kosinusom.
Ako shvatite da to nije nekakva nadznanstvena mudrost, ali samo skraćena verzija dva niza odgovora, Također ćete moći rješavati zadatke "C". S nejednakostima, s odabiranjem korijena iz zadanog intervala... Tu odgovor s plus/minusom ne funkcionira. Ali ako se prema odgovoru odnosite poslovno i podijelite ga na dva odvojena odgovora, sve će biti riješeno.) Zapravo, to je razlog zašto to istražujemo. Što, kako i gdje.
U najjednostavnijoj trigonometrijskoj jednadžbi
sinx = a
također dobivamo dva niza korijena. Stalno. A mogu se i ove dvije serije snimiti u jednom redu. Samo će ovaj redak biti složeniji:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ali suština ostaje ista. Matematičari su jednostavno osmislili formulu kako bi napravili jedan umjesto dva unosa za niz korijena. To je sve!
Provjerimo matematičare? I nikad se ne zna...)
U prethodnoj lekciji detaljno je obrađeno rješenje (bez ikakvih formula) trigonometrijske jednadžbe sa sinusom:
Odgovor je rezultirao s dva niza korijena:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ako riješimo istu jednadžbu pomoću formule, dobit ćemo odgovor:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Zapravo, ovo je nedovršen odgovor.) Učenik to mora znati arcsin 0,5 = π /6. Kompletan odgovor bi bio:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Ovo postavlja zanimljivo pitanje. Odgovorite putem x 1; x 2 (ovo je točan odgovor!) i kroz lonely x (i ovo je točan odgovor!) - jesu li to ista stvar ili ne? Sada ćemo saznati.)
Zamjenjujemo u odgovoru sa x 1 vrijednosti n =0; 1; 2; itd., brojimo, dobivamo niz korijena:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 i tako dalje.
S istom zamjenom u odgovoru sa x 2 , dobivamo:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 i tako dalje.
Sada zamijenimo vrijednosti n (0; 1; 2; 3; 4...) u opću formulu za jednostruku x . Odnosno, dižemo minus jedan na nultu potenciju, zatim na prvu, drugu itd. Pa, naravno, zamijenit ćemo 0 u drugi član; 1; 2 3; 4, itd. I brojimo. Dobijamo seriju:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 i tako dalje.
To je sve što možete vidjeti.) Opća formula daje nam potpuno iste rezultate kao što su dva odgovora zasebno. Samo sve odjednom, po redu. Matematičari se nisu prevarili.)
Također se mogu provjeriti formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s tangensom i kotangensom. Ali nećemo.) Već su jednostavni.
Posebno sam napisao sve ove zamjene i provjere. Ovdje je važno shvatiti jednu stvar jednostavna stvar: postoje formule za rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednadžbi, samo kratak sažetak odgovora. Radi ove sažetosti, morali smo umetnuti plus/minus u rješenje kosinusa i (-1) n u rješenje sinusa.
Ovi umeci ni na koji način ne smetaju u zadacima u kojima samo trebate napisati odgovor na elementarnu jednadžbu. Ali ako trebate riješiti nejednadžbu ili trebate učiniti nešto s odgovorom: odabrati korijene na intervalu, provjeriti ODZ itd., ova umetanja mogu lako uznemiriti osobu.
Što bih trebao napraviti? Da, ili napiši odgovor u dvije serije, ili riješi jednadžbu/nejednadžbu pomoću trigonometrijske kružnice. Tada ti umetci nestaju i život postaje lakši.)
Možemo sažeti.
Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi postoje gotove formule odgovora. Četiri komada. Dobri su za trenutno zapisivanje rješenja jednadžbe. Na primjer, trebate riješiti jednadžbe:
sinx = 0,3
Lako: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nema problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Lako: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Jedan ostao: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ako ti, sjajeći znanjem, odmah napišeš odgovor:
x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
onda već blistaš, ovo... ono... iz lokve.) Točan odgovor: nema rješenja. Ne razumijem zašto? Pročitajte što je ark kosinus. Osim toga, ako na desnoj strani izvorne jednadžbe postoje tablične vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 i tako dalje. - odgovor će kroz lukove nedorečen. Lukovi se moraju pretvoriti u radijane.
A ako naiđete na nejednakost, npr
onda je odgovor:
x πn, n ∈ Z
postoje rijetke gluposti, da ...) Ovdje morate trigonometrijski krug odlučiti. Što ćemo učiniti u odgovarajućoj temi.
Za one koji herojski čitaju ove retke. Jednostavno ne mogu ne cijeniti vaš ogromni trud. Bonus za vas.)
Bonus:
Kada zapisuju formule u alarmantnoj borbenoj situaciji, čak i iskusni štreberi često se zbune gdje πn, I gdje 2π n. Evo jednostavnog trika za vas. U svatko formule vrijedan πn. Osim jedine formule s ark kosinusom. Stoji tamo 2πn. Dva peen. Ključna riječ - dva. U ovoj istoj formuli postoje dva znak na početku. Plus i minus. Tu i tamo - dva.
Pa ako si napisao dva znak ispred ark kosinusa, lakše je zapamtiti što će se dogoditi na kraju dva peen. A događa se i obrnuto. Osoba će propustiti znak ± , dolazi do kraja, piše ispravno dva Pien, i doći će k sebi. Nešto je naprijed dva znak! Osoba će se vratiti na početak i ispraviti grešku! Kao ovo.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Trigonometrijske jednadžbe nisu laka tema. Previše su raznoliki.) Na primjer, ovi:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
itd...
Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obvezne značajke. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi s x su pronađeni unutar istih funkcija. I samo tamo! Ako se X negdje pojavi vani, Na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će već biti jednadžba mješovitog tipa. Takve jednadžbe zahtijevaju individualni pristup. Nećemo ih ovdje razmatrati.
Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednadžbe.) Ovdje ćemo se baviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da jer rješenje bilo koji trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dva stupnja. U prvoj fazi, zla jednadžba je svedena na jednostavnu kroz razne transformacije. Na drugom se rješava ova najjednostavnija jednadžba. Nema drugog načina.
Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema previše smisla.)
Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Ovdje A stoji za bilo koji broj. Bilo koje.
Usput, unutar funkcije ne mora postojati čisti X, već neka vrsta izraza, poput:
cos(3x+π /3) = 1/2
itd. To komplicira život, ali ne utječe na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.
Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Trigonometrijske jednadžbe mogu se riješiti na dva načina. Prvi način: pomoću logike i trigonometrijske kružnice. Ovdje ćemo pogledati ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - bit će riječi u sljedećoj lekciji.
Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, nejednadžbi i svih vrsta škakljivih nestandardnih primjera. Logika je jača od pamćenja!)
Rješavanje jednadžbi pomoću trigonometrijske kružnice.
Uključujemo elementarnu logiku i sposobnost korištenja trigonometrijske kružnice. Zar ne znaš kako? Međutim... Teško ćete se snaći u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug...... Što je to?" i "Mjerenje kutova na trigonometrijskoj kružnici". Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)
Oh, znaš!? Pa čak i savladao “Praktični rad s trigonometrijskom kružnicom”!? Čestitamo. Ova će vam tema biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno veseli je to što trigonometrijskom krugu nije važno koju jednadžbu rješavate. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - sve mu je isto. Postoji samo jedan princip rješenja.
Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednadžbu. Barem ovo:
cosx = 0,5
Moramo pronaći X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate nađite kut (x) čiji je kosinus 0,5.
Kako smo prije koristili krug? Na njemu smo nacrtali kut. U stupnjevima ili radijanima. I to odmah pila trigonometrijske funkcije ovog kuta. Sada učinimo suprotno. Nacrtajmo kosinus na krug jednak 0,5 i odmah vidjet ćemo kutak. Ostaje samo da zapišem odgovor.) Da, da!
Nacrtajte krug i označite kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Kao ovo:
Sada nacrtajmo kut koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidjet ćete baš ovaj kutak X.
Kosinus kojeg kuta je 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Neki će se ljudi skeptično nasmijati, da... Kao, je li vrijedilo praviti krug kad je već sve jasno... Možete se, naravno, nasmijati...) Ali činjenica je da je to pogrešan odgovor. Ili bolje rečeno, nedovoljno. Poznavatelji krugova razumiju da ovdje postoji cijela hrpa drugih kutova koji također daju kosinus od 0,5.
Ako okrenete pokretnu stranu OA puni okret, točka A će se vratiti u prvobitni položaj. Uz isti kosinus jednak 0,5. Oni. kut će se promijeniti za 360° ili 2π radijana, i kosinus - br. Novi kut 60° + 360° = 420° također će biti rješenje naše jednadžbe, jer
Mogu se napraviti takvi puni okretaji beskonačan skup... I svi ovi novi kutovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednadžbe. I sve ih treba nekako zapisati kao odgovor. Svi. Inače, odluka se ne računa, da...)
Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. Zapišite u jednom kratkom odgovoru beskonačan skup odluke. Evo kako izgleda naša jednadžba:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ja ću to dešifrirati. Piši i dalje značajno Ugodnije je nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)
π /3 - ovo je isti kutak kao i mi pila na krug i odlučan prema tablici kosinusa.
2π je jedna potpuna revolucija u radijanima.
n - ovo je broj potpunih, tj. cijeli broj okretaja u minuti Jasno je da n može biti jednak 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao što pokazuje kratki zapis:
n ∈ Z
n pripada ( ∈ ) skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n slova se mogu koristiti k, m, t itd.
Ovaj zapis znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Što god želiš. Ako u odgovor unesete ovaj broj, dobit ćete određeni kut, što će svakako biti rješenje naše teške jednadžbe.)
Ili, drugim riječima, x = π /3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je π /3 dodati bilo koji broj punih okretaja ( n ) u radijanima. Oni. 2πn radijan.
Svi? Ne. Namjerno produljujem užitak. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednadžbu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja ovako:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - ne samo jedan korijen, već cijeli niz korijena, zapisanih u kratkom obliku.
Ali postoje i kutovi koji također daju kosinus od 0,5!
Vratimo se našoj slici s koje smo zapisali odgovor. evo je:
Prijeđite mišem preko slike i mi vidimo drugi kut koji također daje kosinus od 0,5.Što mislite, čemu je to jednako? Trokuti su isti... Da! Jednak je kutu x , samo odgođeno u negativnom smjeru. Ovo je kut -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga možemo sa sigurnošću napisati:
x 2 = - π /3
Pa, naravno, dodajemo sve kutove koji se dobiju punim okretajima:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
To je sada sve.) Na trigonometrijskoj kružnici mi pila(tko razumije, naravno)) svi kutovi koji daju kosinus od 0,5. I ukratko zapisao ove kutove matematički oblik. Odgovor je rezultirao s dva beskonačna niza korijena:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ovo je točan odgovor.
Nada, opći princip rješavanja trigonometrijskih jednadžbi korištenje kruga je jasno. Označimo na kružnici kosinus (sinus, tangens, kotangens) iz dana jednadžba, nacrtaj odgovarajuće kutove i zapiši odgovor. Naravno, moramo shvatiti koji smo kutovi pila na krugu. Ponekad to nije tako očito. Pa, rekao sam da je ovdje potrebna logika.)
Na primjer, pogledajmo drugu trigonometrijsku jednadžbu:
Uzmite u obzir da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbama!) Samo mi je zgodnije napisati ga nego korijene i razlomke.
Radimo prema općem principu. Nacrtamo krug, označimo (na sinusnoj osi, naravno!) 0,5. Nacrtamo sve kutove koji odgovaraju ovom sinusu odjednom. Dobivamo ovu sliku:
Prvo se pozabavimo kutom x u prvom kvartalu. Podsjećamo na tablicu sinusa i određujemo vrijednost ovog kuta. To je jednostavna stvar:
x = π /6
Sjećamo se punih okreta i mirne savjesti zapisujemo prvi niz odgovora:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Pola posla je obavljeno. Ali sada moramo odrediti drugi kut... Zamršenije je od korištenja kosinusa, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi kut kroz x? Da Lako! Trokuti na slici su isti, a crveni kut x jednak kutu x . Samo se on računa od kuta π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban kut, točno izmjeren, s pozitivne poluosi OX, tj. pod kutom od 0 stupnjeva.
Lebdimo kursorom iznad crteža i vidimo sve. Prvi ugao sam maknula da ne kompliciram sliku. Kut koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:
π - x
X mi to znamo π /6 . Prema tome, drugi kut će biti:
π - π /6 = 5π /6
Opet se sjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugi niz odgovora:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
To je sve. Kompletan odgovor sastoji se od dva niza korijena:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Jednadžbe tangensa i kotangensa mogu se jednostavno riješiti koristeći isti opći princip za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Ako, naravno, znate nacrtati tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici.
U gornjim primjerima koristio sam tabličnu vrijednost sinusa i kosinusa: 0,5. Oni. jedno od onih značenja koje učenik poznaje mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrijednosti. Odlučite, pa odlučite!)
Dakle, recimo da trebamo riješiti ovu trigonometrijsku jednadžbu:
U kratkim tablicama nema te vrijednosti kosinusa. Ovo hladnokrvno ignoriramo jeziva činjenica. Nacrtajte kružnicu, označite 2/3 na kosinusnoj osi i nacrtajte odgovarajuće kutove. Dobili smo ovu sliku.
Pogledajmo, prvo, kut u prvoj četvrtini. Kad bismo samo znali koliko je x, odmah bismo zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiriti! Matematika ne ostavlja svoj narod u nevolji! Smislila je ark kosinuse za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, puno je lakše nego što mislite. Na ovom linku nema niti jedne škakljive čarolije o “inverznim trigonometrijskim funkcijama”... Ovo je suvišno u ovoj temi.
Ako ste upućeni, samo recite sebi: "X je kut čiji je kosinus jednak 2/3." I odmah, čisto prema definiciji ark kosinusa, možemo napisati:
Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvi niz korijena naše trigonometrijske jednadžbe:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Drugi niz korijena za drugi kut gotovo se automatski zapisuje. Sve je isto, samo će X (arccos 2/3) biti s minusom:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
I to je to! Ovo je točan odgovor. Još lakše nego s tabličnim vrijednostima. Nema potrebe ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da ova slika prikazuje rješenje kroz ark kosinus u biti se ne razlikuje od slike za cos jednadžbe x = 0,5.
Točno! Opće načelo Zato je uobičajeno! Namjerno sam nacrtao dvije gotovo identične slike. Krug nam pokazuje kut x svojim kosinusom. Je li to tabularni kosinus ili nije, svima je nepoznato. Kakav je ovo kut, π /3, ili što je arc kosinus - to je na nama da odlučimo.
Ista pjesma sa sinusom. Na primjer:
Ponovno nacrtajte krug, označite sinus jednak 1/3, nacrtajte kutove. Ovo je slika koju dobivamo:
I opet je slika skoro ista kao kod jednadžbe sinx = 0,5. Opet krećemo iz kuta u prvoj četvrtini. Čemu je X jednako ako je njegov sinus 1/3? Nema problema!
Sada je prvi paket korijena spreman:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Pozabavimo se drugim kutom. U primjeru s vrijednošću tablice od 0,5, to je bilo jednako:
π - x
I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa što!? Možete sigurno zapisati drugi paket korijena:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ovo je potpuno točan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali jasno je, nadam se.)
Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kruga. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji sprema trigonometrijske jednadžbe s odabirom korijena na zadanom intervalu, u trigonometrijske nejednakosti- uglavnom se rješavaju gotovo uvijek u krug. Ukratko, u svim zadacima koji su malo teži od standardnih.
Primijenimo znanje u praksi?)
Riješite trigonometrijske jednadžbe:
Prvo, jednostavnije, izravno iz ove lekcije.
Sada je to kompliciranije.
Savjet: ovdje ćete morati razmišljati o krugu. Osobno.)
A sada su izvana jednostavni... Zovu se i posebni slučajevi.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Hint: ovdje u krugu treba odgonetnuti gdje su dva niza odgovora, a gdje jedan... I kako napisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ne izgubi niti jedan korijen iz beskonačnog broja!)
Pa, vrlo jednostavno):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Savjet: ovdje morate znati što su arksinus i arkosinus? Što je arktangens, arkotangens? Najviše jednostavne definicije. Ali ne morate pamtiti nikakve tablične vrijednosti!)
Odgovori su, naravno, zbrkani):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Ne ide sve? Događa se. Ponovno pročitajte lekciju. Samo zamišljeno(postoji takva zastarjela riječ...) I slijedite poveznice. Glavne poveznice su o krugu. Bez nje, trigonometrija je kao prelazak ceste sa zavezanim očima. Ponekad upali.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Možete naručiti detaljno rješenje tvoj zadatak!!!
Jednakost koja ispod predznaka sadrži nepoznatu trigonometrijska funkcija(`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednadžba, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.
Najjednostavnije jednadžbe su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` kut koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo formule korijena za svaku od njih.
1. Jednadžba `sin x=a`.
Za `|a|>1` nema rješenja.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Jednadžba `cos x=a`
Za `|a|>1` - kao u slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima. 
3. Jednadžba `tg x=a`
Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.
Korijenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Jednadžba `ctg x=a`
Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.
Korijenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tablici
Za sinus: 
Za kosinus: 
Za tangens i kotangens: 
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:
Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi
Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:
- uz pomoć pretvaranja u najjednostavnije;
- riješiti najjednostavniju jednadžbu dobivenu korištenjem korijenskih formula i gore napisanih tablica.
Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.
Algebarska metoda.
Ova metoda uključuje zamjenu varijable i njezinu zamjenu u jednakost.
Primjer. Riješite jednadžbu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
izvršite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,
nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizacija.
Primjer. Riješite jednadžbu: `sin x+cos x=1`.
Riješenje. Pomaknimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Svođenje na homogenu jednadžbu
Prvo, trebate reducirati ovu trigonometrijsku jednadžbu na jedan od dva oblika:
`a sin x+b cos x=0` (homogena jednadžba prvog stupnja) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednadžba drugog stupnja).
Zatim podijelite oba dijela s `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i s `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobivamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje je potrebno riješiti poznatim metodama.
Primjer. Riješite jednadžbu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Riješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stupnja, lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijemo:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Uvedimo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su "t_1=-2" i "t_2=1". Zatim:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.
Odgovor. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \u Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.
Prelazak na polukut
Primjer. Riješite jednadžbu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Riješenje. Primijenimo formule dvostruki kut, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Primjenjujući gore navedeno algebarska metoda, dobivamo:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.
Odgovor. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Uvođenje pomoćnog kuta
U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbroj njihovih kvadrata jednak je 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:
Primjer. Riješite jednadžbu: `3 sin x+4 cos x=2`.
Riješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobivamo:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Budući da je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tada uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni kut. Zatim našu jednakost zapišemo u obliku:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Primjenjujući formulu za zbroj kutova za sinus, svoju jednakost zapisujemo u sljedećem obliku:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odgovor. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Razlomljene racionalne trigonometrijske jednadžbe
To su jednakosti s razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.
Primjer. Riješite jednadžbu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Riješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti s "(1+cos x)". Kao rezultat dobivamo:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
S obzirom da nazivnik ne može biti jednak nuli, dobivamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Izjednačimo brojnik razlomka s nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Zatim `sin x=0` ili `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.
Odgovor. `x=2\pi n`, `n \u Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \u Z`.
Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i tehnike. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - sigurno će vam biti od koristi!
Međutim, ne morate ih čak ni pamtiti, glavna stvar je razumjeti suštinu i moći je izvesti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se i sami gledajući video.
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) = a
Jednadžba cos(x) = a
Obrazloženje i obrazloženje
- Korijeni jednadžbe cosx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, jer | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 ili na a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Neka | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Na intervalu funkcija y = cos x opada od 1 do -1. Ali opadajuća funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti samo u jednoj točki svoje domene definicije, stoga jednadžba cos x = a ima samo jedan korijen na ovom intervalu, koji je, prema definiciji arkosinusa, jednak: x 1 = arccos a (i za ovaj korijen cos x = A).
Kosinus - ravnomjerna funkcija, dakle, na intervalu [-n; 0] jednadžba cos x = i također ima samo jedan korijen - broj nasuprot x 1, tj
x 2 = -arccos a.
Dakle, na intervalu [-n; p] (duljina 2p) jednadžba cos x = a s | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Funkcija y = cos x je periodična s periodom 2n, stoga se svi ostali korijeni razlikuju od onih koji se nalaze s 2n (n € Z). Dobivamo sljedeću formulu za korijene jednadžbe cos x = a kada
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- Posebni slučajevi rješavanja jednadžbe cosx = a.
Korisno je zapamtiti posebne oznake za korijene jednadžbe cos x = a kada
a = 0, a = -1, a = 1, što se lako može dobiti korištenjem jedinične kružnice kao reference.
Budući da je kosinus jednak apscisi odgovarajuće točke jedinični krug, dobivamo da je cos x = 0 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka A ili točka B.
Slično, cos x = 1 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka C, dakle,
x = 2πp, k € Z.
Također cos x = -1 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka D, dakle x = n + 2n,
Jednadžba sin(x) = a
Obrazloženje i obrazloženje
- Korijenje sinx jednadžbe= a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, jer | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 ili na a< -1 не пересекает график функции y = sinx).
