3.3. Linearna neovisnost vektora. Osnova.

Linearno kombinacija vektorski sustavi

nazvan vektor

gdje je a 1, a 2, ..., a n - proizvoljni brojevi.

Ako sve a i = 0, tada se poziva linearna kombinacija trivijalno . U ovom slučaju, očito

Definicija 5.

Ako za sustav vektora postoji netrivijalna linearna kombinacija (barem jedna ai¹ 0) jednak nultom vektoru: tada se sustav vektora naziva linearni ovisan. Ako je jednakost (1) moguća samo u slučaju kada su svi a ja =0, tada se zove sustav vektora linearni nezavisna .

Teorem 2 (Uvjeti linearne ovisnosti).

Definicija 6.

Iz teorema 3 slijedi da ako je baza dana u prostoru, onda dodavanjem proizvoljnog vektora na nju dobivamo linearno ovisan sustav vektora. U skladu s Teorem 2 (1) , jedan od njih (može se pokazati da je vektor) može se prikazati kao linearna kombinacija ostalih:

.

Definicija 7.

Brojke se zovu koordinate vektori u bazi (označeno

Ako se vektori razmatraju na ravnini, tada će baza biti uređeni par nekolinearnih vektora

a koordinate vektora u ovoj bazi su par brojeva:

Napomena 3. Može se pokazati da za datu bazu, koordinate vektora su određene jednoznačno . Iz ovoga napose proizlazi da ako su vektori jednaki, jednake su im i odgovarajuće koordinate i obrnuto .

Dakle, ako je u prostoru dana baza, tada svakom vektoru prostora odgovara uređena trojka brojeva (koordinata vektora u ovoj bazi) i obrnuto: svakoj trojki brojeva odgovara vektor.

Na ravnini se slična podudarnost uspostavlja između vektora i parova brojeva.

Teorem 4 (Linearne operacije preko vektorskih koordinata).

Ako u nekoj osnovi I a je proizvoljan broj, onda u ovoj bazi

Drugim riječima:

Kada se vektor pomnoži s brojem, njegove koordinate se pomnože s tim brojem ;

pri dodavanju vektora zbrajaju se njihove odgovarajuće koordinate .

Primjer 1 . U nekoj osnovi vektoriimaju koordinate

Pokažite da vektori čine bazu i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Vektori čine bazu ako su nekoplanarni, dakle (u skladu s prema teoremu 3(2) ) su linearno neovisni.

Po definiciji 5 to znači da jednakost

jedino moguće akox = g = z = 0.

Def.Skup w naziva se linearni prostor, a njegov element. - vektori ako:

*zakon je naveden (+) prema kat. bilo koja dva elementa x, y iz w pridružena su elementu tzv. njihov zbroj [x + y]

*dan je zakon (* za broj a), prema kat elementu x iz w i a, uspoređuje se element iz w, koji se naziva produkt x i a [ax];

* dovršeno

sljedeće zahtjeve (ili aksiome):

Trag c1. nulti vektor (ctv 0 1 i 0 2. prema a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 i 0 1 + 0 2 = 0 1. prema a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(ctv, a4)

c3. 0 vect.(a7)

c4. a(broj)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 =0 vektor, suprotan od x, tj. (-1)x = -x. (a5,a6)

c6. U w je definirana radnja oduzimanja: vektor x naziva se razlika vektora b i a, ako je x + a = b, i označava se x = b - a.

Broj n nazvao dimenzija lin. pr-a L , ako je u L postoji sustav od n lin. nezav. vektora i bilo kojeg sustava n+1 vektor - lin. ovisan dim L= n. Prostor L naziva n-dimenzionalnim.

Uređena zbirka od n redaka. nezav. vektori n dimenzionalno neovisni. prostor – osnova

Teorema. Svaki vektor X može se prikazati na jedinstven način kao linija.Kombinacije baznih vektora

Neka je (1) baza n-dimenzionalnog lineara. pr-va V, tj. skup linearno nezavisnih vektora. Skup vektora će biti linearan. ovisan, jer njihov n+ 1.

Oni. postoje brojevi koji nisu svi u isto vrijeme jednaki nuli, kakve to veze ima (inače (1) su linearno ovisni).

Zatim gdje je vektorska dekompozicija x po osnovi(1) .

Ovaj izraz je jedinstven, jer ako postoji drugi izraz (**)

oduzimanje jednakosti (**) od (*),

dobivamo

Jer su linearno neovisni, tada . Chtd

Teorema. Ako - lin. neovisni vektori prostora V i svaki vektor x iz V može se predstaviti kroz , tada ti vektori čine bazu V

Dok: (1)-lin.independent =>ostaje dokument koji je linearno neovisan. Prema konvenciji Svaki vektor a izražen je kroz (1): , razmotrite , rang≤n => među stupcima najviše n nije linearno neovisno, ali m > n=> m stupaca je linearno ovisno => s=1, n

To jest, vektori su linearno ovisni

Dakle, prostor V je n-dimenzionalan i (1) njegova baza

№4Def. Podskup L lin. proizvodnja V naziva se lin. kond. ovog prostora ako je, s obzirom na operacije (+) i (*a) navedene u V, potprostor L linearni prostor

Teorem Skup l vektora prostora V je linearan. Potprostor ovog prostora izvodi

(unaprijed) neka su (1) i (2) zadovoljeni, kako bi L bio podprost. V ostaje dokazati da su svi aksiomi lin zadovoljeni. pr-va.

(-x): -x+x=0 d. a(x + y) = ax + ay;

(a-b) i (e-h) slijedi iz valjanosti V; dokažimo (c)

(nužnost) Neka je L lin. podprostora ovog prostora, tada su (1) i (2) zadovoljeni na temelju definicije linija. pr-va

Def. Zbirka svih vrsta linija. kombinacije nekih elemenata (x j) lin. proizvod se naziva linearna ljuska

Teorema proizvoljan skup svih linija. kombinacije vektora V s realnim. koeficijent je lin. subpr V (linearna ljuska zadani sustav vektora lin. pr. je linearni subpr ovog pr. )

ODA.Neprazan podskup vektora L linije. proizvodnja V naziva se lin. podprostor ako:

a) zbroj bilo kojih vektora iz L pripada L

b) umnožak svakog vektora iz L s bilo kojim brojem pripada L

Zbroj dva podprostoraLje opet podprostorL

1) Neka je y 1 + y 2 (L 1 + L 2)<=>y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x’ 1 +x’ 2, gdje je (x 1,x’ 1) L 1, (x 2,x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), gdje je (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => prvi uvjet linearnog potprostora je zadovoljen.

ay 1 = ax 1 + ax 2, gdje (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => jer (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => uvjeti su ispunjeni => L 1 +L 2 je linearni podprostor.

Sjecište dvaju pododjelaL 1 IL 2 lin. pr-vaL je također subsp. ovaj prostor.

Promotrimo dva proizvoljna vektora x,g, koji pripada sjecištu podprostora, i dva proizvoljna broja a,b:.

Prema odv. sjecišta skupova:

=> po definiciji potprostora linearnog prostora:,.

T.K. vektor sjekira + po pripada mnogima L 1, i mnogi L 2, onda pripada, po definiciji, presjeku tih skupova. Tako:

ODA.Kažu da je V izravni zbroj svojih pododjeljaka. ako je i b) ova dekompozicija jedinstvena

b") Pokažimo da je b) ekvivalentno b’)

Kada je b) istinito b’)

Sve vrste (M, N) od sijeku samo po nultom vektoru

Neka je ∃ z ∈

Pravedan povratakL=

kontradikcija

Teorem To (*) je potrebno i dovoljno za uniju baza ( činio osnovu prostora

(Potreban) neka su (*) i vektori baze podskupova. i postoji ekspanzija u ; x prošireno preko baze L, da bi se ustvrdilo da ( čine bazu, potrebno je dokazati njihovu linearnu neovisnost; sve sadrže 0 0=0+...+0. Zbog jedinstvenosti širenja 0 preko : => zbog linearne neovisnosti baze => ( – baza

(Ext.) Neka ( tvori bazu L jedinstvene dekompozicije (**) postoji barem jedna dekompozicija. Po jedinstvenosti (*) => jedinstvenosti (**)

Komentar. Dimenzija izravnog zbroja jednaka je zbroju dimenzija potprostora

Svaka nesingularna kvadratna matrica može poslužiti kao prijelazna matrica s jedne baze na drugu

Neka postoje dvije baze u n-dimenzionalnom linearnom prostoru V i

(1) =A, gdje elementi * i ** nisu brojevi, ali ćemo proširiti određene operacije na numeričkoj matrici na takve retke.

Jer inače bi vektori ** bili linearno ovisni

Leđa. Ako su tada stupci od A linearno neovisni =>formiraju bazu

Koordinate I povezani relacijom , Gdje elementi prijelazne matrice

Neka se zna razlaganje elemenata “nove” osnove na “staru”.

Tada su jednakosti istinite

Ali ako je linearna kombinacija linearno neovisnih elemenata 0 tada je =>

Osnovni teorem o linearnoj ovisnosti

Ako (*) se linearno izražava kroz (**) Ton<= m

Dokažimo indukcijom na m

m=1: sustav (*) sadrži 0 i lin. upravitelj – nemoguće

neka vrijedi za m=k-1

dokažimo za m=k

Može se pokazati da 1), tj. v-ry (1) su lin.comb. lin. u jarku (2)Sustav (1) linearno nepouzdan, jer dio je lin.nezav. sustavi (*). Jer u sustavu (2) postoji samo k-1 vektora, tada hipotezom indukcije dobivamo k+1

Teorem 1. (O linearna neovisnost ortogonalni vektori). Neka je tada sustav vektora linearno neovisan.

Napravimo linearnu kombinaciju ∑λ i x i =0 i razmotrimo skalarni produkt (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, ali ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Definicija 1. Vektorski sustavili (e i ,e j)=δ ij - Kroneckerov simbol, naziva se ortonormalnim (ONS).

Definicija 2. Za proizvoljan element x proizvoljnog beskonačnodimenzionalnog euklidskog prostora i proizvoljnog ortonormiranog sustava elemenata, Fourierov niz elementa x nad sustavom naziva se formalno sastavljena beskonačna suma (niz) oblika , u kojem se realni brojevi λ i nazivaju Fourierovim koeficijentima elementa x u sustavu, gdje je λ i =(x,e i).

Komentar. (Naravno, postavlja se pitanje konvergencije ovog niza. Kako bismo proučili ovo pitanje, fiksiramo proizvoljni broj n i saznajemo što razlikuje n-tu parcijalnu sumu Fourierovog niza od bilo koje druge linearne kombinacije prvih n elemenata ortonormiranog sustava.)

Teorem 2. Za bilo koji fiksni broj n, među svim zbrojevima oblika, n-ti djelomični zbroj Fourierovog reda elementa ima najmanje odstupanje od elementa x prema normi zadanog euklidskog prostora

Uzimajući u obzir ortonormiranost sustava i definiciju Fourierovog koeficijenta, možemo napisati

Minimum ovog izraza postiže se pri c i =λ i, jer u ovom slučaju nenegativan prvi zbroj na desnoj strani uvijek ispada, a preostali članovi ne ovise o c i.

Primjer. Razmotrimo trigonometrijski sustav

u prostoru svih Riemannovih integrabilnih funkcija f(x) na segmentu [-π,π]. Lako je provjeriti da je ovo ONS, a onda Fourierov red funkcije f(x) ima oblik gdje je .

Komentar. (Trigonometrijski Fourierov red obično se piše u obliku Zatim )

Proizvoljni ONS u beskonačnodimenzionalnom euklidskom prostoru bez dodatnih pretpostavki, općenito govoreći, nije osnova tog prostora. Na intuitivnoj razini, bez davanja strogih definicija, opisat ćemo bit stvari. U proizvoljnom beskonačnodimenzionalnom euklidskom prostoru E, razmotrite ONS, gdje je (e i ,e j)=δ ij Kroneckerov simbol. Neka je M potprostor euklidskog prostora, a k=M ⊥ potprostor ortogonalno na M tako da je euklidski prostor E=M+M ⊥ . Projekcija vektora x∈E na potprostor M je vektor ∈M, gdje je

Tražit ćemo one vrijednosti koeficijenata ekspanzije α k za koje je rezidual (kvadrat reziduala) h 2 =||x-|| 2 će biti minimum:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Jasno je da će ovaj izraz imati minimalnu vrijednost pri α k =0, što je trivijalno, i pri α k =(x,e k). Tada je ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Odavde dobivamo Besselovu nejednakost ∑α k 2 ||x|| 2. Pri ρ=0 ortonormirani sustav vektora (ONS) naziva se potpuni ortonormirani sustav u Steklovljevom smislu (PONS). Odavde možemo dobiti Steklov-Parsevalovu jednakost ∑α k 2 =||x|| 2 - “Pitagorin teorem” za beskonačnodimenzionalne euklidske prostore koji su potpuni u smislu Steklova. Sada bi bilo potrebno dokazati da je za bilo koji vektor u prostoru jedinstveno predstavljen u obliku Fourierovog niza koji mu konvergira, potrebno i dovoljno da vrijedi Steklov-Parsevalova jednakost. Sustav vektora pic=""> ONB tvori? sustav vektora Razmotrimo parcijalni zbroj niza Zatim poput repa konvergentnog niza. Dakle, sustav vektora je PONS i tvori ONB.

Primjer. Trigonometrijski sustav

u prostoru svih Riemann-integrabilnih funkcija f(x) na segmentu [-π,π] je PONS i tvori ONB.

Neka L – linearni prostor nad poljem R . Neka A1, a2, …, an (*) konačni sustav vektora iz L . Vektor U = a1× A1 +a2× A2 + … + an× An (16) se zove Linearna kombinacija vektora ( *), ili kažu da vektor U linearno izražen kroz sustav vektora (*).

Definicija 14. Sustav vektora (*) naziva se Linearno ovisan , ako i samo ako postoji skup koeficijenata a1, a2, … različit od nule, takav da je a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se zove sustav (*). Linearno nezavisan.

Svojstva linearne ovisnosti i neovisnosti.

10. Ako sustav vektora sadrži nulti vektor, tada je on linearno ovisan.

Doista, ako je u sustavu (*) vektor A1 = 0, To je 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Ako sustav vektora sadrži dva proporcionalna vektora, tada je on linearno ovisan.

Neka A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Konačni sustav vektora (*) za n ³ 2 je linearno ovisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija preostalih vektora tog sustava.

Þ Neka je (*) linearno ovisan. Zatim postoji različit od nule skup koeficijenata a1, a2, …, an, za koji je a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + mlrd A N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + mlrd A N= 0 , tj. (*) je linearno ovisan.

Komentar. Pomoću posljednjeg svojstva možemo definirati linearnu ovisnost i neovisnost beskonačnog sustava vektora.

Definicija 15. Vektorski sustav A1, a2, …, an , … (**) Zove se Linearno ovisan, Ako je barem jedan njegov vektor linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. Inače se poziva sustav (**). Linearno nezavisan.

40. Konačni sustav vektora je linearno neovisan ako i samo ako se nijedan od njegovih vektora ne može linearno izraziti preko njegovih preostalih vektora.

50. Ako je sustav vektora linearno neovisan, tada je i svaki njegov podsustav također linearno neovisan.

60. Ako je neki podsustav danog sustava vektora linearno ovisan, onda je i cijeli sustav linearno ovisan.

Neka su dana dva sustava vektora A1, a2, …, an , … (16) i V1, V2, …, Vs, … (17). Ako se svaki vektor sustava (16) može prikazati kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sustava (17), tada se kaže da je sustav (17) linearno izražen kroz sustav (16).

Definicija 16. Dva vektorska sustava nazivaju se Ekvivalent , ako se svaki od njih linearno izrazi kroz drugi.

Teorem 9 (osnovni teorem linearne ovisnosti).

Neka bude – dva konačna sustava vektora iz L . Ako je prvi sustav linearno neovisan i linearno izražen kroz drugi, tada N£s.

Dokaz. Hajdemo to pretvarati N> S. Prema uvjetima teorema

(21)

Kako je sustav linearno neovisan, jednakost (18) Û X1=x2=…=xN= 0. Zamijenimo ovdje izraze vektora: …+=0 (19). Stoga (20). Uvjeti (18), (19) i (20) su očito ekvivalentni. Ali (18) je zadovoljeno samo kada X1=x2=…=xN= 0. Pronađimo kada je jednakost (20) istinita. Ako su svi njegovi koeficijenti jednaki nuli, onda je to očito točno. Izjednačujući ih s nulom, dobivamo sustav (21). Budući da ovaj sustav ima nulu, onda je

spojnica Budući da je broj jednadžbi više broja nepoznanica, tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Stoga ima vrijednost različitu od nule X10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti bit će istinita jednakost (18), što je u suprotnosti s činjenicom da je sustav vektora linearno neovisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. Stoga, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sustava vektora konačna i linearno neovisna, tada sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Vektorski sustav naziva se Maksimalni linearno neovisni sustav vektora Linearni prostor L , ako je linearno neovisan, ali kada mu se doda bilo koji vektor iz L , koji nije uključen u ovaj sustav, postaje linearno ovisan.

Teorem 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno neovisna sustava vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz slijedi iz činjenice da su svaka dva maksimalna linearno neovisna sustava vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da svaki linearno neovisan sustav prostornih vektora L može se proširiti na maksimalan linearno nezavisan sustav vektora u ovom prostoru.

Primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora svaki sustav koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno neovisan.

2. U skupu svih koplanarnih geometrijskih vektora svaka dva nekolinearna vektora čine maksimalan linearno neovisan sustav.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora svaki sustav od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno neovisan.

4. U skupu svih polinoma stupnjevi nisu viši od N S realnim (kompleksnim) koeficijentima sustav polinoma 1, x, x2, … , xn Maksimalno je linearno neovisan.

5. U skupu svih polinoma s realnim (kompleksnim) koeficijentima primjeri maksimalnog linearno neovisnog sustava su

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Skup dimenzijskih matrica M´ N je linearni prostor (provjerite ovo). Primjer maksimalnog linearno nezavisnog sustava u ovom prostoru je matrični sustav E11= , E12 =, …, EMn = .

Neka je dan sustav vektora C1, c2, …, usp (*). Podsustav vektora iz (*) naziva se Maksimalno linearno neovisan Podsustav Sustavi ( *) , ako je linearno neovisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sustava, postaje linearno ovisan. Ako je sustav (*) konačan, tada svaki njegov najveći linearno neovisni podsustav sadrži isti broj vektora. (Dokažite sami). Naziva se broj vektora u maksimalnom linearno neovisnom podsustavu sustava (*). Rang Ovaj sustav. Očito, ekvivalentni sustavi vektora imaju iste rangove.

Slijedi nekoliko kriterija za linearnu ovisnost i, sukladno tome, linearnu neovisnost vektorskih sustava.

Teorema. (Potrebno i dovoljan uvjet linearna ovisnost vektora.)

Sustav vektora je ovisan ako i samo ako je jedan od vektora sustava linearno izražen kroz ostale vektore tog sustava.

Dokaz. Nužnost. Neka je sustav linearno ovisan. Tada, po definiciji, predstavlja nulti vektor netrivijalno, tj. postoji netrivijalna kombinacija ovog sustava vektora jednaka nultom vektoru:

gdje barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka , .

Podijelimo obje strane prethodne jednakosti s ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnožimo s:

Označimo: , gdje je .

oni. jedan od vektora sustava se linearno izražava kroz ostale vektore tog sustava itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sustava linearno izražen preko ostalih vektora tog sustava:

Pomaknimo vektor desno od ove jednakosti:

Kako je koeficijent vektora jednak , tada imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sustavom vektora, što znači da je taj sustav vektora linearno ovisan, itd.

Teorem je dokazan.

Posljedica.

1. Vektorski sustav vektorski prostor je linearno neovisan ako i samo ako nijedan od vektora sustava nije linearno izražen preko drugih vektora ovog sustava.

2. Sustav vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno ovisan.

Dokaz.

1) Nužnost. Neka je sustav linearno neovisan. Pretpostavimo suprotno i postoji vektor sustava koji je linearno izražen kroz ostale vektore tog sustava. Tada je sustav prema teoremu linearno ovisan i dolazimo do kontradikcije.

Adekvatnost. Neka niti jedan od vektora sustava nije izražen kroz druge. Pretpostavimo suprotno. Neka je sustav linearno ovisan, ali tada iz teorema slijedi da postoji vektor sustava koji se linearno izražava kroz ostale vektore tog sustava, pa opet dolazimo do kontradikcije.

2a) Neka sustav sadrži nulti vektor. Pretpostavimo sa sigurnošću da je vektor :. Tada je jednakost očita

oni. jedan od vektora sustava linearno se izražava kroz ostale vektore ovog sustava. Iz teorema slijedi da je takav sustav vektora linearno ovisan itd.

Imajte na umu da se ova činjenica može dokazati izravno iz linearno ovisnog sustava vektora.

Budući da je sljedeća jednakost očita

Ovo je netrivijalan prikaz nultog vektora, što znači da je sustav linearno ovisan.

2b) Neka sustav ima dva jednaka vektora. Neka za . Tada je jednakost očita

Oni. prvi vektor se linearno izražava kroz ostale vektore istog sustava. Iz teorema slijedi da je ovaj sustav linearno ovisan itd.

Slično prethodnoj, ova se tvrdnja može dokazati izravno definicijom linearno ovisnog sustava. Tada taj sustav netrivijalno predstavlja nulti vektor

odakle slijedi linearna ovisnost sustava.

Teorem je dokazan.

Posljedica. Sustav koji se sastoji od jednog vektora je linearno neovisan ako i samo ako je taj vektor različit od nule.