Može se odrediti na različite načine (jedna točka i vektor, dvije točke i vektor, tri točke itd.). Imajući to na umu, jednadžba ravnine može imati različite oblike. Također, pod određenim uvjetima, ravnine mogu biti paralelne, okomite, sijeku se itd. O tome ćemo govoriti u ovom članku. Naučit ćemo kako izraditi opću jednadžbu ravnine i više.

Normalni oblik jednadžbe

Recimo da postoji prostor R 3 koji ima pravokutni XYZ koordinatni sustav. Definirajmo vektor α koji će biti otpušten iz početne točke O. Kroz kraj vektora α povučemo ravninu P koja će biti okomita na njega.

Označimo proizvoljnu točku na P kao Q = (x, y, z). Označimo radijus vektor točke Q slovom p. U ovom slučaju duljina vektora α jednaka je r=IαI i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ovo je jedinični vektor koji je usmjeren na stranu, poput vektora α. α, β i γ su kutovi koji se tvore između vektora Ʋ i pozitivnih smjerova prostornih osi x, y, z. Projekcija bilo koje točke QϵP na vektor Ʋ je konstantna vrijednost, koji je jednak p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Gornja jednadžba ima smisla kada je p=0. Jedino što će ravnina P u ovom slučaju sijeći točku O (α=0), koja je ishodište koordinata, a jedinični vektor Ʋ oslobođen iz točke O bit će okomit na P, unatoč svom smjeru, što znači da je vektor Ʋ određen s točnim predznakom. Prethodna jednadžba je jednadžba naše ravnine P, izražena u vektorskom obliku. Ali u koordinatama to će izgledati ovako:

P je ovdje veće ili jednako 0. Pronašli smo jednadžbu ravnine u prostoru u normalnom obliku.

Opća jednadžba

Ako jednadžbu u koordinatama pomnožimo bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobit ćemo jednadžbu ekvivalentnu ovoj, koja definira upravo tu ravninu. Izgledat će ovako:

Ovdje su A, B, C brojevi koji su istovremeno različiti od nule. Ova se jednadžba naziva općom jednadžbom ravnine.

Jednadžbe ravnina. Posebni slučajevi

Jednadžba u opći pogled može se modificirati ako je dostupno dodatni uvjeti. Pogledajmo neke od njih.

Pretpostavimo da je koeficijent A 0. To znači da je ova ravnina paralelna sa zadanom osi Ox. U tom slučaju će se promijeniti oblik jednadžbe: Vu+Cz+D=0.

Slično, oblik jednadžbe će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, tada će se jednadžba promijeniti u Ax + Cz + D = 0, što će ukazivati ​​na paralelizam s osi Oy.
• Drugo, ako je C=0, tada će se jednadžba transformirati u Ax+By+D=0, što će ukazivati ​​na paralelnost s danom osi Oz.
• Treće, ako je D=0, jednadžba će izgledati kao Ax+By+Cz=0, što će značiti da ravnina siječe O (ishodište).
• Četvrto, ako je A=B=0, onda će se jednadžba promijeniti u Cz+D=0, što će se pokazati paralelnim s Oxy.
• Peto, ako je B=C=0, tada jednadžba postaje Ax+D=0, što znači da je ravnina s Oyz paralelna.
• Šesto, ako je A=C=0, tada će jednadžba imati oblik Vu+D=0, to jest, prijavit će paralelizam s Oxz.

Vrsta jednadžbe u segmentima

U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednadžbe (0) može biti sljedeći:

x/a + y/b + z/c = 1,

u kojem je a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Kao rezultat dobivamo. Vrijedno je napomenuti da će ova ravnina presijecati os Ox u točki s koordinatama (a,0,0), Oy - (0,b,0) i Oz - (0,0,c ).

Uzimajući u obzir jednadžbu x/a + y/b + z/c = 1, nije teško vizualno zamisliti položaj ravnine u odnosu na zadani koordinatni sustav.

Koordinate normalnog vektora

Vektor normale n na ravninu P ima koordinate koje su koeficijenti opća jednadžba zadane ravnine, odnosno n (A, B, C).

Da bi se odredile koordinate normale n, dovoljno je poznavati opću jednadžbu zadane ravnine.

Kada koristite jednadžbu u segmentima, koja ima oblik x/a + y/b + z/c = 1, kao i kada koristite opću jednadžbu, možete napisati koordinate bilo kojeg normalnog vektora zadane ravnine: (1 /a + 1/b + 1/ sa).

Vrijedno je napomenuti da normalni vektor pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći su zadaci koji uključuju dokazivanje okomitosti ili paralelnosti ravnina, zadaci određivanja kutova između ravnina ili kutova između ravnina i ravnina.

Vrsta jednadžbe ravnine prema koordinatama točke i vektora normale

Vektor n različit od nule okomit na zadanu ravninu nazivamo normalom za zadanu ravninu.

Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravokutni koordinatni sustav) zadani Oxyz:

• točka Mₒ s koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulti vektor n=A*i+B*j+C*k.

Potrebno je izraditi jednadžbu za ravninu koja će prolaziti točkom Mₒ okomito na normalu n.

Odaberemo bilo koju proizvoljnu točku u prostoru i označimo je M (x y, z). Neka radijus vektor bilo koje točke M (x,y,z) bude r=x*i+y*j+z*k, a radijus vektor točke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Točka M će pripadati zadanoj ravnini ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Napišimo uvjet ortogonalnosti koristeći skalarni produkt:

[MₒM, n] = 0.

Budući da je MₒM = r-rₒ, vektorska jednadžba ravnine izgledat će ovako:

Ova jednadžba može imati i drugi oblik. Za to se koriste svojstva skalarnog umnoška, ​​a lijeva strana jednadžbe se transformira. = - . Označimo li ga s c, dobivamo sljedeću jednadžbu: - c = 0 ili = c, koja izražava stalnost projekcija na vektor normale radijus vektora zadanih točaka koje pripadaju ravnini.

Sada možemo dobiti koordinatni oblik pisanja vektorske jednadžbe naše ravnine = 0. Budući da je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, i n = A*i+B *j+S*k, imamo:

Ispada da imamo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točku okomitu na normalu n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vrsta jednadžbe ravnine prema koordinatama dviju točaka i vektora kolinearnog na ravninu

Zadajmo dvije proizvoljne točke M′ (x′,y′,z′) i M″ (x″,y″,z″), kao i vektor a (a′,a″,a‴).

Sada možemo napraviti jednadžbu za danu ravninu koja će prolaziti kroz postojeće točke M′ i M″, kao i kroz bilo koju točku M s koordinatama (x, y, z) paralelnim sa danim vektorom a.

U ovom slučaju, vektori M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) i M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) moraju biti koplanarni s vektorom a=(a′,a″,a‴), što znači da je (M′M, M″M, a)=0.

Dakle, naša jednadžba ravnine u prostoru će izgledati ovako:

Vrsta jednadžbe ravnine koja siječe tri točke

Recimo da imamo tri točke: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), koje ne pripadaju istom pravcu. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadane tri točke. Teorija geometrije tvrdi da ovakva ravnina stvarno postoji, ali je jedina i jedinstvena. Budući da ova ravnina siječe točku (x′,y′,z′), oblik njene jednadžbe će biti sljedeći:

Ovdje su A, B, C različiti od nule u isto vrijeme. Također, data ravnina siječe još dvije točke: (x″,y″,z″) i (x‴,y‴,z‴). U tom smislu moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti:

Sada možemo stvoriti homogeni sustav s nepoznanicama u, v, w:

U našem slučaj x,y ili z djeluje kao proizvoljna točka koja zadovoljava jednadžbu (1). S obzirom na jednadžbu (1) i sustav jednadžbi (2) i (3), sustav jednadžbi prikazan na gornjoj slici zadovoljava vektor N (A,B,C), koji nije trivijalan. Zato je determinanta ovog sustava jednaka nuli.

Jednadžba (1) koju smo dobili je jednadžba ravnine. Prolazi točno kroz 3 točke, a to je lako provjeriti. Da bismo to učinili, moramo proširiti našu determinantu na elemente u prvom redu. Iz postojećih svojstava determinante proizlazi da naša ravnina istovremeno siječe tri početno zadane točke (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Odnosno, riješili smo zadatak koji nam je dodijeljen.

Diedralni kut između ravnina

Diedralni kut predstavlja prostorni geometrijski lik, koju čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne ravne crte. Drugim riječima, to je dio prostora koji je ograničen ovim poluravnima.

Recimo da imamo dvije ravnine sa sljedećim jednadžbama:

Znamo da su vektori N=(A,B¹,C) i N¹=(A¹,B¹,C¹) okomiti na zadane ravnine. S tim u vezi, kut φ između vektora N i N¹ jednak je kutu (diedaru) koji se nalazi između ovih ravnina. Skalarni produkt ima oblik:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

upravo zato

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Dovoljno je uzeti u obzir da je 0≤φ≤π.

Naime, dvije ravnine koje se sijeku tvore dva kuta (diedra): φ 1 i φ 2. Njihov zbroj je jednak π (φ 1 + φ 2 = π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali se razlikuju u predznaku, odnosno cos φ 1 = -cos φ 2. Ako u jednadžbi (0) zamijenimo A, B i C brojevima -A, -B odnosno -C, tada će jednadžba koju dobijemo odrediti istu ravninu, jedinu, kut φ u cos jednadžbaφ=NN 1 /|N||N 1 | zamijenit će se s π-φ.

Jednadžba okomite ravnine

Ravnine između kojih je kut od 90 stupnjeva nazivaju se okomitima. Koristeći gore prikazani materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine okomite na drugu. Recimo da imamo dvije ravnine: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Možemo reći da će biti okomite ako je cosφ=0. To znači da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Jednadžba paralelne ravnine

Dvije ravnine koje nemaju zajedničkih točaka nazivaju se paralelne.

Uvjet (njihove jednadžbe su iste kao u prethodnom paragrafu) je da vektori N i N¹, koji su okomiti na njih, budu kolinearni. A to znači da su ispunjeni sljedeće uvjete proporcionalnost:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ako su uvjeti proporcionalnosti prošireni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

to ukazuje da se ove ravnine podudaraju. To znači da jednadžbe Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisuju jednu ravninu.

Udaljenost do ravnine od točke

Recimo da imamo ravninu P, koja je dana jednadžbom (0). Potrebno je pronaći udaljenost do nje od točke s koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Da biste to učinili, morate dovesti jednadžbu ravnine P u normalan oblik:

(ρ,v)=r (r≥0).

U ovom slučaju, ρ (x,y,z) je radijus vektor naše točke Q koja se nalazi na P, p je duljina okomice P koja je otpuštena iz nulte točke, v je jedinični vektor koji se nalazi u pravac a.

Razlika ρ-ρº radijus vektora neke točke Q = (x, y, z), koja pripada P, kao i radijus vektor date točke Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) je takav vektor, apsolutna vrijednostčija je projekcija na v jednaka udaljenosti d koju treba pronaći od Q 0 = (xₒ,uₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ali

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =r-(ρ 0 ,v).

Tako ispada

d=|(ρ 0 ,v)-r|.

Tako ćemo pronaći apsolutnu vrijednost dobivenog izraza, odnosno željeni d.

Koristeći jezik parametara, dobivamo očito:

d=|Ahₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+V²+S²).

Ako postavljena točka Q 0 je s druge strane ravnine P, kao ishodište koordinata, pa se između vektora ρ-ρ 0 i v nalazi dakle:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-r>0.

U slučaju kada se točka Q 0, zajedno s ishodištem koordinata, nalazi na istoj strani od P, tada je stvoreni kut šiljasti, tj.

d=(ρ-ρ 0 ,v)=r - (ρ 0 , v)>0.

Kao rezultat toga, ispada da u prvom slučaju (ρ 0 ,v)>r, u drugom (ρ 0 ,v)<р.

Tangentna ravnina i njezina jednadžba

Ravnina tangente na površinu u točki dodira Mº je ravnina koja sadrži sve moguće tangente na krivulje povučene kroz ovu točku na površini.

S ovom vrstom jednadžbe površine F(x,y,z)=0, jednadžba tangentne ravnine u tangentnoj točki Mº(xº,yº,zº) izgledat će ovako:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ako navedete površinu u eksplicitnom obliku z=f (x,y), tada će tangentna ravnina biti opisana jednadžbom:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Presjek dviju ravnina

U koordinatnom sustavu (pravokutnom) nalazi se Oxyz, zadane su dvije ravnine P′ i P″ koje se sijeku i ne poklapaju. Budući da je svaka ravnina koja se nalazi u pravokutnom koordinatnom sustavu određena općom jednadžbom, pretpostavit ćemo da su P′ i P″ dani jednadžbama A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x +B″y+ ″z+D″=0. U ovom slučaju imamo normalu n′ (A′,B′,C′) ravnine P′ i normalu n″ (A″,B″,C″) ravnine P″. Budući da naše ravnine nisu paralelne i ne podudaraju se, ti vektori nisu kolinearni. Koristeći se jezikom matematike, ovaj uvjet možemo napisati na sljedeći način: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Neka pravac koji leži na sjecištu P′ i P″ označimo slovom a, u ovom slučaju a = P′ ∩ P″.

a je pravac koji se sastoji od skupa svih točaka (zajedničkih) ravnina P′ i P″. To znači da koordinate bilo koje točke koja pripada liniji a moraju istovremeno zadovoljiti jednadžbe A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x+B″y+C″z+D″=0 . To znači da će koordinate točke biti djelomično rješenje sljedećeg sustava jednadžbi:

Kao rezultat toga, ispada da će (općenito) rješenje ovog sustava jednadžbi odrediti koordinate svake od točaka pravca, koji će djelovati kao sjecište P′ i P″, i odrediti ravnu liniju a u Oxyz (pravokutnom) koordinatnom sustavu u prostoru.

Da bi se kroz bilo koje tri točke u prostoru povukla jedna ravnina, potrebno je da te točke ne leže na istoj pravoj liniji.

Promotrimo točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) u općem Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Da bi proizvoljna točka M(x, y, z) ležala u istoj ravnini s točkama M 1, M 2, M 3, potrebno je da vektori budu komplanarni.

(
) = 0

Tako,

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke:

Jednadžba ravnine s dvije točke i vektorom kolinearnim na ravninu.

Neka su zadane točke M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) i vektor
.

Napravimo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz zadane točke M 1 i M 2 i proizvoljnu točku M (x, y, z) paralelnu s vektorom .

Vektori
i vektor
mora biti komplanarna, tj.

(
) = 0

Jednadžba ravnine:

Jednadžba ravnine koja koristi jednu točku i dva vektora,

kolinearno ravnini.

Neka su dana dva vektora
I
, kolinearne ravnine. Tada za proizvoljnu točku M(x, y, z) koja pripada ravnini vektori
mora biti komplanarna.

Jednadžba ravnine:

Jednadžba ravnine s točkom i vektorom normale .

Teorema. Ako je u prostoru dana točka M 0 (X 0 , g 0 , z 0 ), zatim jednadžba ravnine koja prolazi točkom M 0 okomito na vektor normale (A, B, C) ima oblik:

A(x – x 0 ) + B(g – g 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dokaz. Za proizvoljnu točku M(x, y, z) koja pripada ravnini sastavljamo vektor. Jer vektor normalni vektor, onda je okomit na ravninu i, prema tome, okomit na vektor
. Zatim skalarni produkt

= 0

Tako dobivamo jednadžbu ravnine

Teorem je dokazan.

Jednadžba ravnine u segmentima.

Ako u općoj jednadžbi Ax + Bi + Cz + D = 0 obje strane podijelimo s (-D)

,

zamjenjujući
, dobivamo jednadžbu ravnine u segmentima:

Brojevi a, b, c su sjecišne točke ravnine s osi x, y, z.

Jednadžba ravnine u vektorskom obliku.

Gdje

- radijus vektor trenutne točke M(x, y, z),

Jedinični vektor koji ima smjer okomice spuštene na ravninu iz ishodišta.

,  i  su kutovi koje tvori ovaj vektor s osima x, y, z.

p je duljina ove okomice.

U koordinatama ova jednadžba izgleda ovako:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Udaljenost od točke do ravnine.

Udaljenost od proizvoljne točke M 0 (x 0, y 0, z 0) do ravnine Ax+By+Cz+D=0 je:

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine znajući da je točka P(4; -3; 12) osnovica okomice spuštene iz ishodišta na tu ravninu.

Dakle, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13 koristimo formulu:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz dvije točke P(2; 0; -1) i

Q(1; -1; 3) okomito na ravninu 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vektor normale na ravninu 3x + 2y – z + 5 = 0
paralelno sa željenom ravninom.

Dobivamo:

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke A(2, -1, 4) i

B(3, 2, -1) okomito na ravninu x + na + 2z – 3 = 0.

Tražena jednadžba ravnine ima oblik: A x+B g+C z+ D = 0, vektor normale na ovu ravninu (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) pripada ravnini. Zadana nam ravnina, okomita na željenu, ima normalni vektor (1, 1, 2). Jer točke A i B pripadaju objema ravninama, a ravnine su međusobno okomite, dakle

Dakle normalni vektor (11, -7, -2). Jer točka A pripada traženoj ravnini, tada njezine koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu te ravnine, tj. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Ukupno, dobivamo jednadžbu ravnine: 11 x - 7g – 2z – 21 = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine znajući da je točka P(4, -3, 12) osnovica okomice spuštene iz ishodišta na tu ravninu.

Određivanje koordinata vektora normale
= (4, -3, 12). Tražena jednadžba ravnine ima oblik: 4 x – 3g + 12z+ D = 0. Da bismo pronašli koeficijent D, zamijenimo koordinate točke P u jednadžbu:

16 + 9 + 144 + D = 0

Ukupno dobivamo traženu jednadžbu: 4 x – 3g + 12z – 169 = 0

Primjer. Zadane su koordinate vrhova piramide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Odredi duljinu brida A 1 A 2.

Odredite kut između bridova A 1 A 2 i A 1 A 4.

Odredi kut između ruba A 1 A 4 i plohe A 1 A 2 A 3.

Prvo nalazimo vektor normale na plohu A 1 A 2 A 3 kao umnožak vektora
I
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Nađimo kut između vektora normale i vektora
.

-4 – 4 = -8.

Željeni kut  između vektora i ravnine bit će jednak  = 90 0 - .

Nađite površinu lica A 1 A 2 A 3.

Nađi obujam piramide.

Nađite jednadžbu ravnine A 1 A 2 A 3.

Upotrijebimo formulu za jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kada koristite računalnu verziju “ Tečaj više matematike” možete pokrenuti program koji će riješiti gornji primjer za bilo koje koordinate vrhova piramide.

Za pokretanje programa dvaput kliknite na ikonu:

U prozoru programa koji se otvori unesite koordinate vrhova piramide i pritisnite Enter. Na taj se način sve točke odluke mogu dobiti jedna po jedna.

Napomena: Za pokretanje programa, program Maple ( Waterloo Maple Inc.) bilo koje verzije, počevši od MapleV Release 4, mora biti instaliran na vašem računalu.

Ako su svi brojevi A, B, C i D različiti od nule, tada se opća jednadžba ravnine naziva potpuna. Inače se opća jednadžba ravnine naziva nepotpun.

Razmotrimo sve moguće opće nepotpune jednadžbe ravnine u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru.

Neka je D = 0, tada imamo opću nepotpunu jednadžbu ravnine oblika . Ova ravnina u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz prolazi ishodištem. Doista, kada zamjenimo koordinate točke u rezultirajuću nepotpunu jednadžbu ravnine, dolazimo do identiteta .

Za , ili , ili imamo opće nepotpune jednadžbe ravnina , ili , odnosno . Ove jednadžbe definiraju ravnine paralelne s koordinatnim ravninama Oxy, Oxz i Oyz (pogledajte članak za uvjete paralelnih ravnina) i prolaze kroz točke i shodno tome. Na. Od točke pripada ravnini po uvjetu, tada koordinate te točke moraju zadovoljavati jednadžbu ravnine, odnosno jednakost mora biti istinita. Odavde nalazimo. Dakle, tražena jednadžba ima oblik .

Predstavimo drugi način rješavanja ovog problema.

Kako je ravnina, čiju opću jednadžbu trebamo sastaviti, paralelna s ravninom Oyz, onda kao njen vektor normale možemo uzeti vektor normale ravnine Oyz. Vektor normale koordinatne ravnine Oyz je koordinatni vektor. Sada znamo vektor normale ravnine i točku ravnine, stoga možemo napisati njezinu opću jednadžbu (sličan problem riješili smo u prethodnom odlomku ovog članka):
, tada njegove koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu ravnine. Dakle, jednakost je istinita odakle ga nalazimo. Sada možemo napisati željenu opću jednadžbu ravnine, ona ima oblik .

Odgovor:

Bibliografija.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Svezak prvi: elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Da bismo dobili opću jednadžbu ravnine, analizirajmo ravninu koja prolazi kroz datu točku.

Neka postoje tri koordinatne osi koje su nam već poznate u prostoru - Vol, Joj I Oz. Držite list papira tako da ostane ravan. Ravnina će biti sam list i njegov nastavak u svim smjerovima.

Neka P proizvoljna ravnina u prostoru. Svaki vektor okomit na njega naziva se normalni vektor na ovaj avion. Naravno, govorimo o vektoru različitom od nule.

Ako je poznata bilo koja točka na ravnini P i neki normalni vektor na nju, onda je ta dva uvjeta ravnina u prostoru potpuno definirana(kroz zadanu točku možete povući jednu ravninu okomitu na zadani vektor). Opća jednadžba ravnine bit će:

Dakle, uvjeti koji definiraju jednadžbu ravnine su. Da dobiješ sebe jednadžba ravnine, koji imaju gornji oblik, uzeti u avion P proizvoljan točka M s promjenjivim koordinatama x, g, z. Ova točka pripada ravnini samo ako vektor okomito na vektor(Sl. 1). Za to je, prema uvjetu okomitosti vektora, potrebno i dovoljno da skalarni produkt tih vektora bude jednak nuli, tj.

Vektor je određen uvjetom. Koordinate vektora nalazimo pomoću formule :

.

Sada, koristeći formulu skalarnog produkta vektora , izražavamo skalarni produkt u koordinatnom obliku:

Od točke M(x; y; z) odabran proizvoljno na ravnini, tada posljednju jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke koja leži na ravnini P. Za bod N, ne leži na datoj ravnini, tj. jednakost (1) je povrijeđena.

Primjer 1. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom i okomita je na vektor.

Riješenje. Upotrijebimo formulu (1) i pogledajmo je ponovno:

U ovoj formuli brojevi A , B I C vektorske koordinate i brojeve x0 , g0 I z0 - koordinate točke.

Izračuni su vrlo jednostavni: te brojeve zamijenimo formulom i dobijemo

Množimo sve što treba pomnožiti i zbrajamo samo brojeve (koji nemaju slova). Proizlaziti:

.

Pokazalo se da je tražena jednadžba ravnine u ovom primjeru izražena općom jednadžbom prvog stupnja s obzirom na varijabilne koordinate x, y, z proizvoljna točka ravnine.

Dakle, jednadžba oblika

nazvao jednadžba opće ravnine .

Primjer 2. Konstruirajte u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu ravninu zadanu jednadžbom .

Riješenje. Za konstrukciju ravnine potrebno je i dovoljno poznavati bilo koje tri njezine točke koje ne leže na istoj pravoj liniji, npr. točke presjeka ravnine s koordinatnim osima.

Kako pronaći te točke? Da biste pronašli točku sjecišta s osi Oz, trebate zamijeniti nule za X i Y u jednadžbi danoj u izjavi problema: x = g= 0 . Stoga dobivamo z= 6. Dakle, data ravnina siječe os Oz u točki A(0; 0; 6) .

Na isti način nalazimo točku presjeka ravnine s osi Joj. Na x = z= 0 dobivamo g= −3, odnosno točku B(0; −3; 0) .

I konačno, nalazimo točku presjeka naše ravnine s osi Vol. Na g = z= 0 dobivamo x= 2, odnosno točku C(2; 0; 0) . Na temelju tri točke dobivene u našem rješenju A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) i C(2; 0; 0) konstruirajte zadanu ravninu.

Razmotrimo sada posebni slučajevi opće jednadžbe ravnine. To su slučajevi kada određeni koeficijenti jednadžbe (2) postanu nula.

1. Kada D= 0 jednadžba definira ravninu koja prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate točke 0 (0; 0; 0) zadovoljavaju ovu jednadžbu.

2. Kada A= 0 jednadžba definira ravninu paralelnu s osi Vol, budući da je vektor normale ove ravnine okomit na os Vol(njegova projekcija na os Vol jednaka nuli). Slično tome, kada B= 0 avion paralelno s osi Joj, i kada C= 0 avion paralelno s osi Oz.

3. Kada A=D= 0 jednadžba definira ravninu koja prolazi kroz os Vol, budući da je paralelna s osi Vol (A=D= 0). Slično, ravnina prolazi kroz os Joj, a ravnina kroz os Oz.

4. Kada A=B= 0 jednadžba definira ravninu paralelnu s koordinatnom ravninom xOy, budući da je paralelan s osima Vol (A= 0) i Joj (B= 0). Slično, ravnina je paralelna s ravninom yOz, a avion je avion xOz.

5. Kada A=B=D= 0 jednadžba (ili z = 0) definira koordinatnu ravninu xOy, budući da je paralelna s ravninom xOy (A=B= 0) i prolazi kroz ishodište ( D= 0). Isto tako, jednadžba y = 0 u prostoru definira koordinatnu ravninu xOz, i jednadžba x = 0 - koordinatna ravnina yOz.

Primjer 3. Napravite jednadžbu ravnine P, prolazeći kroz os Joj i točka.

Riješenje. Dakle, ravnina prolazi kroz os Joj. Stoga se u njezinoj jednadžbi g= 0 i ova jednadžba ima oblik . Za određivanje koeficijenata A I C iskoristimo činjenicu da točka pripada ravnini P .

Stoga među njegovim koordinatama postoje one koje se mogu zamijeniti u jednadžbu ravnine koju smo već izveli (). Pogledajmo ponovno koordinate točke:

M0 (2; −4; 3) .

Među njima x = 2 , z= 3. Zamjenjujemo ih u opću jednadžbu i dobivamo jednadžbu za naš poseban slučaj:

2A + 3C = 0 .

Ostavi 2 A na lijevoj strani jednadžbe, pomaknite 3 C na desnu stranu i dobivamo

A = −1,5C .

Zamjena pronađene vrijednosti A u jednadžbu, dobivamo

ili .

Ovo je jednadžba potrebna u uvjetu primjera.

Riješite sami zadatak jednadžbe ravnine, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4. Definirajte ravninu (ili ravnine, ako ih je više) s obzirom na koordinatne osi ili koordinatne ravnine ako je ravnina(e) dana jednadžbom.

Rješenja tipičnih zadataka koji se javljaju tijekom kolokvija nalaze se u udžbeniku “Zadaci na ravnini: paralelnost, okomitost, presjek triju ravnina u jednoj točki”.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke

Kao što je već rečeno, nužan i dovoljan uvjet za konstrukciju ravnine, osim jedne točke i vektora normale, jesu i tri točke koje ne leže na istom pravcu.

Neka su dane tri različite točke , i , koje ne leže na istoj liniji. Budući da navedene tri točke ne leže na istoj liniji, vektori nisu kolinearni, pa stoga bilo koja točka u ravnini leži u istoj ravnini s točkama, i ako i samo ako su vektori , i komplanaran, tj. tada i samo kada mješoviti proizvod ovih vektora jednaka nuli.

Korištenjem izraza za mješoviti umnožak u koordinatama dobivamo jednadžbu ravnine

(3)

Nakon otkrivanja determinante ova jednadžba postaje jednadžba oblika (2), tj. opća jednadžba ravnine.

Primjer 5. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na istoj pravoj liniji:

i odrediti poseban slučaj opće jednadžbe pravca, ako se pojavi.

Riješenje. Prema formuli (3) imamo:

Jednadžba normalne ravnine. Udaljenost od točke do ravnine

Normalna jednadžba ravnine je njezina jednadžba, zapisana u obliku

Jednadžba ravnine. Kako napisati jednadžbu ravnine?
Međusobni raspored ravnina. Zadaci

Prostorna geometrija nije puno kompliciranija od "ravne" geometrije, a naši letovi u svemiru počinju ovim člankom. Da biste svladali temu, morate dobro razumjeti vektori, osim toga, preporučljivo je upoznati se s geometrijom ravnine - bit će mnogo sličnosti, mnogo analogija, pa će se informacije puno bolje probaviti. U nizu mojih lekcija, 2D svijet otvara članak Jednadžba pravca na ravnini. Ali sada je Batman napustio ekran ravnog TV-a i lansira se s kozmodroma Baikonur.

Počnimo s crtežima i simbolima. Shematski, ravnina se može nacrtati u obliku paralelograma, što stvara dojam prostora:

Zrakoplov je beskonačan, ali mi imamo priliku prikazati samo njegov djelić. U praksi se osim paralelograma crta i oval ili čak oblak. Iz tehničkih razloga, pogodnije mi je prikazati avion upravo na ovaj način iu točno tom položaju. Prave ravnine, koje ćemo razmotriti u praktičnim primjerima, mogu se locirati na bilo koji način - mentalno uzmite crtež u ruke i okrenite ga u prostoru, dajući ravnini bilo koji nagib, bilo koji kut.

Oznake: ravnine se obično označavaju malim grčkim slovima, očito da ih ne bi zamijenili s pravac na ravnini ili sa ravna linija u prostoru. Navikao sam koristiti pismo. Na crtežu je to slovo "sigma", a ne rupa. Iako je rupičasti avion svakako prilično smiješan.

U nekim je slučajevima prikladno koristiti ista grčka slova s ​​nižim indeksima za označavanje ravnina, na primjer, .

Očito je da je ravnina jednoznačno određena s tri različite točke koje ne leže na istom pravcu. Stoga su troslovne oznake ravnina prilično popularne - po točkama koje im pripadaju, na primjer, itd. Često se slova nalaze u zagradama: , kako ne bi pobrkali ravninu s drugom geometrijskom figurom.

Za iskusne čitatelje dat ću meni za brzi pristup:

• Kako napraviti jednadžbu ravnine koristeći točku i dva vektora?
• Kako napraviti jednadžbu ravnine koristeći točku i normalni vektor?

i nećemo čamiti u dugim čekanjima:

Jednadžba opće ravnine

Opća jednadžba ravnine ima oblik , pri čemu koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli.

Brojni teorijski proračuni i praktični problemi vrijede i za uobičajenu ortonormiranu bazu i za afinu bazu prostora (ako je ulje ulje, vratite se na lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora). Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da se svi događaji odvijaju u ortonormiranoj bazi i kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu.

Sada malo vježbajmo svoju prostornu maštu. U redu je ako je vaš loš, sada ćemo ga malo razviti. Čak i igranje na živce zahtijeva trening.

U najopćenitijem slučaju, kada brojevi nisu jednaki nuli, ravnina siječe sve tri koordinatne osi. Na primjer, ovako:

Još jednom ponavljam da se ravnina nastavlja unedogled u svim smjerovima, a mi imamo priliku prikazati samo njen dio.

Razmotrimo najjednostavnije jednadžbe ravnina:

Kako razumjeti ovu jednadžbu? Razmislite o tome: “Z” je UVIJEK jednako nuli, za bilo koju vrijednost “X” i “Y”. Ovo je jednadžba "nativne" koordinatne ravnine. Doista, formalno se jednadžba može prepisati na sljedeći način: , odakle se jasno vidi da nas nije briga koje vrijednosti imaju "x" i "y", važno je da je "z" jednako nuli.

Također:
– jednadžba koordinatne ravnine;
– jednadžba koordinatne ravnine.

Zakomplicirajmo malo problem, razmotrimo ravninu (ovdje i dalje u paragrafu pretpostavljamo da numerički koeficijenti nisu jednaki nuli). Prepišimo jednadžbu u obliku: . Kako to razumjeti? “X” je UVIJEK, za sve vrijednosti “Y” i “Z”, jednak određenom broju. Ta je ravnina paralelna s koordinatnom ravninom. Na primjer, ravnina je paralelna s ravninom i prolazi kroz točku.

Također:
– jednadžba ravnine koja je paralelna s koordinatnom ravninom;
– jednadžba ravnine koja je paralelna s koordinatnom ravninom.

Dodajmo članove: . Jednadžba se može prepisati na sljedeći način: , to jest, "zet" može biti bilo što. Što to znači? “X” i “Y” su povezani relacijom, koja crta određenu ravnu liniju u ravnini (saznat ćete jednadžba pravca u ravnini?). Budući da "z" može biti bilo što, ova ravna linija se "replicira" na bilo kojoj visini. Dakle, jednadžba definira ravninu paralelnu s koordinatnom osi

Također:
– jednadžba ravnine koja je paralelna s koordinatnom osi;
– jednadžba ravnine koja je paralelna s koordinatnom osi.

Ako su slobodni članovi nula, tada će ravnine izravno prolaziti kroz odgovarajuće osi. Na primjer, klasična “izravna proporcionalnost”: . Nacrtajte ravnu liniju u ravnini i mentalno je pomnožite gore-dolje (jer je "Z" bilo koji). Zaključak: ravnina definirana jednadžbom prolazi koordinatnom osi.

Dovršavamo pregled: jednadžba ravnine prolazi kroz ishodište. Pa, ovdje je sasvim očito da točka zadovoljava ovu jednadžbu.

I na kraju, slučaj prikazan na crtežu: – ravnina je prijateljska prema svim koordinatnim osima, dok uvijek “odsijeca” trokut, koji se može nalaziti u bilo kojem od osam oktanata.

Linearne nejednadžbe u prostoru

Da biste razumjeli informacije morate dobro proučiti linearne nejednakosti u ravnini, jer će mnoge stvari biti slične. Paragraf će biti kratkog pregleda s nekoliko primjera, budući da je materijal u praksi dosta rijedak.

Ako jednadžba definira ravninu, onda su nejednadžbe
pitati poluprostori. Ako nejednadžba nije stroga (zadnje dvije u listi), tada rješenje nejednadžbe, osim poluprostora, uključuje i samu ravninu.

Primjer 5

Odredi jedinični vektor normale ravnine .

Riješenje: Jedinični vektor je vektor čija je duljina jednaka jedinici. Označimo ovaj vektor sa . Potpuno je jasno da su vektori kolinearni:

Najprije uklonimo vektor normale iz jednadžbe ravnine: .

Kako pronaći jedinični vektor? Da biste pronašli jedinični vektor, trebate svaki vektorsku koordinatu podijelimo s vektorskom duljinom.

Prepišimo normalni vektor u obliku i pronađimo njegovu duljinu:

Prema gore navedenom:

Odgovor:

Provjera: što je bilo potrebno provjeriti.

Čitatelji koji su pažljivo proučavali posljednji odlomak lekcije vjerojatno su to primijetili koordinate jediničnog vektora su upravo kosinusi smjera vektora:

Napravimo pauzu od trenutnog problema: kada vam je dan proizvoljan vektor različit od nule, a prema uvjetu potrebno je pronaći njegove smjerne kosinuse (vidi zadnje zadatke lekcije Točkasti umnožak vektora), tada zapravo pronalazite jedinični vektor kolinearan ovom. Zapravo dva zadatka u jednoj boci.

Potreba za pronalaženjem jediničnog normalnog vektora javlja se u nekim problemima matematičke analize.

Shvatili smo kako pronaći normalni vektor, a sada odgovorimo na suprotno pitanje:

Kako napraviti jednadžbu ravnine koristeći točku i normalni vektor?

Ova kruta konstrukcija normalnog vektora i točke dobro je poznata pikado ploči. Ispružite ruku naprijed i mentalno odaberite proizvoljnu točku u prostoru, na primjer, malu mačku u kredencu. Očito, kroz ovu točku možete nacrtati jednu ravninu okomitu na vašu ruku.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz točku okomitu na vektor izražava se formulom: