\(\blacktriangleright\) Kako bismo pronašli najveći/ najmanja vrijednost funkcije na segmentu \(\) , potrebno je shematski prikazati graf funkcije na tom segmentu.
U zadacima iz ove podteme to se može učiniti pomoću derivacije: pronaći intervale rastućeg (\(f">0\) ) i opadajućeg (\(f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) Ne zaboravite da funkcija može uzeti najveću/najmanju vrijednost ne samo na unutarnjim točkama segmenta \(\), već i na njegovim krajevima.

\(\blacktriangleright\) Najveća/najmanja vrijednost funkcije je vrijednost koordinate \(y=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Derivacija složene funkcije \(f(t(x))\) nalazi se prema pravilu: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

1. zadatak #2357

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite najmanju vrijednost funkcije \(y = e^(x^2 - 4)\) na segmentu \([-10; -2]\) .

ODZ: \(x\) – proizvoljno.

1) \

\ Prema tome, \(y" = 0\) za \(x = 0\) .

3) Pronađimo intervale konstantnog predznaka \(y"\) na segmentu koji razmatramo \([-10; -2]\) :

4) Skica grafa na segmentu \([-10; -2]\) :

Dakle, funkcija postiže svoju najmanju vrijednost na \([-10; -2]\) na \(x = -2\) .

\ Ukupno: \(1\) – najmanja vrijednost funkcije \(y\) na \([-10; -2]\) .

Odgovor: 1

2. zadatak #2355

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) na segmentu \([-1; 1]\) .

ODZ: \(x\) – proizvoljno.

1) \

Pronađimo kritične točke (tj. unutarnje točke domene definicije funkcije u kojima je njezina derivacija jednaka \(0\) ili ne postoji): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Lijeva desna strelica\qquad x = 0\,.\] Derivacija postoji za bilo koji \(x\) .

2) Nađimo intervale konstantnog predznaka \(y"\) :

3) Pronađimo intervale konstantnog predznaka \(y"\) na segmentu koji razmatramo \([-1; 1]\) :

4) Skica grafa na segmentu \([-1; 1]\) :

Dakle, funkcija postiže svoju najveću vrijednost na \([-1; 1]\) na \(x = -1\) ili na \(x = 1\) . Usporedimo vrijednosti funkcije u ovim točkama.

\ Ukupno: \(2\) – najveća vrijednost funkcije \(y\) na \([-1; 1]\) .

Odgovor: 2

Zadatak 3 #2356

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite najmanju vrijednost funkcije \(y = \cos 2x\) na segmentu \(\) .

ODZ: \(x\) – proizvoljno.

1) \

Pronađimo kritične točke (tj. unutarnje točke domene definicije funkcije u kojima je njezina derivacija jednaka \(0\) ili ne postoji): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\u\mathbb(Z)\,.\] Derivacija postoji za bilo koji \(x\) .

2) Nađimo intervale konstantnog predznaka \(y"\) :

(ovdje postoji beskonačno mnogo intervala u kojima se izmjenjuju predznaci izvodnice).

3) Nađimo intervale konstantnog predznaka \(y"\) na segmentu koji razmatramo \(\):

4) Skica grafa na segmentu \(\) :

Dakle, funkcija postiže svoju najmanju vrijednost na \(\) u \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .

\ Ukupno: \(-1\) – najmanja vrijednost funkcije \(y\) na \(\) .

Odgovor: -1

4. zadatak #915

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite najveću vrijednost funkcije

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Odlučimo se za ODZ:

1) Označimo \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , tada \(y(t)=-\log_(17)t\) .

Pronađimo kritične točke (tj. unutarnje točke domene definicije funkcije u kojima je njezina derivacija jednaka \(0\) ili ne postoji): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Lijeva desna strelica\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– na ODZ, odakle nalazimo korijen \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . Derivacija funkcije \(y\) ne postoji za \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\), ali dana jednadžba negativna diskriminacija, stoga nema rješenja. Da biste pronašli najveću/najmanju vrijednost funkcije, morate razumjeti kako njezin graf shematski izgleda.

2) Nađimo intervale konstantnog predznaka \(y"\) :

3) Skica grafikona:

Dakle, funkcija postiže svoju najveću vrijednost kod \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :

\(y\lijevo(\dfrac(\sqrt(2))(2)\desno) = -\log_(17)1 = 0\),

Ukupno: \(0\) – najveća vrijednost funkcije \(y\) .

Odgovor: 0

Zadatak 5 #2344

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite najmanju vrijednost funkcije

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Odlučimo se za ODZ:

1) Označimo \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , tada \(y(t)=\log_(3)t\) .

Pronađimo kritične točke (tj. unutarnje točke domene definicije funkcije u kojima je njezina derivacija jednaka \(0\) ili ne postoji): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Lijeva desna strelica\qquad 2x+8 = 0\]– na ODZ, odakle nalazimo korijen \(x = -4\) . Derivacija funkcije \(y\) ne postoji kada je \(x^2 + 8x + 19 = 0\), ali ova jednadžba ima negativnu diskriminaciju, dakle, nema rješenja. Da biste pronašli najveću/najmanju vrijednost funkcije, morate razumjeti kako njezin graf shematski izgleda.

2) Nađimo intervale konstantnog predznaka \(y"\) :

3) Skica grafikona:

Dakle, \(x = -4\) je točka minimuma funkcije \(y\) iu njoj se postiže najmanja vrijednost:

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

Ukupno: \(1\) – najmanja vrijednost funkcije \(y\) .

Odgovor: 1

Zadatak 6 #917

Razina zadatka: Teža od Jedinstvenog državnog ispita

Pronađite najveću vrijednost funkcije

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).

S praktičnog gledišta najveći interes predstavlja korištenje derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. s čime je ovo povezano? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim područjima života moramo rješavati probleme optimizacije nekih parametara. A to su zadaci pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže na određenom intervalu X, koji je ili cijela domena funkcije ili dio domene definicije. Sam interval X može biti segment, otvoreni interval , beskonačan interval.

U ovom ćemo članku govoriti o eksplicitnom pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti dana funkcija jedna varijabla y=f(x) .

Navigacija po stranici.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Pogledajmo ukratko glavne definicije.

Najveća vrijednost funkcije to za bilo koga nejednakost je istinita.

Najmanja vrijednost funkcije y=f(x) na intervalu X naziva se takva vrijednost to za bilo koga nejednakost je istinita.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost na intervalu koji se razmatra na apscisi.

Stacionarne točke– to su vrijednosti argumenta pri kojima derivacija funkcije postaje nula.

Zašto su nam potrebne stacionarne točke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatov teorem. Iz ovog teorema slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj točki, tada je ta točka stacionarna. Dakle, funkcija često svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X poprima u jednoj od stacionarnih točaka iz tog intervala.

Također, funkcija često može poprimiti najveću i najmanju vrijednost u točkama u kojima prva derivacija te funkcije ne postoji, a sama je funkcija definirana.

Odmah odgovorimo na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: "Je li uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije"? Ne, ne uvijek. Ponekad se granice intervala X podudaraju s granicama područja definicije funkcije ili je interval X beskonačan. A neke funkcije u beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu poprimiti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U tim se slučajevima ne može ništa reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće, dat ćemo grafički prikaz. Pogledajte slike i mnogo toga će vam biti jasnije.

Na segmentu

Na prvoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama unutar segmenta [-6;6].

Razmotrimo slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenimo segment u . U ovom primjeru najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj točki, a najveća u točki čija apscisa odgovara desnoj granici intervala.

Na slici 3. granične točke segmenta [-3;2] su apscise točaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Na otvorenom intervalu

Na četvrtoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6;6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskraju

U primjeru prikazanom na sedmoj slici funkcija najveću vrijednost (max y) poprima u stacionarnoj točki s apscisom x=1, a najmanju vrijednost (min y) postiže na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3.

Tijekom intervala funkcija ne postiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako se x=2 približava s desne strane, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (prava x=2 je okomita asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3. Grafički prikaz ovog primjera prikazan je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napišimo algoritam koji nam omogućuje pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

1. Pronalazimo domenu definicije funkcije i provjeravamo sadrži li cijeli segment.
2. Pronalazimo sve točke u kojima prva derivacija ne postoji i koje se nalaze u segmentu (obično se takve točke nalaze u funkcijama s argumentom pod znakom modula i u funkcije snage s razlomačko-racionalnim eksponentom). Ako nema takvih točaka, prijeđite na sljedeću točku.
3. Određujemo sve stacionarne točke unutar segmenta. Da bismo to učinili, izjednačimo ga s nulom, riješimo dobivenu jednadžbu i odaberemo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih točaka ili nijedna od njih ne spada u segment, prijeđite na sljedeću točku.
4. Vrijednosti funkcije izračunavamo u odabranim stacionarnim točkama (ako postoje), u točkama u kojima prva derivacija ne postoji (ako postoji), kao i u x=a i x=b.
5. Od dobivenih vrijednosti funkcije odabiremo najveću i najmanju - to će biti tražena najveća, odnosno najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam za rješavanje primjera za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

• na segmentu;
• na segmentu [-4;-1] .

Riješenje.

Područje definiranja funkcije je cijeli skup realnih brojeva, osim nule, tj. Oba segmenta spadaju u domenu definicije.

Pronađite izvod funkcije u odnosu na:

Očito je da derivacija funkcije postoji u svim točkama odsječaka i [-4;-1].

Stacionarne točke određujemo iz jednadžbe. Jedini pravi korijen je x=2 . Ova stacionarna točka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta iu stacionarnoj točki, odnosno za x=1, x=2 i x=4:

Stoga je najveća vrijednost funkcije postiže se pri x=1, a najmanja vrijednost – pri x=2.

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4;-1] (budući da ne sadrži niti jednu stacionarnu točku):

Riješenje.

Počnimo s domenom funkcije. Kvadratni trinom nazivnik razlomka ne smije biti jednak nuli:

Lako je provjeriti da svi intervali iz tvrdnje problema pripadaju domeni definiranja funkcije.

Razlikujmo funkciju:

Očito je da derivacija postoji u cijeloj domeni definiranja funkcije.

Pronađimo stacionarne točke. Derivacija ide na nulu na . Ova stacionarna točka nalazi se unutar intervala (-3;1] i (-3;2).

Sada možete usporediti rezultate dobivene u svakoj točki s grafom funkcije. Plave isprekidane linije označavaju asimptote.

Na ovom mjestu možemo završiti s pronalaženjem najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Algoritmi o kojima se raspravlja u ovom članku omogućuju vam da dobijete rezultate uz minimalne radnje. Međutim, može biti korisno prvo odrediti intervale porasta i pada funkcije i tek nakon toga donijeti zaključke o najvećim i najmanjim vrijednostima funkcije na bilo kojem intervalu. To daje jasniju sliku i rigorozno obrazloženje rezultata.

Opcija 1. na

1. Grafik funkcije y=f(x) prikazano na slici.

Navedite najveću vrijednost za ovu funkciju 1

na segmentu [ a; b]. A 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Funkcije y=f(x) dati na segmentu [ a; b]. na

Na slici je prikazan graf njegove derivacije

y=f ´(x). Istražite ekstreme 1 b

funkcija y=f(x). Molimo da u odgovoru navedete količinu. a 0 1 x

minimum bodova.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Nađi najveću vrijednost funkcije y= -2x2+8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Odredi najmanju vrijednost funkcije na segmentu .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Odredi najmanju vrijednost funkcije y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> ima minimum u točki xo=1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.na

9. Navedite najveću vrijednost funkcije y=f(x) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Odredi najmanju vrijednost funkcije y=2grijeh-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Test 14. Ekstremi. Najveća (najmanja) vrijednost funkcije.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Grafikon funkcije y=f(x) prikazano na slici.

Navedite najmanju vrijednost za ovu funkciju 1

na segmentu [ a; b]. A b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. na Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x).

Koliko maksimalno bodova ima funkcija?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. U kojoj je točki funkcija y=2x2+24x -25 ima najmanju vrijednost?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> na segment [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> ima minimum u točki xo= -2?

; 2) -6;; 4) 6.na

9. Navedite najmanju vrijednost funkcije y=f(x) ,

čiji je graf prikazan na slici. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Pronađite najveću vrijednost funkcije y=log11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Pronađite najveću vrijednost funkcije y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Odgovori :

U ovom ću članku govoriti o algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije, minimalne i maksimalne točke.

Iz teorije će nam sigurno biti od koristi tablica izvedenica I pravila razlikovanja. Sve je na ovoj ploči:

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

Zgodnije mi je objasniti u konkretan primjer. Smatrati:

Primjer: Pronađite najveću vrijednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na segmentu [–4;0].

Korak 1. Uzimamo izvedenicu.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Korak 2. Pronalaženje ekstremnih točaka.

Ekstremna točka nazivamo one točke u kojima funkcija postiže najveću ili najmanju vrijednost.

Da biste pronašli točke ekstrema, trebate izjednačiti derivaciju funkcije s nulom (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sada rješavamo ovu bikvadratnu jednadžbu i pronađeni korijeni su naše točke ekstrema.

Takve jednadžbe rješavam zamjenom t = x^2, zatim 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Smanjimo jednadžbu za 5, dobivamo: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Napravimo obrnutu promjenu x^2 = t:

X_(1 i 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 i 4) = ±sqrt(-13) (isključujemo, ne može biti negativni brojevi, osim ako naravno ne govorimo o kompleksnim brojevima)

Ukupno: x_(1) = 1 i x_(2) = -1 - ovo su naše točke ekstrema.

3. korak Odredi najveću i najmanju vrijednost.

Metoda zamjene.

U uvjetu smo dobili segment [b][–4;0]. Točka x=1 nije uključena u ovaj segment. Stoga to ne razmatramo. Ali osim točke x=-1, također trebamo razmotriti lijevu i desnu granicu našeg segmenta, to jest točke -4 i 0. Da bismo to učinili, zamijenimo sve te tri točke u izvornu funkciju. Imajte na umu da je izvorni onaj koji je dan u uvjetu (y=x^5+20x^3–65x), neki ljudi ga počinju zamjenjivati ​​u izvedenicu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

To znači da je najveća vrijednost funkcije [b]44 i postiže se u točki [b]-1, koja se naziva točka maksimuma funkcije na segmentu [-4; 0].

Odlučili smo i dobili odgovor, super smo, možete se opustiti. Ali stani! Ne misliš li da je izračunavanje y(-4) nekako preteško? U uvjetima ograničenog vremena, bolje je koristiti drugu metodu, ja je zovem ovako:

Kroz intervale predznaka.

Ti se intervali nalaze za derivaciju funkcije, odnosno za našu bikvadratnu jednadžbu.

Ja to radim ovako. Crtam usmjereni segment. Stavljam bodove: -4, -1, 0, 1. Unatoč činjenici da 1 nije uključen u navedeni segment, ipak ga treba zabilježiti kako bi se ispravno odredili intervali konstantnosti predznaka. Uzmimo neki broj mnogo puta veći od 1, recimo 100, i mentalno ga zamijenimo u našu bikvadratnu jednadžbu 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Čak i bez računanja, postaje očito da u točki 100 funkcija ima znak plus. To znači da za intervale od 1 do 100 ima predznak plus. Prolaskom kroz 1 (idemo s desna na lijevo) funkcija će promijeniti predznak u minus. Kada prolazi kroz točku 0, funkcija će zadržati svoj predznak, jer je to samo granica segmenta, a ne korijen jednadžbe. Kada prođe kroz -1, funkcija će ponovno promijeniti predznak u plus.

Iz teorije znamo gdje je derivacija funkcije (i to smo nacrtali upravo za nju) mijenja predznak s plusa na minus (točka -1 u našem slučaju) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44, kako je ranije izračunato) na ovaj segment(ovo je logično vrlo razumljivo, funkcija je prestala rasti jer je dosegla svoj maksimum i počela se smanjivati).

Prema tome, gdje je izvod funkcije mijenja predznak iz minusa u plus, postignuto je lokalni minimum funkcije. Da, da, također smo pronašli da je lokalna minimalna točka 1, a y(1) je minimalna vrijednost funkcije na segmentu, recimo od -1 do +∞. Napominjemo da je ovo samo LOKALNI MINIMUM, odnosno minimum na određenom segmentu. Budući da će pravi (globalni) minimum funkcije doseći negdje tamo, na -∞.

Po mom mišljenju, prva metoda je jednostavnija teoretski, a druga je jednostavnija sa stajališta aritmetičkih operacija, ali puno složenija sa stajališta teorije. Uostalom, ponekad ima slučajeva da funkcija ne promijeni predznak pri prolasku kroz korijen jednadžbe, i općenito se možete zbuniti s tim lokalnim, globalnim maksimumima i minimumima, iako ćete to ionako morati dobro savladati ako planiram se upisati tehničko sveučilište(Zašto biste inače polagali jedinstveni državni ispit za profil i riješili ovaj zadatak). Ali praksa i samo praksa će vas naučiti da riješite takve probleme jednom zauvijek. I možete trenirati na našoj web stranici. ovdje .

Ako imate pitanja ili vam nešto nije jasno, slobodno pitajte. Rado ću Vam odgovoriti i unijeti izmjene i dopune u članak. Ne zaboravite da ovu stranicu radimo zajedno!

Pogledajmo kako ispitati funkciju pomoću grafa. Ispostavilo se da gledajući grafikon možemo saznati sve što nas zanima, a to su:

• domena funkcije
• raspon funkcija
• funkcijske nule
• intervalima povećanja i opadanja
• maksimalne i minimalne bodove
• najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu.

Razjasnimo terminologiju:

Apscisa je horizontalna koordinata točke.
Ordinata- vertikalna koordinata.
Apscisna os- horizontalna os, najčešće se naziva os.
Y os- okomita os, ili os.

Argument- nezavisna varijabla o kojoj ovise vrijednosti funkcije. Najčešće naznačeno.
Drugim riječima, izaberemo , zamijenimo funkcije u formulu i dobijemo .

Domena funkcije - skup onih (i samo onih) vrijednosti argumenata za koje funkcija postoji.
Označeno sa: ili .

Na našoj slici domena definiranja funkcije je segment. Na tom segmentu je nacrtan graf funkcije. Ovo je jedino mjesto gdje ova funkcija postoji.

Raspon funkcija je skup vrijednosti koje varijabla uzima. Na našoj slici to je segment - od najniže do najviše vrijednosti.

Funkcijske nule- točke u kojima je vrijednost funkcije nula, tj. Na našoj slici to su točke i .

Vrijednosti funkcije su pozitivne gdje . Na našoj slici to su intervali i .
Vrijednosti funkcije su negativne gdje . Za nas je to interval (ili interval) od do .

Najvažniji pojmovi - rastuća i opadajuća funkcija na nekom setu. Kao skup možete uzeti segment, interval, uniju intervala ili cijeli brojevni pravac.

Funkcija povećava se

Drugim riječima, što je više , to je više, odnosno graf ide udesno i gore.

Funkcija smanjuje se na skupu ako za bilo koji i koji pripada skupu, nejednakost implicira nejednakost .

Za opadajuću funkciju, veća vrijednost odgovara manjoj vrijednosti. Graf ide udesno i dolje.

Na našoj slici funkcija raste na intervalu, a pada na intervalima i .

Definirajmo što je to maksimalne i minimalne točke funkcije.

Maksimalna točka- ovo je unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj veća nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
Drugim riječima, maksimalna točka je točka u kojoj je vrijednost funkcije više nego u susjednim. Ovo je lokalno "brdo" na karti.

Na našoj slici postoji maksimalna točka.

Minimalna točka- unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
To jest, minimalna točka je takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u njezinim susjedima. Ovo je lokalna "rupa" na grafikonu.

Na našoj slici postoji minimalna točka.

Točka je granica. To nije unutarnja točka domene definicije i stoga ne odgovara definiciji maksimalne točke. Uostalom, ona nema susjeda s lijeve strane. Na isti način, na našem grafikonu ne može postojati minimalna točka.

Maksimalne i minimalne točke zajedno se nazivaju ekstremne točke funkcije. U našem slučaju to je i .

Što učiniti ako trebate pronaći npr. minimalna funkcija na segmentu? U ovom slučaju odgovor je: . Jer minimalna funkcija je njegova vrijednost u minimalnoj točki.

Slično, maksimum naše funkcije je . Dostiže se u točki .

Možemo reći da su ekstremumi funkcije jednaki i .

Ponekad problemi zahtijevaju pronalaženje najveća i najmanja vrijednost funkcije na datom segmentu. Ne moraju se nužno poklapati s krajnostima.

U našem slučaju najmanja vrijednost funkcije na segmentu jednaka je i podudara se s minimumom funkcije. Ali njegova najveća vrijednost na ovom segmentu jednaka je . Do njega se dolazi na lijevom kraju segmenta.

U svakom slučaju, najveća i najmanja vrijednost kontinuirane funkcije na segmentu postižu se ili u točkama ekstrema ili na krajevima segmenta.