U kolegiju algebre u 7. razredu bavili smo se transformacijama cjelobrojnih izraza, odnosno izraza sastavljenih od brojeva i varijabli pomoću operacija zbrajanja, oduzimanja i množenja te dijeljenja brojem različitim od nule. Dakle, izrazi su cijeli brojevi

Nasuprot tome, izrazi

osim radnji zbrajanja, oduzimanja i množenja sadrže dijeljenje na izraze s varijablama. Takvi izrazi nazivaju se frakcijski izrazi.

Cjelobrojni i razlomački izrazi nazivaju se racionalnim izrazima.

Cijeli izraz ima smisla za sve vrijednosti varijabli koje su u njemu uključene, jer da biste pronašli vrijednost cijelog izraza morate izvršiti radnje koje su uvijek moguće.

Frakcijski izraz možda neće imati smisla za neke vrijednosti varijable. Na primjer, izraz - nema smisla kada je a = 0. Za sve ostale vrijednosti a ovaj izraz ima smisla. Izraz ima smisla za one vrijednosti x i y kada je x ≠ y.

Vrijednosti varijabli za koje izraz ima smisla nazivaju se važećim vrijednostima varijabli.

Izraz oblika poznat je kao razlomak.

Razlomak čiji su brojnik i nazivnik polinomi naziva se racionalni razlomak.

Primjeri racionalnih razlomaka su razlomci

U racionalni razlomak dopuštene su one vrijednosti varijabli kod kojih nazivnik razlomka ne nestaje.

Primjer 1. Pronađimo prihvatljive vrijednosti varijable u razlomku

Riješenje Da biste saznali pri kojim vrijednostima a nazivnik razlomka postaje nula, trebate riješiti jednadžbu a(a - 9) = 0. Ova jednadžba ima dva korijena: 0 i 9. Dakle, svi brojevi osim 0 i 9 su važeće vrijednosti za varijablu a.

Primjer 2. Pri kojoj je vrijednosti x vrijednost razlomka jednaka nuli?

Riješenje Razlomak je nula ako i samo ako je a - 0 i b ≠ 0.

Ovaj članak govori o tome kako pronaći vrijednosti matematičkih izraza. Počnimo s jednostavnim numeričkim izrazima, a zatim razmotrimo slučajeve kako njihova složenost raste. Na kraju dajemo izraz koji sadrži slovne oznake, zagrade, korijene, posebne matematički znakovi, stupnjevi, funkcije itd. Prema tradiciji, cjelokupnu teoriju opskrbit ćemo obilnim i detaljnim primjerima.

Kako pronaći vrijednost numeričkog izraza?

Numerički izrazi, između ostalog, pomažu opisati stanje problema matematički jezik. Općenito, matematički izrazi mogu biti vrlo jednostavni, sastoje se od para brojeva i aritmetičkih simbola, ili vrlo složeni, sadržavati funkcije, potencije, korijene, zagrade itd. Kao dio zadatka često je potrebno pronaći značenje određenog izraza. Kako to učiniti, raspravljat ćemo u nastavku.

Najjednostavniji slučajevi

To su slučajevi u kojima izraz ne sadrži ništa osim brojeva i aritmetičkih operacija. Da biste uspješno pronašli vrijednosti takvih izraza, trebat će vam znanje o redoslijedu izvođenja aritmetičkih operacija bez zagrada, kao i sposobnost izvođenja operacija s različitim brojevima.

Ako izraz sadrži samo brojeve i aritmetičke znakove " + " , " · " , " - " , " ÷ " , tada se radnje izvode slijeva na desno sljedećim redom: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. Navedimo primjere.

Primjer 1. Značenje brojčani izraz

Neka trebate pronaći vrijednosti izraza 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Prvo napravimo množenje i dijeljenje. Dobivamo:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Sada provodimo oduzimanje i dobivamo konačni rezultat:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Primjer 2: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Prvo izvodimo pretvorbu razlomaka, dijeljenje i množenje:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Sada napravimo malo zbrajanja i oduzimanja. Grupirajmo razlomke i dovedimo ih na zajednički nazivnik:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Tražena vrijednost je pronađena.

Izrazi sa zagradama

Ako izraz sadrži zagrade, one definiraju redoslijed operacija u tom izrazu. Prvo se izvode radnje u zagradama, a zatim sve ostale. Pokažimo to primjerom.

Primjer 3: Vrijednost numeričkog izraza

Nađimo vrijednost izraza 0,5 · (0,76 - 0,06).

Izraz sadrži zagrade, pa prvo izvodimo operaciju oduzimanja u zagradama, a tek onda množenje.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Značenje izraza koji sadrže zagrade unutar zagrada nalazi se prema istom principu.

Primjer 4: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Izvodit ćemo radnje počevši od najnutarnjih zagrada, prelazeći na one vanjske.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Prilikom pronalaženja značenja izraza sa zagradama, glavna stvar je slijediti slijed radnji.

Izrazi s korijenima

Matematički izrazi čije vrijednosti trebamo pronaći mogu sadržavati predznake korijena. Štoviše, sam izraz može biti pod znakom korijena. Što učiniti u ovom slučaju? Prvo morate pronaći vrijednost izraza ispod korijena, a zatim izvući korijen iz broja dobivenog kao rezultat. Ako je moguće, bolje je riješiti se korijena u numeričkim izrazima, zamjenjujući iz s numeričke vrijednosti.

Primjer 5: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost izraza s korijenima - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Prvo izračunavamo radikalne izraze.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Sada možete izračunati vrijednost cijelog izraza.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Često pronalaženje značenja izraza s korijenima često zahtijeva prvo transformiranje izvornog izraza. Objasnimo to još jednim primjerom.

Primjer 6: Vrijednost numeričkog izraza

Koliko je 3 + 1 3 - 1 - 1

Kao što vidite, nemamo priliku zamijeniti korijen točnom vrijednošću, što komplicira proces brojanja. Međutim, u ovom slučaju možete primijeniti formulu skraćenog množenja.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Tako:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Izrazi s potencijama

Ako izraz sadrži ovlasti, njihove vrijednosti moraju se izračunati prije nastavka sa svim ostalim radnjama. Događa se da su eksponent ili baza samog stupnja izrazi. U ovom slučaju prvo se izračuna vrijednost ovih izraza, a zatim vrijednost stupnja.

Primjer 7: Vrijednost numeričkog izraza

Odredimo vrijednost izraza 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Krenimo redom računati.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Ostaje samo izvršiti operaciju zbrajanja i saznati značenje izraza:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Također je često preporučljivo pojednostaviti izraz koristeći svojstva stupnja.

Primjer 8: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost sljedećeg izraza: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponenti su opet takvi da se njihove točne numeričke vrijednosti ne mogu dobiti. Pojednostavimo izvorni izraz kako bismo pronašli njegovu vrijednost.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Izrazi s razlomcima

Ako izraz sadrži razlomke, tada se prilikom izračunavanja takvog izraza svi razlomci u njemu moraju predstaviti kao obični razlomci i izračunati njihove vrijednosti.

Ako brojnik i nazivnik razlomka sadrže izraze, tada se prvo izračunaju vrijednosti tih izraza, a konačna vrijednost samog razlomka se zapiše. Aritmetičke operacije izvode se standardnim redoslijedom. Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer 9: Vrijednost numeričkog izraza

Odredimo vrijednost izraza koji sadrži razlomke: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Kao što vidite, postoje tri razlomka u originalnom izrazu. Prvo izračunajmo njihove vrijednosti.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Prepišimo naš izraz i izračunajmo njegovu vrijednost:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Često je prilikom pronalaženja značenja izraza zgodno smanjiti razlomke. Postoji neizgovoreno pravilo: prije pronalaženja njegove vrijednosti, najbolje je pojednostaviti bilo koji izraz do maksimuma, smanjujući sve izračune na najjednostavnije slučajeve.

Primjer 10: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo izraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Ne možemo potpuno izdvojiti korijen od pet, ali možemo pojednostaviti izvorni izraz transformacijama.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Izvorni izraz ima oblik:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Izračunajmo vrijednost ovog izraza:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Izrazi s logaritmima

Kada su logaritmi prisutni u izrazu, njihova vrijednost se računa od početka, ako je moguće. Na primjer, u izrazu log 2 4 + 2 · 4 možete odmah zapisati vrijednost ovog logaritma umjesto log 2 4, a zatim izvršiti sve radnje. Dobivamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Brojčani izrazi se također mogu naći ispod samog znaka logaritma i u njegovoj osnovi. U ovom slučaju, prvo što treba učiniti je pronaći njihova značenja. Uzmimo izraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Imamo:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Ako je nemoguće izračunati točnu vrijednost logaritma, pojednostavljenje izraza pomaže pronaći njegovu vrijednost.

Primjer 11: Vrijednost numeričkog izraza

Nađimo vrijednost izraza log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Po svojstvu logaritama:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Ponovno koristeći svojstva logaritama, za posljednji razlomak u izrazu dobivamo:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Sada možete nastaviti s izračunavanjem vrijednosti izvornog izraza.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Izrazi s trigonometrijskim funkcijama

Događa se da izraz sadrži trigonometrijske funkcije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i njihove inverzne funkcije. Vrijednost se izračunava prije izvođenja svih drugih aritmetičkih operacija. U suprotnom, izraz je pojednostavljen.

Primjer 12: Vrijednost numeričkog izraza

Odredite vrijednost izraza: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Prvo izračunavamo vrijednosti trigonometrijske funkcije uključeni u izraz.

grijeh - 5 π 2 = - 1

Zamjenjujemo vrijednosti u izraz i izračunavamo njegovu vrijednost:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Vrijednost izraza je pronađena.

Često, da bi se našla vrijednost izraza s trigonometrijskim funkcijama, mora se prvo pretvoriti. Objasnimo na primjeru.

Primjer 13: Vrijednost numeričkog izraza

Trebamo pronaći vrijednost izraza cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Za pretvorbu ćemo koristiti trigonometrijske formule kosinus dvostruki kut a kosinus zbroja.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Opći slučaj numeričkog izraza

Općenito, trigonometrijski izraz može sadržavati sve gore opisane elemente: zagrade, potencije, korijene, logaritme, funkcije. Idemo formulirati opće pravilo pronalaženje značenja takvih izraza.

Kako pronaći vrijednost izraza

1. Korijeni, potencije, logaritmi itd. zamjenjuju njihove vrijednosti.
2. Radnje u zagradama se izvode.
3. Preostale radnje izvode se redom s lijeva na desno. Prvo - množenje i dijeljenje, zatim - zbrajanje i oduzimanje.

Pogledajmo primjer.

Primjer 14: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost izraza - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Izraz je prilično složen i glomazan. Nismo slučajno odabrali upravo takav primjer, pokušavši u njega uklopiti sve gore opisane slučajeve. Kako pronaći značenje takvog izraza?

Poznato je da pri izračunavanju vrijednosti kompleksa razlomački oblik, prvo se odvojeno nalaze vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka. Sekvencijalno ćemo transformirati i pojednostaviti ovaj izraz.

Najprije izračunajmo vrijednost radikalnog izraza 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Da biste to učinili, morate pronaći vrijednost sinusa i izraz koji je argument trigonometrijske funkcije.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Sada možete saznati vrijednost sinusa:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Izračunavamo vrijednost radikalnog izraza:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

S nazivnikom razlomka sve je jednostavnije:

Sada možemo napisati vrijednost cijelog razlomka:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Uzimajući ovo u obzir, pišemo cijeli izraz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Konačni rezultat:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

U ovom smo slučaju mogli izračunati točne vrijednosti korijena, logaritama, sinusa itd. Ako to nije moguće, možete ih se pokušati riješiti matematičkim transformacijama.

Izračunavanje vrijednosti izraza pomoću racionalnih metoda

Numeričke vrijednosti moraju se izračunati dosljedno i točno. Taj se proces može racionalizirati i ubrzati korištenjem različitih svojstava operacija s brojevima. Na primjer, poznato je da je umnožak jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Uzimajući u obzir ovo svojstvo, odmah možemo reći da je izraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 jednak nuli. Istodobno, uopće nije potrebno izvršiti radnje redoslijedom opisanim u gornjem članku.

Također je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva. Bez izvođenja bilo kakvih radnji, možete narediti da vrijednost izraza 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 također bude nula.

Druga tehnika za ubrzavanje procesa je korištenje transformacija identiteta kao što je grupiranje pojmova i faktora i stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada. Racionalan pristup izračunavanju izraza s razlomcima je svođenje istih izraza u brojnik i nazivnik.

Na primjer, uzmite izraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Bez izvođenja operacija u zagradama, već smanjenjem razlomka, možemo reći da je vrijednost izraza 1 3 .

Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama

Značenje doslovnog izraza i izraza s varijablama nalazi se za specifične postavljene vrijednosti slova i varijable.

Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama

Da biste pronašli vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama, trebate zamijeniti zadane vrijednosti slova i varijabli u izvorni izraz, a zatim izračunati vrijednost dobivenog numeričkog izraza.

Primjer 15: Vrijednost izraza s varijablama

Izračunajte vrijednost izraza 0, 5 x - y za x = 2, 4 i y = 5.

Zamjenjujemo vrijednosti varijabli u izraz i izračunavamo:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Ponekad možete transformirati izraz tako da dobijete njegovu vrijednost bez obzira na vrijednosti slova i varijabli uključenih u njega. Da biste to učinili, morate se riješiti slova i varijabli u izrazu, ako je moguće, koristeći transformacije identiteta, svojstva aritmetičkih operacija i sve moguće druge metode.

Na primjer, izraz x + 3 - x očito ima vrijednost 3, a za izračunavanje te vrijednosti nije potrebno znati vrijednost varijable x. Značenje dati izraz jednak tri za sve vrijednosti varijable x iz svoje regije prihvatljive vrijednosti.

Još jedan primjer. Vrijednost izraza x x jednaka je jedan za sve pozitivne x-ove.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Dakle, ako je numerički izraz sastavljen od brojeva i znakova +, −, · i:, tada redom s lijeva na desno prvo morate izvesti množenje i dijeljenje, a zatim zbrajanje i oduzimanje, što će vam omogućiti da pronađete željenu vrijednost izraza.

Navedimo nekoliko primjera radi pojašnjenja.

Primjer.

Izračunaj vrijednost izraza 14−2·15:6−3.

Riješenje.

Da biste pronašli vrijednost izraza, morate izvršiti sve radnje navedene u njemu u skladu s prihvaćenim redoslijedom izvođenja tih radnji. Prvo, redom s lijeva na desno, izvodimo množenje i dijeljenje, dobivamo 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sada izvodimo i preostale radnje redom s lijeva na desno: 14−5−3=9−3=6. Ovako smo pronašli vrijednost originalnog izraza, ona je jednaka 6.

Odgovor:

14−2·15:6−3=6.

Primjer.

Pronađite značenje izraza.

Riješenje.

U ovom primjeru prvo trebamo napraviti množenje 2·(−7) i dijeljenje s množenjem u izrazu . Sjetimo se kako , nalazimo 2·(−7)=−14. I prvo izvršiti radnje u izrazu , onda , i izvršiti: .

Dobivene vrijednosti zamjenjujemo u izvorni izraz: .

Ali što ako se ispod znaka korijena nalazi brojčani izraz? Da biste dobili vrijednost takvog korijena, prvo morate pronaći vrijednost radikalnog izraza, pridržavajući se prihvaćenog redoslijeda izvođenja radnji. Na primjer, .

U numeričkim izrazima, korijene treba percipirati kao neke brojeve, a preporučljivo je odmah zamijeniti korijene njihovim vrijednostima, a zatim pronaći vrijednost rezultirajućeg izraza bez korijena, izvodeći radnje u prihvaćenom nizu.

Primjer.

Pronađite značenje izraza s korijenima.

Riješenje.

Najprije pronađimo vrijednost korijena . Da bismo to učinili, prvo izračunavamo vrijednost radikalnog izraza koji imamo −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. I drugo, nalazimo vrijednost korijena.

Sada izračunajmo vrijednost drugog korijena iz izvornog izraza: .

Konačno, možemo pronaći značenje izvornog izraza zamjenom korijena njihovim vrijednostima: .

Odgovor:

Vrlo često, da bi se pronašlo značenje izraza s korijenima, prvo ga je potrebno transformirati. Pokažimo rješenje primjera.

Primjer.

Koje je značenje izraza .

Riješenje.

Nismo u mogućnosti zamijeniti korijen od tri njegovom točnom vrijednošću, što nam ne dopušta izračunavanje vrijednosti ovog izraza na gore opisani način. Međutim, možemo izračunati vrijednost ovog izraza izvođenjem jednostavnih transformacija. Primjenjivo formula kvadratne razlike: . Uzimajući u obzir, dobivamo . Dakle, vrijednost izvornog izraza je 1.

Odgovor:

.

Sa diplomama

Ako su baza i eksponent brojevi, tada se njihova vrijednost izračunava određivanjem stupnja, na primjer, 3 2 =3·3=9 ili 8 −1 =1/8. Postoje i unosi u kojima su baza i/ili eksponent neki izrazi. U tim slučajevima trebate pronaći vrijednost izraza u bazi, vrijednost izraza u eksponentu, a zatim izračunati vrijednost samog stupnja.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza s potencijama oblika 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Riješenje.

U izvornom izrazu postoje dvije potencije 2 3·4−10 i (1−1/2) 3,5−2·1/4. Njihove vrijednosti moraju se izračunati prije izvođenja drugih radnji.

Počnimo s potencijom 2 3·4−10. Njegov indikator sadrži numerički izraz, izračunajmo njegovu vrijednost: 3·4−10=12−10=2. Sada možete pronaći vrijednost samog stupnja: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Baza i eksponent (1−1/2) 3,5−2 1/4 sadrže izraze, izračunavamo njihove vrijednosti kako bismo zatim pronašli vrijednost eksponenta. Imamo (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Sada se vraćamo na izvorni izraz, mijenjamo stupnjeve u njemu njihovim vrijednostima i pronalazimo vrijednost izraza koji nam je potreban: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Odgovor:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Vrijedno je napomenuti da postoje češći slučajevi kada je preporučljivo provesti preliminar pojednostavljenje izraza s moćima na bazi.

Primjer.

Pronađite značenje izraza .

Riješenje.

Sudeći po eksponentima u ovom izrazu, neće biti moguće dobiti točne vrijednosti eksponenata. Pokušajmo pojednostaviti izvorni izraz, možda će to pomoći pronaći njegovo značenje. Imamo

Odgovor:

.

Potencijali u izrazima često idu ruku pod ruku s logaritmima, ali mi ćemo govoriti o pronalaženju značenja izraza s logaritmima u jednom od njih.

Pronalaženje vrijednosti izraza s razlomcima

Numerički izrazi u svom unosu mogu sadržavati razlomci. Kada trebate pronaći značenje ovakvog izraza, razlomke koji nisu razlomci treba zamijeniti njihovim vrijednostima prije nastavka s ostalim koracima.

Brojnik i nazivnik razlomaka (koji se razlikuju od običnih razlomaka) mogu sadržavati i neke brojeve i izraze. Da biste izračunali vrijednost takvog razlomka, potrebno je izračunati vrijednost izraza u brojniku, izračunati vrijednost izraza u nazivniku, a zatim izračunati vrijednost samog razlomka. Ovaj poredak se objašnjava činjenicom da razlomak a/b, gdje su a i b neki izrazi, u biti predstavlja kvocijent oblika (a):(b), budući da .

Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite značenje izraza s razlomcima .

Riješenje.

U izvornom numeričkom izrazu postoje tri razlomka i . Da bismo pronašli vrijednost izvornog izraza, prvo moramo zamijeniti ove razlomke njihovim vrijednostima. Učinimo to.

Brojnik i nazivnik razlomka sadrže brojeve. Da biste pronašli vrijednost takvog razlomka, zamijenite traku razlomka znakom dijeljenja i izvršite ovu radnju: .

U brojniku razlomka nalazi se izraz 7−2·3, njegovu vrijednost je lako pronaći: 7−2·3=7−6=1. Tako, . Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti trećeg razlomka.

Treći razlomak u brojniku i nazivniku sadrži numeričke izraze, stoga prvo morate izračunati njihove vrijednosti, a to će vam omogućiti da pronađete vrijednost samog razlomka. Imamo .

Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti u izvorni izraz i izvršiti preostale radnje: .

Odgovor:

.

Često, kada pronalazite vrijednosti izraza s razlomcima, morate izvršiti pojednostavljivanje frakcijskih izraza, koji se temelji na izvođenju operacija s razlomcima i smanjivanju razlomaka.

Primjer.

Pronađite značenje izraza .

Riješenje.

Korijen od pet ne može se potpuno izdvojiti, pa da bismo pronašli vrijednost izvornog izraza, najprije ga pojednostavimo. Za ovo riješimo se iracionalnosti u nazivniku prvi razlomak: . Nakon toga će izvorni izraz poprimiti oblik . Nakon oduzimanja razlomaka, korijeni će nestati, što će nam omogućiti da pronađemo vrijednost prvobitno zadanog izraza: .

Odgovor:

.

S logaritmima

Ako numerički izraz sadrži , i ako ih je moguće riješiti, tada se to radi prije izvođenja drugih radnji. Na primjer, pri pronalaženju vrijednosti izraza log 2 4+2·3, logaritam log 2 4 zamjenjuje se njegovom vrijednošću 2, nakon čega se preostale radnje izvode uobičajenim redoslijedom, tj. log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Kada se pod predznakom logaritma i/ili u njegovoj osnovi nalaze brojčani izrazi, prvo se pronađu njihove vrijednosti, nakon čega se izračunava vrijednost logaritma. Na primjer, razmotrite izraz s logaritmom oblika . U osnovi logaritma i ispod njegovog znaka nalaze se brojčani izrazi čije vrijednosti nalazimo: . Sada nalazimo logaritam, nakon čega dovršavamo izračune: .

Ako logaritmi nisu točno izračunati, potrebno ih je prethodno pojednostaviti pomoću . U ovom slučaju morate dobro vladati materijalom članka pretvaranje logaritamskih izraza.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza s logaritmima .

Riješenje.

Počnimo s izračunavanjem log 2 (log 2 256) . Kako je 256=2 8, tada je log 2 256=8, dakle, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmi log 6 2 i log 6 3 mogu se grupirati. Zbroj logaritama log 6 2+log 6 3 jednak je logaritmu umnoška log 6 (2 3), dakle, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Sada pogledajmo razlomak. Za početak, prepisujemo bazu logaritma u nazivnik u obliku obični razlomak kao 1/5, nakon čega ćemo koristiti svojstva logaritama, koja će nam omogućiti da dobijemo vrijednost razlomka:
.

Sve što preostaje je zamijeniti dobivene rezultate u izvorni izraz i završiti pronalaženje njegove vrijednosti:

Odgovor:

Kako pronaći vrijednost trigonometrijskog izraza?

Kada numerički izraz sadrži ili, itd., njihove se vrijednosti izračunavaju prije izvođenja drugih radnji. Ako postoje numerički izrazi pod znakom trigonometrijskih funkcija, tada se prvo izračunaju njihove vrijednosti, nakon čega se pronađu vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Primjer.

Pronađite značenje izraza .

Riješenje.

Okrećući se članku, dobivamo i cosπ=−1 . Zamjenjujemo ove vrijednosti u izvorni izraz, on poprima oblik . Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate izvesti stepenovanje, a zatim završiti izračune: .

Odgovor:

.

Vrijedno je napomenuti da izračunavanje vrijednosti izraza sa sinusima, kosinusima itd. često zahtijeva prethodnu transformacija trigonometrijski izraz .

Primjer.

Kolika je vrijednost trigonometrijskog izraza .

Riješenje.

Transformirajmo izvorni izraz pomoću , u ovom slučaju trebat će nam formula kosinusa dvostrukog kuta i formula kosinusa zbroja:

Transformacije koje smo napravili pomogle su nam da pronađemo značenje izraza.

Odgovor:

.

Opći slučaj

Općenito, numerički izraz može sadržavati korijene, potencije, razlomke, neke funkcije i zagrade. Pronalaženje vrijednosti takvih izraza sastoji se od izvođenja sljedećih radnji:

• prvi korijeni, potencije, razlomci itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima,
• daljnje radnje u zagradama,
• a redom s lijeva na desno izvode se preostale operacije - množenje i dijeljenje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.

Navedene radnje izvode se do postizanja konačnog rezultata.

Primjer.

Pronađite značenje izraza .

Riješenje.

Oblik ovog izraza je prilično složen. U ovom izrazu vidimo razlomke, korijene, potencije, sinuse i logaritme. Kako pronaći njegovu vrijednost?

Krećući se kroz zapis s lijeva na desno nailazimo na djelić forme . Znamo da kada radimo s razlomcima složeni tip, moramo posebno izračunati vrijednost brojnika, posebno nazivnika i na kraju pronaći vrijednost razlomka.

U brojniku imamo korijen oblika . Da biste odredili njegovu vrijednost, prvo morate izračunati vrijednost radikalnog izraza . Ovdje postoji sinus. Njegovu vrijednost možemo pronaći tek nakon izračuna vrijednosti izraza . Ovo možemo učiniti: . Onda odakle i odakle .

Nazivnik je jednostavan: .

Tako, .

Nakon zamjene ovog rezultata u izvorni izraz, on će poprimiti oblik . Rezultirajući izraz sadrži stupanj . Da bismo pronašli njegovu vrijednost, prvo moramo pronaći vrijednost indikatora koju imamo .

Dakle, .

Odgovor:

.

Ako nije moguće izračunati točne vrijednosti korijena, potencije itd., tada ih se možete pokušati riješiti pomoću nekih transformacija, a zatim se vratiti na izračun vrijednosti prema navedenoj shemi.

Racionalni načini izračunavanja vrijednosti izraza

Izračunavanje vrijednosti numeričkih izraza zahtijeva dosljednost i točnost. Da, potrebno je pridržavati se slijeda radnji zabilježenih u prethodnim paragrafima, ali nema potrebe da to radite slijepo i mehanički. Pod ovim mislimo da je često moguće racionalizirati proces pronalaženja značenja izraza. Na primjer, određena svojstva operacija s brojevima mogu znatno ubrzati i pojednostaviti pronalaženje vrijednosti izraza.

Na primjer, znamo ovo svojstvo množenja: ako je jedan od faktora u umnošku jednak nuli, tada je i vrijednost umnoška jednaka nuli. Koristeći ovo svojstvo, možemo odmah reći da je vrijednost izraza 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) jednaka je nuli. Kad bismo slijedili standardni redoslijed operacija, prvo bismo morali izračunati vrijednosti glomaznih izraza u zagradama, što bi oduzelo puno vremena, a rezultat bi i dalje bio nula.

Također je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva: ako od broja oduzmete jednak broj, rezultat je nula. Ovo se svojstvo može promatrati šire: razlika između dva identična brojčana izraza je nula. Na primjer, bez izračunavanja vrijednosti izraza u zagradama, možete pronaći vrijednost izraza (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), jednak je nuli, budući da je izvorni izraz razlika identičnih izraza.

Racionalno izračunavanje vrijednosti izraza može se olakšati transformacije identiteta. Na primjer, može biti korisno grupiranje pojmova i faktora, ne manje često korišten izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada. Tako je vrijednost izraza 53·5+53·7−53·11+5 vrlo lako pronaći nakon što se faktor 53 izvadi iz zagrada: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Izravni izračun trajao bi mnogo duže.

Da zaključimo ovu točku, obratimo pozornost na racionalan pristup izračunavanju vrijednosti izraza s razlomcima - identični faktori u brojniku i nazivniku razlomka se poništavaju. Na primjer, smanjenje istih izraza u brojniku i nazivniku razlomka omogućuje vam da odmah pronađete njegovu vrijednost, koja je jednaka 1/2.

Pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza i izraza s varijablama

Značenje doslovnih i promjenjivih izraza nalazi se za specifične zadane vrijednosti slova i varijabli. To je, govorimo o o pronalaženju vrijednosti doslovnog izraza za zadane vrijednosti slova ili o pronalaženju vrijednosti izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijable.

Pravilo pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza ili izraza s varijablama za zadane vrijednosti slova ili odabrane vrijednosti varijabli je kako slijedi: potrebno je zamijeniti zadane vrijednosti slova ili varijabli u izvorni izraz, i izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza; to je željena vrijednost.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza 0,5·x−y pri x=2,4 i y=5.

Riješenje.

Da biste pronašli traženu vrijednost izraza, prvo trebate zamijeniti zadane vrijednosti varijabli u originalni izraz, a zatim izvršiti sljedeće korake: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Odgovor:

−3,8 .

Kao posljednja napomena, ponekad će izvođenje pretvorbi literalnih i varijabilnih izraza dati njihove vrijednosti, bez obzira na vrijednosti slova i varijabli. Na primjer, izraz x+3−x može se pojednostaviti, nakon čega će poprimiti oblik 3. Iz ovoga možemo zaključiti da je vrijednost izraza x+3−x jednaka 3 za bilo koju vrijednost varijable x iz njenog dopušteni raspon vrijednosti (APV). Drugi primjer: vrijednost izraza jednaka je 1 za sve pozitivne vrijednosti x, tako da je raspon dopuštenih vrijednosti varijable x u izvornom izrazu skup pozitivnih brojeva, au tom rasponu jednakost drži.

Bibliografija.

• Matematika: udžbenik za 5. razred. opće obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. razred: obrazovni. za opće obrazovanje ustanove / [N. Ya.Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: udžbenik za 7. razred opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. razred: obrazovni. za opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorov - 14. izdanje - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.