Aritmetička progresija: što je to? Aritmetička progresija. Udžbenik o jedinstvenom državnom ispitu i formuli državnog ispita za pronalaženje aritmetičke progresije a1

Da, da: aritmetička progresija nije igračka za vas :)

Pa prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni cap-dokaz govori da još ne znate što je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, onako: TAOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i prijeći ću odmah na stvar.

Prvo, nekoliko primjera. Pogledajmo nekoliko skupova brojeva:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Što je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki sljedeći element razlikuje se od prethodnog istim brojem.

Prosudite sami. Prvi skup su jednostavno uzastopni brojevi, svaki sljedeći je za jedan veći od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva je već pet, ali je ta razlika još uvijek konstantna. U trećem slučaju postoje svi korijeni. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. i u ovom slučaju svaki sljedeći element se jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se bojati da je taj broj iracionalan).

Dakle: svi takvi nizovi nazivaju se aritmetičke progresije. Dajmo strogu definiciju:

Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za točno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.

Notacija: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.

I samo par važnih napomena. Prvo, samo napredovanje se uzima u obzir naredio niz brojeva: dopušteno ih je čitati strogo redoslijedom kojim su napisani - i ništa drugo. Brojevi se ne mogu mijenjati ili mijenjati.

Drugo, sam niz može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očito konačna aritmetička progresija. Ali ako nešto napišete u duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskonačan napredak. Elipsa nakon četiri kao da nagovještava da dolazi još dosta brojeva. Beskrajno mnogo, na primjer. :)

Također bih želio napomenuti da se progresije mogu povećavati ili smanjivati. Već smo vidjeli rastuće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobro, dobro: posljednji primjer može izgledati previše komplicirano. Ali ostalo, mislim, razumijete. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija zove:

raste ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;

opadajući ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - sastoje se od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od one koja se smanjuje? Srećom, ovdje sve ovisi samo o predznaku broja $d$, tj. razlike u progresiji:

Ako je $d \gt 0$, tada se progresija povećava;
Ako je $d \lt 0$, tada je progresija očito opadajuća;
Konačno, tu je i slučaj $d=0$ - u ovom slučaju cijela progresija se svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.

Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri opadajuće progresije navedene gore. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzeti broj s lijeve strane od broja s desne strane. Izgledat će ovako:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kao što vidimo, u sva tri slučaja razlika je zapravo bila negativna. I sada kada smo više-manje shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.

Uvjeti progresije i formula recidiva

Budući da se elementi naših nizova ne mogu zamijeniti, mogu se numerirati:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno$\]

Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovi progresije. Označeni su brojem: prvi član, drugi član itd.

Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\desna strelica ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, trebate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Ova se formula naziva rekurentna, jer pomoću nje možete pronaći bilo koji broj samo poznavanjem prethodnog (i zapravo svih prethodnih). Ovo je vrlo nezgodno, pa postoji lukavija formula koja sve izračune svodi na prvi izraz i razliku:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d\]

Vjerojatno ste već naišli na ovu formulu. Vole ga dati u svim vrstama priručnika i knjiga rješenja. I u svakom razumnom udžbeniku matematike je jedan od prvih.

Ipak, predlažem da malo vježbate.

Zadatak br. 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.

Riješenje. Dakle, znamo prvi član $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo danu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\lijevo(1-1 \desno)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\lijevo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\lijevo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Odgovor: (8; 3; −2)

To je sve! Imajte na umu: naš napredak se smanjuje.

Naravno, $n=1$ se ne može zamijeniti - prvi član nam je već poznat. Međutim, zamjenom jedinice uvjerili smo se da čak i za prvi član naša formula funkcionira. U ostalim slučajevima sve se svodilo na banalnu aritmetiku.

Zadatak br. 2. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije ako je njegov sedmi član jednak −40, a sedamnaesti član jednak −50.

Riješenje. Napišimo stanje problema poznatim terminima:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \pravo.\]

Stavio sam znak sustava jer ti zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. Sada primijetimo da ako oduzmemo prvu od druge jednadžbe (imamo pravo na to jer imamo sustav), dobivamo ovo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\lijevo(((a)_(1))+6d \desno)=-50-\lijevo(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Tako je lako pronaći razliku u progresiji! Sve što preostaje je zamijeniti pronađeni broj u bilo koju od jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \kraj(matrica)\]

Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje pronaći drugi i treći član:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Spreman! Problem je riješen.

Odgovor: (−34; −35; −36)

Primijetite zanimljivo svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$-ti i $m$-ti član i oduzmemo ih jedan od drugog, dobit ćemo razliku progresije pomnoženu s $n-m$ brojem:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]

Jednostavno, ali vrlo korisno svojstvo, što svakako morate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema napredovanja. Evo jasnog primjera za to:

Zadatak br. 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član je 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.

Riješenje. Budući da je $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, a mi trebamo pronaći $((a)_(15))$, bilježimo sljedeće:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ali prema uvjetu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, iz čega imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Odgovor: 20.4

To je sve! Nismo trebali stvarati nikakve sustave jednadžbi i izračunavati prvi član i razliku - sve je riješeno u samo nekoliko redaka.

Sada pogledajmo drugu vrstu problema - traženje negativnih i pozitivnih uvjeta progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, a njen prvi član je negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uvjeti opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.

U isto vrijeme, nije uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "direktno" uzastopnim prolazom kroz elemente. Često su zadaci napisani tako da bi bez poznavanja formula izračuni oduzeli nekoliko listova papira – jednostavno bismo zaspali dok bismo pronašli odgovor. Stoga, pokušajmo te probleme riješiti na brži način.

Zadatak br. 4. Koliko ima negativnih članova u aritmetičkoj progresiji −38,5; −35,8; ...?

Riješenje. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odakle odmah nalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi član je negativan, tako da ćemo doista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.

Pokušajmo saznati: do kada (tj. do čega prirodni broj$n$) negativnost izraza je sačuvana:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\kvad \lijevo| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\desna strelica ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Posljednji redak zahtijeva neko objašnjenje. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, zadovoljavamo se samo cjelobrojnim vrijednostima broja (štoviše: $n\in \mathbb(N)$), pa je najveći dopušteni broj upravo $n=15$, a ni u kojem slučaju 16 .

Zadatak br. 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.

Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali poznati su susjedni članovi: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da lako možemo pronaći razliku progresije:

Uz to, pokušajmo izraziti peti član kroz prvi i razliku koristeći standardnu formulu:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sada nastavljamo po analogiji s prethodnim zadatkom. Otkrijmo na kojem će se mjestu u našem nizu pojaviti pozitivni brojevi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\desna strelica ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Najmanje cjelobrojno rješenje ove nejednakosti je broj 56.

Napomena: u prošlom zadatku sve se svelo na strogu nejednakost, tako da nam opcija $n=55$ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili rješavati jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, proučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam uštedjeti puno vremena i nejednakih ćelija u budućnosti. :)

Aritmetička sredina i jednaka uvlačenja

Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti na brojevnoj crti:

Članovi aritmetičke progresije na brojevnom pravcu

Posebno sam označio proizvoljne pojmove $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne neke $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, itd. Zato što pravilo o kojem ću vam sada govoriti djeluje isto za sve "segmente".

A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se rekurentne formule i zapišimo je za sve označene pojmove:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Međutim, ove se jednakosti mogu prepisati drugačije:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Pa što onda? I činjenica da pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leže na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . A ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ na istoj udaljenosti koja je jednaka $2d$. Možemo nastaviti ad infinitum, ali značenje je dobro ilustrirano slikom

Članci progresije leže na istoj udaljenosti od središta

Što to znači za nas? To znači da se $((a)_(n))$ može pronaći ako su poznati susjedni brojevi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Izveli smo izvrsnu izjavu: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini svojih susjednih članova! Štoviše: možemo se odmaknuti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka - i formula će i dalje biti točna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Oni. lako možemo pronaći neki $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi problemi posebno skrojeni za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:

Zadatak br. 6. Pronađite sve vrijednosti od $x$ za koje su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetička progresija (u naznačenom redoslijedu).

Riješenje. Budući da su ti brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uvjet aritmetičke sredine: središnji element $x+1$ može se izraziti preko susjednih elemenata:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ispalo je klasično kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.

Odgovor: −3; 2.

Zadatak br. 7. Pronađite vrijednosti $$ za koje brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ čine aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Riješenje. Izrazimo opet srednji član kroz aritmetičku sredinu susjednih članova:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\kvad \lijevo| \cdot 2 \desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Opet kvadratna jednadžba. I opet postoje dva korijena: $x=6$ i $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Ako u procesu rješavanja problema dođete do nekih brutalnih brojeva ili niste posve sigurni u točnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasna tehnika koja vam omogućuje da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?

Recimo da smo u zadatku br. 6 dobili odgovore −3 i 2. Kako možemo provjeriti jesu li ti odgovori točni? Uključimo ih u izvorno stanje i vidimo što će se dogoditi. Dopustite mi da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$, koji moraju činiti aritmetičku progresiju. Zamijenimo $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dobili smo brojeve −54; −2; 50 koji se razlikuju za 52 nedvojbeno je aritmetička progresija. Ista stvar se događa za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opet progresija, ali s razlikom od 27. Dakle, zadatak je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi problem, ali odmah ću reći: i tamo je sve točno.

Uglavnom, rješavajući posljednje probleme, naišli smo na još jedan zanimljiva činjenica, što također treba zapamtiti:

Ako su tri broja takva da je drugi aritmetička sredina prvog i posljednjeg, tada ti brojevi čine aritmetičku progresiju.

U budućnosti će nam razumijevanje ove izjave omogućiti doslovno "konstruiranje" potrebnih progresija na temelju uvjeta problema. Ali prije nego što se upustimo u takvu “konstrukciju”, valja obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizlazi iz onoga o čemu je već bilo riječi.

Grupiranje i zbrajanje elemenata

Vratimo se ponovno na brojčanu os. Zabilježimo ondje nekoliko članova progresije, između kojih možda. vrijedi puno drugih članova:

Na brojevnoj crti označeno je 6 elemenata

Pokušajmo izraziti “lijevi rep” kroz $((a)_(n))$ i $d$, a “desni rep” kroz $((a)_(k))$ i $d$. Vrlo je jednostavno:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Imajte na umu da su sljedeći iznosi jednaki:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Jednostavno rečeno, ako kao početak uzmemo u obzir dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim počnemo koračati od tih elemenata u suprotnim smjerovima (jedni prema drugima ili obrnuto da se udaljavaju), zatim jednaki će biti i zbrojevi elemenata na koje ćemo se spotaknuti$S$. To se može najjasnije grafički prikazati:

Jednaka udubljenja daju jednake količine

Razumijevanje ova činjenica omogućit će nam rješavanje problema u temeljno više visoka razina poteškoće od onih koje smo gore razmotrili. Na primjer, ove:

Zadatak br. 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a umnožak drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.

Riješenje. Zapišimo sve što znamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Dakle, ne znamo razliku progresije $d$. Zapravo, cijelo će se rješenje izgraditi oko razlike, budući da se proizvod $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\lijevo(66+d \desno)\cdot \lijevo(66+11d \desno)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(align)\]

Za one u spremniku: izbacio sam ukupni množitelj od 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni umnožak je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\lijevo(d \desno)=11\lijevo(d+66 \desno)\lijevo(d+6 \desno)$ - njen graf će biti parabola s granama prema gore, jer ako proširimo zagrade, dobivamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kao što vidite, koeficijent najvećeg člana je 11 - to je pozitivan broj, tako da imamo posla s parabolom s granama prema gore:

raspored kvadratna funkcija- parabola
Imajte na umu: ova parabola dobiva svoju najmanju vrijednost na svom vrhu s apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati koristeći standardnu shemu (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bilo bi mnogo razumnije napomenuti da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, stoga je točka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Zato se nisam posebno žurio s otvaranjem zagrada: u izvornom obliku korijene je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Stoga je apscisa jednaka srednjoj vrijednosti aritmetički brojevi−66 i −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Što nam daje otkriveni broj? Uz to, traženi proizvod zauzima najmanja vrijednost(usput, nikada nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne traži). Ujedno, ovaj broj je razlika izvorne progresije, tj. našli smo odgovor. :)

Odgovor: −36

Zadatak br. 9. Između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ umetnite tri broja tako da zajedno s tim brojevima čine aritmetičku progresiju.

Riješenje. U biti, trebamo napraviti niz od pet brojeva, s prvim i posljednji broj već je poznato. Označimo brojeve koji nedostaju varijablama $x$, $y$ i $z$:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]

Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako smo od brojeva $x$ i $z$ u ovaj trenutak ne možemo dobiti $y$, onda je situacija drugačija s krajevima progresije. Sjetimo se aritmetičke sredine:

Sada, znajući $y$, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da se $x$ nalazi između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ koje smo upravo pronašli. Zato

Koristeći slično zaključivanje, nalazimo preostali broj:

Spreman! Pronašli smo sva tri broja. Napišimo ih u odgovor redoslijedom kojim ih treba umetnuti između izvornih brojeva.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadatak br. 10. Između brojeva 2 i 42 upiši nekoliko brojeva koji zajedno s tim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako znaš da je zbroj prvog, drugog i zadnjeg umetnutog broja 56.

Riješenje. Još složeniji problem, koji se, međutim, rješava prema istoj shemi kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo točno koliko brojeva treba umetnuti. Stoga pretpostavimo za određenost da će nakon uvrštavanja svega biti točno $n$ brojeva, od kojih je prvi 2, a zadnji 42. U tom slučaju tražena aritmetička progresija može se prikazati u obliku:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Imajte na umu, međutim, da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobiveni iz brojeva 2 i 42 na rubovima jednim korakom jedan prema drugom, tj. u središte niza. A ovo znači to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ali tada se gore napisani izraz može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \lijevo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Poznavajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku progresije:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\lijevo(3-1 \desno)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\desna strelica d=5. \\ \end(align)\]

Sve što preostaje je pronaći preostale članove:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Riječni problemi s progresijama

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavni zadaci. Pa, jednostavno: za većinu učenika koji uče matematiku u školi, a nisu pročitali što je gore napisano, ovi problemi mogu izgledati teški. Ipak, ovo su vrste problema koji se pojavljuju u OGE i Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, pa preporučujem da se upoznate s njima.

Zadatak br. 11. Tim je u siječnju izradio 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveli su 14 dijelova više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je dijelova tim proizveo u studenom?

Riješenje. Očito će broj dijelova navedenih po mjesecima predstavljati rastuću aritmetičku progresiju. Štoviše:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Studeni je 11. mjesec u godini, pa moramo pronaći $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Stoga će u studenom biti proizvedena 202 dijela.

Zadatak br.12. Knjigoveška radionica je u siječnju ukoričila 216 knjiga, au svakom sljedećem mjesecu uvezala je 4 knjige više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je knjiga uvezano na radionici u prosincu?

Riješenje. Sve isto:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ovo je odgovor – u prosincu će biti ukoričeno 260 knjiga.

Pa, ako ste dovde pročitali, žurim vam čestitati: uspješno ste završili “tečaj za mladog borca” u aritmetičkim progresijama. Možete sigurno prijeći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučiti formulu za zbroj progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.

Matrica $A^(-1)$ naziva se inverzom kvadratne matrice $A$ ako je zadovoljen uvjet $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, gdje je $E $ matrica identiteta čiji je red jednak redu matrice $A$.

Nesingularna matrica je matrica čija determinanta nije jednaka nuli. Prema tome, singularna matrica je ona čija je determinanta jednaka nuli.

Inverzna matrica $A^(-1)$ postoji ako i samo ako je matrica $A$ nesingularna. Ako inverzna matrica $A^(-1)$ postoji, onda je ona jedinstvena.

Postoji nekoliko načina da se pronađe inverz matrice, a mi ćemo pogledati dva od njih. Na ovoj stranici raspravljat će se o metodi adjungirane matrice, koja se smatra standardnom u većini tečajeva više matematike. U drugom dijelu govori se o drugoj metodi pronalaženja inverzne matrice (metodi elementarnih transformacija), koja uključuje korištenje Gaussove metode ili Gauss-Jordanove metode.

Metoda adjungirane matrice

Neka je dana matrica $A_(n\puta n)$. Da bi se pronašla inverzna matrica $A^(-1)$, potrebna su tri koraka:

Nađite determinantu matrice $A$ i uvjerite se da je $\Delta A\neq 0$, tj. da je matrica A nesingularna.
Sastavite algebarske komplemente $A_(ij)$ svakog elementa matrice $A$ i napišite matricu $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ iz pronađene algebarske nadopunjuje.
Napišite inverznu matricu uzimajući u obzir formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matrica $(A^(*))^T$ često se naziva pridružena (recipročna, saveznička) matrici $A$.

Ako se rješenje radi ručno, tada je prva metoda dobra samo za matrice relativno malih redova: druga (), treća (), četvrta (). Da biste pronašli inverz matrice višeg reda, koriste se druge metode. Na primjer, Gaussova metoda, o kojoj se govori u drugom dijelu.

Primjer br. 1

Pronađite inverziju matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Kako su svi elementi četvrtog stupca jednaki nuli, onda je $\Delta A=0$ (tj. matrica $A$ je singularna). Budući da je $\Delta A=0$, ne postoji matrica inverzna matrici $A$.

Odgovor: matrica $A^(-1)$ ne postoji.

Primjer br. 2

Pronađite inverz matrice $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Izvršite provjeru.

Koristimo metodu adjungirane matrice. Najprije pronađimo determinantu zadane matrice $A$:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(niz)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Budući da je $\Delta A \neq 0$, tada inverzna matrica postoji, stoga ćemo nastaviti s rješavanjem. Pronalaženje algebarskih komplemenata

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(poravnano)

Sastavljamo matricu algebarskih sabiranja: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponiramo dobivenu matricu: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the rezultirajuća matrica se često naziva pridružena ili pridružena matrica matrici $A$). Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, imamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(niz)\desno) =\lijevo(\početak(niz) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \kraj(niz)\desno) $$

Dakle, inverzna matrica je pronađena: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\desno) $. Za provjeru istinitosti rezultata dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A^(-1)\cdot A=E$. Kako bismo manje radili s razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, i u obliku $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( niz)\desno)\cdot\lijevo(\početak(niz) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \kraj(niz)\desno) =-\frac(1)(103)\cdot\lijevo( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) )\desno) =E $$

Odgovor: $A^(-1)=\lijevo(\početak(niz) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \kraj(niz)\desno)$.

Primjer br. 3

Pronađite inverznu matricu za matricu $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ . Izvršite provjeru.

Počnimo s izračunavanjem determinante matrice $A$. Dakle, determinanta matrice $A$ je:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(niz) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Budući da je $\Delta A\neq 0$, tada inverzna matrica postoji, stoga ćemo nastaviti s rješavanjem. Pronalazimo algebarske komplemente svakog elementa zadane matrice:

Sastavljamo matricu algebarskih sabiranja i transponiramo je:

$$ A^*=\lijevo(\početak(niza) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\kraj(niza) \desno); \; (A^*)^T=\lijevo(\početak(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\kraj (niz) \desno) . $$

Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, dobivamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Dakle, $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Za provjeru istinitosti rezultata dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A\cdot A^(-1)=E$. Kako bismo manje radili s razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, i u obliku $\frac(1)(26 )\cdot \lijevo( \begin(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \desno)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \desno)\cdot \frac(1)(26)\cdot \lijevo(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ kraj(niz) \desno) =\frac(1)(26)\cdot\lijevo(\početak(niz) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\kraj (niz) \desno) =\lijevo(\početak(niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(niz) \desno) =E $$

Provjera je bila uspješna, inverzna matrica $A^(-1)$ je ispravno pronađena.

Odgovor: $A^(-1)=\lijevo(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Primjer br. 4

Pronađite matricu inverznu od matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Za matricu četvrtog reda, pronalaženje inverzne matrice korištenjem algebarskih adicija donekle je teško. Međutim, takvi primjeri u testovi sastati se.

Da biste pronašli inverz matrice, prvo morate izračunati determinantu matrice $A$. Najbolji način da to učinite u ovoj situaciji je dekompozicijom determinante duž retka (stupca). Odaberemo bilo koji redak ili stupac i pronađemo algebarske komplemente svakog elementa odabranog retka ili stupca.

Na primjer, za prvi redak dobivamo:

$$ A_(11)=\lijevo|\početak(niza)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \kraj(niza)\desno|=556; \; A_(12)=-\lijevo|\početak(niz)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \kraj(niz)\desno|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\lijevo|\begin(niz)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(niz)\desno|= -536;\; A_(14)=-\lijevo|\početak(niz)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \kraj(niz)\desno|=-112. $$

Determinanta matrice $A$ izračunava se pomoću sljedeće formule:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \kraj(poravnano) $$

Matrica algebarskih komplemenata: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Adjungirana matrica: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Inverzna matrica:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(niz) \right)= \lijevo(\begin(niz) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Provjeru, po želji, možete izvršiti na isti način kao u prethodnim primjerima.

Odgovor: $A^(-1)=\lijevo(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(niz) \desno) $.

U drugom dijelu ćemo razmotriti još jedan način pronalaska inverzne matrice, koji uključuje korištenje transformacija Gaussove metode ili Gauss-Jordanove metode.

Matrična determinanta

Pronalaženje determinante matrice vrlo je čest problem u višoj matematici i algebri. U pravilu se pri rješavanju ne može bez vrijednosti determinante matrice složeni sustavi jednadžbe. Cramerova metoda za rješavanje sustava jednadžbi temelji se na izračunavanju determinante matrice. Pomoću definicije determinante utvrđuje se prisutnost i jedinstvenost rješenja sustava jednadžbi. Stoga je teško precijeniti važnost sposobnosti ispravnog i preciznog pronalaženja determinante matrice u matematici. Metode za rješavanje determinanti teoretski su prilično jednostavne, ali kako se veličina matrice povećava, izračuni postaju vrlo glomazni i zahtijevaju veliku pažnju i puno vremena. U tako složenim matematičkim izračunima vrlo je lako napraviti manju pogrešku ili tipfeler, što će dovesti do pogreške u konačnom odgovoru. Pa čak i ako pronađete matrična determinanta sami, važno je provjeriti rezultat. To se može učiniti s našom uslugom Pronalaženje determinante matrice online. Naša usluga uvijek daje apsolutno točne rezultate, bez grešaka ili administrativnih pogrešaka. Možete odbiti neovisne izračune, jer s primijenjene točke gledišta, nalaz determinanta matrice Nije edukativne prirode, već jednostavno zahtijeva puno vremena i numeričkih izračuna. Stoga, ako je u vašem zadatku definicija determinante matrice su pomoćni, sporedni obračuni, koristite našu uslugu i pronađite determinantu matrice online!

Svi izračuni se provode automatski s najvećom točnošću i potpuno su besplatni. Imamo vrlo zgodno sučelje za unos elemenata matrice. Ali glavna razlika između naše usluge i sličnih je mogućnost primanja detaljno rješenje. Naša usluga u izračunavanje determinante matrice online uvijek koristi najjednostavniju i najkraću metodu i detaljno opisuje svaki korak transformacija i pojednostavljenja. Tako dobivate ne samo vrijednost determinante matrice, konačni rezultat, već i cijelo detaljno rješenje.

Numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pribrojenom istom broju za dati niz, naziva se aritmetička progresija. Poziva se broj koji se svaki put dodaje prethodnom broju razlika aritmetičke progresije a označava se slovom d.

Dakle, niz brojeva je 1; a 2; a 3; a 4; a 5; ... i n će biti aritmetička progresija ako je a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d;

Kažu da je dana aritmetička progresija sa zajedničkim članom i n. Zapiši: dana je aritmetička progresija (a n).

Aritmetička progresija se smatra definiranom ako je poznat njezin prvi član a 1 i razlika d.

Primjeri aritmetičke progresije

Primjer 1. 1; 3; 5; 7; 9;...Ovdje a 1 = 1; d = 2.

Primjer 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Evo a 1 = 8; d =-3.

Primjer 3.-16; -12; -8; -4;... Evo a 1 = -16; d = 4.

Imajte na umu da je svaki član progresije, počevši od drugog, jednak aritmetičkoj sredini svojih susjednih članova.

U 1 primjeru drugi termin 3 =(1+5): 2 ; oni. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; treći član 5 =(3+7): 2;

tj. a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Dakle, vrijedi formula:

No, zapravo, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini ne samo svojih susjednih članova, već i jednako udaljena od njegovih članova, tj.

Skrenimo primjer 2. Broj -1 je četvrti član aritmetičke progresije i jednako je udaljen od prvog i sedmog člana (a 1 = 8, i 7 = -10).

Prema formuli (**) imamo:

Izvedimo formulu n-član aritmetičke progresije.

Dakle, drugi član aritmetičke progresije dobivamo ako pribrojimo razliku prvom d; treći član dobivamo ako razliku dodamo drugom d ili prvom članu dodati dvije razlike d; četvrti član dobivamo ako razliku dodamo trećem d ili dodati tri razlike prvoj d i tako dalje.

Pogodili ste: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Dobivena formula a n = a 1 + (n-1) d (***)

nazvao formulančlan aritmetičke progresije.

Sada razgovarajmo o tome kako pronaći zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Označimo ovaj iznos sa S n.

Preraspoređivanjem mjesta članova ne mijenja se vrijednost zbroja, pa se on može pisati na dva načina.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n i

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Dodajmo ove dvije jednakosti član po član:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

Za svaku nesingularnu matricu A postoji jedinstvena matrica A -1 takva da je

A*A -1 =A -1 *A = E,

gdje je E matrica identiteta istog reda kao A. Matrica A -1 se naziva inverzna matrica A.

Ako je netko zaboravio, u matrici identiteta, osim dijagonale popunjene jedinicama, sva ostala mjesta su popunjena nulama, primjer matrice identiteta:

Nalaženje inverzne matrice metodom adjungirane matrice

Inverzna matrica je definirana formulom:

gdje je A ij - elementi a ij.

Oni. Da biste izračunali inverznu matricu, morate izračunati determinantu ove matrice. Zatim pronađite algebarske komplemente za sve njegove elemente i sastavite od njih novu matricu. Zatim morate transportirati ovu matricu. I podijelite svaki element nove matrice s determinantom izvorne matrice.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Pronađite A -1 za matricu

Rješenje Nađimo A -1 koristeći metodu adjungirane matrice. Imamo det A = 2. Nađimo algebarske komplemente elemenata matrice A. U ovom slučaju, algebarski komplementi elemenata matrice bit će odgovarajući elementi same matrice, uzeti s predznakom u skladu s formulom

Imamo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formiramo adjungiranu matricu

Transportiramo matricu A*:

Inverznu matricu nalazimo pomoću formule:

Dobivamo:

Koristeći metodu adjungirane matrice, pronađite A -1 if

Rješenje. Prije svega, izračunavamo definiciju ove matrice kako bismo provjerili postojanje inverzne matrice. Imamo

Ovdje smo elementima drugog retka dodali elemente trećeg retka, prethodno pomnožene s (-1), a zatim proširili determinantu za drugi red. Budući da je definicija ove matrice različita od nule, postoji njena inverzna matrica. Da bismo konstruirali adjungiranu matricu, nalazimo algebarske komplemente elemenata te matrice. Imamo

Prema formuli

transportna matrica A*:

Zatim prema formuli

Određivanje inverzne matrice metodom elementarnih transformacija

Uz metodu pronalaženja inverzne matrice, koja slijedi iz formule (metoda adjungirane matrice), postoji metoda za pronalaženje inverzne matrice, koja se naziva metoda elementarnih transformacija.

Elementarne matrične transformacije

Sljedeće transformacije nazivaju se transformacijama elementarne matrice:

1) preuređivanje redaka (stupaca);

2) množenje retka (stupca) brojem koji nije nula;

3) dodavanje elementima retka (stupca) odgovarajućih elemenata drugog retka (stupca), prethodno pomnoženih s određenim brojem.

Da bismo pronašli matricu A -1, konstruiramo pravokutnu matricu B = (A|E) redova (n; 2n), pridružujući matrici A s desne strane matricu identiteta E kroz razdjelnu liniju: