§ 4.5. PRORAČUN MOMENTA TROME ODJELJAKA JEDNOSTAVNOG OBLIKA

Kao što je navedeno u § 1.5, geometrijske karakteristike složenih presjeka određuju se dijeljenjem u više jednostavnih figura, čije se geometrijske karakteristike mogu izračunati pomoću odgovarajućih formula ili odrediti pomoću posebnih tablica. Ove formule dobivene su kao rezultat izravne integracije izraza (8.5)-(10.5). Metode za njihovo dobivanje razmotrene su u nastavku na primjerima pravokutnika, trokuta i kruga.

Pravokutni presjek

Odredimo aksijalni moment tromosti pravokutnika visine h i širine b u odnosu na os koja prolazi kroz njegovu bazu (slika 11.5, a). Izaberimo iz pravokutnika s linijama paralelnim s osi elementarnu traku visine i širine b.

Područje ove trake, udaljenost od trake do osi jednaka im je. Zamijenimo ove veličine u izraz za moment tromosti (8.5):

Na sličan način se za moment tromosti oko osi može dobiti izraz

Da bismo odredili centrifugalni moment tromosti, odabiremo iz pravokutnika s linijama paralelnim s osi (Sl.

11.5, b), elementarno područje veličine. Najprije odredimo centrifugalni moment tromosti ne cijelog pravokutnika, već samo okomite trake visine h i širine koja se nalazi na udaljenosti od osi

Proizvod je postavljen izvan integralnog znaka, jer je za sva područja koja pripadaju razmatranoj okomitoj traci konstantna.

Integrirajmo onda izraz u rasponu od do

Odredimo sada aksijalne momente tromosti pravokutnika u odnosu na y i osi koje prolaze kroz težište paralelno sa stranicama pravokutnika (slika 12.5). U ovom slučaju, granice integracije bit će od do

Centrifugalni moment tromosti pravokutnika u odnosu na osi (slika 12.5) jednak je nuli, jer se te osi podudaraju s njegovim osi simetrije.

Trokutasti presjek

Odredimo aksijalne momente tromosti trokuta u odnosu na tri paralelne osi koje prolaze kroz njegovu bazu (slika 13.5, a), težište (slika 13.5, b) i vrh (slika 13.5, e).

Za slučaj kada os prolazi kroz bazu trokuta (slika 13.5, a),

Za slučaj kada os prolazi kroz težište trokuta paralelno s njegovom bazom (slika 13.5, b),

U slučaju kada os prolazi kroz vrh trokuta paralelno s njegovom bazom (slika 13.5, c),

Moment tromosti je znatno veći (tri puta) od momenta tromosti jer je glavnina površine trokuta udaljenija od osi više nego od osi

Izrazi (17.5) - (19.5) su dobiveni za jednakokračan trokut. Međutim, oni također vrijede za nejednakokračne trokute. Uspoređujući, na primjer, trokute prikazane na Sl. 13.5, a i 13.5, d, od kojih je prvi jednakokračan, a drugi nije jednakokračan, utvrđujemo da su dimenzije površine i granice unutar kojih y varira (od 0 do) jednake za oba trokuta. Posljedično, momenti tromosti za njih su također isti. Slično, može se pokazati da su aksijalni momenti tromosti svih presjeka prikazanih na sl. 14,5 su isti. Općenito, pomak dijelova presjeka paralelnih s određenom osi ne utječe na vrijednost aksijalnog momenta tromosti u odnosu na tu os.

Očito je da zbroj aksijalnih momenata tromosti trokuta u odnosu na osi prikazane na sl. 13.5, a i 13.5, b, trebaju biti jednaki aksijalnom momentu tromosti pravokutnika u odnosu na os prikazanu na sl. 11.5, a. To proizlazi iz činjenice da se pravokutnik može smatrati dvama trokutima, od kojih jedan os prolazi kroz bazu, a za drugi kroz vrh paralelan s njegovom bazom (slika 15.5).

Doista, prema formulama (17.5) i (19.5)

što se podudara s izrazom pravokutnika prema formuli (12.5).

Presjek u obliku kruga

Odredimo aksijalni moment tromosti kruga u odnosu na bilo koju os koja prolazi kroz njegovo težište. Od sl. 16.5, ali treba

Očito je da će aksijalni moment tromosti biti jednak u odnosu na bilo koju os koja prolazi kroz središte kruga i, prema tome,

Pomoću formule (11.5) nalazimo polarni moment tromosti kružnice u odnosu na njezino središte:

Formula za aksijalni moment tromosti kruga može se dobiti više na jednostavan način, ako prvo izvedete formulu za njegov polarni moment tromosti u odnosu na središte (točka O). Da bismo to učinili, odaberemo elementarni prsten iz kruga s debljinom radijusa i površine (Sl. 16.5,b).

Polarni moment tromosti elementarnog prstena u odnosu na središte kruga, jer se sva elementarna područja od kojih se ovaj prsten sastoji nalaze na istoj udaljenosti od središta kruga. Stoga,

Ovaj rezultat podudara se s onim dobivenim gore.

Momenti tromosti (polarni i aksijalni) presjeka u obliku kružnog prstena s vanjskim i unutarnjim promjerom d (sl. 17.5) mogu se odrediti kao razlika između odgovarajućih momenata tromosti vanjske i unutarnje kružnice.

Polarni moment tromosti prstena na temelju formule (21.5)

ili, ako odredimo

Slično, za aksijalne momente tromosti prstena

Moment inercije i moment otpora

Pri određivanju presjeka građevnih konstrukcija često je potrebno poznavati moment tromosti i moment otpora za presjek razmatrane konstrukcije. Posebno je opisano što je moment otpora i kako je povezan s momentom tromosti. Osim toga, za kompresibilne strukture također morate znati vrijednost polumjera kružnog kretanja. Određivanje momenta otpora i momenta tromosti, a ponekad i polumjera kruženja, za većinu poprečnih presjeka je jednostavno geometrijski oblik može se učiniti pomoću dobro poznatih formula:

Tablica 1. Oblici presjeka, površine presjeka, momenti tromosti i momenti otpora za konstrukcije prilično jednostavnih geometrijskih oblika.

Obično su ove formule dovoljne za većinu proračuna, ali ima svakakvih slučajeva i poprečni presjek konstrukcije možda nema tako jednostavan geometrijski oblik ili položaj osi oko kojih treba moment tromosti ili moment otpora koje treba odrediti možda nisu iste, tada možete koristiti sljedeće formule:

Tablica 2. Oblici presjeka, površine presjeka, momenti tromosti i momenti otpora za konstrukcije složenijih geometrijskih oblika

Kao što se može vidjeti iz tablice 2, izračunavanje momenta tromosti i momenta otpora za nejednake kutove je prilično teško, ali za to nema potrebe. Postoje sortimenti za nejednake i jednake prirubnice valjane kutnike, kao i za kanale, I-nosače i profilne cijevi. U sortimenti Za svaki profil date su vrijednosti momenta tromosti i momenta otpora.

Tablica 3. Promjene momenata tromosti i momenata otpora ovisno o položaju osi.

Formule iz tablice 3 mogu biti potrebne za izračun kosih krovnih elemenata.

Bilo bi lijepo objasniti jasan primjer za one posebno nadarene, poput mene, što je moment tromosti i za što se koristi. Na specijaliziranim stranicama sve je nekako vrlo zbunjujuće, ali Doc ima jasan talent za prenošenje informacija, možda ne najsloženijih, ali vrlo kompetentnih i razumljivih

U principu, što je moment tromosti i odakle dolazi, dovoljno je detaljno objašnjeno u članku "Osnove čvrstoće čvrstoće, formule za proračun", ovdje ću samo ponoviti: "W je moment otpora poprečnog presjeka greda, drugim riječima, površina sabijenog ili zategnutog dijela presjeka grede, pomnožena s krakom djelovanja rezultantne sile." Za proračun čvrstoće konstrukcije mora biti poznat moment otpora, tj. prema krajnjim naprezanjima. Za određivanje kutova zakreta poprečnog presjeka i otklona (pomaka) težišta poprečnog presjeka mora se poznavati moment tromosti, budući da se najveće deformacije javljaju u najgornjem i najnižem sloju savojne konstrukcije, momentu tromosti se može odrediti množenjem momenta otpora s udaljenosti od presjeka težišta do gornjeg ili donjeg sloja, dakle za pravokutne presjeke I=Wh/2. Pri određivanju momenta tromosti presjeka složenih geometrijskih oblika najprije se složeni lik dijeli na jednostavne, zatim se određuju površine presjeka tih likova i momenti tromosti najjednostavnijih likova, zatim površine najjednostavnijih likova. likovi se množe s kvadratom udaljenosti od općeg težišta presjeka do težišta najjednostavnijeg lika. Moment tromosti najjednostavnije figure kao dijela složenog presjeka jednak je momentu tromosti figure + kvadrat udaljenosti pomnožen s površinom. Zatim se dobiveni momenti tromosti zbroje i dobije se moment tromosti složenog presjeka. Ali ovo su najjednostavnije formulacije (iako, slažem se, još uvijek izgleda prilično lukavo).

Moment tromosti i moment otpora - dr. Lom

Pri određivanju poprečnog presjeka građevinskih konstrukcija često je potrebno poznavati moment tromosti i moment otpora za poprečni presjek konstrukcije. Moment otpora i moment energije za veliku većinu presjeka jednostavnog geometrijskog oblika mogu se odrediti pomoću odavno poznatih formula

Poglavlje 5. MOMENTI TROME RAVNIH PRESJEKA

Svaki ravni presjek karakterizira niz geometrijskih karakteristika: površina, koordinate težišta, statički moment, moment inercije itd.

Statički momenti oko osi x I g su jednaki:

Statički momenti obično se izražavaju u kubičnih centimetara ili metara i mogu imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Os oko koje je statički moment jednak nuli naziva se središnji. Točka sjecišta središnjih osi naziva se težište presjeka. Formule za određivanje koordinata težišta x c I y c složeni odjeljak, podijeljen na jednostavne komponente za koje su područja poznata A i i položaj težišta xci I y ci, imaju oblik

Veličina momenta tromosti karakterizira otpornost štapa na deformaciju (torzija, savijanje) ovisno o veličini i obliku poprečnog presjeka. Postoje trenuci inercije:

– aksijalni, određeni integralima oblika

Aksijalni i polarni momenti tromosti su uvijek pozitivni a ne

ići na nulu. Polarni moment tromosti Ip jednak zbroju aksijalni momenti tromosti ja x I ja u odnosu na bilo koji par međusobno okomitih osi x I na:

Centrifugalni moment tromosti može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli. Dimenzija momenata tromosti je cm 4 ili m 4. Formule za određivanje momenata tromosti jednostavne sekcije u odnosu na središnje osi dani su u referentnim knjigama. Pri izračunavanju momenata tromosti složenih presjeka često se koriste formule za prijelaz sa središnjih osi jednostavnih presjeka na druge osi paralelne sa središnjim.

gdje su momenti tromosti jednostavnih presjeka u odnosu na središnje osi;

m, n– razmaci između osi (slika 18).

Riža. 18. Da bi se odredili momenti tromosti oko osi,

Glavne središnje osi presjeka su važne. Glavne središnje osi su dvije međusobno okomite osi koje prolaze kroz težište presjeka, u odnosu na koje je centrifugalni moment tromosti jednak nuli, a aksijalni momenti tromosti imaju ekstremne vrijednosti. Navedeni su glavni momenti tromosti ja u(maksimalno) i Iv(min) i određuju se formulom

Položaj glavnih osi određen je kutom α koji se nalazi iz formule

Kut α odložen je od osi s velikim neglavnim momentom tromosti; pozitivna vrijednost je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Ako presjek ima os simetrije, tada je ta os glavna. Druga glavna os je okomita na os simetrije. U praksi se često koriste profili sastavljeni od nekoliko valjanih profila (I-greda, kanal, kut). Geometrijske karakteristike ovih profila dane su u tablicama sortimenata. Za nejednake i jednakostranične kutove, centrifugalni moment tromosti u odnosu na središnje osi paralelne s prirubnicama određuje se formulom

Obratite pozornost na oznaku glavnih središnjih osi u tablici asortimana za uglove. Znak ja xy za kut ovisi o njegovom položaju u presjeku. Na slici 19 prikazani su mogući položaji ugla u presjeku i prikazani su znakovi za ja xy.

Riža. 19. Mogući položaji kuta u presjeku

Definirati Iu, Iv te položaj glavnih središnjih osi presjeka

Složeni dio sastoji se od dva valjana profila. Izvadak iz tablica asortimana (Dodatak 5) prikazan je na sl. 21.

Kao pomoćne uzet ćemo osi koje prolaze duž vanjske

strane kanala (os xB, y B, vidi sl. 20).Koordinate težišta presjeka:

(izračunajte sami).

Riža. 20. Položaj glavnih središnjih osi tromosti

U I V složeni odjeljak

Moglo bi se odabrati, na primjer, središnje osi kanala kao pomoćne. Tada će se količina izračuna malo smanjiti.

Aksijalni momenti tromosti:

Imajte na umu da se nalazi nejednaki kut u presjeku

drugačije nego što je prikazano u tablici asortimana. Vrijednost izračunajte sami.

br.24 180x110x12

Riža. 21. Vrijednosti geometrijskih karakteristika valjanih profila:

A– kanal br. 24; b– nejednaki kut 180 x 110 x 12

Centrifugalni momenti tromosti:

– za kanal (postoje osi simetrije);

- za kut,

znak minus – zbog položaja kuta u presjeku;

– za cijelu sekciju:

Slijedite svrhu znakova n I m. Od središnjih osi kanala prelazimo na zajedničke središnje osi presjeka, dakle + m 2

Glavni momenti inercije presjeka:

Položaj glavnih središnjih osi presjeka:

; α = 55 o 48 ′;

Provjera ispravnosti izračuna količina ja u, Iv a α se proizvodi formulom

Kut α za ovu formulu se mjeri od osi u.

Razmatrani presjek ima najveću otpornost na savijanje u odnosu na os u a najmanji – u odnosu na os v.

Poglavlje 5. MOMENTI TROME RAVNIH PRESJEKA Svaki ravninski presjek karakterizira niz geometrijskih karakteristika: površina, koordinate težišta, statički moment, moment tromosti i d (vidi sliku 8.1): ...

(PRIMIJENJENA MEHANIKA)

Momenti tromosti presjeka

Svojstva momenata tromosti.

Momenti tromosti ravnih presjeka

Postoje aksijalni, polarni i centrifugalni momenti tromosti presjeka. Aksijalni moment tromosti presjeka u odnosu na bilo koju os je zbroj umnožaka elementarnih umnožaka površina d A pa je kvadrat njihovih udaljenosti do zadane osi(vidi sliku 8.1): Polarni moment tromosti presjeka...
(KONSTRUKTIVNA MEHANIKA ZA ARHITEKTE)

Statički momenti ravninskih presjeka

Riža. 2.24 Pri proučavanju pitanja čvrstoće, krutosti i stabilnosti potrebno je znati odrediti neke geometrijske karakteristike presjeka, koje uključuju statičke momente, momente tromosti i momente otpora. Statički moment površine figure u odnosu na x-osu (Sl. 2.24), uzet...
(PRIMIJENJENA MEHANIKA)

Momenti tromosti presjeka

Momenti tromosti presjeka nazivaju se integralima sljedećeg oblika Svojstva momenata tromosti. Dimenzija momenata tromosti je [duljina41, obično [m4] ili [cm4|. Aksijalni i polarni momenti tromosti uvijek su pozitivni. Centrifugalni moment tromosti može biti pozitivan, negativan ili nula....
(OTPORNOST MATERIJALA POMOĆU RAČUNALSKIH KOMPLEKSA)

http://:www.svkspb.nm.ru

Geometrijske karakteristike ravnih presjeka

Kvadrat: , dF - elementarna platforma.

Statički moment elementa površinedF u odnosu na os 0x
- umnožak elementa površine s udaljenošću "y" od osi 0x: dS x = ydF

Zbrajajući (integrirajući) takve proizvode po cijelom području figure, dobivamo statički momenti u odnosu na osi y i x:
;
[cm 3, m 3, itd.].

Koordinate težišta:
. Statički momenti relativni središnje osi(osi koje prolaze kroz težište presjeka) jednake su nuli. Prilikom izračunavanja statičkih momenata složene figure, ona se dijeli na jednostavne dijelove, s poznatim područjima F i i koordinatama težišta x i, y i. Statički moment površine cijele figure = zbroj statički momenti svakog njegovog dijela:
.

Koordinate težišta složene figure:

M
Momenti tromosti presjeka

Aksijalni(ekvatorijalni) moment tromosti presjeka- zbroj umnožaka elementarnih površina dF s kvadratima njihovih udaljenosti od osi.

;
[cm 4, m 4, itd.].

Polarni moment tromosti presjeka u odnosu na određenu točku (pol) je zbroj umnožaka elementarnih površina i kvadrata njihovih udaljenosti od te točke.
; [cm 4, m 4, itd.]. J y + J x = J p .

Centrifugalni moment tromosti presjeka- zbroj umnožaka elementarnih površina i njihovih udaljenosti od dviju međusobno okomitih osi.
.

Centrifugalni moment tromosti presjeka u odnosu na osi, od kojih se jedna ili obje podudaraju s osi simetrije, jednak je nuli.

Aksijalni i polarni momenti tromosti uvijek su pozitivni; centrifugalni momenti tromosti mogu biti pozitivni, negativni ili jednaki nuli.

Moment tromosti složene figure jednak je zbroju momenata tromosti njezinih sastavnih dijelova.

Momenti tromosti presjeka jednostavnog oblika

P
pravokutni presjek Krug

DO


prsten

T
trokut

R
izofemoralni

Pravokutan

T
trokut

H četvrtina kruga

J y =J x =0,055R 4

J xy =0,0165R 4

na sl. (-)

Polukrug

M

Momenti inercije standardnih profila nalaze se iz tablica asortimana:

D
vutavr Kanal Kutak

M

Momenti tromosti oko paralelnih osi:

J x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

moment tromosti oko bilo koje osi jednak je momentu tromosti oko središnje osi paralelne s danom, plus umnožak površine figure i kvadrata udaljenosti između osi. J y1x1 =J yx + abF; ("a" i "b" su zamijenjeni u formuli uzimajući u obzir njihov predznak).

Ovisnost između momenti tromosti pri okretanju osi:

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Kut >0, ako se prijelaz iz starog koordinatnog sustava u novi odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. J y1 + J x1 = J y + J x

Ekstremne (maksimalne i minimalne) vrijednosti momenata tromosti nazivaju se glavni momenti tromosti. Osi oko kojih aksijalni momenti tromosti imaju ekstremne vrijednosti nazivaju se glavne osi tromosti. Glavne osi tromosti su međusobno okomite. Centrifugalni momenti tromosti oko glavnih osi = 0, tj. glavne osi tromosti - osi oko kojih je centrifugalni moment tromosti = 0. Ako se jedna od osi poklapa ili obje poklapaju s osi simetrije, tada su one glavne. Kut koji definira položaj glavnih osi:
, ako je  0 >0  osi se okreću suprotno od kazaljke na satu. Najveća os uvijek čini manji kut s osi u odnosu na koje moment tromosti ima veću vrijednost. Glavne osi koje prolaze kroz težište nazivaju se glavne središnje osi tromosti. Momenti inercije oko ovih osi:

J max + J min = J x + J y . Centrifugalni moment tromosti u odnosu na glavne središnje osi tromosti jednak je 0. Ako su poznati glavni momenti tromosti, formule za prijelaz na rotirane osi su:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Krajnji cilj proračuna geometrijskih karakteristika presjeka je određivanje glavnog središnje točke tromost i položaj glavnih središnjih osi tromosti. R polumjer tromosti -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Ako su J x i J y glavni momenti inercije, tada su i x i i y - glavni polumjeri tromosti. Elipsa izgrađena na glavnim polumjerima tromosti kao na poluosima naziva se elipsa inercije. Koristeći elipsu tromosti, možete grafički pronaći polumjer tromosti i x1 za bilo koju os x1. Da biste to učinili, morate nacrtati tangentu na elipsu, paralelnu s osi x1, i izmjeriti udaljenost od ove osi do tangente. Poznavajući radijus inercije, možete pronaći moment inercije presjeka u odnosu na os x 1:
. Za presjeke s više od dvije osi simetrije (na primjer: krug, kvadrat, prsten itd.), aksijalni momenti tromosti oko svih središnjih osi su međusobno jednaki, J xy = 0, elipsa tromosti prelazi u krug tromosti.

Trenuci otpora.

Aksijalni moment otpora- omjer momenta tromosti oko osi i udaljenosti od nje do najudaljenije točke presjeka.
[cm 3, m 3]

Osobito su važni momenti otpora u odnosu na glavne središnje osi:

pravokutnik:
; krug: W x =W y =
,

cjevasti presjek (prsten): W x =W y =
, gdje je = d N /d B .

Polarni moment otpora - omjer polarnog momenta tromosti i udaljenosti od pola do najudaljenije točke presjeka:
.

Za krug W r =
.

Razlikuju se sljedeće vrste momenata tromosti presjeka: aksijalni; centrifugalni; polarni; središnji i glavni momenti tromosti.

Centrifugalni momenti tromosti relativni presjeci na I z zove se integral oblika Zbroj aksijalnih momenata tromosti presjeka u odnosu na dvije koordinatne osi jednak je polarnom momentu tromosti u odnosu na ishodište:

Dimenzija navedenih vrsta momenata tromosti presjeka (duljina 4), tj. m 4 ili cm 4.

Aksijalni i polarni momenti tromosti presjeka su pozitivne veličine; centrifugalni moment tromosti može biti pozitivan, negativan i jednak nuli (za neke osi koje su osi simetrije).

Postoje ovisnosti za momente tromosti tijekom paralelne translacije i rotacije koordinatnih osi.

Slika 5.4 – Paralelna translacija i rotacija koordinatnih osa za proizvoljni presjek grede

Za centrifugalne momente tromosti

Ako su poznati momenti tromosti presjeka Iz, Iu, Izu u odnosu na osi z I na, zatim momenti tromosti oko rotiranih osi z 1 I u 1, pod kutom α u odnosu na izvorne osi (Sl. 5.4, b) određuje se formulama:

S konceptom glavni momenti tromosti povezati položaj glavnih osi tromosti. Glavne osi tromosti nazivaju se dvije međusobno okomite osi, u odnosu na koje je centrifugalni moment tromosti jednak nuli, a aksijalni momenti poprimaju ekstremne vrijednosti (maksimum i minimum).

Ako glavne osi prolaze kroz težište figure, tada se nazivaju glavne središnje osi tromosti.

Položaj glavnih osi tromosti nalazi se iz sljedećih ovisnosti:

Pri izračunavanju čvrstoće strukturnih elemenata koriste se koncept takve geometrijske karakteristike kao modul presjeka.

Razmotrimo, na primjer, presjek grede (sl. 5.5).

Slika 5.5 – Primjer presjeka grede

Udaljenost najudaljenijeg t. A od težišta presjeka tj. S oko značajan h 1, i udaljenost t. U- kroz h 2.

(5.16)

Zatim presjek momenti otpora u odnosu na horizontalna z os bodova A, U izračunavaju se kao omjer aksijalnog momenta tromosti oko osi z na udaljenosti do točaka A, B:

Od praktičnog interesa za proračun čvrstoće je najmanji moment otpora presjeka Wmin, što odgovara najudaljenijem t. A od težišta presjeka h 1 = y maks.

Dimenzija otpornih elemenata (duljina 3), tj. m 3, cm 3.

Tablica 5.1 - Vrijednosti momenata tromosti i momenata otpora najjednostavnijih presjeka u odnosu na središnje osi

Vrste naziva odjeljaka	Momenti inercije	Trenuci otpora
Pravokutnik
Krug

nastavak tablice 5.1

Aksijalni (ili ekvatorijalni) moment tromosti presjeka u odnosu na neku os naziva se uzeto po cijeloj njezinoj površini F dF kvadratima njihovih udaljenosti od ove osi, tj.

Polarni moment tromosti presjeka u odnosu na određenu točku (pol) uzima se po cijelom njegovom području F zbroj umnožaka elementarnih površina dF kvadratima njihovih udaljenosti od ove točke, tj.

Centrifugalni moment tromosti presjeka u odnosu na neke dvije međusobno okomite osi uzima se po cijeloj njegovoj površini F zbroj umnožaka elementarnih površina dF na njihovoj udaljenosti od tih osi, tj.

Momenti tromosti izražavaju se u cm 4, m 4 itd. Aksijalni i polarni momenti tromosti uvijek su pozitivni, budući da njihovi izrazi pod integralnim predznacima uključuju vrijednosti površina dF(uvijek pozitivno) i kvadrate udaljenosti tih područja od zadane osi ili pola.

Slika 2.3 prikazuje presjek s površinom F a prikazane su i osi na I x.

Riža. 2.3. Dio s površinom F.

Aksijalni momenti tromosti ovog presjeka u odnosu na osi na I x:

Zbroj tih momenata tromosti

stoga,

Zbroj aksijalnih momenata tromosti presjeka u odnosu na dvije međusobno okomite osi jednak je polarnom momentu tromosti tog presjeka u odnosu na sjecište tih osi.

Centrifugalni momenti tromosti mogu biti pozitivni ili jednaki nuli. Centrifugalni moment tromosti presjeka u odnosu na osi, od kojih se jedna ili obje podudaraju s njegovim osima simetrije, jednak je nuli. Aksijalni moment tromosti složenog presjeka u odnosu na određenu os jednak je zbroju aksijalnih momenata tromosti njegovih sastavnih dijelova u odnosu na istu os. Slično tome, centrifugalni moment tromosti složenog presjeka u odnosu na bilo koje dvije međusobno okomite osi jednak je zbroju centrifugalnih momenata tromosti njegovih sastavnih dijelova u odnosu na iste osi. Također, polarni moment tromosti složenog presjeka u odnosu na određenu točku jednak je zbroju polarnih momenata tromosti njegovih sastavnih dijelova u odnosu na istu točku. Treba imati na umu da se momenti tromosti izračunati oko različitih osi i točaka ne mogu zbrajati.

Za pravokutnik

Za krug

Za prsten

Često, pri rješavanju praktičnih problema, potrebno je odrediti momente tromosti presjeka u odnosu na osi usmjerene na različite načine u njegovoj ravnini. U ovom slučaju, prikladno je koristiti već poznate vrijednosti momenata tromosti cijelog presjeka (ili njegovih pojedinačnih sastavnih dijelova) u odnosu na druge osi, navedene u tehničkoj literaturi, posebnim priručnikima i tablicama, kao i kako je izračunato pomoću dostupnih formula. Stoga je vrlo važno utvrditi odnose između momenata tromosti istog presjeka u odnosu na različite osi.

U samom opći slučaj prijelaz iz bilo kojeg stari do bilo koji novi koordinatni sustav možemo promatrati kao dvije uzastopne transformacije starog koordinatnog sustava:

1) paralelnim prijenosom koordinatnih osi na novi položaj;

2) rotirajući ih u odnosu na novo ishodište.

Stoga,

Ako os x prolazi kroz težište presjeka, zatim statički moment S x= 0 i

Od svih momenata tromosti oko paralelnih osi, aksijalni moment tromosti ima najmanju vrijednost oko osi koja prolazi kroz težište presjeka.

Moment tromosti oko osi na

U posebnom slučaju kada os / prolazi kroz težište presjeka,

Centrifugalni moment tromosti

U posebnom slučaju kada ishodište starog koordinatnog sustava y0x nalazi se u težištu presjeka,

Ako je presjek simetričan i jedna od starih osi (ili obje) se podudara s osi simetrije, tada