Pad Young Laplaceove jednadžbe. Kratko koloidno. Smoluchowskijeva teorija brze koagulacije

Jednadžba se također razmatra u dvodimenzionalnom i jednodimenzionalnom prostoru. U dvodimenzionalnom prostoru Laplaceova jednadžba je zapisana:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )u)(\djelomično y^(2)))=0)

Također u n-dimenzionalni prostor. U ovom slučaju zbroj je jednak nuli n druge derivacije.

Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 + . . . (\displaystyle \Delta =(\frac (\partial ^(2))(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2))(\partial y^(2)))+ (\frac (\partial ^(2))(\partial z^(2)))+...)

Napomena: sve gore navedeno vrijedi za Kartezijeve koordinate u ravnom prostoru (bez obzira na njegovu dimenziju). Kada se koriste druge koordinate, mijenja se prikaz Laplaceovog operatora i, sukladno tome, mijenja se zapis Laplaceove jednadžbe (na primjer, vidi dolje). Ove se jednadžbe također nazivaju Laplaceovom jednadžbom, ali da bi se razjasnila terminologija, indikacija koordinatnog sustava (i, ako se želi potpuna jasnoća, dimenzija) obično se eksplicitno dodaje, na primjer: "dvodimenzionalna Laplaceova jednadžba u polarnim koordinatama."

Drugi oblici Laplaceove jednadžbe

1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 ( \displaystyle (1 \over r^(2))(\partial \over \partial r)\lijevo(r^(2)(\partial f \over \partial r)\desno)+(1 \over r^( 2)\sin \theta )(\partial \over \partial \theta )\lijevo(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta )\desno)+(1 \over r^(2)\sin ^(2)\theta )(\partial ^(2)f \over \partial \varphi ^(2))=0)

Posebne točke r = 0, θ = 0, θ = π (\displaystyle r=0,\theta =0,\theta =\pi).

1 r ∂ ∂ r (r ∂ u ∂ r) + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ φ 2 = 0 (\displaystyle (\frac (1)(r))(\frac (\partial )(\partial r)) \lijevo(r(\frac (\djelomično u)(\djelomično r))\desno)+(\frac (1)(r^(2)))(\frac (\djelomično ^(2)u)(\ djelomično \varphi ^(2)))=0)

Posebna točka.

1 r ∂ ∂ r (r ∂ f ∂ r) + ∂ 2 f ∂ z 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 (\displaystyle (1 \preko r)(\djelomično \preko \djelomično r)\ lijevo(r(\djelomično f \preko \djelomično r)\desno)+(\djelomično ^(2)f \preko \djelomično z^(2))+(1 \preko r^(2))(\djelomično ^ (2)f \over \partial \varphi ^(2))=0)

Singularna točka r = 0 (\displaystyle r=0).

Primjena Laplaceove jednadžbe

Laplaceova jednadžba pojavljuje se u mnogim fizičkim problemima mehanike, toplinske vodljivosti, elektrostatike i hidraulike. Laplaceov operator je od velike važnosti u kvantnoj fizici, posebno u Schrödingerovoj jednadžbi.

Rješenja Laplaceove jednadžbe

Unatoč činjenici da je Laplaceova jednadžba jedna od najjednostavnijih u matematičkoj fizici, njeno rješavanje nailazi na poteškoće. Numeričko rješenje je posebno teško zbog nepravilnosti funkcija i prisutnosti singulariteta.

Zajednička odluka

Jednodimenzionalni prostor

f (x) = C 1 x + C 2 (\displaystyle f(x)=C_(1)x+C_(2))

Gdje C 1 , C 2 (\displaystyle C_(1),C_(2))- proizvoljne konstante.

Dvodimenzionalni prostor

Laplaceovu jednadžbu na dvodimenzionalnom prostoru zadovoljavaju analitičke funkcije. Analitičke funkcije razmatraju se u teoriji funkcija kompleksne varijable, a klasa rješenja Laplaceove jednadžbe može se svesti na funkciju kompleksne varijable.

Laplaceova jednadžba za dvije nezavisne varijable formulira se na sljedeći način

φ x x + φ y y = 0. (\displaystyle \varphi _(xx)+\varphi _(yy)=0.)

Analitičke funkcije

Ako z = x + iy, I

f (z) = u (x , y) + i v (x , y) , (\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),)

tada su Cauchy-Riemannovi uvjeti potrebni i dovoljni za funkciju f(z) bio je analitičan:

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x . (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial x))=(\frac (\partial v)(\partial y)),~(\frac (\partial u)(\partial y))=- (\frac (\partial v)(\partial x)).)

I realni i imaginarni dio analitičkih funkcija zadovoljavaju Laplaceovu jednadžbu. Izdiferenciravši uvjete

Leonardo da Vinci smatra se otkrivačem kapilarnih fenomena. Međutim, prva točna opažanja kapilarnih pojava na cijevima i staklenim pločama napravio je Francis Hoxby 1709.).

Da materija nije beskonačno djeljiva i da ima atomsku ili molekularnu strukturu bila je radna hipoteza većine znanstvenika od 18. stoljeća. Potkraj 19. stoljeća, kada je skupina fizičara pozitivista ukazala na neizravnost dokaza o postojanju atoma, nije bilo mnogo reakcija na njihovu tvrdnju, pa su kao rezultat toga njihovi prigovori opovrgnuti tek početkom ovog stoljeća . Ako nam se retrospektivno sumnje čine neutemeljenima, moramo se sjetiti da su gotovo svi koji su tada vjerovali u postojanje atoma čvrsto vjerovali i u materijalno postojanje elektromagnetskog etera, a u prvoj polovici 19.st. - često kalorično. Međutim, znanstvenici koji su dali najveći doprinos teoriji plinova i tekućina koristili su se pretpostavkom (obično u eksplicitnom obliku) o diskretnoj strukturi materije. Elementarne čestice materije nazivale su se atomi, ili molekule (npr. Laplace), ili jednostavno čestice (Jung), no mi ćemo slijediti suvremena shvaćanja i koristiti riječ “molekula” za elementarne čestice koje čine plin, tekućinu ili čvrsta.

Početkom 19.st. sile koje bi mogle postojati između molekula bile su nejasne kao i same čestice. Jedina sila u koju nije bilo sumnje bila je Newtonova gravitacija. Djeluje između nebeskih tijela i, očito, između jednog takvog tijela (Zemlje) i drugog (npr. jabuke) laboratorijske mase; Cavendish je nedavno pokazao da djeluje i između dviju laboratorijskih masa, pa se stoga pretpostavilo da djeluje i između molekula. U ranim radovima o tekućinama nalazimo molekularne mase i masene gustoće koje ulaze u jednadžbe u koje sada moramo napisati brojeve molekula i gustoće brojeva molekula. U čistoj tekućini sve molekule imaju istu masu, pa ta razlika nije bitna. Ali čak i prije 1800. godine bilo je jasno da koncept gravitacijskih sila nije dovoljan za objašnjenje kapilarnih pojava i drugih svojstava tekućina. Dizanje tekućine u staklenoj cijevi neovisno je o debljini stakla (prema Hoxbyju, 1709.), pa stoga samo sile kojima djeluju molekule u površinskom sloju stakla djeluju na molekule u tekućini. Gravitacijske sile samo su obrnuto proporcionalne kvadratu udaljenosti i, kao što je poznato, slobodno djeluju kroz međutvar.

Priroda međumolekularnih sila osim gravitacijskih sila bila je vrlo nejasna, ali nije nedostajalo nagađanja. Isusovački svećenik Ruggero Giuseppe Boscovich vjerovao je da se molekule odbijaju na vrlo malim udaljenostima, privlače na malo većim udaljenostima, a zatim pokazuju naizmjenično odbijanje i privlačenje sve manje veličine kako se udaljenost povećava. Njegove ideje utjecale su i na Faradaya i na Kelvina u sljedećem stoljeću, ali su bile previše složene da bi bile od neposredne koristi teoretičarima kapilarnosti. Potonji se mudro zadovoljio jednostavnim hipotezama.

Quincke (G.H. Quincke) proveo je pokuse kako bi odredio najveću udaljenost na kojoj je uočljivo djelovanje međumolekulskih sila. Otkrio je da su za razne tvari te udaljenosti ~ 1/20000 milimetra, tj. ~ 5 · 10 -6 cm (podaci dati prema) .

James Jurin je pokazao da je visina do koje se tekućina diže određena vrhom cijevi, koji je iznad tekućine, te je neovisna o obliku dna cijevi. Vjerovao je da se podizanje tekućine događa zbog privlačenja unutarnje cilindrične površine cijevi, na koju se naliježe gornja površina tekućine. Na temelju toga je pokazao da je podizanje tekućine u cijevima od iste tvari obrnuto proporcionalno njihovom unutarnjem radijusu.

Clairaut je bio jedan od prvih koji je pokazao potrebu uzimanja u obzir privlačnosti između čestica same tekućine kako bi se objasnili kapilarni fenomeni. On, međutim, nije prepoznao da su udaljenosti na kojima te sile djeluju neprimjetno male.

Godine 1751. von Segner je uveo važnu ideju površinske napetosti po analogiji s mehaničkom napetosti membrane u teoriji elastičnosti. Danas je koncept površinske napetosti uobičajen; obično je polazište za proučavanje kapilarnih sila i površinskih pojava u obrazovnim ustanovama.

Ova je ideja postala ključna u daljnjem razvoju teorije. To je zapravo bio prvi korak u proučavanju fenomena - uveden je fenomenološki koncept koji opisuje makroskopsko ponašanje sustava. Drugi korak je izvođenje fenomenoloških pojmova i izračunavanje vrijednosti veličina na temelju molekularne teorije. Ovaj korak je od velike važnosti, budući da se radi o testu ispravnosti određene molekularne teorije.

Godine 1802. John Leslie dao je prvo ispravno objašnjenje za podizanje tekućine u cijevi razmatrajući privlačnost između čvrstog tijela i tankog sloja tekućine na njegovoj površini. On, za razliku od većine prethodnih istraživača, nije pretpostavio da je sila te privlačnosti usmjerena prema gore (izravno radi održavanja tekućine). Naprotiv, pokazao je da je privlačnost posvuda normalna na površinu čvrstog tijela.

Izravan učinak privlačenja je povećanje tlaka u sloju tekućine u kontaktu s krutim tijelom tako da tlak postaje viši od onog unutar tekućine. Rezultat toga je da se sloj nastoji "širiti" po površini čvrstog tijela, a zaustavljaju ga samo gravitacijske sile. Tako se staklena cijev uronjena u vodu navlaži vodom gdje god “može dopuzati”. Kako se tekućina diže, ona formira stup čija težina konačno uravnotežuje silu koja uzrokuje širenje tekućine.

Ova teorija nije bila zapisana matematičkim simbolima i stoga nije mogla pokazati kvantitativni odnos između privlačenja pojedinačnih čestica i konačnog rezultata. Lesliejevu teoriju kasnije je revidirao korištenjem Laplaceovih matematičkih metoda James Ivory u članku o kapilarnom djelovanju, pod “Fluidi, Elevation of,” u dodatku 4. izdanja Encyclopaedije Britannice, objavljene 1819. godine.

2. Teorije Junga i Laplacea

Godine 1804. Thomas Young potkrijepio je teoriju kapilarnih pojava na principu površinske napetosti. Također je promatrao postojanost tekućeg kontaktnog kuta čvrste površine (kontaktni kut) i pronašao kvantitativni odnos koji povezuje kontaktni kut s koeficijentima površinske napetosti odgovarajućih međufaznih granica. U ravnoteži se kontaktna crta ne bi trebala pomicati po površini krutog tijela, što znači, rekao je Hawksby, da je bio demonstrator u Kraljevskom društvu i da su njegovi eksperimenti utjecali na sadržaj vrlo podužeg eseja o primarnim česticama materije i sile između njih, s kojima je Newton dovršio objavljivanje svoje “Optike” 1717. godine. cm.

Gdje sSV,sSL,s LV koeficijenti površinske napetosti međufaznih granica: čvrsto - plin (para), čvrsto - tekućina, tekućina - plin, redom, q rubni kut. Taj je odnos danas poznat kao Youngova formula. Ovaj rad ipak nije imao isti utjecaj na razvoj znanosti u tom smjeru kao što je imao Laplaceov članak objavljen nekoliko mjeseci kasnije. Čini se da je to zbog činjenice da je Jung izbjegavao korištenje matematičke notacije i pokušavao sve opisati verbalno, zbog čega njegov rad djeluje zbunjujuće i nejasno. Ipak, danas se smatra jednim od utemeljitelja kvantitativne teorije kapilarnosti.

Fenomeni kohezije i adhezije, kondenzacija pare u tekućinu, vlaženje čvrstih tijela tekućinama i mnoga druga jednostavna svojstva materije – sve je to ukazivalo na prisutnost privlačnih sila mnogo puta jačih od gravitacije, ali koje djeluju samo na vrlo malim udaljenostima između molekule. Kao što je Laplace rekao, jedini uvjet nametnut tim silama koji proizlazi iz vidljivih pojava jest da su one "neprimjetne na vidljivim udaljenostima".

Odbojne sile stvorile su još više problema. Njihova se prisutnost nije mogla zanijekati - trebale bi uravnotežiti sile privlačenja i spriječiti potpuno uništenje materije, ali njihova je priroda bila potpuno nejasna. Pitanje su zakomplicirala sljedeća dva pogrešna mišljenja. Prvo, često se vjerovalo da je aktivna odbojna sila toplina (obično mišljenje pristaša kalorijske teorije), jer (to je bio argument) tekućina se pri zagrijavanju prvo širi, a zatim vrije, tako da se molekule razdvajaju na mnogo većim udaljenostima nego u čvrstom tijelu Druga zabluda proizašla je iz ideje, još od Newtona, da je opaženi tlak plina posljedica statičkog odbijanja između molekula, a ne njihovih sudara sa stijenkama spremnika, kako je uzalud tvrdio Daniel Bernoulli.

U tom kontekstu bilo je prirodno da su se prvi pokušaji objašnjenja kapilarnosti ili općenito kohezije tekućina temeljili na statičkim aspektima materije. Mehanika je bila dobro shvaćena teorijska grana znanosti; termodinamika i kinetička teorija bile su još u budućnosti. U mehaničkom razmatranju, ključna pretpostavka bila je pretpostavka o velikim, ali kratkodometnim privlačnim silama. Tekućine koje miruju (bilo u kapilarnoj cijevi ili izvan nje) očito su u ravnoteži, pa stoga te privlačne sile moraju biti uravnotežene odbojnim silama. Budući da se o njima moglo reći još manje nego o silama privlačenja, o njima se često šutjelo i, prema riječima Rayleigha, “silama privlačenja ostavljeno je da izvedu nepojmljivi trik balansiranja.” Laplace je prvi koji je na zadovoljavajući način riješio taj problem, vjerujući da se odbojne sile (toplinske, kako je priznao) mogu zamijeniti unutarnjim tlakom, koji djeluje posvuda u nestlačivom fluidu. (Ova pretpostavka s vremena na vrijeme dovodi do nesigurnosti u djelima iz 19. stoljeća o tome što se strogo podrazumijeva pod "tlakom u tekućini".) Dajmo Laplaceov izračun unutarnjeg tlaka. (Ovaj zaključak je bliži zaključcima Maxwella i Rayleigha. Zaključak je dan prema.)

Do 1819. bavio se detaljnom raspravom o intermolekularnim odbojnim silama, koje su, iako se još uvijek pripisivale toplini ili kalorijama, imale bitno svojstvo opadanja s udaljenošću brže od privlačnih sila.

Mora uravnotežiti kohezijske sile u tekućini, a Laplace je to poistovjetio sa silom po jedinici površine koja se opire podjeli beskonačnog fluidnog tijela u dva široko odvojena polu-beskonačna tijela omeđena ravnim površinama. Izvod u nastavku je bliži Maxwellovom i Rayleighovom nego Laplaceovom izvornom obliku, ali nema značajne razlike u argumentaciji.

Razmotrimo dva polubeskonačna tekuća tijela sa strogo ravnim površinama, odvojena slojem (debljinom l) par zanemarivo niske gustoće (slika 1), au svakom od njih odabiremo element volumena. Prvi je u gornjem dijelu tijela na visini r iznad ravne površine donjeg dijela tijela; volumen mu je jednak dxdydz. Drugi se nalazi u donjem dijelu tijela i ima volumen u kojem se ishodište polarnih koordinata podudara s položajem prvog elementarnog volumena. Neka f(s) je sila koja djeluje između dvije molekule odvojene udaljenošću s, A d- radijus njegovog djelovanja. Budući da je to uvijek privlačna sila, imamo

Ako r je gustoća broja molekula u oba tijela, tada je vertikalna komponenta sile međudjelovanja između dva volumenska elementa jednaka

Ukupna sila privlačenja po jedinici površine (pozitivna vrijednost) je

Neka u(s) je potencijal međumolekularne sile:

Opet integrirajući po dijelovima, dobivamo

Unutarnji Laplaceov pritisak K je sila privlačenja po jedinici površine između dviju ravnih površina kada dođu u dodir, tj. F(0):

gdje je element volumena, koji se može napisati kao . Jer u(r) prema pretpostavci je negativan ili jednak nuli posvuda, dakle K pozitivno. Laplace je u to vjerovao K velik je u usporedbi s atmosferskim tlakom, ali je prvu realnu numeričku procjenu napravio Young.

Gornji zaključak temelji se na implicitnoj pretpostavci da su molekule ravnomjerno raspoređene s gustoćom r, tj. tekućina nema vidljivu strukturu na skali veličine koja je razmjerna radijusu djelovanja sila d. Bez ove pretpostavke bilo bi nemoguće napisati izraze (2) i (3) u tako jednostavnom obliku, ali bi bilo potrebno saznati kako prisutnost molekule u prvom volumenskom elementu utječe na vjerojatnost prisutnosti molekula u drugom.

Napetost po jedinici duljine duž proizvoljne crte na površini tekućine mora biti jednaka (u odgovarajućem sustavu jedinica) radu utrošenom za stvaranje jedinice slobodne površine. To proizlazi iz pokusa istezanja tekućeg filma (slika 2).

Vrijednost ovog rada može se odmah dobiti iz izraza (6) za F(l). Ako uzmemo dva polubeskonačna tijela u dodiru i razdvojimo ih na udaljenost veću od radijusa djelovanja međumolekulskih sila, rad po jedinici površine odredit će se kao

(8)

Tijekom razdvajanja nastaju dvije slobodne površine, pa se utrošeni rad može izjednačiti s dvostrukom površinskom energijom po jedinici površine, koja je jednaka površinskoj napetosti:

(9)

Tako, K je integral međumolekularnog potencijala, ili njegov nulti moment, i H— njegov prvi trenutak. Dok K nedostupan izravnom eksperimentu, H možemo pronaći ako možemo izmjeriti površinsku napetost.

Neka je gustoća kohezijske energije u nekoj točki u tekućini ili plinu, tj. stav dU/dV Gdje d U— unutarnja energija malog volumena V tekućina ili plin koji sadrži ovu točku. Za molekularni model koji prihvaćamo

(10)

Gdje r— udaljenost od predmetne točke. Rayleigh je identificirao Laplaceov K s razlikom ovog potencijala od 2 između točke na ravnoj površini tekućine (vrijednost 2 S) i točku unutra (vrijednost 2 ja). Na površini, integracija u (10) ograničena je na hemisferu polumjera d, au unutarnjem području provodi se kroz cijelu sferu. Stoga, S postoji polovica ja, ili

(11)

Razmotrimo sada pad radijusa R. Kalkulacija f ja ne mijenja, ali po primitku f S integracija se sada provodi preko ograničenijeg volumena zbog zakrivljenosti površine. Ako je kut između vektora i fiksnog radijusa, tada

Tada je unutarnji tlak u kapi

Gdje H određena je jednadžbom (9). Ako ne uzmemo sferičnu kap, već dio tekućine s površinom određenom dvama glavnim polumjerima zakrivljenosti R 1 I R 2, onda bismo dobili unutarnji pritisak u obliku

(14)

Prema Eulerovom teoremu, zbroj je jednak zbroju inverznih polumjera zakrivljenosti plohe duž bilo koje dvije ortogonalne tangente.

Jer K I H pozitivno i R pozitivan za konveksnu površinu, onda iz (13) slijedi da je unutarnji tlak u kapi veći nego u tekućini s ravnom površinom. Naprotiv, unutarnji tlak u tekućini ograničenoj konkavnom sfernom površinom niži je nego u tekućini s ravnom površinom, jer R u ovom slučaju je negativan.

Ovi rezultati čine osnovu Laplaceove teorije kapilarnosti. Jednadžba za razliku tlaka (tlak tekućine unutar sferne kapi radijusa R) i (tlak plina izvana) sada se naziva Laplaceova jednadžba:

Dovoljne su tri ideje - površinska napetost, unutarnji tlak i kontaktni kut, kao i izrazi (1) i (15) da se svi problemi obične ravnotežne kapilarnosti riješe metodama klasične statike. Tako su nakon radova Laplacea i Younga postavljeni temelji kvantitativne teorije kapilarnosti.

Youngove rezultate kasnije je dobio Gauss koristeći varijacijsku metodu. Ali svi ti radovi (Younga, Laplacea i Gaussa) imali su jedan zajednički nedostatak, manu, da tako kažem. O ovom nedostatku će biti riječi kasnije.

Pri proračunu tlaka unutar zakrivljene površine tekućine uveden je Rayleighov potencijal 2 (10); Usput je također zabilježeno da ja je gustoća kohezivne energije. Ovaj korisni koncept prvi je uveo 1869. Dupre, koji ga je definirao kao rad drobljenja komada tvari u sastavne molekule (la travail de désagré gation totale - rad potpunog rastavljanja).

Sila prema unutra koja djeluje na molekulu u dubini r< d , suprotnog je predznaka vanjskoj sili koja bi proizašla iz molekula u osjenčanom volumenu da je jednoliko ispunjen gustoćom.

On navodi zaključak svog kolege F. J. D. Massiera kako slijedi. Sila koja djeluje na molekulu na površini prema volumenu tekućine suprotnog je predznaka od sile koja proizlazi iz osjenčanog volumena na slici. 3, budući da je unutar tekućine sila privlačenja iz sfernog volumena radijusa jednaka nuli zbog simetrije. Dakle, sila usmjerena prema unutra je

Ova sila je pozitivna jer f(0 < s < d) < 0 и F(d) = 0 zbog neparne funkcije f(s). Nikakva sila ne djeluje na molekulu osim ako je unutar udaljenosti d s jedne ili s druge strane površine. Stoga je rad obavljen za uklanjanje jedne molekule iz tekućine

jer u(r) je parna funkcija. Ovaj rad je jednak minus dvostrukoj energiji po molekuli potrebnoj za dezintegraciju tekućine ( udvostručen, da ne brojimo molekule dva puta: jednom prilikom uklanjanja, drugi put kao dio okoline):

(18)

Ovo je jednostavan i razumljiv izraz za unutarnju energiju U tekućina koja sadrži N molekule. Slijedi da je gustoća kohezijske energije dana izrazom (10), odn

što se podudara s (11), ako uklonimo indeks ja. I sam Dupre je zaobilaznim putem dobio isti rezultat. Brojao je dU/dV kroz rad protiv međumolekularnih sila tijekom jednolikog širenja kocke tekućine. Dalo mu je

Jer K ima oblik ((7) i (11)), gdje je konstanta a dano je izrazom

(21)

onda integracija (20) opet vodi do (19).

Rayleigh je kritizirao Dupreov zaključak. Smatrao je da je razmatranje rada jednolike ekspanzije iz stanja ravnoteže kohezivnih i odbojnih međumolekulskih sila kada se u obzir uzimaju samo kohezijske sile neutemeljeno; Prije takvog koraka treba bolje upoznati vrstu odbojnih sila.

Vidimo da je u ovom zaključku, kao iu zaključcima Younga, Laplacea i Gaussa, značajno korištena pretpostavka o nagloj promjeni gustoće broja molekula tvari na granici faza. Istovremeno, da bi navedeni argumenti opisali stvarne pojave u materiji, potrebno je pretpostaviti da je radijus djelovanja međumolekularnih sila u materiji mnogo veći od karakteristične udaljenosti između čestica. Ali pod ovom pretpostavkom, sučelje između dviju faza ne može biti oštro - mora nastati kontinuirani prijelazni profil gustoće, drugim riječima, prijelazna zona.

Pokušalo se generalizirati ove nalaze na kontinuirani prolazni profil. Konkretno, Poisson je, pokušavajući slijediti ovaj put, došao do pogrešnog zaključka da bi u prisutnosti prijelaznog profila površinska napetost trebala potpuno nestati. Maxwell je kasnije pokazao pogrešnost ovog zaključka.

Međutim, sama pretpostavka da je radijus djelovanja međumolekularnih sila u tvari puno veći od karakteristične udaljenosti između čestica ne odgovara eksperimentalnim podacima. U stvarnosti, te udaljenosti su istog reda. Stoga je mehaničko razmatranje u duhu Laplacea, modernim rječnikom rečeno, teorija srednjeg polja. Ista je Vander Waalsova teorija, koja ovdje nije opisana, a koja je dala poznatu jednadžbu stanja stvarnih plinova. U svim tim slučajevima točan izračun zahtijeva uzimanje u obzir korelacija između gustoća broja čestica u različitim točkama. To čini zadatak vrlo teškim.

3. Gibbsova teorija kapilarnosti

Kao što se često događa, termodinamički opis pokazuje se jednostavnijim i općenitijim, ne ograničavajući se nedostacima pojedinih modela.

Na taj je način Gibbs opisao kapilarnost 1878. godine, konstruirajući čisto termodinamičku teoriju. Ova je teorija postala sastavni dio Gibbsove termodinamike. Gibbsova teorija kapilarnosti, bez izravnog oslanjanja na bilo kakve mehanicističke modele, lišena je nedostataka Laplaceove teorije; s pravom se može smatrati prvom detaljnom termodinamičkom teorijom površinskih pojava.

Za Gibbsovu teoriju kapilarnosti možemo reći da je vrlo jednostavna i vrlo složena. Jednostavno jer je Gibbs uspio pronaći metodu koja nam omogućuje dobivanje najkompaktnijih i najelegantnijih termodinamičkih odnosa, jednako primjenjivih na ravne i zakrivljene površine. “Jedan od glavnih zadataka teorijskog istraživanja u bilo kojem području znanja,” napisao je Gibbs, “jest da se uspostavi ono gledište s kojeg se predmet proučavanja pojavljuje s najvećom jednostavnošću.” Ovo gledište u Gibbsovoj teoriji kapilarnosti je ideja o razdvajanju površina. Korištenje vizualne geometrijske slike razdjelne plohe i uvođenje redundantnih veličina omogućilo je što jednostavnije opisivanje svojstava ploha i zaobišlo pitanje strukture i debljine površinskog sloja, koje je kod nas bilo potpuno neistraženo. vrijeme Gibbsa i još uvijek ostaje daleko od potpuno razriješenog. Prekomjerne Gibbsove vrijednosti (adsorpcija i druge) ovise o položaju razdjelne površine, a potonje se također mogu pronaći iz razloga maksimalne jednostavnosti i praktičnosti.

Razumno je u svakom slučaju odabrati razdjelnu plohu tako da je posvuda okomita na gradijent gustoće. Ako su odabrane razdjelne površine, tada svaka faza ( l} (l = a, b, g) sada odgovara volumenu koji zauzima V{ l) . Puna glasnoća sustava

Neka bude gustoća broja molekula varijeteta j u [masovnoj] fazi ( l). Zatim ukupan broj molekula vrste j u sustavu koji se razmatra jednak je

gdje je površinski višak molekula tipa j(indeks ( s) znači površina - površina). Na sličan način određuju se i ekscesi drugih ekstenzivnih fizikalnih veličina. Očito, u slučaju, na primjer, ravnog filma, to je proporcionalno njegovoj površini A. Vrijednost definirana kao površinski višak u broju molekula neke vrste j po jedinici površine površine širenja naziva se adsorpcija molekula tipa j na ovoj površini.

Gibbs je koristio dva glavna položaja razdjelne površine: onaj u kojem je adsorpcija jedne od komponenti jednaka nuli (sada se ta površina naziva ekvimolekularna), i položaj za koji nestaje očita ovisnost površinske energije o zakrivljenosti površine. (ovaj položaj Gibbs je nazvao vlačna površina). Gibbs je koristio ekvimolekularnu površinu za razmatranje ravnih tekućih površina (i površina čvrstih tijela), a napetostnu površinu za razmatranje zakrivljenih površina. Za obje pozicije smanjen je broj varijabli i postignuta maksimalna matematička jednostavnost.

Sada o složenosti Gibbsove teorije. Iako je matematički vrlo jednostavan, ipak ga je teško razumjeti; To se događa iz nekoliko razloga. Prvo, Gibbsova teorija kapilarnosti ne može se razumjeti izolirano od cjelokupne Gibbsove termodinamike, koja se temelji na vrlo općenitoj, deduktivnoj metodi. Velika općenitost teorije uvijek joj daje neku apstraktnost, što, naravno, utječe na lakoću percepcije. Drugo, sama Gibbsova teorija kapilarnosti je opsežan, ali uvjetan sustav koji zahtijeva jedinstvo percepcije bez apstrakcije od svojih pojedinačnih odredbi. Amaterski pristup proučavanju Gibbsa jednostavno je nemoguć. Naposljetku, bitna je okolnost da su sva spomenuta Gibbsova djela napisana vrlo jezgrovito i vrlo teškim jezikom. Ovo je djelo, prema Rayleighu, “previše sažeto i teško ne samo za većinu, nego, moglo bi se reći, za sve čitatelje”. Prema Guggenheimu, "mnogo je lakše koristiti Gibbsove formule nego ih razumjeti".

Naravno, korištenje Gibbsovih formula bez njihovog istinskog razumijevanja dovelo je do brojnih pogrešaka u tumačenju i primjeni pojedinih odredbi Gibbsove teorije kapilarnosti. Mnoge pogreške bile su povezane s nerazumijevanjem potrebe jednoznačnog određivanja položaja razdjelne površine kako bi se dobio točan fizikalni rezultat. Pogreške ove vrste često su se susretale pri analizi ovisnosti površinske napetosti o zakrivljenosti površine; Ni jedan od “stupova” teorije kapilarnosti, Bakker, nije ih zaobišao. Primjer druge vrste pogreške je netočna interpretacija kemijskih potencijala kada se razmatraju površinski fenomeni i vanjska polja.

Već ubrzo nakon objave Gibbsove teorije kapilarnosti izražene su želje za njezinim potpunijim i detaljnijim objašnjenjem u znanstvenoj literaturi. U gore citiranom pismu Gibbsu, Rayleigh je predložio da Gibbs sam preuzme ovaj posao. No, to je učinjeno znatno kasnije: Rice je pripremio komentar cijele Gibbsove teorije, a neke od njezinih odredbi komentirali su u svojim radovima Frumkin, Defay, Rehbinder, Guggenheim, Tolman, Buff, Semenčenko i drugi istraživači. Mnoge odredbe Gibbsove teorije postale su jasnije, a pronađene su jednostavnije i učinkovitije logičke tehnike za njihovo opravdanje.

Tipičan primjer je impresivan Kondov rad, koji je predložio vizualnu i lako razumljivu metodu za uvođenje napetostne površine mentalnim pomicanjem razdjelne površine. Ako napišemo izraz za energiju ravnotežnog dvofaznog sustava a - b (a- unutarnje i b- vanjska faza) sa sfernom plohom loma

U = T.S. - P a V a- P b V b+ sA +(22)

a mi ćemo mentalno promijeniti položaj razdjelne plohe tj. promijeniti njegov radijus r, zatim, očito, takve fizičke karakteristike kao energija U, temperatura T, entropija S, pritisak R, kemijski potencijal ja th komponenta m ja i njegova masa m i, kao i puni volumen sustava V a + V b ostaje nepromijenjen. Što se tiče volumena V a = 4 /3pr 3 i područja A = 4pr 2 i površinsku napetost s, tada će te količine ovisiti o položaju razdjelne površine i stoga za navedeni mentalni proces promjene r dobivamo iz (22)

- P a dVa+ Pb dVb + sdA + Oglass = 0 (23)

(24)

Jednadžba (24) određuje nefizikalnu (ova je okolnost označena zvjezdicom) ovisnost površinske napetosti o položaju razdjelne plohe. Ovu ovisnost karakterizira jedan minimum s, što odgovara vlačnoj površini. Dakle, prema Kondu, vlačna ploha je razdjelna ploha za koju površinska napetost ima minimalnu vrijednost.

Gibbs je uveo vlačnu plohu na drugačiji način. Polazio je od osnovne jednadžbe teorije kapilarnosti

(gornja traka znači višak za proizvoljnu razdjelnu plohu s glavnim zakrivljenjima S 1 i C 2) i smatra fizički (a ne čisto mentalni) proces zakrivljenosti površine na danom položaju i fiksnim vanjskim uvjetima.

Prema Gibbsu, vlačna ploha odgovara položaju razdjelne plohe u kojem zakrivljenost površinskog sloja, uz konstantne vanjske parametre, ne utječe na površinsku energiju te također odgovara uvjetu:

¶ s/¶ r =0 (26)

Guggenheim komentira Gibbsov dokaz: "Gibbsovu raspravu smatrao sam teškom i što sam je pažljivije proučavao, to mi se činila nejasnijom." Ovo priznanje ukazuje da je razumijevanje Gibbsove površine napetosti bilo teško čak i za termodinamičare.

Što se tiče Kondinog pristupa, on je jasan na prvi pogled. Međutim, potrebno je osigurati da su Gibbsove i Kondo vlačne površine odgovarajuće. To se može pokazati, na primjer, korištenjem hidrostatskog određivanja površinske napetosti

Young je spomenuo prisutnost gradijenta gustoće u sloju konačne debljine, ali je odbacio ovaj učinak, smatrajući ga beznačajnim.

Pt— lokalna vrijednost tangencijalne komponente tenzora tlaka;

r"— radijalna koordinata; radijusi R a I Rb ograničiti površinski sloj.

Diferencijacija (27) uz mentalno kretanje razdjelne plohe i stalnost agregatnog stanja (Kondo pristup) dovodi do jednadžbe (24). Diferencijacija sa zakrivljenošću površinskog sloja i konstantnošću agregatnog stanja (Gibbsov pristup, u ovom slučaju R a I Rb varijable) daje

(28)

pri čemu se uzima u obzir da P t(P a) = P a I P t(P b) = P b.

Iz jednadžbi (28) i (24) jasno je da je uvjet (26) ekvivalentan uvjetu ( d s/ dr) * = 0 i stoga je jednostavniji i intuitivniji Kondo pristup adekvatan Gibbsovom pristupu.

Uvođenje pojma razdjelne plohe omogućilo je matematički striktno definiranje dotad čisto intuitivnog pojma fazne granice i stoga korištenje točno definiranih veličina u jednadžbama. U principu, Gibbsova površinska termodinamika opisuje vrlo širok raspon fenomena, te je stoga (osim realizacija, preformulacija, elegantnijih izvoda i dokaza) vrlo malo novog učinjeno u ovom području od njezinih početaka. No, ipak se moraju spomenuti neki rezultati, uglavnom vezani uz pitanja koja Gibbs nije obradio.

Teorije Junga i Laplacea.

gdje su sSV, sSL, sLV koeficijenti površinske napetosti međufaznih granica: čvrsto - plin (para), čvrsto - tekućina, tekućina - plin, odnosno, q - kontaktni kut. Taj je odnos danas poznat kao Youngova formula. Ovaj rad ipak nije imao isti utjecaj na razvoj znanosti u tom smjeru kao što je imao Laplaceov članak objavljen nekoliko mjeseci kasnije. Čini se da je to zbog činjenice da je Jung izbjegavao korištenje matematičke notacije i pokušavao sve opisati verbalno, zbog čega je njegov rad djelovao zbunjujuće i nejasno. Ipak, danas se smatra jednim od utemeljitelja kvantitativne teorije kapilarnosti.

Fenomeni kohezije i adhezije, kondenzacija pare u tekućinu, vlaženje čvrstih tijela tekućinama i mnoga druga jednostavna svojstva materije – sve je to ukazivalo na prisutnost privlačnih sila mnogo puta jačih od gravitacije, ali koje djeluju samo na vrlo malim udaljenostima. između molekula. Kao što je Laplace rekao, jedini uvjet nametnut tim silama koji proizlazi iz vidljivih pojava jest da su one "neprimjetne na vidljivim udaljenostima".

Odbojne sile stvorile su još više problema. Njihova se prisutnost nije mogla zanijekati - one moraju uravnotežiti sile privlačenja i spriječiti potpuno uništenje materije, ali njihova je priroda bila potpuno nejasna. Pitanje su zakomplicirala sljedeća dva pogrešna mišljenja. Prvo, često se vjerovalo da je aktivna odbojna sila toplina (obično mišljenje pristaša kalorijske teorije), jer (to je bio argument) tekućina se pri zagrijavanju prvo širi, a zatim vrije, tako da se molekule razdvajaju na mnogo većim udaljenostima nego u čvrstom tijelu Druga zabluda proizašla je iz ideje, još od Newtona, da je opaženi tlak plina posljedica statičkog odbijanja između molekula, a ne njihovih sudara sa stijenkama spremnika, kako je uzalud tvrdio Daniel Bernoulli.

Promotrimo dva polubeskonačna tekuća tijela sa strogo ravnim površinama, odvojena slojem (debljine l) pare zanemarive gustoće (slika 1), iu svakom od njih izaberemo element volumena. Prvi se nalazi u gornjem dijelu tijela na visini r iznad ravne površine donjeg dijela tijela; njegov volumen je jednak dxdydz. Drugi se nalazi u donjem dijelu tijela i ima volumen , gdje se ishodište polarnih koordinata podudara s položajem prvog elementarnog volumena. Neka je f(s) sila koja djeluje između dvije molekule razdvojene udaljenošću s, a d polumjer njezina djelovanja. Budući da je to uvijek privlačna sila, imamo

Ako je r gustoća broja molekula u oba tijela, tada je vertikalna komponenta sile međudjelovanja između dva volumenska elementa jednaka

Gornji zaključak temelji se na implicitnoj pretpostavci da su molekule jednoliko raspoređene s gustoćom r, tj. tekućina nema vidljivu strukturu na skali veličine koja je razmjerna polumjeru djelovanja sila d. Bez ove pretpostavke bilo bi nemoguće napisati izraze (2) i (3) u tako jednostavnom obliku, ali bi bilo potrebno saznati kako prisutnost molekule u prvom volumenskom elementu utječe na vjerojatnost prisutnosti molekula u drugom.

IZDAVLJANJE KONTURE KAPLJICE TEKUĆINE U PROBLEMU ODREĐIVANJA POVRŠINSKE NAPOTNOSTI

Mizotin M.M. 1, Krylov A.S. 1, Protsenko P.V. 2

1 Moskovsko državno sveučilište nazvano po M.V. Lomonosov, Fakultet računalne matematike i matematike

2 Moskovsko državno sveučilište nazvano po M.V. Lomonosov, Kemijski fakultet

Uvod

Površinska napetost jedno je od najvažnijih svojstava tekućina, a njezino točno mjerenje neophodno je za proučavanje raznih pojava i razvoj tehnoloških procesa. Postoji više načina za mjerenje površinske napetosti, no među svima njima izdvajamo metodu sjedenja ili visećeg pada. Glavne prednosti metode su njezin vrlo širok raspon primjena - od lakih fluidnih tekućina do tekućih metala, te relativna jednostavnost eksperimentalne postavke u usporedbi s drugim metodama. Štoviše, zbog razvoja digitalnog računalstva i fotografske tehnologije, postalo je moguće izvršiti analizu gotovo trenutno.

Suština metode je sljedeća: kap se postavlja na vodoravnu podlogu (metoda ležeće kapi) ili objesi na kapilarnu cjevčicu (metoda viseće kapi) i zatim se proučava njezina profilna fotografija. Mjerenje geometrijskih parametara ravnotežne kapi, čiji je oblik određen odnosom između gustoće i površinske napetosti tekućine, omogućuje vraćanje željene površinske napetosti. Dijagram instalacije prikazan je na sl. 1.

Riža. 1. 1 – izvor svjetlosti (lampa ili ogledalo mikroskopa), 2 – kap na podlozi,

3 – mikroskop s digitalnom kamerom.

Unatoč prilično dobro razvijenoj eksperimentalnoj tehnici, još uvijek je potrebna posebna skupa instalacija za snimanje pada. Ovaj rad predlaže algoritam za eksperimentalni postav napravljen od široko dostupnih komponenti. Nedostaci instalacije u usporedbi s laboratorijskom opremom nadoknađeni su predloženim metodama obrade slike.

Metoda sesilnog pada

Osnovna jednadžba metode sjedećih kapljica, Young-Laplaceova jednadžba, opisuje površinu kapi s rotacijskom simetrijom na horizontalnoj podlozi. Za rješavanje ovog problema predložena je učinkovita tehnika koja je naknadno poboljšana i dopunjena.

Ova se tehnika temelji na numeričkoj diferencijaciji Young-Laplaceove jednadžbe. Kako bi se razlikovala Young-Laplaceova jednadžba, uvodi se parametrizacija krivulje
, Gdje t– duljina luka krivulje od vrha kapi (slika 2).

Riža. 2. Parametriranje konture kapi.

Ovo parametriranje zadovoljava uvjet
, i vodi do sustava jednadžbi

(1)

s početnim uvjetima
,
,
,
i dodatni uvjet
. U razvijenom programskom paketu Cauchyjev problem (1) rješava se Runge-Kutta metodom četvrtog reda točnosti.

Za vraćanje parametara sesilne kapi potrebno je riješiti inverzni problem određivanja kapilarne konstante
, koordinate vrha kapi
i njegov radijus zakrivljenosti u funkciji polumjera horizontalnog presjeka kapljice od visine iznad podloge. Ova funkcija se mjeri s greškom i, u nekim slučajevima, dostupna su mjerenja samo dijela konture pada. Prilikom rješavanja ovog inverznog problema pogreška (2) je minimizirana

između eksperimentalnih točaka
a krivulja dobivena kao rezultat numeričkog rješenja problema (2). Razlika između eksperimentalnih točaka i krivulje definirana je kao korijen zbroja kvadrata udaljenosti od svake eksperimentalne točke do krivulje.

U tom smislu, pojavljuje se sljedeći zadatak obrade slike: automatsko dobivanje obrisa kapi, što je komplicirano prisutnošću prašine i krhotina na slikama (što je povezano s upotrebom konvencionalne kamere u "domaćim" uvjetima), kao i promjenjivi uvjeti osvjetljenja.

Funkcija pogreške

Jedan od glavnih dijelova metode je izračun funkcije pogreške (2). Izračunajte udaljenost između točke i krivulje (3)

u ovom slučaju to je vrlo radno intenzivno, jer nama nepoznati, a potrebno ih je pronaći i numerički metodom jednodimenzionalne pretrage.

Za učinkovito izračunavanje funkcije pogreške predlaže se sljedeći algoritam. Najprije je potrebno sortirati sve eksperimentalne točke tako da se s povećanjem broja točaka ja porastao je i odgovarajući parametar. Zatim, kada tražite parametar za svaku sljedeću točku, možete koristiti vrijednost parametra kao početnu aproksimaciju , a za prvu točku početna će aproksimacija biti
. Za više informacija o crtanju obrisa kapi, pogledajte dolje.

Drugo, izračun funkcije pogreške može se provesti izravno tijekom procesa integriranja sustava (1) koristeći Runge-Kutta metodu. Zapravo, u svakoj iteraciji dostupne su nam vrijednosti, a najmanju udaljenost od točke možemo pronaći rješavanjem jednadžbe (4)

Newtonova metoda. To jest, kada numerički integrirate sustav (1), trebate pratiti vrijednost funkcije (4) za svaku sljedeću točku i zapamtiti vrijednosti najmanjih pogrešaka, ako je potrebno, smanjujući korak za kako bi se povećala točnost rezultata.

Odabir obrisa kapi

Kao što je gore spomenuto, za učinkovito izračunavanje pogreške pomoću formule (4), potrebno je izdvojiti konturu kapi sa slike na takav način da s povećanjem broja točaka ja porastao je i odgovarajući parametar. Ova se operacija provodi u 2 stupnja: izravan odabir rubova pomoću detektora Canny i odabir povezanih sekvencijalnih skupova točaka iz dobivene binarne mape rubova.

Sljedeći algoritam razvijen je za praćenje rubova. Prvo je potrebno izvršiti operaciju stanjivanja rubova, budući da Canny detektor ne jamči da će svi rezultirajući rubovi biti debljine 1 piksela (ova situacija se uglavnom događa na spojevima), a takav uvjet je neophodan za daljnju obradu. Operacija stanjivanja rubova može se izvesti pomoću jedne od poznatih tehnika stanjivanja rubova. U ovom radu korišten je algoritam.

Daljnja obrada temelji se na analizi susjedstva piksela 3x3 oko dotičnog piksela. Na sl. 3 vrijednosti piksela u susjedstvu predstavljene su varijablama , uzimajući vrijednost 0 ili 1.

Riža. 3. 3x3 susjedstvo oko dotičnog piksela ,
.

Opća shema algoritma za identifikaciju povezanih nizova točaka:

Ako
I
, tada središnji piksel sadrži sjecište kontura.

Ako
i , tada se kraj konture nalazi u središnjem pikselu.

U isto vrijeme, provjera ovih uvjeta može se izvršiti brzo i učinkovito pomoću tablica pretraživanja, budući da su ukupne moguće ulazne vrijednosti 512 = 2 9 .

Počnite od jednog od pronađenih krajeva kontura.

Dodajte trenutni piksel na popis konturnih piksela pod trenutnim brojem i označite trenutni piksel na karti rubova brojem trenutne konture.

Pronađite piksel s vrijednošću 1 među susjedima trenutnog piksela.

Ako pronađeni susjed nije kraj konture ili sjecište i još nije označen nikakvim brojevima na rubnoj karti, tada pomaknite trenutni piksel na poziciju pronađenog susjeda i idite na korak 3. U suprotnom, dovršite ispunjavanje trenutnu konturu i prijeđite na sljedeću (korak 2).

Zaključak

Eksperimentalna istraživanja sustava parafinsko ulje/dekan u različitim koncentracijama pomoću predloženog algoritma pokazala su učinkovitost predloženog pristupa.

Rad je proveden uz potporu Saveznog ciljanog programa „Znanstveni i znanstveno-pedagoški kadrovi inovativne Rusije” za 2009.–2013.

Književnost

Maze C., Burnet G. Metoda nelinearne regresije za izračunavanje površinske napetosti i kontaktnog kuta iz oblika sjedne kapi // Surfati. Sci. 1969. V. 13. S. 451.

Krylov A. S., Vvedensky A. V., Katsnelson A. M., Tugovikov A. E.. Programski paket za određivanje površinske napetosti tekućih metala // J. Ne-Krist.Krutine. 1993. V. 156-158. Str. 845.

O. I. del Río i A. W. Neumann. Osnosimetrična analiza oblika kapi: Računalne metode za mjerenje svojstava međupovršine iz oblika i dimenzija visećih i sjedećih kapi // Journal of Colloid and Interface Science, svezak 196, broj 2, 15. prosinca 1997., stranice 136-147.

M. Hoorfar i A. W. Neumann. Nedavni napredak u analizi osnosimetričnog oblika kapi // Napredak znanosti o koloidima i sučelju, svezak 121, izdanja 1-3, 13. rujna 2006., stranice 25-49.

Canny, J., Računalni pristup detekciji rubova // IEEE Trans. Analiza uzoraka i strojna inteligencija, 8(6):679–698, 1986

Lam L., Lee S.-W., Suen C.Y. Metodologije razrjeđivanja - Opsežna anketa // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence arhiva, svezak 14, broj 9, rujan 1992.

Z. Guo i R. W. Hall, “Paralelno stanjivanje s algoritmima s dvije subiteracije,” Comm. ACM, sv. 32, br. 3, str. 359-373, 1989.

DETEKCIJA RUBA KAPLJICE ZA ODREĐIVANJE POVRŠINSKE NAPETOSTI

Mizotin M. 1, Krilov A. 1, Procenko P. 2

1 Moskovsko državno sveučilište Lomonosov, Fakultet računalne matematike i kibernetike, Laboratorij matematičkih metoda obrade slike,

2 Moskovsko državno sveučilište Lomonosov, Odjel za kemiju

Površinska napetost jedno je od ključnih svojstava tekućine, stoga je njeno mjerenje ključno za proučavanje raznih pojava poput vlaženja i razvoja tehnoloških procesa. Tu su tehnike sesile i pendant drop jedne od najčešće korištenih zbog svoje univerzalnosti i jednostavnosti postupka mjerenja.

Metoda se temelji na proučavanju osnosimetričnog profila pada. Ravnoteža gravitacijske sile i površinske napetosti oblikuje poseban oblik profila, tako da se površinska napetost može izračunati rješenjem inverznog problema za Young-Laplaceovu jednadžbu.

U ovom radu prikazana je metoda ekstrakcije konture kapljice za određivanje površinske napetosti. Ključna razlika predložene metode je njezina orijentacija na jeftinu eksperimentalnu postavu koja koristi široko dostupne komponente kao što su standardni mikroskop, digitalna kamera i držač supstrata. Predložene tehnike obrade slike omogućuju izbjegavanje većine problema koji se odnose na lošiju kvalitetu slika kapi dobivenih jeftinim postavkama uz zadržavanje točnosti mjerenja.

Rad je podržan ciljanim federalnim programom „Znanstveni i znanstveno-pedagoški kadrovi inovativne Rusije 2009.-2013.“.



PRIMJENA METODE MORFOLOŠKIH AMEBA ZA IZOLACIJU
SŽILE NA SNIMKAMA FUNDUSA

Nasonov A.V. 1, Chernomorets A.A. 1, Krylov A.S. 1, Rodin A.S. 2

Moskovsko državno sveučilište nazvano po M.V. Lomonosov,

1 Fakultet računalne matematike i kibernetike, Laboratorij za matematičke metode obrade slike /
2 Fakultet fundamentalne medicine, Katedra za oftalmologiju

U radu je razvijen algoritam za identifikaciju žila na slikama fundusa, temeljen na korištenju metode morfoloških ameba. Razmatra se primjena algoritma na problem produljenja žila iz skupa točaka za koje se zna da su točke žila.

1. Uvod

Fotografije fundusa koriste se za dijagnosticiranje bolesti mrežnice. Segmentacija i procjena karakterističnih veličina krvnih žila retinalnog cirkulacijskog sustava od velikog su interesa u dijagnostici i liječenju mnogih očnih bolesti.

Identifikacija žila na slikama mrežnice prilično je težak zadatak u obradi slike zbog visoke razine šuma, neravnomjernog osvjetljenja i prisutnosti objekata sličnih žilama. Među metodama za otkrivanje krvnih žila na slikama fundusa mogu se razlikovati sljedeće klase:

Klasa metoda koje koriste konvoluciju slike s dvodimenzionalnim usmjerenim filtrom i naknadnu detekciju vrhova odgovora. Kako bi se segmentirala vaskularna mreža, predlaže se dvodimenzionalni linearni filtar, čiji je profil Gaussov. Prednost ovog pristupa je stabilna identifikacija ravnih dijelova posuda i izračun njihove širine. Međutim, metoda ne detektira dobro tanke i zakrivljene žile, mogući su lažni alarmi za objekte koji nisu žile, na primjer eksudati.

Metode koje koriste detekciju grebena. Pronalaze se primitivi - kratki segmenti koji leže u sredini linija, zatim se pomoću metoda strojnog učenja odabiru primitivi koji odgovaraju žilama duž kojih se vaskularno stablo obnavlja.

Metode koje koriste praćenje krvnih žila, što uključuje i spojne žile na par točaka i kontinuirane žile. Prednosti ovog pristupa uključuju visoku točnost rada na tankim žilama i restauraciju puknutih žila. Nedostatak je poteškoća u obradi grananja i križanja posuda.

Klasifikacija piksel po piksel temeljena na primjeni metoda strojnog učenja. Ovdje se za svaki piksel konstruira vektor obilježja na temelju kojeg se utvrđuje je li piksel dio žile ili ne. Za obuku metode koriste se slike fundusa s plovilima koje je na njemu označio stručnjak. Nedostaci metode uključuju veliko odstupanje u mišljenjima stručnjaka.

U ovom radu za identifikaciju žila koristi se metoda morfoloških ameba - morfološka metoda u kojoj se za svaki piksel adaptivno odabire strukturni element.

2. Morfološke amebe

Koristimo metodu morfološke amebe opisanu u , s modificiranom funkcijom udaljenosti.

Razmotrite sliku u sivim tonovima
. Zamislimo to u obliku grafa u kojem je svaki piksel povezan s osam susjednih piksela bridovima s nekim zadanim težinama (“cijenom”). Zatim za svaki piksel
možete pronaći skup svih točaka
, za koje je trošak puta od do
ne prelazi t. Rezultirajući skup će biti strukturni element za piksel.

Koristimo sljedeću funkciju udaljenosti piksela i
:

Multiplikator
postavlja nisku cijenu za kretanje u tamnim područjima i visoku cijenu za svijetla, čime se sprječava širenje amebe na točke izvan posude, a pojam kažnjava kretanje između piksela s vrlo različitim intenzitetima. Parametar precizira značaj kazne za ovu tranziciju.

Primjer nalaza ameba u
prikazano na sl. 1.

Riža. 1. Primjeri oblika morfoloških ameba. S lijeve strane je izvorna slika s označenim točkama na kojima se izračunavaju amebe, s desne strane - pronađeni strukturni elementi označeni su bijelom bojom.

3. Identifikacija žila pomoću morfoloških ameba

Za praćenje krvnih žila cirkulacijskog sustava na slikama fundusa razvijen je algoritam koji se sastoji od sljedećih koraka:

4. Rezultati

Primjer rada algoritma prikazan je na sl. 2.

Riža. 2. Rezultat identifikacije žila pomoću morfoloških ameba. Lijevo je slika fundusa (zeleni kanal), u sredini su točke koje su očito točke žila iz kojih će se graditi amebe, desno je rezultat identifikacije žila predloženom metodom.

Zaključak

Razmatra se primjena metode morfoloških ameba za identifikaciju krvnih žila na slikama fundusa.

Razvijeni algoritam planira se koristiti u automatiziranom sustavu za otkrivanje bolesti mrežnice.

Rad je podržan od strane Saveznog ciljanog programa „Znanstveno i znanstveno-pedagoško osoblje inovativne Rusije” za 2009. – 2013. i stipendije Ruske zaklade za temeljna istraživanja 10-01-00535-a.

Književnost

S. Chaudhuri, S. Chatterjee, N. Katz, M. Nelson, M. Goldbaum. Detekcija krvnih žila u slikama mrežnice korištenjem dvodimenzionalnih usklađenih filtara // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 8, br. 3, 1989, str. 263–269 (prikaz, stručni).

J. Staal, M. D. Abramoff, M. Niemeijer, M. A. Viergever, B. Ginneken. Ridge-Based Vessel Segmentation in Ridge-Based Vessel Segmentation in Color Images of the Retina // IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 23, br. 4, 2004., str. 504–509 (prikaz, stručni).

M.Patasius, V.Marozas, D.Jegelevieius, A.Lukosevieius. Rekurzivni algoritam za detekciju krvnih žila na slikama očnog fundusa: preliminarni rezultati // IFMBE Proceedings, Vol. 25/11, 2009, str. 212–215 (prikaz, stručni).

J. Soares, J. Leandro, R. Cesar Jr., H. Jelinek, M. Cree. Segmentacija retinalnih žila korištenjem 2-D Gabor Waveleta i nadzirane klasifikacije // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 25, br. 9, 2006., str. 1214–1222 (prikaz, stručni).

PRIMJENA METODE MORFOLOŠKIH AMOEAZA DETEKCIJU KRVNIH ŽILA NA SLIKAMA OČNOG FUNDUSA

Nasonov A. 1, Chernomorets A. 1, Krylov A. 1, Rodin A. 2

Moskovsko državno sveučilište Lomonosov,
1 Fakultet računalne matematike i kibernetike, Laboratorij za matematičke metode obrade slike, /
2 Fakultet fundamentalne medicine, Katedra za oftalmologiju

Razvijen je algoritam detekcije krvnih žila na slikama očnog dna. Segmentacija i analiza krvnih žila na slikama očnog fundusa daje najvažnije podatke za dijagnosticiranje bolesti mrežnice.

Detekcija krvnih žila na slikama očnog dna je izazovan problem. Slike su oštećene neravnomjernim osvjetljenjem i šumom. Također se neki objekti mogu netočno detektirati kao krvne žile.

Predloženi algoritam temelji se na metodi morfoloških ameba. Morfološka ameba za dati piksel je skup piksela s minimalnom udaljenosti do danog piksela manjom od praga t. Koristimo zbroj prosječne vrijednosti intenziteta pomnožene s euklidskom udaljenošću i apsolutnom vrijednošću razlike između vrijednosti intenziteta piksela za udaljenost. U tom će slučaju udaljenost biti mala za krvne žile koje su obično tamne i velika za svijetla područja i rubove, a ameba će se proširiti duž žile, ali ne i kroz stijenke žile.

Predloženi algoritam detekcije krvnih žila sastoji se od sljedećih koraka:

Izdvojite zeleni kanal kao najinformativniji i izvršite korekciju osvjetljenja metodom. Omogućuje korištenje jedinstvenih parametara ameba za različite slike.

Pronađite skup piksela ( str n) na dobivenoj slici koji su sigurno pikseli krvnih žila

Izračunaj amebu A(str ja) za svaki piksel primijenite filtriranje ranga na masku amebe s prozorom 3x3: uklonite piksele s maske koji imaju manje od 3 susjedna piksela u maski. Preostali pikseli označeni su kao pikseli krvnih žila.

Ako trebamo proširiti krvne žile, treći korak se ponavlja za sve novo dodane piksele u područje krvnih žila.

Planiramo koristiti razvijeni algoritam u automatskom sustavu detekcije bolesti mrežnice.

Rad je podržan ciljanim federalnim programom „Znanstveno i znanstveno-pedagoško osoblje inovativne Rusije u 2009.-2013.“ i grantom RFBR-a 10-01-00535-a.

Književnost

R. J. Winder, P. J. Morrow, I. N. McRitchie, J. R. Bailie, P. M. Hart. Algoritmi za obradu digitalne slike u dijabetičkoj retinopatiji // Computerized Medical Imaging and Graphics, Vol. 33, 2009., 608–622.

M. Welk, M. Breub, O. Vogel. Diferencijalne jednadžbe za morfološke amebe // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 5720/2009, 2009., str. 104–114 (prikaz, stručni).

G. D. Joshi, J. Sivaswamy. Poboljšanje slike mrežnice u boji na temelju poznavanja domene // Sixth Indian Conference on Computer Vision, Graphics and Image Processing (ICVGIP"08), 2008., str. 591–598.

slike Korištenje metode tomografije u rukopisu ... prisutnost impulsnog šuma karakterističnog za

U metodi sesilne kapi, tekućina poznate površinske napetosti stavlja se na čvrstu površinu pomoću šprice. Promjer kapljice treba biti od 2 do 5 mm; ovo osigurava da kontaktni kut ne ovisi o promjeru. Kod vrlo malih kapljica velik će biti utjecaj površinske napetosti same tekućine (nastaju kuglaste kapljice), a kod velikih kapljica počinju dominirati gravitacijske sile.

U metodi sesilne kapi mjeri se kut između čvrste površine i tekućine na mjestu dodira triju faza. Omjer sila međupovršinske i površinske napetosti na mjestu kontakta triju faza može se opisati Youngovom jednadžbom na temelju koje se može odrediti kontaktni kut:

Poseban slučaj je metoda "zarobljenog mjehurića": kontaktni kut se mjeri ispod površine u tekućini.

U početku su se mjerenja vršila pomoću goniometra (ručni uređaj za mjerenje kontaktnog kuta) ili mikroskopa. Suvremene tehnologije omogućuju snimanje slike kapi i dobivanje svih potrebnih podataka pomoću programa.

Statički kontaktni kut

Kod statičke metode, veličina kapljice se ne mijenja tijekom mjerenja, ali to ne znači da kontaktni kut uvijek ostaje konstantan. Naprotiv, utjecaj vanjskih čimbenika može dovesti do promjene kontaktnog kuta tijekom vremena. Uslijed taloženja, isparavanja i sličnih kemijskih ili fizičkih interakcija kontaktni kut će se spontano mijenjati tijekom vremena.

S jedne strane, statički kontaktni kut ne može apsolutno procijeniti slobodnu energiju čvrste površine, as druge strane, omogućuje karakterizaciju vremenske ovisnosti procesa kao što su sušenje boje, nanošenje ljepila, apsorpcija i adsorpcija tekućina na papir.

Promjene svojstava tijekom vremena (širenje kapi) često ometaju istraživanje. Mrlja ili ogrebotina na uzorku također može djelovati kao izvor pogreške; svaka nejednolika površina imat će negativan učinak na točnost mjerenja, koja se može minimizirati dinamičkim metodama.

Dinamički kontaktni kut

Prilikom mjerenja dinamičkog kontaktnog kuta, igla štrcaljke ostaje u kapi i njezin se volumen mijenja konstantnom brzinom. Dinamički kontaktni kut opisuje procese na granici čvrsto/tekuće tijekom povećanja volumena kapljice (kut protoka) ili kada se kapljica smanjuje (kut protoka), tj. tijekom vlaženja i sušenja. Granica se ne formira trenutno; potrebno je vrijeme da se postigne dinamička ravnoteža. Iz prakse se preporučuje postavljanje protoka tekućine na 5 - 15 ml/min; veće brzine protoka samo će simulirati dinamičke metode. Za visoko viskozne tekućine (npr. glicerin), brzina stvaranja kapljica imat će različite granice.

Kut curenja. Prilikom mjerenja kuta protoka, igla šprice ostaje u kapi tijekom cijelog eksperimenta. Prvo se na površini formira kapljica promjera 3-5 mm (kod igle promjera 0,5 mm, koju koristi KRUSS), a zatim se širi po površini.
U početnom trenutku kontaktni kut ne ovisi o veličini kapljice, jer jake sile prianjanja s iglom. Pri određenoj veličini kapljice kontaktni kut postaje konstantan i u tom trenutku treba izvršiti mjerenja.
Ova vrsta mjerenja ima najveću ponovljivost. Kutovi nagiba obično se mjere za određivanje slobodne energije površine.

Tekući kut. Pri mjerenju kuta istjecanja veličina kapljice se smanjuje jer površina se suši: velika kapljica (približno 6 mm u promjeru) se stavi na površinu i zatim se polako smanji usisavanjem kroz iglu.
Na temelju razlike ulaznog i izlaznog kuta možemo zaključiti o hrapavosti površine ili njezinoj kemijskoj heterogenosti. Kut istjecanja NIJE prikladan za izračun SEP.

Metode za ocjenu oblika sjedne kapi

Young-Laplaceova metoda. Najzahtjevnija, ali i najtočnija metoda za izračunavanje kontaktnog kuta. U ovoj metodi, prilikom konstruiranja konture kapi, korekcije se uzimaju u obzir zbog činjenice da ne samo međufazne interakcije uništavaju oblik kapi, već i vlastita težina tekućine. Ovaj model pretpostavlja da je oblik kapljice simetričan, pa se ne može koristiti za dinamičke kontaktne kutove. Za nadolazeći pad kontaktni kut također se može odrediti samo do 30°.

Metoda duljina-širina. U ovoj se metodi procjenjuje duljina širenja kapi i njezina visina. Kontura, koja je dio kruga, upisana je u pravokutnik, a kontaktni kut se izračunava iz odnosa širine i visine. Ova metoda je preciznija za male kapljice čiji su oblici bliži sferi. Nije prikladno za dinamički kontaktni kut jer igla ostaje u kapi i visina kapi se ne može točno odrediti.

Metoda kruga. U ovoj metodi, kapljica je predstavljena kao dio kruga, kao u metodi duljina-širina, ali se kontaktni kut ne izračunava pomoću pravokutnika, već pomoću segmenta kruga. Ali za razliku od metode duljina-širina, igla koja ostaje u kapi ima manji utjecaj na rezultate mjerenja.

Tangencijalna metoda 1. Puna kontura sjedne kapi prilagođena je jednadžbi stožastog segmenta. Izvodnica ove jednadžbe u točki presjeka konture i osnovne linije daje kut nagiba u točki dodira, tj. rubni kut. Ova se metoda može koristiti s dinamičkim metodama procjene ako kapljica nije ozbiljno oštećena iglom.

Tangencijalna metoda 2. Dio konture sjedne kapi koji se nalazi pored osnovne crte prilagođen je polinomskoj funkciji tipa y=a + bx + cx 0,5 + d/lnx + e/x 2 . Ova funkcija je dobivena kao rezultat brojnih matematičkih simulacija. Metoda se smatra točnom, ali osjetljivom na kontaminante i strane tvari u tekućini. Prikladno za određivanje dinamičkih kontaktnih kutova, ali zahtijeva jasnu sliku, posebno na kontaktnoj točki faze.

Metoda sesilnog pada implementirana je u DSA instrumente za mjerenje kontaktnog kuta, koji se široko koriste u laboratorijima za proučavanje svojstava površina. Ovi uređaji vam također omogućuju mjerenje površinske i međufazne napetosti tekućina