Nakon što se utvrdi snaga broja, logično je govoriti o svojstva stupnja. U ovom ćemo članku dati osnovna svojstva potencije broja, dotičući se svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo dati dokaze svih svojstava stupnjeva, a također ćemo pokazati kako se ta svojstva koriste pri rješavanju primjera.
Navigacija po stranici.
Svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentima
Prema definiciji potencije s prirodnim eksponentom, potencija a n je umnožak n faktora od kojih je svaki jednak a. Na temelju ove definicije, a također i pomoću svojstva množenja realnih brojeva, možemo dobiti i opravdati sljedeće svojstva stupnja s prirodnim eksponentom:
- glavno svojstvo stupnja a m ·a n =a m+n, njegova generalizacija;
- svojstvo kvocijentnih potencija s identičnim bazama a m:a n =a m−n ;
- svojstvo snage proizvoda (a·b) n =a n ·b n , njegovo proširenje;
- svojstvo kvocijenta u prirodni stupanj(a:b) n =a n:b n ;
- dizanje stupnja na potenciju (a m) n =a m·n, njegova generalizacija (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- usporedba stupnja s nulom:
- ako je a>0, tada je a n>0 za bilo koji prirodni broj n;
- ako je a=0, tada je a n =0;
- ako a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ako je a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- ako su a i b pozitivni brojevi i a
- ako su m i n isti cijeli brojevi, da je m>n, zatim na 0
- ako su m i n isti cijeli brojevi, da je m>n, zatim na 0
Odmah napomenimo da su sve napisane jednakosti identičan prema navedenim uvjetima, desni i lijevi dio mogu se zamijeniti. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m ·a n =a m+n sa pojednostavljivanje izrazačesto se koristi u obliku a m+n =a m ·a n .
Sada pogledajmo svaki od njih u detalje.
Pođimo od svojstva umnoška dviju potencija s istim bazama, koje se zove glavno svojstvo stupnja: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n vrijedi jednakost a m ·a n =a m+n.
Dokažimo glavno svojstvo stupnja. Po definiciji potencije s prirodnim eksponentom, umnožak potencija s istim bazama oblika a m ·a n može se napisati kao umnožak. Zbog svojstava množenja, dobiveni izraz može se napisati kao 
, a taj umnožak je potencija broja a s prirodnim eksponentom m+n, odnosno a m+n. Ovo dovršava dokaz.
Navedimo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stupnja. Uzmimo stupnjeve s istim bazama 2 i prirodnim potencijama 2 i 3, koristeći osnovno svojstvo stupnjeva možemo napisati jednakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Provjerimo njegovu valjanost izračunavanjem vrijednosti izraza 2 2 · 2 3 i 2 5 . Izvođenjem potenciranja imamo 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, budući da su dobivene jednake vrijednosti, onda je jednakost 2 2 ·2 3 =2 5 točna i potvrđuje glavno svojstvo stupnja.
Osnovno svojstvo stupnja, temeljeno na svojstvima množenja, može se generalizirati na umnožak tri ili više potencija s istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1, n 2, …, n k vrijedi jednakost: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Na primjer, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Možemo prijeći na sljedeće svojstvo potencija s prirodnim eksponentom – svojstvo kvocijentskih potencija s istim bazama: za bilo koji realni broj a različit od nule i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uvjet m>n, vrijedi jednakost a m:a n =a m−n.
Prije iznošenja dokaza ovog svojstva, raspravimo značenje dodatnih uvjeta u formulaciji. Uvjet a≠0 je potreban da bi se izbjeglo dijeljenje s nulom jer je 0 n =0, a kada smo se upoznali s dijeljenjem složili smo se da ne možemo dijeliti s nulom. Uvjet m>n je uveden kako ne bismo išli dalje od prirodnih eksponenata. Zaista, za m>n eksponent a m−n je prirodan broj, inače će biti ili nula (što se događa za m−n) ili negativan broj (što se događa za m Dokaz. Glavno svojstvo razlomka omogućuje nam da zapišemo jednakost a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Iz dobivene jednakosti a m−n ·a n =a m i slijedi da je a m−n kvocijent potencija a m i a n . Time je dokazano svojstvo kvocijentskih potencija s identičnim bazama. Navedimo primjer. Uzmimo dva stupnja s istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, jednakost π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odgovara razmatranom svojstvu stupnja. Sada razmotrimo svojstvo snage proizvoda: prirodna potencija n umnoška bilo koja dva realna broja a i b jednaka je umnošku potencija a n i b n , odnosno (a·b) n =a n ·b n . Doista, po definiciji stupnja s prirodnim eksponentom imamo Evo primjera: Ovo se svojstvo proteže na snagu umnoška tri ili više faktora. To jest, svojstvo prirodnog stupnja n umnoška k faktora zapisano je kao (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Radi jasnoće, pokazat ćemo ovo svojstvo primjerom. Za umnožak tri faktora na potenciju broja 7 imamo . Sljedeće svojstvo je svojstvo kvocijenta u naravi: kvocijent realnih brojeva a i b, b≠0 na prirodnu potenciju n jednak je kvocijentu potencija a n i b n, odnosno (a:b) n =a n:b n. Dokaz se može izvesti korištenjem prethodnog svojstva. Tako (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a iz jednakosti (a:b) n ·b n =a n slijedi da je (a:b) n kvocijent a n podijeljen s b n . Napišimo ovo svojstvo koristeći određene brojeve kao primjer: Sada to izgovorimo svojstvo podizanja potencije na potenciju: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n potencija a m na potenciju n jednaka je potenci broja a s eksponentom m·n, odnosno (a m) n =a m·n. Na primjer, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Dokaz svojstva potencije na stupanj je sljedeći lanac jednakosti: Svojstvo koje se razmatra može se proširiti na stupanj na stupanj na stupanj, itd. Na primjer, za bilo koje prirodne brojeve p, q, r i s vrijedi jednakost Ostaje se zadržati na svojstvima uspoređivanja stupnjeva s prirodnim eksponentom. Počnimo s dokazivanjem svojstva usporedbe nule i potencije s prirodnim eksponentom. Prvo, dokažimo da je a n >0 za bilo koje a>0. Umnožak dva pozitivna broja je pozitivan broj, kao što proizlazi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja sugeriraju da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva također biti pozitivan broj. A potencija broja a s prirodnim eksponentom n, po definiciji, umnožak je n faktora od kojih je svaki jednak a. Ovi nam argumenti omogućuju da ustvrdimo da je za bilo koju pozitivnu bazu a stupanj a n pozitivan broj. Zbog dokazanog svojstva 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 i Sasvim je očito da je za svaki prirodni broj n s a=0 stupanj a n jednak nuli. Doista, 0 n =0·0·…·0=0 . Na primjer, 0 3 =0 i 0 762 =0. Prijeđimo na negativne baze stupnja. Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga kao 2·m, gdje je m prirodan broj. Zatim Konačno, kada je baza a negativan broj, a eksponent neparan broj 2 m−1, tada Prijeđimo na svojstvo usporedbe potencija s istim prirodnim eksponentima koje ima sljedeću formulaciju: od dviju potencija s istim prirodnim eksponentima n je manji od onog čija je baza manja, a veći je onaj čija je baza veća . Dokažimo to. Nejednakost a n svojstva nejednakosti istinita je i dokaziva nejednakost oblika a n (2.2) 7 i Ostaje još dokazati posljednje od navedenih svojstava potencija s prirodnim eksponentima. Idemo to formulirati. Od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim pozitivnim bazama manjim od jedan, veći je onaj čiji je eksponent manji; a od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim bazama većim od jedan veći je onaj čiji je eksponent veći. Prijeđimo na dokaz ovog svojstva. Dokažimo to za m>n i 0 Ostalo je dokazati drugi dio imovine. Dokažimo da za m>n i a>1 a m >a n vrijedi. Razlika a m −a n nakon iznošenja n iz zagrade poprima oblik a n ·(a m−n −1) . Ovaj umnožak je pozitivan, budući da je za a>1 stupanj a n pozitivan broj, a razlika a m−n −1 je pozitivan broj, budući da je m−n>0 zbog početnog uvjeta, a za a>1 stupanj a m−n je veće od jedan. Prema tome, a m −a n >0 i a m >a n , što je i trebalo dokazati. Ovo svojstvo ilustrira nejednakost 3 7 >3 2.
. Na temelju svojstava množenja, posljednji proizvod može se prepisati kao 
, koji je jednak a n · b n .
.
.
.
. Radi veće jasnoće, ovdje je primjer s određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Jer svaki od umnožaka oblika a·a je jednak umnošku modula brojeva a i a, što znači da je pozitivan broj. Stoga će proizvod također biti pozitivan 
a stupanj a 2·m. Navedimo primjere: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .
. Svi umnošci a·a su pozitivni brojevi, umnožak tih pozitivnih brojeva također je pozitivan, a njegovim množenjem s preostalim negativnim brojem a dobiva se negativan broj. Zbog ovog svojstva (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima
Budući da su prirodni brojevi prirodni brojevi, onda se sva svojstva potencija s cijelim pozitivnim eksponentom u potpunosti podudaraju sa svojstvima potencija s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom odlomku.
Stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom, kao i stupanj s nultim eksponentom, definirali smo na način da sva svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentom, izražena jednakostima, ostanu važeća. Dakle, sva ova svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, baze potencija različite od nule.
Dakle, za sve realne brojeve a i b različite od nule, kao i za sve cijele brojeve m i n, vrijedi sljedeće: svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima:
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi i a b−n ;
- ako su m i n cijeli brojevi i m>n, tada je 0
Kada je a=0, potencije a m i a n imaju smisla samo kada su i m i n pozitivni cijeli brojevi, odnosno prirodni brojevi. Dakle, upravo napisana svojstva vrijede i za slučajeve kada je a=0 i kada su brojevi m i n prirodni brojevi.
Dokazivanje svakog od ovih svojstava nije teško, za to je dovoljno koristiti definicije stupnjeva s prirodnim i cjelobrojnim eksponentima, kao i svojstva operacija s realnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo stepena na stepen vrijedi i za pozitivne cijele brojeve i za nepozitivne cijele brojeve. Da biste to učinili, morate pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, tada vrijede jednakosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Učinimo to.
Za pozitivne p i q jednakost (a p) q =a p·q dokazana je u prethodnom paragrafu. Ako je p=0, tada imamo (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, odakle (a 0) q =a 0·q. Slično, ako je q=0, tada je (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, odakle je (a p) 0 =a p·0. Ako su i p=0 i q=0, tada je (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0·0 =a 0 =1, odakle je (a 0) 0 =a 0·0.
Sada dokazujemo da je (a −p) q =a (−p)·q . Prema definiciji potencije s negativnim cijelim eksponentom, dakle 
. Po svojstvu kvocijenata na potencije imamo 
. Kako je 1 p =1·1·…·1=1 i , tada je . Posljednji izraz, po definiciji, je potencija oblika a −(p·q), koja se, zbog pravila množenja, može napisati kao (−p)·q.
Također 
.
I 
.
Koristeći isti princip, možete dokazati sva druga svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom, napisanim u obliku jednakosti.
U pretposljednjem od zapisanih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a −n >b −n koja vrijedi za bilo koji negativni cijeli broj −n i sve pozitivne a i b za koje je zadovoljen uvjet a . Budući da prema uvjetu a 0 . Umnožak a n · b n također je pozitivan kao umnožak pozitivnih brojeva a n i b n . Tada je dobiveni razlomak pozitivan kao kvocijent pozitivnih brojeva b n −a n i a n ·b n . Dakle, odakle a −n >b −n , što je i trebalo dokazati.
Posljednje svojstvo potencija s cjelobrojnim eksponentima dokazuje se na isti način kao slično svojstvo potencija s prirodnim eksponentima.
Svojstva potencija s racionalnim eksponentima
Definirali smo stupanj s razlomačkim eksponentom proširivanjem svojstava stupnja s cjelobrojnim eksponentom na njega. Drugim riječima, potencije s razlomačkim eksponentima imaju ista svojstva kao i potencije s cjelobrojnim eksponentima. Naime:
Dokaz svojstava stupnjeva s razlomljenim eksponentom temelji se na definiciji stupnja s razlomljenim eksponentom, te na svojstvima stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Pružimo dokaze.
Prema definiciji potencije s razlomačkim eksponentom i , tada 
. Svojstva aritmetičkog korijena omogućuju nam da napišemo sljedeće jednakosti. Nadalje, koristeći svojstvo stupnja s cjelobrojnim eksponentom, dobivamo , iz čega, po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom, imamo 
, a pokazatelj stečenog stupnja može se transformirati na sljedeći način: . Ovo dovršava dokaz.
Drugo svojstvo potencija s razlomačkim eksponentima dokazuje se na potpuno sličan način: 
Preostale jednakosti se dokazuju koristeći slične principe: 
Prijeđimo na dokaz sljedećeg svojstva. Dokažimo da za bilo koje pozitivne a i b, a b p . Zapišimo racionalni broj p kao m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Uvjeti str<0 и p>0 u ovom slučaju uvjeti m<0 и m>0 prema tome. Za m>0 i a
Slično, za m<0 имеем a m >b m , odakle, odnosno i a p >b p .
Ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava. Dokažimo to za racionalni brojevi p i q, p>q na 0 
I 
. A definicija stupnja s racionalnim eksponentom omogućuje nam da prijeđemo na nejednakosti i, prema tome. Odavde izvlačimo konačni zaključak: za p>q i 0
Svojstva potencija s iracionalnim eksponentima
Iz načina definiranja stupnja s iracionalnim eksponentom možemo zaključiti da on ima sva svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentom. Dakle, za bilo koje a>0, b>0 i iracionalne brojeve p i q vrijedi sljedeće svojstva potencija s iracionalnim eksponentima:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p·q ;
- za bilo koje pozitivne brojeve a i b, a 0 nejednakosti a p b p ;
- za iracionalne brojeve p i q, p>q na 0
Iz ovoga možemo zaključiti da potencije s bilo kojim realnim eksponentom p i q za a>0 imaju ista svojstva.
Bibliografija.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne ustanove.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).
S. Šestakov,
Moskva
Pismeni ispit
11. razred
1. Izračuni. Pretvaranje izraza
§ 3. Potencija s realnim eksponentom
Vježbe u § 5. prvog poglavlja zbirke uglavnom se odnose na eksponencijalnu funkciju i njezina svojstva. U ovom odlomku, kao iu prethodnima, ne provjerava se samo sposobnost izvođenja transformacija na temelju poznatih svojstava, već i ovladavanje funkcionalnom simbolikom učenika. Među zadacima u zbirci mogu se izdvojiti sljedeće skupine:
- vježbe kojima se provjerava ovladavanje definicijom eksponencijalne funkcije (1.5.A06, 1.5.B01–B04) i sposobnost korištenja funkcijskih simbola (1.5A02, 1.5.B05, 1.5C11);
- vježbe za transformaciju izraza koji sadrže potenciju s realnim eksponentom te izračunavanje vrijednosti tih izraza i vrijednosti eksponencijalne funkcije (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 itd.);
- vježbe za usporedbu vrijednosti izraza koji sadrže potenciju s realnim eksponentom, zahtijevaju korištenje svojstava potencije s realnim eksponentom i eksponencijalnom funkcijom (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11) ;
- ostale vježbe (uključujući one koje se odnose na položajni zapis brojeva, progresije itd.) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.
Razmotrimo niz problema povezanih s funkcionalnom simbolikom.
1.5.A02. e) Zadane su funkcije
Odredite vrijednost izraza f 2 (x) – g 2 (x).
Riješenje. Upotrijebimo formulu razlike kvadrata:
Odgovor: –12.
1.5.C11. b) Zadane su funkcije
Odredite vrijednost izraza f(x) f(y) – g(x) g(y), ako je f(x – y) = 9.
Predstavljamo kratka rješenja vježbi za transformaciju izraza koji sadrže potenciju s realnim eksponentom, te za izračunavanje vrijednosti takvih izraza i vrijednosti eksponencijalne funkcije.
1.5.B07. a) Poznato je da je 6 a – 6 –a= 6. Pronađite vrijednost izraza (6 a– 6) 6 a .
Riješenje. Iz uvjeta problema proizlazi da je 6 a – 6 = 6 –a. Zatim
(6 a– 6) 6a = 6 –a· 6 a = 1.
1.5.C05. b) Odredite vrijednost izraza 7 a–b, Ako 
Riješenje. Po stanju 
Podijelite brojnik i nazivnik lijeve strane ove jednakosti sa 7 b. Dobivamo 
Napravimo zamjenu. Neka je y = 7 a–b. Jednakost poprima oblik
Riješimo dobivenu jednadžbu
Sljedeća skupina vježbi su zadaci za usporedbu vrijednosti izraza koji sadrže potenciju s realnim eksponentom, a zahtijevaju korištenje svojstava potencije s realnim eksponentom i eksponencijalnom funkcijom.
1.5.B11. b) Poredaj brojeve f(60), g(45) i h(30) u padajućem redoslijedu ako je f(x) = 5 x , g(x) = 7 x i h(x) = 3 x .
Riješenje. f(60) = 5 60 , g(45) = 7 45 i h(30) = 3 30 .
Pretvorimo ove stupnjeve tako da dobijemo iste pokazatelje:
5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .
Zapišimo baze silaznim redoslijedom: 625 > 343 > 9.
Stoga je traženi poredak f(60), g(45), h(30).
Odgovor: f(60), g(45), h(30).
1.5.C12. a) Usporedi 
, gdje su x i y neki realni brojevi.
Riješenje. 
Zato 
Zato 
Budući da je 3 2 > 2 3, dobivamo to 
Odgovor: 
1.5.D11. a) Usporedite brojeve 
Pošto dobijemo 
Odgovor: 
Kako bismo dovršili naš pregled problema potencije s realnim eksponentima, razmotrit ćemo vježbe vezane uz položajni zapis brojeva, progresije itd.
1.5.A03. b) Zadana je funkcija f(x) = (0,1) x. Odredite vrijednost izraza 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0).
4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0,1 + 9 0,01 + 6 0,001 = 4,496.
Dakle, ovaj izraz je proširenje u zbroj decimalnih jedinica od 4,496.
Odgovor: 4.496.
1.5.D07. a) Zadana je funkcija f(x) = 0,1 x. Odredite vrijednost izraza f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ...
f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...
Ovaj izraz je zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije s prvim članom 0,001 i nazivnikom –0,001. Iznos je 
1.5.D09. a) Odredi vrijednost izraza 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x ako je 5 x –5 y =3, x + y = 3.
5 2x +5 2y +25 x 5 y –25 y 5 x =(5 x – 5 y) 2 +2 5 x 5 y +5 x 5 y (5 x – 5 y)=3 2 +2 · 5 x +y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.
Odgovor: 634.
§ 4. Logaritamski izrazi
Pri ponavljanju teme "Transformacija logaritamskih izraza" (§ 1.6 zbirke), trebali biste se sjetiti nekoliko osnovnih formula vezanih uz logaritme:
Ovdje je niz formula čije poznavanje nije potrebno za rješavanje problema na razinama A i B, ali mogu biti korisne pri rješavanju složenijih problema (broj ovih formula može se smanjiti ili povećati ovisno o stavovima nastavnika i stupanj pripremljenosti učenika):
Većina vježbi iz § 1.6 zbirke može se svrstati u jednu od sljedećih skupina:
- vježbe o izravnoj uporabi definicije i svojstava logaritama (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08 , 1.6.D10);
- vježbe izračunavanja vrijednosti logaritamskog izraza iz zadane vrijednosti drugog izraza ili logaritma (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
- vježbe za usporedbu vrijednosti dvaju izraza koji sadrže logaritme (1.6.C11);
- vježbe sa složenim zadatkom u više koraka (1.6.D11, 1.6.D12).
Donosimo kratka rješenja vježbi o neposrednoj uporabi definicije i svojstava logaritama.
1.6.B05. a) Pronađite značenje izraza 
Riješenje. 
Izraz poprima oblik
1.6.D08. b) Pronađite vrijednost izraza (1 – log 4 36)(1 – log 9 36).
Riješenje. Iskoristimo svojstva logaritama:
(1 – log 4 36)(1 – log 9 36) =
= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =
= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.
1.6.D10. a) Pronađite značenje izraza 
Riješenje. Transformirajmo brojnik:
log 6 42 log 7 42=(1 + log 6 7)(1 + log 7 6)=1 + log 6 7 + log 7 6 + log 6 7 log 7 6.
Ali log 6 7 log 7 6 = 1. Stoga je brojnik 2 + log 6 7 + log 7 6, a razlomak je 1.
Prijeđimo na rješavanje vježbi o izračunavanju vrijednosti logaritamskog izraza iz zadane vrijednosti drugog izraza ili logaritma.
1.6.D02. a) Odredi vrijednost izraza log 70 320 ako je log 5 7= a, log 7 2= b.
Riješenje. Transformirajmo izraz. Prijeđimo na bazu 7:
Iz uvjeta proizlazi da 
. Zato 
Sljedeći problem zahtijeva da usporedite vrijednosti dvaju izraza koji sadrže logaritme.
1.6.C11. a) Usporedite brojeve 
Riješenje. Skratimo oba logaritma na bazu 2.
Stoga su ti brojevi jednaki.
Odgovor: ovi brojevi su jednaki.
Samostalni rad studenta 1. godine na temu Stupnjevi s realnim pokazateljem. Svojstva stupnja s realnim eksponentom (6 sati)
Proučiti teorijsko gradivo i voditi bilješke (2 sata)
Rješavanje križaljke (2 sata)
Kompletan test domaće zadaće (2 sata)
Referentni i didaktički materijal prikazan je u nastavku
O pojmu stupnja s racionalnim eksponentom
Neki od najvišečesto susreću
Vrste transcendentalnih funkcija, prije
Totalno indikativno, omogućiti pristup
Puno istraživanja.
L. Eiler
Iz prakse rješavanja sve složenijih algebarskih problema i operiranja sa stupnjevima javila se potreba da se pojam stupnja generalizira i proširi uvođenjem nule, negativnih i razlomaka kao pokazatelja.
Jednakost a 0 = 1 (za ) koristio je u svojim djelima početkom 15. stoljeća. Samarkandski znanstvenik al-Kashi. Neovisno, nulti indikator uveo je N. Shuke u 15. stoljeću. Potonji je također uveo negativne eksponente. Ideja frakcijskih eksponenata sadržana je kod francuskog matematičara N. Oresmea (XIV. stoljeće) u njegovom
djelo "Algorizam proporcija". Umjesto našeg znaka napisao je , umjesto toga je napisao 4. Oresme verbalno formulira pravila za rad sa stupnjevima, na primjer (u modernom zapisu): , 
i tako dalje.
Kasnije, frakcijski, kao i negativni, eksponenti nalaze se u “Potpunoj aritmetici” (1544.) njemačkog matematičara M. Stiefela i kod S. Stevina. Potonji piše da je korijen stupnja P od broja A može se smatrati diplomom A s frakcijskim indikatorom.
O svrsishodnosti uvođenja nultih, negativnih i razlomačkih eksponenata te modernih simbola prvi je detaljno pisao engleski matematičar John Wallis 1665. godine. Njegov rad dovršio je I. Newton, koji je počeo sustavno primjenjivati nove simbole, nakon čega su oni ušli u opću uporabu.
Uvođenje potencije s racionalnim eksponentom jedan je od mnogih primjera generaliziranja pojma matematičke radnje. Stupanj s nultim, negativnim i razlomljenim eksponentom definiran je tako da su na njega primjenjiva ista pravila djelovanja koja vrijede za stupanj s prirodnim eksponentom, tj. da su osnovna svojstva izvorno definiranog pojma stupnja sačuvana, i to:
Nova definicija stupnja s racionalnim eksponentom nije u suprotnosti sa starom definicijom stupnja s prirodnim eksponentom, tj. značenje nove definicije stupnja s racionalnim eksponentom ostaje isto za poseban slučaj stupnja s prirodni eksponent. Ovo načelo, promatrano pri generalizaciji matematičkih pojmova, naziva se načelo trajnosti (očuvanja, postojanosti). U nesavršenom obliku izrazio ga je 1830. engleski matematičar J. Peacock, a potpuno i jasno ga je utvrdio njemački matematičar G. Hankel 1867. Načelo stalnosti poštuje se i pri generalizaciji pojma broja i njegovom proširenju na pojam realnog broja, a prije toga - kod uvođenja pojma množenja razlomkom itd.
Funkcija snage igrafičkirješavanje jednadžbi inejednakosti
Zahvaljujući otkriću koordinatne metode i analitičke geometrije, počevši od 17.st. Postalo je moguće općeprimjenjivo grafičko proučavanje funkcija i grafičko rješavanje jednadžbi.
Vlast funkcija se naziva funkcija oblika
gdje je α konstantan realan broj. Prvo ćemo se, međutim, ograničiti samo na racionalne vrijednosti α i umjesto jednakosti (1) zapisat ćemo:
Gdje - racionalni broj. Za i po definiciji imamo:
na=1, y = x.
Raspored prva od ovih funkcija na ravnini je pravac paralelan s osi Oh, a druga je simetrala 1. i 3. koordinatnog kuta.
Kada je graf funkcije parabola . Descartes, koji je označio prvu nepoznatu kroz z, drugi - kroz y, treći - kroz x:, napisao je jednadžbu parabole ovako: ( z- apscisa). Često je koristio parabolu za rješavanje jednadžbi. Za rješavanje npr. jednadžbe 4. stupnja
Descartes koristeći supstituciju
dobio kvadratnu jednadžbu s dvije nepoznanice:
koji prikazuje krug koji se nalazi u jednoj ravnini (zx) sa parabola (4). Dakle, Descartes, uvodeći drugu nepoznanicu (X), dijeli jednadžbu (3) na dvije jednadžbe (4) i (5), od kojih svaka predstavlja određeno mjesto točaka. Ordinate njihovih sjecišta daju korijene jednadžbe (3).
“Jednog dana kralj je odlučio izabrati prvog pomoćnika među svojim dvorjanima. Odveo je sve do ogromnog dvorca. “Tko prvi otvori bit će prvi pomoćnik.” Nitko nije ni taknuo bravu. Samo je jedan vezir prišao i gurnuo bravu, koja se otvori. Nije bilo zaključano.
Tada je kralj rekao: "Dobit ćeš ovaj položaj jer se ne oslanjaš samo na ono što vidiš i čuješ, već se oslanjaš na vlastitu snagu i ne bojiš se pokušati."
I danas ćemo pokušati i pokušati doći do prave odluke.
1. S kojim matematičkim pojmom se povezuju riječi:
Baza
Indikator (stupanj)
Koje se riječi mogu koristiti za kombiniranje riječi:
Racionalni broj
Cijeli broj
Prirodni broj
Iracionalan broj (Realni broj)
Formulirajte temu lekcije. (Stupanj sa stvarnim eksponentom)
– ponoviti svojstva stupnja
– razmatraju korištenje svojstava stupnjeva u izračunima i pojednostavljenja izraza
– razvoj računalnih vještina.
Dakle, p, gdje je p realan broj.
Navedite primjere (odaberite između izraza 5 –2, , 43, ) stupnjeva
– s prirodnim indikatorom
– s indikatorom cijelog broja
– s racionalnim pokazateljem
– s neracionalnim pokazateljem
Za koje vrijednosti a izraz ima smisla?
a n , gdje je n (a – bilo koji)
a m , gdje m (a nije jednako 0) Kako prijeći sa stupnja s negativnim eksponentom na stupanj s pozitivnim eksponentom?
Gdje su p, q (a > 0)
Koje se operacije (matematičke operacije) mogu izvoditi sa stupnjevima?
Podudaranje:
|
Kod množenja potencija s jednakim bazama |
Baze se množe, ali eksponent ostaje isti |
|
Kod dijeljenja potencija s jednakim bazama |
Baze su podijeljene, ali pokazatelj ostaje isti |
U ovom ćemo članku otkriti što je to stupanj od. Ovdje ćemo dati definicije potencije broja, dok ćemo detaljno razmotriti sve moguće eksponente, počevši od prirodnog eksponenta do iracionalnog. U materijalu ćete pronaći puno primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.
Navigacija po stranici.
Potencija s prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kub broja
Počnimo s . Gledajući unaprijed, recimo da je za a dana definicija potencije broja a s prirodnim eksponentom n, koju ćemo nazvati diplomska osnova, i n, koje ćemo nazvati eksponent. Također napominjemo da se stupanj s prirodnim eksponentom određuje kroz umnožak, pa da biste razumjeli materijal u nastavku morate imati razumijevanje množenja brojeva.
Definicija.
Potencija broja s prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n, čija je vrijednost jednaka umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a, tj.
Konkretno, potencija broja a s eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 =a.
Vrijedno je odmah spomenuti pravila za čitanje diploma. Univerzalni način čitanja zapisa a n je: "a na potenciju n". U nekim su slučajevima prihvatljive i sljedeće opcije: "a na n-tu potenciju" i "n-ta potencija od a". Na primjer, uzmimo stepen 8 12, ovo je “osam na dvanaesti stepen”, ili “osam na dvanaesti stepen”, ili “dvanaesti stepen od osam”.
Druga potencija broja, kao i treća potencija broja, imaju svoja imena. Druga potencija broja zove se kvadrat broja, na primjer, 7 2 se čita kao "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treća potencija broja zove se kubni brojevi, na primjer, 5 3 se može čitati kao "pet kockica" ili možete reći "kocka broja 5".
Vrijeme je za donošenje primjeri stupnjeva s prirodnim eksponentima. Počnimo sa stupnjem 5 7, ovdje je 5 baza stupnja, a 7 je eksponent. Navedimo još jedan primjer: 4,32 je baza, a prirodni broj 9 je eksponent (4,32) 9 .
Imajte na umu da je u posljednjem primjeru baza potencije 4.32 napisana u zagradama: da bismo izbjegli nedosljednosti, u zagrade ćemo staviti sve baze potencije koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer dajemo sljedeće stupnjeve s prirodnim eksponentima 
, njihove baze nisu prirodni brojevi pa se pišu u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće, na ovom ćemo mjestu pokazati razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3. Izraz (−2) 3 je potencija od −2 s prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao −(2 3) ) odgovara broju, vrijednosti potencije 2 3 .
Imajte na umu da postoji oznaka za potenciju broja a s eksponentom n oblika a^n. Štoviše, ako je n prirodan broj s više vrijednosti, eksponent se uzima u zagradi. Na primjer, 4^9 je još jedna oznaka za potenciju 4 9 . Evo još nekoliko primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . U nastavku ćemo primarno koristiti stupanjski zapis oblika a n .
Jedan od problema obrnut uzdizanju na potenciju s prirodnim eksponentom jest problem pronalaženja baze potencije iz poznate vrijednosti potencije i poznatog eksponenta. Ovaj zadatak vodi do .
Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih brojeva i razlomaka, a svaki se razlomak može prikazati kao pozitivan ili negativan obični razlomak. Stupanj s cjelobrojnim eksponentom definirali smo u prethodnom odlomku, stoga, da bismo dovršili definiciju stupnja s racionalnim eksponentom, trebamo dati značenje stupnju broja a s razlomačkim eksponentom m/n, gdje m je cijeli broj, a n je prirodan broj. Učinimo to.
Razmotrimo stupanj s frakcijskim eksponentom oblika . Da bi svojstvo moć-na-potencijalo ostalo valjano, mora vrijediti jednakost 
. Ako uzmemo u obzir dobivenu jednakost i kako smo odredili , onda je logično prihvatiti je pod uvjetom da za zadane m, n i a izraz ima smisla.
Lako je provjeriti da za sve vrijede svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom (to je učinjeno u odjeljku svojstva stupnja s racionalnim eksponentom).
Gornje obrazloženje omogućuje nam sljedeće zaključak: ako je zadano m, n i a izraz ima smisla, tada se potencija od a s razlomačkim eksponentom m/n naziva n-ti korijen od a na potenciju od m.
Ova nas izjava približava definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Sve što preostaje je opisati pri kojim m, n i a izraz ima smisla. Ovisno o ograničenjima koja se postavljaju na m, n i a, postoje dva glavna pristupa.
Najlakši način je nametnuti ograničenje na a uzimajući a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativno m (jer za m≤0 stupanj 0 od m nije definiran). Tada dobivamo sljedeću definiciju stupnja s razlomačkim eksponentom.
Definicija.
Potencija pozitivnog broja a s razlomačkim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se n-ti korijen broja a na potenciju m, to jest .
Frakcijska snaga nule također se određuje uz jedino upozorenje da indikator mora biti pozitivan.
Definicija.
Potencija nule s razlomačkim pozitivnim eksponentom m/n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj, definira se kao 
.
Kada stupanj nije određen, odnosno stupanj broja nula s razlomačkim negativnim eksponentom nema smisla.
Treba primijetiti da kod ove definicije stupnja s razlomačkim eksponentom postoji jedno upozorenje: za neka negativna a i neke m i n izraz ima smisla, a te smo slučajeve odbacili uvođenjem uvjeta a≥0. Na primjer, unosi imaju smisla 
ili , a gornja definicija nas tjera da kažemo da potencije s razlomačkim eksponentom oblika 
nema smisla jer baza ne bi trebala biti negativna.
Drugi pristup određivanju stupnja s razlomačkim eksponentom m/n je odvojeno razmatranje parnih i neparnih eksponenata korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: potencijom broja a, čiji je eksponent, smatramo potenciju broja a, čiji je eksponent odgovarajući nesvodivi razlomak (u nastavku ćemo objasniti važnost ovog uvjeta). To jest, ako je m/n nesvodivi razlomak, tada se za bilo koji prirodni broj k stupanj prvo zamijeni s .
Za parno n i pozitivno m, izraz ima smisla za bilo koje nenegativno a (korijen čak stupanj iz negativan broj nema smisla), za negativan m broj a i dalje mora biti različit od nule (inače će doći do dijeljenja s nulom). I za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo koji (korijen neparnog stupnja definiran je za bilo koji realni broj), a za negativan m, broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja s nula).
Gornje razmišljanje dovodi nas do ove definicije stupnja s frakcijskim eksponentom.
Definicija.
Neka je m/n nesvodivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za svaku reducibilnu obični razlomak stupanj zamjenjuje se sa . Potencija broja s neumanjivim razlomačkim eksponentom m/n je za
Objasnimo zašto se stupanj s reducibilnim razlomačkim eksponentom prvo zamijeni stupnjem s nesvodivim eksponentom. Kad bismo stupanj jednostavno definirali kao , a ne ogradili se od nesvodivosti razlomka m/n, tada bismo se suočili sa situacijama sličnim sljedećoj: budući da je 6/10 = 3/5, tada mora vrijediti jednakost 
, Ali 
, A .
Tema lekcije: Stupanj s racionalnim i realnim eksponentom.
Ciljevi:
generalizirati pojam stupnja;
uvježbati sposobnost pronalaženja vrijednosti stupnja s realnim eksponentom;
učvrstiti sposobnost korištenja svojstava stupnjeva pri pojednostavljivanju izraza;
razvijati vještinu korištenja svojstava stupnjeva u računanju.
intelektualni, emotivni, osobni razvoj student;
razvijati sposobnost generaliziranja, usustavljivanja na temelju usporedbe i zaključivanja;
intenzivirati samostalnu aktivnost;
razvijati spoznajni interes.
obrazovanje komunikativnog i informatička kultura studenti;
Estetsko obrazovanje provodi se kroz formiranje sposobnosti racionalnog i točnog sastavljanja zadatka na ploči iu bilježnici.
Edukativni :
Razvojni :
Edukativni :
Učenici bi trebali znati: definicija i svojstva stupnja s realnim eksponentom
Učenici bi trebali moći:
odrediti ima li izraz s diplomom smisla;
koristiti svojstva stupnjeva u računanju i pojednostavljivanju izraza;
rješavati primjere koji sadrže stupnjeve;
uspoređivati, pronalaziti sličnosti i razlike.
Format lekcije: seminar - radionica, s elementima istraživanja. Računalna podrška.
Oblik organizacije treninga: individualni, grupni.
Obrazovne tehnologije : problemsko učenje, učenje u suradnji, osobno - usmjereno učenje, komunikativan.
Vrsta lekcije: sat istraživačkog i praktičnog rada.
Vizualni materijali lekcije i brošure:
prezentacija
formule i tablice (prilog 1.2)
zadatak za samostalan rad (prilog 3)
Plan učenja
№Faza lekcije
Namjena pozornice
Vrijeme, min.
Početak lekcije
Izvještavanje o temi lekcije, postavljanje ciljeva lekcije.
1-2 min
Usmeni rad
Ponovite formule snage.
Svojstva stupnjeva.
4-5 min.
Prednje rješenje
ploče iz udžbenika br.57 (1,3,5)
№58(1,3,5) uz detaljno pridržavanje plana rješenja.
Formiranje vještina i sposobnosti
učenici primjenjuju svojstva
stupnjeva pri pronalaženju vrijednosti izraza.
8-10 min.
Rad u mikro grupama.
Identificiranje praznina u znanju
učenika, stvaranje uvjeta za
individualni razvoj student
na lekciji.
15-20 min.
Rezimirajući rad.
Pratite uspješnost rada
Učenici pri samostalnom rješavanju zadataka na temu saznaju
prirodu poteškoća, njihove uzroke,
naznačiti skupna rješenja.
5-6 min.
Upoznati učenike s domaćim zadaćama. Dajte potrebna objašnjenja.
1-2 min.
TIJEKOM NASTAVE
Bok dečki! Zapišite datum i temu lekcije u svoje bilježnice.
Kažu da je izumitelj šaha, kao nagradu za svoj izum, tražio od radže malo riže: na prvo polje ploče tražio je da stavi jedno zrno, na drugo - 2 puta više, tj. 2 zrna, na treći - 2 puta više, tj. 4 zrna, itd. do 64 stanice.
Njegov se zahtjev raji učinio preskromnim, no ubrzo se pokazalo da ga je nemoguće ispuniti. Broj zrna koje je trebalo dati izumitelju šaha kao nagradu izražava se zbrojem
1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .
Ovaj iznos je jednak ogromnom broju
18446744073709551615
A toliko je velika da bi ta količina zrna mogla pokriti cijelu površinu našeg planeta, uključujući i svjetske oceane, slojem od 1 cm.
Ovlaštenja se koriste pri pisanju brojeva i izraza, što ih čini kompaktnijim i praktičnijim za izvođenje radnji.
Pri mjerenju se često koriste stupnjevi fizikalne veličine, koji može biti "vrlo velik" ili "vrlo mali".
Masa zemlje 6000000000000000000000T napisana je kao proizvod 6.10 21 T
Promjer molekule vode 0,0000000003 m zapisan je kao umnožak
3.10 -10 m.
1. Sa kojim matematički koncept povezane riječi:
Baza
Indeks(Stupanj)
Koje se riječi mogu koristiti za kombiniranje riječi:
Racionalni broj
Cijeli broj
Prirodni broj
Iracionalan broj(pravi broj)
Formulirajte temu lekcije.(Stupanj sa stvarnim eksponentom)
2. Dakle, a x,Gdjex je realan broj. Odaberite iz izraza
S prirodnim indikatorom
S indikatorom cijelog broja
3.
Što je naš cilj?(KORISTITI)
Kojiciljevi naše lekcije
?
– Generalizirati pojam diplome.
Zadaci:
– ponoviti svojstva stupnja
– razmatraju korištenje svojstava stupnjeva u izračunima i pojednostavljenja izraza
– razvoj računalnih vještina
4 . Potencija s racionalnim eksponentom
Bazastupnjeva
Stupanj s pokazateljemr, baza a (nN, mn
r= n
r= - n
r= 0
r= 0
r =0
a n= a. a. … . a
a -n=
a 0 =1
a n=a.a. ….a
a -n=
Ne postoji
Ne postoji
a 0 =1
a=0
0 n=0
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
5 . Od ovih izraza odaberite one koji nemaju smisla:
6 . Definicija
Ako brojr- prirodno, zatim a rpostoji posaorbrojevi od kojih je svaki jednak a:
a r= a. a. … . a
Ako brojr- frakcijski i pozitivni, to jest, gdjemIn- prirodno
brojevi, dakle
Ako indikatorrje racionalan i negativan, zatim izraza r
definira se kao recipročna vrijednosta - r
ili
Ako
7 . Na primjer
8 . Potencije pozitivnih brojeva imaju sljedeća osnovna svojstva:
9 . Izračunati
10. Koje se operacije (matematičke operacije) mogu izvoditi sa stupnjevima?
Podudaranje:
A) Pri množenju potencije sa jednako1) Baze se množe, ali indikator ostaje isti
B) Kod dijeljenja potencija s jednakim bazama
2) Baze su podijeljene, ali indikator ostaje isti
B) Pri dizanju potencije na potenciju
3) Baza ostaje ista, ali se pokazatelji množe
D) Pri množenju potencija s jednakim eksponentima
4) Baza ostaje ista, ali se indikatori oduzimaju
D) Kod dijeljenja stupnjeva s jednakim eksponentima
5) Osnovica ostaje ista, ali se pokazatelji zbrajaju
11 . Iz udžbenika (na ploči)
Za rješavanje u razredu:
№57 (1,3,5)
№58 (1, 3, 5)
№59 (1, 3)
№60 (1,3)
12 . Po Materijali za jedinstveni državni ispit
(samostalni rad) na papirićima
XIVstoljeća.
Odgovor: Orezma. 13. Dodatno (pojedinačno) za one koji brže rješavaju zadatke:14. Domaća zadaća
§ 5 (poznati definicije, formule)
№57 (2, 4, 6)
№58 (2,4)
№59 (2,4)
№60 (2,4) .
Na kraju lekcije:
“Matematika se mora učiti kasnije jer dovodi um u red”
– Tako je rekao veliki ruski matematičar Mihail Lomonosov.
- Hvala na lekciji!
Prilog 1
1. Stupnjevi. Osnovna svojstva
Indikator
a 1 =a
a n=a.a. ….a
a R n
3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,
(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8
Stupanj s cjelobrojnim eksponentom
a 0 =1,
gdje
0 0 - nije definirano.
Stupanj s racionalnim
Indikator
Gdjea
m n
Stupanj s iracionalnim eksponentom
Odgovor: ==25,9...
1. a x. a g=a x+y
2.a x: a g==a x-y
3. .(a x) g=a x.y
4.(a.b) n=a n.b n
5. (=
6. (
Dodatak 2
2. Stupanj s racionalnim eksponentom
Bazastupnjeva
Stupanj s pokazateljemr, baza a (nN, mn
r= n
r= - n
r= 0
r= 0
r =0
a n= a. a. … . a
a -n=
a 0 =1
a n=a.a. ….a
a -n=
Ne postoji
Ne postoji
a 0 =1
a=0
0 n=0
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
Dodatak 3
Operacije na potencijama prvi je upotrijebio francuski matematičarXIVstoljeća.
Dešifrirajte ime francuskog znanstvenika.
