Skalarni produkt vektora (u daljnjem tekstu SP). Dragi prijatelji! Ispit iz matematike uključuje skupinu zadataka o rješavanju vektora. Već smo razmotrili neke probleme. Možete ih vidjeti u kategoriji "Vektori". Općenito, teorija vektora nije komplicirana, glavna stvar je dosljedno je proučavati. Izračuni i operacije s vektorima u školskom tečaju matematike su jednostavni, formule nisu komplicirane. Pogledaj. U ovom ćemo članku analizirati probleme na SP vektora (uključeni u Jedinstveni državni ispit). Sada “uronjenje” u teoriju:

H Da biste pronašli koordinate vektora, trebate oduzeti koordinate njegovog krajaodgovarajuće koordinate njegovog ishodišta

I dalje:

* Duljina vektora (modul) određena je na sljedeći način:

Ove formule se moraju zapamtiti!!!

Pokažimo kut između vektora:

Jasno je da može varirati od 0 do 180 0(ili u radijanima od 0 do Pi).

Možemo izvući neke zaključke o predznaku skalarnog produkta. Duljine vektora imaju pozitivnu vrijednost, to je očito. To znači da predznak skalarnog umnoška ovisi o vrijednosti kosinusa kuta između vektora.

Mogući slučajevi:

1. Ako je kut između vektora oštar (od 0 0 do 90 0), tada će kosinus kuta imati pozitivnu vrijednost.

2. Ako je kut između vektora tup (od 90 0 do 180 0), tada će kosinus kuta imati negativnu vrijednost.

*Na nula stupnjeva, odnosno kada vektori imaju isti smjer, kosinus je jednak jedan i, prema tome, rezultat će biti pozitivan.

Na 180o, tj. kada vektori imaju suprotne smjerove, kosinus je jednak minus jedan,te će sukladno tome rezultat biti negativan.

Sada ono VAŽNO!

Pod 90 o, odnosno kada su vektori okomiti jedan na drugi, kosinus je jednak nuli, pa je stoga SP jednak nuli. Ova činjenica (posljedica, zaključak) koristi se u rješavanju mnogih problema u kojima je riječ o međusobnom položaju vektora, pa tako iu zadacima koji se nalaze u otvorenoj banci matematičkih zadataka.

Formulirajmo tvrdnju: skalarni produkt je jednak nuli ako i samo ako ti vektori leže na okomitim pravcima.

Dakle, formule za SP vektore:

Ako su poznate koordinate vektora ili koordinate točaka njihovih početaka i krajeva, tada uvijek možemo pronaći kut između vektora:

Razmotrimo zadatke:

27724 Nađite skalarni produkt vektora a i b.

Skalarni produkt vektora možemo pronaći pomoću jedne od dvije formule:

Kut između vektora je nepoznat, ali možemo lako pronaći koordinate vektora i zatim koristiti prvu formulu. Kako se ishodišta oba vektora podudaraju s ishodištima koordinata, koordinate tih vektora jednake su koordinatama njihovih krajeva, tj.

Kako pronaći koordinate vektora opisano je u.

Računamo:

Odgovor: 40

Nađimo koordinate vektora i upotrijebimo formulu:

Za pronalaženje koordinata vektora potrebno je od koordinata kraja vektora oduzeti odgovarajuće koordinate njegovog početka, što znači

Izračunavamo skalarni produkt:

Odgovor: 40

Odredite kut između vektora a i b. Odgovorite u stupnjevima.

Neka koordinate vektora imaju oblik:

Za pronalaženje kuta između vektora koristimo formulu za skalarni produkt vektora:

Kosinus kuta između vektora:

Stoga:

Koordinate ovih vektora su jednake:

Zamijenimo ih u formulu:

Kut između vektora je 45 stupnjeva.

Odgovor: 45

Dakle, duljina vektora se izračunava kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata
. Duljina n-dimenzionalnog vektora izračunava se na sličan način
. Ako se sjetimo da je svaka koordinata vektora razlika između koordinata kraja i početka, tada ćemo dobiti formulu za duljinu segmenta, tj. Euklidska udaljenost između točaka.

Skalarni produkt dva vektora na ravnini umnožak je duljina tih vektora i kosinusa kuta između njih:
. Može se dokazati da skalarni produkt dva vektora = (x 1, x 2) i = (y 1 , y 2) jednaka je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata ovih vektora:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

U n-dimenzionalnom prostoru, skalarni umnožak vektora X= (x 1, x 2,...,x n) i Y= (y 1, y 2,...,y n) definiran je kao zbroj umnožaka njihovih odgovarajućih koordinata: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Operacija međusobnog množenja vektora slična je množenju matrice retka matricom stupca. Naglašavamo da će rezultat biti broj, a ne vektor.

Skalarni produkt vektora ima sljedeća svojstva (aksiome):

1) Komutativno svojstvo: X*Y=Y*X.

2) Svojstvo distribucije u odnosu na zbrajanje: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Za svaki realni broj 
.

4)
, ako X nije nulti vektor;
ako je X nulti vektor.

Linearni vektorski prostor u kojem je dan skalarni umnožak vektora koji zadovoljava četiri odgovarajuća aksioma naziva se Euklidski linearni vektorprostor.

Lako je vidjeti da kada pomnožimo bilo koji vektor samim sobom, dobivamo kvadrat njegove duljine. Dakle, drugačije je duljina vektor se može definirati kao kvadratni korijen njegovog skalarnog kvadrata:.

Duljina vektora ima sljedeća svojstva:

1) |X| = 0H = 0;

2) |X| = ||*|X|, gdje je  realan broj;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky nejednakost);

4) |X+Y||X|+|Y| ( nejednakost trokuta).

Kut  između vektora u n-dimenzionalnom prostoru određuje se na temelju koncepta skalarnog produkta. Zapravo, ako
, To
. Ovaj razlomak nije veći od jedan (prema nejednakosti Cauchy-Bunyakovskog), pa odavde možemo pronaći .

Dva vektora se nazivaju ortogonalni ili okomito, ako je njihov skalarni produkt jednak nuli. Iz definicije skalarnog umnoška proizlazi da je nulti vektor pravokutan na bilo koji vektor. Ako su oba ortogonalna vektora različita od nule, tada je cos= 0, tj.=/2 = 90 o.

Pogledajmo ponovno sliku 7.4. Sa slike se vidi da se kosinus kuta od nagiba vektora prema vodoravnoj osi može izračunati kao
, a kosinus kutanagiba vektora prema okomitoj osi je kao
. Ti se brojevi obično pozivaju kosinus smjera. Lako je provjeriti da je zbroj kvadrata kosinusa smjera uvijek jednak jedan: cos 2 +cos 2 = 1. Slično, pojmovi kosinusa smjera mogu se uvesti za prostore viših dimenzija.

Osnova vektorskog prostora

Za vektore možemo definirati pojmove linearna kombinacija,linearna ovisnost I neovisnost slično kao što su ovi koncepti uvedeni za retke matrice. Također je istina da ako su vektori linearno ovisni, onda se barem jedan od njih može izraziti linearno u terminima ostalih (tj. to je njihova linearna kombinacija). Vrijedi i obrnuto: ako je jedan od vektora linearna kombinacija ostalih, tada su svi ti vektori zajedno linearno ovisni.

Primijetimo da ako među vektorima a l , a 2 ,...a m postoji nulti vektor, tada je taj skup vektora nužno linearno ovisan. Zapravo, dobivamo l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 ako, na primjer, koeficijent j na nultom vektoru izjednačimo s jedinicom, a sve ostale koeficijente s nulom. U tom slučaju neće svi koeficijenti biti jednaki nuli ( j ≠ 0).

Osim toga, ako je neki dio vektora iz skupa vektora linearno ovisan, tada su svi ti vektori linearno ovisni. Zapravo, ako neki vektori daju nulti vektor u svojoj linearnoj kombinaciji s koeficijentima koji nisu oba nula, tada se preostali vektori pomnoženi s nultim koeficijentima mogu dodati ovom zbroju proizvoda, i to će i dalje biti nulti vektor.

Kako odrediti jesu li vektori linearno ovisni?

Na primjer, uzmimo tri vektora: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) i a 3 = (3, 1, 4, 3). Kreirajmo od njih matricu u kojoj će biti stupci:

Tada će se pitanje linearne ovisnosti svesti na određivanje ranga ove matrice. Ako se ispostavi da je jednak tri, tada su sva tri stupca linearno neovisna, a ako se pokaže da je manji, to će značiti linearnu ovisnost vektora.

Budući da je rang 2, vektori su linearno ovisni.

Imajte na umu da bi rješenje problema također moglo započeti razmišljanjem koje se temelji na definiciji linearne neovisnosti. Naime, sastavite vektorsku jednadžbu  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, koja će imati oblik  l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Tada dobivamo sustav jednadžbi:

Rješavanje ovog sustava Gaussovom metodom svodit će se na dobivanje iste matrice koraka, samo što će imati još jedan stupac - slobodni članovi. Svi će oni biti nula, jer linearne transformacije nula ne mogu dovesti do drugačijeg rezultata. Transformirani sustav jednadžbi će imati oblik:

Rješenje ovog sustava bit će (-s;-s; s), gdje je s proizvoljan broj; na primjer, (-1;-1;1). To znači da ako uzmemo  l = -1; 2 =-1 i  3 = 1, tada je  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, tj. vektori su zapravo linearno ovisni.

Iz riješenog primjera postaje jasno da ako uzmemo broj vektora veći od dimenzije prostora, onda će oni nužno biti linearno ovisni. Zapravo, ako u ovom primjeru uzmemo pet vektora, dobili bismo matricu 4 x 5, čiji rang ne može biti veći od četiri. Oni. najveći broj linearno nezavisnih stupaca i dalje ne bi bio veći od četiri. Dva, tri ili četiri četverodimenzionalna vektora mogu biti linearno neovisna, ali pet ili više ne mogu. Prema tome, na ravnini ne mogu biti linearno neovisna više od dva vektora. Bilo koja tri vektora u dvodimenzionalnom prostoru su linearno ovisna. U trodimenzionalnom prostoru svaka četiri (ili više) vektora uvijek su linearno ovisna. I tako dalje.

Zato dimenzija prostor se može definirati kao najveći broj linearno neovisnih vektora koji se u njemu mogu nalaziti.

Skup od n linearno neovisnih vektora n-dimenzionalnog prostora R naziva se osnova ovaj prostor.

Teorema. Svaki vektor linearnog prostora može se prikazati kao linearna kombinacija baznih vektora, i to na jedinstven način.

Dokaz. Neka vektori e l , e 2 ,...e n tvore bazično-dimenzionalni prostor R. Dokažimo da je svaki vektor X linearna kombinacija ovih vektora. Budući da će zajedno s vektorom X broj vektora postati (n +1), ti (n +1) vektori će biti linearno ovisni, tj. postoje brojevi l , 2 ,..., n ,, koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da je

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +H = 0

U ovom slučaju, 0, jer inače bismo dobili l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, gdje nisu svi koeficijenti l , 2 ,..., n jednaki nuli. To znači da bi bazni vektori bili linearno ovisni. Stoga obje strane prve jednadžbe možemo podijeliti s:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

H = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

H = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

gdje je x j = -( j /),
.

Sada dokazujemo da je takav prikaz u obliku linearne kombinacije jedinstven. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji još jedan prikaz:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Oduzimajmo od njega član po član prethodno dobiveni izraz:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Budući da su bazni vektori linearno neovisni, dobivamo da je (y j - x j) = 0,
, tj. y j ​​​​= x j . Dakle, izraz je ispao isti. Teorem je dokazan.

Izraz X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n naziva se raspad vektor X temeljen na e l, e 2,...e n, i brojevima x l, x 2,...x n - koordinate vektor x u odnosu na ovu bazu, ili u ovoj bazi.

Može se dokazati da ako su vektori različiti od nule n-dimenzionalnog euklidskog prostora ortogonalni u paru, onda oni tvore bazu. Zapravo, pomnožimo obje strane jednakosti l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 bilo kojim vektorom e i. Dobivamo  l (e l *e i) +  2 (e 2 *e i) +...+  n (e n *e i) = 0   i (e i *e i) = 0   i = 0 za  i.

Vektori e l , e 2 ,...e n n-dimenzionalnog oblika Euklidskog prostora ortonormirana baza, ako su ti vektori po paru ortogonalni i norma svakog od njih je jednaka jedinici, tj. ako je e i *e j = 0 za i≠j i |e i | = 1 zai.

Teorem (bez dokaza). U svakom n-dimenzionalnom euklidskom prostoru postoji ortonormirana baza.

Primjer ortonormirane baze je sustav od n jediničnih vektora e i , za koji je i-ta komponenta jednaka jedinici, a preostale komponente jednake su nuli. Svaki takav vektor naziva se ort. Na primjer, vektorski vektori (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1) čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Kut između vektora

Razmotrimo dva dana vektora $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$. Oduzmimo vektore $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ i $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ od proizvoljno odabrane točke $O$, tada se kut $AOB$ naziva kut između vektora $\overrightarrow( a)$ i $\overrightarrow(b)$ (slika 1).

Slika 1.

Imajte na umu da ako su vektori $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ kosmjerni ili je jedan od njih nulti vektor, tada je kut između vektora $0^0$.

Napomena: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Pojam točkastog produkta vektora

Matematički se ova definicija može napisati na sljedeći način:

Točkasti proizvod može biti nula u dva slučaja:

Ako je jedan od vektora nulti vektor (Od tada je njegova duljina nula).

Ako su vektori međusobno okomiti (to je $cos(90)^0=0$).

Imajte na umu također da je skalarni umnožak veći od nule ako je kut između ovih vektora oštar (jer $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , i manje od nule ako je kut između ovih vektora tup (jer $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

S pojmom skalarnog umnoška povezan je i pojam skalarnog kvadrata.

Definicija 2

Skalarni kvadrat vektora $\overrightarrow(a)$ je skalarni produkt ovog vektora sa samim sobom.

Nalazimo da je skalarni kvadrat jednak

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\lijevo|\overrightarrow(a)\desno|\lijevo|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\lijevo|\overrightarrow(a )\desno|\lijevo|\strelica iznaddesna(a)\desno|=(\lijevo|\strelica iznaddesno(a)\desno|)^2\]

Izračunavanje točkastog produkta iz vektorskih koordinata

Osim standardnog načina pronalaženja vrijednosti skalarnog umnoška, ​​koji slijedi iz definicije, postoji još jedan način.

Razmotrimo to.

Neka vektori $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ imaju koordinate $\left(a_1,b_1\right)$ odnosno $\left(a_2,b_2\right)$.

Teorem 1

Skalarni umnožak vektora $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ jednak je zbroju umnožaka odgovarajućih koordinata.

Matematički se to može napisati na sljedeći način

\[\strelica preko desne(a)\strelica preko desne(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dokaz.

Teorem je dokazan.

Ovaj teorem ima nekoliko posljedica:

Korolar 1: Vektori $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ su okomiti ako i samo ako $a_1a_2+b_1b_2=0$

Korolar 2: Kosinus kuta između vektora jednak je $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Svojstva skalarnog umnoška vektora

Za bilo koja tri vektora i realni broj $k$ vrijedi sljedeće:

$(\gornja strelica(a))^2\ge 0$

Ovo svojstvo proizlazi iz definicije skalarnog kvadrata (Definicija 2).

Zakon o putovanju:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Ovo svojstvo proizlazi iz definicije skalarnog produkta (Definicija 1).

Distributivni zakon:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(nabrojati)

Prema teoremu 1 imamo:

\[\lijevo(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\desno)\overrightarrow(c)=\lijevo(a_1+a_2\desno)a_3+\lijevo(b_1+b_2\desno)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\strelica preko desno(a)\strelica preko desno(c)+\strelica preko desno(b)\strelica preko desno(c)\]

Kombinacijski zakon:$\lijevo(k\desnastrelica(a)\desno)\desnastrelica(b)=k(\desnastrelica(a)\desnastrelica(b))$. \end(nabrojati)

Prema teoremu 1 imamo:

\[\lijevo(k\desnastrelica(a)\desno)\desnastrelica(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\lijevo(a_1a_2+b_1b_2\desno)=k(\desnastrelica(a)\desnastrelica(b))\]

Primjer zadatka za izračunavanje skalarnog umnoška vektora

Primjer 1

Pronađite skalarni produkt vektora $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ ako je $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$, a kut između njih jednak je $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Riješenje.

Koristeći definiciju 1, dobivamo

Za $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\desno)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Za $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\desno)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Za $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\desno)\ )=6\cdot 0=0\]

Za $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\desno)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ desno)=-3\sqrt(2)\]

Predavanje: Vektorske koordinate; skalarni produkt vektora; kut između vektora

Vektorske koordinate

Dakle, kao što je ranije spomenuto, vektor je usmjeren segment koji ima svoj početak i kraj. Ako su početak i kraj prikazani određenim točkama, onda one imaju svoje koordinate na ravnini ili u prostoru.

Ako svaka točka ima svoje koordinate, tada možemo dobiti koordinate cijelog vektora.

Recimo da imamo vektor čiji početak i kraj imaju sljedeće oznake i koordinate: A(A x ; Ay) i B(B x ; By)

Za dobivanje koordinata zadanog vektora potrebno je od koordinata kraja vektora oduzeti odgovarajuće koordinate početka:

Za određivanje koordinata vektora u prostoru upotrijebite sljedeću formulu:

Točkasti umnožak vektora

Postoje dva načina za definiranje koncepta skalarnog proizvoda:

• Geometrijska metoda. Prema njemu, skalarni proizvod jednak je proizvodu vrijednosti ovih modula i kosinusa kuta između njih.

• Algebarsko značenje. S gledišta algebre, skalarni umnožak dvaju vektora je određena veličina koja je dobivena kao rezultat zbroja umnožaka odgovarajućih vektora.

Ako su vektori zadani u prostoru, tada biste trebali koristiti sličnu formulu:

Svojstva:

• Ako pomnožite dva identična vektora skalarno, tada njihov skalarni produkt neće biti negativan:

• Ako se ispostavi da je skalarni produkt dva identična vektora jednak nuli, tada se ti vektori smatraju nulom:

• Ako se određeni vektor pomnoži sam sa sobom, tada će skalarni umnožak biti jednak kvadratu njegovog modula:

• Skalarni umnožak ima komunikativno svojstvo, odnosno skalarni umnožak se neće promijeniti ako se vektori preurede:

• Skalarni produkt vektora koji nisu nula može biti jednak nuli samo ako su vektori okomiti jedan na drugi:

• Za skalarni produkt vektora vrijedi komutativni zakon u slučaju množenja jednog od vektora brojem:

• Sa skalarnim produktom također možete koristiti svojstvo distribucije množenja:

Kut između vektora

U slučaju ravninskog problema, skalarni produkt vektora a = (a x; a y) i b = (b x; b y) može se pronaći pomoću sljedeće formule:

a b = a x b x + a y b y

Formula za skalarni produkt vektora za prostorne probleme

U slučaju prostornog problema, skalarni produkt vektora a = (a x; a y; a z) i b = (b x; b y; b z) može se pronaći pomoću sljedeće formule:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Formula za skalarni produkt n-dimenzionalnih vektora

U slučaju n-dimenzionalnog prostora, skalarni produkt vektora a = (a 1; a 2; ...; a n) i b = (b 1; b 2; ...; b n) može se pronaći pomoću sljedeća formula:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Svojstva skalarnog umnoška vektora

1. Skalarni produkt vektora sa samim sobom uvijek je veći ili jednak nuli:

2. Skalarni umnožak vektora sa samim sobom jednak je nuli ako i samo ako je vektor jednak nultom vektoru:

a · a = 0<=>a = 0

3. Skalarni produkt vektora sa samim sobom jednak je kvadratu njegovog modula:

4. Operacija skalarnog množenja je komunikativna:

5. Ako je skalarni umnožak dva vektora različita od nule jednak nuli, onda su ti vektori ortogonalni:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Operacija skalarnog množenja je distributivna:

(a + b) c = a c + b c

Primjeri zadataka za izračunavanje skalarnog umnoška vektora

Primjeri izračunavanja skalarnog umnoška vektora za ravninske probleme

Odredite skalarni produkt vektora a = (1; 2) i b = (4; 8).

Riješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Nađite skalarni produkt vektora a i b ako su njihove duljine |a| = 3, |b| = 6, a kut između vektora je 60˚.

Riješenje: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Odredite skalarni umnožak vektora p = a + 3b i q = 5a - 3 b ako su njihove duljine |a| = 3, |b| = 2, a kut između vektora a i b je 60˚.

Riješenje:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Primjer izračuna skalarnog umnoška vektora za prostorne probleme

Odredite skalarni umnožak vektora a = (1; 2; -5) i b = (4; 8; 1).

Riješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Primjer izračuna točkastog produkta za n-dimenzionalne vektore

Odredite skalarni umnožak vektora a = (1; 2; -5; 2) i b = (4; 8; 1; -2).

Riješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Umnožak vektora i vektora naziva se treći vektor definiran na sljedeći način:

2) okomit, okomit. (1"")

3) vektori su orijentirani na isti način kao i baza cijelog prostora (pozitivno ili negativno).

Označite: .

Fizičko značenje vektorskog umnoška

— moment sile u odnosu na točku O; - polumjer - vektor točke primjene sile, zatim

Štoviše, ako ga pomaknemo u točku O, tada bi trojka trebala biti orijentirana kao bazni vektor.