Priča
Definicija 1
Leonhardu Euleru postavljeno je pitanje: je li moguće, šetajući Königsbergom, obići sve gradske mostove, a da ni jednim od njih ne prođete dva puta. Uključen je plan grada sa sedam mostova.
U pismu jednom talijanskom matematičaru kojeg je poznavao, Euler je dao kratko i lijepo rješenje problema königsberških mostova: s takvim rasporedom problem je nerješiv. Ujedno je naznačio da mu se pitanje čini zanimljivim jer... “Ni geometrija ni algebra nisu dovoljne da se to riješi...”.
Prilikom rješavanja mnogih zadataka L. Euler je skupove prikazivao kružnicama, po čemu su i dobili naziv "Eulerove kružnice". Ovu metodu ranije je koristio njemački filozof i matematičar Gottfried Leibniz, koji je njima geometrijski objašnjavao logičke veze između pojmova, ali su češće koristili linearne dijagrame. Euler je prilično temeljito razvio metodu. Posebno poznati grafičke metode postao zahvaljujući engleskom logičaru i filozofu Johnu Vennu, koji je uveo Vennove dijagrame, a slične dijagrame često nazivamo Euler-Vennovi dijagrami. Koriste se u mnogim poljima, na primjer, u teoriji skupova, teoriji vjerojatnosti, logici, statistici i informatici.
Princip dijagramiranja
Do sada su se Euler-Vennovi dijagrami široko koristili za shematski prikaz svih mogućih sjecišta nekoliko skupova. Dijagrami prikazuju svih $2^n$ kombinacija n svojstava. Na primjer, kada je $n=3$ dijagram prikazuje tri kruga sa središtima u vrhovima jednakostraničan trokut i isti radijus, koji je približno jednaka duljini stranice trokuta.
Logičke operacije definiraju tablice istinitosti. Dijagram prikazuje krug s nazivom skupa koji predstavlja, na primjer $A$. Područje u sredini kruga $A$ će predstavljati istinitost izraza $A$, a područje izvan kruga će označavati laž. Za prikaz logičke operacije osjenčana su samo ona područja u kojima su vrijednosti logičke operacije za skupove $A$ i $B$ istinite.
Na primjer, konjunkcija dvaju skupova $A$ i $B$ istinita je samo ako su oba skupa istinita. U ovom slučaju, u dijagramu, rezultat konjunkcije $A$ i $B$ bit će područje u sredini krugova, koje istovremeno pripada skupu $A$ i skupu $B$ (sjecište skupova).
Slika 1. Konjunkcija skupova $A$ i $B$
Korištenje Euler-Vennovih dijagrama za dokazivanje logičkih jednakosti
Pogledajmo kako se metoda konstruiranja Euler-Vennovih dijagrama koristi za dokazivanje logičkih jednakosti.
Dokažimo De Morganov zakon koji je opisan jednakošću:
Dokaz:
Slika 4. Inverzija $A$
Slika 5. Inverzija $B$
Slika 6. Konjunkcija inverzija $A$ i $B$
Usporedbom površine za prikaz lijevog i desnog dijela vidimo da su jednaki. Iz ovoga slijedi valjanost logičke jednakosti. De Morganov zakon je dokazan pomoću Euler-Vennovog dijagrama.
Rješavanje problema traženja informacija na Internetu pomoću Euler-Vennovih dijagrama
Za traženje informacija na Internetu prikladno je koristiti upite za pretraživanje s logičkim poveznicima, koji su po značenju slični veznicima "i", "ili" u ruskom jeziku. Značenje logičkih veznika postaje jasnije ako se ilustriraju Euler-Vennovim dijagramima.
Primjer 1
Tablica prikazuje primjere upita prema poslužitelju pretraživanja. Svaki zahtjev ima svoju šifru - slovo od $A$ do $B$. Morate rasporediti kodove zahtjeva silaznim redoslijedom prema broju pronađenih stranica za svaki zahtjev.
Slika 7.
Riješenje:
Izgradimo Euler-Vennov dijagram za svaki zahtjev:
Slika 8.
Odgovor: BVA.
Rješavanje logičkog smislenog problema korištenjem Euler-Vennovih dijagrama
Primjer 2
Tijekom zimskih praznika, od 36$ učenika 2$d razreda nisu išli u kino, kazalište ili cirkus. $25$ ljudi je išlo u kino, $11$ ljudi je išlo u kazalište, $17$ ljudi je išlo u cirkus; i u kinu i u kazalištu - 6$; i u kino i u cirkus - 10$; a u kazalište i cirkus - 4$.
Koliko je ljudi bilo u kinu, kazalištu i cirkusu?
Riješenje:
Označimo s $x$ broj djece koja su bila u kinu, kazalištu i cirkusu.
Napravimo dijagram i saznajmo broj momaka u svakom području:
Slika 9.
Nisam bio u kazalištu, kinu ili cirkusu - 2$ po osobi.
Dakle, $36 - 2 = $34 ljudi. prisustvovao događajima.
$6$ ljudi je išlo u kino i kazalište, što znači samo u kino i kazalište ($6 - x)$ ljudi.
U kino i cirkus je išlo 10$ ljudi, znači samo u kino i cirkus (10$ - x$) ljudi.
$4$ ljudi je išlo u kazalište i cirkus, što znači da je samo $4 - x$ ljudi išlo u kazalište i cirkus.
U kino je išlo 25$ ljudi, što znači da je samo u kino otišlo 25$ - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.
Slično tome, samo ($1+x$) ljudi je išlo u kazalište.
Samo ($3+x$) ljudi je išlo u cirkus.
Dakle, otišli smo u kazalište, kino i cirkus:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;
Oni. samo je jedna osoba išla u kazalište, kino i cirkus.
VENNOV DIJAGRAMI - grafička metoda zadaci i analiza logičko-matematičkih teorija i njihovih formula. Konstruiraju se dijeljenjem dijela ravnine na ćelije (podskupove) sa zatvorenim konturama (Jordanove krivulje). Ćelije predstavljaju informacije koje karakteriziraju teoriju ili formulu koja se razmatra. Svrha konstruiranja dijagrama nije samo ilustrativna, već i operativno – algoritamska obrada informacija. Aparat za Vennov dijagram obično se koristi zajedno s analitičkim.
Metoda podjele, broj ćelija, kao i problemi bilježenja informacija u njima ovise o teoriji koja se razmatra, a koja se može uvesti (opisati) i grafički - nekim Vennovim dijagramima, inicijalno specificiranim, posebice, zajedno s algoritmi za njihove transformacije, kada neki dijagrami mogu djelovati kao operatori, djelujući na druge dijagrame. Na primjer, u slučaju klasičnog iskazna logika za formule sastavljene od n različitih propozicijskih varijabli, dio ravnine (svemira) podijeljen je u ćelije od 2" koje odgovaraju sastavnicama (u konjunktivnom ili disjunktivnom obliku). Vennov dijagram svake formule smatra se takvom ravninom u ćelijama od kojih se stavlja (ili ne) zvjezdica *.Dakle, formula
(¬ a& ¬ b&c) V (a&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)
s tri propozicijske varijable a, b i c određen je dijagramom prikazanim na slici, gdje zvjezdice u ćelijama odgovaraju konjunktivnim komponentama ove savršene normalne disjunktivne formule. Ako nema ćelija označenih zvjezdicama, tada je Vennov dijagram povezan s, na primjer, identično lažnom formulom, recimo (a&¬a).
Induktivna metoda dijeljenja ravnine na 2" ćelije seže u radove engleskog logičara J. Venna, naziva se Vennova metoda i sastoji se od sljedećeg:
1. Za n = 1, 2, 3, krugovi se koriste na očit način. (Na prikazanoj slici n = 3.)
2. Pretpostavimo da je za n = k (k ≥ 3), raspored k figura zadan tako da je ravnina podijeljena na 2k ćelija.
Zatim, za lociranje k+1 likova na ovoj ravnini, dovoljno je, prvo, odabrati otvorenu krivulju (usp. bez točaka samosjecišta, tj. otvorenu Jordanovu krivulju koja pripada granicama svih 2k ćelija i ima samo jednu zajedničku komad sa svakom od ovih granica. Drugo, krug φ zatvorena Jordanova krivulja Ψ k+1 tako da krivulja Ψ k+1 je prošao kroz svih 2k ćelija i prešao granicu svake ćelije samo dva puta. To će rezultirati rasporedom od n= k+1 figura tako da je ravnina podijeljena na 2k+1 ćelija.
Metoda Vennovog dijagrama proširena je za predstavljanje drugih logičko-matematičkih teorija. Sama teorija je napisana tako da ističe elemente svog jezika na način prikladan za grafička slika oblik. Na primjer, atomske formule klasične logike predikata pišu se kao riječi oblika P(Y1..Yr), gdje je P predikat, a Y1,..., Yr su subjektne varijable, koje nisu nužno različite; riječ Y1,..., Yr je subjektni infiks. Očigledna teorijska priroda Vennovih dijagrama omogućuje predstavljanje i proučavanje uz njihovu pomoć, posebno teoretskih izračuna, na primjer, ZF računa Zermelo-Fraenkel teorije skupova. Grafičke metode u logici i matematici razvijale su se dugo vremena. To su, posebice, logički kvadrat, Eulerovi krugovi i izvorni dijagrami L. Carrolla. Međutim, metoda Vennovog dijagrama značajno se razlikuje od poznate metode Eulerovog kruga koja se koristi u tradicionalnoj silogistici. Vennovi dijagrami temelje se na ideji rastavljanja Booleove funkcije na sastavne dijelove - što je središnje mjesto u algebri logike, što određuje njihovu operativnu prirodu. Venn je koristio svoje dijagrame prvenstveno za rješavanje problema klasne logike. Njegovi se dijagrami također mogu učinkovito koristiti za rješavanje problema propozicijske i predikatske logike, pregled posljedica iz premisa, rješavanje logičkih jednadžbi, kao i drugih pitanja, sve do problema rješivosti. Aparat Vennovog dijagrama koristi se u primjenama matematičke logike i teorije automata, posebice u rješavanju problema vezanih uz neuronske sklopove i problem sintetiziranja pouzdanih sklopova iz relativno slabo pouzdanih elemenata.
A. S. Kuzičev
Nova filozofska enciklopedija. U četiri sveska. / Institut za filozofiju RAS. Znanstveno izd. savjet: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G.Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, vol. I, A - D, str. 645.
Književnost:
Venn J. Simbolička logika. L., 1881. Ed. 2, rev. L., 1894.;
Kuzichev A. S. Vennovi dijagrami. Povijest i primjene. M., 1968.;
To je on. Rješavanje nekih matematičkih logičkih problema pomoću Vennovih dijagrama. - U knjizi: Proučavanje logičkih sustava. M., 1970.
Jednakost skupova.
Setovi A I U smatraju se jednakima ako se sastoje od istog elementi.
Jednakost skupova se označava na sljedeći način: A = B.
Ako skupovi nisu jednaki, napiši A ¹ B.
Zapisivanje jednakosti dvaju skupova A = B je ekvivalentno pisanju AÌ U, ili UÌ A.
Na primjer, skup rješenja jednadžbe x 2 - 5x+ 6 = 0 sadrži iste elemente (brojeve 2 i 3) kao i skup prostih brojeva manjih od pet. Ova dva skupa su jednaka. (Poziva se prosti broj prirodni broj, koji je bez ostatka djeljiv samo s 1 i samim sobom; dok 1 - glavni broj nije.)
Presjek (množenje) skupova.
Gomila D, koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju i skup A i set B, naziva se presjek skupova A I U i naznačen je D = A U.
Razmotrimo dva skupa: x= (0, 1, 3, 5) i Y= (1, 2, 3, 4). Brojevi 1 i 3 i samo oni pripadaju oba skupa istovremeno x I Y. Skup (1, 3) sastavljen od njih sadrži sve zajedničke skupove x I Y elementi. Dakle, skup (1, 3) je presjek razmatranih skupova x I Y:
{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.
Za segment [-1; 1] i interval ]0; 3[ sjecište, tj. skup koji se sastoji od zajedničkih elemenata, je interval ]0; 1] (slika 1).
Riža. 1. Presijecanje segmenta [-1; 1] i interval ]0; 3[ je interval ]0; 1]
Sjecište skupa pravokutnika i skupa rombova je skup kvadrata.
Sjecište skupa učenika osmog razreda dane škole i skupa članova kemijskog kluba te iste škole je skup učenika osmog razreda koji su članovi kemijskog kluba.
Sjecište skupova (i drugih operacija - vidi dolje) dobro je ilustrirano vizualnim prikazom skupova na ravnini. Euler je predložio korištenje krugova za ovo. Slika presjeka (u sivoj boji) skupova A I U pomoću Eulerovih krugova prikazano je na sl. 2.
Riža. 3. Euler-Vennov dijagram presjeka (označeno sivom bojom) skupova A I U, koji su podskupovi određenog svemira, prikazani kao pravokutnik
Ako skupovi A I U nemaju zajedničkih elemenata, onda kažu da se ti skupovi ne sijeku ili da je njihovo sjecište prazan skup, i pišu A U = Æ.
Na primjer, presjek skupa Parni brojevi s mnogo neparnih brojeva je prazna.
Sjecište numeričkih intervala ]-1 također je prazno; 0] i -1; 0] i )
