Za izravna mjerenja

1. Neka se na voltmetru jednom izmjere dva napona U 1 = 10 V, U 2 = 200 V. Voltmetar ima sljedeće karakteristike: klasa točnosti d klasa t = 0,2, U max = 300 V.

Odredimo apsolutne i relativne pogreške ovih mjerenja.

Budući da su oba mjerenja napravljena na istom uređaju, D U 1 = D U 2 i izračunavaju se pomoću formule (B.4)

Prema definiciji, relativne pogreške U 1 i U 2 su redom jednaki

ε 1 = 0,6 ∙ V / 10 V = 0,06 = 6%,

ε 2 = 0,6 ∙ V / 200 V = 0,003 = 0,3%.

Iz danih rezultata izračuna ε 1 i ε 2 jasno je da je ε 1 značajno veće od ε 2.

To dovodi do pravila: trebali biste odabrati uređaj s takvom granicom mjerenja da očitanja budu u zadnjoj trećini ljestvice.

2. Neka se neka količina mnogo puta mjeri, odnosno proizvodi n pojedinačna mjerenja ove količine A x 1 , A x 2 ,...,A x 3 .

Zatim se za izračunavanje apsolutne pogreške izvode sljedeće operacije:

1) pomoću formule (B.5) odredite aritmetičku srednju vrijednost A 0 izmjerena vrijednost;

2) izračunati zbroj kvadrata odstupanja pojedinačnih mjerenja od nađene aritmetičke sredine i pomoću formule (B.6) odrediti srednju kvadratnu pogrešku, koja karakterizira apsolutnu pogrešku jednog mjerenja za više izravnih mjerenja određene vrijednosti. ;

3) relativna pogreška ε izračunava se pomoću formule (B.2).

Izračun apsolutne i relativne pogreške

S neizravnim mjerenjem

Izračunavanje pogrešaka u neizravnim mjerenjima je teži zadatak, jer je u ovom slučaju željena vrijednost funkcija drugih pomoćnih veličina, čije mjerenje je popraćeno pojavom pogrešaka. Obično se kod mjerenja, osim pogrešaka, slučajne pogreške pokažu vrlo malima u usporedbi s izmjerenom vrijednošću. Toliko su mali da drugi ili više visoki stupnjevi greške leže izvan točnosti mjerenja i mogu se zanemariti. Zbog malenkosti grešaka za dobivanje formule greške
metode diferencijalnog računa koriste se za mjerenje neizravno mjerene veličine. Kada se veličina mjeri neizravno, kada se izravno mjere količine povezane s nekim željenim matematičkim odnosom, prikladnije je prvo odrediti relativnu pogrešku, a zatim
Pomoću pronađene relativne pogreške izračunajte apsolutnu pogrešku mjerenja.

Diferencijalni račun daje najjednostavniji način za određivanje relativne pogreške u neizravnom mjerenju.

Neka potrebna količina A povezan je funkcionalnom ovisnošću s više neovisnih neposredno mjerljivih veličina x 1 ,
x 2 , ..., x k, tj.

A= f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Za određivanje relativne pogreške vrijednosti A uzeti prirodni logaritam obje strane jednakosti

ul A= log f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Zatim se izračunava razlika prirodni logaritam funkcije
A= f(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln A=dln f(x 1 , x 2 , ..., x k)

Sve moguće algebarske transformacije i pojednostavljenja izvode se u rezultirajućem izrazu. Nakon toga se svi diferencijalni simboli d zamjenjuju simbolima pogreške D, a negativni predznaci ispred diferencijala nezavisnih varijabli zamjenjuju se pozitivnim, tj. uzima se najnepovoljniji slučaj kada se zbroje sve pogreške. U tom slučaju izračunava se najveća pogreška rezultata.

Rekavši to

ali ε = D A / A

Ovaj izraz je formula za relativnu pogrešku količine A kod neizravnih mjerenja utvrđuje relativnu pogrešku željene vrijednosti, kroz relativne pogreške mjernih vrijednosti. Izračunavši relativnu pogrešku pomoću formule (B.11),
odrediti apsolutnu pogrešku vrijednosti A kao umnožak relativne pogreške i izračunate vrijednosti A tj.

D A = ε A, (AT 12)

gdje je ε izražen kao bezdimenzionalni broj.

Dakle, relativne i apsolutne pogreške neizravno mjerene veličine treba izračunati sljedećim redoslijedom:

1) uzeti formulu kojom se izračunava željena vrijednost (formula za izračun);

2) uzmite prirodni logaritam obje strane formule za izračun;

3) izračunati puni diferencijal prirodni logaritam željene količine;

4) sve moguće algebarske transformacije i pojednostavljenja izvode se u rezultirajućem izrazu;

5) simbol diferencijala d zamijenjen je simbolom pogreške D, dok su svi negativni predznaci ispred diferencijala nezavisnih varijabli zamijenjeni pozitivnim (vrijednost relativne pogreške bit će maksimalna), a formula relativne pogreške je dobiveno;

6) izračunava se relativna pogreška izmjerene veličine;

7) na temelju izračunate relativne pogreške izračunava se apsolutna pogreška neizravnog mjerenja pomoću formule (B.12).

Pogledajmo nekoliko primjera izračuna relativnih i apsolutnih pogrešaka u neizravnim mjerenjima.

1. Potrebna količina A vezane uz izravno mjerljive veličine x, na, z omjer

Gdje a I b– konstantne vrijednosti.

2. Uzmite prirodni logaritam izraza (B.13)

3. Izračunajte ukupni diferencijal prirodnog logaritma željene količine A, odnosno razlikujemo (B.13)

4. Izvodimo transformacije. S obzirom da d A= 0, jer A= const,cos na/grijeh g=ctg g, dobivamo:

5. Zamijenite simbole diferencijala simbolima greške i znak minus ispred diferencijala znakom plus.

6. Izračunavamo relativnu pogrešku izmjerene veličine.

7. Na temelju izračunate relativne pogreške izračunava se apsolutna pogreška neizravnog mjerenja prema formuli (B.12), tj.

Određuje se valna duljina žuta boja pomoću spektralne linije žive difrakcijska rešetka(koristeći prihvaćeni niz za izračunavanje relativnih i apsolutnih pogrešaka za žutu valnu duljinu).

1. Valna duljina žute boje u ovom slučaju određena je formulom:

Gdje S– konstanta difrakcijske rešetke (neizravno mjerena vrijednost); φ w – kut ogiba žute linije u ovim redom spektar (izravno mjerena veličina); K g – redoslijed spektra u kojem je promatrano.

Konstanta ogibne rešetke izračunava se formulom

Gdje K h – redoslijed spektra zelene linije; λ z – poznata valna duljina zelene boje (λ z – konstanta); φz – ogibni kut zelene linije u zadanom spektralnom poretku (izravno mjerena vrijednost).

Zatim, uzimajući u obzir izraz (B.15)

(B.16)

Gdje K h, K g – observable, koje se smatraju konstantama; φ h, φ w – su
neposredno mjerljive veličine.

Izraz (B.16) je formula za izračun za žutu valnu duljinu određenu pomoću difrakcijske rešetke.

4. d K z = 0; d K w = 0; dλ z = 0, jer K h, K g i λ h – konstantne vrijednosti;

Zatim

5. (B.17)

gdje su Dφ w, Dφ h – apsolutne pogreške u mjerenju ogibnog kuta žute boje
i zelene linije spektra.

6. Izračunajte relativnu pogrešku žute valne duljine.

7. Izračunajte apsolutnu pogrešku žute valne duljine:

Dλ f = ελ f.

Neka veličina koja se mjeri ima poznatu vrijednost x. Naravno, pojedinačne vrijednosti ove količine pronađene su tijekom procesa mjerenja x1 , x2 ,… xn očito nisu posve točni, tj. ne podudaraju x. Zatim vrijednost
bit će apsolutna pogreška ja th dimenzija. Ali budući da pravo značenje proizlaziti x, obično nije poznata, tada se umjesto X koristi stvarna procjena apsolutne pogreške prosjek
, koja se izračunava po formuli:

Međutim, za male veličine uzorka, umjesto
poželjno koristiti medijan. Medijan (ja) je vrijednost slučajne varijable x takva da polovica rezultata ima vrijednost manju od, a druga polovica ima vrijednost veću od Meh. Izračunati Meh rezultati se poredaju uzlaznim redoslijedom, odnosno čine tzv varijacijske serije. Za neparan broj mjerenja n, medijan je jednak vrijednosti srednjeg člana serije. Na primjer,
za n=3

Za parni n, vrijednost Meh jednak polovici zbroja vrijednosti dva prosječna rezultata. Na primjer,
za n=4

Za izračun s koristite nezaokružene rezultate analize s nepreciznim zadnjim decimalnim mjestom.
Na vrlo veliki broj uzorci ( n>
) slučajne pogreške mogu se opisati korištenjem normalnog Gaussovog zakona distribucije. Na malom n distribucija se može razlikovati od normalne. U matematička statistika ova dodatna nepouzdanost eliminirana je modificiranim simetričnim t-distribucija. Postoji neki koeficijent t, koji se naziva Studentov koeficijent, koji, ovisno o broju stupnjeva slobode ( f) i vjerojatnost povjerenja ( R) omogućuje vam prijelaz s uzorka na populaciju.
Standardna devijacija prosječnog rezultata
određuje se formulom:

Veličina

je interval pouzdanosti srednje vrijednosti
. Za serijske analize obično se pretpostavlja R= 0,95.

Tablica 1. Vrijednosti studentskog koeficijenta ( t)

f

Primjer 1 . Iz deset određivanja sadržaja mangana u uzorku potrebno je izračunati standardna devijacija pojedinačna analiza i interval pouzdanosti srednje vrijednosti Mn%: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Riješenje. Pomoću formule (1) izračunava se prosječna vrijednost analize

Prema tablici 1 (Dodatak) pronađite Studentov koeficijent za f=n-1=9 (P=0,95) t=2,26 i izračunajte interval pouzdanosti srednje vrijednosti. Dakle, prosječna vrijednost analize određena je intervalom (0,679 ± 0,009) % Mn.

Primjer 2 . Prosjek od devet mjerenja tlaka vodene pare iznad otopine uree pri 20°C je 2,02 kPa. Standardna devijacija uzorka mjerenja s = 0,04 kPa. Odredite širinu intervala pouzdanosti za prosjek od devet i jedno mjerenje koje odgovara 95%-tnoj vjerojatnosti pouzdanosti.
Riješenje. Koeficijent t za razinu pouzdanosti od 0,95 i f = 8 je 2,31. S obzirom na to

I
, pronašli smo:

- širina će biti pouzdana. interval za prosječnu vrijednost

- širina će biti pouzdana. interval za mjerenje jedne vrijednosti

Ako postoje rezultati analize uzoraka s različitim sadržajem, onda iz parcijalnih prosjeka s usrednjavanjem možete izračunati ukupnu prosječnu vrijednost s. imajući m uzoraka i za svaki uzorak provođenje nj paralelnih definicija, rezultati su prikazani u obliku tablice:

Broj uzorak	Broj analize

Prosječna pogreška se izračunava iz jednadžbe:

sa stupnjevima slobode f = n – m, gdje je n – ukupni broj definicije n=m. nj.

Primjer 2. Izračunajte prosječnu pogrešku određivanja mangana u pet uzoraka čelika s različitim sadržajem. Analitske vrijednosti, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Riješenje. Pomoću formule (1) nalaze se prosječne vrijednosti u svakom uzorku, zatim se izračunavaju kvadratne razlike za svaki uzorak, a pogreška se izračunava pomoću formule (5).
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Vrijednosti kvadrata razlika
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Prosječna pogreška za f = 4,5 – 5 = 15

s= 0,014% (apsolutno pri f=15 stupnjeva slobode).

Kada se provode dva paralelna određivanja za svaki uzorak i pronađu se vrijednosti X" I X", za uzorke jednadžba se pretvara u izraz.

Apsolutna i relativna greška brojeva.

Kao obilježja točnosti približnih veličina bilo kojeg podrijetla uvode se pojmovi apsolutne i relativne pogreške tih veličina.

Označimo s a aproksimaciju točnog broja A.

Definirati. Količina se naziva pogreška približnog broja a.

Definicija. Apsolutna pogreška približan broj a naziva se količina
.

Praktično točan broj A obično je nepoznat, ali uvijek možemo naznačiti granice unutar kojih varira apsolutna pogreška.

Definicija. Maksimalna apsolutna greška približni broj a naziva se najmanja gornja granica za količinu , koji se mogu pronaći ovom metodom dobivanja broja.

U praksi, kao odaberite jednu od gornjih granica za , sasvim blizu najmanjeg.

Jer
, To
. Ponekad pišu:
.

Apsolutna pogreška je razlika između rezultata mjerenja

i prava (stvarna) vrijednost izmjerena količina.

Apsolutna pogreška i najveća apsolutna pogreška nisu dovoljne za karakterizaciju točnosti mjerenja ili izračuna. Kvalitativno, veličina relativne pogreške je značajnija.

Definicija. Relativna greška Približan broj nazivamo količinom:

Definicija. Maksimalna relativna pogreška približan broj a nazovimo količinu

Jer
.

Dakle, relativna pogreška zapravo određuje veličinu apsolutne pogreške po jedinici izmjerenog ili izračunatog približnog broja a.

Primjer. Zaokružujući točne brojeve A na tri značajne brojke, odredite

apsolutne D i relativne δ pogreške dobivenog približnog

dano:

Pronaći:

∆-apsolutna greška

δ – relativna greška

Riješenje:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a 0

*100%=0.203%

Odgovor:=0,027; δ=0,203%

2. Decimalni zapis približnog broja. Značajna brojka. Točne znamenke brojeva (definicija točnih i značajnih znamenki, primjeri; teorija o odnosu relativne pogreške i broja točnih znamenki).

Ispravni znakovi brojeva.

Definicija. Značajna znamenka približnog broja a je svaka znamenka osim nule i nula ako se nalazi između značajnih znamenki ili je predstavnik pohranjenog decimalnog mjesta.

Na primjer, u broju 0,00507 =
imamo 3 značajne brojke, au broju 0,005070=
značajne brojke, tj. nula na desnoj strani, čuvajući decimalno mjesto, je značajna.

Od sada se dogovorimo da s desne strane pišemo nule samo ako su one značajne. Zatim, drugim riječima,

Sve znamenke a su značajne, osim nula s lijeve strane.

U decimalnom brojevnom sustavu bilo koji broj a može se prikazati kao konačni ili beskonačni zbroj (decimalni razlomak):

Gdje
,
- prva značajna znamenka, m - cijeli broj koji se naziva najvažnije decimalno mjesto broja a.

Na primjer, 518,3 =, m=2.

Koristeći notaciju, uvodimo koncept točnih decimalnih mjesta (u značajnim brojkama) približno -

1. dana.

Definicija. Kaže se da su u približnom broju a oblika n prve značajne znamenke ,

gdje je i= m, m-1,..., m-n+1 ispravni ako apsolutna pogreška ovog broja ne prelazi pola jedinice znamenke izražene n-tom značajnom znamenkom:

Inače zadnja znamenka
naziva sumnjivim.

Pri pisanju približnog broja bez navođenja njegove pogreške, potrebno je da su svi napisani brojevi

bili vjerni. Ovaj zahtjev je ispunjen u svim matematičkim tablicama.

Izraz "n točnih znamenki" karakterizira samo stupanj točnosti približnog broja i ne treba ga shvatiti tako da znači da se prvih n značajnih znamenki približnog broja a podudara s odgovarajućim znamenkama točnog broja A. Na primjer, za brojevi A = 10, a = 9.997, sve značajne znamenke su različite, ali broj a ima 3 važeće značajne znamenke. Zaista, ovdje je m=0 i n=3 (nalazimo ga odabirom).

Procjena pogrešaka rezultata mjerenja

Pogreške mjerenja i njihove vrste

Sva mjerenja uvijek se izvode s nekim pogreškama povezanim s ograničenom točnošću mjernih instrumenata, pogrešnim odabirom i pogreškom metode mjerenja, fiziologijom eksperimentatora, karakteristikama objekata koji se mjere, promjenama u uvjetima mjerenja itd. Stoga, zadatak mjerenja uključuje pronalaženje ne samo same vrijednosti, već i greške mjerenja, tj. intervala u kojem se najvjerojatnije nalazi prava vrijednost mjerene veličine. Na primjer, kada mjerimo vremensko razdoblje t štopericom s vrijednošću podjele od 0,2 s, možemo reći da je njegova prava vrijednost u intervalu od https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131 .gif" width="85 " height="23 src=">s..gif" width="16" height="17 src="> i X su prave i izmjerene vrijednosti količine koja se proučava, odnosno. Količina se zove apsolutna greška(greška) mjerenja i izraz , koji karakterizira točnost mjerenja, naziva se relativna pogreška.

Sasvim je prirodno da eksperimentator želi svako mjerenje izvršiti s najvećom mogućom točnošću, ali takav pristup nije uvijek preporučljiv. Što točnije želimo izmjeriti ovu ili onu količinu, što su složeniji instrumenti koje moramo koristiti, to će ta mjerenja zahtijevati više vremena. Stoga točnost konačnog rezultata mora odgovarati svrsi eksperimenta. Teorija pogrešaka daje preporuke kako treba provoditi mjerenja i kako obraditi rezultate tako da pogreška bude minimalna.

Sve pogreške koje nastaju tijekom mjerenja obično se dijele na tri vrste - sustavne, slučajne i promašaje, odnosno grube pogreške.

Sustavne greške uzrokuju ograničena točnost izrade uređaja (pogreške instrumenata), nedostaci odabrane metode mjerenja, netočnost formule za izračun, pogrešna ugradnja uređaja itd. Dakle, sustavne pogreške uzrokuju čimbenici koji djeluju na isti način kada ista mjerenja se ponavljaju mnogo puta. Veličina te pogreške se sustavno ponavlja ili mijenja prema određenom zakonu. Neke se sustavne pogreške mogu otkloniti (u praksi je to uvijek lako postići) promjenom metode mjerenja, uvođenjem korekcija očitanja instrumenata i uzimajući u obzir stalni utjecaj vanjskih čimbenika.

Iako sustavna (instrumentalna) pogreška kod ponovljenih mjerenja daje odstupanje izmjerene vrijednosti od stvarne vrijednosti u jednom smjeru, nikad ne znamo u kojem smjeru. Stoga se pogreška instrumenta piše dvostrukim znakom

Slučajne pogreške uzrokovani su velikim brojem slučajnih uzroka (promjene temperature, tlaka, podrhtavanja zgrade itd.), čiji su učinci na svako mjerenje različiti i ne mogu se unaprijed uzeti u obzir. Slučajne pogreške također se javljaju zbog nesavršenosti osjetila eksperimentatora. Slučajne pogreške također uključuju pogreške uzrokovane svojstvima mjernog objekta.

Nemoguće je isključiti slučajne pogreške u pojedinačnim mjerenjima, ali je moguće višestrukim mjerenjem smanjiti utjecaj tih pogrešaka na konačni rezultat. Ako se slučajna pogreška pokaže značajno manjom od instrumentalne (sustavne), tada nema smisla dalje smanjivati ​​vrijednost slučajne pogreške povećanjem broja mjerenja. Ako je slučajna pogreška veća od pogreške instrumenta, tada treba povećati broj mjerenja kako bi se smanjila vrijednost slučajne pogreške i učinila manjom od ili istog reda veličine kao pogreška instrumenta.

Pogreške ili greške- to su pogrešna očitanja na uređaju, netočno bilježenje očitanja itd. U pravilu su greške uzrokovane navedenim razlozima jasno uočljive, budući da se odgovarajuća očitanja oštro razlikuju od ostalih očitanja. Promašaji se moraju otkloniti kontrolnim mjerenjima. Dakle, širina intervala u kojem se nalaze stvarne vrijednosti izmjerenih veličina bit će određena samo slučajnim i sustavnim pogreškama.

2. Procjena sustavne (instrumentalne) pogreške

Za izravna mjerenja vrijednost mjerene veličine računa se neposredno na vagi instrument za mjerenje. Greška u očitanju može doseći nekoliko desetinki podjeljka ljestvice. Obično se kod takvih mjerenja sustavna pogreška smatra jednakom polovici podjele ljestvice mjernog instrumenta. Na primjer, pri mjerenju čeljusti s vrijednošću podjele od 0,05 mm, vrijednost pogreške mjerenja instrumenta uzima se jednakom 0,025 mm.

Digitalni mjerni instrumenti daju vrijednost veličina koje mjere s greškom, jednaka vrijednosti jedna jedinica posljednje znamenke na skali instrumenta. Dakle, ako digitalni voltmetar pokazuje vrijednost od 20,45 mV, tada je apsolutna pogreška mjerenja jednaka mV.

Sustavne pogreške također nastaju kada se koriste konstantne vrijednosti određene iz tablica. U takvim slučajevima, pretpostavlja se da je pogreška jednaka polovici posljednje značajne znamenke. Na primjer, ako je u tablici vrijednost gustoće čelika dana kao 7,9∙103 kg/m3, tada je apsolutna pogreška u ovom slučaju jednaka https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">koristi se formula

, (1)

gdje su https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24"> parcijalne derivacije funkcije u odnosu na varijablu https://pandia. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Parcijalne derivacije u odnosu na varijable d I h bit će jednaki

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Dakle, formula za određivanje apsolutne sustavne pogreške pri mjerenju volumena cilindra u skladu s ima sljedeći oblik

,

gdje su i greške instrumenta pri mjerenju promjera i visine cilindra

3. Procjena slučajne pogreške.

Interval pouzdanosti i vjerojatnost pouzdanosti

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - funkcija distribucije slučajnih pogrešaka (pogreški), koja karakterizira vjerojatnost pogreške, σ – srednja kvadratna pogreška.

Veličina σ nije slučajna varijabla i karakterizira proces mjerenja. Ako se uvjeti mjerenja ne mijenjaju, tada ostaje σ konstantna vrijednost. Kvadrat te količine naziva se disperzija mjerenja.Što je disperzija manja, to je manji raspon pojedinačnih vrijednosti i veća je točnost mjerenja.

Točna vrijednost srednje kvadratne pogreške σ, kao i prava vrijednost izmjerene vrijednosti, nije poznata. Postoji takozvana statistička procjena ovog parametra, prema kojoj je srednja kvadratna pogreška jednaka srednjoj kvadratnoj pogrešci aritmetičke sredine. Vrijednost se određuje formulom

, (3)

gdje je https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> aritmetička sredina dobivenih vrijednosti; n– broj mjerenja.

Kako veći broj mjerenja, što je manje https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src=">, i slučajne apsolutne pogreške, tada će rezultat mjerenja biti napisano u obliku https ://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> do , koji sadrži pravu vrijednost izmjerene veličine μ, naziva se interval pouzdanosti. Budući da je https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> blizu σ. Da biste pronašli interval pouzdanosti i vjerojatnost pouzdanosti s koristi se mali broj mjerenja s kojima se bavimo tijekom rada u laboratoriju Studentova distribucija vjerojatnosti. To je distribucija vjerojatnosti slučajne varijable tzv Koeficijent učenika, daje vrijednost intervala pouzdanosti u dijelovima korijena srednje kvadratne pogreške aritmetičke sredine.

Distribucija vjerojatnosti ove veličine ne ovisi o σ2, ali značajno ovisi o broju pokusa n. S povećanjem broja eksperimenata n Studentova distribucija teži Gaussovoj distribuciji.

Funkcija distribucije prikazana je tablično (tablica 1). Vrijednost Studentovog koeficijenta nalazi se na sjecištu linije koja odgovara broju mjerenja n, i stupac koji odgovara vjerojatnosti pouzdanosti α

Stol 1.

Pomoću podataka iz tablice možete:

1) odrediti interval pouzdanosti, s obzirom na određenu vjerojatnost;

2) odaberite interval pouzdanosti i odredite vjerojatnost pouzdanosti.

Za neizravna mjerenja, srednja kvadratna pogreška aritmetičke srednje vrijednosti funkcije izračunati po formuli

. (5)

Interval pouzdanosti i vjerojatnost pouzdanosti određuju se na isti način kao i kod izravnih mjerenja.

Procjena ukupne pogreške mjerenja. Zabilježite konačni rezultat.

Ukupna pogreška rezultata mjerenja vrijednosti X odredit će se kao korijen srednje kvadratne vrijednosti sustavnih i slučajnih pogrešaka

, (6)

Gdje δh – pogreška instrumenta, Δ x– slučajna greška.

X može biti izravno ili neizravno mjerena veličina.

, α=…, E=… (7)

Treba imati na umu da same formule teorije pogreške vrijede za veliki broj mjerenja. Stoga je vrijednost slučajne, a time i ukupne pogreške, određena na maloj n s velikom greškom. Pri izračunavanju Δ x pri mjerenju broja mjerenja preporuča se ograničiti jednu značajnu brojku ako je veća od 3 i dvije ako je prva značajna brojka manje od 3. Na primjer, ako je Δ x= 0,042, tada odbacujemo 2 i pišemo Δ x=0,04, a ako je Δ x=0,123, tada pišemo Δ x=0,12.

Broj znamenki rezultata i ukupne pogreške moraju biti isti. Stoga bi aritmetička sredina pogreške trebala biti ista. Stoga se prvo izračuna aritmetička sredina jednu znamenku više od mjerenja, a pri bilježenju rezultata njezina se vrijednost precizira na broj znamenki ukupne pogreške.

4. Metodologija izračuna mjernih pogrešaka.

Pogreške izravnih mjerenja

Prilikom obrade rezultata izravnih mjerenja preporuča se usvojiti sljedeći redoslijed operacija.

Mjerenja navedenih fizički parametar n puta pod istim uvjetima, a rezultati se zapisuju u tablicu. Ako se rezultati nekih mjerenja jako razlikuju u vrijednosti od drugih mjerenja, tada se odbacuju kao promašaji ako nisu potvrđeni nakon verifikacije. Izračunava se aritmetička sredina n identičnih mjerenja. Uzima se kao najvjerojatnija vrijednost mjerene veličine

Nalaze se apsolutne pogreške pojedinačnih mjerenja. Izračunavaju se kvadrati apsolutnih pogrešaka pojedinačnih mjerenja (Δ x i)2 Određuje se korijen srednje kvadratne pogreške aritmetičke sredine

.

Postavlja se vrijednost vjerojatnosti pouzdanosti α. U radioničkim laboratorijima uobičajeno je postaviti α=0,95. Studentov koeficijent se nalazi za zadanu vjerojatnost pouzdanosti α i broj obavljenih mjerenja (vidi tablicu). Određuje se slučajna pogreška

Određuje se ukupna greška

Procjenjuje se relativna pogreška rezultata mjerenja

.

Konačni rezultat upisuje se u obrazac

C α=… E=…%.

5. Točnost neizravna mjerenja

Prilikom procjene stvarne vrijednosti neizravno izmjerene vrijednosti https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24"> mogu se koristiti dvije metode.

Prvi način koristi se ako vrijednost g utvrđeno na različitim uvjetima iskustvo. U ovom slučaju, za svaku od vrijednosti se izračunava , a zatim se određuje aritmetička sredina svih vrijednosti yi

Sustavna (instrumentalna) pogreška nalazi se na temelju poznatih instrumentalnih pogrešaka svih mjerenja pomoću formule. Slučajna pogreška u ovom slučaju definirana je kao pogreška izravnog mjerenja.

Drugi način primjenjuje se ako ova funkcija g utvrđeno više puta istim mjerama..gif" width="75" height="24">. U našem laboratorijska radionicačešće se koristi drugi način određivanja neizravno mjerene veličine g. Sustavna (instrumentalna) pogreška, kao iu prvoj metodi, nalazi se na temelju poznatih instrumentalnih pogrešaka svih mjerenja pomoću formule

. (10)

Da bi se odredila slučajna pogreška neizravnog mjerenja, najprije se izračunavaju korijeni srednjih kvadratnih pogrešaka aritmetičke sredine pojedinačnih mjerenja. Zatim se pronađe srednja kvadratna pogreška vrijednosti g. Postavljanje vjerojatnosti pouzdanosti α, pronalaženje Studentovog koeficijenta https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">, s α=… E=…% .

6. Primjer izrade laboratorijskog rada

Laboratorijski rad br.1

ODREĐIVANJE VOLUMENA ​​CILINDRA

Pribor: pomično mjerilo s podjelkom 0,05 mm, mikrometar s podjelkom 0,01 mm, cilindrično tijelo.

Cilj rada: upoznavanje s najjednostavnijim fizikalnim mjerenjima, određivanje obujma cilindra, izračunavanje pogrešaka pri izravnim i neizravnim mjerenjima.

Izmjerite promjer cilindra najmanje 5 puta kalibrom, a njegovu visinu mikrometrom.

Računska formula za izračunavanje volumena cilindra

gdje je d promjer cilindra; h – visina.

Rezultati mjerenja

Tablica 2.

Mjerni br.
5.4. Izračun ukupne pogreške Apsolutna pogreška ; . 5. Relativna greška, odnosno točnost mjerenja ; E = 0,5%. 6. Zabilježite konačni rezultat Konačni rezultat za vrijednost koja se proučava upisuje se u obrazac Bilješka. U konačnom zapisu broj znamenki rezultata i apsolutne pogreške moraju biti isti. 6. Grafički prikaz rezultata mjerenja Rezultati fizikalnih mjerenja vrlo se često prikazuju u grafičkom obliku. Grafovi imaju niz važnih prednosti i vrijednih svojstava: a) omogućiti određivanje vrste funkcionalne ovisnosti i granica unutar kojih ona vrijedi; b) omogućiti jasnu usporedbu eksperimentalnih podataka s teoretskom krivuljom; c) prilikom konstruiranja grafa izglađuju skokove u tijeku funkcije koji nastaju zbog slučajnih pogrešaka; d) omogućuju određivanje određenih veličina ili provođenje grafičkog diferenciranja, integracije, rješavanja jednadžbi i sl. Grafikoni se u pravilu izrađuju na posebnom papiru (milimetarskom, logaritamskom, polulogaritamskom). Uobičajeno je da se duž horizontalne osi crta nezavisna varijabla, tj. vrijednost čiju vrijednost postavlja sam eksperimentator, a duž vertikalne osi - vrijednost koju on određuje. Treba imati na umu da se sjecište koordinatnih osi ne mora podudarati s nultim vrijednostima x i y. Prilikom odabira ishodišta koordinata treba se voditi činjenicom da je cijelo područje crteža u potpunosti iskorišteno (Sl. 2.). Na koordinatnim osima grafikona nisu naznačeni samo nazivi ili simboli veličina, već i njihove mjerne jedinice. Ljestvica duž koordinatnih osi treba odabrati tako da se izmjerene točke nalaze na cijelom području lista. U ovom slučaju, mjerilo bi trebalo biti jednostavno tako da prilikom iscrtavanja točaka na grafikonu ne morate izvoditi aritmetičke izračune u glavi. Eksperimentalne točke na grafikonu moraju biti prikazane točno i jasno. Korisno je iscrtati točke dobivene pod različitim eksperimentalnim uvjetima (na primjer, grijanje i hlađenje) različitim bojama ili različitim simbolima. Ako je pogreška eksperimenta poznata, tada je umjesto točke bolje prikazati križ ili pravokutnik, čije dimenzije duž osi odgovaraju ovoj pogrešci. Ne preporučuje se međusobno spajanje eksperimentalnih točaka isprekidanom linijom. Krivulja na grafikonu treba biti nacrtana glatko, pazeći da se eksperimentalne točke nalaze i iznad i ispod krivulje, kao što je prikazano na slici 3. Pri izradi grafikona, osim koordinatnog sustava s jednolikim mjerilom, koriste se tzv. funkcionalna mjerila. Odabirom odgovarajućih funkcija x i y možete dobiti jednostavniju liniju na grafu nego konvencionalnom konstrukcijom. Ovo je često potrebno pri odabiru formule za određeni graf kako bi se odredili njegovi parametri. Funkcionalne ljestvice također se koriste u slučajevima kada je potrebno rastegnuti ili skratiti bilo koji dio krivulje na grafikonu. Najčešće korištena funkcionalna ljestvica je logaritamska ljestvica (slika 4).

Zbog grešaka svojstvenih mjernom instrumentu, odabranoj metodi i postupku mjerenja, razlikama vanjskih uvjeta u kojima se mjerenje izvodi od utvrđenih i drugih razloga, rezultat gotovo svakog mjerenja opterećen je greškom. Ta se pogreška izračunava ili procjenjuje i pripisuje dobivenom rezultatu.

Greška rezultata mjerenja(ukratko - pogreška mjerenja) - odstupanje rezultata mjerenja od stvarne vrijednosti mjerene veličine.

Prava vrijednost količine ostaje nepoznata zbog prisutnosti pogrešaka. Koristi se u rješavanju teorijskih problema mjeriteljstva. U praksi se koristi stvarna vrijednost količine koja zamjenjuje pravu vrijednost.

Pogreška mjerenja (Δx) nalazi se formulom:

x = x mjer. - x valjano (1.3)

gdje x mjeri. – vrijednost količine dobivena na temelju mjerenja; x vrijedi — vrijednost veličine uzeta kao stvarna.

Za pojedinačna mjerenja, stvarna vrijednost se često uzima kao vrijednost dobivena pomoću standardnog mjernog instrumenta; za višestruka mjerenja, aritmetička sredina vrijednosti pojedinačnih mjerenja uključenih u danu seriju.

Pogreške mjerenja mogu se klasificirati prema sljedećim kriterijima:

Po prirodi manifestacija - sustavno i slučajno;

Prema načinu izražavanja - apsolutni i relativni;

Prema uvjetima promjene mjerene veličine - statički i dinamički;

Prema načinu obrade niz mjerenja - aritmetičke sredine i korijen srednjih kvadrata;

Prema cjelovitosti obuhvata mjernog zadatka - djelomična i potpuna;

U odnosu na jedinicu fizička količina— pogreške u reprodukciji jedinice, pohrani jedinice i prijenosu veličine jedinice.

Sustavna pogreška mjerenja(ukratko - sustavna pogreška) - komponenta pogreške mjernog rezultata koja ostaje konstantna za dani niz mjerenja ili se prirodno mijenja ponovljenim mjerenjima iste fizikalne veličine.

Prema prirodi manifestacije sustavne pogreške dijele se na trajne, progresivne i periodične. Stalne sustavne pogreške(ukratko - konstantne pogreške) - pogreške koje zadržavaju svoju vrijednost dugo vremena (na primjer, tijekom cijele serije mjerenja). Ovo je najčešća vrsta pogreške.

Progresivne sustavne pogreške(ukratko - progresivne pogreške) - pogreške koje se kontinuirano povećavaju ili smanjuju (na primjer, pogreške zbog istrošenosti mjernih vrhova koji dolaze u dodir s dijelom tijekom procesa brušenja kada ga nadziru aktivnim kontrolnim uređajem).

Periodična sustavna pogreška(ukratko - periodična pogreška) - pogreška čija je vrijednost funkcija vremena ili funkcija pomicanja kazaljke mjernog uređaja (na primjer, prisutnost ekscentriciteta u goniometarskim uređajima s kružnom ljestvicom uzrokuje sustavnu greška koja varira prema periodičnom zakonu).

Na temelju razloga za pojavu sustavnih pogrešaka razlikuju se instrumentalne pogreške, pogreške metode, subjektivne pogreške i pogreške zbog odstupanja vanjskih uvjeta mjerenja od onih utvrđenih metodama.

Greška instrumentalnog mjerenja(ukratko - instrumentalna pogreška) posljedica je niza razloga: istrošenost dijelova uređaja, prekomjerno trenje u mehanizmu uređaja, netočno označavanje poteza na ljestvici, odstupanje između stvarne i nazivne vrijednosti mjere itd. .

Greška metode mjerenja(ukratko - pogreška metode) može nastati zbog nesavršenosti mjerne metode ili njezinih pojednostavljenja utvrđenih mjernom metodologijom. Na primjer, takva pogreška može biti posljedica nedovoljne učinkovitosti mjernih instrumenata koji se koriste pri mjerenju parametara brzih procesa ili neuračunatih nečistoća pri određivanju gustoće tvari na temelju rezultata mjerenja njezine mase i volumena.

Subjektivna greška mjerenja(ukratko - subjektivna pogreška) je posljedica individualnih pogrešaka operatera. Ova se pogreška ponekad naziva osobna razlika. Uzrokovana je, na primjer, kašnjenjem ili napretkom u prihvaćanju signala od strane operatera.

Pogreška zbog odstupanja(u jednom smjeru) vanjski mjerni uvjeti od onih uspostavljenih mjernom tehnikom dovodi do pojave sustavne komponente mjerne pogreške.

Sustavne pogreške iskrivljuju rezultat mjerenja, pa ih je potrebno otkloniti koliko je to moguće uvođenjem korekcija ili podešavanjem uređaja kako bi se sustavne pogreške svele na prihvatljivi minimum.

Neisključena sustavna pogreška(ukratko - neisključena pogreška) je pogreška mjernog rezultata, nastala zbog pogreške u izračunu i uvođenja korekcije za djelovanje sustavne pogreške, ili mala sustavna pogreška, za koju korekcija nije uvedena zbog svojoj malenkosti.

Ponekad se ova vrsta pogreške naziva neisključeni ostaci sustavne pogreške(ukratko - neisključena stanja). Na primjer, pri mjerenju duljine linijskog metra u valnim duljinama referentnog zračenja utvrđeno je nekoliko neisključenih sustavnih pogrešaka (i): zbog netočnog mjerenja temperature - 1; zbog netočnog određivanja indeksa loma zraka - 2, zbog netočne valne duljine - 3.

Obično se u obzir uzima zbroj neisključenih sustavnih pogrešaka (određene su njihove granice). Kada je broj članova N ≤ 3, granice neisključenih sustavnih pogrešaka izračunavaju se pomoću formule

Kada je broj članova N ≥ 4, formula se koristi za izračun

(1.5)

gdje je k koeficijent ovisnosti neisključenih sustavnih pogrešaka o odabranoj vjerojatnosti pouzdanosti P kada su jednoliko raspoređene. Pri P = 0,99, k = 1,4, pri P = 0,95, k = 1,1.

Slučajna pogreška mjerenja(ukratko - slučajna pogreška) - komponenta pogreške mjernog rezultata koja se slučajno mijenja (po predznaku i vrijednosti) u nizu mjerenja iste veličine fizikalne veličine. Razlozi slučajnih pogrešaka: pogreške zaokruživanja pri očitavanju, varijacije u očitanjima, promjene slučajnih uvjeta mjerenja itd.

Slučajne pogreške uzrokuju rasipanje rezultata mjerenja u nizu.

Teorija pogrešaka temelji se na dva principa, potvrđena praksom:

1. Kod velikog broja mjerenja, slučajne pogreške istih brojčana vrijednost, Ali drugačiji znak, javljaju se jednako često;

2. Velike (u apsolutnoj vrijednosti) pogreške su rjeđe od malih.

Iz prvog stava slijedi za praksu važan zaključak: s povećanjem broja mjerenja smanjuje se slučajna pogreška rezultata dobivenog nizom mjerenja, budući da zbroj pogrešaka pojedinačnih mjerenja danog niza teži nuli, tj.

(1.6)

Na primjer, kao rezultat mjerenja dobivene su brojne vrijednosti električni otpor(ispravljeno za sustavne pogreške): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 = 15,4 Ohm, R 4 = 15,6 Ohm i R 5 = 15,4 Ohm. Stoga je R = 15,5 Ohma. Odstupanja od R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm i R 5 = -0,1 Ohm) su slučajne pogreške pojedinačnih mjerenja u ovoj seriji. Lako je provjeriti da je zbroj R i = 0,0. To ukazuje da su pogreške u pojedinačnim mjerenjima ove serije ispravno izračunate.

Unatoč činjenici da s povećanjem broja mjerenja zbroj slučajnih pogrešaka teži nuli (u ovom primjeru se slučajno pokazao nulom), potrebno je procijeniti slučajnu pogrešku rezultata mjerenja. U teoriji slučajnih varijabli, disperzija o2 služi kao karakteristika disperzije vrijednosti slučajne varijable. "|/o2 = a naziva se srednja kvadratna devijacija populacije ili standardna devijacija.

Pogodniji je od disperzije, jer se njegova dimenzija podudara s dimenzijom izmjerene veličine (na primjer, vrijednost količine se dobiva u voltima, standardna devijacija će također biti u voltima). Budući da se u mjernoj praksi bavimo pojmom "pogreška", izvedeni pojam "srednja kvadratna pogreška" trebao bi se koristiti za karakterizaciju niza mjerenja. Karakteristika niza mjerenja može biti pogreška aritmetičke sredine ili raspon rezultata mjerenja.

Raspon rezultata mjerenja (skraćeno raspon) je algebarska razlika između najvećih i najmanjih rezultata pojedinačnih mjerenja, tvoreći niz (ili uzorak) od n mjerenja:

R n = X max - X min (1,7)

gdje je Rn raspon; X max i X min - najveći i najmanja vrijednost vrijednosti u određenom nizu mjerenja.

Na primjer, od pet mjerenja promjera rupe d, vrijednosti R 5 = 25,56 mm i R 1 = 25,51 mm pokazale su se kao njegove maksimalne i minimalne vrijednosti. U ovom slučaju, R n = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm = 0,05 mm. To znači da su preostale pogreške u ovoj seriji manje od 0,05 mm.

Pogreška aritmetičke sredine pojedinačnog mjerenja u nizu(ukratko - pogreška aritmetičke sredine) - generalizirana karakteristika raspršenja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata mjerenja (iste količine) uključenih u niz od n neovisnih mjerenja jednake preciznosti, izračunata formulom

(1.8)

gdje je X i rezultat i-tog mjerenja uključenog u niz; x je aritmetička sredina n vrijednosti: |H í - X| — apsolutna vrijednost pogreške i-tog mjerenja; r je greška aritmetičke sredine.

Prava vrijednost prosječne aritmetičke pogreške p određuje se iz relacije

p = lim r, (1.9)

S brojem mjerenja n > 30 između aritmetičke sredine (r) i srednje kvadratne vrijednosti (s) postoje korelacije između grešaka

s = 1,25 r; r i = 0,80 s. (1.10)

Prednost pogreške aritmetičke sredine je jednostavnost njezina izračuna. Ali ipak se češće određuje srednja kvadratna pogreška.

Srednja kvadratna pogreška pojedinačno mjerenje u nizu (ukratko - srednja kvadratna pogreška) - generalizirana karakteristika raspršenja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata mjerenja (iste vrijednosti) uključenih u niz P neovisna mjerenja jednake preciznosti, izračunata formulom

(1.11)

Srednja kvadratna pogreška za opći uzorak o, koja je statistička granica S, može se izračunati na /i-mx > pomoću formule:

Σ = lim S (1.12)

U stvarnosti je broj mjerenja uvijek ograničen, pa nije σ , i njegovu približnu vrijednost (ili procjenu), koja je s. Više P,što je s bliže svojoj granici σ .

Uz normalan zakon raspodjele, vjerojatnost da pogreška pojedinačnog mjerenja u nizu neće prijeći izračunatu srednju kvadratnu pogrešku je mala: 0,68. Stoga u 32 slučaja od 100 ili 3 slučaja od 10 stvarna pogreška može biti veća od izračunate.

Slika 1.2 Smanjenje vrijednosti slučajne pogreške rezultata višestrukih mjerenja s povećanjem broja mjerenja u nizu

U nizu mjerenja postoji odnos između korijena srednje kvadratne pogreške pojedinačnog mjerenja s i korijena srednje kvadratne pogreške aritmetičke sredine S x:

koji se često naziva "U n rule". Iz ovog pravila proizlazi da se pogreška mjerenja zbog slučajnih uzroka može smanjiti za n puta ako se izvrši n mjerenja iste veličine bilo koje veličine, a kao konačni rezultat uzima se aritmetička sredina (slika 1.2).

Izvođenje najmanje 5 mjerenja u seriji omogućuje smanjenje utjecaja slučajnih pogrešaka za više od 2 puta. S 10 mjerenja utjecaj slučajne pogreške smanjuje se 3 puta. Daljnje povećanje broja mjerenja nije uvijek ekonomski izvedivo i, u pravilu, provodi se samo za kritična mjerenja koja zahtijevaju visoku točnost.

Korijen srednje kvadratne pogreške jednog mjerenja iz više homogenih dvostrukih mjerenja S α izračunava se formulom

(1.14)

gdje su x" i i x"" i i-ti rezultati mjerenja iste veličine veličine u smjeru naprijed i nazad jednim mjernim instrumentom.

U slučaju nejednakih mjerenja, korijen srednje kvadratne pogreške aritmetičkog prosjeka u seriji određuje se formulom

(1.15)

gdje je p i težina i-tog mjerenja u nizu nejednakih mjerenja.

Srednja kvadratna pogreška rezultata neizravnih mjerenja vrijednosti Y, koja je funkcija Y = F (X 1, X 2, X n), izračunava se pomoću formule

(1.16)

gdje su S 1, S 2, S n korijen srednjih kvadratnih pogrešaka rezultata mjerenja veličina X 1, X 2, X n.

Ako se radi veće pouzdanosti u dobivanju zadovoljavajućeg rezultata provede više serija mjerenja, srednja kvadratna pogreška pojedinog mjerenja iz m serije (S m) nalazi se po formuli

(1.17)

Gdje je n broj mjerenja u nizu; N je ukupan broj mjerenja u svim serijama; m je broj serija.

S ograničenim brojem mjerenja često je potrebno znati korijen srednje kvadratne pogreške. Da biste odredili pogrešku S, izračunatu formulom (2.7), i pogrešku S m, izračunatu formulom (2.12), možete koristiti sljedeće izraze

(1.18)

(1.19)

gdje su S i S m srednje kvadratne pogreške za S i S m, redom.

Na primjer, pri obradi rezultata određenog broja mjerenja duljine x dobili smo

= 86 mm 2 pri n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm ili S = ±0,7 mm

Vrijednost S = ±0,7 mm znači da je zbog pogreške u izračunu s u rasponu od 2,4 do 3,8 mm, stoga su desetinke milimetra ovdje nepouzdane. U razmatranom slučaju moramo napisati: S = ±3 mm.

Kako biste imali veće povjerenje u procjeni pogreške rezultata mjerenja, izračunajte pogrešku pouzdanosti ili granice pouzdanosti pogreške. Prema zakonu normalne distribucije, granice pouzdanosti pogreške izračunavaju se kao ±t-s ili ±t-s x, gdje su s i s x srednje kvadratne pogreške pojedinačnog mjerenja u nizu i aritmetička sredina; t je broj koji ovisi o vjerojatnosti pouzdanosti P i broju mjerenja n.

Važan koncept je pouzdanost rezultata mjerenja (α), tj. vjerojatnost da će željena vrijednost mjerene veličine pasti unutar zadanog intervala pouzdanosti.

Na primjer, pri obradi dijelova na alatnim strojevima u stabilnom tehnološkom načinu rada, raspodjela pogrešaka pokorava se normalnom zakonu. Pretpostavimo da je tolerancija duljine dijela postavljena na 2a. U tom slučaju će interval pouzdanosti u kojem se nalazi željena vrijednost duljine dijela a biti (a - a, a + a).

Ako je 2a = ±3s, tada je pouzdanost rezultata a = 0,68, tj. u 32 slučaja od 100 treba očekivati ​​da će veličina dijela premašiti toleranciju 2a. Pri procjeni kvalitete dijela prema toleranciji od 2a = ±3s, pouzdanost rezultata bit će 0,997. U tom slučaju možemo očekivati ​​da će samo tri dijela od 1000 premašiti utvrđenu toleranciju, ali povećanje pouzdanosti moguće je samo smanjenjem pogreške u duljini dijela. Dakle, da bi se povećala pouzdanost s a = 0,68 na a = 0,997, pogreška u duljini dijela mora se smanjiti tri puta.

U U zadnje vrijeme Pojam "pouzdanost mjerenja" postao je raširen. U nekim slučajevima nerazumno se koristi umjesto izraza "točnost mjerenja". Na primjer, u nekim izvorima možete pronaći izraz "uspostavljanje jedinstva i pouzdanosti mjerenja u zemlji". Dok bi ispravnije bilo reći “uspostavljanje jedinstva i potrebne točnosti mjerenja”. Pouzdanost smatramo kao karakteristika kvalitete, odražavajući blizinu nule slučajnih pogrešaka. Može se kvantitativno odrediti kroz nepouzdanost mjerenja.

Nepouzdanost mjerenja(ukratko - nepouzdanost) - procjena odstupanja između rezultata u nizu mjerenja zbog utjecaja ukupnog utjecaja slučajnih pogrešaka (određenih statističkim i nestatističkim metodama), karakterizirana rasponom vrijednosti u kojoj se nalazi prava vrijednost mjerene veličine.

U skladu s preporukama Međunarodnog ureda za utege i mjere, nepouzdanost se izražava u obliku ukupne srednje kvadratne pogreške mjerenja - Su, uključujući srednju kvadratnu pogrešku S (određenu statističkim metodama) i srednju kvadratnu pogrešku u (određenu nestatističkim metodama), tj.

(1.20)

Maksimalna pogreška mjerenja(ukratko - maksimalna pogreška) - najveća pogreška mjerenja (plus, minus), čija vjerojatnost ne prelazi vrijednost P, dok je razlika 1 - P beznačajna.

Na primjer, s normalnim zakonom raspodjele, vjerojatnost slučajne pogreške jednake ±3s je 0,997, a razlika 1-P = 0,003 je beznačajna. Stoga se u mnogim slučajevima pogreška pouzdanosti od ±3s uzima kao najveća, tj. pr = ±3s. Ako je potrebno, pr može imati druge odnose sa s pri dovoljno velikom P (2s, 2,5s, 4s, itd.).

S obzirom na to da se u GSI standardima umjesto izraza “srednja kvadratna pogreška” koristi izraz “srednja kvadratna devijacija”, u daljnjim razmatranjima držat ćemo se upravo ovog pojma.

Apsolutna pogreška mjerenja(ukratko - apsolutna pogreška) - pogreška mjerenja izražena u jedinicama izmjerene vrijednosti. Dakle, pogreška X u mjerenju duljine dijela X, izražena u mikrometrima, predstavlja apsolutnu pogrešku.

Ne treba brkati pojmove "apsolutna pogreška" i "apsolutna vrijednost pogreške", koja se podrazumijeva kao vrijednost pogreške bez uzimanja u obzir predznaka. Dakle, ako je apsolutna pogreška mjerenja ±2 μV, tada će apsolutna vrijednost pogreške biti 0,2 μV.

Relativna greška mjerenja(ukratko - relativna pogreška) - pogreška mjerenja, izražena u dijelovima vrijednosti izmjerene vrijednosti ili kao postotak. Relativna pogreška δ nalazi se iz relacija:

(1.21)

Na primjer, postoji stvarna vrijednost duljine dijela x = 10,00 mm i apsolutna vrijednost pogreške x = 0,01 mm. Relativna greška bit će

Statička greška— pogreška mjernog rezultata zbog uvjeta statičkog mjerenja.

Dinamička pogreška— pogreška mjernog rezultata zbog uvjeta dinamičkog mjerenja.

Pogreška reprodukcije jedinice— pogreška u rezultatu mjerenja izvedenih pri reprodukciji jedinice fizičke veličine. Dakle, pogreška u reprodukciji jedinice pomoću državnog standarda naznačena je u obliku njegovih komponenti: neisključena sustavna pogreška, karakterizirana svojom granicom; slučajna pogreška karakterizirana standardnom devijacijom s i nestabilnošću tijekom godine ν.

Pogreška prijenosa veličine jedinice— pogreška u rezultatu mjerenja izvedenih prilikom prijenosa veličine jedinice. Pogreška u prijenosu veličine jedinice uključuje neisključene sustavne pogreške i slučajne pogreške metode i sredstva prijenosa veličine jedinice (primjerice, komparator).