U standardnom tečaju školska matematika svojstva funkcija koriste se uglavnom za konstruiranje njihovih grafova. Funkcionalna metoda rješavanja jednadžbi koristi se ako i samo ako se jednadžba F(x) = G(x) kao rezultat transformacija ili zamjena varijabli ne može svesti na jednu ili drugu standardnu jednadžbu koja ima određeni algoritam rješavanja.
Za razliku od grafičke metode, poznavanje svojstava funkcija omogućuje pronalaženje točnih korijena jednadžbe, bez potrebe za konstruiranjem grafova funkcija. Korištenje svojstava funkcija pomaže u racionalizaciji rješenja jednadžbi.
U radu se razmatraju sljedeća svojstva funkcije: domena definiranja funkcije; raspon funkcija; svojstva monotonosti funkcije; svojstva konveksnosti funkcije; svojstva parnih i neparnih funkcija.
Svrha rada: izvršiti klasifikaciju nestandardnih jednadžbi prema njihovoj upotrebi opća svojstva funkcije, opisati bit svakog svojstva, dati preporuke za njegovu uporabu, upute za uporabu.
Sav rad popraćen je rješavanjem specifičnih problema predloženih na Jedinstvenom državnom ispitu u različitim godinama.
Poglavlje 1. Korištenje koncepta domene definicije funkcije.
Uvedimo nekoliko ključnih definicija.
Domena definicije funkcije y = f(x) je skup vrijednosti varijable x za koje funkcija ima smisla.
Neka je dana jednadžba f(x) = g(x), gdje su f(x) i g(x). elementarne funkcije, definirane na skupovima D1, D2. Tada će područje D dopuštenih vrijednosti jednadžbe biti skup koji se sastoji od onih vrijednosti x koje pripadaju oba skupa, odnosno D = D1∩ D2. Jasno je da kada je skup D prazan (D= ∅), onda jednadžba nema rješenja. (Prilog br. 1).
1. arcsin (x+2) +2x- x2 = x-2.
ODZ:-1 =0⇔-3
Odgovor: nema rješenja.
2. (x2-4x+3 +1)log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.
ODZ: x2-4x+3>=0,x>0,8x-2x2-6>=0⇔x∈(-beskonačno;1∪ 3;beskonačno),x>01
Provjerite: x = 1.
(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,
0 = 0 - točno.
x = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, log535 +13 = 0 - netočno.
Često se ispostavlja da je dovoljno uzeti u obzir ne cijelu domenu definicije funkcije, već samo njen podskup, na kojem funkcija uzima vrijednosti koje zadovoljavaju određene uvjete (na primjer, samo nenegativne vrijednosti).
1. x+27-x(x-9 +1) = 1.
ODZ: x-9>=0, x>=9.
Za x>=9 x+2>0, 7-x 0, dakle, umnožak tri faktora na lijevoj strani jednadžbe je negativan, a desna strana jednadžbe je pozitivna, što znači da jednadžba nema rješenja.
Odgovor: ∅.
2. 3-x2+ x+2 = x-2.
ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔
Na skupu dopuštenih vrijednosti lijeva strana jednadžbe je pozitivna, a desna negativna, što znači da jednadžba nema rješenja.
Odgovor: nema rješenja.
Poglavlje 2. Korištenje koncepta raspona funkcije.
Raspon vrijednosti funkcije y = f(x) je skup vrijednosti varijable y na prihvatljive vrijednosti varijabla x.
Kaže se da je funkcija y = f(x) ograničena odozdo (odnosno gore) na skupu X ako postoji broj M takav da nejednakost fx>=M vrijedi na X (odnosno fx
Funkcija y = f(x) naziva se ograničenom na danom intervalu (sadržanom u njezinoj domeni definicije) ako postoji broj M >0 takav da za sve vrijednosti argumenta koje pripadaju tom intervalu vrijedi nejednakost f(x ) vrijedi
Neka je dana jednadžba f(x) = g(x), gdje su g(x) elementarne funkcije definirane na skupovima D1, D2. Označimo raspon varijacije ovih funkcija kao E1 odnosno E2. Ako je x1 rješenje jednadžbe, tada će vrijediti numerička jednakost f(x1) = g(x1), gdje je f(x1) vrijednost funkcije f(x) pri x = x1, a g(x1) je vrijednost funkcije g(x) u x = x1. To znači da ako jednadžba ima rješenje, tada rasponi funkcija f(x) i g(x) imaju zajedničke elemente (E1∩E2 !=∅). Ako skupovi E1 i E2 ne sadrže takve zajedničke elemente, onda jednadžba nema rješenja.
Osnovne nejednakosti koriste se za vrednovanje izraza. (Prilog br. 2).
Neka je dana jednadžba f(x) = g(x). Ako je f(x)>=0 i g(x)
1. x2+2xsinxy+1=0.
Riješenje. Na lijevoj strani nalazi se jedinica, što znači da možete koristiti osnovnu trigonometrijski identitet: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.
Zbroj prva tri člana je potpuni kvadrat:
(x+sinxy)2+cos2xy =0.
Dakle, na lijevoj strani je zbroj kvadrata koji je jednak nuli kada su izrazi u kvadratima istovremeno jednaki nuli. Napišimo sustav: cosxy=0,x+sinxy=0.
Ako je cosxy=0, tada je sinxy= +-1, stoga je ovaj sustav ekvivalentan kombinaciji dvaju sustava: x+1=0,cosxy=0 ili x-1=0,cosxy=0.
Njihova rješenja su parovi brojeva x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z, i x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.
Odgovor: x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z, i x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.
Ako je na intervalu X najveća vrijednost jedna od funkcija y = f(x), y = g(x) jednaka je A i najmanja vrijednost druga funkcija također jednaka A, tada je jednadžba f(x) = g(x) ekvivalentna na intervalu X sustavu jednadžbi fx=A, gx=A.
1. Pronađite sve vrijednosti a za koje jednadžba ima rješenje
2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).
Nakon zamjene t= 22x-x2 dolazimo do jednadžbe cos(2t+PI3)=a-12.
Funkcija t=2m raste, što znači da svoju najveću vrijednost postiže pri najvećoj vrijednosti m. Ali m=2h - x ima najveću vrijednost jednaku 1. Tada je tmax = 22·1-1=2. Dakle, skup vrijednosti funkcije t = 22x-x2 je interval (0;2, a funkcija cos(2t+PI3) je interval -1;0,5). Prema tome, izvorna jednadžba ima rješenje za one i samo one vrijednosti od a koje zadovoljavaju nejednadžbe -1 Odgovor: -12. Riješite jednadžbu (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.
Koristeći očite nejednakosti
Odgovor: x= - 5+32 ako je a=1+32 i x=-5+32 ako je a= 1-32.
Možete detaljnije razmotriti druge jednadžbe. (Prilog br. 3).
Poglavlje 3. Korištenje svojstva monotonosti funkcije.
Kaže se da funkcija y = f(x) raste (odnosno, pada) na skupu X ako na tom skupu, kako se argument povećava, vrijednosti funkcije rastu (odnosno, smanjuju).
Drugim riječima, funkcija y = f(x) raste na skupu X ako je iz x1∈X, x2∈X i x1 Opada na tom skupu ako je iz x1∈X, x2∈X i x1 f(x2).
Kaže se da je funkcija y = f(x) nestriktno rastuća (odnosno nestriktno opadajuća) na X ako su x1∈X, x2∈X i x1=f(x2)).
Funkcije koje rastu i opadaju na X nazivaju se monotone na X, a funkcije koje nisu strogo rastuće ili opadajuće na X nazivaju se nestrogo monotone na X.
Za dokazivanje monotonosti funkcija koriste se sljedeće tvrdnje:
1. Ako funkcija f raste na skupu X, tada za bilo koji broj C funkcija f + C također raste na X.
2. Ako funkcija f raste na skupu X i C > 0, tada raste i funkcija Cf na X.
3. Ako funkcija f raste na skupu X, tada funkcija -f opada na tom skupu.
4. Ako funkcija f raste na skupu X i zadržava predznak na skupu X, tada funkcija 1f opada na tom skupu.
5. Ako funkcije f i g rastu na skupu X, tada na tom skupu raste i njihov zbroj f+g.
6. Ako su funkcije f i g rastuće i nenegativne na skupu X, tada je i njihov umnožak fg također rastući na X.
7. Ako je funkcija f rastuća i nenegativna na skupu X i n - prirodni broj, tada funkcija fn također raste za X.
8. Ako su obje funkcije f(x) i g(x) rastuće ili obje padajuće, tada je funkcija h(x) = f(g(x)) rastuća funkcija. Ako je jedna od funkcija rastuća. A druga je opadajuća, tada je h(x) = f(g(x)) opadajuća funkcija.
Formulirajmo teoreme o jednadžbama.
Teorem 1.
Ako je funkcija f(x) monotona na intervalu X, tada jednadžba f(x) = C ima najviše jedan korijen na intervalu X.
Teorem 2.
Ako je funkcija f(x) monotona na intervalu X, tada je jednadžba f(g(x)) = f(h(x)) ekvivalentna na intervalu X jednadžbi g(x) = h(x) .
Teorem 3.
Ako funkcija f(x) raste na intervalu X, a g(x) opada na intervalu X, tada jednadžba g(x) = f(x) ima najviše jedan korijen na intervalu X.
Teorem 4.
Ako funkcija f(x) raste na intervalu X, tada je jednadžba f(f(x)) = x ekvivalentna na intervalu X jednadžbi f(x) = x.
1. Pronađite sve vrijednosti a za koje jednadžba ima točno tri korijena
4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.
Riješenje. Pretvorimo ovu jednadžbu u oblik
2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).
Ako stavimo u = x2-2x, v=2x-a-1, tada dolazimo do jednadžbe
2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).
Funkcija f (t) = 2tlog3(t+3) monotono raste za t >-2, pa iz posljednje jednadžbe možemo ići na ekvivalent u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1 )2=2x -a.
Ova jednadžba, kao što se može vidjeti sa slike, ima točno tri korijena u sljedećim slučajevima:
1. Vrh grafa funkcije y = 2x-a nalazi se u vrhu parabole y = (x-1)2, što odgovara a = 1;
2. Lijeva zraka grafa y = 2x-a dodiruje parabolu, a desna je siječe u dvije točke; to je moguće s a=12;
3. Desna zraka dodiruje, a lijeva zraka siječe parabolu, što se događa kada je a=32.
Objasnimo drugi slučaj. Jednadžba lijeve zrake je y = 2a-2x, njena nagib jednako -2. Stoga je kutni koeficijent tangente na parabolu jednak
2(x -1) = -2 ⇒ x = 0 i tangentna točka ima koordinate (0; 1). Iz uvjeta da ta točka pripada zraki nalazimo a=12.
Treći slučaj može se razmotriti na sličan način ili korištenjem razmatranja simetrije.
Odgovor: 0,5; 1;1.5.
Ostale jednadžbe možemo detaljnije razmotriti. (Prilog br. 4).
Poglavlje 4. Korištenje svojstava konveksnosti.
Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu X, naziva se strogo konveksna prema dolje (gore) na X ako za bilo koji u i v iz X, u!=v i 0
Geometrijski, to znači da svaka točka tetive BC (odnosno odsječak sa krajevima u točkama B(u;f(u)) i C(v;f(v)), različita od točaka B i C, leži iznad (ispod) točka I graf funkcije f(x), koji odgovara istoj vrijednosti argumenta (Dodatak br. 5).
Funkcije koje su strogo konveksne gore i dolje nazivaju se strogo konveksnim.
Sljedeće tvrdnje su točne.
Teorem 1.
Neka je funkcija f(x) strogo konveksna prema dolje na intervalu X, u ,v ∈X, u
Sljedeća tvrdnja slijedi iz teorema 1.
Teorem 2.
Ako je funkcija f(x) strogo konveksna na intervalu X, funkcije u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) su takve da za sve x iz ODZ jednadžbi f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) njihove vrijednosti u(x), v(x), u1(x), v1(x) su sadržano u X i uvjet u je zadovoljen +v = u1 +v1, tada je jednadžba f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) na ODZ ekvivalentna skupu jednadžbe u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).
1. 41-sin4x+41-cos4x=412.
Riješenje. Ako postavimo fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12, tada će ova jednadžba biti zapisana u obliku (1). Budući da je f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7, tada je funkcija fx strogo konveksna prema gore na segmentu -1;1. Očito, preostali uvjeti su zadovoljeni Teorem 2 i, prema tome, jednadžba je ekvivalentna jednadžbi cos2x = 0,5, x = PI4 +PIk2, gdje je k∈Z.
Odgovor: x = PI4 +PIk2, gdje je k∈Z.
Teorem 3.
Neka je funkcija fx strogo konveksna na intervalu X i u,v, λv+(1-λ)u∈X. Tada jednakost f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) vrijedi ako i samo ako je ili u=v ili λ=0, ili λ=1 .
Primjeri: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.
Jednadžba ima oblik (4) ako je fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.
Očito je da je funkcija fx strogo konveksna prema dolje na R. Prema tome, prema teoremu 3, izvorna jednadžba je ekvivalentna skupu jednadžbi sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x.
Odavde dobivamo da će njegova rješenja biti PIk2, PI12+PIn3, gdje je k,n∈Z.
Odgovor: PIk2, PI12+PIn3, gdje je k,n∈Z.
Korištenje svojstava konveksnosti koristi se u rješavanju i više složene jednadžbe. (Prilog br. 6).
Poglavlje 5. Korištenje parnih ili neparnih svojstava funkcija.
Funkcija fx se poziva čak i ako za bilo koju vrijednost x uzetu iz domene definicije funkcije, vrijednost - x također pripada domeni definicije i vrijedi jednakost f-x = fx. Funkcija fx se naziva neparnom ako za bilo koju vrijednost x uzetu iz domene definicije funkcije, vrijednost - x također pripada domeni definicije i vrijedi jednakost f-x = - fx.
Iz definicije proizlazi da su domene parnih i neparnih funkcija simetrične oko nule (nužan uvjet).
Za bilo koje dvije simetrične vrijednosti argumenta iz domene definicije, parna funkcija uzima jednako numeričke vrijednosti, a neparan - jednak in apsolutna vrijednost, ali suprotnog predznaka.
Teorem 1.
Zbroj, razlika, umnožak i kvocijent dviju parnih funkcija su parne funkcije.
Teorem 2.
Umnožak i kvocijent dviju neparnih funkcija su čak i funkcije.
Neka imamo jednadžbu F(x)=0, gdje je F(x) parna ili neparna funkcija.
Za rješavanje jednadžbe F(x) = 0, gdje je F(x) parna ili neparna funkcija, dovoljno je pronaći pozitivne (ili negativne) korijene koji su simetrični dobivenim, a za neparna funkcija korijen će biti x = 0 ako je ova vrijednost unutar domene F(x). Za parnu funkciju vrijednost x = 0 provjerava se izravnom zamjenom u jednadžbu.
Imamo parne funkcije na obje strane jednadžbe. Dakle, dovoljno je pronaći rješenja za x>=0. Budući da x=0 nije korijen jednadžbe, razmotrite dva intervala: (0;2, 2;beskonačnost.
a) Na intervalu (0;2) imamo:
8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.
b) Na intervalu 2;beskonačno imamo:
8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.
Ali budući da x = 0 nije korijen jednadžbe, tada za x>0 ova jednadžba ima korijen x = 43. Tada je x = - 43 također korijen jednadžbe.
Odgovor: 43; - 43.
Autor smatra da djelo može koristiti učiteljima i učenicima općeobrazovnih vrsta u izvannastavne aktivnosti, u pripremi za Matematičke olimpijade, polaganje Jedinstvenog državnog ispita, prijemni ispiti tehničkim školama.
Cilj: razmotriti probleme ZNO-a funkcionalno-grafičkim metodama na primjeru eksponencijalna funkcija y = a x, a>0, a1
Ciljevi lekcije:
ponoviti svojstvo monotonosti i ograničenosti eksponencijalne funkcije;
ponoviti algoritam za konstruiranje grafova funkcija pomoću transformacija;
pronaći mnoge vrijednosti i mnoge definicije funkcije prema vrsti formule i pomoću grafikona;
odlučiti eksponencijalne jednadžbe, nejednadžbe i sustavi koji koriste grafove i svojstva funkcija.
rad s funkcijskim grafovima koji sadrže modul;
pogledajte grafove složena funkcija i njihov raspon vrijednosti;
1. Uvodna riječ nastavnika. Motivacija za proučavanje ove teme
Slajd 1 Eksponencijalna funkcija. “Funkcionalno-grafičke metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi”
Funkcionalno-grafička metoda temelji se na korištenju grafičkih ilustracija, primjeni svojstava funkcije i omogućuje vam rješavanje mnogih problema u matematici.
Slajd 2 Ciljevi lekcije
Danas ćemo pogledati ZNO probleme različitih razina složenosti funkcionalno-grafičkim metodama na primjeru eksponencijalne funkcije y = a x, a>o, a1. Pomoću grafičkog programa izradit ćemo ilustracije zadataka.
Slajd 3 Zašto je toliko važno poznavati svojstva eksponencijalne funkcije?
Prema zakonu eksponencijalne funkcije, sva živa bića na Zemlji bi se razmnožavala kada bi za to postojali povoljni uvjeti, tj. nije bilo prirodnih neprijatelja, a hrane je bilo u izobilju. Dokaz za to je širenje zečeva u Australiji, kojih prije nije bilo. Bilo je dovoljno pustiti nekoliko jedinki, a nakon nekog vremena njihovo je potomstvo postalo nacionalna katastrofa.
U prirodi, tehnici i ekonomiji postoje brojni procesi tijekom kojih se vrijednost neke veličine mijenja jednak broj puta, tj. prema zakonu eksponencijalne funkcije. Ti se procesi nazivaju procesi organski rast ili organsko slabljenje.
Na primjer, rast bakterija u idealnim uvjetima odgovara procesu organskog rasta; radioaktivni raspad tvari– proces organske atenuacije.
Podvrgnuti zakonima organskog rasta rast depozita u Štedionici, obnova hemoglobina u krvi davatelja ili ranjenika koji je izgubio puno krvi.
Navedite svoje primjere
Primjena u stvaran život(doza lijeka).
Svi znaju da se tablete koje liječnik preporučuje za liječenje moraju uzimati nekoliko puta dnevno, inače će biti neučinkovite. Potreba za ponovnom primjenom lijeka za održavanje konstantne koncentracije u krvi uzrokovana je razgradnjom lijeka koja se javlja u tijelu. Slika pokazuje kako se u većini slučajeva koncentracija lijekova u krvi čovjeka ili životinje mijenja nakon jednokratne primjene. Slajd4.
Smanjenje koncentracije lijeka može se aproksimirati eksponencijalom čiji eksponent sadrži vrijeme. Očito, brzina razgradnje lijeka u tijelu mora biti proporcionalna intenzitetu metaboličkih procesa.
Postoji jedan tragičan slučaj koji se dogodio zbog nepoznavanja ove ovisnosti. S znanstvena točka Za psihijatre i neurofiziologe vrlo je zanimljiv lijek LSD, koji kod normalnih ljudi izaziva neobične halucinacije. Neki su istraživači odlučili proučiti reakciju slonova na ovaj lijek. Da bi to učinili, uzeli su količinu LSD-a koja razbjesni mačke i pomnožili je s brojem puta kada je masa slona veća od mase mačke, vjerujući da doza primijenjenog lijeka treba biti izravno proporcionalna masi od životinje. Ubrizgavanje takve doze LSD-a u slona dovelo je do njegove smrti unutar 5 minuta, iz čega su autori zaključili da su slonovi preosjetljivi na ovaj lijek. Recenzija ovog rada koja se kasnije pojavila u tisku nazvala ga je "slonovskom pogreškom" autora eksperimenta.
2. Obnavljanje znanja učenika.
Što znači proučavati funkciju? (formulirati definiciju, opisati svojstva, nacrtati grafikon)
Koja se funkcija naziva eksponencijalnom? Navedite primjer.
Koja osnovna svojstva eksponencijalne funkcije poznajete?
Opseg značaja (ograničenost)
domena
monotonost (stanje povećanja i opadanja)
Slajd 5 . Navedite različite vrijednosti funkcije (prema gotovom crtežu)
Slajd 6. Imenuj uvjet rastuće i padajuće funkcije i dovedi u korelaciju formulu funkcije s njezinim grafom
Slajd 7. Na temelju gotovog crteža opišite algoritam za izradu grafova funkcija
b) y=3 x-2 – 2
3.Dijagnostički samostalan rad(koristeći računalo).
Razred je podijeljen u dvije grupe. Glavni dio razreda radi testne zadatke. Jaki učenici izvode složenije zadatke.
Samostalni rad u programuVlast točka(za glavni dio sata po vrsti ispitni zadaci iz ZNO sa zatvorenim obrascem za odgovore)
Koja eksponencijalna funkcija raste?
Odredi domenu definicije funkcije.
Pronađite raspon funkcije.
Graf funkcije dobiva se iz grafa eksponencijalne funkcije paralelnim prevođenjem duž osi... po.. jedinica...
Pomoću gotovog crteža odredite područje definicije i područje vrijednosti funkcije
Odredite pri kojoj vrijednosti a eksponencijalna funkcija prolazi točkom.
Na kojoj slici je prikazan graf eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan?
Poveži graf funkcije s formulom.
Grafičko rješenje čije nejednadžbe je prikazano na slici.
Riješi nejednadžbu grafički (koristeći gotov crtež)
Samostalan rad (za jači dio razreda)
Slajd 8. Zapišite algoritam za konstruiranje grafa funkcije, navedite njezino područje definiranja, područje vrijednosti, intervale porasta i opadanja.
Slajd 9. Poveži formulu funkcije s njezinim grafom
Učenici provjeravaju svoje odgovore bez ispravljanja pogrešaka, samostalan rad predaju nastavniku
Slajd 10. Odgovori na ispitne zadatke
5) D 6) C 7) B 8) 1-G 2-A 3-C 4- B
9) A 10)(2;+ 
)
Slajd 11 (provjera zadatka 8)
4. Studija nova tema. Primjena funkcionalno-grafičke metode za rješavanje jednadžbi, nejednadžbi, sustava, određivanje raspona vrijednosti složene funkcije
Slide 12. Funkcionalno grafička metoda za rješavanje jednadžbi
Funkcionalno riješiti jednadžbu oblika f(x)=g(x). grafička metoda moram:
Konstruirajte grafove funkcija y=f(x) i y=g(x) u istom koordinatnom sustavu.
Odredite koordinate sjecišta grafova ovih funkcija.
Zapiši odgovor.
ZADATAK broj 1 RJEŠAVANJE JEDNADŽBI
Slajd 13.
Ima li jednadžba korijen i ako ima, je li pozitivan ili negativan?
6 x =1/6
(4/3) x = 4
SLAJD 14
5. Obavljanje praktičnog rada.
Slajd 15.
Ova se jednadžba može riješiti grafički. Od učenika se traži da dovrše zadatak, a zatim odgovore na pitanje: "Je li potrebno konstruirati grafove funkcija za rješavanje ove jednadžbe?" Odgovor: “Funkcija raste u cijeloj domeni definicije, a funkcija opada. Dakle, grafovi takvih funkcija imaju najviše jednu sjecišnu točku, što znači da jednadžba ima najviše jedan korijen. Izborom nalazimo da je “.
Riješite jednadžbu:
Slajd 16. .Riješenje: Za rješavanje jednadžbi koristimo funkcionalnu metodu:
jer ovaj sustav ima jedinstveno rješenje, tada metodom odabira nalazimo x = 1
2. ZADATAK RJEŠAVANJE NEJEDNAČBI
Grafičke metode omogućuju rješavanje nejednadžbi koje sadrže različite funkcije. Da biste to učinili, nakon konstruiranja grafova funkcija s lijeve i desne strane nejednadžbe i određivanja apscise točke presjeka grafova, potrebno je odrediti interval u kojem leže sve točke jednog od grafova iznad (ispod 0 bodova drugog.
Riješite nejednadžbu:
a) cos x 1 + 3 x
Slajd 1 8. Riješenje:
Odgovor: ( ; )
Riješi nejednadžbu grafički.
Slajd 19.
(Graf eksponencijalne funkcije nalazi se iznad funkcije napisane na desnoj strani jednadžbe.)
Odgovor: x>2. OKO
.
Odgovor: x>0.
3. ZADATAK Eksponencijalna funkcija sadrži znak modula u eksponentu.
Ponovimo definiciju modula.
(pisati na ploču)
Slajd 20.
Zabilježite u svoju bilježnicu:
1). 
2). 
Na slajdu je prikazan grafički prikaz.Objasnite kako su grafikoni konstruirani.
Slajd 21.
Da biste riješili ovu jednadžbu, morate zapamtiti svojstvo ograničenosti eksponencijalne funkcije. Funkcija prima vrijednosti >
1, a – 1 >
1, stoga je jednakost moguća samo ako su obje strane jednadžbe istovremeno jednake 1. To znači da Rješavajući ovaj sustav, nalazimo da x = 0.
ZADATAK 4. Određivanje raspona vrijednosti složene funkcije.
Slajd 22.
Korištenje sposobnosti građenja grafikona kvadratna funkcija, odredite sekvencijalno koordinate vrha parabole, pronađite raspon vrijednosti.
Slajd 23.
, je vrh parabole.
Pitanje: odrediti prirodu monotonosti funkcije.
Eksponencijalna funkcija y = 16 t raste, budući da je 16>1.
Točnost takvog rješenja je niska, ali uz pomoć grafa možete inteligentno odabrati prvu aproksimaciju od koje ćete započeti daljnje rješavanje jednadžbe. Postoje dva načina za grafičko rješavanje jednadžbi.
Prvi način . Svi članovi jednadžbe se prenose na lijevu stranu, tj. jednadžba se prikazuje u obliku f(x) = 0. Nakon toga se konstruira graf funkcije y = f(x), gdje je f(x) lijeva strana jednadžbe. Apscise točaka presjeka grafa funkcije y = f(x) s osi Vol i su korijeni jednadžbe, jer u tim točkama je y = 0.
Drugi način . Svi članovi jednadžbe podijeljeni su u dvije skupine, od kojih je jedna napisana na lijevoj strani jednadžbe, a druga na desnoj, tj. predstaviti ga u obliku j(x) = g(x). Nakon toga se iscrtavaju grafovi dviju funkcija y = j(x) i y = g(x). Kao korijeni ove jednadžbe služe apscise sjecišta grafova ovih dviju funkcija. Neka sjecište grafova ima apscisu x o, ordinate oba grafa u toj su točki međusobno jednake, tj. j(x o) = g(x o). Iz ove jednakosti slijedi da je x 0 korijen jednadžbe.
Odvajanje korijena
Proces pronalaženja približnih vrijednosti korijena jednadžbe podijeljen je u dvije faze:
1) odvajanje korijena;
2) preciziranje korijena do zadane točnosti.
Razmatran je x korijen jednadžbe f(x) = 0 odvojeni na intervalu ako jednadžba f(x) = 0 nema drugih korijena na ovom intervalu.
Odvajanje korijena znači dijeljenje cijelog raspona prihvatljivih vrijednosti u segmente, od kojih svaki sadrži jedan korijen.
Grafička metoda odvajanja korijena - u ovom slučaju postupite na isti način kao kod grafičkog načina rješavanja jednadžbi.
Ako krivulja dodiruje x-os, tada u ovoj točki jednadžba ima dvostruki korijen (na primjer, jednadžba x 3 - 3x + 2 = 0 ima tri korijena: x 1 = -2; x 2 = x 3 = 1 ).
Ako jednadžba ima trostruki realni korijen, tada u točki dodira s osi x krivulja y = f(x) ima točku infleksije (na primjer, jednadžba x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 ima korijen x 1 = x 2 = x 3 = 1).
Analitička metoda odvajanja korijena . Da biste to učinili, koristite neka svojstva funkcija.
Teorem 1 . Ako je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu i poprima vrijednosti različitih predznaka na krajevima tog segmenta, tada unutar segmenta postoji barem jedan korijen jednadžbe f(x) = 0.
Teorem 2. Ako je funkcija f(x) kontinuirana i monotona na segmentu i poprima vrijednosti različitih predznaka na krajevima segmenta, tada segment sadrži korijen jednadžbe f(x) = 0, a taj korijen je jedinstven .
Teorem 3 . Ako je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu i uzima vrijednosti različitih predznaka na krajevima ovog segmenta, a derivacija f "(x) održava konstantan predznak unutar segmenta, tada unutar segmenta postoji korijen jednadžbe f(x) = 0 i, štoviše, jedinstven.
Ako je funkcija f(x) dana analitički, tada domena postojanja (domena definicije) funkcije je skup svih onih stvarnih vrijednosti argumenta za koje analitički izraz koji definira funkciju ne gubi svoje numeričko značenje i poprima samo realne vrijednosti.
Poziva se funkcija y = f(x). povećavajući se , ako s povećanjem argumenta, vrijednost funkcije raste, i smanjujući se , ako se s povećanjem argumenta vrijednost funkcije smanjuje.
Funkcija se zove monoton , ako u danom intervalu ili samo raste ili samo opada.
Neka je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu i poprima vrijednosti različitih predznaka na krajevima segmenta, a derivacija f "(x) održava konstantan predznak na intervalu. Tada ako u svim točkama intervalu prva derivacija pozitivna, tj. f "(x) >0, tada je funkcija f(x) u tom intervalu povećava se . Ako je u svim točkama intervala prva derivacija negativna, tj. f "(x)<0, то функция в этом интервале smanjuje se .
Neka funkcija f(x) na intervalu ima derivaciju drugog reda koja zadržava konstantan predznak kroz cijeli interval. Tada ako je f ""(x)>0, tada je graf funkcije konveksno prema dolje ; ako je f ""(x)<0, то график функции является konveksno gore .
Točke u kojima je prva derivacija funkcije jednaka nuli, kao i one u kojima ona ne postoji (npr. okreće se u beskonačnost), ali funkcija zadržava kontinuitet, nazivaju se kritično .
Postupak odvajanja korijena analitičkom metodom:
1) Pronađite f "(x) - prvu derivaciju.
2) Napravite tablicu predznaka funkcije f(x) uz pretpostavku x jednak:
a) kritične vrijednosti (korijeni) derivata ili njima najbliži;
b) granične vrijednosti (na temelju raspona dopuštenih vrijednosti nepoznatog).
Primjer. Odvojite korijene jednadžbe 2 x - 5x - 3 = 0.
Imamo f(x) = 2 x - 5x - 3 . Područje definiranja funkcije f(x) je cijela numerička os.
Izračunajmo prvu derivaciju f "(x) = 2 x ln(2) - 5.
Ovu derivaciju izjednačavamo s nulom:
2 x log(2) - 5 = 0; 2 x log(2) = 5; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .
Sastavljamo tablicu predznaka funkcije f(x), pod pretpostavkom x jednako: a) kritičnim vrijednostima (korijenima derivata) ili najbližim njima; b) granične vrijednosti (na temelju raspona dopuštenih vrijednosti nepoznatog):
Korijeni jednadžbe leže u intervalima (-1,0) i (4,5).
Ideja grafičke metode za rješavanje jednadžbe je jednostavna. Potrebno je konstruirati grafove funkcija sadržanih na objema stranama jednadžbe i pronaći apscise točaka sjecišta. Ali grafički prikaz nekih funkcija je težak. Nije uvijek potrebno pribjegavati crtanju grafova, takve se jednadžbe mogu riješiti metodom odabira korijena, koristeći svojstva monotonosti i ograničenosti funkcija. To vam omogućuje vrlo brzo rješavanje zadataka ponuđenih prilikom polaganja Jedinstvenog državnog ispita.
Preuzimanje datoteka:
Pregled:
Općinska obrazovna ustanova
"Gimnazija br. 24"
Funkcionalno-grafička metoda
Rješenja jednadžbi.
Pripremio učitelj
Danilina Olga Sergejevna.
Magadan 2007
« Funkcionalno-grafička metoda rješavanja jednadžbi"
Cilj lekcije: razviti sposobnost rješavanja jednadžbi određenog tipa funkcionalno-grafičkom metodom, koristeći svojstva ograničenosti i monotonosti funkcija.
Struktura lekcije:
Uvodni govor učitelja, uvod u temu lekcije, postavljanje ciljeva
Obnavljanje prethodno stečenog znanja neophodnog za svladavanje teme sata
Prezentacija izlagača, koja sadrži prezentaciju novog materijala s uzorcima rješenja raznih vrsta jednadžbi
Rad u skupinama radi primarnog učvršćivanja naučenog
Provođenje igre slične igri: „Što? Gdje? Kada?"
Sažimanje lekcije.
- U uvodnom govoru nastavnik iznosi svoje iskustvo s novom metodom. govori o potrebi svladavanja istog, njegovom značaju, mogućnosti stjecanja vještina više racionalna odluka usporedbe
- Aktualizacija znanja:: rastuće i opadajuće funkcije, primjeri, svojstva monotonosti i ograničenosti funkcija.
- Prezentacija nove teme pomoću slajdova koji prikazuju teorijsko gradivo s primjerima rješenja jednadžbi (vidi dodatak).
- Rad u skupinama: Svaka skupina dobiva kartice sa zadacima, uzorcima rješenja i zadacima. Studenti konzultanti koji vode nastavu prate napredovanje zadataka i po potrebi priskaču u pomoć. Tijekom rada, oni koji rade u grupama mogu koristiti računala koja su konfigurirana s posebnim programom koji im omogućuje izgradnju grafikona funkcija. Zahvaljujući tome, u teškim situacijama, računalo se može koristiti kao savjet ili kao prilika za zornu demonstraciju ispravnost rješenja i ispravnost odabrane metode.
- Zaštita od strane predstavnika grupe riješenih zadataka, multimedijskom pločom, koja demonstrira rješavanje jednadžbi grafičkom metodom za potvrdu točnosti riješenog zadatka. RA
- Izvođenje igre. Za svaku skupinu se s ekrana monitora čuje pitanje koje su prethodno snimili različiti učitelji škole te se daje minuta za raspravu, nakon čega djeca moraju dati svoj argumentirani odgovor. Nakon toga, s novouključenog ekrana, nastavnik koji je prethodno postavio pitanje iznosi verziju svog odgovora.Tako se opetovanim ponavljanjem razmišljanja o novoproučenoj temi, posebno kompetentno izgovorenih od strane različitih ljudi, postižu najpovoljniji uvjeti za svladavanje nova tema. (Vidi dodatak.)
- Sažetak: Identificiranje najboljih “pet stručnjaka, najbolji igrač.
Pitanja za razred;
Što ste naučili na današnjoj lekciji?
Koje se jednadžbe mogu riješiti metodom odabira?
Koja se svojstva funkcija koriste u ovom slučaju.
Pitanja za sudionike igre:
Dragi stručnjaci, u jednoj minuti pronađite korijen ove jednadžbe i dokažite da je on jedini.
Odgovor: Zbroj dviju rastućih funkcija je rastuća funkcija. y = - raste monotono, stoga jednadžba ima jedan korijen, jer graf ove funkcije siječe ravnu liniju y=3 jednom. Kada je x=1, dobivamo točnu jednakost. Odgovor: x=1
Dragi znalci, u jednoj minuti imenujte funkcije koje se nalaze na objema stranama nejednadžbe i pronađite korijen ove jednadžbe.
Odgovor: y = - eksponencijalna funkcija raste na skupu realnih brojeva. y=6 - x je linearna funkcija, monotono opada na skupu realnih brojeva. To znači da se grafovi funkcija sijeku u jednoj točki, jednadžba ima jedan korijen. Kada je x=2, dobivamo točnu jednakost. Odgovor: x=2
3. Dragi stručnjaci, već znate da jednadžba ima jedan korijen x=3. U jednoj minuti odgovorite pri kojim vrijednostima x nejednakost vrijedi.
Odgovor: nejednakost vrijedi za x Ê, jer na tom intervalu graf funkcije y = nalazi se ispod grafa funkcije y =
4. Dragi stručnjaci, mnogi ljudi imaju poteškoća s rješavanjem jednadžbe. U jednoj minuti pronađite korijen ove jednadžbe i dokažite da je jedinstven.
Odgovor: korijen jednadžbe x = -3 je jedinstven, jer lijeva strana jednadžbe sadrži opadajuću funkciju, a desna rastuću, što znači da se grafovi funkcija sijeku u jednoj točki i jednadžba ima jedan korijen.
5. Dragi stručnjaci, imam jedno teško pitanje za vas. Lako možete pronaći korijen jednadžbe. Dokaži da je on jedini. Odgovor: x=1 je jedini korijen.
Funkcionalno-grafička metoda rješavanja jednadžbi.
________________________________________________________________________
Cilj sata: Naučiti rješavati jednadžbe metodom supstitucije, koristeći svojstva monotonosti i ograničenosti funkcija.
_________________________________________________________________________
Referentni materijal
- Funkcija se naziva rastućom (opadajućom) na skupu X ako na tom skupu, kako se argument povećava (smanjuje), vrijednost funkcije raste (smanjuje).
Primjer 1:
- rastu funkcije
Primjer 2:
su opadajuće funkcije
Referentni materijal
2. Zbroj dviju rastućih funkcija je rastuća funkcija.
Primjer:
3. Zbroj dviju opadajućih funkcija je opadajuća funkcija.
