Brojevni krug je jedinična kružnica čije točke odgovaraju određenim realnim brojevima.

Jedinična kružnica je kružnica radijusa 1.

Opći obrazac brojčani krug.

1) Kao mjerna jedinica uzet je njegov polumjer.

2) Vodoravni i okomiti promjer dijele brojevnu kružnicu na četiri četvrtine. Zovu se redom prva, druga, treća i četvrta četvrtina.

3) Horizontalni promjer označen je s AC, pri čemu je A krajnji pravo točka.
Okomiti promjer označen je BD, a B je najviša točka.
Odnosno:

prva četvrtina je luk AB

druga četvrtina - luk pr

treća četvrtina - luk CD

četvrta četvrtina - luk DA

4) Početna točka brojevne kružnice je točka A.

Brojanje duž brojčane kružnice može se vršiti u smjeru kazaljke na satu ili suprotno od njega.

Računajući od točke A protiv u smjeru kazaljke na satu se zove pozitivan smjer.

Računajući od točke A Po zove u smjeru kazaljke na satu negativan smjer.

Brojčani krug uključen koordinatna ravnina.

Središte polumjera brojevne kružnice odgovara ishodištu (broj 0).

Vodoravni promjer odgovara osi x, okomita os g.

Polazna točka Brojevni krugtee je na osixi ima koordinate (1; 0).

Nazivi i položaji glavnih točaka na kružnici brojeva:

Kako zapamtiti nazive krugova brojeva.

Postoji nekoliko jednostavnih uzoraka koji će vam pomoći da lakše zapamtite osnovna imena kruga brojeva.

Prije nego što počnemo, podsjetimo vas: brojanje se provodi u pozitivnom smjeru, odnosno od točke A (2π) suprotno od kazaljke na satu.

1) Počnimo s ekstremne točke na koordinatnim osama.

Početna točka je 2π (krajnja desna točka na osi x, jednako 1).

Kao što znate, 2π je opseg kruga. To znači da je pola kruga 1π ili π. Os x dijeli krug točno na pola. Prema tome, krajnja lijeva točka na osi x jednak -1 naziva se π.

Najviša točka na osi na, jednak 1, dijeli gornji polukrug na pola. To znači da ako je polukrug π, onda je pola polukruga π/2.

U isto vrijeme, π/2 je također četvrtina kruga. Izbrojimo tri takve četvrtine od prve do treće - i doći ćemo do najniže točke na osi na, jednako -1. Ali ako uključuje tri četvrtine, onda je njegovo ime 3π/2.

2) Sada prijeđimo na preostale točke. Imajte na umu: sve suprotne točke imaju isti nazivnik- a to su suprotne točke i u odnosu na os na, kako u odnosu na središte osi, tako i u odnosu na os x. To će nam pomoći da znamo njihove bodovne vrijednosti bez natrpavanja.

Trebate zapamtiti samo značenje točaka prve četvrtine: π/6, π/4 i π/3. I tada ćemo "vidjeti" neke obrasce:

- U odnosu na os na u točkama druge četvrtine, nasuprot točkama prve četvrtine, brojevi u brojnicima su za 1 manji od veličine nazivnika. Na primjer, uzmite točku π/6. Točka nasuprot njoj u odnosu na os na također ima 6 u nazivniku i 5 u brojniku (1 manje). Odnosno, naziv ove točke je: 5π/6. Točka nasuprot π/4 također ima 4 u nazivniku, a 3 u brojniku (1 manje od 4) - odnosno to je točka 3π/4.
Točka nasuprot π/3 također ima 3 u nazivniku, a 1 manje u brojniku: 2π/3.

- U odnosu na središte koordinatnih osi sve je obrnuto: brojevi u brojnicima suprotnih točaka (u trećoj četvrtini) veći su za 1 od vrijednosti nazivnika. Uzmimo ponovno točku π/6. Točka nasuprot njemu u odnosu na središte također ima 6 u nazivniku, au brojniku je broj za 1 veći - to jest, to je 7π/6.
Točka nasuprot točke π/4 također ima 4 u nazivniku, au brojniku je broj za 1 veći: 5π/4.
Točka nasuprot točke π/3 također ima 3 u nazivniku, au brojniku je broj za 1 veći: 4π/3.

- U odnosu na os x(četvrta četvrtina) stvar je kompliciranija. Ovdje vrijednosti nazivnika trebate dodati broj koji je za 1 manji - ovaj zbroj će biti jednak numeričkom dijelu brojnika suprotne točke. Počnimo ponovno s π/6. Dodajmo vrijednosti nazivnika jednakoj 6 broj koji je za 1 manji od ovog broja - to jest 5. Dobivamo: 6 + 5 = 11. To znači da je nasuprot osi x točka će imati 6 u nazivniku i 11 u brojniku - to jest 11π/6.

Točka π/4. Vrijednosti nazivnika pribrojimo za 1 manji broj: 4 + 3 = 7. To znači da je nasuprot osi x točka ima 4 u nazivniku i 7 u brojniku - to jest 7π/4.
Točka π/3. Nazivnik je 3. Broju 3 dodamo za jedan manji broj - dakle 2. Dobijemo 5. To znači da točka nasuprot njoj ima 5 u brojniku - a to je točka 5π/3.

3) Još jedan uzorak za točke središta četvrtina. Jasno je da im je nazivnik 4. Obratimo pozornost na brojnike. Brojnik sredine prve četvrtine je 1π (ali nije uobičajeno pisati 1). Brojnik sredine druge četvrtine je 3π. Brojnik sredine treće četvrtine je 5π. Brojnik sredine četvrte četvrtine je 7π. Ispada da brojnici srednjih četvrtina sadrže prva četiri neparna broja u rastućem redoslijedu:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Ovo je također vrlo jednostavno. Budući da središta svih četvrtina imaju 4 u nazivniku, već ih poznajemo puna imena: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Značajke brojevnog kruga. Usporedba s brojevnom crtom.

Kao što znate, na brojevnoj liniji svaka točka odgovara jednina. Na primjer, ako je točka A na liniji jednaka 3, tada više ne može biti jednaka niti jednom drugom broju.

Na krugu s brojevima je drugačije jer je to krug. Na primjer, da biste došli od točke A kruga do točke M, možete to učiniti kao po ravnoj liniji (samo prolazeći luk), ili možete obići cijeli krug, a zatim doći do točke M. Zaključak:

Neka je točka M jednaka nekom broju t. Kao što znamo, opseg kruga je 2π. To znači da točku na kružnici t možemo napisati na dva načina: t ili t + 2π. To su ekvivalentne vrijednosti.
Odnosno, t = t + 2π. Jedina razlika je u tome što ste u prvom slučaju odmah došli do točke M bez da ste napravili krug, au drugom slučaju ste napravili krug, ali ste završili na istoj točki M. Možete napraviti dvije, tri ili dvjesto takvih krugovi . Označimo li broj kružića slovom n, tada dobivamo novi izraz:
t = t + 2π n.

Otuda formula:

U ovoj lekciji ćemo ponoviti važna imovina brojevni krug i jedinični brojevni krug postaviti u koordinatnu ravninu prema određenim pravilima. Prisjetimo se jednadžbe jedinične brojevne kružnice i upotrijebimo je za rješavanje nekoliko problema nalaženja koordinata točke na jediničnoj brojevnoj kružnici. Na kraju lekcije sastaviti ćemo tablicu koordinata točaka višekratnika π/6 i π/4.

Tema lekcije, ponavljanje

Prethodno smo proučavali brojevni krug i saznali njegova svojstva (slika 1).

Svaki realni broj odgovara jednoj točki na kružnici.

Svaka točka na krugu brojeva odgovara ne samo broju nego i svim brojevima obrasca

Brojevni krug u koordinatnoj ravnini

Postavimo krug unutra koordinatna ravnina. Kao i prije, svaki broj odgovara točki na krugu. Ova točka na kružnici odgovara dvjema koordinatama, baš kao i svaka točka na koordinatnoj ravnini.

Naš zadatak je da dati broj pronaći ne samo točku, već i njezine koordinate, i obrnuto, pomoću koordinata pronaći jedan ili više odgovarajućih brojeva.

Primjer 1. Dana je točka - sredina luka.Točka odgovara brojevima oblika

Odredite koordinate točke (slika 3).

Koordinate se mogu pronaći na dva različita načina, pogledajmo ih redom.

1. Točka leži na kružnici, R=1, što znači da zadovoljava jednadžbu kružnice

Po stanju. Sjetimo se da je veličina središnjeg kuta brojčano jednaka duljini luka u radijanima, što znači kut. To također znači da ravna crta prvu četvrtinu dijeli točno na pola, što znači da je ravna linija

Točka leži na pravcu i stoga zadovoljava jednadžbu tog pravca.

Kreirajmo sustav dviju jednadžbi.

Nakon rješavanja sustava dobivamo tražene koordinate.

2. Razmotrite pravokutni (slika 4).

Dakle, postavili smo broj, pronašli točku i njene koordinate. Odredimo i koordinate njoj simetričnih točaka (sl. 5).

Određivanje pravokutnih koordinata točaka čije su krivocrtne koordinate višestruke

Sljedeći zadatak je odrediti koordinate točaka koje su višekratnike

U koordinatnu ravninu postavljena je kružnica polumjera R=1.Nađi točku na kružnici i njene koordinate (slika 6).

Razmotrimo - pravokutni.

Odnosno kut

Nađimo koordinate simetričnih točaka (slika 7).

Postavili smo broj, pronašli točku na krugu, ova točka je jedina, i pronašli njene koordinate.

Rješavanje problema

Primjer 1. Zadana je točka, pronaći njezine pravokutne koordinate.

Točka je sredina treće četvrtine (slika 8).

Zaključak, zaključak

Postavili smo brojevnu kružnicu u koordinatnu ravninu, naučili pomoću broja pronaći točku na kružnici i njezine koordinate. Ova tehnika je osnova za definiciju sinusa i kosinusa, o čemu će biti riječi kasnije.

Bibliografija

Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Udžbenik za obrazovne ustanove(razina profila)/ur.

A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2009. Algebra i počeci analize, 10. razred (u dva dijela). Knjiga zadataka za općeobrazovne ustanove (razina profila) / ur.

A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyna, 2007. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra i matematička analiza za 10. razred ( tutorial za učenike škola i razreda s produbljenim učenjem matematike). - M.: Obrazovanje, 1996. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Detaljna studija algebra i matematička analiza. - M .: Prosvjetljenje, 1997. Zbirka problema iz matematike za pristupnike visokim učilištima (uredio M. I. Skanavi). - M.: Viša škola, 1992. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebarski simulator. - K.: A. S. K., 1997. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Problemi u algebri i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda općeobrazovnih ustanova). - M.: Obrazovanje, 2003. Karp A.P. Zbirka problema o algebri i principima analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. s dubinom studirao matematika. - M.: Obrazovanje, 2006.

Matematika. ru. Problemi. ru. KORIŠTENJE ĆU RIJEŠITI.

Domaća zadaća

Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Knjiga zadataka za općeobrazovne ustanove (razina profila) / ur. A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Brojevni krug u koordinatnoj ravnini

Ponovimo: Jedinični krug– brojevnu kružnicu čiji je polumjer 1. R=1 C=2 π + - y x

Ako točki M brojevne kružnice odgovara broj t, tada joj odgovara i broj oblika t+2 π k, gdje je k bilo koji cijeli broj (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), gdje je k ϵ Z

Osnovni izgledi Prvi izgled 0 π y x Drugi izgled y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Nađimo koordinate točke M koje odgovaraju točki. 1) 2) x y M P 45° O A

Koordinate glavnih točaka prvog izgleda 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Nađimo koordinate točke M koja odgovara točki. 1) 2) 30°

M P Nađimo koordinate točke M koja odgovara točki. 1) 2) 30° x y O A B

Koristeći svojstvo simetrije, nalazimo koordinate točaka koje su višekratnici y x

Koordinate glavnih točaka drugog izgleda x y x y y x

Primjer Odredi koordinate točke na brojevnoj kružnici. Rješenje: P y x

Primjer Pronađite točke s ordinatom na brojevnoj kružnici Rješenje: y x ​​​​x y x y

Vježbe: Odredite koordinate točaka na brojevnoj kružnici: a) , b) . Pronađite točke s apscisom na brojevnoj kružnici.

Koordinate glavnih točaka 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Koordinate glavnih točaka prvog izgleda x y x y Koordinate glavnih točke drugog rasporeda

O temi: metodološki razvoj, prezentacije i bilješke

Didaktički materijal o algebri i počeci analize u 10. razredu (razina profila) "Brojevni krug na koordinatnoj ravnini"

Opcija 1.1. Pronađite točku na brojevnoj kružnici: A) -2∏/3B) 72. Koja četvrtina brojevne kružnice čini točku 16.3. Pronađite...

Analitička geometrija daje jedinstvene tehnike rješavanja geometrijskih problema. Da biste to učinili, sve zadane i tražene točke i pravci pridružuju se jednom koordinatnom sustavu.

U koordinatnom sustavu svaka se točka može karakterizirati svojim koordinatama, a svaki pravac – jednadžbom s dvije nepoznanice čiji je grafikon ovaj pravac. Tako geometrijski problem svodi na algebarski, gdje su sve metode izračuna dobro razvijene.

Kružnica je geometrijsko mjesto točaka s jednim određenim svojstvom (svaka točka na kružnici jednako je udaljena od jedne točke, koja se naziva središte). Jednadžba kruga mora odražavati ovo svojstvo i zadovoljavati ovaj uvjet.

Geometrijska interpretacija jednadžbe kruga je linija kruga.

Ako postavite krug u koordinatni sustav, tada sve točke na krugu zadovoljavaju jedan uvjet - udaljenost od njih do središta kruga mora biti ista i jednaka krugu.

Krug sa središtem u točki A i radijus R smjestiti u koordinatnu ravninu.

Ako centar koordinira (a;b) , i koordinate bilo koje točke na kružnici (x;y) , tada jednadžba kružnice ima oblik:

Ako je kvadrat polumjera kružnice jednak zbroju kvadrata razlika između odgovarajućih koordinata bilo koje točke na kružnici i njezina središta, tada je ova jednadžba jednadžba kružnice u ravninskom koordinatnom sustavu.

Ako se središte kružnice podudara s ishodištem, tada je kvadrat polumjera kružnice jednak zbroju kvadrata koordinata bilo koje točke na kružnici. U ovom slučaju, jednadžba kruga ima oblik:

Stoga, bilo koji geometrijski lik kako je geometrijsko mjesto točaka određeno jednadžbom koja povezuje koordinate njegovih točaka. Obrnuto, jednadžba koja povezuje koordinate x I na , definirajte liniju kao geometrijsko mjesto točaka ravnine čije koordinate zadovoljavaju ova jednadžba.

Primjeri rješavanja zadataka o jednadžbi kružnice

Zadatak. Napiši jednadžbu za zadani krug

Napišite jednadžbu za kružnicu sa središtem u točki O (2;-3) i polumjerom 4.

Riješenje.
Okrenimo se formuli za jednadžbu kruga:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Zamijenimo vrijednosti u formulu.
Polumjer kruga R = 4
Koordinate centra kruga (prema stanju)
a = 2
b = -3

Dobivamo:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
ili
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Zadatak. Pripada li točka jednadžbi kružnice?

Provjerite pripada li točka A(2;3) jednadžba kruga (x - 2) 2 +(y+3) 2 = 16 .

Riješenje.
Ako točka pripada kružnici, tada njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu kružnice.
Da biste provjerili pripada li točka sa zadanim koordinatama krugu, zamijenite koordinate točke u jednadžbu zadanog kruga.

U jednadžbi ( x - 2) 2 + (g + 3) 2 = 16
Zamijenimo, prema uvjetu, koordinate točke A(2;3), tj
x = 2
y=3

Provjerimo istinitost dobivene jednakosti
(x - 2) 2 + (g + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 jednakost je lažna

Tako, postavljena točka ne pripada dana jednadžba krugovi.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.