Za dvije ravnine moguće su sljedeće mogućnosti međusobnog rasporeda: paralelne su ili se sijeku u ravnoj liniji.
Iz stereometrije je poznato da su dvije ravnine paralelne ako su dva pravca jedne ravnine koji se sijeku paralelni s dvama pravcima druge ravnine. Ovo stanje se zove znak paralelnosti ravnina.
Ako su dvije ravnine paralelne, onda one sijeku neku treću ravninu duž paralelnih pravaca. Na temelju toga paralelne ravnine R I Q njihovi tragovi su paralelne ravne linije (slika 50).
U slučaju kada dvije ravnine R I Q paralelno s osi x, njihovi horizontalni i frontalni tragovi s proizvoljnim međusobnim rasporedom ravnina bit će paralelni s osi x, tj. međusobno paralelni. Prema tome, pod takvim uvjetima, paralelnost tragova dovoljan je znak koji karakterizira paralelnost samih ravnina. Kako biste bili sigurni da su takve ravnine paralelne, morate se uvjeriti da su i tragovi njihovih profila također paralelni. Pštapić Q w. Zrakoplovi R I Q na slici 51 su paralelni, ali na slici 52 nisu paralelni, unatoč činjenici da P v || Q v, i P h y || Q h.
U slučaju kada su ravnine paralelne, horizontale jedne ravnine su paralelne s horizontalama druge. Fronte jedne ravnine moraju biti paralelne s frontama druge jer te ravnine imaju istoimene paralelne staze.
Da bismo konstruirali dvije ravnine koje se međusobno sijeku, potrebno je pronaći ravnu liniju po kojoj se te dvije ravnine sijeku. Za konstrukciju ovog pravca dovoljno je pronaći dvije točke koje mu pripadaju.
Ponekad, kada je ravnina zadana tragovima, lako je pronaći te točke pomoću dijagrama i bez dodatnih konstrukcija. Ovdje je poznat smjer pravca koji se određuje, a njegova se konstrukcija temelji na korištenju jedne točke na dijagramu.
Kraj posla -
Ova tema pripada odjeljku:
Nacrtna geometrija. Bilješke s predavanja predavanje. O projekcijama
Informacije o predavanju o projekcijama koncept projekcija čitanje crteža.. središnja projekcija.. Predodžba o središnjoj projekciji može se dobiti proučavanjem slike koju daje ljudsko oko..
Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučamo pretragu u našoj bazi radova:
Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:
Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:
| Cvrkut |
Sve teme u ovom odjeljku:
Pojam projekcija
Nacrtna geometrija je znanost koja je teorijski temelj crtanja. Ova znanost proučava metode prikazivanja različitih tijela i njihovih elemenata na ravnini.
Paralelna projekcija
Paralelna projekcija je vrsta projekcije u kojoj se koriste paralelno projicirane zrake. Kada konstruirate paralelne projekcije, morate postaviti
Projekcije točke na dvije projekcijske ravnine
Promotrimo projekcije točaka na dvije ravnine, za koje uzimamo dvije okomite ravnine (sl. 4), koje ćemo zvati horizontalne fronte i ravnine. Linija presjeka podataka
Nedostatak osi projekcije
Da bismo objasnili kako dobiti projekcije točke na model okomito na ravninu projekcije (slika 4), potrebno je uzeti komad debelog papira u obliku izduženog pravokutnika. Treba ga savijati između
Projekcije točke na tri projekcijske ravnine
Razmotrimo profilnu ravninu projekcija. Projekcije na dvije okomite ravnine obično određuju položaj lika i omogućuju određivanje njegove stvarne veličine i oblika. Ali postoje trenuci kada
Koordinate točke
Položaj točke u prostoru može se odrediti pomoću tri broja koji se nazivaju njezinim koordinatama. Svaka koordinata odgovara udaljenosti točke od neke ravnine
Linijske projekcije
Za definiranje ravne linije potrebne su dvije točke. Točka je određena dvjema projekcijama na horizontalnu i frontalnu ravninu, tj. pravac je određen pomoću projekcija svojih dviju točaka na horizontalu.
Tragovi ravne linije
Trag pravca je točka njegova presjeka s određenom ravninom ili plohom (slika 20). Određena točka H naziva se horizontalni trag pravca
Razni ravni položaji
Pravac se naziva pravac opći položaj, ako nije ni paralelna ni okomita na bilo koju ravninu projekcije. Projekcije pravca u općem položaju također nisu paralelne niti okomite
Uzajamni položaj dviju ravnih linija
Tri su moguća slučaja položaja pravaca u prostoru: 1) pravci se sijeku, odnosno imaju zajedničku točku; 2) pravci su paralelni, tj. nemaju zajedničku točku, već leže u istoj ravnini
Okomite linije
Razmotrimo teorem: ako jedna strana pravi kut paralelan s ravninom projekcije (ili leži u njoj), tada se pravi kut projicira na tu ravninu bez izobličenja. Dajmo dokaz za
Određivanje položaja ravnine
Za proizvoljno smještenu ravninu, projekcije njezinih točaka ispunjavaju sve tri ravnine projekcija. Stoga nema smisla govoriti o projekciji cijele ravnine, trebamo uzeti u obzir samo projekcije
Tragovi aviona
Trag ravnine P je crta njezina presjeka sa zadanom ravninom ili plohom (slika 36). Crtu presjeka ravnine P s horizontalnom ravninom nazivam
Horizontalne i frontalne ravnine
Među pravcima koji leže u određenoj ravnini mogu se razlikovati dvije klase pravaca koje igraju važnu ulogu u rješavanju svih vrsta problema. To su ravne linije koje se zovu horizontale
Konstrukcija ravninskih tragova
Promotrimo konstrukciju tragova ravnine P koja je određena parom pravaca I i II koji se sijeku (slika 45). Ako je pravac na ravnini P, tada njeni tragovi leže na istoimenim tragovima
Razni položaji ravnine
Opća ravnina je ravnina koja nije ni paralelna ni okomita ni na jednu ravninu projekcije. Tragovi takve ravnine također nisu ni paralelni ni okomiti
Pravac paralelan s ravninom
Može postojati više položaja ravne linije u odnosu na određenu ravninu. 1. Pravac leži u određenoj ravnini. 2. Pravac je paralelan s određenom ravninom. 3. Izravni prijenos
Pravac koji siječe ravninu
Za pronalaženje sjecišta pravca i ravnine potrebno je konstruirati sjecište dviju ravnina. Promotrimo ravninu I i ravninu P (slika 54).
Prizma i piramida
Promotrimo ravnu prizmu koja stoji na vodoravnoj ravnini (slika 56). Njezina bočna zrna
Cilindar i stožac
Valjak je figura čija je površina dobivena rotacijom pravca m oko osi i koja se nalazi u istoj ravnini kao i ovaj pravac. U slučaju kada je linija m
Kugla, torus i prsten
Kada je određena os rotacije I promjer kruga, dobiva se sferna površina (slika 66).
Linije koje se koriste u crtanju
U crtanju se koriste tri glavne vrste linija (pune, isprekidane i isprekidane) različite debljine (slika 76).
Lokacija pogleda (projekcije)
U crtanju se koristi šest vrsta koje su prikazane na slici 85. Na slici su prikazane projekcije slova “L”.
Odstupanje od gore navedenih pravila za položaj pogleda
U nekim slučajevima dopuštena su odstupanja od pravila za izradu projekcija. Među tim slučajevima mogu se razlikovati: djelomični prikazi i pogledi smješteni bez projekcijske veze s drugim pogledima.
Broj projekcija koje definiraju određeno tijelo
Položaj tijela u prostoru, oblik i veličina obično se određuju malim brojem odgovarajuće odabranih točaka. Ako pri prikazivanju projekcije tijela obratite pozornost
Rotacija točke oko osi okomite na ravninu projekcije
Na slici 91 data je os rotacije I, koja je okomita na horizontalnu ravninu, i proizvoljno smještena u prostoru točka A. Pri rotaciji oko osi I ova točka opisuje
Određivanje prirodne veličine segmenta rotacijom
Segment paralelan s bilo kojom ravninom projekcije projicira se na nju bez izobličenja. Ako segment rotirate tako da postane paralelan s jednom od ravnina projekcije, tada možete definirati
Konstrukcija projekcija presječne figure može se izvesti na dva načina
1. Možete pronaći točke susreta bridova poliedra sa sječnom ravninom, a zatim spojiti projekcije pronađenih točaka. Kao rezultat, dobit će se projekcije željenog poligona. U ovom slučaju
Piramida
Slika 98 prikazuje presjek plohe piramide s frontalnom projicirajućom ravninom P. Slika 98b prikazuje frontalnu projekciju a točke susreta brida KS s ravninom
Kosi presjeci
Pod kosim presjecima podrazumijevamo niz problema za konstruiranje prirodnih tipova presjeka promatranog tijela projiciranom ravninom. Za izvođenje kosog presjeka potrebno je secirati
Hiperbola kao presjek plohe stošca frontalnom ravninom
Neka je potrebno konstruirati presjek plohe stošca koji stoji na horizontalnoj ravnini s ravninom P, koja je paralelna s ravninom V. Slika 103 prikazuje frontalnu
Presjek površine cilindra
Postoje sljedeći slučajevi sječenja površine pravog kružnog valjka ravninom: 1) kružnica, ako je rezna ravnina P okomita na os valjka, a paralelna je s bazama.
Presjek površine konusa
U općem slučaju, kružna stožasta ploha uključuje dvije potpuno identične šupljine koje imaju zajednički vrh (slika 107c). Generatrice jedne šupljine predstavljaju nastavak
Presjek površine lopte
Svaki presjek površine lopte ravninom je krug, koji se projicira bez izobličenja samo ako je rezna ravnina paralelna s ravninom projekcija. U općem slučaju bismo
Kosi presjeci
Neka je potrebno konstruirati prirodni prikaz presjeka s frontalno projiciranom ravninom tijela. Slika 110a razmatra tijelo ograničeno s tri cilindrične površine(1, 3 i 6), površina
Piramida
Pronaći tragove ravne linije na površini nekih geometrijsko tijelo, trebate povući kroz ravnu pomoćnu ravninu, a zatim pronaći presjek površine tijela tom ravninom. Oni koje tražimo bit će
Cilindrična zavojnica
Formiranje spirale. Pogledajmo sliku 113a, gdje se točka M giba jednoliko po određenoj kružnici, koja je presjek okruglog valjka ravninom P. Ovdje je ta ravnina
Dva tijela rotacije
Metoda crtanja pomoćnih ravnina koristi se pri konstruiranju sjecišta ploha dvaju rotacijskih tijela. Suština ove metode je sljedeća. Nacrtaj pomoćnu ravninu
Sekcije
Postoje neke definicije i pravila koja se primjenjuju na odjeljke. Sekcija je ravna figura, koji je dobiven kao rezultat presjeka zadanog tijela nekih
Posjekotine
Definicije i pravila koja se odnose na rezove. Presjek je takva konvencionalna slika objekta kada je dio koji se nalazi između oka promatrača i sekantne ravnine
Djelomični rez ili poderotina
Rez se naziva potpunim ako je prikazani predmet u cijelosti seciran, preostali rezovi se nazivaju djelomični ili izvlačenja. Na slici 120, puni presjeci su napravljeni u lijevom prikazu iu tlocrtu. Štoviše
Ravnina, pravac, točka – osnovni pojmovi geometrije. Teško nam je dati im jasne definicije, ali intuitivno razumijemo što su. Avion ima samo dvije dimenzije. Ona nema dubine. Ravna linija ima samo jednu dimenziju, a točka nema nikakve dimenzije - ni duljinu, ni širinu, ni visinu.
Ravnina je beskonačna. Stoga u zadacima crtamo samo dio ravnine. Moramo to nekako prikazati.
Kako sve to izgleda u svemiru? Jako jednostavno. List debelog papira poslužit će kao "model" aviona. Možete uzeti drugi ravni predmet, na primjer, CD, plastičnu karticu. Olovke mogu lako prikazati ravne linije. Svi aksiomi i teoremi stereometrije mogu se pokazati "na prstima", odnosno uz pomoć dostupnih materijala. Pročitajte i odmah napravite takav "model".
Dvije ravnine u prostoru su ili paralelne ili se sijeku. Primjere u okolici je lako pronaći.
Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda se one sijeku pravocrtno.
Ne razmatramo odvojeno slučaj "ravnine se poklapaju". Ako se podudaraju, znači da je riječ o jednoj ravnini, a ne o dvije.
Kut između ravnina
Neka su ravnine i određene jednadžbama i , respektivno. Trebate pronaći kut između tih ravnina.
Ravnine, sijekući se, tvore četiri dvostrana kuta (sl. 11.6): dva tupa i dva oštra ili četiri ravna, pri čemu su oba tupa kuta međusobno jednaka, a oba oštra kuta također su međusobno jednaka. Uvijek ćemo tražiti oštar kut. Da bismo odredili njegovu vrijednost, uzmemo točku na liniji sjecišta ravnina i na ovom mjestu u svakoj od ravnina povučemo okomice na crtu sjecišta. Nacrtajmo također normalne vektore ravnina i s ishodištima u točki (sl. 11.6).
Slika 11.6 Kut između ravnina
Ako je ravnina nacrtana kroz točku, okomitu na crtu presjeka ravnina i, tada će linije i i slike vektora i ležati u ovoj ravnini. Napravimo crtež u ravnini (moguće su dvije opcije: sl. 11.7 i 11.8).
Slika 11.7. Kut između normalnih vektora je oštar
Slika 11.8. Kut između normalnih vektora je tup
U jednoj verziji (sl. 11.7) i, prema tome, kut između normalnih vektora jednak je kutu, koji je linearni kut oštrog diedralnog kuta između ravnina i.
U drugoj opciji (sl. 11.8), a kut između normalnih vektora je jednak . Jer
onda u oba slučaja 
.
A-priorat točkasti proizvod 
. Gdje
i shodno tome
Ako su ravnine paralelne, onda su njihovi normalni vektori kolinearni. Dobivamo uvjet za paralelne ravnine
| (11.6) |
gdje je bilo koji broj.
23. Razne vrste jednadžbi pravca u prostoru Vektorsko-parametarska jednadžba pravca Gdje  - fiksna točka koja leži na ravnoj liniji; - vektor smjera. U koordinatama (parametarske jednadžbe): Jednadžbe pravca iz dviju točaka
 24. Razne vrste jednadžbi pravca u prostoru Kanonske jednadžbe pravca
 Parametarske jednadžbe ravno dobivamo izjednačavanjem svake od relacija (3.4) s parametrom t: x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + p t. 25. Međusobni položaj pravaca Dva se pravca u prostoru mogu sijeći, križati i mogu biti paralelni. 1. Pravci koji se sijeku
Pravci koji se sijeku su oni pravci koji imaju jednu zajedničku točku. Iz nepromjenjivog svojstva 5 slijedi da je projekcija sjecišne točke projekcija pravaca a i b presječna točka tih pravaca (sl. 3.4).  . Riža. 3.4. Crte koje se sijeku 2. Paralelni pravci
Na sl. Na slici 3.5 prikazani su paralelni pravci - pravci koji se sijeku u neprikladnoj točki (pravci koji leže u istoj ravnini i sijeku se u beskonačnoj točki). Iz invarijantnog svojstva 6 slijedi da su projekcije paralelnih pravaca a i b paralelne. 3. Prelaženje granica
Križnice su pravci koji ne leže u istoj ravnini, to su pravci koji nemaju niti jednu zajedničku točku. Na složenom crtežu (sl. 3.6) sjecišta projekcija ovih linija ne leže na istoj okomici na X-os (za razliku od linija koje se sijeku, vidi sl. 3.4).  . Riža. 3.5. Slika paralelnih pravaca  . Riža. 3.6. Križanje pravaca Udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini okomice povučene iz točke na pravac. Ako je pravac paralelan s ravninom projekcije (h | | P 1), tada je za određivanje udaljenosti od točke A do pravca h potrebno spustiti okomicu iz točke A na vodoravnu liniju h.
|
Dvije ravnine u prostoru mogu biti ili međusobno paralelne, u određenom slučaju podudarne jedna s drugom, ili se sijeku. Međusobno okomite ravnine su poseban slučaj presječne ravnine.
1. Paralelne ravnine. Ravnine su paralelne ako su dvije pravce jedne ravnine koje se sijeku paralelne s dvije pravce druge ravnine koje se sijeku.
Ovu definiciju dobro ilustrira problem povlačenja ravnine kroz točku B paralelne s ravninom koju određuju dvije ravnine ab koje se sijeku (slika 61).
Zadatak. Zadano je: opća ravnina određena dvjema pravcima ab i točkom B koji se sijeku.
Kroz točku B potrebno je povući ravninu paralelnu s ravninom ab i odrediti je s dvije prave c i d koje se sijeku.
Prema definiciji, ako su dvije pravce jedne ravnine koje se sijeku paralelne s dvije pravce druge ravnine koje se sijeku, onda su te ravnine međusobno paralelne.
Kako biste nacrtali paralelne linije na dijagramu, morate koristiti svojstvo paralelna projekcija- projekcije paralelnih pravaca - međusobno paralelne
d//a, s//b Þ d1//a1, s1//b1; d2//a2 ,s2//b2; d3//a3, c3//b3.
Slika 61. Paralelne ravnine
2. Presječne ravnine, poseban slučaj su međusobno okomite ravnine. Sjecište dviju ravnina je pravac, za čiju je konstrukciju dovoljno odrediti njegove dvije točke zajedničke objema ravninama, ili jednu točku i smjer presjecišta ravnina.
Razmotrimo konstruiranje presjecišta dviju ravnina kada jedna od njih projicira (slika 62).
Zadatak. Zadano je: ravnina općeg položaja zadana je trokutom ABC, a druga ravnina je horizontalno projicirana ravnina a.
Potrebno je konstruirati liniju presjeka ravnina.
Rješenje zadatka je pronaći dvije točke zajedničke tim ravninama kroz koje se može povući pravac. Ravnina određena trokutom ABC može se prikazati kao prave (AB), (AC), (BC). Sjecište pravca (AB) s ravninom a je točka D, pravca (AC) je F. Segment definira liniju sjecišta ravnina. Kako je a horizontalno projicirajuća ravnina, projekcija D1F1 koincidira s tragom ravnine aP1, pa preostaje samo konstruirati projekcije koje nedostaju na P2 i P3.
Slika 62. Presjek ravnine općeg položaja s horizontalno projiciranom ravninom
Prijeđimo na opći slučaj. Neka su u prostoru zadane dvije generičke ravnine a(m,n) i b (ABC) (sl. 63)
Slika 63. Presjek generičkih ravnina
Razmotrimo redoslijed konstruiranja presjecišta ravnina a(m//n) i b(ABC). Analogno prethodnom zadatku, da bismo pronašli presjek tih ravnina, nacrtamo pomoćne sječne ravnine g i d. Nađimo linije presjeka tih ravnina s ravninama koje razmatramo. Ravnina g siječe ravninu a po pravoj liniji (12), a ravnina b siječe po pravoj liniji (34). Točka K - sjecište ovih pravaca istovremeno pripada trima ravninama a, b i g, dakle točka koja pripada presjecištu ravnina a i b. Ravnina d siječe ravnine a i b duž ravnina (56), odnosno (7C), njihova sjecišna točka M nalazi se istovremeno u tri ravnine a, b, d i pripada pravcu presjeka ravnina a i b. Tako su pronađene dvije točke koje pripadaju presjecištu ravnina a i b - pravac (KS).
Određeno pojednostavljenje pri konstruiranju linije presjeka ravnina može se postići ako se pomoćne rezne ravnine nacrtaju kroz ravne linije koje definiraju ravninu.
Međusobno okomite ravnine. Iz stereometrije je poznato da su dvije ravnine međusobno okomite ako jedna od njih prolazi kroz okomicu na drugu. Kroz točku A možete povući mnogo ravnina okomitih na zadanu ravninu a(f,h). Ove ravnine čine snop ravnina u prostoru, čija je os okomica spuštena iz točke A na ravninu a. Da bi se iz točke A povukla ravnina okomita na ravninu koju zadaju dva pravca hf koji se sijeku, potrebno je iz točke A povući pravac n okomit na ravninu hf (horizontalna projekcija n je okomita na horizontalnu projekciju vodoravne crte). h, frontalna projekcija n je okomita na frontalnu projekciju frontala f). Svaka ravnina koja prolazi kroz pravac n bit će okomita na ravninu hf, stoga, da biste definirali ravninu kroz točke A, povucite proizvoljan pravac m. Ravnina određena dvjema ravnima mn koje se sijeku bit će okomita na ravninu hf (slika 64).
Slika 64. Međusobno okomite ravnine
MEĐUSOBNI POLOŽAJ DVIJE RAVNINE.
| Naziv parametra | Značenje |
| Tema članka: | MEĐUSOBNI POLOŽAJ DVIJE RAVNINE. |
| Rubrika (tematska kategorija) | Geologija |
Dvije ravnine u prostoru mogu biti paralelne jedna s drugom ili se sijeku.
Paralelne ravnine. U projekcijama s brojčanim oznakama, znak paralelnosti ravnina na planu je paralelnost njihovih vodoravnih linija, jednakost visina i podudarnost smjerova upadanja ravnina: kvadrat. S || pl. L- h S || h L, l S= l L, jastučić. I. (slika 3.11).
U geologiji se ravno, homogeno tijelo sastavljeno od bilo koje stijene naziva slojem. Sloj je ograničen s dvije površine, od kojih se gornja naziva krovom, a donja - potplatom. Ako se sloj promatra u relativno malom opsegu, tada se krov i baza izjednačavaju s ravninama, dobivajući prostorno geometrijski model dviju paralelnih nagnutih ravnina.
Ravnina S je krov, a ravnina L dno sloja (sl. 3.12, A). U geologiji najkraća udaljenost između krova i tabana zove se istinska moć (na slici 3.12, A prava snaga je označena slovom H). Osim stvarne debljine, u geologiji se koriste i drugi parametri sloja stijene: vertikalna debljina - H in, horizontalna debljina - L, vidljiva debljina - H pogled. Vertikalna snaga u geologiji nazivaju udaljenost od krova do dna sloja, mjereno okomito. Horizontalna snaga sloj je najkraća udaljenost između krova i podloge, mjerena u vodoravnom smjeru. Prividna snaga – najkraći razmak između vidljivog nagiba krova i potplata (vidljivi nagib je pravocrtni pravac na konstrukcijskoj ravnini, tj. pravac koji pripada ravnini). Međutim, prividna moć uvijek je veća od prave snage. Treba napomenuti da se za vodoravne slojeve stvarna, okomita i vidljiva debljina podudaraju.
Razmotrimo tehniku konstruiranja paralelnih ravnina S i L, udaljenih jedna od druge na zadanoj udaljenosti (sl. 3.12, b).
Na planu križnim linijama m I n dana je ravnina S. Potrebno je konstruirati ravninu L paralelnu s ravninom S i udaljenu od nje 12 m (tj. stvarna debljina je H = 12 m). L ravnina se nalazi ispod S ravnine (S ravnina je krov sloja, L ravnina je dno).
1) Ravnina S određena je na tlocrtu projekcijama izonica.
2) Na mjerilu naslaga konstruirajte upadnu liniju ravnine S - u S. Okomito na liniju u S odvojiti zadanu udaljenost od 12 m (stvarna debljina sloja H). Ispod upadne linije ravnine S i paralelno s njom povuci upadnu liniju ravnine L - u L. Odredite udaljenost između upadnih linija obiju ravnina u horizontalnom smjeru, odnosno horizontalnu debljinu sloja L.
3) Odvajanje horizontalne snage od horizontale na planu h S, paralelno s njom nacrtaj vodoravnu liniju ravnine L s istom brojčanom oznakom h L. Treba napomenuti da ako se ravnina L nalazi ispod ravnine S, tada vodoravnu snagu treba položiti u smjeru uzdizanja ravnine S.
4) Na osnovu uvjeta paralelnosti dviju ravnina, na planu su nacrtane horizontalne ravnine L ravnine.
Presječne ravnine. Znak sjecišta dviju ravnina obično je paralelnost projekcija njihovih horizontalnih linija na planu. Crta presjeka dviju ravnina u ovom slučaju određena je točkama sjecišta dvaju parova istoimenih (s istim brojčanim oznakama) konturnih linija (sl. 3.13): ; . Spajanjem dobivenih točaka N i M ravnom crtom m, odredite projekciju željene linije presjeka. Ako su ravnine S (A, B, C) i L(mn) navedene na planu kao nehorizontalne, tada se konstruira njihova sjecišna linija t izuzetno je važno konstruirati dva para vodoravnih linija s identičnim brojčanim oznakama, koje će u sjecištu odrediti projekcije točaka R i F željene linije. t(Slika 3.14). Slika 3.15 prikazuje slučaj kada se dva sijeku
Horizontalne ravnine S i L su paralelne. Linija sjecišta takvih ravnina bit će vodoravna ravna linija h. Vrijedno je reći da za pronalaženje točke A koja pripada tom pravcu nacrtamo proizvoljnu pomoćnu ravninu T koja siječe ravnine S i L. Ravnina T siječe ravninu S po ravnoj liniji A(C 1 D 2), a ravnina L je pravac b(K 1 L 2).
Točka raskrižja A I b, koje pripadaju ravninama S i L, bit će zajedničke ovim ravninama: =A. Nadmorska visina točke A može se odrediti interpolacijom ravnih linija a I b. Ostaje povući vodoravnu liniju kroz A h 2.9, koja je presječna linija ravnina S i L.
Razmotrimo još jedan primjer (sl. 3.16) konstrukcije presjecišta nagnute ravnine S s okomitom ravninom T. Željena ravna crta m određeno točkama A i B, na kojima vodoravne crte h 3 i h 4 ravnine S sijeku okomitu ravninu T. Iz crteža je vidljivo da se projekcija presječne crte poklapa s projekcijom okomite ravnine: mº T. U rješavanju zadataka geoloških istraživanja presjekom se obično naziva presjek jedne ili skupine ravnina (ploha) s vertikalnom ravninom. Dodatna okomita projekcija linije konstruirana u primjeru koji se razmatra m naziva se profil reza koji čini ravnina T u zadanom pravcu.
MEĐUSOBNI POLOŽAJ DVIJE RAVNINE. - pojam i vrste. Klasifikacija i značajke kategorije "MEĐUSOBNI POLOŽAJ DVIJE RAVNINE." 2017., 2018. godine.
Kut između dviju ravnina. Uvjeti paralelizam i okomitost dva aviona:
neka su zadane dvije ravnine Q1 i Q2:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 =0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0
Kut između ravnina znači jedan od diedralni kutovi koju čine te ravnine.
Ako su ravnine okomite onda su i njihove normale okomite, tj. . Ali onda, tj.
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Rezultirajuća jednakost je uvjet okomitosti dviju ravnina.
Ako su ravnine paralelne, tada će i njihove normale biti paralelne. Ali tada, kao što je poznato, koordinate vektora su proporcionalne: 
. To je ono što je uvjet paralelnosti dviju ravnina.
Relativni položaj linija.
Kut između ravnih linija. Uvjeti paralelnosti i okomitosti pravaca.
Polukut između ovih pravaca je kut između vektora smjera S 1 i S 2 .
Pronaći oštar kut između linija L 1 i L 2 brojnik na desnoj strani formule treba uzeti modulo.
Ako su linije L 1 i L 2 okomito, tada u ovom i samo u ovom slučaju imamo cos =0. dakle, brojnik razlomka = 0, tj. 
=0.
Ako su linije L 1 i L 2 paralelno, tada su im vektori smjera S 1 i S 2 paralelni. pa su koordinate tih vektora proporcionalne: .
Uvjet pod kojim dvije prave leže u istoj ravnini:
=0.
Kada je ovaj uvjet ispunjen, pravci ili leže u istoj ravnini, odnosno ili se sijeku.
Uzajamni položaj pravca i ravnine.
Kut između pravca i ravnine. Uvjeti paralelnosti i okomitosti pravca i ravnine.
Neka je ravnina dana jednadžbom Ax + By + Cz + D=0, a pravac L jednadžbama 
. Kut između pravca i ravnine je bilo koji od dva susjedna kuta koji čine pravac i njegova projekcija na ravninu. Označimo s kut između ravnine i pravca.
.
Ako je pravac L paralelan s ravninom Q, tada su vektori n i S okomiti, pa prema tome, t.j.
0 je uvjet paralelizma ravna i ravna.
Ako je pravac L okomit na ravninu Q, tada su vektori n i S paralelni. Stoga jednakost
Jesu li uvjeti okomitosti ravna i ravna.
Presjek pravca i ravnine. Uvjet pripadnosti ravnoj ravnini:
Razmotrite ravnu liniju a ravnina Ah + By + Cz + D=0.
Simultano izvođenje jednakosti:
Ax 0 +By 0 + Cz 0 + D=0 su uvjet za pripadnost ravnoj ravnini.
Elipsa.
Geometrijsko mjesto točaka, zbroj udaljenosti od kojih do dviju fiksnih točaka ravnine (obično zvanih žarišne točke) je konstantan, naziva se elipsa.
Ako su koordinatne osi smještene tako da Ox prolazi kroz žarišta F 1 (C,0) i F 2 (-C,0), a O(0,0) se poklapa sa središtem segmenta F 1 F 2, tada duž F 1 M+ F 2 M dobivamo:
kanonska razina elipse 
,
b 2 =-(c 2 -a 2).
a i b su poluosi elipse, a je velika, b je sporedna.
Ekscentričnost. , (ako je a>b)
(ako a Ekscentričnost karakterizira konveksnost elipse. Ekscentricitet elipse je: 0. Slučaj =0 javlja se samo kada je c = 0, a to je slučaj kružnice - to je elipsa s nula ekscentričnosti. Ravnateljice (D) Geometrijsko mjesto točaka, omjer udaljenosti od kojih do točke elipse i udaljenosti od ove točke elipse do fokusa je konstantan i jednak , naziva se ravnateljice. . Napomena: kružnica nema direktrisu. Hiperbola. Geometrijsko mjesto točaka, modul razlike udaljenosti od kojih je do dviju fiksnih točaka ravnine konstantan, naziva se hiperbola. Kanonička jednadžba hiperbole: Hiperbola je pravac drugog reda. Hiperbola ima 2 asimptote: i Hiperbola se zove jednakostraničan, ako su mu poluosi jednake. (a=b). Kanonička jednadžba: Ekscentričnost– omjer udaljenosti između žarišta i vrijednosti stvarne osi hiperbole: Kako je za hiperbolu c>a, onda je ekscentricitet hiperbole >1. Ekscentričnost karakterizira oblik hiperbole: . Ekscentricitet jednakostranične hiperbole jednak je . Ravnateljice- ravno. Žarišni radijusi: Postoje hiperbole koje imaju zajedničke asimptote. Takve se hiperbole nazivaju konjugiran. Parabola. Parabola– skup svih točaka ravnine, od kojih je svaka jednako udaljena od zadane točke, koja se naziva žarište, i zadanog pravca, koji se naziva direktrisa. Udaljenost od fokusa do direktrise – parametar parabole(p>0).- polužarišni promjer. Parabola je pravac drugog reda. M(x,y) je proizvoljna točka parabole. Spojimo točku M s F i povucimo odsječak MN okomito na direktrisu. Prema definiciji parabole MF=MN. Koristeći formulu za udaljenost između 2 točke nalazimo: Kanonska jednadžba parabole: Elipsoid. Istražujemo površinu zadan jednadžbom: Promotrimo presjeke površine s ravninama paralelnim s ravninom xOy. Jednadžbe takvih ravnina: z=h, gdje je h bilo koji broj. Linija dobivena u presjeku određena je s dvije jednadžbe: Ispitajmo površinu: A) ako je tada Pravac presjeka plohe s ravninama z = h ne postoji. B) ako je , presječna linija degenerira u dvije točke (0,0,s), i (0,0,-s). Ravnina z = c, z = - c dodiruje zadanu plohu. C) ako je , tada se jednadžbe mogu prepisati kao: Razmotreni presjeci omogućuju prikaz površine kao zatvorene ovalne površine. Ploha se naziva elipsoid.Ako su neke poluosi jednake, troosni elipsoid prelazi u elipsoid rotacije, a ako je a=b=c onda u sferu. Hiperboloid i stožac.
, Gdje .
I 
.
=> 
= =>
=>
y 2 = 2 px.
, kao što se vidi, presječna linija je elipsa s poluosima a1 = , b1 = . U ovom slučaju, što je manji h, veće su poluosi. Pri n=0 postižu svoje najviše vrijednosti. a1=a, b1=b. Jednadžbe će imati oblik: 
