Zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka. Zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka Svođenje algebarskih razlomaka na zajednički nazivnik

Ova lekcija će obuhvatiti zbrajanje i oduzimanje. algebarski razlomci s istim nazivnicima. Već znamo zbrajati i oduzimati obične razlomke s jednakim nazivnicima. Ispada da algebarski razlomci slijede ista pravila. Naučiti raditi s razlomcima s istim nazivnicima jedan je od kamena temeljaca učenja kako raditi s algebarskim razlomcima. Konkretno, razumijevanje ove teme olakšat će svladavanje više teška tema- zbrajanje i oduzimanje razlomaka sa različite nazivnike. U sklopu lekcije proučit ćemo pravila zbrajanja i oduzimanja algebarskih razlomaka s sličnim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera

Pravilo za zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s jednakim nazivnicima

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih frakcija od jedan-na-vas -mi know-me-na-te-la-mi (poklapa se s analognim pravilom za obične udarce): To je za zbrajanje ili izračun al-geb-ra-i-che-skih razlomaka s jedan prema tebi know-me-on-the-la-mi potrebno -ho-di-mo-sastaviti odgovarajući al-geb-ra-i-che-zbroj brojeva, a sign-me-na-tel ostaviti bez ikakvih.

Ovo pravilo razumijemo i na primjeru običnih ven-remija i na primjeru al-geb-ra-i-che-remija.hit.

Primjeri primjene pravila za obične razlomke

Primjer 1. Zbrajanje razlomaka: .

Riješenje

Zbrojimo broj razlomaka, a predznak ostavimo isti. Nakon toga rastavljamo broj i potpisujemo na jednostavne množine i kombinacije. Nabavimo to: .

Napomena: standardna pogreška koja je dopuštena pri rješavanju sličnih tipova primjera, za -klu-cha-et-sya u sljedećem mogućem rješenju: . Ovo je velika pogreška, jer znak ostaje isti kao što je bio u izvornim razlomcima.

Primjer 2. Zbrajanje razlomaka: .

Riješenje

Ovaj se ni po čemu ne razlikuje od prethodnog: .

Primjeri primjene pravila za algebarske razlomke

Od običnih dro-bitova prelazimo na al-geb-ra-i-che-skim.

Primjer 3. Zbrajanje razlomaka: .

Rješenje: kao što je već spomenuto, sastav al-geb-ra-i-che-frakcija ni na koji se način ne razlikuje od riječi kao i obične pucačke borbe. Stoga je metoda rješenja ista: .

Primjer 4. Vi ste razlomak: .

Riješenje

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih frakcija od zbrajanja samo činjenicom da je u broju pi-sy-va-et-sya razlika u broju korištenih frakcija. Zato .

Primjer 5. Vi ste razlomak: .

Riješenje: .

Primjer 6. Pojednostavite: .

Riješenje: .

Primjeri primjene pravila praćenog redukcijom

U razlomku koji ima isto značenje u rezultatu slaganja ili računanja, kombinacije su moguće nia. Osim toga, ne smijete zaboraviti na ODZ al-geb-ra-i-che-skih frakcija.

Primjer 7. Pojednostavite: .

Riješenje: .

pri čemu . Općenito, ako se ODZ početnih razlomaka podudara s ODZ ukupnog, tada se može izostaviti (uostalom, razlomak koji je u odgovoru također neće postojati s odgovarajućim značajnim promjenama). Ali ako se ODZ korištenih razlomaka i odgovor ne poklapaju, tada je potrebno navesti ODZ.

Primjer 8. Pojednostavite: .

Riješenje: . U isto vrijeme, y (ODZ početnih frakcija ne podudara se s ODZ rezultata).

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Za dodavanje i čitanje al-geb-ra-i-che-razlomaka s različitim know-me-on-the-la-mi, radimo ana-lo -giyu s običnim-ven-ny razlomcima i prenosimo ga u al-geb -ra-i-che-razlomci.

Pogledajmo najjednostavniji primjer za obične razlomke.

Primjer 1. Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Prisjetimo se pravila zbrajanja razlomaka. Za početak s razlomkom, potrebno ga je dovesti do zajedničkog znaka. U ulozi općeg znaka za obične razlomke, vi djelujete najmanji zajednički višekratnik(NOK) početni znakovi.

Definicija

Najmanji broj, koji je istovremeno podijeljen na brojeve i.

Da biste pronašli NOC, morate rastaviti znanje na jednostavne skupove, a zatim odabrati sve kojih ima mnogo, što je uključeno u podjelu oba znaka.

; . Tada LCM brojeva mora sadržavati dvije dvojke i dvije trojke: .

Nakon pronalaženja općeg znanja, potrebno je da svaki od razlomaka pronađe potpuni rezident višestrukosti (zapravo, zapravo, pretočiti zajednički znak na znak odgovarajućeg razlomka).

Zatim se svaki razlomak množi s polupunim faktorom. Uzmimo neke razlomke od istih onih koje poznaješ, zbrojimo ih i pročitamo. -proučeno u prethodnim lekcijama.

Idemo jesti: .

Odgovor:.

Pogledajmo sada sastav al-geb-ra-i-che-frakcija s različitim predznacima. Sada pogledajmo razlomke i vidimo ima li brojeva.

Zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima

Primjer 2. Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Al-go-ritam odluke ab-so-lyut-ali ana-lo-gi-chen na prethodni primjer. Lako je uzeti zajednički predznak zadanih razlomaka: i dodatne množitelje za svaki od njih.

Odgovor:.

Dakle, formirajmo se al-go-ritam zbrajanja i izračunavanje al-geb-ra-i-che-skih razlomaka s različitim predznacima:

1. Odredi najmanji zajednički predznak razlomka.

2. Nađite dodatne množitelje za svaki od razlomaka (dapače, zajednički predznak je dan -ti razlomak).

3. Up-to-mnogi brojevi na odgovarajućim up-to-full višestrukostima.

4. Zbrajati ili izračunavati razlomke, koristeći pravila sastavljanja i računanja razlomaka s istim znanjem -me-na-te-la-mi.

Pogledajmo sada primjer s razlomcima u čijem su znaku slova you -nia.

Iskreno, ovo su formule koje bi svaki učenik sedmog razreda trebao zapamtiti. Učite algebru čak i na školski nivo a jednostavno je nemoguće ne znati formulu razlike kvadrata ili recimo kvadrata zbroja. Stalno se pojavljuju kod pojednostavljivanja algebarskih izraza, smanjivanja razlomaka, a mogu čak pomoći i kod aritmetičkih izračuna. Pa, na primjer, trebate izračunati u glavi: 3,16 2 - 2 3,16 1,16 + 1,16 2. Ako počnete računati direktno, ispast će dugo i dosadno, ali ako koristite formulu razlike na kvadrat, odgovor ćete dobiti za 2 sekunde!

Dakle, sedam formula “školske” algebre koje bi svatko trebao znati:

Ime	Formula
Kvadrat zbroja	(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
Kvadratna razlika	(A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2
Razlika kvadrata	(A - B)(A + B) = A 2 - B 2
Kocka zbroja	(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
Kocka razlike	(A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
Zbroj kocki	A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 - AB + B 2)
Razlika kocki	A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2)

Napomena: ne postoji formula za zbroj kvadrata! Ne dopustite da vaša mašta ode predaleko.

Kako ćete najlakše zapamtiti sve ove formule? Pa, recimo, vidjeti određene analogije. Na primjer, formula za kvadrat zbroja slična je formuli za kvadrat razlike (razlika je samo u jednom predznaku), a formula za kub zbroja slična je formuli za kub razlike. Dalje, u formulama za razliku kubova i zbroj kubova vidimo nešto slično kvadratu zbroja i kvadratu razlike (samo koeficijent 2 nedostaje).

Ali te se formule (kao i sve druge!) najbolje pamte u praksi. Riješite još primjera pojednostavljivanja algebarskih izraza i sve će se formule same zapamtiti.

Znatiželjne učenike vjerojatno će zanimati sažeti iznesene činjenice. Na primjer, postoje formule za kvadrat i kub zbroja. Što ako uzmemo u obzir izraze poput (A + B) 4, (A + B) 5, pa čak i (A + B) n, gdje je n proizvoljan prirodni broj? Je li moguće vidjeti neki obrazac ovdje?

Da, takav obrazac postoji. Izraz oblika (A + B) n naziva se Newtonov binom. Preporučujem da znatiželjni školarci sami izvedu formule za (A + B) 4 i (A + B) 5, a zatim pokušaju uvidjeti opći zakon: usporedite, na primjer, stupanj odgovarajućeg binoma i stupanj svakog od pojmovi koji se dobivaju otvaranjem zagrada; usporediti stupanj binoma s brojem članova; pokušajte pronaći uzorke u koeficijentima. Nećemo sada ulaziti u ovu temu (ovo zahtijeva poseban razgovor!), Već ćemo samo zapisati gotov rezultat:

(A + B) n = A n + C n 1 A n-1 B + C n 2 A n-2 B 2 + ... + C n k A n-k B k + ... + B n .

Ovdje je C n k = n!/(k! (n-k)!).

Podsjećam vas da n! - ovo je 1 2 ... n - proizvod svih prirodni brojevi od 1 do n. Ovaj izraz se zove faktorijel od n. Na primjer, 4! = 1 2 3 4 = 24. Faktorijel nule smatra se jednakim jedan!

Što se može reći o razlici kvadrata, razlici kocki itd.? Postoji li ovdje neki obrazac? Da li je moguće donijeti opća formula za A n - B n ?

Da, možete. Evo formule:

A n - B n = (A - B)(A n-1 + A n-2 B + A n-3 B 2 + ... + B n-1).

Štoviše, za neparan stupnjeva n postoji slična formula za zbroj:

A n + B n = (A + B)(A n-1 - A n-2 B + A n-3 B 2 - ... + B n-1).

Nećemo sada izvoditi ove formule (usput, nije jako teško), ali znanje o njihovom postojanju svakako je korisno.

Obični razlomci.

Zbrajanje algebarskih razlomaka

Zapamtiti!

Možete zbrajati samo razlomke s istim nazivnicima!

Ne možete zbrajati razlomke bez konverzija

Možete dodati razlomke

Pri zbrajanju algebarskih razlomaka s sličnim nazivnicima:

brojnik prvog razlomka pribraja se brojniku drugog razlomka;
nazivnik ostaje isti.

Pogledajmo primjer zbrajanja algebarskih razlomaka.

Budući da je nazivnik oba razlomka "2a", to znači da se razlomci mogu zbrajati.

Zbrojimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik ostavimo isti. Pri zbrajanju razlomaka u rezultirajućem brojniku prikazujemo slične.

Oduzimanje algebarskih razlomaka

Pri oduzimanju algebarskih razlomaka s jednakim nazivnicima:

Brojnik drugog razlomka oduzima se od brojnika prvog razlomka.
nazivnik ostaje isti.

Važno!

Obavezno uključite cijeli brojnik razlomka koji oduzimate u zagradama.

U protivnom ćete pogriješiti u predznacima pri otvaranju zagrada razlomka koji oduzimate.

Pogledajmo primjer oduzimanja algebarskih razlomaka.

Budući da oba algebarska razlomka imaju nazivnik "2c", to znači da se ti razlomci mogu oduzeti.

Oduzmite brojnik drugog razlomka "(a − b)" od brojnika prvog razlomka "(a + d)". Ne zaboravite staviti brojnik razlomka koji oduzimate u zagradu. Kod otvaranja zagrada koristimo pravilo za otvaranje zagrada.

Svođenje algebarskih razlomaka na zajednički nazivnik

Pogledajmo još jedan primjer. Morate zbrajati algebarske razlomke.

Razlomci se ne mogu zbrajati u ovom obliku jer imaju različite nazivnike.

Prije zbrajanja algebarskih razlomaka moraju biti dovesti pod zajednički nazivnik.

Pravila svođenja algebarskih razlomaka na zajednički nazivnik vrlo su slična pravilima svođenja običnih razlomaka na zajednički nazivnik. .

Kao rezultat toga, trebali bismo dobiti polinom koji će biti podijeljen bez ostatka na svaki od prethodnih nazivnika frakcija.

Do svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik trebate učiniti sljedeće.

Radimo s numeričkim koeficijentima. Određujemo LCM (najmanji zajednički višekratnik) za sve numeričke koeficijente.
Radimo s polinomima. Sve različite polinome definiramo u najvećim potencijama.
Umnožak numeričkog koeficijenta i svih raznih polinoma u najvećim potencijama bit će zajednički nazivnik.
Odredite s čim trebate pomnožiti svaki algebarski razlomak da biste dobili zajednički nazivnik.

Vratimo se našem primjeru.

Razmotrite nazivnike "15a" i "3" oba razlomka i pronađite im zajednički nazivnik.

Radimo s numeričkim koeficijentima. Nađi LCM (najmanji zajednički višekratnik je broj koji je djeljiv sa svakim brojčanim koeficijentom bez ostatka). Za "15" i "3" to je "15".
Radimo s polinomima. Potrebno je navesti sve polinome u najvećim potencijama. U nazivnicima "15a" i "5" nalaze se samo
jedan monom - "a".
Pomnožimo LCM iz koraka 1 "15" i monom "a" iz koraka 2. Dobivamo "15a". Ovo će biti zajednički nazivnik.
Za svaki razlomak postavljamo si pitanje: "S čim trebamo pomnožiti nazivnik ovog razlomka da dobijemo "15a"?"

Pogledajmo prvi razlomak. Ovaj razlomak već ima nazivnik "15a", što znači da ga ne treba množiti ni s čim.

Pogledajmo drugi razlomak. Postavimo pitanje: "S čim trebate pomnožiti "3" da biste dobili "15a"?" Odgovor je "5a".

Kada razlomak svodite na zajednički nazivnik, pomnožite s "5a" i brojnik i nazivnik.

Skraćeni zapis za svođenje algebarskog razlomka na zajednički nazivnik može se napisati pomoću "kuća".

Da biste to učinili, imajte na umu zajednički nazivnik. Iznad svakog razlomka na vrhu “u kući” napišemo s čime svaki od razlomaka množimo.

Sad kad razlomci isti nazivnici, razlomci se mogu zbrajati.

Pogledajmo primjer oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima.

Razmotrite nazivnike “(x − y)” i “(x + y)” obaju razlomaka i pronađite im zajednički nazivnik.

Imamo dva razne polinome u nazivnicima “(x − y)” i “(x + y)”. Njihov proizvod će biti zajednički nazivnik, tj. “(x − y)(x + y)” je zajednički nazivnik.

Zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka pomoću skraćenih formula za množenje

U nekim se primjerima moraju koristiti skraćene formule množenja kako bi se algebarski razlomci sveli na zajednički nazivnik.

Pogledajmo primjer zbrajanja algebarskih razlomaka, gdje ćemo morati upotrijebiti formulu razlike kvadrata.

U prvom algebarskom razlomku nazivnik je “(p 2 − 36)”. Očito, na njega se može primijeniti formula razlike kvadrata.

Nakon rastavljanja polinoma “(p 2 − 36)” na umnožak polinoma
“(p + 6)(p − 6)” jasno je da se polinom “(p + 6)” ponavlja u razlomcima. To znači da će zajednički nazivnik razlomaka biti umnožak polinoma “(p + 6)(p − 6)”.

Skraćene izrazne formule vrlo se često koriste u praksi, pa ih je poželjno sve naučiti napamet. Do ovog trenutka vjerno će nam služiti, a preporučamo ga isprintati i uvijek ga imati pred očima:

Prve četiri formule iz sastavljene tablice skraćenih formula množenja omogućuju vam kvadriranje i kubiranje zbroja ili razlike dvaju izraza. Peti je namijenjen kratkom množenju razlike i zbroja dvaju izraza. A šesta i sedma formula koriste se za množenje zbroja dva izraza a i b njihovim nepotpunim kvadratom razlike (tako se naziva izraz oblika a 2 −a b+b 2) i razlike dva izraze a i b nepotpunim kvadratom njihovog zbroja (a 2 + a·b+b 2 ) redom.

Vrijedno je posebno napomenuti da je svaka jednakost u tablici identitet. Ovo objašnjava zašto se formule skraćenog množenja nazivaju i identiteti skraćenog množenja.

Pri rješavanju primjera, posebno u kojima je polinom faktoriziran, FSU se često koristi u obliku sa zamijenjenom lijevom i desnom stranom:

Posljednja tri identiteta u tablici imaju svoja imena. Poziva se formula a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b). formula razlike kvadrata, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - formula zbroja kubova, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - formula razlike kocki. Imajte na umu da odgovarajuće formule nismo imenovali preuređenim dijelovima iz prethodne tablice.

Dodatne formule

Ne bi škodilo dodati još nekoliko identiteta u tablicu skraćenih formula množenja.

Područja primjene formula za skraćeno množenje (FSU) i primjeri

Glavna svrha skraćenih formula množenja (fsu) objašnjena je njihovim nazivom, odnosno sastoji se u kratkom množenju izraza. Međutim, opseg primjene FSU je mnogo širi, i nije ograničen na kratko množenje. Nabrojimo glavne smjerove.

Nedvojbeno je da je središnja primjena formule za skraćeno množenje pronađena u izvođenju identičnih transformacija izraza. Najčešće se ove formule koriste u procesu pojednostavljivanje izraza.

Primjer.

Pojednostavite izraz 9·y−(1+3·y) 2 .

Riješenje.

U ovaj izraz kvadriranje se može izvesti stenografski, imamo 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Ostaje samo otvoriti zagrade i donijeti slične termine: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

U ovom članku ćemo pogledati osnovne operacije s algebarskim razlomcima:

smanjivanje razlomaka
množenje razlomaka
dijeljenje razlomaka

Počnimo s redukcija algebarskih razlomaka.

Čini se da, algoritam očito.

Do smanjiti algebarske razlomke, moram

1. Rastavite brojnik i nazivnik razlomka na faktore.

2. Smanjite jednake faktore.

Međutim, školarci često griješe „smanjujući“ ne čimbenike, već pojmove. Na primjer, postoje amateri koji "smanjuju" razlomke za i kao rezultat dobivaju , što, naravno, nije točno.

Pogledajmo primjere:

1. Smanji razlomak:

1. Rastavimo brojnik na faktore pomoću formule kvadrata zbroja, a nazivnik pomoću formule razlike kvadrata

2. Podijelite brojnik i nazivnik s

2. Smanji razlomak:

1. Rastavimo brojnik na faktore. Budući da brojnik sadrži četiri člana, koristimo grupiranje.

2. Rastavimo nazivnik na faktore. Možemo koristiti i grupiranje.

3. Zapišimo razlomak koji smo dobili i smanjimo iste faktore:

Množenje algebarskih razlomaka.

Pri množenju algebarskih razlomaka brojnik množimo s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom.

Važno! Nema potrebe žuriti s množenjem brojnika i nazivnika razlomka. Nakon što smo zapisali umnožak brojnika razlomaka u brojniku i umnožak nazivnika u nazivniku, potrebno je rastaviti svaki faktor na faktore i smanjiti razlomak.

Pogledajmo primjere:

3. Pojednostavite izraz:

1. Zapišimo umnožak razlomaka: u brojnik umnožak brojnika, a u nazivnik umnožak nazivnika:

2. Rastavimo svaku zagradu na faktore:

Sada moramo smanjiti iste faktore. Imajte na umu da se izrazi i razlikuju samo u predznaku: a kao rezultat dijeljenja prvog izraza s drugim dobivamo -1.