Sve navedeno u prethodnim odlomcima omogućuje nam formuliranje osnovnih pravila za integraciju racionalnih razlomaka.

1. Ako je racionalni razlomak nepravilan, tada se prikazuje kao zbroj polinoma i pravilnog racionalnog razlomka (vidi paragraf 2).

Time se integracija nepravog racionalnog razlomka svodi na integraciju polinoma i pravilnog racionalnog razlomka.

2. Rastavite nazivnik pravilnog razlomka na faktore.

3. Pravi racionalni razlomak rastavlja se na zbroj prostih razlomaka. Time se integracija pravilnog racionalnog razlomka svodi na integraciju jednostavnih razlomaka.

Pogledajmo primjere.

Primjer 1. Pronađite .

Riješenje. Ispod integrala je nepravi racionalni razlomak. Odabirom cijelog dijela, dobivamo

Stoga,

Imajući na umu da , proširimo pravilan racionalni razlomak

na jednostavne razlomke:

(vidi formulu (18)). Zato

Dakle, konačno imamo

Primjer 2. Pronađite

Riješenje. Ispod integrala nalazi se pravi racionalni razlomak.

Proširujući ga na jednostavne razlomke (vidi formulu (16)), dobivamo

Kao što sam već primijetio, u integralnom računu ne postoji prikladna formula za integriranje razlomka. I stoga postoji tužan trend: što je razlomak sofisticiraniji, to je teže pronaći njegov integral. U tom smislu, morate pribjeći raznim trikovima, o kojima ću vam sada reći. Pripremljeni čitatelji mogu odmah iskoristiti sadržaj:

• Metoda određivanja diferencijalnog predznaka za proste razlomke

Metoda pretvorbe umjetnog brojnika

Primjer 1

Usput, razmatrani integral također se može riješiti metodom promjene varijable, označavajući , ali će pisanje rješenja biti puno duže.

Primjer 2

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Treba napomenuti da metoda zamjene varijabli ovdje više neće raditi.

Pažnja, važno! Primjeri br. 1, 2 su tipični i česti. Konkretno, takvi integrali često nastaju tijekom rješavanja drugih integrala, posebno kada se integriraju iracionalne funkcije (korijeni).

Razmatrana tehnika također radi u slučaju ako je najveći stupanj brojnika veći od najvišeg stupnja nazivnika.

Primjer 3

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Počinjemo birati brojnik.

Algoritam za odabir brojnika je otprilike ovako:

1) U brojniku trebam organizirati , ali tamo . Što uraditi? Stavljam ga u zagrade i množim sa: .

2) Sada pokušavam otvoriti ove zagrade, što se događa? . Hmm... to je bolje, ali u početku nema dva u brojniku. Što uraditi? Morate pomnožiti sa:

3) Opet otvaram zagrade: . I evo prvog uspjeha! Ispalo je baš kako treba! Ali problem je što se pojavio dodatni termin. Što uraditi? Da spriječim promjenu izraza, moram dodati isto svojoj konstrukciji:
. Život je postao lakši. Je li moguće ponovno organizirati u brojniku?

4) Moguće je. Pokušajmo: . Otvorite zagrade drugog člana:
. Žao mi je, ali u prethodnom sam koraku zapravo imao , a ne . Što uraditi? Trebate pomnožiti drugi član sa:

5) Opet, radi provjere, otvaram zagrade u drugom članu:
. Sada je to normalno: proizlazi iz konačne konstrukcije točke 3! Ali opet postoji mali "ali", pojavio se dodatni termin, što znači da moram dodati svom izrazu:

Ako je sve napravljeno kako treba, onda kada otvorimo sve zagrade trebali bismo dobiti originalni brojnik integranda. Provjeravamo:
napa.

Tako:

Spreman. U prošlom terminu koristio sam metodu podvođenja funkcije pod diferencijal.

Ako nađemo izvod odgovora i svedemo izraz na zajednički nazivnik, tada dobivamo točno izvornu funkciju integranda. Razmatrani način rastavljanja u zbroj nije ništa drugo nego obrnuta radnja dovođenja izraza na zajednički nazivnik.

Algoritam za odabir brojnika u slični primjeri Bolje je to učiniti u obliku nacrta. Uz neke vještine to će djelovati mentalno. Sjećam se rekordnog slučaja kad sam radio selekciju na 11. potenciju, a proširenje brojnika zauzelo je gotovo dva retka Verda.

Primjer 4

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

Metoda određivanja diferencijalnog predznaka za proste razlomke

Prijeđimo na razmatranje sljedeće vrste razlomaka.
, , , (koeficijenti i nisu jednaki nuli).

Zapravo, nekoliko slučajeva s arksinusom i arktangensom već je spomenuto u lekciji Metoda promjene varijable u neodređenom integralu. Takvi primjeri se rješavaju podvođenjem funkcije pod diferencijalni predznak i daljnjim integriranjem pomoću tablice. Evo više tipičnih primjera s dugim i visokim logaritmima:

Primjer 5

Primjer 6

Ovdje je preporučljivo uzeti tablicu integrala i vidjeti koje formule i Kako događa se transformacija. Bilješka, kako i zašto Kvadratići u ovim primjerima su istaknuti. Konkretno, u primjeru 6 prvo trebamo predstaviti nazivnik u obliku , zatim ga dovedite pod znak razlike. I sve to treba učiniti kako bi se koristila standardna tablična formula .

Zašto gledati, pokušajte sami riješiti primjere br. 7, 8, pogotovo jer su dosta kratki:

Primjer 7

Primjer 8

Nađi neodređeni integral:

Ako uspijete provjeriti i ove primjere, svaka čast - vaše vještine razlikovanja su izvrsne.

Metoda odabira punog kvadrata

Integrali oblika (koeficijenti i nisu jednaki nuli) su riješeni metoda potpune kvadratne ekstrakcije, koji se već pojavio u lekciji Geometrijske transformacije grafova.

Zapravo, takvi se integrali svode na jedan od četiri tabelarna integrala koja smo upravo pogledali. A to se postiže korištenjem poznatih skraćenih formula množenja:

Formule se primjenjuju upravo u tom smjeru, odnosno ideja metode je umjetno organizirati izraze bilo u nazivniku, a zatim ih prema tome pretvoriti u bilo koji.

Primjer 9

Nađi neodređeni integral

Ovaj najjednostavniji primjer, u kojem uz pojam – jedinični koeficijent(a ne neki broj ili minus).

Pogledajmo nazivnik, ovdje se cijela stvar očito svodi na slučajnost. Počnimo pretvarati nazivnik:

Očito, trebate dodati 4. I, kako se izraz ne bi promijenio, oduzmite ista četiri:

Sada možete primijeniti formulu:

Nakon što je pretvorba završena STALNO Preporučljivo je izvesti obrnuti potez: sve je u redu, nema grešaka.

Konačni dizajn dotičnog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

Spreman. Ukratko "besplatno" složena funkcija pod diferencijalnim predznakom: , u načelu, možemo zanemariti

Primjer 10

Nađi neodređeni integral:

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti, odgovor je na kraju lekcije

Primjer 11

Nađi neodređeni integral:

Što učiniti kada je ispred minus? U ovom slučaju trebamo izvaditi minus iz zagrade i rasporediti pojmove redoslijedom koji nam je potreban: . Konstantno("dva" u ovom slučaju) ne diraj!

Sada dodajemo jedan u zagradi. Analizirajući izraz, dolazimo do zaključka da moramo dodati jedan izvan zagrada:

Ovdje dobivamo formulu, primijenimo:

STALNO Provjeravamo nacrt:
, što je trebalo provjeriti.

Čisti primjer izgleda otprilike ovako:

Otežava zadatak

Primjer 12

Nađi neodređeni integral:

Ovdje pojam više nije jedinični koeficijent, već "petica".

(1) Ako postoji konstanta at, tada je odmah izbacujemo iz zagrada.

(2) Općenito, uvijek je bolje pomaknuti ovu konstantu izvan integrala kako ne bi smetala.

(3) Očito će se sve svesti na formulu. Moramo razumjeti pojam, naime, dobiti "dvojku"

(4) Da, . To znači da izrazu zbrajamo i oduzimamo isti razlomak.

(5) Sada biramo savršen kvadrat. U opći slučaj također trebamo izračunati , ali ovdje imamo formulu za dugi logaritam , i nema smisla izvoditi radnju, zašto će biti jasno u nastavku.

(6) Zapravo, možemo primijeniti formulu , samo umjesto “X” imamo , što ne poništava valjanost tabličnog integrala. Strogo govoreći, propušten je jedan korak - prije integracije funkciju je trebalo podvesti pod diferencijalni predznak: , ali, kao što sam više puta primijetio, to se često zanemaruje.

(7) U odgovoru ispod korijena preporučljivo je raširiti sve zagrade unazad:

teško? Ovo nije najteži dio integralnog računa. Iako, primjeri koji se razmatraju nisu toliko složeni koliko zahtijevaju dobre računalne tehnike.

Primjer 13

Nađi neodređeni integral:

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Odgovor je na kraju lekcije.

Postoje integrali s korijenima u nazivniku, koji se supstitucijom svode na integrale razmatranog tipa, o njima možete pročitati u članku Kompleksni integrali, ali je namijenjen vrlo pripremljenim studentima.

Podvođenje brojnika pod diferencijalni predznak

Ovo je završni dio lekcije, međutim, integrali ovog tipa su prilično česti! Ako ste umorni, možda je bolje da čitate sutra? ;)

Integrali koje ćemo razmatrati slični su integralima iz prethodnog odlomka, imaju oblik: ili (koeficijenti , i nisu jednaki nuli).

Odnosno, u našem brojniku imamo linearna funkcija. Kako riješiti takve integrale?

Materijal predstavljen u ovoj temi temelji se na informacijama predstavljenim u temi "Racionalni razlomci. Rastavljanje racionalnih razlomaka na elementarne (jednostavne) razlomke". Toplo preporučam da barem letimično prođete ovu temu prije nego što prijeđete na čitanje. ovog materijala. Osim toga, trebat će nam tablica neodređenih integrala.

Da vas podsjetim na par pojmova. O njima se raspravljalo u odgovarajućoj temi, pa ću se ovdje ograničiti na kratku formulaciju.

Omjer dvaju polinoma $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ naziva se racionalna funkcija ili racionalni razlomak. Racionalni razlomak naziva se ispraviti, ako $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется pogrešno.

Elementarni (najjednostavniji) racionalni razlomci nazivaju se racionalni razlomcičetiri vrste:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Napomena (poželjna radi potpunijeg razumijevanja teksta): prikaži\sakrij

Zašto je potreban uvjet $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим kvadratna jednadžba$x^2+px+q=0$. Diskriminant ove jednadžbe je $D=p^2-4q$. U biti, uvjet $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Na primjer, za izraz $x^2+5x+10$ dobivamo: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Budući da je $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Usput, za ovu provjeru uopće nije potrebno da koeficijent ispred $x^2$ bude jednak 1. Na primjer, za $5x^2+7x-3=0$ dobivamo: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Budući da je $D > 0$, izraz $5x^2+7x-3$ faktorizira se.

Mogu se naći primjeri racionalnih razlomaka (pravih i nepravih), kao i primjeri rastavljanja racionalnog razlomka na elementarne. Ovdje će nas zanimati samo pitanja njihove integracije. Počnimo s integracijom elementarnih razlomaka. Dakle, svaku od četiri gornje vrste elementarnih razlomaka lako je integrirati pomoću formula u nastavku. Podsjećam vas da se pri integraciji razlomaka tipa (2) i (4) pretpostavlja $n=2,3,4,\ldots$. Formule (3) i (4) zahtijevaju ispunjenje uvjeta $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(jednadžba) \begin(jednadžba) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(jednadžba)

Za $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ vrši se zamjena $t=x+\frac(p)(2)$, nakon čega je dobiveni interval podijeljen na dvoje. Prvi će se izračunati unosom ispod predznaka diferencijala, a drugi će imati oblik $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ovaj integral se uzima pomoću relacije ponavljanja

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\u N\kraj(jednadžba)

Izračun takvog integrala razmatran je u primjeru br. 7 (vidi treći dio).

Shema za izračunavanje integrala racionalnih funkcija (racionalnih razlomaka):

1. Ako je integrand elementaran, tada primijenimo formule (1)-(4).
2. Ako integrand nije elementaran, onda ga predstavite kao zbroj elementarnih razlomaka, a zatim integrirajte pomoću formula (1)-(4).

Gornji algoritam za integriranje racionalnih razlomaka ima neospornu prednost - univerzalan je. Oni. pomoću ovog algoritma možete integrirati bilo koji racionalni razlomak. Zato se gotovo sve promjene varijabli u neodređenom integralu (Eulerova, Čebiševljeva, univerzalna trigonometrijska supstitucija) vrše na način da nakon te promjene dobijemo racionalni razlomak ispod intervala. Zatim primijenite algoritam na to. Analizirat ćemo izravnu primjenu ovog algoritma koristeći primjere, nakon male napomene.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

U principu, ovaj je integral lako dobiti bez mehaničke primjene formule. Ako konstantu $7$ izbacimo iz predznaka integrala i uzmemo u obzir da je $dx=d(x+9)$, dobivamo:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Za detaljnije informacije preporučam pogledati temu. Detaljno se objašnjava kako se takvi integrali rješavaju. Usput rečeno, formula se dokazuje istim transformacijama koje su primijenjene u ovom odlomku prilikom “ručnog” rješavanja.

2) Opet, postoje dva načina: koristiti gotovu formulu ili bez nje. Ako primijenite formulu, tada morate uzeti u obzir da će koeficijent ispred $x$ (broj 4) morati biti uklonjen. Da bismo to učinili, jednostavno izbacimo ovo četiri iz zagrada:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\lijevo(4\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)\desno)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)^8). $$

Sada je vrijeme za primjenu formule:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\lijevo(x+\frac(19)(4) \desno)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\lijevo(x+\frac(19)(4) \desno)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \lijevo(x+\frac(19)(4) \desno )^7)+C. $$

Možete i bez upotrebe formule. Čak i bez uzimanja konstante $4$ iz zagrada. Ako uzmemo u obzir da je $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, dobivamo:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljna objašnjenja za pronalaženje takvih integrala data su u temi “Integracija supstitucijom (supstitucija pod predznakom diferencijala)”.

3) Trebamo integrirati razlomak $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ovaj razlomak ima strukturu $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, gdje je $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Međutim, da biste bili sigurni da je to stvarno elementarni razlomak treće vrste, morate provjeriti je li ispunjen uvjet $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Riješimo isti primjer, ali bez korištenja gotove formule. Pokušajmo izolirati derivaciju nazivnika u brojniku. Što to znači? Znamo da je $(x^2+10x+34)"=2x+10$. To je izraz $2x+10$ koji moramo izolirati u brojniku. Do sada brojnik sadrži samo $4x+7$, ali to neće dugo trajati.Primijenimo sljedeću transformaciju na brojnik:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Sada se traženi izraz $2x+10$ pojavljuje u brojniku. A naš integral se može prepisati na sljedeći način:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Podijelimo integrand na dva. Pa, i, prema tome, sam integral je također "bifurkiran":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \lijevo(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \desno)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Razgovarajmo prvo o prvom integralu, tj. oko $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Budući da $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada brojnik integranda sadrži diferencijal nazivnika. Ukratko, umjesto izraza $( 2x+10)dx$ pišemo $d(x^2+10x+34)$.

Recimo sada nekoliko riječi o drugom integralu. Odaberimo cijeli kvadrat u nazivniku: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Osim toga, uzimamo u obzir $dx=d(x+5)$. Sada se zbroj integrala koji smo ranije dobili može prepisati u nešto drugačijem obliku:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ako napravimo zamjenu $u=x^2+10x+34$ u prvom integralu, tada će on poprimiti oblik $\int\frac(du)(u)$ i poprimiti jednostavan za korištenje druga formula iz . Što se tiče drugog integrala, za njega je moguća promjena $u=x+5$, nakon čega će poprimiti oblik $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ovo je najčišća jedanaesta formula iz tablice neodređenih integrala. Dakle, vraćajući se na zbroj integrala, imamo:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Dobili smo isti odgovor kao i kod primjene formule, što, strogo uzevši, ne čudi. Općenito, formula se dokazuje istim metodama koje smo koristili za pronalaženje ovog integrala. Vjerujem da bi pažljivi čitatelj ovdje mogao imati jedno pitanje, pa ću ga formulirati:

Pitanje broj 1

Ako primijenimo drugu formulu iz tablice neodređenih integrala na integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, tada dobivamo sljedeće:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Zašto nije bilo modula u rješenju?

Odgovor na pitanje #1

Pitanje je sasvim prirodno. Modul je nedostajao samo zato što je izraz $x^2+10x+34$ za bilo koji $x\in R$ veći od nule. To je vrlo lako pokazati na nekoliko načina. Na primjer, budući da je $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ i $(x+5)^2 ≥ 0$, tada je $(x+5)^2+9 > 0$ . Možete razmišljati drugačije, bez korištenja odabira cijelog kvadrata. Budući da je $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za bilo koji $x\in R$ (ako je ovaj logički lanac iznenađujući, savjetujem vam da pogledate grafička metoda rješenja kvadratne nejednakosti). U svakom slučaju, pošto je $x^2+10x+34 > 0$, onda je $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, tj. Umjesto modula, možete koristiti obične zagrade.

Sve točke primjera br. 1 su riješene, preostaje samo napisati odgovor.

Odgovor:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Primjer br. 2

Pronađite integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Na prvi pogled, razlomak integranda $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ vrlo je sličan elementarnom razlomku treće vrste, tj. pomoću $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Čini se da je jedina razlika koeficijent $3$ ispred $x^2$, ali ne treba dugo da se koeficijent ukloni (izbaci iz zagrada). Međutim, ova sličnost je očita. Za razlomak $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ uvjet $p^2-4q je obavezan< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Naš koeficijent prije $x^2$ nije jednako jedan, stoga provjerite uvjet $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, stoga se izraz $3x^2-5x-2$ može faktorizirati. To znači da razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nije elementarni razlomak treće vrste i primijenite $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) na integralnu 5x-2)dx$ formulu nije moguće.

Pa, ako dati racionalni razlomak nije elementarni razlomak, onda ga treba predstaviti kao zbroj elementarnih razlomaka i zatim integrirati. Ukratko, iskoristite stazu. Detaljno je napisano kako rastaviti racionalni razlomak na elementarne. Počnimo rastavljanjem nazivnika na faktore:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\kraj(poravnano)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\lijevo(x-\lijevo(-\frac(1)(3)\desno)\desno)\cdot (x-2)= 3\cdot\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2). $$

Predstavljamo subinterkalnu frakciju u ovom obliku:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2)). $$

Sada rastavimo razlomak $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ na elementarne:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno))(\lijevo(x+ \frac(1)(3)\desno)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\lijevo(x+\frac(1)( 3)\desno). $$

Za pronalaženje koeficijenata $A$ i $B$ postoje dva standardna načina: metoda neodređenih koeficijenata i metoda zamjene parcijalnih vrijednosti. Primijenimo metodu zamjene djelomične vrijednosti, zamjenjujući $x=2$, a zatim $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\lijevo(2+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \lijevo(-\frac(1)(3) \desno)+4=A\lijevo(-\frac(1)(3)-2\desno)+B\lijevo (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Budući da su koeficijenti pronađeni, preostaje samo zapisati gotovo proširenje:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

U principu, možete ostaviti ovaj unos, ali volim točniju opciju:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Vraćajući se na izvorni integral, zamjenjujemo rezultirajuću ekspanziju u njega. Zatim podijelimo integral na dva dijela i na svaki primijenimo formulu. Više volim da konstante odmah postavim izvan znaka integrala:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx=\\ =\int\lijevo(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\desno)dx+\int\lijevo(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\lijevo|x+\frac(1)(3)\desno|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Odgovor: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\lijevo|x+\frac(1)(3)\desno| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Primjer br. 3

Pronađite integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebamo integrirati razlomak $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. U brojniku se nalazi polinom drugog stupnja, a u nazivniku polinom trećeg stupnja. Kako je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku, tj. 2 dolara< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Sve što trebamo učiniti je podijeliti dati integral na tri i primijeniti formulu na svaki. Više volim da konstante odmah postavim izvan znaka integrala:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\lijevo(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Odgovor: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Nastavak analize primjera ove teme nalazi se u drugom dijelu.

Problem frakcijskog nalaženja neodređenog integrala racionalna funkcija svodi na integriranje jednostavnih razlomaka. Stoga preporučujemo da se najprije upoznate s odjeljkom teorije rastavljanja razlomaka na najjednostavnije.

Primjer.

Riješenje.

Kako je stupanj brojnika integranda jednak stupnju nazivnika, najprije odabiremo cijeli dio tako da polinom podijelimo s polinomom sa stupcem:

Zato, .

Rastavljanje dobivenog pravilnog racionalnog razlomka na jednostavnije razlomke ima oblik . Stoga,

Dobiveni integral je integral najjednostavnijeg razlomka treće vrste. Gledajući malo unaprijed, napominjemo da ga možete uzeti tako da ga podvedete pod diferencijalni znak.

Jer , To . Zato

Stoga,

Sada prijeđimo na opisivanje metoda za integriranje jednostavnih razlomaka svake od četiri vrste.

Integracija prostih razlomaka prve vrste

Metoda izravne integracije idealna je za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Riješenje.

Nađimo neodređeni integral koristeći svojstva antiderivacije, tablicu antiderivacija i pravilo integracije.

Vrh stranice

Integracija prostih razlomaka druge vrste

Metoda izravne integracije također je prikladna za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Riješenje.

Vrh stranice

Integracija prostih razlomaka treće vrste

Prvo ćemo predstaviti neodređeni integral kao zbroj:

Uzimamo prvi integral podvodeći ga pod diferencijalni predznak:

Zato,

Transformirajmo nazivnik dobivenog integrala:

Stoga,

Formula za integriranje jednostavnih razlomaka treće vrste ima oblik:

Primjer.

Nađi neodređeni integral .

Riješenje.

Koristimo dobivenu formulu:

Da nemamo ovu formulu, što bismo učinili:

9. Integracija prostih razlomaka četvrte vrste

Prvi korak je staviti ga pod znak razlike:

Drugi korak je pronaći integral forme . Integrali ove vrste nalaze se korištenjem rekurentnih formula. (Pogledajte dijeljenje pomoću formule ponavljanja). Sljedeća rekurentna formula je prikladna za naš slučaj:

Primjer.

Nađi neodređeni integral

Riješenje.

Za ovu vrstu integranda koristimo metodu supstitucije. Uvedimo novu varijablu (vidi odjeljak o integraciji iracionalnih funkcija):

Nakon zamjene imamo:

Došli smo do nalaženja integrala razlomka četvrte vrste. U našem slučaju imamo koeficijente M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 I n=3. Primjenjujemo rekurentnu formulu:

Nakon obrnute zamjene dobivamo rezultat:

10. Integracija trigonometrijskih funkcija.

Mnogi se problemi svode na pronalaženje integrala transcendentalnih funkcija koje sadrže trigonometrijske funkcije. U ovom ćemo članku grupirati najčešće tipove integranda i koristiti primjere za razmatranje metoda njihove integracije.

Počnimo integracijom sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa.

Iz tablice antiderivata odmah primjećujemo da I .

Metoda sabiranja diferencijalnog predznaka omogućuje vam izračunavanje neodređenih integrala funkcija tangensa i kotangensa:

Vrh stranice

Pogledajmo prvi slučaj, drugi je apsolutno sličan.

Upotrijebimo metodu zamjene:

Došli smo do problema integriranja iracionalne funkcije. Ovdje će nam pomoći i metoda zamjene:

Sve što ostaje je izvršiti obrnutu zamjenu i t = sinx:

Vrh stranice

Možete saznati više o principima njihovog pronalaženja u odjeljku Integracija pomoću rekurentnih formula. Ako proučavate izvođenje ovih formula, lako možete uzeti integrale oblika , Gdje m I n- cijeli brojevi.

Vrh stranice

Vrh stranice

Najviše kreativnosti dolazi kada integrand sadrži trigonometrijske funkcije s različitim argumentima.

Tu u pomoć dolaze osnovne formule trigonometrije. Zato ih zapišite na poseban papir i držite pred očima.

Primjer.

Pronađite set antiderivacijske funkcije .

Riješenje.

Formule redukcije daju I .

Zato

Nazivnik je formula za sinus zbroja, dakle,

Dolazimo do zbroja triju integrala.

Vrh stranice

Integrandi koji sadrže trigonometrijske funkcije ponekad se mogu svesti na razlomke racionalni izrazi, koristeći standardnu ​​trigonometrijsku zamjenu.

Napišimo trigonometrijske formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangens kroz tangens pola argumenta:

Kod integriranja trebat će nam i diferencijalni izraz dx kroz tangentu polukuta.

Jer , To

Odnosno, , gdje.

Primjer.

Nađi neodređeni integral .

Riješenje.

Upotrijebimo standardnu ​​trigonometrijsku zamjenu:

Tako, .

Rastavljanje integranda na jednostavne razlomke dovodi nas do zbroja dvaju integrala:

Sve što ostaje je izvršiti obrnutu zamjenu:

11. Ponavljajuće formule su formule koje izražavaju n Ti član niza kroz prethodne članove. Često se koriste pri pronalaženju integrala.

Nije nam cilj navesti sve rekurentne formule, već želimo dati princip njihovog izvođenja. Izvođenje ovih formula temelji se na transformaciji integranda i primjeni metode integracije po dijelovima.

Na primjer, neodređeni integral može se uzeti pomoću formule ponavljanja .

Izvođenje formule:

Koristeći trigonometrijske formule, možemo napisati:

Dobiveni integral nalazimo metodom integracije po dijelovima. Kao funkcija u(x) idemo uzeti cosx, stoga, .

Zato,

Vraćamo se na izvorni integral:

To je,

To je trebalo pokazati.

Sljedeće formule ponavljanja izvode se na sličan način:

Primjer.

Nađi neodređeni integral.

Riješenje.

Koristimo rekurentnu formulu iz četvrtog odlomka (u našem primjeru n=3):

Budući da iz tablice antiderivata imamo , To

Razlomak se zove ispraviti, ako je najveći stupanj brojnika manji od najvišeg stupnja nazivnika. Integral pravilnog racionalnog razlomka ima oblik:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formula za integriranje racionalnih razlomaka ovisi o korijenima polinoma u nazivniku. Ako polinom $ ax^2+bx+c $ ima:

1. Samo kompleksni korijeni, tada je potrebno iz njega izdvojiti cijeli kvadrat: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Razni pravi korijeni$ x_1 $ i $ x_2 $, tada trebate proširiti integral i pronaći neodređene koeficijente $ A $ i $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \ frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Jedan višestruki korijen $ x_1 $, zatim proširujemo integral i pronalazimo neodređene koeficijente $ A $ i $ B $ za sljedeću formulu: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ako je razlomak pogrešno, to jest, najviši stupanj u brojniku je veći ili jednak najvišem stupnju nazivnika, tada se prvo mora svesti na ispraviti oblikuju dijeljenjem polinoma iz brojnika s polinomom iz nazivnika. U ovom slučaju formula za integriranje racionalnog razlomka ima oblik:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Primjeri rješenja

Primjer 1

Pronađite integral racionalnog razlomka: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Riješenje

Razlomak je pravilan i polinom ima samo kompleksne korijene. Stoga odabiremo cijeli kvadrat: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Presavijemo cijeli kvadrat i stavljamo ga ispod znaka razlike $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Pomoću tablice integrala dobivamo: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo osigurati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!

Odgovor

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Primjer 2

Izvršite integraciju racionalnih razlomaka: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Riješenje

Riješimo kvadratnu jednadžbu: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Zapisujemo korijene: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Uzimajući u obzir dobivene korijene, transformiramo integral: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Provodimo proširenje racionalnog razlomka: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Izjednačavamo brojnike i nalazimo koeficijente $ A $ i $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A ​​​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Pronađene koeficijente zamijenimo u integral i riješimo ga: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Odgovor

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$