Dana su osnovna svojstva prirodnog logaritma, graf, domena definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, derivacija, integral, proširenje u potencijski niz i prikaz funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Sadržaj

Inverzna funkcija

Inverz prirodnog logaritma je eksponent.

Ako tada

Ako tada.

Derivacija ln x

Derivacija prirodnog logaritma:
.
Derivacija prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Sastavni

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
Tako,

Izrazi koji koriste složene brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
to će biti isti broj za različite n.

Stoga prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije funkcija s jednom vrijednošću.

Proširenje niza potencija

Kada dođe do ekspanzije:

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Vidi također:

Logaritam broja b (b > 0) na bazu a (a > 0, a ≠ 1)– eksponent na koji treba podići broj a da bi se dobilo b.

Logaritam s bazom 10 od b može se napisati kao log(b), a logaritam na bazi e (prirodni logaritam) je ln(b).

Često se koristi pri rješavanju problema s logaritmima:

Svojstva logaritama

Četiri su glavna svojstva logaritama.

Neka je a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Svojstvo 1. Logaritam umnoška

Logaritam umnoška jednak zbroju logaritama:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam kvocijenta

Logaritam kvocijenta jednak razlici logaritama:

log a (x / y) = log a x – log a y

Svojstvo 3. Logaritam potencije

Logaritam stupnja jednak proizvodu potencije i logaritma:

Ako je baza logaritma u stupnju, tada se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo se svojstvo može dobiti iz svojstva logaritma potencije, jer je n-ti korijen potencije jednak potenciji od 1/n:

Formula za pretvorbu iz logaritma jedne baze u logaritam druge baze

Ova se formula također često koristi pri rješavanju raznih zadataka o logaritmima:

Poseban slučaj:

Uspoređivanje logaritama (nejednakosti)

Neka imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima s istim bazama i između njih stoji znak nejednakosti:

Da biste ih usporedili, prvo morate pogledati bazu logaritama a:

• Ako je a > 0, tada je f(x) > g(x) > 0
• Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako riješiti probleme s logaritmima: primjeri

Problemi s logaritmima uključeni u Jedinstveni državni ispit iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke s rješenjima možete pronaći na našoj web stranici u odgovarajućim odjeljcima. Također, zadaci s logaritmima nalaze se u matematičkoj bazi zadataka. Sve primjere možete pronaći pretraživanjem stranice.

Što je logaritam

Logaritmi su se uvijek smatrali teškom temom u školskim tečajevima matematike. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženiju i najneuspješniju od njih.

Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Da bismo to učinili, napravimo tablicu:

Dakle, imamo potencije dvojke.

Logaritmi - svojstva, formule, kako se rješavaju

Ako uzmete broj iz donje crte, lako možete pronaći snagu na koju ćete morati podići dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

baza a argumenta x je potencija na koju se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Oznaka: log a x = b, gdje je a baza, x argument, b je ono čemu je zapravo jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). S istim uspjehom, zapišite 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema danoj bazi naziva se. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, ne izračunavaju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na intervalu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati ad infinitum i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti takvim: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je potencija, u koju se mora ugraditi baza da bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Svojim učenicima govorim ovo divno pravilo na prvoj lekciji - i ne dolazi do zabune.

Kako računati logaritme

Shvatili smo definiciju - preostaje samo naučiti brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti drugačija od jedne, budući da jedno u bilo kojem stupnju i dalje ostaje jedno. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju raspon prihvatljivih vrijednosti(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja za broj b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati VA logaritma. Sva su ograničenja već uzeta u obzir od strane autora problema. Ali kada logaritamske jednadžbe i nejednadžbe uđu u igru, DL zahtjevi postat će obvezni. Uostalom, osnova i argument mogu sadržavati vrlo jake konstrukcije koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada pogledajmo opću shemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimala;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će biti vidljivo već u prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je važan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Isto je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će puno manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira koristeći konkretne primjere:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Dobili smo odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dobili smo odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dobili smo odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 se ne može predstaviti kao stepen od sedam, budući da je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne računa;
3. Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako možete biti sigurni da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. Ako proširenje ima najmanje dva različita faktora, broj nije točna potencija.

Zadatak. Utvrdite jesu li brojevi točne potencije: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije točna potencija, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 · 5 - opet nije točna potencija;
14 = 7 · 2 - opet nije točan stupanj;

Primijetite također da su sami prosti brojevi uvijek sami sebi točne potencije.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i simbol.

argumenta x je logaritam na bazu 10, tj. Potencija na koju treba podići broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x.

Na primjer, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste upoznati s ovim zapisom, uvijek ga možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalne logaritme.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. Na neki način, to je čak i važnije od decimalnog broja. Govorimo o prirodnom logaritmu.

argumenta x je logaritam prema bazi e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x.

Mnogi će se pitati: što je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova točna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Navest ću samo prve brojke:
e = 2,718281828459…

Nećemo ulaziti u detalje o tome koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; ln e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam svakog racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jednog: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Vidi također:

Logaritam. Svojstva logaritma (potencija logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo se definicijom logaritma.

Logaritam je eksponent na koji se mora podići baza da bi se dobio broj ispod znaka logaritma.

Dakle, da biste određeni broj c predstavili kao logaritam s bazom a, trebate ispod znaka logaritma staviti potenciju s istom bazom kao i baza logaritma i taj broj c napisati kao eksponent:

Apsolutno bilo koji broj može se prikazati kao logaritam - pozitivan, negativan, cijeli broj, razlomak, racionalan, iracionalan:

Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima testa ili ispita, možete koristiti sljedeće pravilo za pamćenje:

ono što je ispod pada, ono gore ide gore.

Na primjer, trebate predstaviti broj 2 kao logaritam s bazom 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ti brojevi su baza i eksponent, koje ćemo napisati ispod znaka logaritma. Ostaje odrediti koji od ovih brojeva treba zapisati dolje, do baze stupnja, a koji - gore, do eksponenta.

Baza 3 u zapisu logaritma je na dnu, što znači da kada dva predstavljamo kao logaritam na bazu 3, također ćemo 3 zapisati na bazu.

2 je veće od tri. A u zapisu stupnja dva pišemo iznad trojke, odnosno kao eksponent:

Logaritmi. Prva razina.

Logaritmi

Logaritam pozitivan broj b na temelju a, Gdje a > 0, a ≠ 1, naziva se eksponent na koji se broj mora podići a, Dobiti b.

Definicija logaritma može se ukratko napisati ovako:

Ova jednakost vrijedi za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obično se zove logaritamski identitet.
Radnja pronalaženja logaritma broja naziva se logaritmom.

Svojstva logaritama:

Logaritam proizvoda:

Logaritam kvocijenta:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stupnja:

Logaritam korijena:

Logaritam s bazom potencije:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam brojevi nazivaju logaritam ovog broja na bazu 10 i pišu   lg b
Prirodni logaritam brojevi se nazivaju logaritmom tog broja na bazu e, Gdje e- iracionalan broj približno jednak 2,7. Istodobno pišu ln b.

Ostale bilješke o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritama

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: log a x i log a y. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Log 6 4 + log 6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez gotovo ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto , tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam log a x. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze.

U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Zapravo, što se događa ako se broj b podigne na takvu potenciju da broj b na tu potenciju daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - prije su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i “naprednim” učenicima.

1. log a a = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
2. log a 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je 0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Kako se društvo razvijalo, a proizvodnja postajala sve složenija, tako se razvijala i matematika. Kretanje od jednostavnog prema složenom. Od običnog računovodstva metodom zbrajanja i oduzimanja, uz njihovo opetovano ponavljanje, došli smo do pojma množenja i dijeljenja. Smanjenje ponovljene operacije množenja postalo je koncept potenciranja. Prve tablice ovisnosti brojeva o bazi i broju potenciranja sastavio je još u 8. stoljeću indijski matematičar Varasena. Iz njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.

Povijesna crtica

Preporod Europe u 16. stoljeću potaknuo je i razvoj mehanike. T zahtijevao veliku količinu računanja vezane uz množenje i dijeljenje višeznamenkastih brojeva. Drevni stolovi bili su od velike usluge. Omogućili su zamjenu složenih operacija jednostavnijim – zbrajanjem i oduzimanjem. Veliki korak naprijed bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je realizirao zamisao mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za potencije u obliku prostih brojeva, već i za proizvoljne racionalne.

Godine 1614. Škot John Napier, razvijajući ove ideje, prvi je uveo novi pojam "logaritam broja". Sastavljene su nove složene tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangensa. To je znatno smanjilo rad astronoma.

Počele su se pojavljivati ​​nove tablice koje su znanstvenici uspješno koristili tri stoljeća. Prošlo je dosta vremena prije nego što je nova operacija u algebri dobila svoj gotov oblik. Dana je definicija logaritma i proučavana su njegova svojstva.

Tek u 20. stoljeću, pojavom kalkulatora i računala, čovječanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspješno funkcionirale kroz 13. stoljeće.

Danas logaritam od b s bazom a zovemo broj x koji je potencija od a da čini b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).

Na primjer, log 3(9) bio bi jednak 2. Ovo je očito ako slijedite definiciju. Ako 3 podignemo na potenciju 2, dobit ćemo 9.

Dakle, formulirana definicija postavlja samo jedno ograničenje: brojevi a i b moraju biti realni.

Vrste logaritama

Klasična definicija naziva se realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Pažnja: 1 na bilo koju potenciju jednak je 1.

Prava vrijednost logaritma definirano samo kada su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.

Posebno mjesto u području matematike igrati logaritme, koji će biti imenovani ovisno o veličini njihove baze:

Pravila i ograničenja

Temeljno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam umnoška jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).

Kao varijanta ove izjave bit će: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvocijent funkcije jednak je razlici funkcija.

Iz prethodna dva pravila lako je vidjeti da je: log a(b p) = p * log a(b).

Ostala svojstva uključuju:

Komentar. Ne treba raditi uobičajenu pogrešku - logaritam zbroja nije jednak zbroju logaritama.

Stoljećima je operacija pronalaženja logaritma bila prilično dugotrajan zadatak. Matematičari su koristili dobro poznatu formulu logaritamske teorije proširenja polinoma:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), gdje je n prirodni broj veći od 1, koji određuje točnost izračuna.

Logaritmi s drugim bazama izračunati su pomoću teorema o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma umnoška.

Budući da je ova metoda vrlo radno intenzivna i pri rješavanju praktičnih problema teško implementirati, koristili smo unaprijed sastavljene tablice logaritama, što je znatno ubrzalo sav posao.

U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafikoni logaritama, koji su dali manju točnost, ali su značajno ubrzali traženje željene vrijednosti. Krivulja funkcije y = log a(x), konstruirana preko nekoliko točaka, omogućuje korištenje običnog ravnala za pronalaženje vrijednosti funkcije u bilo kojoj drugoj točki. Dugo su vremena inženjeri u te svrhe koristili takozvani milimetarski papir.

U 17. stoljeću pojavili su se prvi pomoćni analogni računalni uvjeti, koji su do 19. stoljeća dobili potpuni oblik. Najuspješniji uređaj nazvan je klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.

Pojava kalkulatora i računala učinila je besmislenom upotrebu bilo kojih drugih uređaja.

Jednadžbe i nejednadžbe

Za rješavanje raznih jednadžbi i nejednadžbi pomoću logaritama koriste se sljedeće formule:

• Prelazak s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Kao posljedica prethodne opcije: log a(b) = 1 / log b(a).

Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:

• Vrijednost logaritma bit će pozitivna samo ako su baza i argument veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma bit će negativna.
• Ako se funkcija logaritma primijeni na desnu i lijevu stranu nejednadžbe, a baza logaritma je veća od jedan, tada je znak nejednadžbe sačuvan; inače se mijenja.

Uzorak problema

Razmotrimo nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri s rješavanjem jednadžbi:

Razmotrimo opciju stavljanja logaritma na potenciju:

• Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rješenje: u uvjetima zadatka unos je sličan sljedećem (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritama, ovaj izraz je jednak 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobivamo 9.

Praktična upotreba

Kao čisto matematički alat, čini se daleko od stvarnog života da je logaritam odjednom dobio veliku važnost za opisivanje objekata u stvarnom svijetu. Teško je pronaći znanost u kojoj se to ne koristi. To se u potpunosti odnosi ne samo na prirodna, već i na humanitarna područja znanja.

Logaritamske ovisnosti

Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:

Mehanika i fizika

Povijesno gledano, mehanika i fizika uvijek su se razvijale matematičkim istraživačkim metodama, a ujedno su bile i poticaj za razvoj matematike, pa tako i logaritma. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Navedimo samo dva primjera opisivanja fizikalnih zakona pomoću logaritma.

Problem izračuna tako složene veličine kao što je brzina rakete može se riješiti korištenjem formule Ciolkovskog, koja je postavila temelje teorije istraživanja svemira:

V = I * ln (M1/M2), gdje je

• V je konačna brzina zrakoplova.
• I – specifični impuls motora.
• M 1 – početna masa rakete.
• M 2 – konačna masa.

Još jedan važan primjer- ovo se koristi u formuli drugog velikog znanstvenika Maxa Plancka, koja služi za ocjenu stanja ravnoteže u termodinamici.

S = k * ln (Ω), gdje je

• S – termodinamičko svojstvo.
• k – Boltzmannova konstanta.
• Ω je statistička težina različitih stanja.

Kemija

Manje je očita uporaba formula u kemiji koje sadrže omjer logaritama. Navedimo samo dva primjera:

• Nernstova jednadžba, uvjet redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost tvari i konstantu ravnoteže.
• Izračun takvih konstanti kao što su indeks autolize i kiselost otopine također se ne može učiniti bez naše funkcije.

Psihologija i biologija

I uopće nije jasno kakve veze psihologija ima s tim. Ispostavilo se da je snaga osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao obrnuti omjer vrijednosti intenziteta podražaja prema vrijednosti nižeg intenziteta.

Nakon navedenih primjera, više ne čudi što se tema logaritma naširoko koristi u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogli bi se napisati cijeli tomovi.

Ostala područja

Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez povezanosti s tom funkcijom, a ona vlada svim zakonima. Pogotovo kada su zakoni prirode povezani s geometrijskom progresijom. Vrijedno je pogledati web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:

Popis može biti beskrajan. Nakon što ste svladali osnovne principe ove funkcije, možete uroniti u svijet beskrajne mudrosti.

Što je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge maturante. Tradicionalno se tema logaritama smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe s logaritmima.

To apsolutno nije točno. Apsolutno! Ne vjeruješ mi? Fino. Sada, u samo 10 - 20 minuta vi:

1. Razumjet ćete što je logaritam.

2. Naučite rješavati cijelu klasu eksponencijalnih jednadžbi. Čak i ako niste ništa čuli o njima.

3. Naučiti izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za ovo ćete trebati samo znati tablicu množenja i kako podići broj na potenciju...

Osjećam da sumnjate... Dobro, označite vrijeme! Ići!

Prvo riješite ovu jednadžbu u glavi:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Logaritamski izrazi, rješavanje primjera. U ovom ćemo članku razmotriti probleme vezane uz rješavanje logaritama. Zadaci postavljaju pitanje pronalaženja značenja izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritma koristi u mnogim zadacima i razumijevanje njegovog značenja je izuzetno važno. Što se tiče Jedinstvenog državnog ispita, logaritam se koristi pri rješavanju jednadžbi, u primijenjenim problemima, kao iu zadacima koji se odnose na proučavanje funkcija.

Navedimo primjere kako bismo razumjeli samo značenje logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritama koja se uvijek moraju zapamtiti:

*Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.

* * *

*Logaritam kvocijenta (razlomka) jednak je razlici logaritama faktora.

* * *

*Logaritam eksponenta jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze.

* * *

*Prijelaz na nove temelje

* * *

Više nekretnina:

* * *

Izračunavanje logaritama usko je povezano s korištenjem svojstava eksponenata.

Nabrojimo neke od njih:

Suština ovog svojstva je da kada se brojnik prenese na nazivnik i obrnuto, znak eksponenta se mijenja u suprotan. Na primjer:

Posljedica iz ovog svojstva:

* * *

Kod dizanja potencije na potenciju baza ostaje ista, ali se eksponenti množe.

* * *

Kao što ste vidjeli, koncept samog logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da vam je potrebna dobra praksa, koja vam daje određenu vještinu. Naravno, potrebno je poznavanje formula. Ako vještina pretvaranja elementarnih logaritama nije razvijena, tada pri rješavanju jednostavnih zadataka lako možete pogriješiti.

Vježbajte, prvo riješite najjednostavnije primjere iz kolegija matematike, pa prijeđite na složenije. U budućnosti ću svakako pokazati kako se rješavaju "ružni" logaritmi; oni se neće pojaviti na Jedinstvenom državnom ispitu, ali su zanimljivi, nemojte ih propustiti!

To je sve! Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.