Danas ćemo naučiti kako brzo kvadrirati velike izraze bez kalkulatora. Pod velikim, mislim na brojeve u rasponu od deset do sto. Veliki izrazi su iznimno rijetki u stvarnim problemima, a vi već znate kako brojati vrijednosti manje od deset, jer je to obična tablica množenja. Materijal u današnjoj lekciji bit će koristan prilično iskusnim studentima, jer učenici početnici jednostavno neće cijeniti brzinu i učinkovitost ove tehnike.
Prvo, shvatimo o čemu govorimo govorimo o. Predlažem, kao primjer, konstruirati proizvoljan brojčani izraz, kao što obično radimo. Recimo 34. Podižemo ga množenjem sa samim sobom sa stupcem:
\[((34)^(2))=\puta \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 je trg 34.
Problem s ovom metodom može se opisati u dvije točke:
1) zahtijeva pisanu dokumentaciju;
2) vrlo je lako pogriješiti tijekom postupka izračuna.
Danas ćemo naučiti kako brzo množiti bez kalkulatora, usmeno i gotovo bez grešaka.
Pa krenimo. Za rad nam je potrebna formula za kvadrat zbroja i razlike. Zapišimo ih:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Što nam to daje? Činjenica je da se svaka vrijednost u rasponu od 10 do 100 može prikazati kao broj $a$, koji je djeljiv s 10, i broj $b$, koji je ostatak dijeljenja s 10.
Na primjer, 28 se može predstaviti na sljedeći način:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
Preostale primjere prikazujemo na isti način:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Što nam ova ideja govori? Činjenica je da sa zbrojem ili razlikom možemo primijeniti gore opisane izračune. Naravno, da skratimo izračune, za svaki element treba odabrati izraz s najmanjim drugim članom. Na primjer, od opcija $20+8$ i $30-2$, trebate odabrati opciju $30-2$.
Na sličan način odabiremo opcije za preostale primjere:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
Zašto bismo trebali težiti smanjenju drugog člana pri brzom množenju? Sve je u početnim izračunima kvadrata zbroja i razlike. Činjenica je da je član $2ab$ s plusom ili minusom najteži za izračunavanje pri rješavanju stvarnih problema. I ako se faktor $a$, višekratnik broja 10, uvijek lako množi, onda s faktorom $b$, koji je broj u rasponu od jedan do deset, mnogi učenici redovito imaju poteškoća.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Tako smo u tri minute napravili množenje osam primjera. To je manje od 25 sekundi po izrazu. U stvarnosti, nakon malo vježbe, brojat ćete još brže. Neće vam trebati više od pet do šest sekundi da izračunate bilo koji dvoznamenkasti izraz.
Ali to nije sve. Za one kojima se prikazana tehnika čini nedovoljno brza i dovoljno cool, predlažem još više brz način množenje, koje, međutim, ne radi za sve zadatke, već samo za one koji se razlikuju za jedan od višekratnika 10. U našoj lekciji postoje četiri takve vrijednosti: 51, 21, 81 i 39.
Čini se puno brže, već ih brojimo u doslovno nekoliko redaka. Ali, zapravo, moguće je ubrzati, a to se radi na sljedeći način. Zapisujemo vrijednost koja je višekratnik broja deset, što je najbliže onome što nam treba. Na primjer, uzmimo 51. Stoga, za početak, izgradimo pedeset:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Višekratnike od deset puno je lakše kvadrirati. A sada izvornom izrazu jednostavno dodamo pedeset i 51. Odgovor će biti isti:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
I tako sa svim brojevima koji se razlikuju za jedan.
Ako je vrijednost koju tražimo veća od one koju brojimo, tada dobivenom kvadratu dodamo brojeve. Ako je željeni broj manji, kao u slučaju 39, tada prilikom izvođenja radnje trebate oduzeti vrijednost od kvadrata. Vježbajmo bez upotrebe kalkulatora:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Kao što vidite, u svim slučajevima odgovori su isti. Štoviše, ova tehnika je primjenjiva na sve susjedne vrijednosti. Na primjer:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
Pritom ne trebamo pamtiti izračune kvadrata zbroja i razlike i koristiti kalkulator. Brzina rada je za svaku pohvalu. Stoga zapamtite, vježbajte i koristite u praksi.
Ključne točke
Ovom tehnikom možete jednostavno umnožiti bilo koji prirodni brojevi u rasponu od 10 do 100. Štoviše, svi izračuni se izvode usmeno, bez kalkulatora, pa čak i bez papira!
Prvo zapamtite kvadrate vrijednosti koje su višestruke od 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(align)\]
Kako još brže brojati
Ali to nije sve! Koristeći ove izraze, možete trenutno kvadrirati brojeve "susjedne" referentnim. Na primjer, znamo 152 (referentna vrijednost), ali moramo pronaći 142 (susjedni broj koji je jedan manji od referentne vrijednosti). Zapišimo to:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(align)\]
Napomena: bez mistike! Kvadrati brojeva koji se razlikuju za 1 zapravo se dobivaju množenjem referentnih brojeva samih sebe oduzimanjem ili zbrajanjem dviju vrijednosti:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(align)\]
Zašto se ovo događa? Zapišimo formulu za kvadrat zbroja (i razlike). Neka $n$ bude naša referentna vrijednost. Zatim se izračunavaju ovako:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- ovo je formula.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- slična formula za brojeve veće od 1.
Nadam se da će vam ova tehnika uštedjeti vrijeme na svim vašim testovima i ispitima iz matematike s visokim ulozima. I to je sve za mene. Vidimo se!
Formule skraćenog množenja.
Proučavanje formula za skraćeno množenje: kvadrata zbroja i kvadrata razlike dvaju izraza; razlika kvadrata dvaju izraza; kub zbroja i kub razlike dvaju izraza; zbrojevi i razlike kubova dvaju izraza.
Primjena formula za skraćeno množenje pri rješavanju primjera.
Za pojednostavljenje izraza, faktoriranje polinoma i svođenje polinoma na standardni oblik koriste se skraćene formule množenja. Formule skraćenog množenja potrebno je znati napamet.
Neka su a, b R. Tada:
1. Kvadrat zbroja dvaju izraza jednak je kvadrat prvog izraza plus dva puta umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kvadrat razlike dvaju izraza jednak je kvadrat prvog izraza minus dva puta umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Razlika kvadrata dva izraza jednak je umnošku razlike tih izraza i njihovog zbroja.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Kocka zbroja dva izraza jednako je kubu prvog izraza plus trostruki umnožak kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki umnožak prvog izraza i kvadrata drugog plus kub drugog izraza.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kocka razlike dva izraza jednaka su kubu prvog izraza minus trostruki umnožak kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki umnožak prvog izraza i kvadrata drugog minus kub drugog izraza.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Zbroj kocki dva izraza jednak je umnošku zbroja prvog i drugog izraza i nepunog kvadrata razlike tih izraza.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Razlika kocki dva izraza jednak je umnošku razlike prvog i drugog izraza s nepotpunim kvadratom zbroja tih izraza.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Primjena formula za skraćeno množenje pri rješavanju primjera.
Primjer 1.
Izračunati
a) Koristeći se formulom za kvadrat zbroja dvaju izraza, imamo
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Pomoću formule za kvadrat razlike dvaju izraza dobivamo
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Primjer 2.
Izračunati
Koristeći se formulom za razliku kvadrata dvaju izraza, dobivamo
Primjer 3.
Pojednostavite izraz
(x - y) 2 + (x + y) 2
Poslužimo se formulama za kvadrat zbroja i kvadrat razlike dvaju izraza
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skraćene formule množenja u jednoj tablici:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Kvadrat broja rezultat je matematičke operacije kojom se taj broj podiže na drugu potenciju, odnosno jedanput se množi sam sa sobom. Uobičajeno je da se takva operacija označi na sljedeći način: Z2, gdje je Z naš broj, 2 je stupanj "kvadrata". Naš članak će vam reći kako izračunati kvadrat broja.
Izračunajte kvadrat
Ako je broj jednostavan i malen, onda je to lako učiniti ili u glavi, ili pomoću tablice množenja, koju svi dobro poznajemo. Na primjer:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Ako je broj velik ili "ogroman", tada možete koristiti tablicu kvadrata koju su svi učili u školi ili kalkulator. Na primjer:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Također, da biste dobili traženi rezultat za dva gornja primjera, možete pomnožiti ove brojeve u stupac.
Da biste dobili kvadrat bilo kojeg razlomka, morate:
- Pretvorite razlomak (ako razlomak ima cijeli dio ili je decimalni) u nepravi razlomak. Ako je razlomak točan, nema potrebe ništa pretvarati.
- Pomnožite nazivnik s nazivnikom i brojnik s brojnikom razlomka.
Na primjer:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17)2 = (14x14)/(17x17) = 196/289.
U bilo kojoj od ovih opcija, najlakši način je koristiti kalkulator. Da biste to učinili potrebno vam je:
- Upišite broj na tipkovnici
- Kliknite na gumb sa znakom "pomnoži".
- Pritisnite gumb sa znakom jednakosti
Također uvijek možete koristiti internetske tražilice, poput Googlea. Da biste to učinili, samo trebate unijeti odgovarajući upit u polje tražilice i dobiti gotov rezultat.
Na primjer: da biste izračunali kvadrat broja 9,17, trebate u tražilicu upisati 9,17*9,17, ili 9,17^2, ili “9,17 na kvadrat”. U bilo kojoj od ovih opcija sustav pretraživanja dat će vam točan rezultat - 84,0889.
Sada znate kako izračunati kvadrat bilo kojeg broja koji vas zanima, bio to cijeli broj ili razlomak, bio on velik ili mali!
