Kako pronaći najmanji pozitivni kut. Pozitivni i negativni kutovi u trigonometriji. Zaštita osobnih podataka

Alfa označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima označava da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako uzmemo kao primjer beskonačan skup prirodni brojevi, tada se razmatrani primjeri mogu prikazati na sljedeći način:

Kako bi jasno dokazali da su bili u pravu, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Osobno na sve te metode gledam kao na šamane koji plešu uz tamburice. Uglavnom, svi se svode na to da je ili neka soba prazna i useljavaju se novi gosti ili da se dio posjetitelja izbaci u hodnik kako bi napravili mjesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u obliku fantastične priče o Plavuši. Na čemu se temelji moje zaključivanje? Preseljenje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno dugo. Nakon što smo oslobodili prvu sobu za gosta, uvijek će jedan od posjetitelja šetati hodnikom od svoje sobe do sljedeće do kraja vremena. Naravno, faktor vremena se može glupo zanemariti, ali to će biti u kategoriji "nijedan zakon nije pisan za budale". Sve ovisi o tome što radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.

Što je "beskrajni hotel"? Beskonačni hotel je hotel koji uvijek ima bilo koji broj praznih kreveta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve sobe u beskonačnom hodniku za "posjetitelje" zauzete, postoji još jedan beskrajni hodnik sa sobama za "gošće". Takvih će hodnika biti beskonačno mnogo. Štoviše, "beskonačni hotel" ima beskonačan broj katova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju svemira koje je stvorio beskonačan broj Bogova. Matematičari se ne znaju distancirati od banalnih svakodnevnih problema: uvijek je samo jedan Bog-Allah-Buddha, samo je jedan hotel, samo je jedan hodnik. Dakle, matematičari pokušavaju žonglirati serijskim brojevima hotelskih soba, uvjeravajući nas da je moguće "ugurati nemoguće".

Pokazat ću vam logiku svog zaključivanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko ima skupova prirodnih brojeva - jedan ili više? Na ovo pitanje nema točnog odgovora, jer smo brojeve sami izmislili, brojevi ne postoje u prirodi. Da, priroda je sjajna u brojanju, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Drugi put ću vam reći što priroda misli. Budući da smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko ima skupova prirodnih brojeva. Razmotrimo obje opcije, kako i dolikuje pravim znanstvenicima.

Prva opcija. “Neka nam je dan” jedan jedini skup prirodnih brojeva, koji spokojno leži na polici. Uzimamo ovaj set s police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nema ih gdje uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu jer ga već imamo. Što ako to stvarno želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedan iz seta koji smo već uzeli i vratiti ga na policu. Nakon toga možemo uzeti jednu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet ćemo dobiti beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete zapisati ovako:

Zabilježio sam akcije u algebarski sustav zapis i u sustavu zapisa usvojenom u teoriji skupova, s detaljnim popisom elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan i jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako mu se oduzme jedan i doda ista jedinica.

Druga opcija. Na našoj polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam – RAZLIČITI, unatoč tome što se praktički ne razlikuju. Uzmimo jedan od ovih skupova. Zatim uzmemo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodamo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak zbrojiti dva skupa prirodnih brojeva. Evo što dobivamo:

Indeksi "jedan" i "dva" označavaju da su ti elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako dodate jedan beskonačnom skupu, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao izvorni skup. Ako jednom beskonačnom skupu dodate još jedan beskonačni skup, rezultat je novi beskonačni skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Skup prirodnih brojeva služi za brojanje na isti način kao što se ravnalo koristi za mjerenje. Sada zamislite da ste ravnalu dodali jedan centimetar. Ovo će biti druga linija, koja neće biti jednaka izvornoj.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje razmišljanje - to je vaša stvar. Ali ako se ikad susrećete s matematičkim problemima, razmislite idete li putem lažnog razmišljanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, satovi matematike, prije svega, formiraju stabilan stereotip razmišljanja u nama, a tek onda dodaju našem mentalne sposobnosti(ili obrnuto, uskraćuju nam slobodno mišljenje).

Nedjelja, 4. kolovoza 2019

Završavao sam postskriptum na članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: „... bogat teorijska osnova Babilonska matematika nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza."

Wow! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Je li nam teško promatrati modernu matematiku u istom kontekstu? Lagano parafrazirajući gornji tekst, osobno sam dobio sljedeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holističke prirode i svedena je na skup različitih dijelova, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza.

Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi - ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim posvetiti cijeli niz publikacija najočitijim pogreškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota, 3. kolovoza 2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna u nekim od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.

Neka nam bude dosta A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na bazi “ljudi”. Označimo elemente ovog skupa slovom A, označava indeks s brojem serijski broj svaka osoba u ovom mnoštvu. Uvedimo novu mjernu jedinicu "rod" i označimo je slovom b. Budući da su spolne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na temelju spola b. Primijetite da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi s rodnim karakteristikama". Nakon ovoga spolne karakteristike možemo podijeliti na muške bm i ženskih bw spolne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filtar: izaberemo jednu od ovih spolnih karakteristika, bez obzira koju - mušku ili žensku. Ako ga osoba ima, onda ga množimo s jedinicom, ako nema tog znaka, množimo ga s nulom. I onda koristimo redovnu školsku matematiku. Pogledaj što se dogodilo.

Nakon množenja, redukcije i preslagivanja, dobili smo dva podskupa: podskup muškaraca Bm i podskup žena Bw. Matematičari razmišljaju na približno isti način kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali ne daju nam detalje, odaju nas gotov rezultat- “skup ljudi se sastoji od podskupa muškaraca i podskupa žena.” Naravno, možete imati pitanje: koliko je ispravno matematika primijenjena u gore navedenim transformacijama? Usuđujem se uvjeriti da je sve u biti učinjeno ispravno, dovoljno je poznavati matematičke osnove aritmetike, Booleove algebre i drugih grana matematike. Što je? Neki drugi put ću vam pričati o tome.

Što se tiče supersetova, možete kombinirati dva skupa u jedan superset odabirom mjerne jedinice prisutne u elementima ta dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i obična matematika čine teoriju skupova reliktom prošlosti. Znak da s teorijom skupova nije sve u redu je to što su za teoriju skupova matematičari izmislili vlastiti jezik i vlastite notacije. Matematičari su se ponašali kao nekada šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče ovom "znanju".

Zaključno, želim vam pokazati kako matematičari manipuliraju.

Ponedjeljak, 7. siječnja 2019

U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija “Ahilej i kornjača”. Evo kako to zvuči:

Recimo Ahil trči deset puta brže od kornjače i za njom je tisuću koraka. Za vrijeme koje je Ahilu potrebno da pretrči tu udaljenost, kornjača će otpuzati stotinjak koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti ad infinitum, Ahil nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave traju do danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia, "Zenonova aporija". Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu se prijevara sastoji.

S matematičkog gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s količine na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto trajnih. Koliko ja razumijem, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, na recipročnu vrijednost primjenjujemo stalne jedinice vremena. S fizičke točke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava sve dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može pobjeći kornjači.

Okrenemo li svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahil će beskonačno brzo sustići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte prelaziti na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača će otpuzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije cjelovito rješenje Problemi. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Ovaj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne smije tražiti u nedogled veliki brojevi, ali u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, gibanje. Ovdje je potrebno napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili kreće li se automobil, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Za određivanje udaljenosti do automobila potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na što posebno želim skrenuti pozornost je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer daju različite mogućnosti istraživanja.

Srijeda, 4. srpnja 2018

Već sam vam rekao da uz pomoć kojih šamani pokušavaju sortirati ““ stvarnost. Kako to rade? Kako zapravo dolazi do formiranja skupa?

Pogledajmo pobliže definiciju skupa: "skup različitih elemenata, zamišljenih kao jedna cjelina." Sada osjetite razliku između dvije fraze: "zamislivo kao cjelina" i "zamislivo kao cjelina". Prva fraza je krajnji rezultat, set. Drugi izraz je prethodna priprema za formiranje mnoštva. U ovoj fazi stvarnost se dijeli na pojedinačne elemente (“cjelina”), od kojih će se zatim formirati mnoštvo (“jedinstvena cjelina”). Istodobno, pažljivo se prati faktor koji omogućuje kombiniranje "cjeline" u "jedinstvenu cjelinu", inače šamani neće uspjeti. Uostalom, šamani unaprijed točno znaju koji set nam žele pokazati.

Pokazat ću vam proces na primjeru. Odaberemo "crvenu krutinu u prištiću" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su te stvari s lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga izdvajamo dio “cjeline” i formiramo set “s mašnom”. Ovako šamani dobivaju hranu povezujući svoju teoriju skupa sa stvarnošću.

Hajdemo sada napraviti mali trik. Uzmimo "čvrstu s prištićem s lukom" i kombiniramo ove "cjeline" prema boji, odabirom crvenih elemenata. Dobili smo dosta "crvenog". Sada posljednje pitanje: jesu li dobiveni skupovi "s mašnom" i "crveno" isti skup ili dva različita skupa? Samo šamani znaju odgovor. Točnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, tako će i biti.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada se radi o stvarnosti. u cemu je tajna Formirali smo set "crvene čvrste s prištićem i lukom". Formiranje se odvijalo u četiri različite mjerne jedinice: boja (crveno), čvrstoća (čvrsto), hrapavost (priščasto), ukras (s lukom). Samo skup mjernih jedinica omogućuje nam adekvatno opisivanje pravi objekti jezikom matematike. Ovako to izgleda.

Slovo "a" s različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. Mjerne jedinice po kojima se razlikuje “cjelina” u preliminarnoj fazi istaknute su u zagradama. Iz zagrada je izdvojena mjerna jedinica kojom je skup formiran. Zadnji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo mjerne jedinice za formiranje skupa, tada rezultat ne ovisi o redoslijedu naših radnji. I to je matematika, a ne ples šamana s tamburama. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, tvrdeći da je "očit", jer mjerne jedinice nisu dio njihovog "znanstvenog" arsenala.

Pomoću mjernih jedinica vrlo je lako podijeliti jedan skup ili kombinirati nekoliko skupova u jedan nadskup. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Subota, 30. lipnja 2018

Ako matematičari ne mogu jedan pojam svesti na druge pojmove, onda ne razumiju ništa o matematici. Odgovaram: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Odgovor je vrlo jednostavan: brojevi i mjerne jedinice.

Danas sve što ne uzmemo pripada nekom skupu (kako nas matematičari uvjeravaju). Usput, jeste li vidjeli u ogledalu na svom čelu popis onih skupova kojima pripadate? A ja takav popis nisam vidio. Reći ću više - niti jedna stvar u stvarnosti nema oznaku s popisom skupova kojima ta stvar pripada. Setovi su svi izumi šamana. Kako to oni rade? Pogledajmo malo dublje u povijest i vidimo kako su elementi skupa izgledali prije nego što su ih šamani matematičari uzeli u svoje skupove.

Nekada davno, kada još nitko nije čuo za matematiku, a samo su drveće i Saturn imali prstenove, golema krda divljih elemenata skupova lutala su fizičkim poljima (uostalom, šamani još nisu izmislili matematička polja). Izgledale su otprilike ovako.

Da, nemojte se iznenaditi, s gledišta matematike, svi elementi skupova su najsličniji morski ježevi- iz jedne točke, poput igala, strše mjerne jedinice na sve strane. Za one koji, podsjećam da se svaka mjerna jedinica može geometrijski prikazati kao odsječak proizvoljne duljine, a broj kao točka. Geometrijski, bilo koja količina može se predstaviti kao hrpa segmenata koji strše unutra različite strane iz jedne točke. Ova točka je točka nula. Neću nacrtati ovaj komad geometrijske umjetnosti (bez inspiracije), ali možete ga lako zamisliti.

Koje mjerne jedinice čine element skupa? Sve vrste stvari koje opisuju određeni element s različitih gledišta. To su prastare mjerne jedinice koje su naši preci koristili i na koje su svi odavno zaboravili. Ovo su moderne mjerne jedinice koje sada koristimo. To su također nama nepoznate mjerne jedinice koje će naši potomci smisliti i kojima će opisivati stvarnost.

Sredili smo geometriju - predloženi model elemenata skupa ima jasan geometrijski prikaz. Što je s fizikom? Mjerne jedinice izravna su veza između matematike i fizike. Ako šamani ne prepoznaju mjerne jedinice kao punopravni element matematičkih teorija, to je njihov problem. Ja osobno ne mogu zamisliti pravu znanost matematike bez mjernih jedinica. Zato sam na samom početku priče o teoriji skupova govorio da je ona u kamenom dobu.

Ali prijeđimo na ono najzanimljivije - algebru elemenata skupova. Algebarski, svaki element skupa je umnožak (rezultat množenja) različitih veličina.To izgleda ovako.

Namjerno nisam koristio konvencije teorije skupova, budući da razmatramo element skupa u njegovom prirodnom okruženju prije pojave teorije skupova. Svaki par slova u zagradi označava zasebnu količinu koja se sastoji od broja označenog slovom " n" i mjerna jedinica označena slovom " a". Indeksi uz slova pokazuju da su brojevi i mjerne jedinice različiti. Jedan element skupa može se sastojati od beskonačnog broja veličina (koliko mi i naši potomci imamo dovoljno mašte). Svaka zagrada je geometrijski prikazana kao zaseban segment U primjeru s morskim ježom jedna je zagrada jedna igla.

Kako šamani formiraju skupove od različitih elemenata? Zapravo, mjernim jedinicama ili brojevima. Ne shvaćajući ništa o matematici, uzimaju različite morske ježince i pažljivo ih ispituju u potrazi za onom jednom iglom, duž koje tvore skup. Ako postoji takva igla, tada ovaj element pripada skupu; ako nema takve igle, tada ovaj element nije iz ovog skupa. Šamani nam pričaju bajke o misaonim procesima i cjelini.

Kao što ste možda pogodili, isti element može pripadati vrlo različitim skupovima. Zatim ću vam pokazati kako se formiraju skupovi, podskupovi i ostale šamanske gluposti. Kao što možete vidjeti, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu apsurdnu logiku. To je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta dok su ispitivali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.

Ma koliko se matematičari krili iza fraze “jebi me, ja sam u kući”, odnosno “matematika studira apstraktni pojmovi", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ta pupčana vrpca je novac. Prijavite se matematička teorija postavlja samim matematičarima.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i dajemo plaće. Dakle, matematičar dolazi k nama po svoj novac. Izbrojimo mu cijeli iznos i poslažemo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim uzmemo po jednu novčanicu iz svake hrpe i damo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje počinje zabava.

Prije svega, proradit će logika zastupnika: "Ovo se može primijeniti na druge, ali ne na mene!" Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, prebrojimo plaće u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: različite kovanice imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...

I sad imam najzanimljivije pitanje: gdje je crta iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva crta ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost tu ni blizu ne laže.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površine polja su iste – što znači da imamo multiskup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobivamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Što je točno? I tu matematičar-šaman-šarpist vadi asa aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".

Alfa označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima označava da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako kao primjer uzmemo beskonačni skup prirodnih brojeva, tada se razmatrani primjeri mogu prikazati u ovom obliku:

Radnje sam zapisao u algebarskom zapisu i u zapisu teorije skupova, uz detaljan popis elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan i jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako mu se oduzme jedan i doda ista jedinica.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje razmišljanje - to je vaša stvar. Ali ako se ikad susrećete s matematičkim problemima, razmislite idete li putem lažnog razmišljanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, studiranje matematike, prije svega, formira stabilan stereotip razmišljanja u nama, a tek onda pridodaje našim mentalnim sposobnostima (ili, obrnuto, lišava nas slobodnog razmišljanja).

Nedjelja, 4. kolovoza 2019

Završavao sam postskriptum na članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: "... bogata teorijska osnova babilonske matematike nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza."

Wow! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Je li nam teško promatrati modernu matematiku u istom kontekstu? Lagano parafrazirajući gornji tekst, osobno sam dobio sljedeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holističke prirode i svedena je na skup različitih dijelova, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza.

Subota, 3. kolovoza 2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna u nekim od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.

Neka nam bude dosta A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na bazi “ljudi”. Označimo elemente ovog skupa slovom A, indeks s brojem označit će redni broj svake osobe u ovom skupu. Uvedimo novu mjernu jedinicu "rod" i označimo je slovom b. Budući da su spolne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na temelju spola b. Primijetite da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi s rodnim karakteristikama". Nakon ovoga spolne karakteristike možemo podijeliti na muške bm i ženskih bw spolne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filtar: izaberemo jednu od ovih spolnih karakteristika, bez obzira koju - mušku ili žensku. Ako ga osoba ima, onda ga množimo s jedinicom, ako nema tog znaka, množimo ga s nulom. I onda koristimo redovnu školsku matematiku. Pogledaj što se dogodilo.

Nakon množenja, redukcije i preslagivanja, dobili smo dva podskupa: podskup muškaraca Bm i podskup žena Bw. Matematičari razmišljaju na približno isti način kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nam ne govore pojedinosti, već nam daju gotov rezultat - "mnogi ljudi se sastoje od podskupa muškaraca i podskupa žena." Naravno, možete imati pitanje: koliko je ispravno matematika primijenjena u gore navedenim transformacijama? Usuđujem se uvjeriti da je sve u biti učinjeno ispravno, dovoljno je poznavati matematičke osnove aritmetike, Booleove algebre i drugih grana matematike. Što je? Neki drugi put ću vam pričati o tome.

Što se tiče supersetova, možete kombinirati dva skupa u jedan superset odabirom mjerne jedinice prisutne u elementima ta dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i obična matematika čine teoriju skupova reliktom prošlosti. Znak da s teorijom skupova nije sve u redu je to što su matematičari smislili vlastiti jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su se ponašali kao nekada šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče ovom "znanju".

Zaključno, želim vam pokazati kako matematičari manipuliraju.

Ponedjeljak, 7. siječnja 2019

U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija “Ahilej i kornjača”. Evo kako to zvuči:

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte prelaziti na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Ovaj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.

Srijeda, 4. srpnja 2018

Već sam vam rekao da uz pomoć kojih šamani pokušavaju sortirati ““ stvarnost. Kako to rade? Kako zapravo dolazi do formiranja skupa?

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada se radi o stvarnosti. u cemu je tajna Formirali smo set "crvene čvrste s prištićem i lukom". Formiranje se odvijalo u četiri različite mjerne jedinice: boja (crveno), čvrstoća (čvrsto), hrapavost (priščasto), ukras (s lukom). Samo skup mjernih jedinica omogućuje nam da jezikom matematike adekvatno opišemo stvarne objekte. Ovako to izgleda.

Pomoću mjernih jedinica vrlo je lako podijeliti jedan skup ili kombinirati nekoliko skupova u jedan nadskup. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Subota, 30. lipnja 2018

Da, nemojte se iznenaditi, s gledišta matematike, svi elementi skupova najsličniji su morskim ježevima - iz jedne točke, poput igala, mjerne jedinice strše na sve strane. Za one koji, podsjećam da se svaka mjerna jedinica može geometrijski prikazati kao odsječak proizvoljne duljine, a broj kao točka. Geometrijski, bilo koja veličina može se prikazati kao hrpa segmenata koji strše u različitim smjerovima iz jedne točke. Ova točka je točka nula. Neću nacrtati ovaj komad geometrijske umjetnosti (bez inspiracije), ali možete ga lako zamisliti.

Ali prijeđimo na ono najzanimljivije - algebru elemenata skupova. Algebarski, svaki element skupa je umnožak (rezultat množenja) različitih veličina.To izgleda ovako.

Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

U prošloj lekciji uspješno smo savladali (ili ponovili, kako tko) ključne pojmove cijele trigonometrije. Ovaj trigonometrijski krug , kut na kružnici , sinus i kosinus ovog kuta , a i svladao predznaci trigonometrijskih funkcija po četvrtinama . Savladali smo ga do detalja. Na prste, moglo bi se reći.

Ali ovo još nije dovoljno. Za uspješno praktična aplikacija svi ovi jednostavni pojmovi trebamo još jednu korisnu vještinu. Naime – ispravan rad s uglovima u trigonometriji. Bez ove vještine u trigonometriji nema načina. Čak iu najprimitivnijim primjerima. Zašto? Da, jer je kut ključna radna figura u cijeloj trigonometriji! Ne ne trigonometrijske funkcije, ne sinus s kosinusom, ne tangens s kotangensom, naime sam kutak. Nema kuta znači nema trigonometrijskih funkcija, da...

Kako raditi s kutovima na kružnici? Da bismo to učinili, moramo čvrsto uhvatiti dvije točke.

1) Kako Mjere li se kutovi na kružnici?

2) Što da li se broje (izmjere)?

Odgovor na prvo pitanje je tema današnje lekcije. Prvim pitanjem bavit ćemo se detaljno upravo ovdje i sada. Na drugo pitanje ovdje neću dati odgovor. Jer je dosta razvijen. Baš kao što je samo drugo pitanje vrlo sklisko, da.) Neću još ulaziti u detalje. Ovo je tema sljedeće zasebne lekcije.

Hoćemo li početi?

Kako se mjere kutovi na kružnici? Pozitivni i negativni kutovi.

Onima koji pročitaju naslov odlomka možda se već diže kosa na glavi. Kako to?! Negativni kutovi? Je li ovo uopće moguće?

Na negativan brojevima Već smo se navikli. Možemo ih prikazati na brojčanoj osi: desno od nule su pozitivne, lijevo od nule su negativne. Da, i povremeno gledamo termometar izvan prozora. Pogotovo zimi, po hladnoći.) A novac na telefonu je u minusu (tj. dužnost) ponekad odu. Ovo je sve poznato.

Što je s uglovima? Ispada da negativni kutovi u matematici postoje također! Sve ovisi o tome kako izmjeriti upravo ovaj kut... ne, ne na brojevnoj crti, nego na brojčani krug! Odnosno na krug. Krug - evo ga, analog brojevnog pravca u trigonometriji!

Tako, Kako se mjere kutovi na kružnici? Ne možemo ništa učiniti, prvo ćemo morati nacrtati ovaj krug.

Nacrtat ću ovu prekrasnu sliku:

Vrlo je sličan slikama iz prošle lekcije. Postoje osi, postoji krug, postoji kut. Ali ima i novih informacija.

Također sam dodao brojeve 0°, 90°, 180°, 270° i 360° na osi. Ovo je još zanimljivije.) Kakvi su ovo brojevi? Pravo! Ovo su vrijednosti kuta izmjerene s naše fiksne strane koja pada na koordinatne ose. Zapamtimo da je fiksna stranica kuta uvijek čvrsto vezana za pozitivnu poluos OX. I bilo koji kut u trigonometriji mjeri se upravo od ove poluosi. Ovu osnovnu polaznu točku za kutove morate čvrsto imati na umu. A osi – sijeku se pod pravim kutom, zar ne? Dakle, dodajemo 90° u svakoj četvrtini.

I još dodano crvena strelica. S plusom. Crveno je namjerno da upada u oči. I dobro mi se urezao u sjećanje. Jer ovo se mora pouzdano zapamtiti.) Što znači ova strelica?

Tako ispada da ako skrenemo svoj kut duž strelice s plusom(protiv u smjeru kazaljke na satu, prema numeriranju četvrtina), zatim kut smatrat će se pozitivnim! Kao primjer, slika prikazuje kut od +45°. Usput, imajte na umu da su aksijalni kutovi 0°, 90°, 180°, 270° i 360° također premotani u pozitivnom smjeru! Slijedite crvenu strelicu.

Sada pogledajmo drugu sliku:

Ovdje je gotovo sve isto. Numerirani su samo kutovi na osi obrnuto. U smjeru kazaljke na satu. I imaju predznak minus.) Ipak nacrtana plava strelica. Također s minusom. Ova strelica je smjer negativnih kutova na kružnici. Ona nam to pokazuje ako odložimo svoj kut u smjeru kazaljke na satu, To kut će se smatrati negativnim. Na primjer, pokazao sam kut od -45°.

Usput, imajte na umu da se numeriranje četvrtina nikada ne mijenja! Nije bitno hoćemo li kutove pomaknuti u plus ili minus. Uvijek strogo suprotno od kazaljke na satu.)

Zapamtiti:

1. Početna točka za kutove je s pozitivne poluosi OX. Prema satu - "minus", protiv sata - "plus".

2. Obrojčavanje četvrtina uvijek je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, bez obzira na smjer u kojem se računaju kutovi.

Inače, označavanje kutova na osi 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, pri svakom crtanju kruga, uopće nije obavezno. Ovo je učinjeno isključivo radi razumijevanja poante. Ali ti brojevi moraju biti prisutni u tvojoj glavi pri rješavanju bilo kojeg trigonometrijskog problema. Zašto? Da, jer ovo osnovno znanje daje odgovore na toliko drugih pitanja u cijeloj trigonometriji! Najviše glavno pitanje – U koju četvrtinu spada kut koji nas zanima? Vjerovali ili ne, točan odgovor na ovo pitanje rješava lavovski dio svih ostalih trigonometrijskih problema. Ovim važnim zadatkom (raspodjela kutova na četvrtine) bavit ćemo se u istoj lekciji, ali malo kasnije.

Vrijednosti kutova koji leže na koordinatnim osima (0°, 90°, 180°, 270° i 360°) moraju se zapamtiti! Zapamtite to čvrsto, dok ne postane automatski. I plus i minus.

Ali od ovog trenutka počinju prva iznenađenja. A uz njih i škakljiva pitanja upućena meni, da...) Što se događa ako je na kružnici negativan kut poklapa s pozitivnim? Ispostavilo se da ista točka na kružnici se može označiti i pozitivan i negativan kut???

Apsolutno u pravu! Jeste.) Na primjer, pozitivan kut+270° zauzima krug ista situacija , isto što i negativni kut od -90°. Ili, na primjer, pozitivni kut od +45° na krugu će zauzeti ista situacija , isto što i negativni kut -315°.

Gledamo sljedeći crtež i vidimo sve:

Na isti način, pozitivni kut od +150° će pasti na isto mjesto kao i negativni kut od -210°, pozitivni kut od +230° će pasti na isto mjesto kao negativni kut od -130°. I tako dalje…

I što sad mogu učiniti? Kako točno brojati kutove, ako to možete na ovaj i onaj način? Što je točno?

Odgovor: u svakom pogledu ispravno! Matematika ne zabranjuje niti jedan od dva smjera za brojanje kutova. A izbor određenog smjera ovisi isključivo o zadatku. Ako zadatak ne kaže ništa u običnom tekstu o predznaku kuta (kao npr "definirajte najveću negativan kut" itd.), tada radimo s kutovima koji su nam najprikladniji.

Naravno, na primjer, u tako cool temama kao što su trigonometrijske jednadžbe i nejednakosti, smjer izračunavanja kutova može imati veliki utjecaj na odgovor. A u relevantnim temama razmotrit ćemo ove zamke.

Zapamtiti:

Svaka točka na kružnici može se označiti pozitivnim ili negativnim kutom. Bilo tko! Što god želimo.

Sada razmislimo o ovome. Saznali smo da je kut od 45° potpuno jednak kutu od -315°? Kako sam saznao za te iste 315° ? Zar ne možete pogoditi? Da! Kroz punu rotaciju.) Za 360°. Imamo kut od 45°. Koliko je vremena potrebno da se završi puna revolucija? Oduzmi 45° od 360° - tako da dobijemo 315° . Idemo negativna strana– i dobijemo kut od -315°. Još uvijek nije jasno? Zatim ponovno pogledajte gornju sliku.

I to uvijek treba učiniti kada pozitivne kutove pretvarate u negativne (i obrnuto) - nacrtajte krug, označite približno zadanom kutu izračunavamo koliko stupnjeva nedostaje da se izvrši puni okretaj i pomičemo dobivenu razliku u suprotnom smjeru. To je sve.)

Što mislite, što je još zanimljivo o kutovima koji zauzimaju isti položaj na kružnici? A činjenica da na takvim uglovima točno isto sinus, kosinus, tangens i kotangens! Stalno!

Na primjer:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Ali ovo je iznimno važno! Za što? Da, sve za istu stvar!) Da pojednostavimo izraze. Budući da je pojednostavljenje izraza ključni postupak uspješno rješenje bilo koji zadaci iz matematike. I u trigonometriji također.

Dakle, sa opće pravilo Shvatili smo kako brojati kutove na kružnici. Pa, ako smo počeli govoriti o punim okretajima, o četvrtinama okretaja, onda je vrijeme da uvrnemo i nacrtamo ove kutove. Hoćemo li crtati?)

Počnimo s pozitivan kutovi Bit će ih lakše crtati.

Kutove crtamo unutar jednog okreta (između 0° i 360°).

Nacrtajmo, na primjer, kut od 60°. Ovdje je sve jednostavno, nema problema. Crtamo koordinatne osi i kružnicu. To možete učiniti izravno rukom, bez ikakvog šestara ili ravnala. Nacrtajmo shematski: Ne crtamo s tobom. Ne morate se pridržavati nijednog GOST-a, nećete biti kažnjeni.)

Možete (za sebe) označiti vrijednosti kuta na osi i usmjeriti strelicu u smjeru protiv vremena. Uostalom, hoćemo li uštedjeti kao plus?) Ne morate to učiniti, ali morate sve imati u glavi.

A sada crtamo drugu (pokretnu) stranu ugla. U kojoj četvrtini? U prvom, naravno! Zato što je 60 stupnjeva striktno između 0° i 90°. Dakle, remizirali smo u prvoj četvrtini. Pod kutom približno 60 stupnjeva prema fiksnoj strani. Kako brojati približno 60 stupnjeva bez kutomjera? Lako! 60° je dvije trećine od pravi kut! Mi mentalno podijelimo prvi vrag kruga na tri dijela, uzimajući dvije trećine za sebe. I crtamo... Koliko zapravo stignemo (ako pričvrstite kutomjer i izmjerite) - 55 stupnjeva ili 64 - nije važno! Bitno je da je još uvijek negdje oko 60°.

Dobijamo sliku:

To je sve. I nije bio potreban nikakav alat. Razvijajmo svoje oko! Dobro će doći u geometrijskim problemima.) Ovaj neugledni crtež nezamjenjiv je kada trebate na brzinu naškrabati krug i kut, a da pritom ne razmišljate o ljepoti. Ali u isto vrijeme škrabati Pravo, bez grešaka, sa svim potrebne informacije. Na primjer, poput pomoć pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.

Nacrtajmo sada kut, na primjer, 265°. Hajdemo otkriti gdje bi se to moglo nalaziti? Dobro, jasno je da ne u prvoj četvrtini, pa čak ni u drugoj: završavaju na 90 i 180 stupnjeva. Možete shvatiti da je 265° 180° plus još 85°. Odnosno, negativnoj poluosi OX (gdje je 180°) trebate dodati približno 85°. Ili, još jednostavnije, pogodite da 265° ne dopire do negativne poluosi OY (gdje je 270°) nekih nesretnih 5°. Ukratko, u trećoj četvrtini će biti ovaj kut. Vrlo blizu negativne poluosi OY, do 270 stupnjeva, ali ipak u trećini!

Nacrtajmo:

Opet, ovdje nije potrebna apsolutna preciznost. Neka u stvarnosti ovaj kut bude, recimo, 263 stupnja. Ali na najvažnije pitanje (koji kvartal?) odgovorili smo točno. Zašto je ovo najvažnije pitanje? Da, jer svaki rad s kutom u trigonometriji (nije bitno crtamo li taj kut ili ne) počinje upravo odgovorom na ovo pitanje! Stalno. Ako zanemarite ovo pitanje ili pokušate mentalno odgovoriti na njega, greške su gotovo neizbježne, da... Treba li vam?

Zapamtiti:

Svaki rad s kutom (uključujući i crtanje tog kuta na kružnici) uvijek počinje određivanjem četvrtine u koju taj kut pada.

Sada se nadam da možete točno prikazati kutove, na primjer, 182°, 88°, 280°. U ispravitičetvrtine. U trećem, prvom i četvrtom, ako to...)

Četvrta četvrtina završava kutom od 360°. Ovo je jedna puna revolucija. Jasno je da ovaj kut zauzima isti položaj na kružnici kao 0° (tj. ishodište). Ali kutovi tu ne završavaju, da...

Što učiniti s kutovima većim od 360°?

“Postoje li stvarno takve stvari?”- pitaš. Događaju se! Postoji, na primjer, kut od 444°. A ponekad, recimo, kut od 1000°. Postoje sve vrste kutova.) Samo se vizualno takvi egzotični kutovi percipiraju malo teže od kutova na koje smo navikli unutar jedne revolucije. Ali također morate znati nacrtati i izračunati takve kutove, da.

Da biste ispravno nacrtali takve kutove na krugu, morate učiniti istu stvar - saznati U koju četvrtinu spada kut koji nas zanima? Ovdje je sposobnost točnog određivanja četvrtine mnogo važnija nego za kutove od 0° do 360°! Sama procedura određivanja četvrtine komplicirana je u samo jednom koraku. Uskoro ćete vidjeti što je.

Tako, na primjer, trebamo otkriti u koji kvadrant spada kut od 444°. Počnimo vrtjeti. Gdje? Plus, naravno! Dali su nam pozitivan kut! +444°. Vrtimo, vrtimo... Zavrtili smo ga jedan krug - došli do 360°.

Koliko je ostalo do 444°?Brojimo preostali rep:

444°-360° = 84°.

Dakle, 444° je jedna puna rotacija (360°) plus još 84°. Očito je ovo prvi kvartal. Dakle, kut 444° pada u prvom kvartalu. Pola bitke je gotovo.

Sada ostaje samo prikazati ovaj kut. Kako? Jako jednostavno! Napravimo jedan puni okret duž crvene (plus) strelice i dodamo još 84°.

Kao ovo:

Ovdje se nisam zamarao zatrpavanjem crteža - označavanjem četvrtina, crtanjem kutova na osi. Sve ove dobre stvari trebale su mi dugo biti u glavi.)

Ali ja sam upotrijebio “puža” ili spiralu kako bih točno pokazao kako kut od 444° nastaje od kutova od 360° i 84°. Isprekidana crvena linija je jedan puni okretaj. Na koji su dodatno pričvršćeni 84° (puna linija). Usput, imajte na umu da ako se ovaj puni okret odbaci, to ni na koji način neće utjecati na položaj našeg kuta!

Ali ovo je važno! Položaj kuta 444° potpuno podudara s položajem kuta od 84°. Nema čuda, tako ispada.)

Je li moguće odbaciti ne jednu punu revoluciju, već dvije ili više?

Zašto ne? Ako je kut velik, onda to nije samo moguće, nego čak i potrebno! Kut se neće promijeniti! Točnije, sam kut će se, naravno, promijeniti u veličini. Ali njegov položaj na krugu apsolutno nije!) Zato oni puna revolucije, da koliko god kopija dodali, koliko god oduzeli, svejedno ćete završiti na istoj točki. Lijepo, zar ne?

Zapamtiti:

Ako kutu dodate (oduzmete) bilo koji kut cijeli broj punih okretaja, položaj izvornog kuta na kružnici NEĆE se promijeniti!

Na primjer:

U koju četvrtinu spada kut od 1000°?

Nema problema! Brojimo koliko punih okretaja ima u tisuću stupnjeva. Jedan okret je 360°, drugi je već 720°, treći je 1080°... Stop! Previše! To znači da se nalazi pod kutom od 1000° dva puni okreti. Izbacimo ih iz 1000° i izračunamo ostatak:

1000° - 2 360° = 280°

Dakle, položaj kuta na kružnici je 1000° isto, kao pod kutom od 280°. Što je puno ugodnije za rad.) A gdje pada ovaj kut? Pada u četvrtu četvrtinu: 270° (negativna poluos OY) plus još deset.

Nacrtajmo:

Ovdje više nisam nacrtao dva puna zavoja s točkastom spiralom: ispada da je predugo. Upravo sam nacrtao preostali rep od nule, odbacivanje svi dodatni okreti. Kao da ih uopće nije bilo.)

Ponovno. U dobrom smislu, kutovi 444° i 84°, kao i 1000° i 280° su različiti. Ali za sinus, kosinus, tangens i kotangens ovi kutovi su - isto!

Kao što vidite, da biste radili s kutovima većim od 360 °, morate odrediti koliko punih okretaja ima u određenom velikom kutu. Ovo je vrlo dodatni korak koji se prvo mora učiniti kada se radi s takvim kutovima. Ništa komplicirano, zar ne?

Odbijanje punih okretaja je, naravno, ugodno iskustvo.) Ali u praksi, kada radite s apsolutno strašnim kutovima, pojavljuju se poteškoće.

Na primjer:

U koju četvrtinu spada kut 31240°?

Pa što, hoćemo li dodati 360 stupnjeva mnogo, mnogo puta? Može, ako ne peče previše. Ali ne možemo samo zbrajati.) Možemo i dijeliti!

Dakle, podijelimo naš ogromni kut na 360 stupnjeva!

Ovom akcijom saznat ćemo točno koliko se punih okretaja krije u naših 31240 stupnjeva. Možete ga podijeliti u kut, možete (šapnuti na uho:)) na kalkulatoru.)

Dobivamo 31240:360 = 86,777777….

Činjenica da se broj pokazao razlomkom nije zastrašujuća. Samo mi cijeli Zanimaju me okretaji! Stoga nema potrebe za potpunom podjelom.)

Dakle, u našem čupavom ugljenu sjedi čak 86 punih okretaja. Užas…

Bit će u stupnjevima86·360° = 30960°

Kao ovo. Upravo se toliko stupnjeva može bezbolno izbaciti iz zadanog kuta od 31240°. Ostaci:

31240° - 30960° = 280°

Svi! Položaj kuta 31240° je u potpunosti identificiran! Isto mjesto kao 280°. Oni. četvrta četvrtina.) Mislim da smo već prije prikazali ovaj kut? Kada je nacrtan kut od 1000°?) Tu smo također otišli 280 stupnjeva. Koincidencija.)

Dakle, moral ove priče je:

Ako nam se da zastrašujuće težak kut, onda:

1. Odredite koliko punih okretaja ima u ovom kutu. Da biste to učinili, podijelite izvorni kut s 360 i odbacite frakcijski dio.

2. Brojimo koliko stupnjeva ima rezultirajući broj okretaja. Da biste to učinili, pomnožite broj okretaja s 360.

3. Oduzimamo te okretaje od izvornog kuta i radimo s uobičajenim kutom u rasponu od 0° do 360°.

Kako raditi s negativnim kutovima?

Nema problema! Potpuno isto kao i kod pozitivnih, samo s jednom jedinom razlikom. Koji? Da! Trebate okrenuti uglove obrnuta strana, minus! Ide u smjeru kazaljke na satu.)

Nacrtajmo, na primjer, kut od -200°. Prvo, sve je kao i obično za pozitivne kutove - osi, krug. Nacrtajmo i plavu strelicu s minusom i drugačije potpišemo kutove na osi. Naravno, morat će se računati iu negativnom smjeru. To će biti isti kutovi, koji prelaze 90°, ali računajući u suprotnom smjeru, u minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Slika će izgledati ovako:

Pri radu s negativnim kutovima često postoji osjećaj blage zbunjenosti. Kako to?! Ispada da je ista os istovremeno, recimo, +90° i -270°? Ne, nešto je sumnjivo ovdje...

Da, sve je čisto i transparentno! Već znamo da se svaka točka na kružnici može nazvati pozitivnim ili negativnim kutom! Apsolutno bilo koji. Uključujući i neke od koordinatnih osi. U našem slučaju trebamo negativan kutni račun. Dakle, sve uglove pričvrstimo na minus.)

Sada ispravno crtanje kuta -200° uopće nije teško. Ovo je -180° i minus još 20°. Počinjemo se ljuljati od nule do minusa: letimo kroz četvrtu četvrtinu, propuštamo i treću, dolazimo do -180°. Gdje da potrošim preostalih dvadeset? Da, sve je tu! Po satu.) Ukupni kut -200° spada unutar drugičetvrtina.

Sada razumijete koliko je važno čvrsto zapamtiti kutove na koordinatnim osima?

Kutovi na koordinatnim osima (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) moraju se precizno upamtiti kako bi se točno odredila četvrtina u kojoj kut pada!

Što ako je kut velik, s nekoliko punih okreta? U redu je! Kakve je razlike hoće li se te pune revolucije okrenuti u pozitivno ili negativno? Točka na kružnici neće promijeniti svoj položaj!

Na primjer:

U koju četvrtinu spada kut -2000°?

Sve isto! Prvo, brojimo koliko punih okretaja stoji u ovom zlom kutu. Kako ne bismo pobrkali znakove, ostavimo za sada minus i jednostavno podijelimo 2000 sa 360. Dobit ćemo 5 s repom. Za sada nas ne zanima rep, računat ćemo ga malo kasnije kada nacrtamo kut. Brojimo pet puni okretaji u stupnjevima:

5 360° = 1800°

Vau. Upravo toliko dodatnih stupnjeva možemo sigurno izbaciti iz svog kuta, a da pritom ne naškodimo zdravlju.

Brojimo preostali rep:

2000° – 1800° = 200°

Ali sada se možemo sjetiti minusa.) Gdje ćemo namotati rep od 200°? Minus, naravno! Dan nam je negativan kut.)

2000° = -1800° - 200°

Dakle, crtamo kut od -200°, samo bez dodatnih okretaja. Upravo sam ga nacrtao, ali neka bude, nacrtat ću ga još jednom. Ručno.

Jasno je da zadani kut -2000°, kao i -200°, spadaju unutar druga četvrtina.

Dakle, hajde da ludujemo... pardon... po glavi:

Ako je zadan jako veliki negativni kut, tada je prvi dio rada s njim (pronalaženje broja punih okretaja i njihovo odbacivanje) isti kao kod rada s pozitivnim kutom. Znak minus ne igra nikakvu ulogu u ovoj fazi rješenja. Znak se uzima u obzir samo na samom kraju, kada se radi s kutom preostalim nakon uklanjanja punih okretaja.

Kao što vidite, crtanje negativnih kutova na krugu nije ništa teže od pozitivnih.

Sve je isto, samo u drugom smjeru! Po satu!

Sada dolazi najzanimljiviji dio! Gledali smo pozitivne kutove, negativne kutove, velike kutove, male kutove - cijeli raspon. Također smo saznali da se svaka točka na kružnici može nazvati pozitivnim i negativnim kutom, odbacili smo pune okretaje... Ima li kakvih ideja? Mora se odgoditi...

Da! Koju god točku na krugu uzmete, ona će odgovarati beskonačan broj kutova! Velike i manje velike, pozitivne i negativne - svakakve! A razlika između ovih kutova bit će cijeli broj punih okretaja. Stalno! Tako funkcionira trigonometrijski krug, da...) Zato obrnuti zadatak je pronaći kut pomoću poznatog sinusa/kosinusa/tangensa/kotangensa - rješivo dvosmislen. I mnogo teže. Za razliku od izravnog problema - zadani kut, pronađite cijeli skup njegovih trigonometrijskih funkcija. I u ozbiljnijim temama trigonometrije ( lukovi, trigonometrijski jednadžbe I nejednakosti ) s ovim ćemo se trikom stalno susretati. Navikavamo se na to.)

1. U koju četvrtinu spada kut -345°?

2. U koju četvrtinu ulazi kut 666°?

3. U koju četvrtinu spada kut 5555°?

4. U koju četvrtinu spada kut -3700°?

5. Koji znak radicos999°?

6. Koji znak radictg999°?

I je li uspjelo? Predivno! Imamo problem? Onda ti.

odgovori:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Ovog puta odgovori su dati redom, kršeći tradiciju. Jer postoje samo četiri četvrtine, a postoje samo dva znaka. Nećete baš pobjeći...)

U sljedećoj lekciji ćemo govoriti o radijanima, o tajanstveni broj"pi", naučimo kako lako i jednostavno pretvoriti radijane u stupnjeve i obrnuto. I iznenadit ćemo se kad otkrijemo da će nam čak i ovo jednostavno znanje i vještine biti sasvim dovoljni za uspješno rješavanje mnogih netrivijalnih trigonometrijskih problema!

Kutak: ° π rad =

Pretvori u: radijane stupnjeve 0 - 360° 0 - 2π pozitivno negativno Izračunaj

Kada se linije sijeku, rezultat je četiri različitim područjima u odnosu na točku presjeka.
Ta nova područja nazivaju se kutovi.

Na slici su prikazana 4 različita kuta nastala sjecištem pravaca AB i CD

Kutovi se obično mjere u stupnjevima, što se označava kao °. Kada objekt napravi potpuni krug, to jest kreće se od točke D kroz B, C, A i zatim natrag do D, tada se kaže da se okrenuo za 360 stupnjeva (360°). Dakle, stupanj je $\frac(1)(360)$ kruga.

Kutovi veći od 360 stupnjeva

Razgovarali smo o tome kako kada objekt napravi puni krug oko točke, on ide za 360 stupnjeva, međutim, kada objekt napravi više od jednog kruga, on čini kut veći od 360 stupnjeva. Ovo je česta pojava u Svakidašnjica. Kotač za vrijeme kretanja automobila obilazi više krugova, odnosno zaklapa kut veći od 360°.

Da bismo saznali broj ciklusa (dovršenih krugova) prilikom rotacije objekta, brojimo koliko puta trebamo dodati 360 njemu da bismo dobili broj jednak ili manji od zadanog kuta. Na isti način nalazimo broj koji množimo s 360 da bismo dobili broj koji je manji, ali najbliži zadanom kutu.

Primjer 2
1. Odredite broj krugova opisanih predmetom koji tvori kut
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Riješenje
a) 380 = (1 × 360) + 20
Objekt je opisao jedan krug i 20°
Budući da je $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ krug
Objekt je opisao $1\frac(1)(18)$ krugova.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Objekt je opisao dva kruga i 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ krug
Predmet je opisao $2\frac(5)(36)$ kruga
c) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ krugova
Objekt je opisao $2\frac(7)(9)$ krugova

Kada se predmet okreće u smjeru kazaljke na satu, formira negativan kut rotacije, a kada se okreće suprotno od kazaljke na satu, formira pozitivan kut. Do ove točke razmatrali smo samo pozitivne kutove.

U obliku dijagrama, negativni kut može se prikazati kao što je prikazano u nastavku.

Na donjoj slici prikazan je predznak kuta koji se mjeri od zajedničke ravne linije, osi 0 (os x - os x)

To znači da ako postoji negativan kut, možemo dobiti odgovarajući pozitivni kut.
Na primjer, dno okomite crte je 270°. Kada se mjeri u negativnom smjeru, dobivamo -90°. Jednostavno oduzmemo 270 od 360. S obzirom na negativan kut, dodamo 360 da dobijemo odgovarajući pozitivni kut.
Kada je kut -360°, to znači da je objekt napravio više od jednog kruga u smjeru kazaljke na satu.

Primjer 3
1. Nađite odgovarajući pozitivni kut
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Odredite odgovarajući negativni kut od 80°, 167°, 330° i 1300°.
Riješenje
1. Kako bismo pronašli odgovarajući pozitivni kut, dodamo 360 vrijednosti kuta.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
To znači jedan krug u smjeru kazaljke na satu (360)
360 + (-310) = 50°
Kut je 360 + 50 = 410°

2. Da bismo dobili odgovarajući negativni kut, oduzimamo 360 od vrijednosti kuta.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (jedan krug završen)
940 - 360 = 580 (drugi krug završen)
580 - 360 = 220 (treći krug završen)
220 - 360 = -140°
Kut je -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Dakle, 1300° = -1220°

Radijan

Radijan je kut iz središta kružnice koji zatvara luk čija je duljina jednaka polumjeru kružnice. Ovo je mjerna jedinica za kutnu veličinu. Ovaj kut je približno 57,3°.
U većini slučajeva to se označava kao radostan.
Dakle, $1 rad \približno 57,3^(\circ)$

Polumjer = r = OA = OB = AB
Kut BOA jednak je jednom radijanu

Budući da je opseg zadan kao $2\pi r$, tada u krugu ima $2\pi$ polumjera, pa stoga u cijelom krugu ima $2\pi$ radijana.

Radijani se obično izražavaju u $\pi$ kako bi se izbjegle decimale u izračunima. U većini knjiga, skraćenica radostan ne pojavljuje, ali čitatelj bi trebao znati da kada govorimo o oko kuta, specificira se u $\pi$, a mjerne jedinice automatski postaju radijani.

360$^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Primjer 4
1. Pretvorite 240°, 45°, 270°, 750° i 390° u radijane pomoću $\pi$.
Riješenje
Pomnožimo kutove s $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Pretvorite sljedeće kutove u stupnjeve.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) 3,12$\pi$
c) 2,4 radijana
Riješenje
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) 3,12 $\pi = 3,12 \puta 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
2,4 $ = \frac(2,4 \puta 57,3)(1) = 137,52 $

Negativni kutovi i kutovi veći od $2\pi$ radijana

Da bismo negativni kut pretvorili u pozitivni, dodamo ga $2\pi$.
Da bismo pozitivni kut pretvorili u negativni, od njega oduzimamo $2\pi$.

Primjer 5
1. Pretvorite $-\frac(3)(4)\pi$ i $-\frac(5)(7)\pi$ u pozitivne kutove u radijanima.

Riješenje
Dodajte $2\pi$ kutu
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Kada se objekt rotira za kut veći od $2\pi$;, napravi više od jednog kruga.
Da bismo odredili broj okretaja (krugova ili ciklusa) u takvom kutu, nalazimo broj, množimo ga s $2\pi$, rezultat je jednak ili manji, ali što je moguće bliže ovom broju.

Primjer 6
1. Odredite broj krugova koje je predmet priješao pod zadanim kutovima
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Riješenje
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ implicira jedan ciklus u smjeru kazaljke na satu, to znači da
objekt je napravio 5 ciklusa u smjeru kazaljke na satu.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ pola ciklusa
objekt je napravio četiri i pol ciklusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu

c) $\frac(7)(2)\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ jednako je tri četvrtine ciklusa $(\frac(1,5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
objekt je prošao jednu i tri četvrtine ciklusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu

Brojanje kutova na trigonometrijskoj kružnici.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Gotovo je isto kao u prethodnoj lekciji. Tu su osi, krug, kut, sve je u redu. Dodani brojevi četvrtina (u uglovima velikog kvadrata) - od prve do četvrte. Što ako netko ne zna? Kao što vidite, četvrtine (također se nazivaju lijepa riječ"kvadranti") su numerirani u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Dodane vrijednosti kutova na osi. Sve je čisto, nema problema.

Dodana je i zelena strelica. S plusom. Što to znači? Dopustite mi da vas podsjetim da je fiksna stranica kuta Stalno pribijen na pozitivnu poluos OX. Dakle, ako zakrenemo pokretnu stranu kuta duž strelice s plusom, tj. uzlaznim redoslijedom četvrtinskih brojeva, kut će se smatrati pozitivnim. Kao primjer, na slici je prikazan pozitivan kut od +60°.

Odložimo li uglove u suprotnom smjeru, u smjeru kazaljke na satu, kut će se smatrati negativnim. Zadržite kursor iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu), vidjet ćete plavu strelicu sa znakom minus. Ovo je smjer očitanja negativnog kuta. Na primjer, prikazan je negativni kut (- 60°). A vidjet ćete i kako su se promijenili brojevi na osi... Također sam ih pretvorio u negativne kutove. Numeriranje kvadranata se ne mijenja.

Tu obično počinju prvi nesporazumi. Kako to!? Što ako se negativni kut na kružnici poklapa s pozitivnim!? I općenito, ispada da se isti položaj pomične strane (ili točke na brojevnoj kružnici) može nazvati i negativnim kutom i pozitivnim!?

Da. Točno. Recimo da pozitivni kut od 90 stupnjeva zauzima kružnicu točno isto položaj kao negativni kut od minus 270 stupnjeva. Pozitivan kut, na primjer, +110° stupnjeva točno isto položaj kao negativni kut -250°.

Nema problema. Sve je točno.) Odabir izračuna pozitivnog ili negativnog kuta ovisi o uvjetima zadatka. Ako stanje ne kaže ništa čistim tekstom o predznaku kuta, (kao "odredi najmanji pozitivan kut", itd.), tada radimo s vrijednostima koje nam odgovaraju.

Iznimka (a kako bismo bez njih?!) su trigonometrijske nejednakosti, ali tamo ćemo savladati ovaj trik.

A sada pitanje za vas. Kako sam znao da je položaj kuta od 110° isti kao položaj kuta od -250°?
Dopustite mi da nagovijestim da je ovo povezano s potpunom revolucijom. U 360°... Nije jasno? Zatim nacrtamo krug. Crtamo ga sami, na papiru. Označavanje kuta približno 110°. I mi mislimo, koliko vremena ostaje do pune revolucije. Ostat će samo 250°...

kužiš A sada - pozor! Ako kutovi 110° i -250° zauzimaju kružnicu isti situacija, što onda? Da, kutovi su 110° i -250° točno isto sinus, kosinus, tangens i kotangens!
Oni. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) i tako dalje. Sada je ovo stvarno važno! I samo po sebi, postoji mnogo zadataka u kojima trebate pojednostaviti izraze, a kao osnovu za kasnije svladavanje formula redukcije i drugih zamršenosti trigonometrije.

Naravno, uzeo sam 110° i -250° nasumce, čisto kao primjer. Sve ove jednakosti vrijede za sve kutove koji zauzimaju isti položaj na kružnici. 60° i -300°, -75° i 285°, i tako dalje. Odmah da napomenem da su kutovi u ovim parovima drugačiji. Ali imaju trigonometrijske funkcije - isto.

Mislim da razumijete što su negativni kutovi. Sasvim je jednostavno. Suprotno od kazaljke na satu - pozitivno brojanje. Usput – negativno. Kut smatrajte pozitivnim ili negativnim ovisi o nama. Od naše želje. Pa, i iz zadatka, naravno... Nadam se da razumijete kako se u trigonometrijskim funkcijama pomiču s negativnih kutova na pozitivne i natrag. Nacrtaj krug, približan kut, i vidi koliko nedostaje za puni krug, tj. do 360°.

Kutovi veći od 360°.

Pozabavimo se kutovima većim od 360°. Postoje li takve stvari? Postoje, naravno. Kako ih nacrtati u krug? Nema problema! Recimo da trebamo razumjeti u koju će četvrtinu pasti kut od 1000°? Lako! Napravimo jedan puni okret u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (kut koji smo dobili je pozitivan!). Premotali smo 360°. Pa idemo dalje! Još jedan okret - već je 720°. Koliko je ostalo? 280°. Nije dovoljno za puni okret... Ali kut je veći od 270° - a to je granica između treće i četvrte četvrtine. Stoga naš kut od 1000° pada u četvrtu četvrtinu. Svi.

Kao što vidite, prilično je jednostavno. Podsjećam vas još jednom da su kut od 1000° i kut od 280°, koje smo dobili odbacivanjem „dodatnih“ punih okretaja, strogo govoreći, drugačiji kutovi. Ali trigonometrijske funkcije ovih kutova točno isto! Oni. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280°, itd. Da sam sinus, ne bih primijetio razliku između ova dva ugla...

Zašto je sve ovo potrebno? Zašto trebamo pretvarati kutove iz jednog u drugi? Da, sve za istu stvar.) Da bismo pojednostavili izraze. Pojednostavljenje izraza je, zapravo, glavni zadatak školska matematika. Pa, usput, glava se trenira.)

Pa, vježbajmo?)

Odgovaramo na pitanja. Najprije one jednostavne.

1. U koju četvrtinu spada kut -325°?

2. U koju četvrtinu spada kut od 3000°?

3. U koju četvrtinu spada kut -3000°?

Imamo problem? Ili neizvjesnost? Idite na odjeljak 555, Vježbanje trigonometrijske kružnice. Eto, u prvoj lekciji ove vrlo " Praktični rad..." sve u detalje... In takav pitanja neizvjesnosti biti ne bi trebalo!

4. Koji predznak ima sin555°?

5. Koji predznak ima tg555°?

Jeste li odredili? Sjajno! Imate li kakvih nedoumica? Morate ići na odjeljak 555... Usput, tamo ćete naučiti crtati tangens i kotangens na trigonometrijski krug. Vrlo korisna stvar.

A sada su pitanja sofisticiranija.

6. Izraz sin777° svedi na sinus najmanjeg pozitivnog kuta.

7. Izraz cos777° reducirajte na kosinus najvećeg negativnog kuta.

8. Izraz cos(-777°) reducirajte na kosinus najmanjeg pozitivnog kuta.

9. Izraz sin777° svedi na sinus najvećeg negativnog kuta.

Što, pitanja 6-9 su vas zbunila? Naviknite se na to, na Jedinstvenom državnom ispitu ne možete pronaći takve formulacije ... Neka bude, prevest ću. Samo za tebe!

Riječi "donijeti izraz u..." znače transformirati izraz tako da njegovo značenje nije se promijenilo A izgled mijenjao prema zadatku. Dakle, u zadacima 6 i 9 moramo dobiti sinus unutar kojeg se nalazi najmanji pozitivni kut. Sve ostalo nije bitno.

Dat ću odgovore redom (kršeći naša pravila). Ali što da radite, samo su dva znaka, a samo su četiri četvrtine... Nećete se razmaziti.

6. grijeh57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin(-57°)

Pretpostavljam da su odgovori na pitanja 6-9 neke ljude zbunili. Posebno -sin(-57°), stvarno?) Doista, u elementarnim pravilima za računanje kutova ima mjesta za pogreške... Zato sam morao odraditi lekciju: “Kako odrediti predznake funkcija i zadati kutove na trigonometrijskoj kružnici?” U odjeljku 555. Tamo su obuhvaćeni zadaci 4 - 9. Dobro sortirano, sa svim zamkama. I oni su ovdje.)

U sljedećoj lekciji bavit ćemo se misterioznim radijanima i brojem "Pi". Naučimo kako jednostavno i ispravno pretvoriti stupnjeve u radijane i obrnuto. I bit ćemo iznenađeni kada otkrijemo da su ove osnovne informacije na stranici dosta je više riješiti neke prilagođene trigonometrijske probleme!