Najjednostavniji trigonometrijski identiteti
Kvocijent dijeljenja sinusa kuta alfa s kosinusom istog kuta jednak je tangensu tog kuta (Formula 1). Vidi i dokaz ispravnosti transformacije najjednostavnijih trigonometrijskih identiteta.
Kvocijent dijeljenja kosinusa kuta alfa sa sinusom istog kuta jednak je kotangensu istog kuta (Formula 2)
Sekans kuta jednako jedan, podijeljeno kosinusom istog kuta (Formula 3)
Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak je jedan (Formula 4). vidi i dokaz zbroja kvadrata kosinusa i sinusa.
Zbroj jedan i tangensa kuta jednak je omjeru jedan i kvadrata kosinusa tog kuta (Formula 5)
Jedan plus kotangens kuta jednak je kvocijentu jedan podijeljenom s kvadratom sinusa tog kuta (Formula 6)
Umnožak tangensa i kotangensa istog kuta jednak je jedan (Formula 7).
Pretvaranje negativnih kutova trigonometrijskih funkcija (parnih i neparnih)
Kako biste se riješili negativne vrijednosti stupnjeve mjere kuta pri izračunavanju sinusa, kosinusa ili tangensa, možete koristiti sljedeće trigonometrijske transformacije (identitete) temeljene na načelima parnog ili neparnog trigonometrijske funkcije.
Kao što se vidi, kosinus a sekans je ravnomjerna funkcija
, sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije.
Sinus negativan kut jednaki negativna vrijednost sinus istog pozitivan kut(minus sinus alfa).
Kosinus minus alfa dat će istu vrijednost kao kosinus alfa kuta.
Tangens minus alfa jednak je minus tangens alfa.
Formule za smanjenje dvostrukih kutova (sinus, kosinus, tangens i kotangens dvostrukih kutova)
Ako trebate podijeliti kut na pola, ili obrnuto, idite od dvostruki kut na jedan, možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:
Pretvorba dvostrukog kuta (sinus dvostrukog kuta, kosinus dvostrukog kuta i tangens dvostrukog kuta) u jednom se događa prema sljedećim pravilima:
Sinus dvostrukog kuta jednak dvostrukom umnošku sinusa i kosinusa jednog kuta
Kosinus dvostrukog kuta jednaka razlici između kvadrata kosinusa jednog kuta i kvadrata sinusa tog kuta
Kosinus dvostrukog kuta jednako dvostrukom kvadratu kosinusa jednog kuta minus jedan
Kosinus dvostrukog kuta jednako jedan minus dvostruki sinus na kvadrat jednostruki kut
Tangens dvostrukog kuta jednako je razlomku čiji je brojnik dvostruki tangens jednog kuta, a nazivnik je jednak jedan minus tangens na kvadrat jednog kuta.
Kotangens dvostrukog kuta jednak je razlomku čiji je brojnik kvadrat kotangensa jednog kuta minus jedan, a nazivnik je jednak dvostrukom kotangensu jednog kuta
Formule za univerzalnu trigonometrijsku supstituciju
Formule za pretvorbu u nastavku mogu biti korisne kada argument trigonometrijske funkcije (sin α, cos α, tan α) trebate podijeliti s dva i smanjiti izraz na vrijednost polovice kuta. Iz vrijednosti α dobivamo α/2.Te se formule nazivaju formule univerzalne trigonometrijske supstitucije. Njihova vrijednost leži u činjenici da se trigonometrijski izraz uz njihovu pomoć svodi na izražavanje tangensa polovice kuta, bez obzira na to koje trigonometrijske funkcije ( sincos tg ctg) su u početku bili u izrazu. Nakon toga, jednadžbu s tangensom pola kuta puno je lakše riješiti.
Trigonometrijski identiteti za transformacije polukuta
Sljedeće su formule za trigonometrijsku pretvorbu polovice kuta u njegovu cijelu vrijednost.Vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α/2 svodi se na vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α.
Trigonometrijske formule za zbrajanje kutova
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangens i kotangens zbroja kutova alfa i beta mogu se pretvoriti pomoću sljedećih pravila za pretvaranje trigonometrijskih funkcija:
Tangens zbroja kutova jednak je razlomku čiji je brojnik zbroj tangensa prvog i tangensa drugog kuta, a nazivnik je jedan minus umnožak tangensa prvog kuta i tangensa drugog kuta.
Tangens kutne razlike jednak je razlomku čiji je brojnik jednak razlici između tangensa kuta koji se smanjuje i tangensa kuta koji se oduzima, a nazivnik je jedan plus umnožak tangensa tih kutova.
Kotangens zbroja kutova jednak je razlomku čiji je brojnik jednak umnošku kotangensa ovih kutova plus jedan, a nazivnik je jednak razlici između kotangensa drugog kuta i kotangensa prvog kuta.
Kotangens kutne razlike jednak je razlomku, čiji je brojnik umnožak kotangenata ovih kutova minus jedan, a nazivnik jednak zbroju kotangensi tih kutova.
Ovi trigonometrijski identiteti prikladni su za korištenje kada trebate izračunati, na primjer, tangens od 105 stupnjeva (tg 105). Ako ga zamislite kao tg (45 + 60), tada možete koristiti dane identične transformacije tangente zbroja kutova, a zatim jednostavno zamijeniti tablične vrijednosti tangente 45 i tangente 60 stupnjeva.
Formule za pretvorbu zbroja ili razlike trigonometrijskih funkcija
Izrazi koji predstavljaju zbroj oblika sin α + sin β mogu se transformirati pomoću sljedećih formula:
Formule trostrukog kuta - pretvaranje sin3α cos3α tan3α u sinα cosα tanα
Ponekad je potrebno transformirati trostruku vrijednost kuta tako da argument trigonometrijske funkcije postane kut α umjesto 3α.U ovom slučaju možete koristiti formule za transformaciju trostrukog kuta (identitete):
Formule za pretvorbu umnoška trigonometrijskih funkcija
Ako postoji potreba za transformacijom umnoška sinusa različitih kutova, kosinusa različitih kutova ili čak umnoška sinusa i kosinusa, tada možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:
U tom će se slučaju umnožak funkcija sinusa, kosinusa ili tangensa različitih kutova pretvoriti u zbroj ili razliku.
Formule za redukciju trigonometrijskih funkcija
Trebate koristiti tablicu redukcije na sljedeći način. U retku odabiremo funkciju koja nas zanima. U stupcu je kut. Na primjer, sinus kuta (α+90) u sjecištu prvog retka i prvog stupca, saznajemo da je sin (α+90) = cos α.
U transformacije identiteta trigonometrijski izrazi Mogu se koristiti sljedeće algebarske tehnike: zbrajanje i oduzimanje identičnih članova; stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada; množenje i dijeljenje istom količinom; primjena formula za skraćeno množenje; dodjela puni kvadrat; raspad kvadratni trinom po množiteljima; uvođenje novih varijabli za pojednostavljenje transformacija.
Kada pretvarate trigonometrijske izraze koji sadrže razlomke, možete koristiti svojstva proporcija, smanjivanje razlomaka ili pretvaranje razlomaka u zajednički nazivnik. Osim toga, možete koristiti odabir cijelog dijela razlomka, množenjem brojnika i nazivnika razlomka s istim iznosom, a također, ako je moguće, uzeti u obzir homogenost brojnika ili nazivnika. Ako je potrebno, razlomak možete prikazati kao zbroj ili razliku nekoliko jednostavnijih razlomaka.
Osim toga, pri primjeni svih potrebnih metoda za pretvaranje trigonometrijskih izraza, potrebno je stalno voditi računa o površini prihvatljive vrijednosti konvertibilni izrazi.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1.
Izračunajte A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+
sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2
Riješenje.
Iz formula redukcije slijedi:
sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;
sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;
cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;
sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.
Odakle, na temelju formula za zbrajanje argumenata i glavnog trigonometrijskog identiteta, dobivamo
A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1
Odgovor: 1.
Primjer 2.
Pretvorite izraz M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ u umnožak.
Riješenje.
Iz formula za zbrajanje argumenata i formula za pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak nakon odgovarajućeg grupiranja imamo
M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).
Odgovor: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
Primjer 3.
Pokažite da izraz A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) uzima jedan za sve x iz R i isto značenje. Pronađite ovu vrijednost.
Riješenje.
Evo dva načina za rješavanje ovog problema. Primjenom prve metode, izdvajanjem potpunog kvadrata i korištenjem odgovarajućih osnovnih trigonometrijskih formula, dobivamo
A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
Rješavajući zadatak na drugi način, promatrajte A kao funkciju x iz R i izračunajte njegovu derivaciju. Nakon transformacija dobivamo
A´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =
Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =
Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =
Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.
Dakle, zbog kriterija konstantnosti funkcije diferencijabilne na intervalu, zaključujemo da
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R. 
Odgovor: A = 3/4 za x € R.
Glavne tehnike za dokazivanje trigonometrijskih identiteta su:
A) svođenje lijeve strane identiteta na desnu kroz odgovarajuće transformacije;
b) svođenje desne strane identiteta na lijevu;
V) svođenje desne i lijeve strane identiteta na isti oblik;
G) svodeći na nulu razliku između lijeve i desne strane identiteta koji se dokazuje.
Primjer 4.
Provjerite je li cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).
Riješenje.
Transformirajući desnu stranu ovog identiteta prema odgovarajućem trigonometrijske formule, imamo
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.
Desna strana identiteta svodi se na lijevu.
Primjer 5.
Dokažite da je sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, ako su α, β, γ unutarnji kutovi nekog trokuta.
Riješenje.
Uzimajući u obzir da su α, β, γ unutarnji kutovi nekog trokuta, dobivamo
α + β + γ = π i, prema tome, γ = π – α – β.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =
Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =
1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.
Izvorna jednakost je dokazana.
Primjer 6.
Dokažite da je potrebno i dovoljno da je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 da bi jedan od kutova α, β, γ trokuta bio jednak 60°.
Riješenje.
Uvjet ovog problema uključuje dokazivanje i nužnosti i dostatnosti.
Prvo dokažimo nužnost.
Može se pokazati da
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
Dakle, uzimajući u obzir da je cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, dobivamo da ako je jedan od kutova α, β ili γ jednak 60°, tada
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 i, prema tome, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Dokažimo sada adekvatnost navedeno stanje.
Ako je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, tada je cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, pa stoga
ili cos (3α/2) = 0, ili cos (3β/2) = 0, ili cos (3γ/2) = 0.
Stoga,
ili 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3, 
odnosno 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,
ili 3γ/2 = π/2 + πk,
oni. γ = π/3 + 2πk/3, gdje je k ϵ Z.
Iz činjenice da su α, β, γ kutovi trokuta, imamo
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
Prema tome, za α = π/3 + 2πk/3 ili β = π/3 + 2πk/3 ili
γ = π/3 + 2πk/3 od svih kϵZ samo je k = 0 prikladno.
Slijedi da je ili α = π/3 = 60°, ili β = π/3 = 60°, ili γ = π/3 = 60°.
Izjava je dokazana.
Još uvijek imate pitanja? Niste sigurni kako pojednostaviti trigonometrijske izraze?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Izvršava se za sve vrijednosti argumenta (iz općeg opsega).
Univerzalne formule zamjene.
Pomoću ovih formula lako je svaki izraz koji sadrži različite trigonometrijske funkcije jednog argumenta pretvoriti u racionalni izraz jedne funkcije tg (α /2):
Formule za pretvaranje zbroja u umnožak i umnoška u zbroj.
Prije su se gornje formule koristile za pojednostavljenje izračuna. Računali su pomoću logaritamskih tablica, a kasnije i kliznog pravila, budući da su logaritmi najprikladniji za množenje brojeva. Zato je svaki izvorni izraz sveden na oblik koji bi bio pogodan za logaritmiranje, odnosno na umnoške Na primjer:
2 grijeh α grijeh b = cos (α - b) - cos (α + b);
2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);
2 grijeh α cos b = grijeh (α - b) + grijeh (α + b).
gdje je kut za koji, posebno,
Formule za funkcije tangensa i kotangensa lako se dobivaju iz gore navedenog.
Formule za smanjenje stupnja.
|
sin 2 α = (1 - cos 2α)/2; |
cos 2 α = (1 + cos 2α)/2; |
|
grijeh 3α = (3 sinα - grijeh 3α )/4; |
cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4. |
Pomoću ovih formula trigonometrijske jednadžbe lako se svode na jednadžbe nižih potencija. Na isti način se izvode formule redukcije za više visoki stupnjevi grijeh I cos.
Izražavanje trigonometrijskih funkcija kroz jednu od njih istog argumenta.
Predznak ispred korijena ovisi o položaju četvrtine kuta α .
