Naš “Reshebnik” sadrži odgovore na sve zadatke i vježbe iz “ Didaktički materijali u algebri 8. razred“; Detaljno se raspravlja o metodama i načinima njihova rješavanja. “Reshebnik” je namijenjen isključivo roditeljima učenika za provjeru domaće zadaće i pomoć u rješavanju problema.
Iza kratko vrijeme roditelji mogu postati vrlo učinkoviti kućni učitelji.

Opcija 1 4

na polinom (ponavljanje) 4

S-2. Faktorizacija (ponavljanje) 5

S-3. Cijeli i frakcijski izrazi 6

S-4. Glavno svojstvo razlomka. Smanjenje razlomaka. 7

S-5; Smanjenje razlomaka (nastavak) 9

S isti nazivnici 10

S različite nazivnike 12

nazivnici (nastavak) 14

S-9. Množenje razlomaka 16

S-10. Dijeljenje razlomaka 17

S-11. Sve operacije s razlomcima 18

S-12. Funkcija 19

S-13. Racionalni i iracionalni brojevi 22

S-14. Aritmetički kvadratni korijen 23

S-15. Rješavanje jednadžbi oblika x2=a 27

S-16. Pronalaženje približnih vrijednosti

korijen 29

S-17. Funkcija y=d/x 30

Proizvod korijena 31

Kvocijent korijena 33

S-20. Kvadratni korijen potencije 34

S-21. Uklanjanje množitelja ispod znaka korijena Umetanje množitelja ispod znaka korijena 37

S-23. Jednadžbe i njihovi korijeni 42

Nepotpune kvadratne jednadžbe 43

S-25. Riješenje kvadratne jednadžbe 45

(nastavak) 47

S-27. Vietin teorem 49

S-28. Rješavanje problema pomoću

kvadratne jednadžbe 50

množitelji Bikvadratne jednadžbe 51

S-30. Razlomak racionalne jednadžbe 53

S-31. Rješavanje problema pomoću

racionalne jednadžbe 58

S-32. Uspoređivanje brojeva (ponavljanje) 59

S-33. Svojstva numeričkih nejednakosti 60

S-34. Zbrajanje i množenje nejednakosti 62

S-35. Dokaz nejednakosti 63

S-36. Procjena vrijednosti izraza 65

S-37. Procjena pogreške aproksimacije 66

S-38. Zaokruživanje brojeva 67

S-39. Relativna greška 68

S-40. Presjek i unija skupova 68

S-41. Intervali brojeva 69

S-42. Rješavanje nejednačina 74

S-43. Rješavanje nejednadžbi (nastavak) 76

S-44. Rješavanje sustava nejednadžbi 78

S-45. Rješavanje nejednačina 81

varijabla pod znakom modula 83

S-47. Stupanj s cijelim eksponentom 87

stupnjeva s cjelobrojnim eksponentom 88

S-49. Standardni prikaz broja 91

S-50. Snimanje približnih vrijednosti92

S-51. Elementi statistike 93

(ponavljanje) 95

S-53. Definicija kvadratna funkcija 99

S-54. Funkcija y=ax2 100

S-55. Graf funkcije y=ax2+bx+c 101

S-56. Riješenje kvadratne nejednakosti 102

S-57. Metoda intervala 105

Opcija 2 108

S-1. Pretvaranje cijelog izraza

na polinom (ponavljanje) 108

S-2. Faktoring (ponavljanje) 109

S-3. Cjelobrojni i razlomljeni izrazi 110

S-4. Glavno svojstvo razlomka.

Skraćivanje razlomaka 111

S-5. Smanjenje razlomaka (nastavak) 112

S-6. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

s istim nazivnicima 114

S-7. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

e različiti nazivnici 116

S-8. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim

nazivnici (nastavak) 117

S-9. Množenje razlomaka, 118

S-10. Dijeljenje razlomaka 119

S-11. Sve operacije s razlomcima 120

S-12. Funkcija 121

S-13. Racionalni i iracionalni brojevi 123

S-14. Aritmetički kvadratni korijen 124

S-15. Rješavanje jednadžbi oblika x2-a 127

S-16. Traženje približnih vrijednosti kvadratnog korijena 129
S-17. Funkcija y=\/x " 130

S-18. Kvadratni korijen umnoška.

Proizvod korijena 131

S-19. Kvadratni korijen razlomka.

Kvocijent korijena 133

S-20. Kvadratni korijen potencije 134

S-21. Uklanjanje množitelja ispod znaka korijena

Upisivanje množitelja ispod znaka korijena 137

S-22. Pretvaranje izraza

S-23. Jednadžbe i njihovi korijeni 141

S-24. Definicija kvadratne jednadžbe.

Nepotpune kvadratne jednadžbe 142

S-25. Rješavanje kvadratnih jednadžbi 144

S-26. Rješavanje kvadratnih jednadžbi

(nastavak) 146

S-27. Vietin teorem 148

S-28. Rješavanje problema pomoću

kvadratne jednadžbe 149

S-29. Raspad kvadratni trinom na

množitelji Bikvadratne jednadžbe 150

S-30. Razlomačke racionalne jednadžbe 152

S-31. Rješavanje problema pomoću

racionalne jednadžbe 157

S-32. Uspoređivanje brojeva (ponavljanje) 158

S-33. Svojstva numeričkih nejednakosti 160

S-34. Zbrajanje i množenje nejednakosti 161

S-35. Dokaz nejednakosti 162

S-36. Procjena vrijednosti izraza 163

S-37. Procjena pogreške aproksimacije 165

S-38. Zaokruživanje brojeva 165

S-39. Relativna greška 166

S-40. Presjek i unija skupova 166

S-41. Intervali brojeva 167
S-42. Rješavanje nejednadžbi 172

S-43. Rješavanje nejednadžbi (nastavak) 174

S-44. Rješavanje sustava nejednadžbi 176

S-45. Rješavanje nejednadžbi 179

S-46. Jednadžbe i nejednadžbe koje sadrže

varijabla pod znakom modula 181

S-47. Stupanj s cijelim indeksom 185

S-48. Pretvaranje izraza koji sadrže

stupnjeva s cjelobrojnim eksponentom 187

S-49. Standardni oblik broja 189

S-50. Snimanje približnih vrijednosti 190

S-51. Elementi statistike 192

S-52. Pojam funkcije. Graf funkcije

(ponavljanje) 193

S-53. Definicija kvadratne funkcije 197

S-54. Funkcija y=ax2 199

S-55. Graf funkcije y=ax24-bx+c 200

S-56. Rješavanje kvadratnih nejednadžbi 201

S-57. Metoda intervala 203

Testovi 206

Opcija 1 206

K-10 (finale) 232

Opcija 2 236

K-2A 238
K-ZA 242

K-9A (ukupno) 257

Završni pregled po temi 263

Jesenske olimpijske igre 274

Proljetne olimpijske igre 275

ALGEBRA
Lekcije za 9. razred

LEKCIJA #5

Predmet. Počlano zbrajanje i množenje nejednadžbi. Korištenje svojstava numeričkih nejednakosti za procjenu vrijednosti izraza

Svrha nastavnog sata: osigurati da učenici ovladaju sadržajem pojmova „zbrajati nejednakosti član po član” i „množiti nejednačine član po član”, kao i sadržajem svojstava numeričkih nejednakosti izraženih teoremima o članu. počlansko zbrajanje i počlansko množenje brojevnih nejednakosti i posljedice iz njih. Razviti sposobnost reproduciranja imenovanih svojstava brojčanih nejednakosti i korištenje tih svojstava za procjenu vrijednosti izraza, kao i nastaviti raditi na razvijanju vještina dokazivanja nejednakosti, uspoređivanja izraza pomoću definicije i svojstava brojčanih nejednakosti.

Vrsta lekcije: usvajanje znanja, razvoj primarnih vještina.

Vizualizacija i oprema: pomoćna bilješka br. 5.

Tijekom nastave

I. Organizacijska faza

Učitelj provjerava spremnost učenika za nastavu i priprema ih za rad.

II. Provjera domaće zadaće

Učenici nastupaju ispitni zadaci nakon čega slijedi provjera.

III. Formuliranje svrhe i ciljeva lekcije.
Motivacija obrazovne aktivnosti učenicima

Za svjesno sudjelovanje učenika u formuliranju svrhe lekcije, možete im ponuditi praktične probleme geometrijskog sadržaja (na primjer, procjena opsega i površine pravokutnika, čije su duljine susjednih stranica procijenjene u obliku dvostruke nejednakosti). Tijekom razgovora nastavnik treba usmjeriti razmišljanje učenika na činjenicu da, iako su zadaci slični onima koji su rješavani na prethodnom satu (v. lekciju br. 4, procijeniti značenje izraza), ipak, za razliku od spomenutih, zadaci su slični onima koji su rješavani u prethodnoj lekciji. ne mogu se riješiti na isti način, jer je potrebno procijeniti značenje izraza koji sadrže dva (a ubuduće i više) slova. Na taj način učenici uviđaju da postoji proturječnost između znanja koje su do sada usvojili i potrebe da se riješi određeni problem.

Rezultat obavljenog rada je formulacija svrhe lekcije: proučiti pitanje takvih svojstava nejednakosti koja se mogu primijeniti u slučajevima sličnim onima opisanim u predloženom zadatku za učenike; zašto je potrebno jasno formulirati matematički jezik i to u verbalnom obliku, a potom objasniti odgovarajuća svojstva brojevnih nejednadžbi i naučiti ih koristiti u kombinaciji s prethodno proučenim svojstvima brojevnih nejednadžbi za rješavanje standardnih zadataka.

IV. Obnavljanje temeljnih znanja i vještina učenika

Usmene vježbe

1. Usporedite brojeve a i bif:

1) a - b = -0,2;

2) a - b = 0,002;

3) a = b - 3;

4) a - b = m 2;

5) a = b - m 2.

3. Usporedite vrijednosti izraza a + b i ab, ako je a = 3, b = 2. Obrazložite svoj odgovor. Rezultirajući odnos će biti zadovoljen ako:

1) a = -3, b = -2;

2) a = -3, b = 2?

V. Generiranje znanja

Plan učenja novog gradiva

1. Svojstvo zbrajanja numeričkih nejednakosti (s finim podešavanjem).

2. Svojstvo množenja numeričkih nejednakosti po članu (s finim podešavanjem).

3. Posljedica. Svojstvo množenja numeričkih nejednakosti po članu (s prilagodbom).

4. Primjeri primjene dokazanih svojstava.

Dodatna napomena br. 5

Teorem (svojstvo) o počlanom zbrajanju brojčanih nejednakosti
Ako su a b i c d, onda je a + c b + d.
Završna obrada .
Teorem (svojstvo) o počlanom množenju brojčanih nejednakosti
Ako je 0 a b i 0 c d, tada je ac bd. Završna obrada . Posljedica. Ako je 0 a b, tada je an bn, gdje je n prirodan broj.
Završna obrada
			(prema teoremu o članu za član, množenje brojčanih nejednakosti).
Primjer 1. Poznato je da je 3 a 4; 2 b 3. Procijenimo vrijednost izraza: 1) a + b; 2) a - b; 3) b ; 4) .
		2) a - b = a + (-b) 2 b 31 ∙ (-1) 2 > -b > -3				(0) 2 b 3
Primjer 2. Dokažimo nejednakost (m + n)(mn + 1) > 4mn, ako je m > 0, n > 0.
Završna obrada Korištenje nejednakosti (gdje je a ≥ 0, b ≥ 0) i rezultirajuće nejednakosti a + b ≥ 2 (a ≥ 0, b ≥ 0), za m ≥ 0 i n ≥ 0 imamo:
m + n ≥ 2, (1) mn + 1 ≥ 2. (2)
Koristeći teorem o množenju nejednadžbi po članu, nejednadžbe (1) i (2) množimo po članu. Zatim imamo: (m + n )(mn + 1) ≥ 2∙ 2, (m + n )(mn + 1) ≥ 4, dakle, (m + n)(mn + 1) ≥ 4mn, gdje je m ≥ 0, n ≥ 0.

Metodički komentar

Za svjesnu percepciju novog gradiva, nastavnik može, u fazi ažuriranja osnovnih znanja i vještina učenika, ponuditi rješenja za usmene vježbe s reprodukcijom, odnosno definicije usporedbe brojeva i svojstava numeričkih nejednakosti proučavanih u prethodne lekcije (vidi gore), kao i razmatranje pitanja odgovarajućih svojstava numeričkih nejednakosti.

U pravilu studenti dobro svladavaju sadržaj teorema o počlanom zbrajanju i množenju brojčanih nejednakosti, no iskustvo iz rada pokazuje da su učenici skloni određenim lažnim generalizacijama. Stoga, kako bi se spriječile pogreške u razvijanju znanja učenika o ovom pitanju demonstracijom primjera i protuprimjera, nastavnik treba naglasiti sljedeće:

· svjesna primjena svojstava numeričkih nejednakosti nemoguća je bez sposobnosti da se ta svojstva zapišu matematičkim jezikom iu verbalnom obliku;

· teoremi o počlanom zbrajanju i množenju brojčanih nejednakosti zadovoljeni su samo za nepravilnosti istih predznaka;

· član po član zbrajanje numeričkih nejednakosti zadovoljeno je pod određenim uvjetom (vidi gore) za bilo koje brojeve, i član po član teorem množenja (u obliku navedenom u referentni sažetak br. 5) samo za pozitivne brojeve;

· ne proučavaju se teoremi o članskom oduzimanju i članskom dijeljenju brojčanih nejednakosti, stoga se u slučajevima kada je potrebno procijeniti razliku ili udio izraza ti izrazi prikazuju kao zbroj ili umnožak, odnosno, a zatim se pod određenim uvjetima koriste svojstva o članskom zbrajanju i množenju brojčanih nejednakosti.

VI. Formiranje vještina

Usmene vježbe

1. Zbrajajte nejednakost član po član:

1) a > 2, b > 3;

2) c -2, d 4.

Ili se iste nejednadžbe mogu množiti član po član? Obrazložite svoj odgovor.

2. Pomnožite nejednakosti član po član:

1) a > 2, b > 0,3;

2) c > 2, d > 4.

Ili se mogu dodati iste nepravilnosti? Obrazložite svoj odgovor.

3. Utvrdite i obrazložite je li točna tvrdnja da ako je 2 a 3, 1 b 2, onda je:

1) 3 a + b 5;

2) 2 ab 6;

3) 2 - 1 a - b 3 - 2;

Vježbe pisanja

Za ostvarenje didaktičkog cilja sata potrebno je riješiti zadatke sljedećeg sadržaja:

1) zbrojite i pomnožite te numeričke nejednakosti član po član;

2) procijeniti vrijednost zbroja, razlike, umnoška i kvocijenta dva izraza na temelju zadanih procjena svakog od tih brojeva;

3) procijeniti značenje izraza koji sadrže ova slova, prema zadanim ocjenama svakoga od tih slova;

4) dokazati nejednakost koristeći se teoremima o počlanom zbrajanju i množenju brojčanih nejednadžbi i koristeći klasične nejednadžbe;

5) ponoviti svojstva numeričkih nejednakosti proučenih u prethodnim lekcijama.

Metodički komentar

Pisane vježbe koje su ponuđene za rješavanje u ovoj fazi lekcije trebale bi pridonijeti razvoju stabilnih vještina zbrajanja i množenja nejednakosti u jednostavnim slučajevima. (Istodobno se razrađuje vrlo važna točka: provjera korespondencije pisanja nejednakosti u uvjetima teorema i ispravnog pisanja zbroja i produkta lijeve i desne strane nejednakosti. Pripremni rad provodi se tijekom usmenih vježbi.) Radi boljeg usvajanja gradiva od učenika treba zahtijevati da pri komentiranju radnji ponavljaju naučene teoreme.

Nakon što su učenici uspješno obradili teoreme u jednostavnim slučajevima, mogu postupno prijeći na one naprednije. složeni slučajevi(za procjenu razlike i kvocijenta dvaju izraza i složenijih izraza). U ovoj fazi rada nastavnik treba pažljivo pratiti da učenici ne dopuštaju tipične greške, pokušavajući napraviti razliku i procijeniti udio iza vlastitih lažnih pravila.

Također tijekom nastave (naravno, ako to vrijeme i stupanj ovladanosti gradivom učenika dopuštaju) pozornost treba posvetiti vježbama primjene proučenih teorema za dokazivanje složenijih nejednakosti.

VII. Sažetak lekcije
Testni zadatak

Poznato je da 4 a 5; 6 b 8. Pronađite netočne nejednadžbe i ispravite pogreške. Obrazložite svoj odgovor.

1) 10 a + b 13;

2) -4 a - b -1;

3) 24 ab 13;

4) ;

5) ;

7) 100 a2 + b 2 169?

VIII. Domaća zadaća

1. Proučiti teoreme o počlanom zbrajanju i množenju brojčanih nejednakosti (uz doradu).

2. Izvodite reproduktivne vježbe slične vježbama u učionici.

3. Za ponavljanje: vježbe za primjenu definicije uspoređivanja brojeva (za dovršavanje nepravilnosti i za uspoređivanje izraza).

35 povezuje atribute brojeva 3 i 5. Tri rezonira s vibracijama nadahnuća i radosti, entuzijazma i samoizražavanja. Ovo je trojstvo prošlosti, sadašnjosti i budućnosti; tijelo, um i duh. Osoba pod znakom trojke je energična, talentirana, poštena, ponosna i neovisna.

Pet dodaje udio emocionalnosti i slobodnog izbora ukupnoj vibraciji. Među nedostacima su pretjerana osjetljivost i česte promjene raspoloženja, čiji se negativni učinci kompenziraju optimizmom trojke. 35v u općim crtama personificira kreativnu energiju, povoljne prilike i želju za promjenom mjesta.

Povezanost brojeva i karaktera

Što broj 35 znači u sudbini osobe ako je određen datumom rođenja? To mu daje posebnu karizmu koja mu privlači prijatelje i pratitelje. Takvi ljudi uvijek su okruženi obožavateljima koji ih biraju za tu ulogu javna osoba ili neformalni vođa.

Negativna strana ove kombinacije brojeva je da osoba koristi svoj autoritet za osobno bogaćenje. Predstavnici 35 imaju slabo razvijenu duhovnu sferu. Zaraženi pragmatizmom i taštinom, sposobni su, bez obzira na lica, "ići preko glave" prema željenom cilju.

Čarobna svojstva

Mistično značenje 35 je zbog činjenice da predviđa susret sa smrtonosnim iskušenjem. Ozbiljne pogreške takvog testa možete izbjeći samo ako zadržite smirenost i razboritost.

Svete usporedbe broja mogu se naći u Bibliji, gdje se spominje 5 puta. Bilo je to trideset petog dana posta u pustinji kada je Lucifer prišao Isusu da ga iskuša.

Što znači broj 35 ako se često pojavljuje?

Ako vas vaši anđeli čuvari tjeraju da vidite 35 cijelo vrijeme, oni pokazuju da ne postižete svoje ciljeve. Pošteni ste i marljivi, ali sreća vas mimoilazi.

Suočavate se s bezbrojnim preprekama i zbunjujete svoju budućnost. Vladar broja 35, planet Saturn, ima takav utjecaj na vaš život. Njegovo skriveno djelovanje očituje se kroz broj 8 koji se dobiva zbrajanjem 3 i 5. Možda izmičete svojoj sudbini i igrate tuđu ulogu. Kako biste pronašli svoj pravi poziv, osluškujte što vaša duša traži i slijedite njen neizrečeni poziv.

U ovom ćemo članku ispitati, prvo, što se podrazumijeva pod procjenom vrijednosti izraza ili funkcije, i, drugo, kako se procjenjuju vrijednosti izraza i funkcija. Prvo uvodimo potrebne definicije i pojmove. Nakon toga ćemo detaljno opisati glavne metode za dobivanje procjena. Usput ćemo dati rješenja tipičnih primjera.

Što znači procijeniti značenje izraza?

U školskim udžbenicima nismo uspjeli pronaći eksplicitan odgovor na pitanje što se podrazumijeva pod vrednovanjem značenja izraza. Pokušajmo to sami shvatiti, počevši od onih informacija o ovoj temi koje se još uvijek nalaze u udžbenicima i zbirkama problema za pripremu za Jedinstveni državni ispit i upis na sveučilišta.

Pogledajmo što o temi koja nas zanima možemo pronaći u knjigama. Evo nekoliko citata:

Prva dva primjera uključuju procjene brojeva i numeričkih izraza. Ovdje imamo posla s vrednovanjem jedne jedine vrijednosti izraza. Preostali primjeri uključuju procjene vezane uz izraze s varijablama. Svaka vrijednost varijable iz ODZ za izraz ili iz nekog skupa X koji nas zanima (koji je, naravno, podskup domene prihvatljive vrijednosti) odgovara svojoj vrijednosti izraza. To jest, ako se ODZ (ili skup X) ne sastoji od jednina, tada izraz s varijablom odgovara skupu vrijednosti izraza. U ovom slučaju, moramo govoriti o vrednovanju ne samo jedne pojedinačne vrijednosti, već o vrednovanju svih vrijednosti izraza na ODZ (ili skupu X). Takva se procjena događa za bilo koju vrijednost izraza koja odgovara nekoj vrijednosti varijable iz ODZ (ili skupa X).

U razgovoru smo malo predahnuli u traženju odgovora na pitanje što znači vrednovati značenje izraza. Gornji primjeri nas unapređuju u ovoj stvari i omogućuju nam da prihvatimo sljedeće dvije definicije:

Definicija

Odredite vrijednost brojevnog izraza– to znači označavanje numeričkog skupa koji sadrži vrijednost koja se procjenjuje. U ovom slučaju, navedeni numerički skup bit će procjena vrijednosti numeričkog izraza.

Definicija

Procijenite vrijednosti izraza s varijablom na ODZ (ili na skupu X) - to znači označavanje numeričkog skupa koji sadrži sve vrijednosti koje izraz na ODZ (ili na skupu X) ima. U ovom slučaju, navedeni skup će biti procjena vrijednosti izraza.

Lako je vidjeti da se za jedan izraz može odrediti više od jedne procjene. Na primjer, brojčani izraz može se procijeniti kao , ili , ili , ili , itd. Isto vrijedi i za izraze s varijablama. Na primjer, izraz na ODZ može se procijeniti kao , ili , ili itd. S tim u vezi, vrijedno je pisanim definicijama dodati pojašnjenje u vezi s navedenim brojčanim skupom, koji je procjena: procjena ne bi trebala biti bilo kakva, ona bi trebala odgovarati namjeni za koju je pronađena. Na primjer, riješiti jednadžbu odgovarajuću procjenu . Ali ova procjena više nije prikladna za rješavanje jednadžbe , evo značenja izraza morate ga procijeniti drugačije, na primjer ovako: .

Vrijedno je posebno napomenuti da jedna od procjena vrijednosti izraza f(x) je raspon vrijednosti odgovarajuće funkcije y=f(x).

Za kraj, obratimo pozornost na obrazac za upisivanje ocjena. Obično se procjene pišu pomoću nejednakosti. Vjerojatno ste ovo već primijetili.

Procjena vrijednosti izraza i procjena vrijednosti funkcije

Po analogiji s procjenom vrijednosti izraza, možemo govoriti o procjeni vrijednosti funkcije. Ovo izgleda sasvim prirodno, pogotovo ako imamo na umu funkcije definirane formulama, jer je procjena vrijednosti izraza f(x) i procjena vrijednosti funkcije y=f(x) u biti ista stvar, što je očito. Štoviše, često je prikladno opisati proces dobivanja procjena u smislu procjene vrijednosti funkcije. Konkretno, u određenim slučajevima dobivanje procjene izraza provodi se pronalaženjem najveće i najmanje vrijednosti odgovarajuće funkcije.

O točnosti procjena

U prvom odlomku ovog članka rekli smo da izraz može imati višestruko vrednovanje svog značenja. Jesu li neki od njih bolji od drugih? Ovisi o problemu koji se rješava. Objasnimo na primjeru.

Na primjer, korištenjem metoda za procjenu vrijednosti izraza, koje su opisane u sljedećim paragrafima, možete dobiti dvije procjene vrijednosti izraza : prvi je , drugi je . Napor potreban za dobivanje ovih procjena značajno varira. Prva od njih je praktički očita, a dobivanje druge procjene uključuje pronalaženje najniža vrijednost radikalno izražavanje i daljnje korištenje svojstva monotonosti funkcije kvadratnog korijena. U nekim slučajevima bilo koja od procjena može riješiti problem. Na primjer, bilo koja od naših procjena omogućuje nam rješavanje jednadžbe . Jasno je da bismo se u ovom slučaju ograničili na pronalaženje prve očite procjene i, naravno, ne bismo se trudili pronaći drugu procjenu. Ali u drugim slučajevima može se pokazati da jedna od procjena nije prikladna za rješavanje problema. Na primjer, naša prva procjena ne dopušta rješavanje jednadžbe , i procjena omogućuje vam da to učinite. Odnosno, u ovom slučaju nam prva očita procjena ne bi bila dovoljna, već bismo morali pronaći drugu procjenu.

To nas dovodi do pitanja točnosti procjena. Moguće je detaljno definirati što se podrazumijeva pod točnošću procjene. Ali za naše potrebe nema posebne potrebe za tim; pojednostavljena predodžba o točnosti procjene bit će nam dovoljna. Složimo se da točnost procjene doživljavamo kao neku analogiju aproksimacijska točnost. Odnosno, uzmimo onu koja je "bliža" rasponu vrijednosti funkcije y=f(x) točnijom od dvije procjene vrijednosti nekog izraza f(x). U tom smislu ocjena je najtočnija od svih mogućih procjena vrijednosti izraza , budući da se podudara s rasponom vrijednosti odgovarajuće funkcije . Jasno je da procjena točnije procjene . Drugim riječima, rezultat grublje procjene .

Ima li smisla uvijek tražiti najtočnije procjene? Ne. A poanta je da su relativno grube procjene često dovoljne za rješavanje problema. A glavna prednost takvih procjena nad točnim procjenama je da ih je često mnogo lakše dobiti.

Osnovne metode za dobivanje procjena

Procjene vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija

Procjena vrijednosti funkcije y=|x|

Pored glavnog elementarne funkcije, dobro proučen i koristan u smislu dobivanja procjena funkcija y=|x|. Znamo raspon vrijednosti ove funkcije: ; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; uredio A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str.: ilustr.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Matematika. Povećana razina Jedinstvenog državnog ispita-2012 (C1, C3). Predmetni testovi. Jednadžbe, nejednakosti, sustavi / uredili F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. - Rostov-on-Don: Legion-M, 2011. - 112 str. - (Priprema za jedinstveni državni ispit) ISBN 978-5-91724-094-7

Kolekcija zadaci iz matematike za one koji upisuju sveučilišta (s rješenjima). U 2 knjige. Knjiga 1. Algebra: Udžbenik. priručnik / V. K. Egerev, V. V. Zaitsev, B. A. Kordemsky i drugi; uredio M. I. Scanavi. - 8. izdanje, rev. - M.: Viši. škola, 1998. - 528 str.: ilustr. ISBN 5-06-003524-7