TEMA SATA: Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi

Svrha lekcije: pokazati algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću jedinične kružnice.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni – osigurati ponavljanje i usustavljivanje gradiva teme; stvarati uvjete za praćenje stjecanja znanja i vještina;

Razvojni - promicati formiranje vještina za primjenu tehnika: usporedba, generalizacija, prepoznavanje glavne stvari, prijenos znanja u novu situaciju, razvoj matematičkih horizonata, razmišljanja i govora, pažnje i pamćenja;

Obrazovni – poticati interes za matematiku i njezinu primjenu, aktivnost, pokretljivost, komunikacijske vještine i opću kulturu.

Znanja i vještine učenika:
- poznavati algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi;

Biti u stanju riješiti jednostavne trigonometrijske nejednadžbe.

Oprema: interaktivna ploča, prezentacija za sat, kartice sa zadacima za samostalan rad.

TIJEKOM NASTAVE:
1. Organiziranje vremena (1 minuta)

Predlažem riječi Sukhomlinskog kao moto lekcije: „Danas učimo zajedno: ja, vaš učitelj i vi ste moji učenici. Ali u budućnosti učenik mora nadmašiti učitelja, inače neće biti napretka u znanosti.”

2. Zagrijte se. Diktat "točno - netočno"

3. Ponavljanje

Za svaku opciju - zadatak na slajdu, nastavite svaki unos. Trajanje 3 min.

Provjerimo ovaj naš rad pomoću tablice s odgovorima na ploči.

Kriterij ocjenjivanja:“5” - svih 9 “+”, “4” - 8 “+”, “3” - 6-7 “+”

4. Obnavljanje znanja učenika(8 min)
Danas u nastavi moramo naučiti pojam trigonometrijskih nejednadžbi i ovladati vještinama rješavanja takvih nejednadžbi.
– Prvo se prisjetimo što je jedinična kružnica, radijanska mjera kuta i kako je kut rotacije točke na jediničnoj kružnici povezan s radijanskom mjerom kuta. (rad s prezentacijom)

Jedinični krug je kružnica polumjera 1 i središte u ishodištu.

Kut koji čine pozitivni smjer osi OX i zraka OA naziva se kut zakreta. Važno je zapamtiti gdje su 0 kutovi; 90; 180; 270; 360.

Ako A pomaknemo suprotno od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi.

Ako A pomaknemo u smjeru kazaljke na satu, dobivamo negativni kutovi.

sos t je apscisa točke na jediničnoj kružnici, sin t je ordinata točke na jediničnoj kružnici, t je zakretni kut s koordinatama (1;0).
5 . Objašnjenje novog gradiva (17 min.)
Danas ćemo se upoznati s najjednostavnijim trigonometrijskim nejednadžbama.
Definicija.
Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe su nejednadžbe oblika:

Dečki će nam reći kako riješiti takve nejednakosti (prezentacija projekata učenika s primjerima). Učenici zapisuju definicije i primjere u svoje bilježnice.

Tijekom izlaganja učenici objašnjavaju rješenje nejednadžbe, a učitelj dopunjuje crteže na ploči.
Nakon izlaganja studenata dan je algoritam za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi. Učenici na ekranu vide sve faze rješavanja nejednadžbe. To potiče vizualno pamćenje algoritma za rješavanje zadanog problema.

Algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti pomoću jedinične kružnice:
1. Na osi koja odgovara zadanoj trigonometrijska funkcija, označite zadanu numeričku vrijednost ove funkcije.
2. Nacrtajte ravnu liniju kroz označenu točku koja se siječe jedinični krug.
3. Odaberite točke sjecišta pravca i kruga, vodeći računa o strogom ili nestrogom znaku nejednakosti.
4. Odaberite luk kružnice na kojoj se nalaze rješenja nejednadžbe.
5. Odredite vrijednosti kutova na početnoj i krajnjoj točki kružnog luka.
6. Zapišite rješenje nejednadžbe uzimajući u obzir periodičnost zadane trigonometrijske funkcije.
Za rješavanje nejednakosti s tangensom i kotangensom koristan je koncept linije tangensa i kotangenata. To su pravci x = 1, odnosno y = 1, koji dodiruju trigonometrijsku kružnicu.
6. Praktični dio(12 min)
Za uvježbavanje i učvršćivanje teoretskog znanja, rješavat ćemo male zadatke. Svaki učenik dobiva kartice sa zadacima. Nakon što ste riješili nejednadžbe, trebate odabrati odgovor i zapisati njegov broj.

7. Osvrt na aktivnosti na satu
-Što nam je bio cilj?
- Navedite temu lekcije
- Uspjeli smo upotrijebiti poznati algoritam
- Analizirajte svoj rad na satu.

8. Domaća zadaća(2 minute)

Riješite nejednadžbu:

9. Sažetak lekcije(2 minute)

Predlažem završiti lekciju riječima Y.A. Komenskog: "Smatraj nesretnim onaj dan ili sat u kojem nisi naučio ništa novo i nisi ništa dodao svom obrazovanju."

Model lekcije na temu:

"Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi"

u sklopu realizacije regionalne komponente iz matematike

za učenike 10. razreda.

Pomykalova

Elena Viktorovna

profesorica matematike

Općinska obrazovna ustanova Srednja škola sela Voskhod

okrug Balashovski

Saratovska regija

Svrha lekcije.

1. Rezimirati teorijsko znanje na temu: “Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi” ponoviti osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.

2. Razvijati kvalitete mišljenja: fleksibilnost, fokus, racionalnost. Organizirati rad učenika na navedenoj temi na razini koja odgovara razini već formiranog znanja.

3. Njegujte točnost bilježaka, kulturu govora i samostalnost.

Vrsta lekcije: sat uopćavanja i sistematiziranja znanja stečenog tijekom proučavanja ove teme.

Nastavne metode: generalizacija sustava, test provjere razine znanja, rješavanje problema generalizacije.

Oblici organizacije nastave: frontalni, pojedinačni.

Oprema: Računalo , multimedijski projektor, listovi za odgovore, kartice sa zadacima, tablica formula za korijene trigonometrijskih jednadžbi.

Tijekom nastave.

ja . Početak lekcije

Nastavnik obavještava učenike o temi lekcije, svrsi, te im skreće pozornost na materijale.

II . Praćenje znanja učenika

1) Usmeni rad (Zadatak se projicira na platno)

Izračunati:

A) ;

b) ;

V) ;

G) ;

d) ;
e) .

2) Frontalno anketiranje učenika.

Koje se jednadžbe nazivaju trigonometrijskim?

Koje vrste trigonometrijskih jednadžbi poznajete?

Koje se jednadžbe nazivaju najjednostavnijim trigonometrijskim jednadžbama?

Koje se jednadžbe nazivaju homogenima?

Koje se jednadžbe nazivaju kvadratnim?

Koje se jednadžbe nazivaju nehomogenima?

Koje metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi poznajete?

Nakon što učenici odgovore, na ekranu se projiciraju neki načini rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Uvođenje nove varijable:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.№2. tg + 3ctg = 4.

Neka sinx = t, |t|≤1, Neka tg = z,

Imamo: 2 t² – 5 t + 2 = 0. Imamo: z + = 4.

2. Faktorizacija :

2 sinxcos 5 x – cos 5 x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Imamo : cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; ...

3. Homogene trigonometrijske jednadžbe:

ja stupnjeva II stupnjeva

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Podijelite po cosx≠ 0. 1) ako je a ≠ 0, podijelite scos² x ≠ 0

Imamo : a tgx + b = 0; ...imamo : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) ako je a = 0, tada je

imamo: bsinxcosx + ccos² x =0;…

4. Nehomogene trigonometrijske jednadžbe:

Jednadžbe oblika: asinx + bcosx = c

4 sinx + 3 cosx = 5.

(Pokaži dva načina)

1) korištenje univerzalne supstitucije:

sinx = (2 tgx/2) / (1 + tg 2 x/2);

cosx = (1– tg 2 x/2) / (1 + tg 2 x/2);

2) uvođenjem pomoćnog argumenta:

4 sinx + 3 cosx = 5

Podijelite obje strane s 5:

4/5 sinx + 3/5 cosx = 1

Budući da je (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1, neka je 4/5 = grijehφ; 3/5= cosφ, gdje je 0< φ < π /2, dakle

grijehφsinx + cosφcosx = 1

cos(x – φ ) = 1

x – φ = 2 πn, n € Z

x = 2 πn + φ , n € Z

φ = arccos 3/5 znači x = arcos 3/5 +2 πn, n € Z

Odgovor: arccos 3/5 + 2 πn, n € Z

3) Rješavanje jednadžbi pomoću formula za redukciju stupnja.

4) Primjena formula dvostrukog i trostrukog argumenta.

a) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x +cos2x = cos6x

III . Izvođenje ispitni zadatak

Nastavnik traži od učenika da primijene upravo formulirane teorijske činjenice za rješavanje jednadžbi.

Zadatak se izvodi u obliku testa. Učenici ispunjavaju obrazac za odgovore koji se nalazi na njihovim stolovima.

Zadatak se projicira na platno.

Predložite način da se to riješi trigonometrijska jednadžba:

1) svođenje na kvadrat;

2) svođenje na homogenost;

3) rastavljanje na faktore;

4) smanjenje stepena;

5) pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak.

Obrazac za odgovor.

Opcija ja

Jednadžba

Rješenja

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 ko s²x- cosx– 1 = 0

2 grijeh² x / 2 +cosx=1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

Opcija II

Jednadžba

Rješenja

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x - cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11 sin²x = 3

sin3x = sin17x

odgovori:

Opcija ja Opcija II

IV . Ponavljanje formula za rješavanje jednadžbi

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi.

Su česti

Privatna

Jednadžba

Formula korijena

Jednadžba

Formula korijena

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1) n arcsin a + πk,

kє Z

1. sinx = 0

x = πk, kє Z

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk,

kє Z

2. sinx = 1

x = + 2πk, k є Z

3. tg x = a

x = arctan a + πk, kє Z

3. sinx = –1

x = – + 2πk, k є Z

4.ctg x = a

x = arcctg a + πk,kє Z

4. cosx = 0

x = + πk, k є Z

5. cosx = 1

x = 2πk, k є Z

6. cosx = –1

x = π + 2πk, k є Z

Usmeni rad na rješavanju jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi

Nastavnik traži od učenika da primijene upravo formulirane teorijske činjenice za rješavanje jednadžbi. Na platnu se projicira simulator za usmeni rad na temu: “Trigonometrijske jednadžbe”.

Riješite jednadžbe.

grijehx = 0

cosx = 1

tan x = 0

ctg x = 1

sin x = - 1 / 2

sin x = 1

cos x = 1 / 2

sin x = - √3 / 2

cos x = √2 / 2

grijeh x = √2 / 2

cos x = √3 / 2

tan x = √3

grijeh x = 1 / 2

sin x = -1

cos x = - 1 / 2

grijeh x = √3 / 2

tan x = -√3

ctg x = √3 / 3

ten x = - √3 / 3

krevetić x = -√3

cos x – 1 =0

2 sin x – 1 =0

2ctg x + √3 = 0

V . Rješavanje primjera.

Kartice sa zadacima podijeljene su na svaki stol, jedna je na učiteljevom stolu za učenike koji dolaze pred ploču.

№1. Nađite aritmetičku sredinu svih korijena jednadžbe , zadovoljavajući uvjet ;

Riješenje.

Nađite aritmetičku sredinu svih korijena dana jednadžba od između .

.

Odgovor: a) .

№2 . Riješite nejednadžbu .

Riješenje.

,

,

.

Odgovor:

№3. Riješite jednadžbu .

(Zajedno odredite način rješavanja problema)

Riješenje.

Ocijenimo desnu i lijevu stranu posljednje jednakosti.

Dakle, jednakost vrijedi ako i samo ako vrijedi sustav

Odgovor: 0,5

VI . Samostalni rad

Nastavnik daje zadatke za samostalan rad. Kartice su pripremljene prema razinama težine.

Pripremljeniji učenici mogu dobiti kartice sa zadacima povećanog stupnja složenosti.

Učiteljica je učenicima 2. skupine podijelila kartice sa zadacima osnovna razina poteškoće.

Za učenike 3. skupine nastavnik je sastavio kartice sa zadacima osnovne razine složenosti, no to su u pravilu učenici slabije matematičke pripreme, koji zadatke mogu rješavati uz nadzor nastavnika.

Uz zadatke studenti dobivaju obrasce za izradu zadataka.

1 grupa

Opcija #1 (1)

1. Riješite jednadžbu

2. Riješite jednadžbu .

Opcija #2 (1)

1. Riješite jednadžbu .

2. Riješite jednadžbu .

2. skupina

Opcija #1 (2)

1. Riješite jednadžbu .

2. Riješite jednadžbu .

Tema “Trigonometrijske nejednadžbe” učenicima 10. razreda objektivno je teška za percipiranje i shvaćanje. Stoga je vrlo važno dosljedno, od jednostavnog prema složenom, razvijati razumijevanje algoritma i razvijati stabilnu vještinu rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi.

U članku je prikazan algoritam za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi i sažetak lekcije u kojoj se savladavaju složenije vrste trigonometrijskih nejednadžbi.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Ščalpegina I.V.

Tema “Trigonometrijske nejednadžbe” učenicima 10. razreda objektivno je teška za percipiranje i shvaćanje. Stoga je vrlo važno dosljedno, od jednostavnog prema složenom, razvijati razumijevanje algoritma i razvijati stabilnu vještinu rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi.

Uspjeh u svladavanju ove teme ovisi o poznavanju osnovnih definicija i svojstava trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija, poznavanju trigonometrijskih formula, sposobnosti rješavanja cjelobrojnih i razlomačkih racionalnih nejednadžbi te glavnih vrsta trigonometrijskih jednadžbi.

Poseban naglasak treba staviti na način poučavanja rješenja protozoa trigonometrijske nejednakosti, jer svaka trigonometrijska nejednadžba svodi se na rješavanje najjednostavnijih nejednadžbi.

Poželjno je uvesti primarnu ideju o rješavanju jednostavnih trigonometrijskih nejednakosti pomoću grafova sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. I tek onda naučite rješavati trigonometrijske nejednakosti na kružnici.

Zadržat ću se na glavnim fazama zaključivanja pri rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti.

1. Na kružnici nalazimo točke čiji je sinus (kosinus) jednak zadanom broju.
2. U slučaju stroge nejednakosti te točke na kružnici označavamo kao punktirane, a u slučaju nestroge nejednakosti označavamo ih kao osjenčane.
3. Točka koja leži naglavni interval monotonijesinusne (kosinusne) funkcije, nazvane P t1, još jedna točka - P t2.
4. Na sinusnoj (kosinusnoj) osi označimo interval koji zadovoljava tu nejednadžbu.
5. Odaberemo luk na kružnici koji odgovara tom intervalu.
6. Određujemo smjer kretanja duž luka (od točke P t1 do točke P t2 duž luka ), nacrtamo strelicu u smjeru kretanja iznad koje upišemo znak “+” ili “-”, ovisno o smjeru kretanja. (Ova faza je važna za praćenje pronađenih kutova. Učenici mogu ilustrirati čestu pogrešku traženja granica intervala na primjeru rješavanja nejednadžbe na rasporedu sinus ili kosinus i po obodu).
7. Određivanje koordinata točaka P t1 (kao arksinus ili arkkosinus danog broja) i R t2 oni. granice intervala, ispravnost nalaženja kutova kontroliramo usporedbom t 1 i t 2.
8. Odgovor zapisujemo u obliku dvostruke nejednadžbe (ili razmaka) od manjeg kuta prema većem.

Obrazloženje za rješavanje nejednakosti s tangensom i kotangensom je slično.

Crtanje i zapis rješenja, koje treba prikazati u učeničkim bilježnicama, dani su u predloženom nacrtu.

Sažetak lekcije na temu: "Rješavanje trigonometrijskih nejednakosti."

Cilj lekcije – nastaviti proučavati rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi koje sadrže funkcije sinus i kosinus, prijeći s najjednostavnijih nejednadžbi na složenije.

Ciljevi lekcije:

1. učvršćivanje znanja o trigonometrijskim formulama, tabličnim vrijednostima trigonometrijskih funkcija, formulama za korijene trigonometrijskih jednadžbi;
2. razvijanje vještine rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi;
3. ovladavanje tehnikama rješavanja složenijih trigonometrijskih nejednadžbi;
4. razvoj logičkog mišljenja, semantičkog pamćenja, vještina samostalnog rada, samotestiranja;
5. poticanje točnosti i jasnoće u formuliranju rješenja, zanimanje za predmet, poštovanje kolega iz razreda.
6. formiranje obrazovnih, kognitivnih, informacijskih i komunikacijskih kompetencija.

Oprema: grafički projektor, kartice s gotovim crtežima trigonometrijske kružnice, prijenosna ploča, kartice s domaćim zadaćama.

Oblik organizacija treninga – sat. Metode nastava koja se koristi u nastavi - verbalna, vizualna, reproduktivna, problemsko-tražilačka, individualno i frontalno ispitivanje, usmena i pismena samokontrola, samostalan rad.

N p/p	Faze lekcije.
	Organiziranje sata za rad.
	Ispitivanje domaća zadaća.	(Skupljanje bilježnica uz domaću zadaću)
	Izjava o svrsi lekcije.	Danas ćemo u lekciji ponoviti rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi i razmotriti složenije slučajeve.
	Usmeni rad.	(Zadaci i odgovori su ispisani na vrpci za grafoskop, odgovore otvaram dok ih rješavam) Riješite trigonometrijske jednadžbe: sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x -) = 0, cosx = , cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1. Navedite glavne intervale monotonosti funkcija sinus i kosinus.
	Ponavljanje.	Prisjetimo se algoritma za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi. (Na ploči su praznine od dva kružića. Prozivam dva učenika jednog po jednog da rješavaju nejednadžbe. Učenik detaljno objašnjava algoritam rješavanja. Razred radi zajedno s onima koji odgovaraju na ploči na unaprijed pripremljenim karticama sa slikom kruga). 1) sinx ≥ -; t 1  t 2 ; t 1 = arcsin(-) = -; t 2 =  + = ; 2) cosx ≥ -; t 1  t 2 ; t 1 = arccos(-) =  - arccos = =  - = ; t2 = -; 2  n ≤ x ≤ + 2  n, n  Z. Kako rješenje stroge nejednadžbe utječe na odgovor? (3) i 4) dva učenika rješavaju nejednadžbe na grafoskopu, razred ih rješava samostalno na karticama). 3) cosx  ; t 1  t 2 ; t 1 = arccos = ; t 2 = 2  - = ; 4) sinx  ; t 1  t 2 ; t 1 = arcsin = ; t 2 = -  - = -; 2  n  x  + 2  n, n  Z. Zamijenite opcije, uzmite olovku druge boje, provjerite rad svog prijatelja. (Samoprovjera s vrpce za grafoskop. Učenik koji rješava zadatak komentira rješenje. Nakon vraćanja rada refleksija). Kako se mijenja rješenje nejednadžbe kada se argument x zamijeni s 2x, s? (Ocjenjivanje rada učenika).
	Novi materijal.	Prijeđimo na složenije trigonometrijske nejednadžbe, čije će se rješavanje svesti na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi. Pogledajmo primjere. (Rješavanje nejednačina na ploči uz vodstvo učitelja). broj 1. cos 2 2x – 2cos2x ≥ 0. (Prisjetimo se tehnike rješavanja trigonometrijskih jednadžbi stavljanjem zajedničkog faktora izvan zagrada). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Zamjena: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0;Druga nejednakost ne zadovoljava uvjet ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Sami riješite nejednadžbu. Provjerite odgovor). Odgovor: +  n  x  +  n, n  Z. broj 2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Prisjetiti se tehnike rješavanja trigonometrijskih jednadžbi promjenom varijable. Učenik rješava na ploči uz komentar). Zamjena sinx = t, ≤ 1. 6t 2 – 5t +1 ≥ 0,6(t -)(t -), Odgovor: + 2  n ≤ x ≤ + 2  n, -  -arcsin+ 2  k ≤ x ≤ arcsin+ 2  k, n, k  Z. broj 3. sinx + cos2x  1. (Razgovaramo o mogućnostima rješenja. Prisjećamo se formule kosinusa dvostruki kut. Razred odlučuje samostalno, jedan učenik – na pojedinačnoj ploči uz naknadnu provjeru). sinx + cos2x - 1  0, sinx – 2sin 2 x  0, sinx(1 - 2 sinx)  0, Odgovor: 2  n  x  + 2  n, 2  n  x   + 2  n, n  Z. Analizirati situacije u kojima je odgovor rješenje kvadratna nejednakost zapisujemo u obliku skupa dviju nejednakosti, a kada - u obliku sustava. Sljedeći dijagram je koristan: broj 4. coscosx - sinsinx  -. (Razgovor. Za svaki korak rješavanja pred ploču se prozove po jedan učenik, komentiraju se faze. Nastavnik provjerava snimku s učenicima koji rade na licu mjesta). cos(x +)  -, trošak  -. 2  n  t  + 2  n, n  Z, 2  n  x +  + 2  n, n  Z, Odgovor: 2  n  x  + 2  n, n  Z. broj 5. Definirajte sve A , za svaki od kojih je nejednakost 4sinx + 3cosx ≤ a ima barem jedno rješenje. (Prisjetiti se algoritma za rješavanje trigonometrijske jednadžbe s faktorom normalizacije. Rješenje je zapisano na vrpci grafoskopa. Otvaram ga korak po korak dok razmišljam. Diferencirani rad). 4sinx + 3cosx ≤ a , M = = 5. Obje strane nejednadžbe podijelimo s 5: sinx + cosx ≤ . jer () 2 + () 2 = 1, tada postoji kut α takav da je cosα = i sinα = . Prepišimo prethodnu nejednakost u obliku: sin(x + α) ≤ . Posljednja nejednadžba, a time i izvorna nejednadžba, ima barem jedno rješenje za svaku i tako to ≥ -1, odnosno za svaki a ≥ -5. Odgovor: a ≥ -5.
	Domaća zadaća.	(Dijelim kartice s upisanom zadaćom. Komentiram rješenje svake nejednadžbe). cosx  sin 2 x; 4sin2xcos2x  -; cos 2 ≤ sin 2 - 0,5; sinx + cosx  1. Ponoviti trigonometrijske formule zbrajanja i pripremiti se za samostalan rad.
	Sažetak, razmišljanje.	Imenovati metode rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi. Kako se poznavanje algoritma za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi koristi u rješavanju složenijih nejednadžbi? Koje su nejednakosti izazvale najviše poteškoća? (Ocjenjujem rad učenika na satu).

Samostalni rad

na temelju rezultata svladavanja gradiva.

Opcija 1. Riješite nejednadžbe 1 – 3: sin3x -  0; cos 2 x + 3cosx  0; coscos2x - sinsin2x ≥ -. Definirajte sve a , za svaki od njih vrijedi nejednakost 12sinx + 5cosx ≤ A ima barem jedno rješenje.

opcija 2. Riješite nejednadžbe 1 – 3: 2cos  1; sin 2 x – 4sinx  0; sincos3x - cossin3x ≤ -. Definirajte sve a , za svaki od njih vrijedi nejednakost 6sinx - 8cosx ≤ A ima barem jedno rješenje.

Lekcija br. 19-20 Tema: Trigonometrijske nejednadžbe

Vrsta lekcije: diferenciran, problematičan.

Svrha lekcije: Poboljšanje vještine interakcije u nastavi u grupama, rješavanje problemskih problema. Razvijanje sposobnosti samoprocjene učenika. Organizacija zajedničkog obrazovne aktivnosti, što omogućuje formuliranje i rješavanje problematičnih problema.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: Ponoviti algoritme za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi; učvrstiti vještine rješavanja trigonometrijskih nejednakosti; uvesti učenike u rješavanje sustava trigonometrijskih nejednadžbi; razviti algoritam za rješavanje sustava trigonometrijskih nejednadžbi; učvrstiti sposobnost rješavanja sustava trigonometrijskih nejednadžbi

Razvojni: Naučite postaviti hipotezu i vješto braniti svoje mišljenje dokazima. Znati prepoznati i riješiti problematične probleme. Provjerite svoju sposobnost generaliziranja i sistematiziranja znanja.

Obrazovni: Povećati interes za predmet i pripremiti se za rješavanje složenijih problema.

Lekcija 1

1. Organizacijski uvod. Postavljanje zadatka učenja.

Razred je podijeljen u tri grupe koje okupljaju učenike iste razine znanja.

Grupa I “A”

II grupa “B”

III grupa “C”

Studenti koji studiraju uvjetno na “3”

Studenti koji studiraju uvjetno na “4”

Studenti koji studiraju uvjetno na “5”

Svaki učenik dobiva osobni list uspjeha.

Učitelj, nastavnik, profesor: Pažljivo pogledajte list osobnih postignuća. Unesite svoje prezime, ime i naziv grupe. Tema naše lekcije je "Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi, sustava nejednadžbi." Danas smo s vama

Ponovimo algoritme za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi;

Učvrstimo sposobnost rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi;

Upoznajmo se s rješenjem sustava trigonometrijskih nejednadžbi;

Razvijmo algoritam za rješavanje sustava trigonometrijskih nejednadžbi;

Ojačat ćemo sposobnost rješavanja sustava trigonometrijskih nejednadžbi;

Odigrajmo utakmicu s računalom.

1. Ponavljanje

Algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi ponavlja se pomoću slajdova. Prije demonstracije svakog slajda nastavnik postavlja zadatak: „Reci algoritam za rješavanje nejednadžbe” i poziva 4 učenika, po jednog za svaku točku algoritma. Svaki učenik izgovara sadržaj jedne od točaka algoritma i tek tada se informacija pojavljuje na slajdu. Možda će student dati svoje komentare, ovaj dio odgovora je u tekstu kurzivom.

Učitelj, nastavnik, profesor: .

Učitelj, nastavnik, profesor: Objasnite algoritam za rješavanje nejednadžbe

Učitelj, nastavnik, profesor: Objasnite algoritam za rješavanje nejednadžbe

Učitelj, nastavnik, profesor: Objasnite algoritam za rješavanje nejednadžbe

2. Rad u skupinama

Učitelj svakom učeniku u skupini podijeli listove albuma na kojima su izvučena 3 broja trigonometrijske kružnice. (Diferencirani brošure)

Učitelj, nastavnik, profesor: Svaki učenik mora riješiti 3 zadatka. U skupini “A” jedan zadatak je problematičan (zadnji). U skupini “B” dva su zadatka problematična (zadnja dva). U skupini “C” svi su zadaci problematični. Učenici 5 minuta pomažu jedni drugima u smišljanju zadataka, zatim u roku od 10 minuta učenici sami rješavaju zadatke te, kako rješavaju zadatak, izlaze na ploču i na ploču pribadaju svoje papiriće s rješenjem.

Učitelj ih provjerava dok su postavljeni. Za točno riješen zadatak daje se “+”, a za netočno riješen zadatak “-”. Nakon 10 minuta rješavanje prestaje i unutar 5 minuta počinje analiza riješenih zadataka. Analiziraju se samo problematični zadaci, ali ako postoji potreba mogu se analizirati i drugi zadaci.

Grupni zadaci za studente

Grupa I “A”

Zadatak br. 3 povećane težine za razinu “A”

II grupa “B”

Zadaci br. 2 i br. 3 povećane težine za razinu “B”

III grupa “C”

2.

3.

2.

3.

2.

3.

2.

3.

2.

2.

2.

3.

Svi zadaci povećane težine za razinu

"S"

Učitelj, nastavnik, profesor: Učenici se natječu unutar grupe (oni koji uspiju postaviti točne zadatke dobivaju dodatna 3 boda za brzinu). Timovi se također međusobno natječu (studentski timovi dobivaju 3 dodatna boda ako je ovaj tim imao više točno riješenih zadataka)

Dodatne bodove za brzinu daje nastavnik u zadnjem stupcu.

Lekcija 2

Individualni test na problematičnu temu

Učitelj, nastavnik, profesor: Prisjetimo se kako se rješava sustav nejednakosti oblika:

Odgovor:

Učitelj poziva učenika iz skupine „C“ pred ploču da riješi sustav nejednakosti, učenici skupine „B“ izgovaraju rješenje sa svojih mjesta.

Učitelj, nastavnik, profesor: Svaka skupina dobiva zadatak u obliku rješavanja tri sustava trigonometrijskih nejednadžbi (svaka skupina dobiva iste sustave, tj. svi su učenici u jednakim uvjetima).

№1.

Odgovor: .

: veliki luk.

I .

.

Odaberite kružni luk koji odgovara intervalu: veliki luk.

Zapiši numeričke vrijednosti granične točke luka: i .

Zapiši zajednička odluka nejednakosti:.

3. Učenik skupine “C” (3 boda) (učenik iste skupine pomaže s mjesta):

- Odaberite sjecište lukova i odredite numeričke vrijednosti graničnih točaka rezultirajućih lukova: i ; i .

Zapiši opće rješenje sustava nejednadžbi:

№2 Napravite algoritam i riješite sustav trigonometrijskih nejednadžbi oblika:

Odgovor: .

Grupe dobivaju 2 minute za raspravu o problemu, a zatim sam učitelj poziva učenike pred ploču, koji pomoću pripremljenih kružića, uz učiteljevu skrivenu natuknicu, rješavaju sustav nejednakosti. Učitelj poziva učenike iz različitih skupina, tražeći od njih da riješe zadatke različite težine. Jedan učenik radi za pločom, a drugi pomaže sa sjedala.

Učenik grupe “A” (3 boda) (učenik iz iste grupe pomaže sa sjedala):

Odaberite kružni luk koji odgovara intervalu: veliki luk.

Zapišite brojčane vrijednosti graničnih točaka luka: i .

Zapiši opće rješenje nejednadžbe:.

2. Učenik grupe “B” (3 boda) (učenik iz iste grupe pomaže s mjesta):

Odaberite kružni luk koji odgovara intervalu: manji luk.

Zapišite brojčane vrijednosti graničnih točaka luka: i . Napravite algoritam i riješite sustav trigonometrijskih nejednadžbi oblika:

Odgovor: .

Grupe dobivaju 2 minute za raspravu o problemu, a zatim sam učitelj poziva učenike pred ploču, koji pomoću pripremljenih kružića, uz učiteljevu skrivenu natuknicu, rješavaju sustav nejednakosti. Učitelj poziva učenike iz različitih skupina, tražeći od njih da riješe zadatke različite težine. Jedan učenik radi za pločom, a drugi pomaže sa sjedala.

Učenik grupe “A” (3 boda) (učenik iz iste grupe pomaže sa sjedala):

Odaberite kružni luk koji odgovara intervalu.

5. Sažimanje

mi smo uz vas:

Ponovili smo algoritme za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi;

Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi u grupama, jednostavnih i problematičnih;

Analizirali smo rješavanje 3 trigonometrijska sustava nejednadžbi;

Razvili smo algoritam za rješavanje sustava trigonometrijskih nejednadžbi u općem obliku.

dodatne informacije na lekciju:

Prilog 1: List osobnih postignuća.

Dodatak 2: “Rješavanje trigonometrijskih nejednakosti”

Dodatak 3 “Rješavanje sustava trigonometrijskih nejednadžbi”

List osobnih postignuća

Prezime Ime ________________________________________________

Skupina____________________

1. Ponavljanje (označite kućicu):

0 bodova za netočan odgovor ______

1 b za nejasan odgovor ______

2 boda za jasan odgovor ______

3 b za sposobnost pronalaženja i ispravljanja pogreške ______

2. Rad u skupinama (označite kućicu):

0 bodova za neriješen zadatak ______

1 b za pogrešnu odluku (nastavnik je ispravio grešku) ______

2 boda za pogrešnu odluku (učenik je ispravio grešku) ______

3 boda za točno riješen zadatak ______

3. Individualni test na problemsku temu (označite kućicu):

0 bodova za nesudjelovanje u raspravi o problemu _______

1 b za sudjelovanje u raspravi o problemu _______

2 b za aktivnu raspravu o problemu _______

3 b za sposobnost izrade algoritma za rješavanje _______

Ocijenite svoje znanje

Tema lekcije: Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi

Lekcija je održana u 11. razredu škole br. 4 nazvana. Gorki, Brjansk (2007).

Razred radi prema udžbeniku

https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" width="142 height=189" height="189">

Učitelj, nastavnik, profesor: učiteljica najviše kategorije, počasna učiteljica Ruske Federacije Nina Vladimirovna Kusacheva.

Ciljevi lekcija:

1) Identificirati tehnike za reduciranje trigonometrijskih nejednakosti na najjednostavnije: razmatranje složenog argumenta kao jednostavnog; korištenje ekvivalentnih transformacija; primjena trigonometrijskih formula.

2) Identificirati načine rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi: svođenje na najjednostavnije; uvođenje nove varijable.

3) Naučiti prepoznati načine rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi.

4) Naučiti napisati odgovor ako se ne koriste tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

5) Unaprijediti sposobnost rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi.

6) Provjerite svoju sposobnost rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi.

Vrsta lekcije: lekcija za poboljšanje vještina.

Plan učenja:

1. Identifikacija tehnika i metoda rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi, poteškoće u rješavanju domaćih zadaća kroz analizu rješenja najsloženijih nejednadžbi.

2. Poboljšanje sposobnosti rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi:

a) prepoznavanje metoda rješavanja i ponavljanje algoritma za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi;

b) rad s najjednostavnijom nejednakošću, gdje se tablične vrijednosti ne koriste za bilježenje odgovora;

c) usavršavanje sposobnosti rješavanja nejednadžbi koje se ekvivalentnim transformacijama mogu svesti na najjednostavnije trigonometrijske kroz usporedbu nejednadžbi;

d) usavršavanje sposobnosti rješavanja nejednadžbi koje se redukcijskim formulama mogu svesti na jednostavne trigonometrijske;

e) usavršavanje sposobnosti rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi primjenom nekoliko metoda rješavanja.

3. Samostalan rad na rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi.

4. Postavljanje domaće zadaće.

Tijekom nastave:

1. Identifikacija tehnika i metoda rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi, poteškoće u rješavanju domaćih zadaća kroz analizu rješenja najsloženijih nejednadžbi.

Učitelj, nastavnik, profesor:(Rješenja nejednadžbi br. 7, 8, 10 s domaćeg kartona ispisana su na ploči).

Pogledajte rješenje nejednadžbe br. 7. Koja pitanja imate o bilo kojem od koraka u rješenju?

№7 grijeh x ≤ - cos x;

grijeh x + cos x ≤0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" width="24" height="41 src="> grijeh x + cos x) ≤ 0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" width="17" height="41">) ≤ 0;

grijeh(x + ) ≤ 0;

x+ O [ - π +2π n, 2π n], n O Z

x O [ -5π/4 + 2π n,- π/4+ 2π n], n O Z

Odgovor: x O [ -5π/4 +2π n,- π/4+ 2π n], n O Z

Učitelj, nastavnik, profesor: Onda imam nekoliko pitanja. Kako je dobivena 3. linija?

studenti: Svaki izraz smo pomnožili i podijelili s .

Učitelj, nastavnik, profesor: Je li moguće izvesti takvu transformaciju nejednakosti?

studenti: Da, ova konverzija je ekvivalentna.

Učitelj, nastavnik, profesor: S kojom smo svrhom ovo učinili?

studenti: Da bi se mogao prijaviti trigonometrijska formula zbrajanje je sinus zbroja dvaju kutova.

Učitelj, nastavnik, profesor: Koji je drugi naziv za ovu tehniku?

studenti: Tehnika uvođenja pomoćnog kuta.

Učitelj, nastavnik, profesor: Kako ste pogodili da svaki član trebate točno pomnožiti i podijeliti s?

studenti: je kvadratni korijen zbroja kvadrata koeficijenata u transformiranoj nejednadžbi.

Učitelj, nastavnik, profesor: Navedite nejednakost koja se može smatrati najjednostavnijom i obrazložite svoj odgovor.

studenti: Nejednakost grijeh(x+ ) ≤ 0 možemo smatrati najjednostavnijim ako uzmemo u obzir složeni argument ( x+ ) kao jednostavno, na primjer, t.

Učitelj, nastavnik, profesor: Dakle, glavna ideja rješavanja nejednadžbe br. 7 je svesti je na najjednostavniju trigonometrijsku nejednadžbu. Ponovimo koje su tehnike korištene?

studenti: 1) ekvivalentne transformacije (prijenos članova; množenje i dijeljenje svakog člana istim brojem; uvođenje pomoćnog kuta);

(Učitelj pomaže učenicima pokazujući na jedan ili drugi redak rješenja.)

Učitelj, nastavnik, profesor: Pogledajte rješenje nejednadžbe #8.

№ 8 grijeh 2x+ https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22">/2 cos 2x) ≥ 1;

2 grijeh (2x+ π/3) ≥ 1;

grijeh (2x+ π/3) ≥ 1/2;

2x+ π/3 O [π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n O Z;

x O [-π/12 + π n, π/4 + π n], n O Z;

Odgovor: x O [-π/12 + π n, π/4 + π n], n O Z.

Koja pitanja imate o bilo kojem od koraka rješenja? (stanka) Koje su tehnike korištene za rješavanje ove nejednadžbe?

studenti: 1) ekvivalentne transformacije (prijenos članova; množenje i dijeljenje svakog člana istim brojem; uvođenje pomoćnog kuta, dijeljenje obiju strana nejednadžbe pozitivnim brojem);

2) primjena trigonometrijske formule,

3) tretira složeni argument kao jednostavan.

Učitelj, nastavnik, profesor: Razmotrimo rješenje nejednadžbe #10:

№10 cos 2 x – 2cosx >0;

Neka cos x= t;

t 2 – 2t >0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" width="22" height="21">;

2. cos(3π/2 + x) < -/2;

3. cos(π + 2 x) – 1 ≥ 0;

4. grijeh x > 2/3;

5. 5cos(x– π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4grijeh 2 3x < 3.

Učitelj, nastavnik, profesor: Istaknite nejednadžbe koje zahtijevaju korištenje ekvivalentnih transformacija pri svođenju trigonometrijske nejednadžbe na njezin najjednostavniji oblik?

studenti: 1, 3, 5.

Učitelj, nastavnik, profesor: Koje su nejednakosti u kojima složeni argument trebate smatrati jednostavnim?

studenti: 1, 2, 3, 5, 6.

Učitelj, nastavnik, profesor: Koje su nejednadžbe na koje se mogu primijeniti trigonometrijske formule?

studenti: 2, 3, 6.

Učitelj, nastavnik, profesor: Navedite nejednadžbe kod kojih se može primijeniti metoda uvođenja nove varijable?

studenti: 6.

Učitelj, nastavnik, profesor: Sada ćemo početi rješavati nejednadžbe od najjednostavnijih i naučiti kako napisati odgovor ako se ne koriste tablične vrijednosti. Ali prvo odgovorite je li točno da se najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe mogu riješiti pomoću algoritma napisanog na ploči:

Algoritam za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi

1. Nejednadžbu usmeno zamijeni jednadžbom. Nacrtaj jediničnu kružnicu i na njoj označi točke koje odgovaraju jednadžbi.

2. Označite točke kružnice koje odgovaraju nejednadžbi, tj. odaberite odgovarajući luk.

3. Označite smjer brojanja.

4. Pronađite početak luka i kut koji mu odgovara.

5. Pronađite kut koji odgovara kraju luka.

6. Odgovor zapisujemo u obliku intervala, vodeći računa o periodičnosti funkcije.

Učitelj, nastavnik, profesor: Je li ovo redoslijed kojim ste rješavali najjednostavnije nejednadžbe?

studenti: Da.

Komentar. Zadatak analize popisa nejednakosti sa stajališta metoda za njihovo rješavanje omogućuje vam da uvježbate njihovo prepoznavanje. Prilikom razvijanja vještina važno je identificirati faze njegove provedbe i formulirati ih u njih opći pogled, koji je prikazan u algoritmu za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi.

b) Rad s najjednostavnijom nejednakošću, gdje se tablične vrijednosti ne koriste za bilježenje odgovora.

Učitelj, nastavnik, profesor: Počnimo rješavati nejednadžbu br. 4.

Organizacija daljnjeg rada:

https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" width="204" height="130">Jedan učenik rješava nejednadžbu za pločom, izgovarajući svaki korak algoritma naglas

5cos(x– π/6) – 1 ≥ 0;

cos(x– π/6) ≥ 1/5;

x– π/6 O [- arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n O Z;

x O [π/6 – arccos 1/5 + 2π n, π/6 + arccos 1/5 + 2π n], n O Z.

Po završetku rješavanja, nastavnik učeniku koji je riješio nejednadžbu na ploči postavlja sljedeća pitanja:

Učitelj, nastavnik, profesor: Kako bi se promijenio odgovor da je dana striktna nejednakost?

Student: Tada bi se uglate zagrade zamijenile okruglim zagradama.

Učitelj, nastavnik, profesor: Kako biste zapisali odgovor da je dana nejednakost? cos (x– π/6) ≤ 1/5?

Student: x O [π/6 + arccos 1/5 + 2π n, 13π/6 – arccos 1/5 + 2π n], n O Z.

Učitelj, nastavnik, profesor: Koje su metode svođenja na najjednostavniju trigonometrijsku nejednadžbu korištene?

Student: Korištene su ekvivalentne transformacije (prijenos članova iz jednog dijela jednadžbe u drugi, dijeljenje obje strane nejednadžbe s pozitivnim brojem); tretirao složeni argument kao jednostavan.

Učitelj, nastavnik, profesor:(obraćanje razredu); Imate li pitanja ili komentara za ispitanika? (učenik odgovara na pitanja učenika i slaže se ili ne slaže s komentarima, zatim sjeda).

Učitelj, nastavnik, profesor: Kojoj je nejednadžbi slična nejednadžba br. 1 i na koji način?

studenti: Na nejednadžbu br. 5 svođenjem na najjednostavniju; na nejednadžbu br. 4 mjestom luka.

Učitelj, nastavnik, profesor: Usmeno riješi nejednadžbu br. 1: 2 grijeh (x– π/4) ≥ .

studenti: Odgovor: x O [ π/2 + 2π n, π + 2π n], n O Z.

Komentar. Usavršavanje sposobnosti rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi olakšavaju sljedeća pitanja: “Kako ćemo riješiti grupu nejednadžbi?”; “Kako se jedna nejednakost razlikuje od druge?”; “Po čemu je jedna nejednakost slična drugoj?”; Kako bi se odgovor promijenio da je dana stroga nejednakost?"; Kako bi se promijenio odgovor da umjesto znaka ">" stoji "<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».

d) Usavršavanje sposobnosti rješavanja nejednadžbi koje se redukcijskim formulama mogu svesti na najjednostavnije trigonometrijske.

Učitelj, nastavnik, profesor: Razmotrimo nejednadžbu br. 2 cos(3π/2 + x)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Spremni učenik rješava nejednadžbu za pločom ne izgovarajući rješenje:

cos(3π/2 + x)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;

Odgovor: x O (- 2π/3 + 2π n,-π/3 + 2π n), n O Z.

Po dovršetku rješenja učenici provjeravaju oblikovanje i po potrebi komentiraju. Nakon toga nastavnik postavlja ispitaniku sljedeća pitanja:

Učitelj, nastavnik, profesor: Po čemu se ova nejednadžba razlikuje od prethodno riješenih?

Student: Ova je nejednakost reducirana na najjednostavniji oblik pomoću formule redukcije.

Učitelj, nastavnik, profesor: Postoje li druge nejednadžbe koje se mogu riješiti na ovaj način?

Student: № 3.

Učitelj, nastavnik, profesor: Nejednadžbu ćemo usmeno rješavati uz komentiranje tijeka rješavanja.

studenti:(komentiraju napredovanje rješavanja redom, učitelj mijenja nejednadžbu)

№ 3 cos(π + 2 x) – 1 ≥ 0;

cos(π + 2 x) ≥ 1;

- cos 2x ≥ 1;

cos 2x ≤ -1

2x= -π + 2π n , n O Z;

x= -π/2 + π n , n O Z.

Učitelj, nastavnik, profesor: Dakle, koja je posebnost rješavanja ove nejednadžbe?

studenti: Njegovo se rješenje svodilo na rješavanje jednadžbe.

Učitelj, nastavnik, profesor: Dakle, što ćete sljedeće učiniti kada vidite da je argument trigonometrijske funkcije složen?

studenti: Vidjet ćemo možemo li koristiti redukcijske formule da pojednostavimo argument.