Među cijelom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednadžbe s promjenjivom bazom. Rješavaju se pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Umjesto potvrdnog okvira “∨” možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti.

Na taj se način rješavamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednadžbu. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali kada se odbace logaritmi, mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odrezali, dovoljno je pronaći područje prihvatljive vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, preporučujem da ga ponovite - pogledajte “Što je logaritam”.

Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ove četiri nejednakosti čine sustav i moraju biti zadovoljene istovremeno. Kada se pronađe raspon prihvatljivih vrijednosti, ostaje samo presjeći ga s rješenjem racionalna nejednakost- i odgovor je spreman.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

Prvo napišimo ODZ logaritma:

Prve dvije nejednakosti su automatski zadovoljene, ali posljednju ćemo morati ispisati. Budući da je kvadrat broja nula ako i samo ako je sam broj nula, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednakost:

Vršimo prijelaz s logaritamske nejednadžbe na racionalnu. Izvorna nejednakost ima predznak "manje od", što znači da rezultirajuća nejednakost također mora imati predznak "manje od". Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nule ovog izraza su: x = 3; x = −3; x = 0. Štoviše, x = 0 je korijen druge množine, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo:

Dobivamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ logaritma, što znači da je ovo odgovor.

Pretvaranje logaritamskih nejednakosti

Često se izvorna nejednakost razlikuje od gornje. To se može lako ispraviti korištenjem standardnih pravila za rad s logaritmima - pogledajte “Osnovna svojstva logaritama”. Naime:

1. Bilo koji broj može se prikazati kao logaritam sa zadanom bazom;
2. Zbroj i razlika logaritama s istim bazama mogu se zamijeniti jednim logaritmom.

Zasebno bih vas želio podsjetiti na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednadžbi može postojati nekoliko logaritama, potrebno je pronaći VA svakog od njih. Dakle, opća shema za rješavanje logaritamskih nejednakosti je sljedeća:

1. Pronađite VA svakog logaritma uključenog u nejednadžbu;
2. Svesti nejednadžbu na standardnu ​​pomoću formula za zbrajanje i oduzimanje logaritama;
3. Riješite dobivenu nejednadžbu pomoću gornje sheme.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

Nađimo domenu definicije (DO) prvog logaritma:

Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojnika:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Zatim - nule nazivnika:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove:

Dobivamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam će imati isti VA. Ako ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva:

Kao što vidite, trojke na bazi i ispred logaritma su smanjene. Dobili smo dva logaritma s istom bazom. Zbrojimo ih:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standard logaritamska nejednakost. Rješavamo se logaritama pomoću formule. Budući da izvorna nejednakost sadrži znak "manje od", rezultirajuća racionalno izražavanje također mora biti manji od nule. Imamo:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva kompleta:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).

Preostaje presjeći te skupove - dobivamo pravi odgovor:

Zanima nas presjek skupova, pa odabiremo intervale koji su osjenčani na obje strelice. Dobivamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve točke su punktirane.

U članku ćemo razmotriti rješavanje nejednakosti. Jasno ćemo vam reći o kako konstruirati rješenje nejednadžbi, s jasnim primjerima!

Prije nego što pogledamo rješavanje nejednakosti pomoću primjera, razumijmo osnovne pojmove.

Općenito o nejednakostima

Nejednakost je izraz u kojem su funkcije povezane znakovima relacije >, . Nejednakosti mogu biti numeričke i doslovne.
Nejednakosti s dva znaka omjera nazivaju se dvostrukim, s tri - trostrukim, itd. Na primjer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nejednakosti koje sadrže znak > ili ili - nisu stroge.
Rješavanje nejednadžbe je bilo koja vrijednost varijable za koju će ova nejednakost biti točna.
"Riješite nejednadžbu" znači da trebamo pronaći skup svih njegovih rješenja. Postoje različita metode za rješavanje nejednakosti. Za rješenja nejednakosti Oni koriste brojevni pravac, koji je beskonačan. Na primjer, rješenje nejednakosti x > 3 je interval od 3 do +, a broj 3 nije uključen u taj interval, stoga je točka na liniji označena praznim kružićem, jer nejednakost je stroga.
+
Odgovor će biti: x (3; +).
Vrijednost x=3 nije uključena u skup rješenja, pa je zagrada okrugla. Znak beskonačnosti uvijek je istaknut zagradom. Znak znači "pripadanje".
Pogledajmo kako riješiti nejednakosti pomoću drugog primjera sa predznakom:
x 2
-+
Vrijednost x=2 uključena je u skup rješenja, pa je zagrada kvadratna, a točka na liniji označena je popunjenim krugom.
Odgovor će biti: x. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 u intervalima:

x ∈ [-0,5; +∞)

glasi: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačno.

Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga je u takvim zapisima beskonačnost uvijek uz zagradu.

Ovaj oblik bilježenja pogodan je za složene odgovore koji se sastoje od više razmaka. Ali – samo za konačne odgovore. U međurezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obrascu jednostavna nejednakost. O tome ćemo se pozabaviti u relevantnim temama.

Popularni zadaci s nejednakostima.

Same linearne nejednadžbe su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Trebalo je dakle razmisliti. Ovo, ako niste navikli, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Nije da ih ti učiš, nepotrebno je. I kako se ne biste bojali pri susretu s slični primjeri. Samo malo razmislite - i jednostavno je!)

1. Pronađite bilo koja dva rješenja nejednadžbe 3x - 3< 0

Ako nije baš jasno što učiniti, sjetite se glavnog pravila matematike:

Ako ne znate što trebate, učinite što možete!)

x < 1

I što? Ništa posebno. Što nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva konkretna broja koji su rješenje nejednadžbe. Oni. odgovarati odgovoru. Dva bilo koji brojevima. Zapravo, ovo je zbunjujuće.) Nekoliko 0 i 0,5 su prikladni. Par -3 i -8. Da ovi parovi beskonačan skup! Koji je odgovor točan?!

Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, bit će točan odgovor. Napiši koju želiš. Idemo dalje.

2. Riješite nejednadžbu:

4x - 3 ≠ 0

Zadaci u ovom obliku su rijetki. No, kao pomoćne nejednakosti, kod nalaženja ODZ, na primjer, ili kod nalaženja domene definicije funkcije, pojavljuju se stalno. Takva linearna nejednadžba može se riješiti kao obična linearna jednadžba. Samo svugdje osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nejednak). Ovako pristupate odgovoru, sa znakom nejednakosti:

x ≠ 0,75

U više složeni primjeri, bolje je raditi stvari drugačije. Od jednakosti napraviti nejednakost. Kao ovo:

4x - 3 = 0

Mirno ga riješite kako je naučeno i dobijte odgovor:

x = 0,75

Najvažnije je, na samom kraju, kada zapisujete konačni odgovor, ne zaboravite da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam zapravo ne treba ovaj X.) I moramo ga zapisati ispravnim simbolom:

x ≠ 0,75

Ovaj pristup dovodi do manje grešaka. Oni koji automatski rješavaju jednadžbe. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti, zapravo, ničemu ne služe...) Još jedan primjer popularnog zadatka:

3. Pronađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednadžbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Prvo jednostavno riješimo nejednadžbu. Otvaramo zagrade, premještamo ih, donosimo slične... Dobivamo:

x > - 6

Zar nije tako ispalo!? Jeste li pratili znakove!? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...

Razmislimo još jednom. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam ne sine odmah, možete uzeti bilo koji broj i smisliti ga. Dva na minus šest? Sigurno! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. I još manje? Treba nam najmanja moguća stvar! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti obrazac i prestati glupo prolaziti kroz brojeve, zar ne?)

Uzmimo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor je ispunjen, -5 > - 6. Je li moguće pronaći neki drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5... Stanite! Rečeno nam je cijeli riješenje! Ne kotrlja -5,5! Što je s minus šest? Uh-uh! Nejednakost je stroga, minus 6 ni na koji način nije manji od minus 6!

Dakle, točan odgovor je -5.

Nadamo se s izborom vrijednosti iz opće rješenje sve jasno. Još jedan primjer:

4. Riješite nejednadžbu:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Ovaj izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćeni oblik sustava nejednakosti. Ali takve trostruke nejednadžbe ipak treba rješavati u nekim zadacima... Može se to riješiti i bez ikakvih sustava. Prema istim identičnim transformacijama.

Moramo pojednostaviti, ovu nejednakost dovesti do čistog X. Ali... Što bi trebalo kamo preseliti?! Ovdje je vrijeme da zapamtite da je kretanje lijevo i desno kratki oblik prva transformacija identiteta.

A puni obrazac zvuči ovako: Bilo koji broj ili izraz može se dodati/oduzeti objema stranama jednadžbe (nejednakosti).

Ovdje postoje tri dijela. To je ono što ćemo koristiti transformacije identiteta na sva tri dijela!

Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Oduzmimo jedan od cijelog središnjeg dijela. Da se nejednadžba ne mijenja, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Kao ovo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, zar ne?) Ostaje samo podijeliti sva tri dijela na tri:

2 < x < 4

To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj se odgovor također piše u intervalima; takvi će unosi biti u kvadratnim nejednadžbama. Tamo su najčešća stvar.

Na kraju lekcije ponovit ću ono najvažnije. Uspjeh u rješenju linearne nejednakosti ovisi o sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednadžbi. Ako u isto vrijeme pazi na znak nejednakosti, neće biti nikakvih problema. To je ono što ti želim. Nema problema.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Na primjer, nejednakost je izraz \(x>5\).

Vrste nejednakosti:

Ako su \(a\) i \(b\) brojevi ili , tada se poziva nejednakost numerički. To je zapravo samo usporedba dva broja. Takve se nejednakosti dijele na vjeran I nevjeran.

Na primjer:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je netočna brojčana nejednakost, budući da je \(17+3=20\), a \(20\) manje od \(115\) (i nije veće ili jednako) .

Ako su \(a\) i \(b\) izrazi koji sadrže varijablu, tada imamo nejednakost s varijablom. Takve se nejednakosti dijele na vrste ovisno o sadržaju:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Varijabilno samo na prvu potenciju
\(3x^2-x+5>0\)				Postoji varijabla na drugoj potenciji (kvadrat), ali ne postoje više potencije (treća, četvrta itd.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... i tako dalje.

Koje je rješenje nejednadžbe?

Ako umjesto varijable u nejednadžbu zamijenite broj, ona će se pretvoriti u numeričku.

Ako dana vrijednost za x pretvara izvornu nejednakost u pravu brojčanu, tada se poziva rješenje nejednakosti. Ako nije, tada ova vrijednost nije rješenje. I za riješiti nejednakost– potrebno je pronaći sva njegova rješenja (ili pokazati da ih nema).

Na primjer, zamijenimo li broj \(7\) u linearnu nejednadžbu \(x+6>10\), dobit ćemo ispravnu numeričku nejednakost: \(13>10\). A ako zamijenimo \(2\), doći će do netočne brojčane nejednakosti \(8>10\). Odnosno, \(7\) je rješenje izvorne nejednakosti, ali \(2\) nije.

Međutim, nejednadžba \(x+6>10\) ima i druga rješenja. Doista, ispravne brojčane nejednakosti ćemo dobiti zamjenom \(5\), i \(12\), i \(138\)... A kako pronaći sva moguća rješenja? Za ovo koriste Za naš slučaj imamo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Odnosno, za nas je prikladan bilo koji broj veći od četiri. Sada trebate zapisati odgovor. Rješenja nejednadžbi obično se pišu numerički, dodatno ih označavajući na brojevnoj osi sjenčanjem. Za naš slučaj imamo:

Odgovor: \(x\in(4;+\infty)\)

Kada se mijenja predznak nejednakosti?

Postoji jedna velika zamka u nejednakostima u koju učenici jako “vole” upasti:

Kada se nejednadžba množi (ili dijeli) negativnim brojem, ona se obrće ("više" s "manje", "više ili jednako" s "manje od ili jednako" i tako dalje)

Zašto se ovo događa? Da bismo ovo razumjeli, pogledajmo transformacije brojčana nejednakost\(3>1\). Istina je, doista tri više od jednog. Prvo, pokušajmo ga pomnožiti s bilo kojim pozitivnim brojem, na primjer, dva:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kao što vidimo, nakon množenja nejednakost ostaje istinita. I bez obzira kojim pozitivnim brojem množimo, uvijek ćemo dobiti točnu nejednakost. Sada pokušajmo pomnožiti sa negativan broj, na primjer, minus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultat je netočna nejednakost, jer je minus devet manje od minus tri! Odnosno, da bi nejednakost postala istinita (i stoga je transformacija množenja negativnim bila "legalna"), trebate obrnuti znak usporedbe, ovako: \(−9<− 3\).
S dijeljenjem će ispasti na isti način, možete sami provjeriti.

Gore napisano pravilo vrijedi za sve vrste nejednakosti, ne samo za numeričke.

Primjer: Riješite nejednadžbu \(2(x+1)-1<7+8x\)
Riješenje:

\(2x+2-1<7+8x\)	Pomaknimo se \(8x\) ulijevo, a \(2\) i \(-1\) udesno, ne zaboravimo promijeniti predznake
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Podijelimo obje strane nejednakosti s \(-6\), ne zaboravimo promijeniti s "manje" na "više"
	Označimo brojčani interval na osi. Nejednakost, stoga "izbadamo" samu vrijednost \(-1\) i ne uzimamo je kao odgovor
	Zapišimo odgovor kao interval

Odgovor: \(x\in(-1;\infty)\)

Nejednakosti i invaliditet

Nejednadžbe, baš kao i jednadžbe, mogu imati ograničenja na , odnosno na vrijednosti x. Sukladno tome, iz niza rješenja treba isključiti one vrijednosti koje su prema DZ-u neprihvatljive.

Primjer: Riješite nejednadžbu \(\sqrt(x+1)<3\)

Riješenje: Jasno je da bi lijeva strana bila manja od \(3\), radikalni izraz mora biti manji od \(9\) (uostalom, iz \(9\) samo \(3\)). Dobivamo:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Svi? Svaka vrijednost x manja od \(8\) će nam odgovarati? Ne! Jer ako uzmemo, na primjer, vrijednost \(-5\) za koju se čini da odgovara zahtjevu, to neće biti rješenje izvorne nejednakosti, jer će nas dovesti do izračunavanja korijena negativnog broja.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Stoga moramo uzeti u obzir i ograničenja vrijednosti X - ne može biti tako da ispod korijena postoji negativan broj. Dakle, imamo drugi zahtjev za x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

A da bi x bio konačno rješenje, mora zadovoljiti oba zahtjeva odjednom: mora biti manji od \(8\) (da bi bio rješenje) i veći od \(-1\) (da bi bio u načelu prihvatljiv). Ucrtavajući to na brojevnu liniju, imamo konačni odgovor:

Odgovor: \(\lijevo[-1;8\desno)\)