DEFINICIJA

Decimalni logaritam naziva se logaritam s bazom 10:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Ovaj logaritam je rješenje eksponencijalna jednadžba. Ponekad (osobito u stranoj literaturi) decimalni logaritam se također označava kao , iako su prve dvije oznake također svojstvene prirodnom logaritmu.

Prvi stolovi decimalni logaritmi objavio je engleski matematičar Henry Briggs (1561.-1630.) 1617. godine (stoga strani znanstvenici često decimalne logaritme nazivaju i dalje Briggsovima), ali te su tablice sadržavale pogreške. Na temelju tablica (1783.) slovenskog i austrijskog matematičara Georga Barthalomewa Vege (Juri Veha ili Vehovec, 1754.-1802.) njemački astronom i geodet Karl Bremiker (1804.-1877.) objavio je 1857. prvo izdanje bez grešaka. Uz sudjelovanje ruskog matematičara i učitelja Leontija Filipoviča Magnitskog (Teljatin ili Teljašin, 1669.-1739.) u Rusiji su 1703. objavljene prve tablice logaritama. Decimalni logaritmi naširoko su se koristili za izračune.

Svojstva decimalnih logaritama

Ovaj logaritam ima sva svojstva svojstvena logaritmu prema proizvoljnoj bazi:

1. Osnovni logaritamski identitet:

5. .

7. Prijelaz na novu bazu:

Funkcija decimalnog logaritma je funkcija. Graf ove krivulje često se naziva logaritamski.

Svojstva funkcije y=lg x

1) Opseg definicije: .

2) Višestruko značenje: .

3) Opća funkcija.

4) Funkcija je neperiodična.

5) Graf funkcije siječe x-os u točki .

6) Intervali postojanosti znaka: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} to za .

Dakle, imamo potencije dvojke. Ako uzmete broj iz donje crte, lako možete pronaći snagu na koju ćete morati podići dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada, zapravo, definicija logaritma:

Baza a logaritma od x je potencija na koju a mora biti podignuto da bi se dobio x.

Zapis: log a x = b, gdje je a baza, x argument, b je ono čemu je zapravo jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). S istim uspjehom, zapišite 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja na zadanu bazu naziva se logaritmiranje. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

Nažalost, ne izračunavaju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na intervalu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati ad infinitum i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti takvim: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). Mnogi ljudi isprva brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Za izbjegavanje mučni nesporazumi, samo pogledajte sliku:

[Natpis za sliku]

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtite: logaritam je potencija, u koju se mora ugraditi baza da bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Svojim učenicima govorim ovo divno pravilo na prvoj lekciji - i ne dolazi do zabune.

Shvatili smo definiciju - preostaje samo naučiti brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja racionalni pokazatelj, na što se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti drugačija od jedne, budući da jedno u bilo kojem stupnju i dalje ostaje jedno. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju raspon prihvatljivih vrijednosti(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja za broj b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, sada samo razmatramo numerički izrazi, gdje nije potrebno znati CVD logaritma. Sva su ograničenja autori zadataka već uzeli u obzir. Ali kad odu logaritamske jednadžbe i nejednakosti, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Uostalom, osnova i argument mogu sadržavati vrlo jake konstrukcije koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada pogledajmo opću shemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimala;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je to! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će biti vidljivo već u prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je važan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Isto je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će puno manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira koristeći konkretne primjere:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Dobili smo odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

[Natpis za sliku]

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dobili smo odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dobili smo odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 se ne može predstaviti kao stepen od sedam, budući da je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne računa;
3. Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako možete biti sigurni da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. A ako se takvi faktori ne mogu sakupiti u potencije s istim eksponentima, tada izvorni broj nije točna potencija.

Zadatak. Utvrdite jesu li brojevi točne potencije: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije točna potencija, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 · 5 - opet nije točna potencija;
14 = 7 · 2 - opet nije točan stupanj;

Napomenimo i to da mi sami prosti brojevi uvijek su sami sebi točni stupnjevi.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i simbol.

Decimalni logaritam od x je logaritam na bazi 10, tj. Potencija na koju treba podići broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x.

Na primjer, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte: ovo nije greška pri upisu. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste upoznati s ovim zapisom, uvijek ga možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalne logaritme.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. Na neki način, to je čak i važnije od decimalnog broja. Radi se o o prirodnom logaritmu.

Prirodni logaritam od x je logaritam prema bazi e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se upitati: što je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegov točna vrijednost nemoguće pronaći i zabilježiti. Navest ću samo prve brojke:
e = 2,718281828459...

Nećemo ulaziti u detalje o tome koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; ln e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalni broj iracionalan. Osim, naravno, za jedinicu: ln 1 = 0.

Za prirodni logaritmi vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Često uzimaju broj deset. Logaritmi brojeva koji se temelje na bazi deset nazivaju se decimalni. Kada se izvode izračuni s decimalnim logaritmom, uobičajeno je raditi sa znakom lg, ne log; u ovom slučaju, broj deset, koji definira bazu, nije naznačen. Da, zamijenimo dnevnik 10 105 na pojednostavljeno lg105; A dnevnik 10 2 na lg2.

Za decimalni logaritmi tipične su iste značajke koje imaju logaritmi s bazom većom od jedan. Naime, decimalni logaritmi karakteriziraju isključivo pozitivne brojeve. Decimalni logaritmi brojeva većih od jedan su pozitivni, a oni brojeva manjih od jedan su negativni; od dva nenegativna broja, veći je ekvivalentan većem decimalnom logaritmu itd. Osim toga, decimalni logaritmi imaju razlikovna obilježja i neobične značajke koje objašnjavaju zašto je ugodno preferirati broj deset kao bazu logaritama.

Prije ispitivanja ovih svojstava, upoznajmo se sa sljedećim formulacijama.

Cijeli dio decimalnog logaritma broja A zove se karakteristika, a razlomački je kazaljka ovaj logaritam.

Obilježja decimalnog logaritma broja A označena je kao , a mantisa kao (lg A}.

Uzmimo, recimo, log 2 ≈ 0,3010 Prema tome = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Slično za log 543.1 ≈2.7349. Prema tome, = 2, (log 543,1)≈ 0,7349.

Izračunavanje decimalnih logaritama pozitivnih brojeva iz tablica prilično je široko korišteno.

Karakteristike decimalnih logaritama.

Prvi znak decimalnog logaritma. ne cjelina negativan broj, predstavljen jedinicom iza koje slijede nule, pozitivan je cijeli broj jednak broju nula u unosu odabranog broja .

Uzmimo log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

Općenito govoreći, ako

Da A= 10n , iz kojeg dobivamo

lg a = lg 10 n = n lg 10 =n.

Drugi znak. Deset logaritma pozitivne decimale, prikazane kao jedinica s vodećim nulama, je - n, Gdje n- broj nula u prikazu ovog broja, uzimajući u obzir nula cijelih brojeva.

Razmotrimo , log 0,001 = - 3, log 0,000001 = -6.

Općenito govoreći, ako

,

Da a= 10-n i ispada

lga = lg 10n =-n log 10 =-n

Treći znak. Karakteristika decimalnog logaritma nenegativnog broja, veći od jedan, jednak je broju znamenki u cijelom dijelu ovog broja isključujući jedinicu.

Analizirajmo ovu značajku: 1) Karakteristika logaritma lg 75,631 jednaka je 1.

Doista, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

LG 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Iz ovoga slijedi,

log 75,631 = 1 +b,

Pomak zareza u decimalni udesno ili ulijevo je ekvivalentno operaciji množenja ovog razlomka potencijom desetice s cjelobrojnim eksponentom n(pozitivno ili negativno). Stoga, kada se decimalna točka u pozitivnom decimalnom razlomku pomakne lijevo ili desno, mantisa decimalnog logaritma tog razlomka se ne mijenja.

Dakle, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).