Graf funkcije y 2 5. Graf funkcije. Frakcijska linearna funkcija i njezin graf

Konstruiranje grafova funkcija koji sadrže module obično uzrokuje znatne poteškoće za školsku djecu. Ipak, nije sve tako loše. Dovoljno je zapamtiti nekoliko algoritama za rješavanje takvih problema i lako možete izgraditi graf čak i naizgled najsloženije funkcije. Hajde da shvatimo kakvi su to algoritmi.

1. Crtanje grafa funkcije y = |f(x)|

Imajte na umu da je skup vrijednosti funkcije y = |f(x)| : y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija uvijek se nalaze u cijelosti u gornjoj poluravnini.

Crtanje grafa funkcije y = |f(x)| sastoji se od sljedeća jednostavna četiri koraka.

1) Pažljivo i pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(x).

2) Ostavite nepromijenjene sve točke na grafu koje su iznad ili na 0x osi.

3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi simetrično u odnosu na 0x os.

Primjer 1. Nacrtajte graf funkcije y = |x 2 – 4x + 3|

1) Gradimo graf funkcije y = x 2 – 4x + 3. Očito je da je graf te funkcije parabola. Nađimo koordinate svih točaka sjecišta parabole s koordinatnim osima i koordinate vrha parabole.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Dakle, parabola siječe os 0x u točkama (3, 0) i (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Dakle, parabola siječe os 0y u točki (0, 3).

Koordinate vrha parabole:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Dakle, točka (2, -1) je vrh ove parabole.

Nacrtajte parabolu pomoću dobivenih podataka (Sl. 1)

2) Dio grafikona koji leži ispod 0x osi prikazuje se simetrično u odnosu na 0x os.

3) Dobivamo graf izvorne funkcije ( riža. 2, prikazano isprekidanom linijom).

2. Crtanje funkcije y = f(|x|)

Imajte na umu da su funkcije oblika y = f(|x|) parne:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znači da su grafovi takvih funkcija simetrični oko osi 0y.

Crtanje grafa funkcije y = f(|x|) sastoji se od sljedećeg jednostavnog lanca radnji.

1) Nacrtajte graf funkcije y = f(x).

2) Ostaviti onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

3) Prikažite dio grafikona naveden u točki (2) simetrično na 0y os.

4) Kao konačni graf odabrati uniju krivulja dobivenih u točkama (2) i (3).

Primjer 2. Nacrtajte graf funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3

Kako je x 2 = |x| 2, tada se originalna funkcija može prepisati u sljedećem obliku: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Sada možemo primijeniti gore predloženi algoritam.

1) Pažljivo i pažljivo gradimo graf funkcije y = x 2 – 4 x + 3 (vidi također riža. 1).

2) Ostavljamo onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

3) Prikaz desna strana grafika je simetrična na os 0y.

(slika 3).

Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije y = log 2 |x|

Primjenjujemo gore navedenu shemu.

1) Izgradite graf funkcije y = log 2 x (Sl. 4).

3. Crtanje funkcije y = |f(|x|)|

Primijetimo da funkcije oblika y = |f(|x|)| su također parni. Doista, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), pa su stoga njihovi grafovi simetrični oko osi 0y. Skup vrijednosti takvih funkcija: y ≥ 0. To znači da se grafovi takvih funkcija nalaze u cijelosti u gornjoj poluravnini.

Da biste nacrtali funkciju y = |f(|x|)|, trebate:

1) Pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(|x|).

2) Ostavite nepromijenjen dio grafa koji je iznad ili na 0x osi.

3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi simetrično u odnosu na 0x os.

4) Kao konačni graf odabrati uniju krivulja dobivenih u točkama (2) i (3).

Primjer 4. Nacrtajte graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Primijetimo da je x 2 = |x| 2. To znači da umjesto izvorne funkcije y = -x 2 + 2|x| - 1

možete koristiti funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jer im se grafovi podudaraju.

Gradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za ovo koristimo algoritam 2.

a) Grafički nacrtajte funkciju y = -x 2 + 2x – 1 (Sl. 6).

b) Ostavljamo onaj dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

c) Rezultirajući dio grafa prikazujemo simetrično na 0y os.

d) Dobiveni graf prikazan je isprekidanom linijom na slici (Sl. 7).

2) Nema točaka iznad 0x osi; ostavljamo točke na 0x osi nepromijenjene.

3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x prikazuje se simetrično u odnosu na 0x.

4) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (Sl. 8).

Primjer 5. Grafički nacrtajte funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Prvo trebate nacrtati funkciju y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bismo to učinili, vraćamo se na Algoritam 2.

a) Pažljivo iscrtajte funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (Sl. 9).

Imajte na umu da je ova funkcija frakcijsko linearna i da je njezin graf hiperbola. Da biste iscrtali krivulju, prvo trebate pronaći asimptote grafikona. Horizontalno – y = 2/1 (omjer koeficijenata od x u brojniku i nazivniku razlomka), okomito – x = -3.

2) Onaj dio grafa koji je iznad 0x osi ili na njoj ostavit ćemo nepromijenjen.

3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x bit će prikazan simetrično u odnosu na 0x.

4) Konačni grafikon je prikazan na slici (Sl. 11).

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

“Transformacija funkcija” - klackalica. Pomaknite y os prema gore. Pojačajte glasnoću do kraja – povećat ćete a (amplitudu) vibracija zraka. Pomaknite x-os ulijevo. Ciljevi lekcije. 3 boda. Glazba, muzika. Nacrtajte funkciju i odredite D(f), E(f) i T: kompresija duž x-osi. Pomaknite y os prema dolje. Dodajte crvenu boju u paletu i smanjite k (frekvenciju) elektromagnetskih oscilacija.

“Funkcije više varijabli” - Izvodnice višeg reda. Funkcija dviju varijabli može se prikazati grafički. Diferencijalni i integralni račun. Unutarnje i rubne točke. Određivanje limesa funkcije 2 varijable. Tečaj matematičke analize. Berman. Limit funkcije 2 varijable. Grafikon funkcije. Teorema. Ograničeno područje.

“Pojam funkcije” - Metode crtanja grafova kvadratna funkcija. Važno je naučiti različite načine definiranja funkcije metodička tehnika. Značajke proučavanja kvadratnih funkcija. Genetska interpretacija pojma "funkcija". Funkcije i grafovi u školskom kolegiju matematike. Ideja linearne funkcije je istaknuta kada se crta određena linearna funkcija.

"Funkcija teme" - analiza. Potrebno je otkriti ne ono što učenik ne zna, nego ono što on zna. Postavljanje temelja za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit i upis na sveučilišta. Sinteza. Ako učenici rade drugačije, onda bi i nastavnik trebao drugačije raditi s njima. Analogija. Generalizacija. Distribucija zadataka Jedinstvenog državnog ispita prema blokovima glavnog sadržaja školski tečaj matematika.

“Transformacija grafova funkcija” - Ponoviti vrste transformacija grafova. Poveži svaki graf s funkcijom. Simetrija. Cilj lekcije: Izrada grafikona složene funkcije. Pogledajmo primjere transformacija i objasnimo svaku vrstu transformacije. Transformacija grafova funkcija. Istezanje. Učvrstiti konstrukciju grafova funkcija pomoću transformacija grafova elementarnih funkcija.

“Grafovi funkcija” - Vrsta funkcije. Raspon vrijednosti funkcije su sve vrijednosti zavisne varijable y. Graf funkcije je parabola. Graf funkcije je kubna parabola. Graf funkcije je hiperbola. Područje definiranja i područje vrijednosti funkcije. Korelirajte svaki redak s njegovom jednadžbom: Domena definicije funkcije su sve vrijednosti nezavisne varijable x.

Funkcija izgradnje

Nudimo vam uslugu za izradu grafova funkcija na mreži, čija sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete ga unijeti ručno ili pomoću virtualna tipkovnica na dnu prozora. Da biste povećali prozor s grafikonom, možete sakriti lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.

Prednosti online crtanja grafikona

Vizualni prikaz unesenih funkcija
Izgradnja vrlo složenih grafikona
Konstrukcija grafova navedenih implicitno (na primjer, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
Mogućnost spremanja grafikona i primanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
Kontrola mjerila, boja linija
Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenjem konstanti
Iscrtavanje nekoliko grafova funkcija istovremeno
Crtanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))

S nama je jednostavno izgraditi grafikone različite složenosti online. Izgradnja se vrši trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikazivanje grafova za daljnje premještanje u Word dokument kao ilustracije pri rješavanju problema, te za analizu karakteristika ponašanja grafova funkcija. Optimalan preglednik za rad s grafikonima na ovoj web stranici je Google Chrome. Ispravan rad nije zajamčen pri korištenju drugih preglednika.

“Prirodni logaritam” - 0,1. Prirodni logaritmi. 4. Logaritamski pikado. 0,04. 7.121.

“Funkcija snage stupanj 9” - U. Kubična parabola. Y = x3. Učiteljica 9. razreda Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y = xn, y = x-n gdje je n zadano prirodni broj. X. Eksponent je paran prirodan broj (2n).

“Kvadratna funkcija” - 1 Definicija kvadratne funkcije 2 Svojstva funkcije 3 Grafovi funkcije 4 Kvadratne nejednadžbe 5 Zaključak. Svojstva: Nejednakosti: Pripremio učenik 8A razreda Andrey Gerlitz. Plan: Grafikon: -Intervali monotonosti za a > 0 za a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

“Kvadratna funkcija i njen graf” - Rješenje.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-pripada. Kada je a=1, formula y=ax ima oblik.

“Kvadratna funkcija 8. razreda” - 1) Konstruirati vrh parabole. Crtanje grafa kvadratne funkcije. x. -7. Konstruirajte graf funkcije. Algebra 8. razred Učiteljica 496 Bovina škola T. V. -1. Plan izgradnje. 2) Konstruirajte os simetrije x=-1. g.

1. Frakcijska linearna funkcija i njezin graf

Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se frakcijska racionalna funkcija.

S konceptom racionalni brojevi vjerojatno se već poznajete. Također racionalne funkcije su funkcije koje se mogu prikazati kao kvocijent dvaju polinoma.

Ako je razlomačka racionalna funkcija kvocijent dva linearne funkcije– polinome prvog stupnja, tj. funkcija forme

y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakcijski linearni.

Imajte na umu da je u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače je funkcija je konstantna). Linearna frakcijska funkcija definirana je za sve realne brojeve osim za x = -d/c. Grafovi razlomljenih linearnih funkcija ne razlikuju se po obliku od grafa y = 1/x koji poznajete. Krivulja koja je graf funkcije y = 1/x naziva se hiperbola. S neograničenim povećanjem x apsolutna vrijednost funkcija y = 1/x neograničeno opada u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa se približavaju x-osi: desna odozgo, a lijeva odozdo. Pravci kojima se približavaju grane hiperbole nazivaju se njezinim asimptote.

Primjer 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Riješenje.

Odaberimo cijeli dio: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 3 jedinična segmenta udesno, rastezanjem duž osi Oy 7 puta i pomakom za 2 jedinične segmente prema gore.

Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na sličan način, ističući "cijeli dio". Prema tome, grafovi svih frakcijskih linearnih funkcija su hiperbole, pomaknute na različite načine duž koordinatnih osi i razvučene duž osi Oy.

Da bi se konstruirao graf bilo koje proizvoljne frakcijsko-linearne funkcije, uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira tu funkciju. Budući da znamo da je graf hiperbola, bit će dovoljno pronaći prave linije kojima se približavaju njeni ogranci - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.

Primjer 2.

Odredite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).

Riješenje.

Funkcija nije definirana, pri x = -1. To znači da pravac x = -1 služi kao vertikalna asimptota. Da bismo pronašli horizontalnu asimptotu, saznajmo čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada argument x raste u apsolutnoj vrijednosti.

Da biste to učinili, podijelite brojnik i nazivnik razlomka s x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kako je x → ∞, razlomak će težiti 3/2. To znači da je horizontalna asimptota pravac y = 3/2.

Primjer 3.

Grafički nacrtajte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Riješenje.

Odaberimo "cijeli dio" razlomka:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 1 jedinicu ulijevo, simetričnim prikazom u odnosu na Ox i pomakom za 2 jedinična segmenta prema gore duž osi Oy.

Domena D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sjecišta s osima: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija raste na svakom intervalu definirane domene.

Odgovor: Slika 1.

2. Razlomačka racionalna funkcija

Razmotrimo razlomačku racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stupnja od prvog.

Primjeri takvih racionalnih funkcija:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ili y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ako funkcija y = P(x) / Q(x) predstavlja kvocijent dvaju polinoma višeg stupnja od prvog, tada će njezin graf u pravilu biti složeniji i ponekad ga je teško točno konstruirati , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno koristiti tehnike slične onima koje smo već predstavili gore.

Neka je razlomak pravi razlomak (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом jedini način, kao zbroj konačan broj elementarni razlomci, čiji se oblik određuje rastavljanjem nazivnika razlomka Q(x) na umnožak stvarnih faktora:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Očito je da se graf razlomačke racionalne funkcije može dobiti kao zbroj grafova elementarnih razlomaka.

Crtanje grafova razlomljenih racionalnih funkcija

Razmotrimo nekoliko načina konstruiranja grafova frakcijske racionalne funkcije.

Primjer 4.

Nacrtajte graf funkcije y = 1/x 2 .

Riješenje.

Pomoću grafa funkcije y = x 2 konstruiramo graf y = 1/x 2 i koristimo tehniku “dijeljenja” grafova.

Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).

Nema točaka sjecišta s osi. Funkcija je parna. Raste za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x od 0 do +∞.

Odgovor: Slika 2.

Primjer 5.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Riješenje.

Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Ovdje smo koristili tehniku faktorizacije, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.

Odgovor: Slika 3.

Primjer 6.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Riješenje.

Područje definicije je D(y) = R. Budući da je funkcija parna, graf je simetričan oko ordinate. Prije izgradnje grafikona, ponovno transformirajmo izraz, ističući cijeli dio:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Imajte na umu da je izdvajanje cijelog dijela u formuli frakcijske racionalne funkcije jedno od glavnih pri izradi grafikona.

Ako je x → ±∞, tada je y → 1, tj. pravac y = 1 je horizontalna asimptota.

Odgovor: Slika 4.

Primjer 7.

Razmotrimo funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušajmo točno pronaći njezinu najveću vrijednost, tj. najviše visoka točka desna polovica grafikona. Za preciznu konstrukciju ovog grafikona današnje znanje nije dovoljno. Očito je da se naša krivulja ne može "uzdići" jako visoko, jer nazivnik brzo počinje “prestizati” brojnik. Pogledajmo može li vrijednost funkcije biti jednaka 1. Da bismo to učinili, moramo riješiti jednadžbu x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ova jednadžba nema pravi korijeni. To znači da je naša pretpostavka netočna. Da pronađe najviše veliki značaj funkcije, trebate saznati pri kojem će najvećem A jednadžba A = x/(x 2 + 1) imati rješenje. Zamijenimo izvornu jednadžbu kvadratnom: Ax 2 – x + A = 0. Ova jednadžba ima rješenje kada je 1 – 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveća vrijednost A = 1/2.